河南省中考数学总复习考点全解第六章圆第21讲圆的基本性质(312分)课件
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中考数学总复习第六章圆课件
例1
提分技法
利用 圆周角 定理及 其推论 解题时 的思路 1.在利 用圆周 角定理 解答具 体问题 时,找准 同弧所 对的圆 周角及 圆心角 ,并结 合圆周 角定理 进行相 关计 算是关 键.与圆 周角有 关的常 用辅助 线有 :① 过圆 上某点 作直径, 连接 过直径 端点的 弦;② 弦垂 直平 分半径 时可构 造直角 三角形 ;③ 构造 同弧所 对的圆 周角. 2.在利 用圆周 角定理 的推论 解答具 体问题 时,要找 准直径 及等弦 或同弦 所对应 的圆周 角, 一般 会结 合圆 周角定 理进行 相关计 算或证 明.
中考
2019
数学
第六章 圆
目录
CONTENTS
第一节 圆的基本性质 第二节 与圆有关的位置关系 第三节 与圆有关的计算
第一节 圆的基本性质
PART 01
考点帮
考点1 垂径定理及其推论(2011年新 课标
选学内容) 考点2 弦、弧、圆心角之间的关系
考点3 圆周角定理及其推论
考点4 圆内接四边形的概念和性质
∵OA=OB,PA=PB,
∴∠OAB=∠OBA,∠PAB=∠PBA,
∴∠PBO=∠PAO=90°,
∴PB 是☉O 的切线.
(2)解:连接 BC,设 OP 交 AB 于点 F. ∵AC 是☉O 的直径,∴∠ABC=90°. ∵OA=OB,AP=BP, ∴OP 垂直平分 AB,∴BC∥OP, ∴∠OPC=∠PCB. ∵∠APC=3∠BPC,∠APO=∠BPO, ∴∠OPC=∠CPB,∴∠PCB=∠CPB,∴BC=BP. 设 OF=t,则 PB=BC=2t,易得△FPB∽△BPO,
方法帮 命题角度 2 圆内接四边形的性质
例2
[ 2 0 1 8 山东济宁] 如图, 点 B , C , D 在☉O 上, 若∠B C D = 1 3 0 °, 则∠B O D 的度数是( D )
北师大版中考数学知识点复习课件第21讲圆的基本性质
第六单元圆第21讲圆的基本性质知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,∠A=1/2∠O.图a 图b 图c( 2 )推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上。
2019版中考数学第一部分基础知识过关第六章圆第21讲圆的有关性质课件
2 ∴CF= OC 2 OF = 2 =0.8(m),∴CD=1.6 m. 12 0.6
考点二
圆心角、弧、弦的关系
l︵ l︵
l︵
BC =
例2 如图,D,E分别是☉O的半径OA,OB上的点,CD⊥OA,CE⊥
OB,CD=CE,则 AC 与 BC的大小关系是
AC
l︵
.
解析 ∵CD⊥OA,CE⊥OB,
1.定义:四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形. 2.性质:圆内接四边形的对角
泰安考点聚焦
考点一 垂径定理及其推论
考点二
考点三 考点四
圆心角、弧、弦的关系
圆周角定理及其推论 圆内接四边形的性质
考点一
垂径定理及其推论
中考解题指导 大部分求圆中弦或线段长度或者出现弦的中点
的题目都要用到垂径定理,我们要熟记垂径定理的“两条件三结 论”,并熟练运用定理本身和它的推论.
考点三
例3 ( D )
圆周角定理及其推论
(2017泰安)如图,△ABC内接于☉O,若∠A=α ,则∠OBC等于
A.180°-α B.2α C.90°+α D.90°-α
解析 连接OC,则∠BOC=2∠A=2α ,
∵OB=OC,
1 ∴∠OBC=∠OCB= (180°-2α )=90°-α . 2
2.垂径定理及其推论
(1)定理:垂直于弦的直径平分 弦所对的两条弧 . 弦 ,并且平分
(2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
. 温馨提示 优 弧;(5)平分弦所对的劣弧,这五条结论中的任意两条成立,那么其 他的结论也成立. (1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对的
考点二
圆心角、弧、弦的关系
l︵ l︵
l︵
BC =
例2 如图,D,E分别是☉O的半径OA,OB上的点,CD⊥OA,CE⊥
OB,CD=CE,则 AC 与 BC的大小关系是
AC
l︵
.
解析 ∵CD⊥OA,CE⊥OB,
1.定义:四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形. 2.性质:圆内接四边形的对角
泰安考点聚焦
考点一 垂径定理及其推论
考点二
考点三 考点四
圆心角、弧、弦的关系
圆周角定理及其推论 圆内接四边形的性质
考点一
垂径定理及其推论
中考解题指导 大部分求圆中弦或线段长度或者出现弦的中点
的题目都要用到垂径定理,我们要熟记垂径定理的“两条件三结 论”,并熟练运用定理本身和它的推论.
考点三
例3 ( D )
圆周角定理及其推论
(2017泰安)如图,△ABC内接于☉O,若∠A=α ,则∠OBC等于
A.180°-α B.2α C.90°+α D.90°-α
解析 连接OC,则∠BOC=2∠A=2α ,
∵OB=OC,
1 ∴∠OBC=∠OCB= (180°-2α )=90°-α . 2
2.垂径定理及其推论
(1)定理:垂直于弦的直径平分 弦所对的两条弧 . 弦 ,并且平分
(2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧
. 温馨提示 优 弧;(5)平分弦所对的劣弧,这五条结论中的任意两条成立,那么其 他的结论也成立. (1)过圆心;(2)垂直于弦;(3)平分弦;(4)平分弦所对的
2024年河南省中考数学一轮复习专题：+圆的基本性质+课件
1考）
3.[2016河南，18] 如图，在 中， ，点 是 的中点，以 为直径作 分别交 ， 于点 ， ，连接 .
（1）求证： .
证明：在 中，点 是 的中点， ， . 四边形 是圆内接四边形， .又 , .同理可证： . ， .
【自主解答】证明: 是圆内接四边形 的外角, . , , .又 , .又 , , .
（2）若 ， 的半径为2，求 ．
[答案] .
（3）连接 ， ，若四边形 是平行四边形，则 的度数为_ ____.
（4）若 平分 ， ，求 的值.
（2）填空：
①若 ，当 时， ___；
2
②连接 ， ，当 的度数为_ ____时，四边形 是菱形.
▶▶ 完成练习册相关习题
作业：
90
一图串考法
考法1 圆周角定理及其推论（8年5考）
1.[2023河南，6] 如图，点 ， ， 在 上，若 ，则 的度数为( )
D
A. B. C. D.
2.[2019河南，17] 如图,在 中, , ,以 为直径的半圆 交 于点 ,点 是 上不与点 , 重合的任意一点,连接 交 于点 ,连接 并延长交 于点 .
考点2，4→
（第1题）
1.一题多问 如图，在 中， 是直径， 是弦， 与 交于点 ，连接 , , , , .
（1） ____ .
90
（2）若 ，则 ____ ， ____ ， ____ .
60
30
60
（3）若 ， ，则 ___.
2
（4）若 平分 ， ，则 _ ____.
1.垂径定理：垂直于弦的直径⑩______弦，并且⑪______弦所对的两条弧.
平分
平分
2.垂径定理的推论：平分弦（⑫________）的直径垂直于弦，并且⑬______弦所对的两条弧.
3.[2016河南，18] 如图，在 中， ，点 是 的中点，以 为直径作 分别交 ， 于点 ， ，连接 .
（1）求证： .
证明：在 中，点 是 的中点， ， . 四边形 是圆内接四边形， .又 , .同理可证： . ， .
【自主解答】证明: 是圆内接四边形 的外角, . , , .又 , .又 , , .
（2）若 ， 的半径为2，求 ．
[答案] .
（3）连接 ， ，若四边形 是平行四边形，则 的度数为_ ____.
（4）若 平分 ， ，求 的值.
（2）填空：
①若 ，当 时， ___；
2
②连接 ， ，当 的度数为_ ____时，四边形 是菱形.
▶▶ 完成练习册相关习题
作业：
90
一图串考法
考法1 圆周角定理及其推论（8年5考）
1.[2023河南，6] 如图，点 ， ， 在 上，若 ，则 的度数为( )
D
A. B. C. D.
2.[2019河南，17] 如图,在 中, , ,以 为直径的半圆 交 于点 ,点 是 上不与点 , 重合的任意一点,连接 交 于点 ,连接 并延长交 于点 .
考点2，4→
（第1题）
1.一题多问 如图，在 中， 是直径， 是弦， 与 交于点 ，连接 , , , , .
（1） ____ .
90
（2）若 ，则 ____ ， ____ ， ____ .
60
30
60
（3）若 ， ，则 ___.
2
（4）若 平分 ， ，则 _ ____.
1.垂径定理：垂直于弦的直径⑩______弦，并且⑪______弦所对的两条弧.
平分
平分
2.垂径定理的推论：平分弦（⑫________）的直径垂直于弦，并且⑬______弦所对的两条弧.
中考河南人教版数学第一部分 教材知识梳理(课件)：第六章 圆第一节 圆的基本性质
图①
3. 圆的有关概念 同心圆 圆心相同、半径不等的圆叫做同心圆
等圆 能够重合的两个圆叫做等圆
半圆 弧
圆的任意一条①_直__径__的两个端点把圆 分成两条弧，每一条弧都叫做半圆
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称 弧，大于半圆的弧叫做②_优__弧__，小于半 圆的弧叫做③_劣__弧__
弦 连接圆上任意两点的④_线__段__叫做弦 直径 经过⑤_圆__心__的弦叫做直径 弦心距 圆心到弦的距离叫做弦心距 圆心角 顶点在⑥_圆__心__的角叫做圆心角 圆周角 顶点在圆上，并且⑦_两__边__都与圆相交的角
推论 图②
a.平分弦(不是直径)的直径 11_垂__直__于弦， 并且12 _平__分_弦所对的两条弧.如图②，已知
直且径A︵CC＝DB平︵C分，弦A︵DA＝B(不 B︵D是直径)，则CD⊥AB，
b.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所 对的两条弧.如图②，弦︵AB的︵垂直平分线为直 径CD，直径CD平分ACB和ADB
例1题图
【解析】∵AC∥OB,∴∠OCA=∠BOC=50°.∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA=50°.∴∠AOC=180°-50°-50°＝80°， ∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=80°+50°=130°. ∵OA=OB,∴∠OAB=(180°-130°)÷2=25°. 【答案】A
【方法指导】①同弧所对的圆周角、圆心角、 弦、弦心距都相等；②解决圆周角问题时，常 考虑同弧所对的圆周角和圆心角的关系，找到 例1题图 一条弧，利用此关系进行角之间的转化和计算.
拓展题1图
类型二 垂径定理
例2 (’14北京)如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，
∠Ａ=22.5°，OC=4，CD的长为( ) C
2024年河南中考数学专题复习第六章+第一节+圆的基本性质+课件
ABC (或 ABD 或 BAC 或 BAD或 CAD)
_____A__C__(或___A_D__或__B__C_或___B_D__或___C_D__)____________是劣弧；(4)图中 和
_______A_D， 和BD______A__C，B 和ADB A是B等D弧. BAD Nhomakorabea图①
与圆有关 的性质
河南9年真题子母题
命题点 与圆周角、圆心角有关的计算9年4考
1. (2023河南6题3分)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则 ∠AOB的度数为( D ) A. 95°B. 100°C. 105°D. 110°
第1题图
回归教材 1.1变设问——将求角度变为证明圆周角定理如图，点A，B，
例2题解图①
拓展探索 探究：直径所对的角
例3 已知AB是⊙O的直径，点C为直线AB外一点，连接AC，BC. (1)如图①，当点C在⊙O上时，∠C为直角，依据是 _直__径__所__对__的__圆__周__角__是__直__角_______；(2)如图②，当点C在⊙O内时，请证明： ∠C是钝角；
D
(2)证明：如图，延长AC交⊙O于点D， 连接BD，
正多边形 和圆
内角
外角 中心角
边心距 周长 面积
考点精讲
如图①，点A，B，C，D均在⊙O上，线段AB经过圆心O，且点D为弧AB
的中点，连接AC，OC，OD.(任填一个符合要求的答案)(1)图中________是
与圆有关 的概念 (图①)
圆周角，∠__B_A__C____________∠__A_O__C_(_或__∠__B_O_C__或__∠__A_O__D_或是∠圆B心O角D或(写∠出C小OD于) 180°的角即可)；(2)图中__________是弦，其中________是最长的弦；(3) 图中___A__C_(_或__A_B_)_______________A_B_________是优弧，
_____A__C__(或___A_D__或__B__C_或___B_D__或___C_D__)____________是劣弧；(4)图中 和
_______A_D， 和BD______A__C，B 和ADB A是B等D弧. BAD Nhomakorabea图①
与圆有关 的性质
河南9年真题子母题
命题点 与圆周角、圆心角有关的计算9年4考
1. (2023河南6题3分)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则 ∠AOB的度数为( D ) A. 95°B. 100°C. 105°D. 110°
第1题图
回归教材 1.1变设问——将求角度变为证明圆周角定理如图，点A，B，
例2题解图①
拓展探索 探究：直径所对的角
例3 已知AB是⊙O的直径，点C为直线AB外一点，连接AC，BC. (1)如图①，当点C在⊙O上时，∠C为直角，依据是 _直__径__所__对__的__圆__周__角__是__直__角_______；(2)如图②，当点C在⊙O内时，请证明： ∠C是钝角；
D
(2)证明：如图，延长AC交⊙O于点D， 连接BD，
正多边形 和圆
内角
外角 中心角
边心距 周长 面积
考点精讲
如图①，点A，B，C，D均在⊙O上，线段AB经过圆心O，且点D为弧AB
的中点，连接AC，OC，OD.(任填一个符合要求的答案)(1)图中________是
与圆有关 的概念 (图①)
圆周角，∠__B_A__C____________∠__A_O__C_(_或__∠__B_O_C__或__∠__A_O__D_或是∠圆B心O角D或(写∠出C小OD于) 180°的角即可)；(2)图中__________是弦，其中________是最长的弦；(3) 图中___A__C_(_或__A_B_)_______________A_B_________是优弧，
河南省中考数学总复习第一部分教材考点全解第六章圆第
1．直接用公式求解； 2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解； 3．将阴影中某些图形等面积变形后移位，重组成规则图形求 解；
4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后， 组成规则图形求解； 5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分， 用整体和差法求解．
考点五
圆与正多边形
第六章
第23讲
圆
与圆有关的计算(3分)
【版本导航】人教：九上第二十四章 P105—P120 北师：九下第三章 P97—P102； 华师：九下第二十七章 P58—P76.
与圆有关的计算在河南中考中最多设置一道题，分值 3 分，主要考查：弧长和面积的计算；与扇形有关的阴影部分 面积的计算．阴影部分面积的计算在近几年的河南中招考试 中，每年均设置一道填空题，常位于第 14 题．考查背景有： ①在扇形中作弧(如 2016、 2015 年 14 题)， 扇形结合直角三角 形、等边三角形(如 016 年 14 题)等；②三角形(一般指特殊 三角形)、菱形等特殊图形的旋转(如 2014、2012 年 14 题)； ③在矩形中作圆求阴影部分的面积(如 2010 年 14 题)．
2．(2017· 河南 10 题)如图，将半径为 2， 圆心角为 120° 的扇形 OAB 绕点 A 逆时 针旋转 60° ，点 O，B 的对应点分别为 O′，B′，连接 BB′，则图中阴影部 分的面积是( C ) 2π A. 3 2π C．2 3－ 3 π B．2 3－3 2π D．4 3－ 3
3．(2016· 河南 14 题)如图，在扇形 AOB 中，∠AOB＝90° ， 以点 A 为圆心， OA 的长为半径作 OC 交 AB 于点 C.若 OA 1 3－ π ＝2，则阴影部分的面积为___________. 3
河南省中考数学总复习第一部分考点全解第六章圆第21讲圆的基本性质(312分)课件
尺∠AOB＝90°，将点 O 放在圆上，分别确定 OA，
OB 与圆的交点 C，D，读得数据 OC＝8，OD＝9，则此圆的直径约为( C )
A．17
B．14
C．12
D．10
2．(2018·平顶山一模)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，∠ABC＝40°，
过圆心 O 作 OD⊥BC 交弧 BC 于点 D，连接 DC，则∠DCB 的度数为( B )
考点四 圆内接四边形及其性质 1．定义：四边形的四个__顶__点_____都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四 边形． 2．性质： (1)圆内接四边形的对角__互__补_____. (2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(和它相邻的内角的对角)．
类型一 垂径定理及其应用
(2018·枣庄)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，AP＝2，BP
2．垂径定理(选学内容)：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 3．圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，如果__圆__心__角__、__弧__、__弦____中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等．
第21讲 圆的基本性质(3～12分)
考点一 圆的有关概念 1．圆的定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，也可以 看成是平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，这个定点叫做__圆__心_____， 定长叫做__半__径_____.
2．圆的有关概念 (1)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做__优__弧_____， 小于半圆的弧叫做___劣__弧____. (2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过_圆__心______的弦叫做直径． (3)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． (4)等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．在同圆或等圆中，_能__够__重__合_____的弧叫做 等弧．
OB 与圆的交点 C，D，读得数据 OC＝8，OD＝9，则此圆的直径约为( C )
A．17
B．14
C．12
D．10
2．(2018·平顶山一模)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，∠ABC＝40°，
过圆心 O 作 OD⊥BC 交弧 BC 于点 D，连接 DC，则∠DCB 的度数为( B )
考点四 圆内接四边形及其性质 1．定义：四边形的四个__顶__点_____都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四 边形． 2．性质： (1)圆内接四边形的对角__互__补_____. (2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(和它相邻的内角的对角)．
类型一 垂径定理及其应用
(2018·枣庄)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，AP＝2，BP
2．垂径定理(选学内容)：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 3．圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，如果__圆__心__角__、__弧__、__弦____中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量都分别相等．
第21讲 圆的基本性质(3～12分)
考点一 圆的有关概念 1．圆的定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，也可以 看成是平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形，这个定点叫做__圆__心_____， 定长叫做__半__径_____.
2．圆的有关概念 (1)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧叫做__优__弧_____， 小于半圆的弧叫做___劣__弧____. (2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过_圆__心______的弦叫做直径． (3)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． (4)等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．在同圆或等圆中，_能__够__重__合_____的弧叫做 等弧．
2024河南中考数学一轮知识点训练复习专题 圆的基本性质 (课件)
26
（注：1寸 厘米）， 寸，则直径 的长度为____寸．
（第4题）
4.[2023江苏苏州中考改编] 如图， 是半圆 的直径，点 , 在半圆上， ，连接 , , ，过点 作 ，交 的延长线于点 ．设 的面积为 , 的面积为 .若 ，则 的值为_ ___.
圆的基本性质
考点1 垂径定理及其推论
（第1题）
1.[2023湖北宜昌] 如图， ， ， 都是 的半径， ， 交于点 ．若 ， ，则 的长为 ( )
B
A.5 B.4 C.3 D.2
（第2题）
2.[2023北京] 如图, 是 的半径, 是 的弦, 于点 , 是 的切线, 交 的延长线于点 .若 , ,则线段 的长为_ ___.
考点4 圆内接四边形的性质
（第16题）
16.[2022四川自贡] 如图，四边形 内接于 ， 是 的直径， ，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
（第17题）
17.[2023内蒙古赤峰] 如图，圆内接四边形 中， ，连接 ， ， ， ， ．则 的度数是( )
A
A. B. C. D.
（第18题）
18.[2022浙江杭州] 如图，已知 内接于半径为1的 ， 是锐角 ，则 的面积的最大值为 ( )
D
A. B. C. D.
（第19题）
19.[2023湖北十堰中考改编] 如图, 是 的外接圆,弦 交 于点 , , ,过点 作 于点 ,延长 交 于点 .若 , ,则 的长为___.
考点2 圆的对称性
（第5题）
5.[2023四川宜宾] 如图，已知点 ， ， 在 上， 为 的中点.若 ，则 等于( )
A
A. B. C. D.
（注：1寸 厘米）， 寸，则直径 的长度为____寸．
（第4题）
4.[2023江苏苏州中考改编] 如图， 是半圆 的直径，点 , 在半圆上， ，连接 , , ，过点 作 ，交 的延长线于点 ．设 的面积为 , 的面积为 .若 ，则 的值为_ ___.
圆的基本性质
考点1 垂径定理及其推论
（第1题）
1.[2023湖北宜昌] 如图， ， ， 都是 的半径， ， 交于点 ．若 ， ，则 的长为 ( )
B
A.5 B.4 C.3 D.2
（第2题）
2.[2023北京] 如图, 是 的半径, 是 的弦, 于点 , 是 的切线, 交 的延长线于点 .若 , ,则线段 的长为_ ___.
考点4 圆内接四边形的性质
（第16题）
16.[2022四川自贡] 如图，四边形 内接于 ， 是 的直径， ，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
（第17题）
17.[2023内蒙古赤峰] 如图，圆内接四边形 中， ，连接 ， ， ， ， ．则 的度数是( )
A
A. B. C. D.
（第18题）
18.[2022浙江杭州] 如图，已知 内接于半径为1的 ， 是锐角 ，则 的面积的最大值为 ( )
D
A. B. C. D.
（第19题）
19.[2023湖北十堰中考改编] 如图, 是 的外接圆,弦 交 于点 , , ,过点 作 于点 ,延长 交 于点 .若 , ,则 的长为___.
考点2 圆的对称性
（第5题）
5.[2023四川宜宾] 如图，已知点 ， ， 在 上， 为 的中点.若 ，则 等于( )
A
A. B. C. D.
中考数学总复习 第1部分 教材同步复习 第六章 圆 课时21 圆及其相关性质课件
【错解分析】本题没有给出图形，AB和CD的位置不确定，所以应分AB，CD在 圆心的同侧和异侧两种情况，若两种情况都存在，则AB，CD之间的距离有两个答 案．
12/10/2021
33
• 【正解】①当弦AB和CD在圆心同侧时，连接OA，OC，过O作OF⊥CD 于F，交AB于点E，如答图1.∵AB＝16 cm，CD＝12 cm, ∴AE＝8 cm, CF ＝6 cm.∵OA＝OC＝10 cm，∴EO＝6 cm, OF＝8 cm，∴EF＝OF－OE
︵︵
(2)∵DE ＝BD ，∴∠2＝∠3
推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是⑯ __直__角____，90°的圆周角所对的弦 是⑰__直__径____ 如图，(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ C＝⑲___9_0_°___； (2)∵∠C＝90°，∴AB是⊙O的直 径
12/10/2021
9
推论1
推论2
2．推论
(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角○25 __相__等____，所 对的弦也○26 __相__等____.
(2) 在 同 圆 或 等 圆 中 ， 如 果 两 条 弦 ○27 __相__等____ ， 那 么 它 们 所 对 的 圆 心 角 ○28 __相__等____，所对的弧也相等．
12/10/2021
6
知识点二 圆周角定理及其推论
• 1．定理
内容 情况
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑬___一__半___
圆心在圆周
圆心在圆
圆心在圆
角的一条边上
周角内部
周角外部
图形
结论
12/10/2021
7
∠APB＝⑭____12_∠__A_O_B_____
12/10/2021
33
• 【正解】①当弦AB和CD在圆心同侧时，连接OA，OC，过O作OF⊥CD 于F，交AB于点E，如答图1.∵AB＝16 cm，CD＝12 cm, ∴AE＝8 cm, CF ＝6 cm.∵OA＝OC＝10 cm，∴EO＝6 cm, OF＝8 cm，∴EF＝OF－OE
︵︵
(2)∵DE ＝BD ，∴∠2＝∠3
推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是⑯ __直__角____，90°的圆周角所对的弦 是⑰__直__径____ 如图，(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ C＝⑲___9_0_°___； (2)∵∠C＝90°，∴AB是⊙O的直 径
12/10/2021
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推论1
推论2
2．推论
(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角○25 __相__等____，所 对的弦也○26 __相__等____.
(2) 在 同 圆 或 等 圆 中 ， 如 果 两 条 弦 ○27 __相__等____ ， 那 么 它 们 所 对 的 圆 心 角 ○28 __相__等____，所对的弧也相等．
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知识点二 圆周角定理及其推论
• 1．定理
内容 情况
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑬___一__半___
圆心在圆周
圆心在圆
圆心在圆
角的一条边上
周角内部
周角外部
图形
结论
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7
∠APB＝⑭____12_∠__A_O_B_____
初中数学 河南中考专题复习 圆的基本性质(共18张ppt)
l 2r
nR 2r
180
90 8 2r
180
r2
• 2．已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为 3cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是 1.80 °
l nR
180 2r na
180
2 3 n 6
180
n 180
3.如图,矩形ABCD中,AB=1，AD= ，以AD2的长为
正多边形和圆 等分圆周
弧长公式
有关圆的计算扇形面积公式
圆锥的侧面积公式
1．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的
弦，∠ABD＝55°，则∠BCD的度数
为 35° 。
圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半。 推论： 同弧或等弧所对的圆周角相 等。 半圆（或直径）所对的圆周 角是直角，90 °的圆周角所 对的弦是直径
切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半 径 注意圆中隐含的等腰三角形
圆的内接四边形对角互补
பைடு நூலகம்．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，PA=10cm，
C是劣弧AB上的点（不与点A、B重合），过点C
的切线分别交PA、PB于点E、F．则△PEF的周长
为
。
20c
m
切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条 切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心的连线平分两 条切线的夹角。
圆的轴对称性 垂径定理及其推论
圆的基本性质圆圆圆的周的内角旋接定转四理不边及变形其性对推角论同互圆补或等圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系
圆与圆有关的位置关系点直和线圆和的圆位的置位关置系关系点点点在在在相相相圆圆圆离切交内上外三切切角线线形长的三的定性角内理质形切与的圆判外定接圆
河南省中考试题研究课件 第六章第一节 圆的基本性质
弦 连接圆上任意两点的①线段 叫做弦 直径 经过② 圆心 的弦叫做直径
弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆 得到弧叫③优弧 ，小于半圆的弧叫④ 劣弧 .
半圆
圆的任意一条⑤直径 的两个端点把圆分成两条弧，每 一条弧叫做半圆
圆心角 顶角在⑥圆心 的角叫做圆心角
圆周角 顶点在圆上，并且⑦ 两边 都与圆相交的角叫做圆周角
（1）平分弦（不是直径）的直径_11__垂__直__ 于弦，并且平分弦所对的两条弧 推论 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且 12 _平__分__弦所对的两条弧 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平 分弦，并且平分弦所对的另一条弧
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所 弧、弦、圆 对的弧13 _相__等___，所对的弦也相等 心角的关系
圆内接 四边形 及其性 质
定义：四边形的四个23 _顶__点___都在同一个圆 上，这个四边形叫做圆的内接四边形
性质
（1）圆内接四边形的对角 24__互__补__ （2）圆内接四边形的任意一个外角 等于它的 25_内__对__角___（和它相邻的内 角的对角）
重难点突破 圆周角定理求角度（高频）
例（2015 巴中）如图，在⊙O中，弦AC∥
半径OB,∠BOC=50°，则∠OAB的度数为
（）
A. 25°
B. 50°
C. 60°
D. 30°
例题图
【解析】∵∠BOC=50°，
∴∠BAC= 12∠BOC=25°， ∵AC∥OB，
∴∠OCA=∠BOC＝50°， ∵OA=OC，
例题图
∴∠OAC=∠OCA=50°，
定理：一条弧所对18 _圆__周__角__的等于它所对19 圆周 _圆__心__角__的的一半
中考数学复习 第6章 圆 第21讲 圆的有关性质课件
第八页，共二十四页。
第九页，共二十四页。
技法点拨►(1)圆周角定理及推论的应用：①由于直径所对的圆周角是直 角，所以在圆中有直径时，常构造直径所对的圆周角，利用解直角三 角形的知识解决问题；②在圆中，常利用等弧所对的圆周角相等证明 (zhèngmíng)角相等．(2)利用圆内接四边形求角度，往往将所求角与已知 角进行等量代换，因此需要熟练掌握圆内接四边形的性质．
D
D 连接OC，由垂径定理可知，点P为CD的中点(zhōnɡ diǎn)．由AB＝ 12，且BP∶AP＝1∶5，可知OC＝6，BP＝2，OP＝4.由勾股定理， 得CD＝2CP＝
第十五页，共二十四页。
猜押预测►1.[2017·金华中考]如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下
一块C (yī kuài)高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( ) A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm
1．[2017·潍坊，10,3分]链接第21讲六年真题全练第4题． 2．[2016·潍坊，9,3分]链接第22讲六年真题全练第1题．
第十四页，共二十四页。
3．[2013·潍坊，8,3分]如图，⊙O的直径(zhíjìng)AB＝12，CD是⊙O的弦，
CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5，则CD的长为( )
第二十一页，共二十四页。
猜押预测(yùcè)►如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC
的交点分别为D，E，且 (1)试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．
第二十二页，共二十四页。
第二十三页，共二十四页。
内容(nèiróng)总结
证明：(1)∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠BED＝∠BAD＝90 °，∠BFD＝∠BCD＝90 °.
第九页，共二十四页。
技法点拨►(1)圆周角定理及推论的应用：①由于直径所对的圆周角是直 角，所以在圆中有直径时，常构造直径所对的圆周角，利用解直角三 角形的知识解决问题；②在圆中，常利用等弧所对的圆周角相等证明 (zhèngmíng)角相等．(2)利用圆内接四边形求角度，往往将所求角与已知 角进行等量代换，因此需要熟练掌握圆内接四边形的性质．
D
D 连接OC，由垂径定理可知，点P为CD的中点(zhōnɡ diǎn)．由AB＝ 12，且BP∶AP＝1∶5，可知OC＝6，BP＝2，OP＝4.由勾股定理， 得CD＝2CP＝
第十五页，共二十四页。
猜押预测►1.[2017·金华中考]如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下
一块C (yī kuài)高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( ) A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm
1．[2017·潍坊，10,3分]链接第21讲六年真题全练第4题． 2．[2016·潍坊，9,3分]链接第22讲六年真题全练第1题．
第十四页，共二十四页。
3．[2013·潍坊，8,3分]如图，⊙O的直径(zhíjìng)AB＝12，CD是⊙O的弦，
CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5，则CD的长为( )
第二十一页，共二十四页。
猜押预测(yùcè)►如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC
的交点分别为D，E，且 (1)试判断△ABC的形状，并说明理由； (2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．
第二十二页，共二十四页。
第二十三页，共二十四页。
内容(nèiróng)总结
证明：(1)∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴∠BED＝∠BAD＝90 °，∠BFD＝∠BCD＝90 °.
北师版数学九下9B教材知识梳理及中考复习 第21讲 圆的基本性质
弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个
交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.
（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.
第六单元圆
第21讲圆的基本性质
一、知识清单梳理
知识点一：圆的有关概念
关键点拨与对应举例
1.与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成
的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过
圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的
知识点二：垂径定理及其推论
2.垂径定理及其推论
定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.
推论
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
延伸
根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
1弧AC=弧BC;
②弧AD=弧BD；
③AE=Bபைடு நூலகம்;
④AB⊥CD;⑤CD是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
知识点三：圆心角、弧、弦的关系
3.圆心角、弧、弦的关系
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个
交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.
（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.
第六单元圆
第21讲圆的基本性质
一、知识清单梳理
知识点一：圆的有关概念
关键点拨与对应举例
1.与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成
的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过
圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的
知识点二：垂径定理及其推论
2.垂径定理及其推论
定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.
推论
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
延伸
根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
1弧AC=弧BC;
②弧AD=弧BD；
③AE=Bபைடு நூலகம்;
④AB⊥CD;⑤CD是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
知识点三：圆心角、弧、弦的关系
3.圆心角、弧、弦的关系
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
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