二次根式全章复习讲义

人教版九年级上第二十一章二次根式

二次根式

教师：学生：时间：内容简介：

本单元是在学习了平方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、•同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义：的式子叫二次根式，其中

形如

是一个非负数时，

叫被开方数，只有当

才有意义．

【典型例题】

【例1】下列各式1），其中是二次根式的是（填序号）．

举一反三：

1、下列各式中，一定是二次根式的是（）

A、 B、 C、 D、

2、在、、、、中是二次根式的个数有个

【例2】若式子有意义，则x的取值范围是．[来源:学*科*网Z*X*X*K]

举一反三：

1、使代数式有意义的x的取值范围是（）

A、x>3

B、x≥3

C、 x>4 D 、x≥3且x≠4

2、使代数式有意义的x的取值范围是

3、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）

A、第一象限

B、第二象限

C、第三象限

D、第四象限

【例3】若2009，则

解题思路：式子（a≥0），，2009，则2014

举一反三：

1、若，则x－y的值为（）

A．－1 B．1 C．2 D．3

2、若x、y都是实数，且，求的值

3、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。

已知a是整数部分，b是的小数部分，求的值。

若的整数部分是a，小数部分是b，则。

若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.

知识点二：二次根式的性质

【知识要点】1. 非负性：是一个非负数．

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．

2. ．

注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：

3.

注意：（1）字母不一定是正数．

（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负

号留在根号外．

4. 公式与的区别与联系

（1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．

（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．

（

3

的运算结果都是非负的．

）

和

【典型例题】【例4】若则．

举一反三：

1、若，则的值为。

2、已知为实数，且，则的值为（）

A．3 B．– 3 C．1 D．– 1

3、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.

4、若与互为相反数，则。

（公式的运用）

【例5】化简：的结果为（）

A、4—2a

B、0

C、2a—4

D、4

举一反三：

1、在实数范围内分解因式: = ；=

2、化简：

3、已知直角三角形的两直角边分别为和，则斜边长为

（公式的应用）

【例6】已知,则化简的结果是

A、 B、C、D、

举一反三：

1、根式的值是( )

A．-3 B．3或-3 C．3 D．9

2、已知a<0，那么│－2a│可化简为（）

A．－a B．a C．－3a D．3a

3、若，则等于（）

A. B. C. D.

4、若a－3＜0，则化简的结果是（）

(A) －1 (B) 1 (C) 2a－7 (D) 7－2a

5

、化简得（

）

（

A） 2 （B）（C）－2 （D）

6、当a＜l且a≠0时，化简＝．

7、已知，化简求值：

【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+的结果等于（）

A．－2b B．2b C．－2a D．2a

举一反三：实数在数轴上的位置如图所示：化简：．

【例8】化简的结果是25，则x的取值范围是（）（A）x为任意实数（B）≤x≤4 （C）x≥1 （D）x≤1

举一反三：若代数式的值是常数，则的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．或

【例9】如果，那么a的取值范围是（）

A. 0

B. 1

C. 0或1

D. a≤1

举一反三：

1、如果成立，那么实数a的取值范围是（）

2

，则

、若

）

的取值范围是（

）

B

A

（

）

（

（

）

（

D

C

）

【例10】化简二次根式的结果是

（A） (B) (C) (D)

1、把二次根式化简，正确的结果是（）

A. B. C. D.

2、把根号外的因式移到根号内：当＞0时，＝；＝。

知识点三：最简二次根式和同类二次根式

【知识要点】

1、最简二次根式：

（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．

2、同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

【典型例题】