静定结构的位移计算

• 二、虚功
当作功的力与相应位移彼此相关时，即当位移是由做功的 力本身引起时，此功称为实功。上述集中力F与力偶矩M所做的 功均为实功。当做功的力与相应位移彼此独立无关时，就把这 种功称为虚功.“虚”字在这里并不是虚无的意思，而是强调做功 的力与位移无关这一特点。因此在虚功中可将做功的力与位移 看成是分别属于同一体系的两种彼此无关的状态，其中力系所 属状态称为力状态或第一状态，位移所属状态称为位移状态或 第二状态。当位移与力的方向一致时，虚功为正；相反时虚功 为负。
• 三、变形体的虚功原理
变形体的虚功原理表明：第一状 态的外力（包括荷载和反力）在 第二状态所引起的位移上所做的 外力虚功，等于第一状态内力在 第二状态内力所引起的变形上所 做的内力虚功。 即： 外力虚功W12=内力虚功
虚功原理在具体应用时有两种方式：一种是对给 定的力状态，另虚设一个位移状态，利用虚功原理求 力状态中的未知力；另一种是给定位移状态，另虚设 一个力状态，利用虚功原理求解位移状态中的未知位 移，这时的虚功原理又可称为虚力原理。本章讨论的 结构位移的计算，就是以变形体虚力原理作为理论依 据的。
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•
• •
1. 当要求某点沿某方向的线位移时，应在该点沿所求 位移方向加一个单位集中力。如图20-6a即为求A点水平位移 时的虚拟状态。 2. 当要求梁或刚架某截面的角位移时，则应在该截面 处加一个单位力偶，如图20-6b所示，即为求A截面转角的虚 拟状态。 3. 当要求结构上两点沿其连线方向上的相对线位移时， 则应在两点沿其连线方向上加一对指向相反的单位力。 4. 同理，若要求梁或刚架两截面的相对角位移，就应 在两截面处加一对方向相反的单位力偶，如图20-6d为求A、 B相对转角的虚拟状态。
当结构的各杆段符合下列条件时：（1）杆轴为直线；（2） EI=常数；（3）M和Mp两个弯矩图中至少有一个是直 线图形，则可用下述图乘法来代替积分运算，从而简化 计算工作。

MM P
第五节 图乘法
tan xc = ds = EI EI
yc
EI
如果结构上所有各杆段 均可图乘，则位移计算 公式可写为
△KP=∑
M M P ds EI
=∑
yc EI
• 应用图乘法时，应注意以下几点： • （1）图乘法的应用条件是：积分段内为同材
料等截面（EI=常数）的直杆，且Mp图和M图 中至少有一个是直线图形。 • （2）竖标yc必须取自直线图形，而不能从折 线和曲线中取值。 • （3）当M图与Mp图在杆轴同一侧时，其乘积 ωyc取正号，异侧时，其乘积ωyc取负号。 • （4）若Mp图是曲线图形，M图是折线图形， 则应当从转折点分段图乘，然后叠加。
•
有时，当桁架结构杆件较多时，可把计算列成表 格进行，便于直观表示。上例如果列成表格进行，详 见表20-1。 表20-1 例20-3的计算表
1 2
杆 件 AC
l
(m)ห้องสมุดไป่ตู้
F 2
2l
FN

1 2
m） FNP（kN） F NFNP （ l kN·
1 2
上弦
2 2
2F P 2
2 F l 2
F l 4
• 如果结构只受到荷载作用，不考虑支座位移的影响时，则式
（20-2）可简化为：
第四节 静定结构在荷载作用下的位移计算
△K= Md + F Qd + F Ndu
d
、 、
= M P ds
EI
d =γds=k
FQP GA
ds
FN du= EA ds
用△KP表示由荷载引起的K截面的位移。得： △KP= M M P ds + k
M ds MEI
=
2 EI

l 2 0
x ql 1 2 = 5q l x qx dx 384EI 2 2 2
4
（↓）
= 计算结果为正，说明C点竖向位移的方向与虚拟单位力的方向相 同，即方向向下。 = ⑵ 求φB 在B点加一单位力偶，得虚拟状态如图 c所示, M和 MP如下： x M =－ l
第三节 结构位移计算的一般公式
•
设图20-5a所示平面杆系结构由于荷载、温度变化 及支座移动等因素引起了如图虚线所示变形，现在要 求任一指定点K沿任一指定方向k－k上的位移△K。
• 外力虚功为：
c W=FPK△K+ Rc 3 3=△K+ 11 + R Rc 22+ Rc 单位荷载FPK=1所做的虚功在数值上恰好就等于所要求的 位移△K。 内力虚功为 + F Qd + F Ndu W＇= Md 由虚功原理W=W＇有 1· △K+ Rc = Md + F Qd + F Ndu 可得
5. 当要求桁架某杆的角位移时，则应加一单位力偶，构 成这一力偶的两个集中力，各作用于该杆的两端，并与杆轴垂直， 其值为1/d，d为该杆长度。如图20-6e即为求①杆转角时的虚拟状 态。 6. 同理，若要求桁架中两根杆件的相对角位移，则应加 两个方向相反的单位力偶，如图20-6f即为求①、②杆相对转角的 虚拟状态。
FN
CV
F N FNP l EA 2 F 1 1 F 1 2 2l 2 l 2 2 EA 2 2 EA 2 F l 1 F l 2 1.914 （↓） EA 2 EA
由此可知，功包含了两个要素——力和位移。做功的力可以是一 个力，也可以是一个力偶，有时甚至可能是一对力或一个力 系，统称为广义力；位移可以是线位移也可以是角位移，即 为广义位移。因此，功可以统一表示为广义力和广义位移的 乘积，即： W=F· △
由物理学还可知，当广义力F与相应广义位移△方向一致时， 做功为正；两者方向相反时，做功为负 功是一个标量，它的常用单位是kN· m，N· m。
第一节 概 述 • 一、杆系结构的位移
杆系结构在荷载或其它外界因素作用下，其形状一般会发生 变化（简称变形）。结构上各点的位置将会发生移动，杆件
横截面也发生转动。这种移动和转动称为结构的位移。
线位移 水平线位移 竖向线位移 角位移或转角
相对角位移
相对线位移
• 二、计算位移的目的
•
1. 校核结构的刚度，即验算结构的位移是否超过允许 限值。例如，在设计吊车梁时，为了保证吊车能正常行驶， 规范中对吊车梁产生的最大挠度限制为梁跨度的 ～。因此 为了验算结构的刚度，需要计算结构的位移。 2. 在结构的制作、架设、养护过程中，有时需要预先 知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需 要进行位移计算。 3. 为超静定结构的弹性分析打下基础。在弹性范围内 分析超静定结构时，除了需考虑平衡条件外，还需考虑变形 条件，因此需计算结构的位移。 本章讨论线性弹性变形体系的位移计算。线性弹性变形 体系指的是位移与荷载成正比的体系，并且当荷载全部撤除 时，由荷载引起的位移将完全消失。满足这种体系的具体条 件是：体系应是几何不变的，应力与应变应当符合虎克定律， 因而位移必须是微小的。
• • •
第二节 变形体的虚功原理
• 一、功 广义力和广义位移
如图20-2a所示，在常力F的作用下物体从A移到A‘（即虚线位置置） 在力的方向上产生线位移△，由物理学知，F与△的乘积称为力F在 位移△上做的功，即W=F· △.又如图20-2c，常力偶所做的功等于力 偶矩与角位移的乘积,W=M· θ
，
BC段： AB段： △CH=
M =0 M=
M =－FP x1
x2

l 0
M =－F
P
l
(→)
M ds MEI =
3 x 2 (- F l ) F l dx 2=－ 2 EI 4EI
⑵ 求
C
MP=－FP 1 MP =－FP l
在C截面加一单位力偶M=1，如图c所示 BC段： AB段：
MP =
ql x 2
－
1 2 qx 2
B =
M MEI
P
ds
=
1 EI
q l3 x ql 1 2 x qx dx =－ 0 24EI 2 l 2
l
( )
• 例20-2 试求图a所示结构C端的水平位移△CH和角位移φc。
解 ⑴ 求△CH 在C截面加一水平方向单位 力FP=1，如图b所示，并分别 设AB段以B为原点，BC段以C 为原点，实际荷载和单位荷载 所引起的弯矩分别为。
下弦 竖杆
AD CD
l l
0
FP
( 2
0
2 1 ) F l 4
•
由于对称，最后计算时将表中的总和值乘2，但由 于CD杆只有一根，故应减去由于乘2多计算了的该杆数 值，于是计算式如下：
CV=
F N FNP l = EA
2( 2 1 ) F l 0 1 F l 2 4 ( 2 ) EA 2 EA
• （5）若为阶形杆则应当从截面变化点分段图乘，
然后叠加。
（6）若EI沿杆长连续变化，或是曲杆，则必须 积分计算
F N FNP l F N FNP ds = EA EA
对于组合结构，对其中的受弯杆件可只计弯矩一项的影响， 对链杆则只有轴力影响，故其位移计算公式可写为：
M
•
△KP=
M ds MEI
+
F N FNP l EA
在曲梁和一般拱结构中，杆件的曲率对结构变形的影响都很小， 可以略去不计，其位移仍可近似地按式（20-5）计算，通常只需 考虑弯曲变形一项的影响也足够精确。但在扁平拱中，除弯矩外， 有时尚需考虑轴力对位移的影响。
• • • • • • •
第二十章 静定结构的位移计算
第一节 概 述 第二节 变形体的虚功原理 第三节 结构位移计算的一般公式 第四节 静定结构在荷载作用下的位移计算 第五节 图乘法 第六节 静定结构在支座移动时的位移计算 第七节 线弹性体系的互等定理 主要任务： 1 学会用单位荷载法计算静定结构的位移。 2 熟练掌握图乘法计算梁和刚架的位移
M
=－1 ，
M =－1 ，
l 1(- F x1 ) l 1(- Fl ) M M P dx1 + C = dx2 ds = 0 0 EI 2 EI EI F l 2 = EI ( )
•
例20-3 求图所示桁架结点C的竖向位移△CV。各 杆EA=常数。 解 为求C点竖向位移，在C点加一 竖向单位力，如图b。分别求出实 际荷载与单位荷载引起的各杆轴力 FNP与 FN如图a、b所示，然后根据 式（20-7）计算得
EI
F Q FQP GA
ds

F N FNP ds （20-5） EA
中
上式即为平面杆系结构在荷载作用下的位移计算公式。式 各符号的意义 .
• 式右边三项分别代表结构的弯曲变形、剪切变形和轴向变形
对所求位移的影响。在实际计算中，根据结构的具体情况， 常常可以只考虑其中的一项（或两项），例如对于梁和刚架， 位移主要是弯矩引起的，轴力和剪力的影响很小，一般可以 略去，故式可简化为： △KP= M M ds EI 在桁架中，因只有轴力作用，且同一杆件的轴力 、 FNFNP及EA 沿杆长均为常数，故式（20-5）可简化为： △KP=
例20-1 试求图a所示简支梁中点C的竖向位移△CV和B截面的转 角φB。EI=常数。 解 ⑴ 求△CV 在C点加一竖向单位力，得 虚拟状态如图b所示，对AC 段，以A为原点，M 及MP 方程如下：
x M = 2
ql 1 2 x MP= 2 － 2 qx
• 因为对称，所以由公式（20-6）得
△CV=
△K= Md － Rc + F Qd + F Ndu 这便是平面杆件结构位移计算的一般公式。
•
这种利用虚功原理，在所求位移处沿所求位移方向 虚设单位荷载（FPK=1）求结构位移的方法，称为单位 荷载法。应用这个方法每次只能求得一个位移。在虚设 单位荷载时其指向可以任意假设，如计算结果为正，即 表示位移方向与所虚设的单位荷载指向相同，否则相反。 单位荷载法不仅可以用于计算结构的线位移，而且可 以计算任意的广义位移；只要所设的广义单位荷载与所 计算的广义位移相对应即可。这里的“对应”是指力与 位移在做功的关系上的对应，如集中力与线位移对应， 力偶与角位移对应等等。下面讨论如何按照所求位移类 型的不同，设置相应的虚拟状态。