二倍角公式的应用推导万能公式
313正弦余弦正切的二倍角公式
必修4 第三章 三角恒等变换
(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)
＝2((11＋＋ssiinn
θ)2＋2cos2θ θ)2－cos2θ
＝2si4n(1θ＋(1＋sinsiθn) θ)＝sin2 θ.
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
1．对二倍角的理解及二倍角公式的应用形式 (1)对于“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8α 是 4α 的二倍角；6α 是 3α 的二倍角；4α 是 2α 的二倍角；3α 是32α 的二倍角；α 是α2的二倍角；α3 是α6的二倍角；… 又如 α＝2×α2，α2＝2×α4，…
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
[题后感悟] 被化简的式子中有切函数和弦函 数时，常首先切化弦，然后分析角的内部关系， 是否有互余或互补的，若有，应用诱导公式转 化，若没有，再分析角间是否存在线性关系， 并利用两角和与差的三角函数展开，经过这样 处理后，一般就会化简完毕．
必修4 第三章 三角恒等变换
记法
公式
S2α sin2α＝__2_si_n_α_c_o_s_α___
C2α
cos2α＝__c_o_s2_α_－__s_in__2α_＝__1_－__2_s_in_2_α__ ＝__2_c_o_s2_α_－__1_
T2α
2tanα
tan2α＝__1_－__t_a_n_2α___
必修4 第三章 三角恒等变换
弦、正切公式的记 忆．(易混点) 3.二倍角公式及变形 公式的应用．(难点)
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
1．如右图(甲)所示，已知弓弦的长度AB＝2a， 弓箭的长度MN＝2b(其中MA＝MB， MN⊥AB)．假设拉满弓时，箭头和箭尾到A、B 的连线的距离相等(如右图(乙)所示)，设∠AMN ＝α，你能用a，b表示∠AMB的正切值即tan 2α 的值吗？
半角公式及万能公式
这样“三角”与“代数”沟通起来，因此称为“万能公 这样“三角” 代数”沟通起来，因此称为“ 式”。 弦化切的两种方法： 齐次式”弦化切及万能公式. 弦化切的两种方法：“齐次式”弦化切及万能公式
1 π sin = 2 练习： = 练习： 2 π 4 2 4 1 + tan
tan 8 8
π
1 π =1 = tan π 2 4 2 1 tan 2
1 ∴ cos sin = 2 2 5 cos α + sin α = 3 2 2 5
∴ tan
α
α
α
α
3 α α = (cos sin ) 2 2 5 1 α cos 2 = 5 α 2 sin = 2 5 α 1 cos α 5 2 = 1 + = . α 4 2 sin
1 cosα 1 + cos α 2 + = 化简： tan + cot = 化简： = 2 csc α sin α sin α sin α 2 2 π sin( α ) π α cos α 2 = = tan( ) 4 2 1 + sin α 1 + cos( π α ) 2
α
α
α
二、例 1：已知 求 sin
tan 8 8
1 tan ( α ) π 4 = cos( 2α ) 2 2 π 1 + tan ( α ) 4
2
π
π
= sin 2α
1 + sin α + cos α 1 = , 求 cos α值. 例1：已知 1 + sin α cos α 2
1 + sin α + cos α (1 + cos α ) + sin α = 解： 1 + sin α cos α (1 cos α ) + sin α = 2 cos 2 sin
二倍角的正弦、余弦、正切公式(同步讲义)(教师版)
人教A 版必修1第5章三角函数：5.1第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式（同步讲义）(教师独具内容)课程标准：1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用．教学难点：倍角公式与以前学过的同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和(差)角公式的综合应用.【知识导学】知识点一 二倍角的正弦、余弦、正切公式公式的适用条件：在S 2α，C 2α中，α∈□07R ，在T 2α中，α≠□08k π2＋π4(k ∈Z )，且α≠□09k π＋π2(k ∈Z )． 知识点二 二倍角公式的变形形式(1)(sin α±cos α)2＝□011±sin2α；(2)cos 2α＝□021＋cos2α2； (3)sin 2α＝□031－cos2α2. 【新知拓展】1．“二倍”的含义倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是3α2的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．2．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：(1)sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α，即sin2α＝2tan α1＋tan 2α. (2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α，即cos2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( )(2)存在角α，使得sin2α＝2sin α成立．( ) (3)对任意角α，总有tan2α＝2tan α1－tan 2α.( )答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(1)计算cos 215°－sin 215°结果等于( )A.12B.22 C.33 D.32 (2)12sin15°cos15°的值等于( )A.14B.18C.116D.12 (3)已知cos α＝13，则cos2α等于( )A.13B.23 C ．－79 D.79(4)若tan α＝12，则tan2α＝( )A.43 B.34 C.15 D ．－43答案 (1)D (2)B (3)C (4)A题型一 给角求值问题【例1】求下列各式的值：(1)sin π12cos π12；(2)1－2sin 2750°；(3)2tan150°1－tan 2150°；(4)cos20°cos40°cos80°.[解] (1)原式＝2sin π12cos π122＝sin π62＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos1500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－ 3.(4)原式＝2sin20°cos20°cos40°cos80°2sin20°＝2sin40°cos40°cos80°4sin20°＝2sin80°cos80°8sin20°＝sin160°8sin20° ＝18. 金版点睛正用、逆用二倍角公式求值对于给角求值问题，需观察题中角度间的关系，发现其特征，并能根据式子的特点构造出二倍角的形式，正用、逆用二倍角公式求值．注意利用诱导公式和同角三角函数基本关系对已知式进行转化．【跟踪训练1】求下列各式的值：(1)cos π5cos 2π5；(2)12－cos 2π8； (3)tan π12－1tan π12. 解 (1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝sin 4π54sin π5＝sin π54sin π5＝14. (2)原式＝1－2cos 2π82＝－2cos 2π8－12＝－12cos π4＝－24.(3)原式＝tan 2π12－1tan π12＝－2×1－tan 2π122tan π12＝－2×1tan π6＝－233＝－2 3. 题型二 给值求值问题【例2】已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，π2≤α<3π2，求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值． [解] ∵π2≤α<3π2，∴3π4≤α＋π4<7π4. ∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴3π2<α＋π4<7π4. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. ∴cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425， sin2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725.∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22cos2α－22sin2α＝22×⎝⎛⎭⎫－2425－725＝－31250. [结论探究] 若本例条件不变，求cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值． 解 ∵π2≤α<3π2，∴3π4≤π4＋α<7π4. 又cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35>0，∴3π2<π4＋α<7π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－45， ∴cos2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35＝－2425，∴cos2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－2425－45＝65. 金版点睛解决条件求值问题的方法给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．【跟踪训练2】已知x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－35，求cos2x 的值． 解 解法一：由已知条件得cos x －sin x ＝－325，将此式两边平方得2sin x cos x ＝725. 由此可得(cos x ＋sin x )2＝3225. 因为x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以sin x >0，cos x >0.所以cos x ＋sin x ＝425. 故cos2x ＝cos 2x －sin 2x ＝(cos x ＋sin x )(cos x －sin x ) ＝425×⎝⎛⎭⎫－325＝－2425. 解法二：∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－35，x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝45. cos2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425. 题型三 给值求角问题 【例3】已知tan α＝13，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． [解] ∵tan α＝13>0，α∈(0，π)，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2α∈(0，π)， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 又∵tan β＝－17<0，β∈(0，π)，∴β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34－⎝⎛⎭⎫－171＋34×⎝⎛⎭⎫－17＝1， 又∵2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－3π4. 金版点睛在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角.其中确定角的范围是关键的一步.【跟踪训练3】已知tan α＝17，sin β＝1010，且α，β为锐角，求α＋2β的值． 解 ∵tan α＝17<1，且α为锐角，∴0<α<π4， 又∵sin β＝1010<22，且β为锐角，∴0<β<π4， ∴0<α＋2β<3π4. 由sin β＝1010，β为锐角，得cos β＝31010，∴tan β＝13， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12， ∴tan(α＋2β)＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)tan β＝12＋131－12×13＝1， 故α＋2β＝π4. 题型四 有关化简与证明问题【例4】(1)化简：11－tan θ－11＋tan θ； (2)证明：1＋sin4α＋cos4α1＋sin4α－cos4α＝1tan2α. [解] (1)原式＝(1＋tan θ)－(1－tan θ)(1－tan θ)(1＋tan θ)＝2tan θ1－tan 2θ＝tan2θ. (2)证明：左边分子为2cos 22α＋2sin2αcos2α＝2cos2α·(cos2α＋sin2α)．左边分母为2sin 22α＋2sin2αcos2α＝2sin2α(sin2α＋cos2α)．故两式相除，即cos2αsin2α＝1tan2α. 金版点睛证明的本质问题实际上就是化简三角函数的化简与证明有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异，化繁为简，或用“两头凑”的方法．【跟踪训练4】(1)化简cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________； (2)求证：(sin2x ＋cos2x －1)(sin2x －cos2x ＋1)sin4x＝tan x . 答案 (1)2 (2)见解析解析 (1)cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2(sin30°cos10°＋cos30°sin10°)2sin 240°＝2sin40°2sin40°＝ 2. (2)证法一：左边＝(2sin x cos x －2sin 2x )(2sin x cos x ＋2sin 2x )sin4x＝4sin 2x (cos 2x －sin 2x )sin4x ＝4sin 2x cos2x 2sin2x cos2x＝4sin 2x 2×2sin x cos x＝tan x ＝右边． 故原等式成立．证法二：左边＝(sin2x ＋cos2x －1)(sin2x －cos2x ＋1)(sin2x ＋cos2x )2－1＝(sin2x ＋cos2x －1)(sin2x －cos2x ＋1)(sin2x ＋cos2x －1)(sin2x ＋cos2x ＋1)＝sin2x ＋1－cos2x sin2x ＋1＋cos2x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x 2sin x cos x ＋2cos 2x＝2sin x (cos x ＋sin x )2cos x (sin x ＋cos x )＝tan x ＝右边． 故原等式成立．随堂水平达标1．若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6答案 D解析 sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 2．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°cos15° B ．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215° 答案 B解析 A 项，2sin15°cos15°＝sin30°＝12；B 项，cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32；C 项，2sin 215°＝1－cos30°＝1－32；D 项，sin 215°＋cos 215°＝1.故选B. 3．cos 4π8－sin 4π8的值为( ) A ．0 B.22 C ．1 D ．－22答案 B解析 cos 4π8－sin 4π8＝⎝⎛⎭⎫cos 2π8＋sin 2π8⎝⎛⎭⎫cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 4．设sin2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan2α的值是________． 答案 3 解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α>0，又∵sin2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 5．已知cos α＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，求sin2α，cos2α，tan2α的值．解 ∵cos α＝－1213，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－513， ∴sin2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－513×⎝⎛⎭⎫－1213＝120169， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫－5132＝119169， tan2α＝sin2αcos2α＝120119.。
三角函数二倍角公式大全
三角函数二倍角公式大全三角函数二倍角公式整理大全二倍角公式，其实是数学三角函数中常用的一组公式，通过角α的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角2α的三角函数值，二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及正切二倍角公式。
下面小编给大家整理了关于三角函数二倍角公式大全的内容，欢迎阅读，内容仅供参考!三角函数二倍角公式1、正弦形式(1)公式(2)推导过程2、余弦形式(1)公式(2)推导过程3、正切形式(1)公式(2)推导过程三角函数变形公式1、降幂公式：2、升幂公式：三角函数相关公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)三倍角公式sin3a=3sina-4(sina)^3cos3a=4(cosa)^3-3cosatan3a=tana__tan(π/3+a)__tan(π/3-a)半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))其它公式a__sin(a)+b__cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]a__sin(a)-b__cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中，tan(c)=a/b]1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^21-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2如何记忆三角函数公式1、“奇变偶不变，符号看象限”：“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。
半角公式及万能公式
五、小结归纳：本节课你有什么收获？
1、半角公式及万能公式的推导
3、理解倍角和半角关系，理解倍角公式与半角公 式的内在联系 4、掌握三角函数恒等变形的基本手段，转化 的思想。
2、公式本质用 角的三角函数值表示角 的三角函数 2
作业：
• 1、上交：p142第4题；p143第1题. • 2、课外：资料p83-85.
1 cos( 2 ) 1 sin 2 1 2 cos 2 2 sin( 2 ) 2
．
1 cos sin 1 cos sin 1 tan 1 解法二：原式 cos sin 1 tan 2 2 sin( ) 4
解： sin
7 1 25 = 4 cos = 2 2 5
sin
点评：正用公式
sin
2
1 cos cos 2 2
1 cos tan 2 2
12 3 例题2：已知 sin 2 , 2 13 2 求 tan
分析:1、α是2α的半角, 2、正切函数半角公式有3种形式
半角公式：
1 cos sin 2 2 1 cos cos 2 2
tan
1 cos sin 2 2 1 cos 2 cos 2 2
2
2
sin 1 cos tan 2 1 cos sin 1、半角公式和倍角公式实际上是同一 组公式的不同变形； 2、公式中根号前的“”由角 的终边所在象限确定． 2
2
4、证明下列恒恒等式
(1)左边 1 cos 2 1 cos( ) 1 sin 右边 2 4 2 cos 2 sin 2 cos 2 (2)左边 tan 2 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 sin 2 tan 右边 1 cos 2
三角函数推导及公式应用大全
三角函数公式1、两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2、倍角公式tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A)Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos^2 A--Sin^2 A=2Cos^2 A—1=1—2sin^2 A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)^3;cos3A = 4(cosA)^3 -3cosAtan3a = tan a •tan(π/3+a)•tan(π/3-a) 半角公式sin(A/2) = √{(1--cosA)/2}cos(A/2) = √{(1+cosA)/2}tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)}cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)}tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)3、和差化积sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB4、积化和差sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)]5、诱导公式sin(-a) = -sin(a)cos(-a) = cos(a)sin(π/2-a) = cos(a)cos(π/2-a) = sin(a)sin(π/2+a) = cos(a)cos(π/2+a) = -sin(a)sin(π-a) = sin(a)cos(π-a) = -cos(a)sin(π+a) = -sin(a)cos(π+a) = -cos(a)tgA=tanA = sinA/cosA6、万能公式sin(a) = [2tan(a/2)] / {1+[tan(a/2)]^2}cos(a) = {1-[tan(a/2)]^2} / {1+[tan(a/2)]^2}tan(a) = [2tan(a/2)]/{1-[tan(a/2)]^2}7、其它公式a•sin(a)+b•cos(a) = [√(a^2+b^2)]*sin(a+c) [其中,tan(c)=b/a]a•sin(a)-b•cos(a) = [√(a^2+b^2)]*cos(a-c) [其中,tan(c)=a/b]1+sin(a) = [sin(a/2)+cos(a/2)]^2;1-sin(a) = [sin(a/2)-cos(a/2)]^2;;8、其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)sec(a) = 1/cos(a)9、双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)公式一：设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinαcos（2kπ＋α）= cosαtan（2kπ＋α）= tanαcot（2kπ＋α）= cotα公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαtan（π/2+α）= -cotαcot（π/2+α）= -tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαtan（π/2-α）= cotαcot（π/2-α）= tanαsin（3π/2+α）= -cosαcos（3π/2+α）= sinαtan（3π/2+α）= -cotαcot（3π/2+α）= -tanαsin（3π/2-α）= -cosαcos（3π/2-α）= -sinαtan（3π/2-α）= cotαcot（3π/2-α）= tanα(以上k∈Z)三角函数公式大全锐角三角函数公式sin α=∠α的对边/ 斜边cos α=∠α的邻边/ 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方sin2（A））三倍角公式sin3α=4sinα•sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα•cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a •tan(π/3+a)•tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα•cosβ•cosγ+cosα•sinβ•cosγ+cosα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•sinγcos(α+β+γ)=cosα•cosβ•cosγ-cosα•sinβ•sinγ-sinα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα•tanβ•tanγ)/(1-tanα•tanβ-tanβ•tanγ-tanγ•tanα)两角和差cos(α+β)=cosα•cosβ-sinα•sinβcos(α-β)=cosα•cosβ+sinα•sinβsin(α±β)=sinα•cosβ±cosα•sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα•tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα•tanβ)和差化积sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ= 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ= 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ= -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ= [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2）/〔1+tan＾(α/2)〕cosα=〔1-tan＾(α/2)〕/1+tan＾(α/2)〕tanα=2tan(α/2)/〔1-tan＾(α/2)〕其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0一,诱导公式口诀:(分子)奇变偶不变,符号看象限.1. sin (α+k•360)=sin αcos (α+k•360)=cos atan (α+k•360)=tan α2. sin(180°+β)=-sinαcos(180°+β)=-cosa3. sin(-α)=-sinacos(-a)=cosα4*. tan(180°+α)=tanαtan(-α)=tanα5. sin(180°-α)=sinαcos(180°-α)=-cosα6. sin(360°-α)=-sinαcos(360°-α)=cosα7. sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinα8*. Sin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinα9*. Sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+a)=-sinα10*.sin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinα二,两角和与差的三角函数1. 两点距离公式2. S(α+β): sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβC(α+β): cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ3. S(α-β): sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβC(α-β): cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ4. T(α+β):T(α-β):5*.三,二倍角公式1. S2α: sin2α=2sinαcosα2. C2a: cos2α=cos2α-sin2a3. T2α: tan2α=(2tanα)/(1-tan2α)4. C2a': cos2α=1-2sin2αcos2α=2cos2α-1四*,其它杂项(全部不可直接用)1.辅助角公式asinα+bcosα=sin(a+φ),其中tanφ=b/a,其终边过点(a, b) asinα+bcosα=cos(a-φ),其中tanφ=a/b,其终边过点(b,a) 2.降次,配方公式降次:sin2θ=(1-cos2θ)/2cos2θ=(1+cos2θ)/2配方1±sinθ=[sin(θ/2)±cos(θ/2)]21+cosθ=2cos2(θ/2)1-cosθ=2sin2(θ/2)3. 三倍角公式sin3θ=3sinθ-4sin3θcos3θ=4cos3-3cosθ4. 万能公式5. 和差化积公式sinα+sinβ=sinα-sinβ=cosα+cosβ=cosα-cosβ=6. 积化和差公式sinαsinβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]sinαsinβ-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]7. 半角公式另：三角函数口诀三角知识,自成体系,记忆口诀,一二三四.一个定义,三角函数,两种制度,角度弧度.三套公式,牢固记忆,同角诱导,加法定理.同角公式,八个三组,平方关系,导数商数.诱导公式,两类九组,象限定号,偶同奇余.两角和差,欲求正弦,正余余正,符号同前.两角和差,欲求余弦,余余正正,符号相反.两角相等,倍角公式,逆向反推,半角极限.加加减减,变量替换,积化和差,和奇互变.锐角三角函数公式sin α=∠α的对边/ 斜边cos α=∠α的邻边/ 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方sin2（A））三倍角公式sin3α=4sinα•sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα•cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a •tan(π/3+a)•tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t),其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t),tant=A/B降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin³acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa=4cos³a-3cosasin3a=3sina-4sin³a=4sina(3/4-sin²a)=4sina[(√3/2)²-sin²a]=4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos³a-3cosa=4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)²]=4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα•cosβ•cosγ+cosα•sinβ•cosγ+cosα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•sin γcos(α+β+γ)=cosα•cosβ•cosγ-cosα•sinβ•sinγ-sinα•cosβ•sinγ-sinα•sinβ•cos γtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα•tanβ•tanγ)/(1-tanα•tanβ-tanβ•tanγ-tan γ•tanα)两角和差cos(α+β)=cosα•cosβ-sinα•sinβcos(α-β)=cosα•cosβ+sinα•sinβsin(α±β)=sinα•cosβ±cosα•sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα•tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα•tanβ)和差化积sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ= 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ= 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ= -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差sinαsinβ= [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0。
2025届高考数学一轮总复习第五章三角函数第三节两角和与差二倍角的三角函数公式
(1)熟记公式结构特征以及符号规律.
(2)注意与诱导公式、同角三角函数关系式相结合综合应用.
(3)注意配方法、因式分解、整体换元思想的运用.
对点训练1(1) 已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=(
A.
5
3
2
B.3
1
C.
3
(2)若
D.
3
tan(α-β)=2,tan
5
1+tan
(2)由已知得 2tan θ=7,即 tan2θ-4tan θ+4=0,解得
1-tan
1
1
(3)对于 A,sin 15°cos 15°=2sin 30°=4,A 项错误;
tan θ=2.
对于B,sin 75°cos 15°+cos 75°sin 15°=sin(75°+15°)=sin 90°=1,B项正确;
12
(2)若 3sin α-sin β=
π
8
π
1-ta n 2
8
D.
tan
π
10,α+β= ,则
2
sin α=
,cos 2β=
.
3 10
(2)
10
答案 (1)AD
4
5
17π
π
π
π
解析(1)A,sin =sin(2π+π- )=sin(π- )=sin
6
6
6
6
π
π
B,sin12 cos12
C,cos
)
)
1+cos40°
(3)由于 cos 40°=2cos 20°-1,所以 cos 20°=±
三角函数中万能公式总结
三角函数中万能公式总结集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）两角和与差的三角函数三角函数基本公式总结1．和、差角公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； βαβαβαtg tg tg tg tg 1)(±=±． 2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=； ααα2122tg tg tg -=． 3．降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=． 4．半角公式2cos 12sin αα-±=；2cos 12cos αα+±=；αααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg ． 5．万能公式2122sin 2αααtg tg+=；2121cos 22αααtg tg +-=；21222αααtg tg tg -=． 6．积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=；)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=；)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=；)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=． 7．和差化积公式2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+；2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-；2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+；2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-． 倍角、半角的三角函数二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即:由此可继续导出三倍角公式.观察角之间的联系应该是解决三角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形式应根据题目具体而定.倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即， 进一步得到半角公式:降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα，即:，，这组公式叫做“万能”公式.教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.。
二倍角公式的应用
二倍角公式的应用一．复习两角和（差）的三角公式()βαβαβαsin sin cos cos cos =± ()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±二．二倍角公式的推导1.余弦二倍角推导由()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+，其中αβ=令：得ααα22sin cos 2cos -=利用公式1cos sin 22=+αα可变形得：αααα22sin 212cos 1cos 22cos -=-=2.正弦二倍角推导()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+，其中αβ=令：得αααcos sin 22sin =3.正切二倍角推导()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+，αβ=令：ααα2tan 1tan 22tan -=注：ππαk +≠2且()Z k k ∈+≠ππα4三．二倍角公式的应用1.公式的直接应用（注意角的取值范围） 例1：已知),2(,135sin ππαα∈=求sin2α，cos2α，tan2α的值。
解：∵),2(,135sin ππαα∈=∴1312sin 1cos 2-=--=αα∴sin2α = 2sin αcos α = 169120-cos2α = 169119sin 212=-αtan2α =1191202cos 2sin -=a a2.公式的逆用例2：求下列各式的值：（1）15cos 15sin（2）5.22tan 15.22tan 22-（2）22tan 22.5tan 4511tan 22.5=︒=-3.公式的活用 例3：化简（1）sincos22θθ（2）2sin 20cos 20cos 40cos80︒︒︒︒解：（1）11sincos2sin cos sin 222222θθθθθ=⨯=（2）2sin 20cos 20cos 40cos80︒︒︒︒=sin 40cos 40cos80︒︒︒=1sin 80cos802︒︒=1sin1604︒=1sin 204︒注：（2）可以推广为11sin 2sin cos cos 2...cos 22n nn ααααα++=4.降幂公式（二倍角公式的变形）（1）21cos 2sin 2αα-=（2）21cos 2cos 2ββ-=以下列举几个例子：1）函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是 （A ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数解：直接用降幂公式得cos(2)sin 22y x xπ=-=，故选A 。
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
记法 S2α C2α
T2α
二倍角公式 公式
sin 2α＝____2_s_in__α_c_o_s_α_
cos 2α＝___c_o_s2_α_－__s_i_n_2α_ cos 2α＝___1_－__2_s_i_n_2α_ cos 2α＝___2_c_o_s_2α_－___1
解析： ∵sin β＝ 1100，
∴cos
2β＝1－2sin2β＝1－2×
11002＝45.
由 β∈0，π2，且 cos 2β＝45＞0，可推得 2β∈0，π2. ∴α＋2β∈(0，π)．
∵α∈0，π2，且 sin α＝102，
∴cos α＝ 1－sin2α＝7102.
又∵2β∈0，π2，且 cos 2β＝45，
2．二倍角公式的变形
(1)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α；
1－cos 2α＝2sin2α.
(2)降幂公式：cos2α＝1＋c2os 2α；
sin2α＝1－c2os
2α .
(3)万能公式：sin 2α＝1＋2tatannα2α；
cos 2α＝11－＋ttaann22αα.
化简求值 自主练透型 求下列各式的值： (1)sin110°－cos 310°；(2)cos 20°cos 40°cos 80°.
解析： (1)原式＝cossi1n01°－0°co3ss1in0°10°
＝212cossin1100°－°co2s31s0in°10°
＝4（sin
30°cos 10°－cos 30°sin 2sin 10°cos 10°
10°）
＝4ssiinn2200°°＝4.
(2)原式＝2sin
20°·cos 20°·cos 40°·cos 2sin 20°
二倍角公式的应用推导万能公式
教材：续二倍角公式的应用，推导万能公式目的：要求学生能推导和理解半角公式和万能公式，并培养学生综合分析能力。
过程：一、解答本章开头的问题：（课本 P3）令∠AOB = θ , 则AB = a cos θ OA = a sin θ ∴S 矩形ABCD = a cos θ×2a sin θ = a 2sin2θ≤a 2 当且仅当 sin2θ = 1，即2θ = 90︒，θ = 45︒时, 等号成立。
此时，A,B 两点与O 点的距离都是a 22 二、半角公式在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的 例一、求证：α+α-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222证：1︒在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α 即得： 2s i n 21c o s 2α-=α ∴2cos 12sin 2α-=α 2︒在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α 即得： 12c o s 2c o s 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 3︒以上结果相除得：α+α-=αcos 1cos 12tan 2 注意：1︒左边是平方形式，只要知道2α角终边所在象限，就可以开平方。
2︒公式的“本质”是用α角的余弦表示2α角的正弦、余弦、正切 3︒上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆） 4︒还有一个有用的公式：αα-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan （课后自己证） B Caθ A O D三、万能公式 例二、求证：2tan 12tan 2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α 证：1︒2tan 12tan 22cos 2sin 2cos 2sin 21sin sin 222α+α=α+ααα=α=α 2︒2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1cos cos 222222α+α-=α+αα-α=α=α 3︒2tan 12tan 22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 222α-α=α-ααα=αα=α 注意：1︒上述三个公式统称为万能公式。
3.1.3正弦余弦正切的二倍角公式
＝12sin
1 20°·2sin
1 100°·2sin
140°
＝18sin 20°sin 80°sin 40°
＝18cos 10°cos 50°cos 70°＝18y.
∵y≠0，∴x＝18.从而有 sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°
＝116.
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
＝12·sin
20°cos
20°cos 40°cos sin 20°
80°
＝14·sin
40°cos sin
40°cos 20°
80°
＝18·sin
80°cos 80° sin 20°
＝116·ssiinn12600°°＝116.
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
(2)原式＝cos2π8－sin2π8＝cos
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
∴cos π4－x＝1123， sin π4＋x＝sin π2－π4－x＝cos π4－x＝1123
119 ∴原式＝11629＝111596.
13
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
二倍角公式的应用——化简 化简：(1)cocsos107°0(°1＋1＋3ctoasn4100°°)；
＝116.
必修4 第三章 三角恒等变换
栏目导引
方法二：先将正弦变成余弦，再逆用二倍角公式
原式＝cos 80°·12·cos 40°·cos 20°
＝2sin
20°cos 20°cos 40°cos 4sin 20°
80°
＝sin
40°cos 40°cos 4sin 20°
80°
＝sin88s0in°c2o0s°80°
二倍角万能公式
二倍角万能公式二倍角万能公式是高中数学中的一个重要公式，它在解决三角函数的问题中起到了至关重要的作用。
通过二倍角万能公式，我们可以快速求解复杂的三角函数问题，简化计算的过程。
二倍角万能公式的形式为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ，sin(2θ) = 2sinθcosθ，tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)。
其中，θ为任意角度。
让我们来看一下cos(2θ)的推导过程。
我们知道，根据三角函数的定义，cos(2θ)可以表示为cos(θ + θ)。
利用和角公式，我们可以将其展开为cos²θ - sin²θ。
接下来，让我们来看一下sin(2θ)的推导过程。
同样地，我们知道sin(2θ)可以表示为sin(θ + θ)。
利用和角公式，我们可以将其展开为2sinθcosθ。
让我们来看一下tan(2θ)的推导过程。
tan(2θ)可以表示为sin(2θ) / cos(2θ)。
根据之前的推导，我们可以将其转化为2tanθ / (1 - tan²θ)。
二倍角万能公式的应用非常广泛，可以用于解决各种与三角函数相关的问题。
下面，我们将通过一些例子来说明二倍角万能公式的具体应用。
例1：求解cos(120°)的值。
根据二倍角万能公式cos(2θ) = cos²θ - sin²θ，我们可以将120°表示为60°的二倍角。
即θ = 60°，代入公式中，cos(120°) = cos²60° - sin²60°。
由于60°是一个特殊角，我们可以直接得出cos(60°) = 1/2，sin(60°) = √3 / 2。
代入公式，cos(120°) = (1/2)² - (√3 / 2)² = -1/2。
高考数学教材复习全国版第20讲 二倍角公式与简单的三角恒等变换(3课件)
2β 的值为 (
7
A.
25
3
α= ,则
5
)
18
B.
25
则 cos
1
A.
5
π
+
4
1
B.
4
[答案] (1)A (2)B
[解析] (1)由题意得 sin(α-β)cos
7
C.25
18
D.25
(2)[2018·
厦门外国语学校月考] 已知 tan
2
cos
=(
1
θ+
=4,
tan
所以 sin
3
β=- ,所以
tan +tan
1-tan tan
3π
0<α+β<π,所以 α+β= 4 .
=
4
7+
3
4
1-7×
3
=-1,又
课前双基巩固
7. sin α-cos α= 2sin(α+φ)中的 φ=
.
[答案]
π
2kπ-4 ,k∈Z
[解析] sin α-cos α= 2
2
2
2
2
sin
2
α- 2 cos α ,则 cos φ= 2 ,sin φ=- 2 ,
18
D.25
厦门外国语学校月考] 已知 tan
(2)[2018·
2
cos
)
18
B.
25
7
A.
25
3
α= ,则
5
1
=4,
θ+
tan
案;(2)由已知条件求得 sin θcos θ
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教材：续二倍角公式的应用，推导万能公式
目的：要求学生能推导和理解半角公式和万能公式，并培养学生综合分析能力。
过程：
一、解答本章开头的问题：（课本 P3）
令∠AOB = θ , 则AB = a cos θ OA = a sin θ ∴S 矩形ABCD = a cos θ×2a sin θ = a 2sin2θ≤a 2
当且仅当 sin2θ = 1，
即2θ = 90︒，θ = 45︒时, 等号成立。
此时，A,B 两点与O 点的距离都是a 2
2
二、半角公式
在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的
例一、求证：α
+α
-=
αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin 222
证：1︒在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2
α
代α 即得：
2s i n
21c o s 2α-=α ∴2
cos 12sin 2α-=α 2︒在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2
α
代α 即得：
12
c o s 2c o s 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=
α 3︒以上结果相除得：α
+α
-=αcos 1cos 12tan 2
注意：1︒左边是平方形式，只要知道2
α
角终边所在象限，就可以开平方。
2︒公式的“本质”是用α角的余弦表示2
α
角的正弦、余弦、正切
3︒上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆） 4︒还有一个有用的公式：α
α
-=
α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan
（课后自己证） B C
a
θ A O D
三、万能公式
例二、求证：2tan 12tan
2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan
2sin 2
222α
-α
=αα+α-=αα+α=
α 证：1︒2tan 12tan
22cos 2sin 2cos 2sin 21
sin sin 2
22α+α=α+ααα=
α=α 2︒2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1
cos cos 2
2
2222α+α-=α+αα-α=
α=α 3︒2
tan 12tan
22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 2
22α-α=α-ααα=
α
α=α 注意：1︒上述三个公式统称为万能公式。
（不用记忆）
2︒这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切
即：)2(tan α
f 所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，
可以使解题过程简洁
3︒上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小
例三、已知
5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ
+θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值。
解：∵5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ
+θ ∴cos θ ≠ 0 (否则 2 = - 5 )
∴53tan 1
tan 2-=-θ+θ 解之得：tan θ = 2
∴原式57
2
122421)21(3tan 1tan 24tan 1)tan 1(32
22222=+⨯⨯++-=θ+θ⨯+θ+θ-= 四、小结：两套公式，尤其是揭示其本质和应用（以万能公式为主） 五、作业：《精编》P73 16
补充：
1．已知sin α + sin β = 1，cos α + cos β = 0，试求cos2α + cos2β的值。
(1)
（《教学与测试》P115 例二） 2．已知
π<α<π2
，0<β<π-，tan α =31-，tan β =71
-，求2α + β 的大小。
3．已知sin x =
54，且x 是锐角，求2
cos 2sin x
x ±的值。
)55,553(-
4．下列函数何时取得最值？最值是多少？
1︒x x y 2cos 2sin = )21,21(m i n m a x -==
y y 2︒x x y 2cos sin 2-= )2
1
,23(m i n m a x -==y y
3︒)7cos(2)722cos(π+-π+=x x y )2
3
,3(m i n m a x -==y y
5．若α、β、γ为锐角，求证：α + β + γ = 4π
6．求函数x x x f sin cos )(2+=在]4
,4[π
π-上的最小值。
)221(-。