二次根式全章复习讲义
二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
二次根式单元复习全面PPT课件
一个数的_算__术__平__方__根___也叫做二次根式。 如 3
注意：被开方数大于或等于零
判断下列各式哪些是二次根式？
a
6 3 7
x2 1
x2
a2 b2
第23页/共95页
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1.
当 x _≤__3__时， 3 x 有意义。
DP C
第41页/共95页
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
D PC
第42页/共95页
拓展1
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
第39页/共95页
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
x2 ( 2)2 x 2 x 2
(2)2x2 3 y 2
( 2x)2 ( 3y)2 2x 3y 2x 3y
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练习．在实数范围内分解因式
（1） 3x2 15
（2） 2a2 4b2
第10页/共95页
达标检测
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ
二次根式全章复习讲义
知识点一 二次根式的概念和性质 【知识梳理】一、二次根式概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 二、二次根式的性质1.a ≥0，（a ≥0）；2. （a ≥0）；3..【典例精讲】类型一、二次根式的概念1下列各式中，一定是二次根式的有（ ）个．A.2B.3C.4D.5举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）. （1）13；（2）3-； （3）21x -+；（4）38； （5）21()3-；（6）1x -（1x >）A ．2 B.3 C.4 D.52. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）1y x =-； （2）y=2+x －x 23-；举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）. A. 23- B. ()20.3- C. 2- D. x类型二、二次根式的性质3. 计算下列各式：232()4-⨯-2(3.14)π-(1) (2)举一反三：【变式】（1）2)252(-=_____________. （2）2)2(2a a ---=_____________.4.已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简：22||()||a a c c b b -++---|．举一反三：【变式】若整数m 满足条件22(1)1,,5m m m +=+<且则m 的值是___________.【巩固练习】一．选择题1要使代数式有意义，则x 的（ ）.A. 最大值是23 B ．最小值是23 C. 最大值是32 D. 最小值是322. 若1a <,化简2(1)-1=a - ( ).A.2a -B.2a -C.aD.a - 3.下列说法正确的是（ ）A ．4是一个无理数B ．函数11y x =-的自变量x 的取值范围是x ≥1C ．8的立方根是2± D.若点(2,)-3)P a Q和点（b ，关于x 轴对称，则a b +的值为5. 4. 若a 不等于0，a 、b 互为相反数，则下列各对数中互为相反数的一对数是( ). A.与B.与C.与D.与5.下列根式是最简二次根式的是（ ）. A ．8 B ．24x y + C ． D ．6. 已知，化简二次根式的正确结果为（ ）.A.B. C.D.二. 填空题7.当x______时，式子x -在实数范围有意义；当x_______时，式子2x -在实数范围有意义.8.=____________. 若，则____________.9．（1）2)53(-=_____________. （2）9622++-a a a （a>0）=__________________________.10.求值（1）已知a 、b 满足，解关于x 的方程（a+2）x+b 2=a ﹣1．（2）已知x 、y 都是实数，且，求y x的平方根．知识点二二次根式的乘除法计算化简一、二次根式的乘法及积的算术平方根：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被1.乘法法则a b开方数相乘.二、二次根式的除法及商的算术平方根：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相1.a b除.。
2024年中考数学复习专题讲义：二次根式(含答案)
2024年中考数学复习专题讲义：二次根式知识点讲解1、二次根式的定义 一般地，形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式的基本性质①2a =(a ≥0)； a = (a ≥0)； a = (a 取全体实数)。
3、二次根式的乘除(1)二次根式的乘法：①ab b a =⋅； ②b a ab ⋅= (a ≥0， b ≥0)。
(2)二次根式的除法：= = (a ≥0， b ＞0)。
4、最简二次根式 最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
5、二次根式的加减二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
专题练习一、选择题1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A ．√12B ．√8C ．√13D ．√0.22．若二次根式√x +2有意义，则x 的取值范围是（ ）．A ．x >−2B ．x ≥−2C ．x <−2D ．x ≥23．化简√(−3)2的结果是（ ）A ．−3B ．±3C ．3D ．94．估计(√27−√6)÷√3的值应在（ ）A ．0到1之间B ．1到2之间C ．2到3之间D ．3到4之间5．下列计算错误的是（ ）A ．3√2−√2=3B ．√60÷√5=2√3C ．√25a +√9a =8√aD ．√14×√7=7√26．若 x =√m −√n,y =√m +√n ，则 xy 的值是( ）.A ．2√mB ．m −nC ．m +nD ．2√n 7．计算：√12×√13−√8÷√2的结果是（ ） A ．2 B ．0 C ．-2 D ．−√28．用四张大小一样的长方形纸片拼成一个正方形 ABCD (如图)，它的面积是 48， 已知长方形的一边长 AE =3√3， 图中空白部分是一个正方形，则这个小正方形的周长为( )A ．2√3B ．4√3C ．8√3D ．16√3二、填空题9．化简√3= 10．若√a +√3=3√3，则a = ． 11．计算(2√2+1)(2√2−1)的结果等于 ．12．若二次根式√x+3x 有意义，则x 的取值范围为 ．13．当m ＝ 时，二次根式√m −2取到最小值．三、解答题14．计算 （1）√16÷√2−√13×√6； （2）32√4x +2√x 9−x √1x +4√x4．15．已知2x =+2y =（1）试求22x y +的值； （2）试求x y y x-的值． 16．某居民小区有一块形状为长方形ABCD 的绿地，长方形绿地的长BC 为√162m ，宽AB 为√128m （即图中阴影部分），长方形花坛的长为(√13+1)m ，宽为(√13−1)m ，（1）长方形ABCD 的周长是多少？（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？17．已知x=2−√3，y=2+√3．（1）求x2+y2−xy的值；（2）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值．参考答案1．C2．B3．C4．B5．A6．B7．B8．C9．√33 10．1211．712．x ≥−3且x ≠013．214．解：（1）原式=√16÷2−√13×6＝2√2−√2=√2；（2）原式＝3√x +23√x −√x +2√x=143√x ．15．（1）解：∵2x =， 2y =∴x+y=22+，xy=(22+=1 ∴()2222242114x y x y xy +=+-=-⨯= ；（2）解：∵2x =+，2y =-∴x+y=22+，x-y=((2222--=+=xy=(22=1∴()()22x y x yx y x yy x xy xy+---====16．（1）解：长方形ABCD的周长=2(√162+√128)=2(9√2+8√2)=34√2(m)，答：长方形ABCD的周长是34√2m；（2）解：购买地砖需要花费=50[9√2×8√2−(√13+1)(√13−1)]=50(144−13+1)=50×132=6600（元）答：购买地砖需要花费6600元．17．（1）解：∵x=2−√3，y=2+√3，∴xy=(2−√3)(2+√3)=4−3=1，(x−y)2=(2−√3−2−√3)2=(−2√3)2=12，∴x2+y2−xy=(x−y)2+xy=12+1=13；（2）解：∵1<3<4，∴1<√3<2，∴3<2+√3<4，∴2+√3的整数部分是3，∴b=3，∵1<√3<2，∴−2<−√3<−1，∴0<2−√3<1，∴2−√3的整数部分是0，小数部分=2−√3−0=2−√3，∴a=2−√3，∴ax−by=(2−√3)(2−√3)−3(2+√3)=7−4√3+6−3√3=13−7√3，∴ax−by的值为13−7√3．）解：①(30x -2)x -②0020x x -22))(2)x -，又232x -+30x -+代数式当2x =时，代数式。
二次根式复习专题讲义(补课用)汇总
二次根式复习专题讲义(补课用)汇总二次根式复专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：形如 $\sqrt{a}$ （$a\geq 0$）的式子叫做二次根式，也称为二次根号。
①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。
②.$a$（$a\geq 0$）是一个非负数。
即$\sqrt{a^2}=a$（$a\geq 0$）；③。
$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$为任意实数）2.二次根式的乘：①.一般的，有$\frac{a}{b}\cdot\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$（$a\geq 0$，$b>0$）②.反过来，有$\frac{a\sqrt{b}}{b}=\sqrt{ab}$（$a\geq 0$，$b>0$）3.二次根式的除：①.一般地，对二次根式的除法规定：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$（$a\geq 0$，$b>0$），即 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a\geq 0$，$b>0$）②.反过来，$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\geq 0$，$b>0$）4.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
典型例题分析：例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、$\frac{1}{x}$、$\sqrt{x}$（$x>0$）、$\sqrt{42}$、-2、$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$（$x\geq 0$，$y\geq 0$）．例2.当$x$是多少时，$\frac{2x+3}{x+1}$在实数范围内有意义？frac{3x-1}{x+2}$在实数范围内有意义？变式题2：①.当$x$是多少时，$\frac{\sqrt{x-2}}{x-1}$有意义？例3.①.已知$y=\frac{2x+3}{x^2}$在实数范围内有意义，求$x$的取值范围和$y$的值．②.若$a+1+\frac{1}{b-1}=0$，求$a^{2004}+b^{2004}$的值．③.已知$\frac{x-y+1}{x-3}=0$，求$xy$的值．例4.计算：1.$\left(\frac{3}{2}\right)^2$2.$\left(\frac{3\sqrt{5}}{2}\right)^2$3.$\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2$4.$\left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right)^2$5.$\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2$6.$\left(\frac{7}{\sqrt{2}}\right)^2$7.$\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2$例5.计算：1.$\frac{(x+1)^2}{x^2}$（$x\geq 0$）2.$\frac{a^2}{a^2+2a+1}$3.$\frac{a^2}{a^2-2a+1}$4.$\frac{9}{25}+\frac{4}{9}$变式题：计算1.$\left(-\frac{3}{2}\right)^2$2.$(23^2-32^2)$例6.在实数范围内分解下列因式:1）$x^2-3$（2）$x^4-4$（3）$2x^2-3$例7.化简：1）$\frac{9}{\sqrt{25}}$2）$(-4)^2$3）$\frac{a^2}{25}$（$a\neq 0$）4）$(-3)^2$例8.填空：当$a\geq 0$时，$\sqrt{a^2}=$ $a$；当$a<0$时，$\sqrt{a^2}=$ $-a$，并根据这一性质回答下列问题．1）若$a^2=a$，则$a$可以是什么数？2）若$a^2=-a$，则$a$可以是什么数？3）若$a^2>a$，则$a$可以是什么数？例9.当$x>2$，化简$(x-2)^2-(1-2x)^2$．例10．先化简再求值：当$a=9$时，求$a^2+1-2a$的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+(1-a)^2=a+1-2a+a^2=1+a-a^2乙的解答为：原式=a+(1-a)^2/(1-a)^2=a+1-a=1；a+(a-1)/(1-a)=2a-1=17．两种解答中，甲的解答是错误的，错误的原因是少写了一步展开式子的步骤．变式题1．根据题目条件，得到|1995-a|+a-2=a，即|1995-a|=a-2，因为a-200≥-199，所以当a≥197时，1995-a为正数，此时a-1995=|1995-a|=a-2-1995=-1993-a；当a<197时，1995-a为负数，此时a-1995=|1995-a|=1995-a-2=1993+a，综上所述，a-1995的值为-1993-a（a≥197）或1993+a（a<197）。
《16.1.1二次根式》章节总复习ppt
一个正数 a 的算术平方根表示为
④ 取值范围不同： 正数的平方根是一正一负，而且两数互为相反数； 正数的算术平方根一定是正数.
(2) 联系： 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一个.
2. 立方根的性质
(1) 正数有一个立方根，是正数；
(2) 负数有一个立方根，是负数；
(C) x6 x3 (Dx)2
1
2
16
4
(x3)2 x5
21 1 2
4. 下列各式中，二次根式 a 的b有理化因式是 ( ) C
(A) a b (B)
a(C) b (D) a b
a b
5. 把下列各式分母有理化，然后总结出规律：
(1) 1 a
(2) a a
解：原式 1 a a a
a≥ 0
非负双重性
(4) 公式1： ( a )2 a
公式2： a2 a
[备注] 当 a ≥0 时，有: ( a )2 a2
3. 二次根式的乘除法
(1) 二次根式的乘法：
a b ab ( a ≥ 0, b ≥ 0 )
反之， ab a b ( a ≥ 0, b ≥ 0 )
(2) 二次根式的除法： a a ( a ≥ 0, b ＞0 ) bb
故 选择 (B)
错误原因： ab 4b 不是最简二次根式，
必须先化成最简二次根式
ab 4b 2ab b
正解：∵ ab 4b 2 ab b
a+b= 2 由题意知：
b = 3a + b
解得：
a=0 b= 2
故 选择 (A)
解：由题意知： m -2 ≥0 ∴ m≥2
即：满足条件的最小整数 m 是 2 .
二次根式全章复习与巩固——知识讲解(教案)
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则： 类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b ≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如=（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2． x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2).【答案】（1）;（2）.【解析】(1) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；(2) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三： 【变式】已知，求的值.【答案】根据二次根式的意义有将代入已知等式得3．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】（2015春•大冶市期末）已知﹣=2，则+的值为_____________． 【答案】5. 解：∵﹣=2，∴=+2，两边平方得，25﹣x 2=4+15﹣x 2+4，∴2=3，两边平方得4（15﹣x 2）=9， 化简，得x 2=，∴+=+=5．故答案为：5．4.（2016•柘城县校级一模）把1a a--中根号外的因式移到根号内的结果是( ). A ．a - B ．a - C ．a -- D ．a 【答案】A.【解析】由二次根式的意义知10a-> ，则0a < ()211a a a a a--=-⨯-=-. 【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确a 是非负数，反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。
二次根式的复习课件
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二 次 根 式
三个概念
三个性质
两个公式
四种运算
最简二次根式
同类二次根式
有理化因式
1、
2、
加 、减、乘、除
知识结构
--不要求，只需了解
1、
3、
=
a2ຫໍສະໝຸດ 2、憋浓梨兄譬货午砧葛丽汾烹隋躬炬毗犹柠禽忙旁析硬置脂脚贯喝绘酷娩割二次根式的复习课件二次根式的复习课件
跺止纪宝住昼馆劫氛颐伎宰尸携甘掺镜坐创见愁丑带臀贯肝峪拣信瘸属以二次根式的复习课件二次根式的复习课件
1．若 求 的值
2．计算
（１）
（２）
练一练
吱俊柿柠刽煌工娩烤昭钢浊援蜂全徊籽眨沛洋饭埂娠乳贼新掷侥雏囱蛾经二次根式的复习课件二次根式的复习课件
快粕烷店逼符碍捷眩君琶御警舶约烹溪楔腕纂羡却渣龄沂考怖疲咱藏厅益二次根式的复习课件二次根式的复习课件
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化简二次根式的方法： （1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分母有理化,将式子化简。
题型2:二次根式的非负性的应用.
二次根式及其运算全章同步讲义教学案
第1讲 二次根式复习引入：（1）已知x 2= a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
知识点梳理：二次根式的概念：一般地，我们把形如)0(0≥≥a a 的式子叫做二次根式，“”称为二次根号二次根式的性质：（1）)0(0≥≥a a （2）)0()(2≥=a a a （3）a a =2经典例题：例1：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，3412+x例2.x 取何值时，下列各二次根式有意义？①43-x ③x--21例3、（1a 的值为___________．（2）若x -在实数范围内有意义，则x 为（ ）。
A.正数 B.负数 C.非负数D.非正数例4.在实数范围内因式分解72-x 4a 2-11例5（1）、计算：=24 22.0= =220观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到： 当=>2,0a a 时（2）、计算：=-2)4(-2)2.0(= =-2)20(观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时（3）、计算：=20 ，当==2,0a a 时归纳总结：=2a例6.化简下列各式（1）)0(42≥x x (2)4x（3）)3()3(2≥-a a （4）()232+x （x ＜-2）例7. 已知：b a b a ⨯=⨯，把(2-x)21-x 的根号外的（2-x ）适当变形后移入根号内，得（ ） A 、x -2 B 、2-x C 、x --2 D 、2--x经典练习：1、计算的值为2)13(-（ ）A. 169B.-13 C±13 D.132、已知 ,03=+x 则x 为（ ）A. x>-3B. x<-3C.x=-3 D x 的值不能确定3、下列计算中，不正确的是 （ ）。
二次根式复习专题讲义[1]
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二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。
②. a（a≥0）是一个非负数。
③. （a）2＝a（a≥0）；2a=a（a≥0）2.二次根式的乘：①.一般的，有a²b＝a b．（a≥0，b≥0）②.反过来，有ab＝a³b( a ≥0 ，b ≥0 )3.二次根式的除：①. 一般地，对二次根式的除法规定：a b =ab（a≥0，b>0），②. 反过来，ab =ab（a≥0，b>0）4. 二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
典型例题分析：例1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x（x>0）、0、42、-2、1x y+、x y+（x≥0，y•≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0。
解：二次根式有：2、x （x>0）、0、-2、x y +（x≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：33、1x、42、1x y+。
例2.当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++11x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和11x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1当x ≥-32且x ≠-1时，23x ++11x +在实数范围内有意义。
变式题1：当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•31x -才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13时，31x -在实数范围内有意义．变式题2：①.当x 是多少时，23x x++x 2在实数范围内有意义？解：依题意得：2300x x +≥⎧⎨≠⎩，320x x ⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x≠0时，23xx+＋x2在实数范围内没有意义。
二次根式全章复习讲义
二次根式复习提纲知识点一：二次根式的概念【知识要点】 二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【典型例题】【例11xx>0）、1x y +（x ≥0，y ≥0）．其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） ABCD【例2有意义，则x 的取值范围是举一反三：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠43、如果代数式mn m 1+-有意义，那么，mn 的取值范围【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=解题思路：式子a ≥0），50,50x x -≥⎧⎨-≥⎩ 5x =，y=2009，则x+y=2014举一反三：1、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值2、当a 1取值最小，并求出这个最小值。
知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()23.a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a a a 20=≥的区别与联系（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【典型例题】【例4】若()2240a c --=，则=+-c b a ．举一反三：1、若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 。
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人教版九年级上第二十一章二次根式二次根式教师：学生：时间：内容简介：本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、•同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：的式子叫二次根式，其中形如是一个非负数时，叫被开方数，只有当才有意义．【典型例题】【例1】下列各式1），其中是二次根式的是（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、 B、 C、 D、2、在、、、、中是二次根式的个数有个【例2】若式子有意义，则x的取值范围是．[来源:学*科*网Z*X*X*K]举一反三：1、使代数式有意义的x的取值范围是（）A、x>3B、x≥3C、 x>4 D 、x≥3且x≠42、使代数式有意义的x的取值范围是3、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例3】若2009，则解题思路：式子（a≥0），，2009，则2014举一反三：1、若，则x－y的值为（）A．－1 B．1 C．2 D．32、若x、y都是实数，且，求的值3、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。
已知a是整数部分，b是的小数部分，求的值。
若的整数部分是a，小数部分是b，则。
若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：3.注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式与的区别与联系（1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．（3的运算结果都是非负的．）和【典型例题】【例4】若则．举一反三：1、若，则的值为。
2、已知为实数，且，则的值为（）A．3 B．– 3 C．1 D．– 13、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.4、若与互为相反数，则。
（公式的运用）【例5】化简：的结果为（）A、4—2aB、0C、2a—4D、4举一反三：1、在实数范围内分解因式: = ；=2、化简：3、已知直角三角形的两直角边分别为和，则斜边长为（公式的应用）【例6】已知,则化简的结果是A、 B、C、D、举一反三：1、根式的值是( )A．-3 B．3或-3 C．3 D．92、已知a<0，那么│－2a│可化简为（）A．－a B．a C．－3a D．3a3、若，则等于（）A. B. C. D.4、若a－3＜0，则化简的结果是（）(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－2a5、化简得（）（A） 2 （B）（C）－2 （D）6、当a＜l且a≠0时，化简＝．7、已知，化简求值：【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+的结果等于（）A．－2b B．2b C．－2a D．2a举一反三：实数在数轴上的位置如图所示：化简：．【例8】化简的结果是25，则x的取值范围是（）（A）x为任意实数（B）≤x≤4 （C）x≥1 （D）x≤1举一反三：若代数式的值是常数，则的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．或【例9】如果，那么a的取值范围是（）A. 0B. 1C. 0或1D. a≤1举一反三：1、如果成立，那么实数a的取值范围是（）2，则、若）的取值范围是（）BA（）（（）（DC）【例10】化简二次根式的结果是（A） (B) (C) (D)1、把二次根式化简，正确的结果是（）A. B. C. D.2、把根号外的因式移到根号内：当＞0时，＝；＝。
知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】【例11】在根式1) ，最简二次根式是（） A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)解题思路：掌握最简二次根式的条件。
举一反三：1、中的最简二次根式是。
2、下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3、下列根式不是最简二次根式的是( )A. B. C. D.4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？(1) (2) (3) (4) (5) (6)5、把下列各式化为最简二次根式：(1) (2) (3)【例12】下列根式中能与是合并的是( )A. B. C.2 D.举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（）A、 B、 C、 D、2、在二次根式：①；②；③；④中，能与合并的二次根式是。
3、如果最简二次根式与能够合并为一个二次根式, 则.知识点四：二次根式计算——分母有理化【知识要点】1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如：，，与等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如与，，分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【典型例题】【例13】把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4）【例14】把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4）【例15】把下列各式分母有理化：（1）（2）（3）举一反三：1、已知，，求下列各式的值：（1）（2）2、把下列各式分母有理化：（1）（2）（3）小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：①与；②与；③与；④与．知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除【知识要点】1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
=·（a≥0，b≥0）2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
·＝．（a≥0，b≥0）3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根=（a≥0，b>0）4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
=（a≥0，b>0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．【典型例题】【例16】化简(1) (2) (3) (4)() (5)×【例17】计算（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）【例18】化简：(1)(2)(3)(4)【例19】计算：(1) (2) (3)（4）【例20】能使等式成立的的x的取值范围是（）A、 B、 C、 D、无解知识点六：二次根式计算——二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．【典型例题】【例20】计算（1）；（2）；（3）；（4）【例21】（1）（2）（3）（4）（5）（6）知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值【知识要点】1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【典型习题】1、 2、 ) (2+4) －3)3、·（-4）÷4、5、）6、7、 8、【例21】 1．已知：，求的值．2．已知，求的值。
3．已知：，求的值．4．求的值．5．已知、是实数，且，求的值．知识点八：根式比较大小【知识要点】如果①时，当、根式变形法1；。
，则，则②如果2、平方法当时，①如果，则；②如果，则。
3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
5、倒数法6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①；②8、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①；②【典型例题】【例22】比较与的大小。
（用两种方法解答）【例23】比较与的大小。
【例24】比较与的大小。
【例25】比较与的大小。
【例26】比较与的大小。