15年高考真题——理科数学(浙江卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（浙江卷）

一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2|20P x x x =-≥，{}|12Q x x =<≤，则()

R P Q = ð（ ）

（A ）[)0,1 （B ）(]0,2 （C ）()1,2 （D ）[]1,2

2．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体

积是（ ）

（A ）38cm （B ）312cm （C ）3323cm （D ）3403

cm 3．已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若

348,,a a a 成等比数列，则（ ） （A ）10a d >，0n dS >

（B ）10a d <，0n dS < （C ）10a d >，0n dS < （D ）10a d <，0n dS >

4．命题“n N +∀∈，()f n N +

∈且()f n n ≤”的否定形式是（ ） （A ）n N +∀∈，()f n N +∈且()f n n > （B ）n N +∀∈，()f n N +

∈或()f n n > （C ）0n N +∃∈，()0f n N +∈且()00f n n > （D ）0n N +∃∈，()0f n N +

∈或()00f n n >

5．如图，设抛物线2

4y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线

上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ） （A ）||1||1

BF AF -- （B ）22||1||1BF AF -- （C ）||1||1BF AF ++ （D ）22||1||1

BF AF ++ 6．设,A B 是有限集，定义()()(),d A B card A B card A B =- ，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“(),0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集,,A B C ，()()(),,,d A C d A B d B C ≤+。则（ ）

（A ）命题①和命题②都成立 （B ）命题①和命题②都不成立

（C ）命题①成立，命题②不成立 （D ）命题①不成立，命题②成立

7．存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（ ）

（A ）()sin 2sin f x x = （B ）()2sin 2f x x x =+

（C ）()21|1|f x x +=+ （D ）()

22|1|f x x x +=+ 8．如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD

∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）

（A ）A DB α'∠≤ （B ）A DB α'∠≥

（C ）A CB α'∠≤ （D ）A CB α'∠≤

二．填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

9．双曲线2

212

x y -=的焦距是 ，渐近线方程是_____________。 10．已知函数()()()()2231lg 11x x x f x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩

，则()()3f f -= ，()f x 的最小

值是________。

11．函数()2

sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是_________________。

12．若2log 3a =，则22a a -+=________。

13．如图，三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，

2AD BC ==，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线

,AN CM 所成的角的余弦值是________。

14．若实数,x y 满足22

1x y +≤，则|22||63|x y x y +-+--的最小值是________。 15．已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅= ，若空间向量b 满足12b e ⋅= ，252b e ⋅= ，且对于任意,x y R ∈，()()

()12010200||||1,b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈ ，则0x = ，0y = ，||b = ________。

三．解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本题满分14分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c 。已知4A π

=，22212

b a

c -=-。⑴求tan C 的值；⑵若ABC ∆的面积为7，求b 的值。 17．（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -

中，

C 1

B 1A 1D

C

B

A

090BAC ∠=，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点。⑴证明：1A D ⊥平面1A BC ；⑵求二面角11A BD B --的平面角的余弦值。

18．（本题满分15分）已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈，记(),M a b 是()||f x 在区间[]1,1-上的最大值。⑴证明：当||2a ≥时，(),2M a b ≥；

⑵当,a b 满足(),2M a b ≤，求||||a b +的最大值。 19．（本题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12

y mx =+

对称。⑴求实数m 的取值范围；⑵求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）。 20．（本题满分15分）已知数列{}n a 满足112a =且()21n n n a a a n N ++=-∈，数列{}

2n a 的前n 项和为n S ，证明：⑴()112n n a n N a ++≤≤∈；⑵()()

()112221n S n N n n n +≤≤∈++。

2015年普通高校招生全国统考数学试卷浙江卷解答

一．CCBDA ADB

二．9．32，x y 22±=；10．0

，3；11．π，()37,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣

⎦；12

．；13．78；14．3；15．1，2

，16．解：⑴由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=，故2cos 2sin B C -=。又由4A π

=，即34

B C π+=，得cos 2sin 22sin cos B C C C -==，解得tan 2C =； ⑵由tan 2C =

得sin C =

cos C =，又()sin sin sin 4B A C C π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，

故sin 10B =

，由正弦定理得3

c =，又4A π=，1sin 32bc A =

，故bc =，故3b =。