矩阵的秩
矩阵的秩
k 2 个元素按照原来的顺序所组成的k阶行列式，称为矩阵A 的一个k阶子式。
定理3.4.3 矩阵A的秩为r的充要条件是：矩阵A中有一个 r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式全为零。
注意：要说明矩阵A的秩为r，必须找到一个r阶子式不为 零；而所有的r+1阶子式全为零。
第三章 线性方程组
定理3.4.3 矩阵A的秩为r的充要条件是：矩阵A中有一个 r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式全为零。 证明：充分性。设在矩阵A中有一个r阶子式不为零，而所 有的r+1阶子式全为零。不妨设这r阶子式在A的左上角，即 a11 a12 a1r a21 a22 a2 r ≠ 0 。由定理3.4.2知这r个行组成的向量组线
a11 a21 A= a n1 0 a12 a22 − a21 a11 a an 2 − 12 an1 a11 0 a1n a2 n − a21 a11 a ann − 1n an1 a11
=
a11 a21 a n1
0 ′ a22 ′ an 2
0 ′ a2 n ′ ann
其中
′ (0, a2 i ,
rank ( A), r ( A), R( A) 注1、 若 A = 0, 则 R( A) = 0 。 , 则 R( A) ≤ min( m , n) 。 2、 设 A = ( aij ) m× n
3、若 R( A) = m , 则称A为行満秩的矩阵； 4、若
R( A) = n , 则称A为列満秩的矩阵。
第三章 线性方程组
必要性。设矩阵A的秩为r，即矩阵A中行向量组的秩为r。 而任意r+1个行向量必线性相关，线性相关向量组的“缩短”向 下证A中 量组也线性相关，故矩阵A的任意r+1阶子式全为零。 至少有一个r阶子式不为零。 设这r个线性无关的向量正是A的前 a1n ⎞ ⎛ a11 a12 ⎜ ⎟ a2 n ⎟ ⎜ a21 a22 r个行向量，把这r个向量取出得矩阵：A1 = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ arn ⎠ ⎝ ar 1 ar 2 矩阵 A1 的行秩为r，其列秩也为r， 不妨设前r列线性无关，于
矩阵的秩
矩阵的秩: 用初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵, 则矩阵中非零行的个数就定义为这个矩阵的秩, 记为r（A）。
根据这个定义, 矩阵的秩可以通过初等行变换求得。
需要注意的是, 矩阵的阶梯形并不是唯一的, 但是阶梯形中非零行的个数总是一致的。
满秩矩阵: 设A是n阶矩阵, 若r（A）= n, 则称A为满秩矩阵。
满秩矩阵是一个很重要的概念, 它是判断一个矩阵是否可逆的充分必要条件。
将矩阵做初等行变换后，非零行的个数叫行秩将其进行初等列变换后，非零列的个数叫列秩矩阵的秩是方阵经过初等行变换或者列变换后的行秩或列秩1.方阵A不满秩等价于A有零特征值。
2.A的秩不小于A的非零特征值的个数。
如要构造一个行满秩但不是列满秩的矩阵1.显然这个矩阵的秩等于行数（行满秩）2.已知矩阵的秩无法大于行数or列数并且根据要求，这个矩阵的秩不等于列数（否则列满秩）因此矩阵的秩只能小于列数行满秩矩阵但不是列满秩矩阵比如楼上构造的的这个矩阵1 0 0 00 1 0 00 0 1 1这个矩阵的秩是3 行数是3 列数是4列数4大于秩3因此这个构造的矩阵是我们所要构造的矩阵Matlab 输入矩阵A，并求转置，逆和秩，写出特征值和特征向量悬赏分：0 - 解决时间：2008-7-5 14:21A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]提问者：ruohai6890 - 二级最佳答案》a=[1 0 0;0 1 0;0 0 1],b=a'c=rank(a)b1=inv(a)[v,d]=eig(a)end用MATLAB任意生成两个10阶矩阵A,B求A+B,A-B,A*B逆,特征值,序列式,特征向量。
悬赏分：20 - 提问时间2008-4-6 10:39如题！快快！提问者：zenmemingzi - 一级其他回答共1 条a=magic(10）%(魔方阵)b=rand(10，10）%(随机阵）a+ba-ba*binv(a*b)%逆eig(a*b)%特征值poly(a*b）%特征多项式rank（a*b）%秩det（a*b）%行列式子matlab计算矩阵最大特征值与特征向量悬赏分：20 - 解决时间：2009-5-21 17:09矩阵如下：A=[1 2 1 4 61/2 1 1/2 2 31/2 2 1 1 11/4 1/2 1 1 11/6 1/3 1 1 1]请哪位有matlab的帮我算下，给出编程和结果！不甚感谢！提问者：adamzyz - 一级最佳答案A=[1 2 1 4 61/2 1 1/2 2 31/2 2 1 1 11/4 1/2 1 1 11/6 1/3 1 1 1] ;[x,lumda]=eig(A);r=abs(sum(lumda));n=find(r==max(r));max_lumda=lumda(n,n)max_x=x(:,n)得到结果：max_lumda =5.2386max_x =0.78060.39030.37880.22980.2050矩阵的秩悬赏分：5 - 解决时间：2010-1-16 02:43-2 1 0 3 1 21 1 1 -2 1 00 1 3 0 -2 10 4 5 -1 1 3要过程谢谢提问者：214601038 - 二级最佳答案-2 1 0 3 1 21 1 1 -2 1 00 1 3 0 -2 10 4 5 -1 1 3变为0 3 2 -1 3 2 （第一行加第二行2倍）1 1 1 -2 1 00 1 3 0 -2 10 4 5 -1 1 3变为1 1 1 -2 1 0 （换行）0 1 3 0 -2 10 3 2 -1 3 20 4 5 -1 1 3变为1 1 1 -2 1 00 1 3 0 -2 10 0 -7 -1 9 -1 （第3行减去第2行的3倍）0 0 -7 -1 9 -1 （第4行减去第2行的4倍）变为1 1 1 -2 1 00 1 3 0 -2 10 0 -7 -1 9 -10 0 0 0 0 0所以矩阵秩为3a=magic(10);b=rand(10,10);a+b;a*b;inv(a*b);eig(a*b);poly(a*b);rank(a*b);det(a*b)唯一解的话AX=b，解法：X=A\bA，X，b都是矩阵matlabX=A\bJT=(CT*E)'\E'解答5：四阶R-K求常微分方程初值的C语言编程悬赏分：50 - 解决时间：2009-10-29 12:58y ’（t）=f（t,y)y(a)=y。
2.7 矩阵的秩
注：若n阶方阵A可逆的充要条件为A为满秩.
1 2 3 0 0 1 0 1 r ( A) 3; A 0 0 1 0
1 2 0 1 r ( B ) 2; B 0 0
1 1 2 C 0 1 1 r (C ) 3 0 0 2
§2.7 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念 定义 在 m n 矩阵 A中，任取 k 行 k 列 k min{ m , n} , 位于这些行与列交叉处的 k 2 个元素，依照它们在 A 中的位置次序不变而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的一个 k 阶子式.
k k m n 矩阵共有 CmCn 个 k 阶子式.
设A为一个mn矩阵, 当A=O时, 它的任何子式都 为零; 当AO时, 它至少有一个元素不为零, 即它 至少有一个一阶子式不为零. 这时再考察二阶子式 如果A中有二阶子式不为零, 则往下考察三阶子式, 依此类推, 最后必达到A中有r阶子式不为零, 而再 没有比r更高阶的不为零的子式. 这个不为零的子式 的最高阶数r, 反映了矩阵A内在的重要特性, 在矩阵 的理论与应用中都有重要意义.
A,B,C都是满秩矩阵
定理 矩阵经初等变换后, 其秩不变.
证: 仅考察经一次初等变换的情形. 设矩阵 Amn 经初等变换变为 Bmn , 且 r ( A) r , r ( A) r2 1
当对A施以互换两行或以某行非零数乘某一行的变换时, 矩阵B中任何r 1 阶子式等于某一非零数c与A的某个r 1 1 1 阶子式的乘积, 其中c=1或其它非零数. 因为A的任何 r1 1 阶子式皆为零, 因此B的任何 r1 1阶子式也都为零.
3．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵 可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用 伴随矩阵求逆矩阵.
2-6矩阵的秩
§2.6矩阵的秩一、矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、线性方程组解的存在性等问题的重要工具.从上节已看到，矩阵可经过初等行变换化成行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的.这个数就是矩阵的“秩”.鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵秩的方法.定义1设A =(a ij )m ×n ，从A 中任意选定k 行、k 列（1≤k ≤min{m ,n }），位于这些行和列交叉处的k 2个元素，保持它们原有的相对顺序所构成的k 阶行列式，称为矩阵A 的一个k 阶子式.例如，矩阵中的第一、二行与第二、三列交叉处的元素构成的二阶子式为.根据定义，A 中的任意一个元素都是A 的一个一阶子式.A 的k 阶子式共有C km ·C kn 个(1≤k ≤min{m ,n }).且若m =n ，即A 为方阵，则|A |是A 的一个n 阶子式.当A ≠O 时，它至少有一个一阶子式不为零.定义2设A =(a ij )m ×n ，如果存在A 的r 阶子式不为零，而任何r +1阶子式（如果有的话）皆为零，则称数r 为矩阵A 的秩，记为R (A )，并规定零矩阵的秩为零.例如，在矩阵中，有一个三阶子式而所有的四阶子式显然都为零.因此R (A )=3.根据秩的定义容易得到如下结论：(1)R (A m ×n )=0的充分必要条件是A =O ;(2)0≤R (A m ×n )≤min{m ,n };(3)如果A 中有一个r 阶子式不为零，则R (A )≥r ;(4)R (A T)=R (A ),R (k A )=R (A )(k ≠0);(5)分块矩阵的秩不小于它的各子块的秩.如R (A ┊B )≥R (A ),R (A ┊B )≥B ;(i ,j =1,2)等;(6)(7)行（列）阶梯形矩阵的秩等于它的非零行（列）的行（列）数.如果R (A m ×n )=m ，则称A 为行满秩矩阵；如果R (A m ×n )=n ，则称A 为列满秩矩阵；如果R (A n )=n ，则称A 为满秩矩阵.由上面的讨论知，利用定义计算矩阵的秩，需要由高阶到低阶考虑矩阵的子式，当矩阵的行数与列数较高时，按定义求秩是非常麻烦的.由于阶梯形矩阵的秩很容易判断，而任意矩阵都可以经过有限次初等变换化成阶梯形矩阵，因而可考虑借助初等变换法求矩阵的秩.二、用初等变换法求矩阵的秩定理6.1若A →B ，则R (A )=R (B ).*证明先考虑经一次初等行变换的情形.设A 经一次初等行变换后化成了B ，R (A )=s ，且A 的某个s 阶子式D ≠0.当或时，在B 中总能找到与D 相对应的s 阶子式D 1，由于D 1=-D 或D 1=kD ，因此D 1≠0，从而R (B )≥s .当时，由于对变换结论成立，因此只需考虑这一特殊情形，分两种情况讨论：(1)A 的s 阶非零子式D 不含A 的第一行，这时D 也是B 的一个s 阶非零子式，故R (B )≥s ;(1)D 包含A 的第一行，这时把B 中与D 对应的s 阶子式D 1记为其中r 1+kr 2表示D 1的第一行，r p 表示D 1的第二行，…，r q 表示D 1的最后一行.其余类推.若p =2,则D 1=D ≠0；若p ≠2，则D 2也是B 的s 阶子式，由D 1-kD 2=D ≠0知D 1与D 2不同时为零.总之，B 中存在s 阶非零子式D 1或D 2.故R (B )≥s .以上证明了若A 经一次初等行变换变为B ，则R (A )≤R (B ).由于B 亦可经一次初等行变换变为A ，故也有R (B )≤R (A )，因此R (A )=R (B ).由经一次初等行变换后矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换后矩阵的秩不变.同理可证得经有限次初等列变换后矩阵的秩不变.总之，若A 经有限次初等变换后变为矩阵B (即A →B )，则R (A )=R (B ).由此可得利用初等变换求矩阵A 的秩的方法：对A 施行初等行（列）变换化成行（列）阶梯形，行（列）阶梯形矩阵中非零行（列）的行（列）数就是A 的秩.例1求矩阵A 的秩解因为所以R(A)=3.由于每个矩阵都有等价的标准形，由此可得:定理6.2矩阵A与B等价的充分必要条件是它们有相同的标准形.证明必要性.设A的标准形为B的标准形为因A≅B,由等价的传递性知≅，故r=s.即A与B有相同的标准形.充分性.因A与B有相同的标准形，由等价的传递性知A≅B.推论A≅B的充分必要条件是R(A)=R(B).证明必要性是显然的.充分性，因R(A)=R(B)，所以A与B有相同的标准形，从而A≅B.例2设B为m阶满秩矩阵，A为m×n阶矩阵，试证R(BA)=R(A).证明因B为满秩矩阵，故B可表示成有限个初等矩阵的乘积，即B=P1P2…P s,(i=1,2,…,s)为初等矩阵.从而其中PiBA=P1P2…P s A.此式表明BA是A经有限次初等行变换后所得的矩阵，因而有R(BA)=R(A).注同理可得:阶矩阵，则R(AB)=R(A);(1)若B为n阶满秩矩阵，A为m×n(2)若B，C分别为m阶及n阶满秩矩阵，则R(BA C)=R(A).。
线性代数§3.3矩阵的秩
设A为n阶可逆方阵. 因为| A | 0, 所以, A的最高阶非零子式为| A |, 则R(A)=n.
故, 可逆方阵A的标准形为单位阵E, 即A E. 即可逆矩阵的秩等于阶数. 故又称可逆(非奇异)矩 阵为满秩矩阵, 奇异矩阵又称为降秩矩阵. 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 , b , 例5:设 A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 求矩阵A和矩阵B=(A | b)的秩. 分析: 设矩阵B的行阶梯形矩阵为B=(A| b), 则A就是A的行阶梯形矩阵. 因此可以从B=(A| b)中同时考察出R(A)及R(B).
性质6: R(A + B) R(A) + R(B). 证明: 设A, B为mn矩阵, 对矩阵(A+B ¦ B)作列变 换: ci – cn+i (i =1,2, · · · , n)得, (A+B ¦ B) (A+O ¦ B) B) R(A) + R(B). 于是, R(A+B) R(A+B ¦ B) =R(A+O ¦ 性质7: R(AB) min{R(A), R(B)}. 性质8: 若AmnBnl =O, 则R(A)+R(B) n . 这两条性质将在后面给出证明. 例7: 设A为n阶方阵, 证明R(A+E)+R(A–E) n . 证明: 因为(A+E)+(E–A)=2E, 由性质6知, R(A+E)+R(E–A)R(2E)=n, 而R(E–A)=R(A–E), 所以 R(A+E)+R(A–E) n .
§3.3 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念
由上节讨论知: 任何矩阵Amn, 总可以经过有限次 初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和标准形矩阵. 行阶梯形矩阵中非零行的行数, 也就是标准形矩阵中 的数字r 是唯一确定的. 它是矩阵理论中非常重要的数 量关系之一——矩阵的秩. 定义: 在mn矩阵A中任取 k 行 k 列( km, kn ), 位于这 k 行 k 列交叉处的 k2个元素, 不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式, 被称为矩阵A 的k阶子式. k C k 个. mn矩阵A的k阶子式共有 C m n
矩阵的秩
第一章 矩阵的秩矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型; 线性变换等问题的密切的联系.1 矩阵的秩的定义及简单的公式1.1 矩阵的秩的定义定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.定义2设()n m a A ij ⨯=有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()A R 或。
定义3 矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A 的秩． 矩阵A 的秩为r ，记为()r A R =.特别，零矩阵的秩()00=R1.2 矩阵的秩的几个简单性质性质1 ()0=A r , 当且仅当A 是零矩阵 性质2 ()n A r =, 当且仅当|A |≠0性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则()}{n m A r ,min 0≤≤ 性质4 ()()()B r A r B A r +≤+性质5 ()()TA rank A rank =1.3矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．例设6117404112901316124223A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭, 求秩(A) 解 A →1290404161171316124223-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭→1290084010115570525108403-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭→12900151015711015150153-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→12900151000458800034000014-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭所以()3R A =.第二章 矩阵的秩的相关问题1 矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用向量组的线性相关性是线性代数中一个较为抽象的概念, 它既是线性代数的重点, 又是一个难点。
矩阵的秩的定义
矩阵的秩的定义矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它描述了矩阵中线性无关的行或列的个数。
矩阵秩的定义可以通过矩阵的行阶梯形式来描述，即将矩阵化简为上三角形式时，非零行的个数就是矩阵的秩。
矩阵的秩在很多应用中都扮演着重要的角色。
首先，在线性方程组的求解中，矩阵的秩可以用来判断方程组的解的情况。
当矩阵的秩等于方程组的未知数个数时，方程组有唯一解；当矩阵的秩小于方程组的未知数个数时，方程组有无穷多解；当矩阵的秩小于方程组的未知数个数时，方程组无解。
在线性映射和线性变换中，矩阵的秩也起着重要的作用。
对于一个线性映射或线性变换，矩阵的秩等于其定义域的维数和值域的维数中的较小值。
这个结论可以用来判断线性映射或线性变换是否是一一对应的。
在求解矩阵的逆和矩阵的特征值等问题中，矩阵的秩也是一个重要的参考指标。
矩阵的逆存在的充分必要条件是矩阵的秩等于其行（或列）的个数；而矩阵的特征值的个数等于矩阵的秩。
矩阵的秩还与矩阵的行列式有密切的关系。
对于一个n阶矩阵，它的秩r等于其非零行列式的最高次数。
这个结论可以用来求解矩阵的秩，特别是对于较大的矩阵，可以利用行列式的性质来简化计算。
总结来说，矩阵的秩是一个非常重要的概念，它在线性代数中有着广泛的应用。
通过矩阵的秩，我们可以判断线性方程组的解的情况，判断线性映射或线性变换是否是一一对应的，求解矩阵的逆和矩阵的特征值等等。
了解和掌握矩阵的秩的定义和性质，对于深入理解线性代数的基本概念和方法是非常重要的。
希望通过这篇文章的阐述，读者能够对矩阵的秩有一个清晰的认识，并在实际问题中能够灵活运用矩阵的秩来解决各种线性代数相关的问题。
通过深入理解矩阵的秩的定义和性质，读者可以更好地理解线性代数的基本概念和方法，从而提高数学思维能力和问题解决能力。
矩阵的秩
D3
1 6 0 4 0 6
4
2 7
D6 7 4 42 Nhomakorabea高 等 代 数
●矩阵的秩的概念
定义2.5.2 矩阵A中所有不为零的子式的最高阶数，称为 矩阵A的秩，记作 R(A) 或 r(A)。 如果 R(A)=r，则 A 中至少有一个 r 阶子式不等于零，
高 等 代 数
定理2.5.2 n阶矩阵A可逆的充要条件是R(A)=n
定理2.5.3 n阶矩阵A可逆的充要条件是方阵A满秩序。
定理2.5.4 一个方阵满秩的充要条件是它能表示为初等矩阵的乘积
高 等 代 数
所有高于 r 阶的子式都为零。
例如
1 2 3 A 2 2 1 3 4 4
因为 所以
高 等 代 数
A 0
1 2 2 0 2 2
R( A) 2
1 3 2 2 0 2 1 3 的秩. 例 求矩阵A= 2 0 1 5 解: 因为 1 3 2 0, 计算A的3阶子式. 0 2 1 3 2 0 2 1 0, 2 0 1 1 2 2 0 1 3 0, 2 1 5 1 3 2 0 2 3 0, 2 0 5 3 2 2 2 1 3 0. 0 1 5 所以, R(A)=2.
高 等 代 数
●利用矩阵的初等变换求矩阵的秩
定理2.5.1 设矩阵A经过初等变换化为B，则A有不等于零的 K阶子式当且仅当B有不等于零的K阶子式 推论2.5.1 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
初等变换求矩阵秩的方法: 用初等行变换把矩阵变成 为行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是 矩阵的秩.
一、矩阵的秩概念 二、矩阵的秩求法
第三节矩阵的秩
1 0 3 6
1 2 3 4 1 0 5 1
r2 2 r1 r3 2 r1
r4 3 r1
1 0 0 0
2 0 0 0
2 4 2 61 2 1 3r2 2 r3 r 2
r4 3 r2
1 0 0 0 1 0 0 0
1 2 r2 r3 3 0 ~ r1 2 r 2 0 0
0 1 0 0
1 3 2 3 0 0
0 0 1 0
16 9 1 9 , 1 3 0
最后一个行阶梯形矩阵具有下述特性： 每一个非零行的第一个非零元素均为1，且含这些元素的 列的其它元素都为0. 这个矩阵称为矩阵A的行最简形
4 3 1 0
1 1 5 5
4 1 3 0
r1 r4 r2 r4 r3 2 r1 r4 3 r1
1 0 0 0
6 4 12 16
4 3 9 12
1 1 7 8
1 11 12 4
矩阵I称为A的标准形，其特点是：I的左上角是一个r 阶单位阵 ( r R ( A )), 其它元素都是0. 可见若 A ~ B ， 则A与B有相同的标准形.
特别地，当A为n阶方阵且 A 0 时, 可知 R ( A ) n , 故A的标准形为单位阵E，即 A ~ E . 因此称行列式值 不为零的方阵为满秩方阵; 称行列式值为零的方阵为 降秩方阵
从这个行阶梯形矩阵不仅可看出矩阵的秩. 继续施行 初等行变换，还可化为最简单的形式：
1 0 0 0 2 3 0 0 1 2 0 0 0 2 3 0 2 1 1 0
1 1 r2 0 3 ~ 1 r3 3 0 0
矩阵的秩及求法
矩阵的秩及求法矩阵是线性代数中重要的概念，它有许多重要的性质和应用。
其中，矩阵的秩可以用来描述一个矩阵的性质，是矩阵理论中的重要概念之一。
本文将介绍矩阵的秩及求法。
1. 矩阵的秩矩阵的秩是描述矩阵线性无关的最大列数或行数，可以用来判断矩阵的特征和性质。
矩阵的秩可以分为列秩和行秩，两者是相等的。
当矩阵的行秩或列秩为r时，称该矩阵的秩为r，用rank(A)表示。
矩阵的秩可以看作是矩阵中某个部分的线性独立数量，它可以影响到方程组的解的数目，同时也可以影响到矩阵的行列式的值，因此矩阵的秩是矩阵理论中非常重要的一个概念。
求矩阵的秩是矩阵理论中常见的问题之一，有许多的求法。
下面我们将介绍几种常用的求法。
2.1 高斯消元法高斯消元法是求解矩阵秩的一种常用方法。
具体操作步骤如下：1）将矩阵A转化为行阶梯形矩阵U。
2）计算矩阵U中非零行的数量，这个数量就是矩阵A的秩。
例如，对于如下的矩阵：$$\left[ \begin{matrix}1&2&1\\2&2&-1\\-1&-1&2\end{matrix} \right]$$非零行的数量为3，因此该矩阵的秩为3。
2.2 奇异矩阵判定法奇异矩阵是指矩阵的行列式为0的矩阵。
如果一个矩阵是奇异矩阵，则其秩为小于矩阵的维数。
因此，我们可以通过判断矩阵的行列式是否为0来快速判定矩阵是否是奇异矩阵。
其行列式可以计算得到：$det(A)=-1$，因此该矩阵不是奇异矩阵，秩为3。
2.3 矩阵的基变换法我们可以进行列基变换，将其转化为：3. 总结矩阵的秩是描述矩阵线性无关的最大列数或行数。
我们可以通过高斯消元法、奇异矩阵判定法、矩阵的基变换法等方法来求解矩阵的秩。
在实际问题中，矩阵的秩有着重要的应用价值，例如矩阵的逆矩阵等。
矩阵的秩
§3.4 矩阵的秩
定理4 矩阵的行秩＝矩阵的列秩．
证明：设 A (aij )sn，A的行秩＝r，A的列秩＝r1， 下证 r r1． 先证 r1 r ．
设A的行向量组为 i (ai1,ai2 , ,ain ), i 1, 2, , s 则向量组 1,2 , ,s ,的秩为r， 不妨设 1,2, ,r是它的一个极大无关组， 于是 1,2 , ,r 线性无关，
定义 在一个 s×n 矩阵 A 中任意选定 k 行 k 列
1 k min(s,n) , 位于这些行和列的交点上的 k 2
个元素按原来次序所组成的 k 级行列式，称为矩阵 A的一个k级子式．
注 s n 矩阵 A 的 k 级子式共有 CskCnk 个.
§3.4 矩阵的秩
定理6 矩阵 A 的秩为 r 的充要条件是 A中有一
a21
x1
a22
x2
a2n xn 0
()
an1 x1 an2 x2 ann xn 0
()有非零解 系数矩阵A (aij )nn的行列式 A =0 R( A) n.
()只有零解 A 0 R( A) n.
§3.4 矩阵的秩
推论2
a11 a21
A1
a12
a22
a1n a2n
ar1 ar2
arn
的行秩 r （未知量的个数）.
§3.4 矩阵的秩
从而在矩阵 A1 的行向量组 (a11,a21, ,ar1, ),(a12 ,a22 , , ar 2 ), ,(a12 , a2n , , arn )
a22
由归纳假设，矩阵
矩 阵 的 秩
即
R(A E) R(A 4E) n
(1.2)
又 ( A E)( A 4E) A2 3A 4E O ，由性质9，得
R(A E) R(A 4E) n
(1.3)
所以
R(A E) R(A 4E) n
性质10 设A 为n(n≥2)阶矩阵，则
n,若R( A) n R( A) 1,若R( A) n 1
个k
阶子式。
定义2 若矩阵A 中存在一个r 阶子式Dr 不等于 零，而所有的r+1阶子式(如果存在的话)全等 于零，则不等于零的r 阶子式Dr 称为矩阵A 的最高阶非零子式。
定义3 矩阵A 的最高阶非零子式的阶数 称为矩阵A 的秩，记为R(A)。
例1 求矩阵
1 1 3 0
(A
B)
2 121 1 1 5 2
性质5 设A 为m ×n 矩阵，P 为m 阶可逆矩阵，Q
为n 阶可逆矩阵.则R(PAQ) R(PA) R( AQ) R( A)
1 1 1
例4
设4×3矩阵A
的秩R(A)=2，A
0 0
2 0
2 3
，试求R(AB)。
解 显然B 为可逆矩阵，则R(AB)=R(A)=2。
性质6 设A 为m ×s矩阵，B 为m ×t矩阵，
0 0 7
1
1
4
3
0
0
7
4
1 1 3 1
r3 r2
r4 r2
0 0 7 4
0 0 0
则R(A)=2
0
0
0
0
(2)因为R(A)=2<3，所以R(A* )=0，则A* =O.
线性代数
1 1 3 1
例6
设四阶矩阵
矩阵的秩公式
矩阵的秩公式
矩阵的秩公式是一种数学工具，用于确定矩阵的秩。
秩是描述矩阵中非零行的最大数量的参数。
对于一个m×n的矩阵，使用高斯消元法可以将矩阵化为行最简形式。
在行最简形式矩阵中，所有非零行都位于零行之上，并且每个非零行的首个非零元素都为1。
根据矩阵的行最简形式，我们可以确定矩阵的秩。
矩阵的秩等于行最简形式中的非零行数量。
这个数量即为矩阵的秩。
对于一个m×n的矩阵，其秩可以表示为r(A)，其中A为矩阵。
矩阵A的秩满足以下条件：
1. 如果m ≤ n，则r(A) ≤ m；
2. 如果m > n，则r(A) ≤ n；
3. 如果矩阵A的元素全为0，则r(A) = 0。
此外，我们可以使用矩阵的性质来进一步求解秩。
例如，可以使用行变换来简化矩阵，以便更轻松地计算秩。
矩阵的秩在线性代数和各个领域都有广泛应用，包括图论、线性方程组求解和最小二乘法等。
总结而言，矩阵的秩公式是一个用于确定矩阵秩的数学工具。
它可以通过高斯消元法和矩阵的行最简形式来计算。
秩在多个领域有广泛应用，是解决各种问题的重要参数。
矩阵的秩
第二章 矩阵的运算
22
几个常用的矩阵秩的性质.
(5) maxRA, RB RA, B RA RB,
特别地,当B=b为列向量时,有
RA RA,b RA1.
证 A的最高阶非零子式总是(A,B)的非零
子式,所以 RA RA, B. 同理有 RB RA, B.
r3 5 r4 r3
1 2 2 1 1 0 0 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
R( A) 2, R(B) 3.
第二章 矩阵的运算
19
例2-24 设
1 1 1 2
A 3 1 2 5 3 6
综上,若 A 经有限次初等变换变为B( 即 A ~ B),则 R( A) R(B).
证毕
初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
第二章 矩阵的运算
10
例2-22
3 2 0 5 0
设
A
3 2
2 0
3 1
6 5
又因为 RA E RE A, 所以
RA E RA E n.
第二章 矩阵的运算
26
四、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法 (把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).
第二章 矩阵的运算
16
例2-23
1 2 2 1 1
设A
2 2
4 4
8 2
0 3
2.5 矩阵的秩
可逆矩阵， O 为什么？ r r . 1 2 I r2 O O O
返回
2 0 0 0 2 0 0 0
2 4 2 6 2 2 0 0 1 1 0 0
1 2 1 3 1 0 1 0
1 0 5 1
r2 2 1 0 r3 r2 0 r4 3r2 0
R( A) 2,
R( B ) 3.
返回
A
m n
A
m n
A
m n
推论 对任意矩阵A, R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)， 其中P, Q分别为可逆矩阵. 证 因为Q可逆，存在初等矩阵E1, …, Et使得 Q= E1• • • Et，
AQ =A E1• • • Et，
即 AQ 为A经列初等变换所得. 故 R(AQ)= R(A). 同理可证其他.
显然对任意矩阵A， A的秩唯一，但其最高阶非零 子式一般不唯一.
返回
例1 求矩阵的秩：
1 (1) A 2 1 2 ; ( 2) B 2 1 4 2 1 8 ; ( 3) C 2 1 3 2 4 6 4 8 2 1 2 0
解 (1)、（2） 易
O P1 I r2 O O P2 Q2 O O
I r1 O O O O P2 O
O Q2
A 所以，秩 O
I r1 O O O O 秩 B O
返回
三、矩阵的标准形（分解）
定理2
对任意矩阵A , 都存在可逆矩阵P , Q 使得
m n m m n n
I PAQ O
r
矩阵的秩
ai1 j1 L
ai1 j2 L
L L
ai1 jr L
ai2 j1 air j1
ai2 j2 air j2
ai2 jr air jr
L L
，
则子式中的r个列向量必定线性无关, 把 这r个列向量加长后,可以得到A的r个线性
11
无关的列向量, 这说明A的列秩p ≥r; 根据引理, A的极大无关列构成的矩阵一 定有一个非零的p阶子式, 故p≤r, 所以p=r. 类似地，有 r rA r T =AT的列秩 A =A的行秩.
(2) A的非零子式的最高阶数r称为矩阵A的 秩(rank)，常用秩(A), R(A), rankA, rA 等记号表示. 规定零矩阵的秩为零.
3
由于行列式与它的转置行列式相等, 易知 rankA=rankAT. 当A的行(列)秩等于A的行(列)数时, 称 A为行(列)满秩矩阵. 当A是n阶方阵且|A|≠0时, rankA=n, 称 A为满秩矩阵. 易知： (1) 若矩阵A中有一个r阶非零子式, 则 rAr; (2) 若A中所有r阶子式全为0, 则 rA< r;
称为A的 一个k阶子式(minor).
2
,
1 i1 i2 ik s
如果矩阵A有一个r阶子式不为零, 所 有r+1阶子式(如果存在r+1阶子式)都等于 零, 则可推出A的所有更高阶的子式全为 零, 于是, r是A的非零子式的最高阶数. 定义11 (1) 矩阵A的行、列向量组的秩 分别称为A的行秩、列秩.
1 2 1 0 0
4 1 1 / 3 2 0 1 3 0 1 3 1
16
1 0 r4 r3 0 阶梯形 0
1 2 1 0 0
矩阵的秩
存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B;(命题3.12)
A与B的相抵标准形相同;
A与B同型,且r ( A) = r ( B).(定理3.9)
推论 设A P mn ,则对任意的可逆矩阵P P mm , Q P nn , 都有 r ( PAQ ) r ( PA) r ( AQ ) r ( A).
规定 零矩阵的秩为0.
注1 r ( A) 0 A = O.
注2 矩阵A的秩为r A中至少存在一个不为零的 r 阶子 式，而所有的 r +1阶子式均为零.
1 2 3 4 例如, 矩阵 A 4 3 2 1 , 0 0 7 0
r ( A) 3.
命题3.11 设 A [aij ] P ,则 A 的秩有以下性质；
注1 矩阵的相抵关系满足 （）反身性： 1 A A； （2）传递性：A B B A； （3）对称性：A B，B C A C. 在数学上称满足以上三条性质的关系为等价关系. 因而， 矩阵的相抵关系是一种等价关系.
注2 相抵的矩阵秩相等.
相抵的条件 : 矩阵A与B相抵 A B;(定义3.14)
§3.4 矩阵的秩，矩阵的相抵
矩阵秩的概念、计算、性质； 相抵关系的概念和判定.
一、矩阵的秩的概念
定义3.11 在数域 P 上的 m n矩阵 A 中,任意取定 k 行、 k列 (k m, k n) , 位于这些行和列交叉处的 k 2 个元 素按原来的排法组成一个 k 阶方阵,称之为 A 的一个k 阶子矩阵.称它的行列式为 A 的一个k 阶子式.
注 相抵标准形的形式：
（） 1 若 r ( A) 0, 则A O ;
仅用初等列变换 （2）若A Pmn ,r ( A) m, 则A Em O ；
线性代数：矩阵的秩
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 例4 设 A = , 求矩阵 A 的 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 秩,并求 A 的一个最高阶非零子式 .
作初等行变换, 阶梯形矩阵: 解 对 A 作初等行变换,变成行 阶梯形矩阵:
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A= 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
定义 2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子 阶子式( 式 D,且所有 r + 1 阶子式(如果存在的话 )全等 的最高阶非零子式, 于 0,那末 D 称为矩阵 A的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 r ( A) .并规定零矩阵的秩 的秩, 等于零 . m × n 矩阵 A 的秩 r ( A) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数 .
2 4
1 1 8 0 2 4 2 3 3 6 0 6 4 2
r2 2r1 1 2 2 1 r3 + 2r1 0 0 4 2 0 0 2 1 r4 3r1 0 0 6 3
1 0 5 1
r2 ÷ 2 r3 r2
r4 + 3r2
1 2 0 0 0 0 0 0
解 Q B是一个行阶梯形矩阵, 其非零行有 3行, 是一个行阶梯形矩阵,
∴ B 的所有 4 阶子式全为零 .
2 1 3 而 0 3 2 ≠ 0, 0 0 4
∴ r ( B ) = 3.
1 例3 已知 A = 0 2 1 3 = 2 ≠ 0, 解 Q 0 2
3 2 2 2 1 3 ,求该矩阵的秩. 求该矩阵的秩. 0 1 5
因此 D r ≠ 0,从而 r ( B ) ≥ r . 分三种情况讨论: 当A → B时,分三种情况讨论:
(1)Dr中不含第 i行; (2)Dr中同时含第 i行和第 j行; (3)Dr中含第 i行但不含第 j行;
矩阵的秩
矩阵的秩一、矩阵的子式定义1 在n m ⨯矩阵A 中，任取k 行k 列)1,1(n k m k ≤≤≤≤,位于这些行列交叉处的2k 个元素,不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的k 阶行列式, 称为矩阵A 的k 阶子式.注：n m ⨯矩阵A 的k 阶子式共有k nk m C C ⋅个. 例1 设矩阵123401230246A 骣÷ç÷ç÷ç÷=-ç÷ç÷ç÷÷ç-桫考察A 的所有k 阶子式的情况.解 一阶子式：共12个. 如1211;00D D ====等.即在A 中存在一个不为0的一阶子式.二阶子式：223418C C =，共18个. 如1212121;00124D D -==-==--等。
即在A 中存在一个不为0的二阶子式. 三阶子式：33344C C =，共4个.121231240120,0130024026D D =-==-=-- 11134234,0230,1230046246D D ===-=-即A 的所有三阶子式全为0.二、矩阵的秩定义 2 设A 为n m ⨯矩阵, 如果存在A 的r 阶子式不为零, 而任何1+r 阶子式(如果存在的话)皆为零, 则称数r 为矩阵A 的秩, 记为)(A r (或)(A R ). 并规定零矩阵的秩等于零. 由定义知在例1中()2R A =例2 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=174532321A 的秩.解 在A 中，5231-.0≠又 A 的3阶子式只有一个,A 且||A =174532321-=11101110321----,0=∴.2)(=A r例3 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=00000340005213023012B 的秩. 解 B 是一个行阶梯形矩阵,其非零行只有3行, B ∴的所有四阶子式全为零. 而213032240004--= 所以，.3)(=B r 矩阵的秩具有下列性质：(1) 若矩阵A 中有某个s 阶子式不为0, 则s A r ≥)(;(2) 若A 中所有t 阶子式全为0, 则t A r <)(;(3) 若A 为n m ⨯矩阵, 则},m in{)(0n m A r ≤≤;(4) ).()(T A r A r =三、矩阵秩的求法定理1 若B A ~, 则)()(B r A r =.证 （略）定理说明了初等变换不改变矩阵的秩.根据上述定理, 我们得到利用初等变换求矩阵的 秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩.例4 设,41461351021632305023⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=A 求矩阵A 的秩. 解 对A 作初等行变换，变成行阶梯形矩阵.A 41r r ↔ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----05023351021632341461 42r r - ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----05023351021134041461141232r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1281216011791201134041461141232r r r r --⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------84000840001134041461 42r r - ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----00000840001134041461 由行阶梯形矩阵有三个非零行知.3)(=A r小结：1. 矩阵秩的概念2. 矩阵秩的求法（1）定义法（2）初等变换法。
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4 0 0
3 0 0
1 4 0
1 8 0
B,
易见R（B）=R（A）= 3 。
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再求A 的一个最高阶非零子式。
因R（A ）= 3 ，知A 的最高阶非零子式为 3 阶。
A 的 3 阶子式共有C43 C53 40(个). 要从 40 个子式中
找出一个非零子式，是比较麻烦的。考察A 的行阶梯
2 1 3
0 3 2 24 0,
00 4
因此R（B）= 3 。
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从本例可知，由矩阵A 的秩的定义求秩，关键在 于找 A 中不等于 0 的子式的最高阶数。
一般当行数与列数都较高时，按定义求秩是很麻 烦的。
对于行阶梯形矩阵，显然它的秩就等于非零行的 行数。
因此自然想到用初等变换把矩阵化为行阶梯形矩 阵，但两个等价的矩阵的秩是否相等呢？
Ex1.
设A
0 1 2
2 1 0
1 0 3
5 4 1
311,
求矩阵A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式。
上页
返回
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定理1 若A～B，则 R（A）= R（B）。 证明:略 注1 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限 次初等行变换矩阵的秩也不变。
注2定理1说明：矩阵经初等变换后其秩不变，因而把 矩阵用初等变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非
零行的行数即为所求矩阵的秩。这是求矩阵秩的一种常 用方法。
设矩阵A 中有一个 r 阶子式Dr 0, 而所有包含 Dr的
r + 1 阶子式（如果有的话）全为 0 ，则A 中所有r + 1
阶子式全为 0 ，从而R（A）= r 。
利用该结论可计算矩阵的秩，且所需计算的 r + 1
阶子式数从C
r 1 m
Cnr
1个减少到这里的(m
r
)
(n
r
)
个。
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1 1 2 2 1
上页 下页 返回
4 2 1
例2
求矩阵
A
1 1
2 8 14
2 7 13
的秩。
解
1
r1 A
~
r2
4 1 2
2 2 8 14
2
1
7 13
r2 r3
r4
4r1 1
r1 ~
2r1
0 0 0
2 10 10 10
2
9
9 9
r3 r2 r4 r2
~
r4 2r1
|A| ≠ 0 <=> R(A) = n <=> A 的标准形为 n 阶单位阵E
可逆阵又称为满秩矩阵。奇异阵又称为降秩矩阵。
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例1 求矩阵A 和B 的秩，其中
1 A 2
4
2 3 7
3 5, 1
B
2 0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2 4 0
2
5 3 0
（2）A 的转置矩阵AT 的秩R (AT ) = R ( A )；
（3）对于任何m×n 矩阵A，都有唯一确定的秩， 且R（A）≤min(m, n)；
（4）若矩阵A 中有一个r1 阶子式不为零，则 R（A）≥ r1 ；若矩阵A 的所有r1 ＋1阶子式全等于零， 则R（A）≤ r1 。
(5) 对于 n 阶可逆矩阵A ，有
1 0 0 0
2 10
0 0
2
9 0 0
B,
可见R（B）= 2 ， 所以R（A）= 2 。
上页 下页 返回
3 2 0 5 0
例3
设A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
1 3 4
,
求矩阵A的秩，并
求A 的一个最高阶非零子式。
解 先求A 的秩，为此对A 作初等行变换变成行
阶梯形矩阵：
§2. 矩阵的秩
★矩阵的秩的定义 ★矩阵的秩的计算
矩阵用初等变换化为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数是否唯一 ?其行数由什么决定?
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定义2 在 m×n 矩阵 A 中任取 k 行、k 列（k ≤ m , k ≤ n ），位于这些行列交叉处的 k2 个元 素，不改变它们在 A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式。
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3
A
3 2 1
r1 r4 1
r2
r3 r4
r4 ~ 2r1
3r1
0 0 0
2 0 5 0
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413 ,
6 4 1 4 4 3 1 1
12 9 16 12
7 8
1121
上页 下页 返回
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1
0 0
12 16
9 12
7 8
1121
1 6 4 1 4
r3 r4
3r2 ~ 4r2
0 0 0
4 0 0
3 0 0
1 1
4 4
88
上页 下页 返回
1 6 4 1 4
0 4 3 1 1
0 0
0 0
0 0
4 4
88
1 6 4 1 4
r4
3r3 ~
0 0 0
3 阶子式有 4 个，在 A1 中找一个 3 阶非零子式比在
A 中找要方便得多。
A1 的前三行构成的子式
325 3 2 6 16 0, 205
因此，这个式子便是A 的一个最高阶非零子式。
上页 下页 返回
注：A 的最高阶非零子式不一定唯一。事实上，
从上例中还可以找到很多非零的 3 阶子式。
由矩阵的秩的定义，可以进一步得到如下结论：
.
解 在A 中，容易看出左上角一个2阶子式
12 0,
23
A 的 3 阶子式只有一个|A|，经计算可知|A| = 0，因此 R（A）=2。
上页 下页 返回
2 1 0 3 2
B
0 0 0
3 0 0
1 0 0
2 4 0
5 3 0
.
B是一个阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，即知B 的所 有4 阶子式全为零，而 3 阶子式
m×n 矩阵A 的 k 阶子式共有CmkCnk个。 定义2 设在矩阵A 中有一个不等于0的 r 阶子式 D，且所有 r +1 阶子式（如果有的话）全等于0，那 么 D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作R ( A ) = r 。规定零矩阵的秩等于 0 。
上页 下页 返回
由定义可知: (1) 矩阵A 的秩 R ( A ) 就是 A 中不等于 0 的 子式的最高阶数；
形矩阵，记 A a1, a2 , a3 , a4 , a5 , 则矩阵 A1 a1, a2 , a4 的行阶梯形矩阵为
1 6 1
0 4
0 0
0 0
1 4 0
,
1 6 4 1 4
B
0 0 0
4 0 0
3 0 0
1 1
4 0
08
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因而R( A1 ) 3, 故A1 中必有 3 阶非零子式。A1的