微积分 第二章 第一节 数列的极限

几何解释：
a
2 a
a2 a1 aN 1 a aN 2 aN x
当n N时, 所有的点an都落在(a , a )内, 至多只有有限个( N个) 落在其外.
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极限定义的辨析：
lim
n
an
a：
0, N 0, 使n N时, 恒有 | an a | 2 .
N 0, 对 0，使n N时, 恒有 | an a | .
an
a,
或
an a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：1. 不等式| an a | 刻画了an 与a 的无限接近;
2. N一般与任意给定的正数 有关.
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“ N”定义:
lim
n
an
a：
0 , 正整数N ，使当n N 时 , 恒有 | an a | .
其中 : 每一个或任给的; : 至少有一个或存在.
定理2 收敛的数列必定有界.
注1 有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件. 有界数列不一定收敛. 例如：xn (1)n .
注2 无界数列必定发散. 例如：xn 2n.
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性质3 收敛数列的保号性
定理3
设
lim
n
an
a, 且a
0
(a
0), 那 么 存 在
正 整 数N 0, 当n N时, 都 有an 0 (an 0).
,
只要 n N 时,
恒有 | an 1 | 成立.
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定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正整数N,使得对于 n N 时的一切 an ,不等式
| an a | 都成立, 那么就称常数 a 是数列{an } 的极限,
或者称数列 {an } 收敛于 a,记为
lim
n
0.9910000 2.2 1044 ; 0.9920000 5.11088
由此猜想 lim 0.99n 0 . n
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例3 证明lim0.99n 0 . n
证 0 , 欲使 | 0.99n 0 | , 只要 0.99n ，即 n log 0.99 ，取 N [log 0.99 ] ,
递推公式an1 3 an 说明：1. 数列对应着数轴上一个点列.可看作一
动点在数轴上依次取 a1 , a2 ,, an ,.
a2 a1 a3 a4 an
2. 数列是整标函数 an f (n).
7
二、数列极限的定义
观察数列{1 (1)n1 } 当 n 时的变化趋势. n
2, 1 , 4 , 3 , 6 , 5 , , 1 (1)n1 ,
|
1 n
,
9
| an
1|
|
(1)n1
1 n
|
1 n
给定
1, 100
由
1 n
1, 100
只要 n
100时,
有|
an
1|
1 ,
100
给定 1 , 1000
只要 n 1000时,
有
|
an
1
|
1 1000
,
给定 1 , 10000
只要
n
10000时,
有
|
an
1
|
1 10000
,
任意给定 0,
取
N
1
2
第一节 数列的极限
一、数列概念
1.割圆术
我国古代数学家刘徽在《九章算术注》利 用圆内接正多边形计算圆面积的方法——割圆 术，就是极限思想在几何上的应用.
3
割之弥细， 所失弥少，割 之又割，以至 于不可割，则 与圆合体而无 所失矣.
三国时的刘徽提出的“割圆求周”的方法.他把圆周分
成三等分、六等分、十二等分、二十四等分 ···这样继续 分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长.
只要 1 ,
n
或n 1,
取
N
1
,
则当 n N 时,
就有 | n (1)n1 1 | ，即得证
n (1)n1
lim
1.
n
n
n
14
例2 证明lim 2n 2 . n n 1
证 0 , 欲使 2n 2 ,
n1
即
n
2
1，取
N
2
1
,
则当 n N 时, 就有 2n 2 ，
极限的理论和方法是阐述微积分的概念和方法 的工具，是整个微积分学的理论基础.
1
本章介绍极限的概念、性质和运算法则以及 与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起 重要作用的无穷小量的概念和性质. 此外还给出 了两个极其有用的重要极限. 随后，运用极限引 入了函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存 在的连续变化这一现象的数学描述，微积分学中 讨论的函数主要是连续函数.
在16 ~ 17世纪 ， 随着生产实践和科学技术的发 展，迫切需要解决以下几个问题：寻求曲线的切线， 确定物体运动的速度，计算平面曲边图形的面积和 空间中表面弯曲的立体的体积等.在这些问题面前， 初等数学的概念和方法已无能为力，急切要求数学 突破研究常量的传统，提供能用以描述和处理运动 及变化过程的新理论和新方法——变量数学，而微 积分作为变量数学的主体，随之而生.
推论 如果数列{an } 从某项起恒有an 0 (或an 0 ），
且
lim
n
an
a
，那么a
0
(或a
0
)
注
即使数列{an }
从某项起恒有an
0
，且lim n
an
a
，
也只能得到a 0 ，而不能得到a 0 .
例如
，数列
1
n
恒正，但
1 lim n n
0.
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四、小结 练习题
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 唯一性、有界性、保号性.
n1
即证得 lim 2n 2 . n n 1
2n 2n 2
n1
2
n1
15
【实验】 用计算器计算
0.991000 , 0.995000 , 0.9910000 , 0.9920000 ,
由此猜想数列 {0.99n }的极限(保留两位有效数字)．
解 由计算器可算得
0.991000 4.3 105 ; 0.995000 1.5 1022 ;
则当 n N 时, 就有 | 0.99n 0 | ，
即证得 lim0.99n 0 . n
练习 证明 limqn 0,其中| q | 1. n 17
证明: lim qn 0,其中| q | 1. n
证 任给 0, 若q 0, 则 lim qn lim 0 0;
n
n
若0 | q | 1, | qn 0 | | qn | , nln | q | ln ,
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练习题
一、 利用数列极限的定义证明:
1．lim 3n 1 3 ；
n 2n 1 2
2．lim0.999....9 1
n
二、
设数列
xn
有界，又lim n
yn
0，
证明：lim n
x
n
y
n
0.
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n ln ,
ln | q |
取N
ln ln |
q
|
,
则当 n N 时, 就有 | qn 0 | ,
limqn 0 . n 18
三、收敛数列的基本性质
性质1 极限的唯一性 定理 1 若数列{an } 收敛，则极限唯一.
例如，{1)n } 是发散的.
性质2 有界性
对于数列 {an } ，如果存在常数 M 0 ，使对一切 n，有 | an | M , 则称数列{an } 是有界的.
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2.
战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下
截
篇》引用过一句话：
杖
一尺之棰 日截其半 万世不竭.
问
题
{an }
：剩余的长度
an
1 2n
{bn } ：截去的总长度
1 bn 1 2n
{an } 1
1 2
1 4
1 8
{bn } 0
1 2
3 4
7 8
5
数列的定义
按自然数1,2,3,编号依次排列的一列数
a1 , a2 ,, an , (1)
称为无穷数列,简称数列.
其中的每个数称为数列的项， an 称为通项(一般项).
数列(1)记为{an } . 例如 2, 4, 8,, {2n }
1 , 1 , 1 ,,
(1)n1
{
}
1 35
2n 1
6
1, 1, 1,, {(1)n1}
2, 1 , 4 ,,
(1)n1
{1
}
23
n
3, 3 3,, 3 3 3 ,
对 0, 都有无穷多项an 满足不等式| an a | .
对 0, 都只有有限项 an 满足不等式| an a | .
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用数列极限的定义证明极限.
例1 证明
n (1)n1
lim
1.
n
n
证
| an
1|
|
n (1)n1 n
1|
1 n
，
任给
0,
欲使 | an 1 | ,
2 3 4 56
n
1
3 51 64
2
46
53
x
2
8
问题: 当n无限增大时, an 是否无限接近于某一
确定的数值? 如果是, 如何确定?
通过上面图示观察:
当 n 无限增大时,
an
1
(1)n1 n
无限接近于 1.
问题: “无限接近”意味着什么? 如何用数学语 言刻画它?
| an
1|
| (1)n1
1 n