特殊平面法向量的求法PPT课件
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高二数学选修课件：3-2-2平面的法向量与平面的向量表示
人 教 B 版 数 学
第三章
空间向量与立体几何
[例 1]
如图， ABCD 是直角梯形， ∠ABC＝90° SA⊥ ，
人 教 B 版 数 学
1 平面 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝2，求平面 SCD 与平 面 SAB 的法向量．
第三章
空间向量与立体几何
[分析] 解答本题可先建立空间直角坐标系，写出每
个平面内两个不共线向量的坐标，再利用待定系数法求出 平面的法向量．
人 教 B 版 数 学
[解析]
∵AD、AB、AS 是三条两两垂直的线段，
→ → → ∴以 A 为原点，以AD、AB、AS的方向为 x 轴，y 轴， 1 z 轴的正方向建立坐标系， A(0,0,0)， 2， 则 D( 0,0)， C(1,1,0)， → ＝(1，0,0)，是平面 SAB 的法向量， S(0,0,1)，AD 2 设平面 SCD 的法向量 n＝(1，λ，μ)，
第三章
空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
第三章
空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
第三章
空间向量与立体几何
1．知识与技能
掌握平面的法向量的概念及性质． 理解平面的向量表示． 2．过程与方法 用向量的观点认识平面、利用平面的法向量证明平行人ຫໍສະໝຸດ 教 B 版 数 学或垂直问题．
3．情感态度与价值观 培养学生转化的数学思想，增强应用意识．
第三章
空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
第三章
空间向量与立体几何
重点：平面法向量的概念及性质． 难点：利用法向量法解决几何问题．
人 教 B 版 数 学
第三章
空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
高二数学(理)《平面的法向量》(课件)
B(2,0,1), C(3,2,0), 试求平面 的一个法 α , α ? 向量 再谈谈你求平面 的法向量的想法
α
A
B
C
湖南长郡卫星远程学校
制作 09
2009年下学期 2009年下学期
思考: 思考 1.平面 的法向量如何求 平面α的法向量如何求 平面 的法向量如何求? 2.平面 的法向量有何特点和作用 平面α的法向量有何特点和作用 平面 的法向量有何特点和作用?
a b 为 = ( x1、y1、z1 )，= ( x2、y2、z2 ), 平面 、 α
β的法向量分别为 = (a1、b1、c1 )，= ν
(a2、b2、c2 ).
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2009年下学期 2009年下学期
运用2. 运用2. l、 设直线 设直线 m的方向向量分别
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2009年下学期 2009年下学期
研读教材P 研读教材 102-P103:
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研读教材P 研读教材 102-P103: 问题1: 如何确定一个点在空间的位置? 问题 如何确定一个点在空间的位置 问题2: 在空间给定一个定点A和一个定方向 和一个定方向(向 问题 在空间给定一个定点 和一个定方向 向 量), 能确定一条直线在空间的位置吗? 能确定一条直线在空间的位置吗
(2)若直线与平面 的夹角为 ,如图所示： l α θ 如图所示：
a
α
θ 你将如何求 ？
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u
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(3)若平面 与平面 所成二面角的大小 α β 如图所示： 为θ ,如图所示：
α
A
B
C
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思考: 思考 1.平面 的法向量如何求 平面α的法向量如何求 平面 的法向量如何求? 2.平面 的法向量有何特点和作用 平面α的法向量有何特点和作用 平面 的法向量有何特点和作用?
a b 为 = ( x1、y1、z1 )，= ( x2、y2、z2 ), 平面 、 α
β的法向量分别为 = (a1、b1、c1 )，= ν
(a2、b2、c2 ).
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运用2. 运用2. l、 设直线 设直线 m的方向向量分别
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研读教材P 研读教材 102-P103:
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研读教材P 研读教材 102-P103: 问题1: 如何确定一个点在空间的位置? 问题 如何确定一个点在空间的位置 问题2: 在空间给定一个定点A和一个定方向 和一个定方向(向 问题 在空间给定一个定点 和一个定方向 向 量), 能确定一条直线在空间的位置吗? 能确定一条直线在空间的位置吗
(2)若直线与平面 的夹角为 ,如图所示： l α θ 如图所示：
a
α
θ 你将如何求 ？
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u
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(3)若平面 与平面 所成二面角的大小 α β 如图所示： 为θ ,如图所示：
北师大版选择性必修第一册第三章4.1 直线的方向向量与平面的法向量课件(25张)
· =
解,因此法向量有无数个.求解时,利用赋值法,只要给 x,y,z 中的一个赋特殊值
(常赋值-1,0,1)即可确定一个法向量,赋值不同,所得法向量不同,但(0,0,0)不
能作为法向量.
数学
[例 2] 如图,四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=
提示:根据线面垂直的判定定理可知,只要直线垂直于该平面内的任意两条
相交直线,它就垂直于该平面,也就垂直于该平面内的任意直线,因此,求法
向量的坐标只要满足两个方程就可以了.
[思考2-3] 依据待定系数法求出的平面法向量唯一吗?
提示:不唯一.利用待定系数法求平面法向量时,由于方程组
· = ,
有无数组
故l⊂α或l∥α.
数学
[应用探究]根据下列条件,判断相应的线面位置关系:
(1)直线l1,l2的方向向量分别是a=(1,-3,-1),b=(8,2,2);
(2)平面α,β的法向量分别是u=(1,3,0),v=(-3,-9,0);
解:(1)因为a=(1,-3,-1),b=(8,2,2),
所以a·b=8-6-2=0,
所以
即 = .
→
- + = ,
· = ,
令 z=1,可得 n=(1,1,1),所以平面 ECD 的一个法向量为(1,1,1).
则
· = ,
数学
[例2] 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为四边形ABCD的中心.
(1)求平面OA1D1的一个法向量;
(1)解:以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz.
解:(1)因为 u=(-1,1,-2),ν=(3,2,- ),
解,因此法向量有无数个.求解时,利用赋值法,只要给 x,y,z 中的一个赋特殊值
(常赋值-1,0,1)即可确定一个法向量,赋值不同,所得法向量不同,但(0,0,0)不
能作为法向量.
数学
[例 2] 如图,四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=
提示:根据线面垂直的判定定理可知,只要直线垂直于该平面内的任意两条
相交直线,它就垂直于该平面,也就垂直于该平面内的任意直线,因此,求法
向量的坐标只要满足两个方程就可以了.
[思考2-3] 依据待定系数法求出的平面法向量唯一吗?
提示:不唯一.利用待定系数法求平面法向量时,由于方程组
· = ,
有无数组
故l⊂α或l∥α.
数学
[应用探究]根据下列条件,判断相应的线面位置关系:
(1)直线l1,l2的方向向量分别是a=(1,-3,-1),b=(8,2,2);
(2)平面α,β的法向量分别是u=(1,3,0),v=(-3,-9,0);
解:(1)因为a=(1,-3,-1),b=(8,2,2),
所以a·b=8-6-2=0,
所以
即 = .
→
- + = ,
· = ,
令 z=1,可得 n=(1,1,1),所以平面 ECD 的一个法向量为(1,1,1).
则
· = ,
数学
[例2] 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为四边形ABCD的中心.
(1)求平面OA1D1的一个法向量;
(1)解:以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz.
解:(1)因为 u=(-1,1,-2),ν=(3,2,- ),
直线的方向向量和平面的法向量 课件
[分析] 设 l1、l2 的方向向量分别为 a，b，则 l1∥l2 或 l1 与 l2 重合⇔a∥b，l1⊥l2⇔a⊥b.
[解析] (1)显然有 b＝3a，即 a∥b， ∴l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)． (2)a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (3)显然 b＝－4a，即 a∥b，故 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)．
命题方向 利用法向量研究两平面位置关系
[例 2] 设 u，v 分别是不重合平面 α、β 的法向量，根据 下列条件，判断 α、β 的位置关系．
(1)u＝(－2,2,5)，v＝(3，－2,2)； (2)u＝(12，1，－1)，v＝(－1，－2,2)； (3)u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)．
O→P＝ xa＋yb . 这样，点 O 与向量 a，b 不仅可以确定平面 α 的位置，还 可以具体表示出 α 内的任意一点．
3．用平面的法向量表示空间中平面的位置．如图所示， 直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的
法向量．
给定一点 A 和一个向量 a，那么过点 A 以向量 a 为法向量 的平面唯一确定．
[解析] (1)∵u·v＝－6－4＋10＝0，
∴u⊥v，∴α⊥β. (2)观察知 v＝－2u，即 u∥v，∴α∥β.
(3)∵u·v＝－29≠0，
∴u、v 不垂直，显然 u≠v，
∴α 与 β 既不平行也不垂直．
命题方向 求平面的法向量 [例 3] 已知 A(1,0,1)、B(0,1,1)、C(1,1,0)，求平面 ABC 的一个法向量． [分析] 设平面 ABC 的一个法向量为 n，则 n 垂直于平 面 ABC 内的任意向量，不妨取A→B、B→C，求得 n.
[解析] (1)显然有 b＝3a，即 a∥b， ∴l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)． (2)a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (3)显然 b＝－4a，即 a∥b，故 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)．
命题方向 利用法向量研究两平面位置关系
[例 2] 设 u，v 分别是不重合平面 α、β 的法向量，根据 下列条件，判断 α、β 的位置关系．
(1)u＝(－2,2,5)，v＝(3，－2,2)； (2)u＝(12，1，－1)，v＝(－1，－2,2)； (3)u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)．
O→P＝ xa＋yb . 这样，点 O 与向量 a，b 不仅可以确定平面 α 的位置，还 可以具体表示出 α 内的任意一点．
3．用平面的法向量表示空间中平面的位置．如图所示， 直线 l⊥α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的
法向量．
给定一点 A 和一个向量 a，那么过点 A 以向量 a 为法向量 的平面唯一确定．
[解析] (1)∵u·v＝－6－4＋10＝0，
∴u⊥v，∴α⊥β. (2)观察知 v＝－2u，即 u∥v，∴α∥β.
(3)∵u·v＝－29≠0，
∴u、v 不垂直，显然 u≠v，
∴α 与 β 既不平行也不垂直．
命题方向 求平面的法向量 [例 3] 已知 A(1,0,1)、B(0,1,1)、C(1,1,0)，求平面 ABC 的一个法向量． [分析] 设平面 ABC 的一个法向量为 n，则 n 垂直于平 面 ABC 内的任意向量，不妨取A→B、B→C，求得 n.
二、平面的法向量及其应用+课件-高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
5
8
是平面 α 内的三点，设平面 α 的法向量 =
2: 3: −4
x, y, z ，则 x: y: z = ___________.
>
m
<
[解析] 因为 AB = 1, −3, −
>
m
<
所以
x − 3y
>
m
<
7
− z=
4
7
7
4
0，
−2x − y − z = 0，
4
2
3
>
/m
<
4
3
>
/m
<
>
/m
<
m
<
>
/m
<
是 AB ， BA ， A1 B1 ， DC ， C1 D1 等.每一个表面的法向量也有多个,例如平面 ABB1 A1 的法
>
m
<
>
/m
<
>
m
<
>
/m
<
>
m
<
>
/m
<
>
m
<
>
/m
<
>
m
<
>
/m
<
>
m
<
向量可以是 AD ， CB ， D1 A1 ， B1 C1 等.
>
m
<
>
/m
<
>
m
<
>
北师大高中数学选择性必修第一册3.4.1直线的方向向量与平面的法向量【课件】
求平面 PCB 和平面 PCE 的一个法向量.
[解]
过O作ON∥BC交AB于点N，因为PO⊥平面ABC，以O为坐
标原点，OA所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OD所在直线为z轴建
立如图所示的空间直角坐标系，设AE＝1，
则E － ，， ，P ，，
B
－ ， ，
，C
，
－ ，－ ，
2. 平面法向量的性质
(1)平面 α 的法向量与 α 内任一向量垂直.
(2)平面的法向量有无穷多个，它们相互平行.
1. 如何确定直线的方向向量?
提示：在已知直线上或在与已知直线平行的直线上取有向线段表示的向量，
都是直线的方向向量. 一般所求的方向向量不唯一，如果需要具体的可以给
坐标赋特殊值.
2. 零向量可以是直线的方向向量或平面的法向量吗?
对于直线 l 上的任意一点 P，一定存在实数 t，使得＝ta. 这个式子称为直
线 l 的向量表示.
1. l 的方向向量 a，我们称向量 a 为平面 α
的法向量. 给定一点 A 和一个向量 a，那么过点 A，且以向量 a 为法向量的平
面是完全确定的.
第三章
4
空间向量与立体几何
向量在立体几何中的应用
4. 1
直线的方向向量与平面的法向量
自
主
预
习
互
动
学
习
达
标
小
练
[课标解读]1. 会求直线的方向向量. 2. 会求平面的法向量.
[素养目标] 水平一：求直线的方向向量(逻辑推理).
水平二：会求平面的法向量(数学运算).
[解]
过O作ON∥BC交AB于点N，因为PO⊥平面ABC，以O为坐
标原点，OA所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OD所在直线为z轴建
立如图所示的空间直角坐标系，设AE＝1，
则E － ，， ，P ，，
B
－ ， ，
，C
，
－ ，－ ，
2. 平面法向量的性质
(1)平面 α 的法向量与 α 内任一向量垂直.
(2)平面的法向量有无穷多个，它们相互平行.
1. 如何确定直线的方向向量?
提示：在已知直线上或在与已知直线平行的直线上取有向线段表示的向量，
都是直线的方向向量. 一般所求的方向向量不唯一，如果需要具体的可以给
坐标赋特殊值.
2. 零向量可以是直线的方向向量或平面的法向量吗?
对于直线 l 上的任意一点 P，一定存在实数 t，使得＝ta. 这个式子称为直
线 l 的向量表示.
1. l 的方向向量 a，我们称向量 a 为平面 α
的法向量. 给定一点 A 和一个向量 a，那么过点 A，且以向量 a 为法向量的平
面是完全确定的.
第三章
4
空间向量与立体几何
向量在立体几何中的应用
4. 1
直线的方向向量与平面的法向量
自
主
预
习
互
动
学
习
达
标
小
练
[课标解读]1. 会求直线的方向向量. 2. 会求平面的法向量.
[素养目标] 水平一：求直线的方向向量(逻辑推理).
水平二：会求平面的法向量(数学运算).
高中数学(人教B版)选择性必修一：空间中的平面与空间向量【精品课件】
C B
证明：连接BC.
D
因为ABCD ABCD为正方体
A
所以AB 面BCCB
所以BC为AC在面BCCB内的射影
因为BCCB为正方形
D
所以BC BC
由三垂线定理，BC AC.
A
C B
C B
例.在正方体ABCD ABCD中， 求证：BD 面ABC.
D A
分析：需要寻找两条相交直线与BD 垂直
P
求平面MNP的法向量.
D
A
M
C B
C N B
z
证明：如图建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为2 ，则
A
A(2,0,0), B(2,2,0),C(0,2,0), D(0,0,2) 由于M , N , P 分别是AB, BC, DD 的中点，
所以M (2,1,0), N (1,2,0), P(0,0,1)
0x 2 y 2z=0 2x 2 y 2z=0
通过消元解方程组：
0x 2y 2x 2
2 y
z=0 2z=0
y z x =0
令y 1,得x 0, z 1,解得n=(0,1,1)
D
练习：在正方体ABCD ABCD 中，
M , N , P分别是AB, BC, DD 的中点， A
D
C
n CD=(0, 2,0) 因为MN (1,0,1)
N
A
B
所以MN n=(0, 2,0) (1,0,1)=0
M
所以MN n
D
Cy
又因为MN 面ADDA
所以MN //面ADDA.
A
B
x
小结：
l//或l v n l v//n // n1//n（2 , 不重合） n1 n（2 , 不重合）
证明：连接BC.
D
因为ABCD ABCD为正方体
A
所以AB 面BCCB
所以BC为AC在面BCCB内的射影
因为BCCB为正方形
D
所以BC BC
由三垂线定理，BC AC.
A
C B
C B
例.在正方体ABCD ABCD中， 求证：BD 面ABC.
D A
分析：需要寻找两条相交直线与BD 垂直
P
求平面MNP的法向量.
D
A
M
C B
C N B
z
证明：如图建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为2 ，则
A
A(2,0,0), B(2,2,0),C(0,2,0), D(0,0,2) 由于M , N , P 分别是AB, BC, DD 的中点，
所以M (2,1,0), N (1,2,0), P(0,0,1)
0x 2 y 2z=0 2x 2 y 2z=0
通过消元解方程组：
0x 2y 2x 2
2 y
z=0 2z=0
y z x =0
令y 1,得x 0, z 1,解得n=(0,1,1)
D
练习：在正方体ABCD ABCD 中，
M , N , P分别是AB, BC, DD 的中点， A
D
C
n CD=(0, 2,0) 因为MN (1,0,1)
N
A
B
所以MN n=(0, 2,0) (1,0,1)=0
M
所以MN n
D
Cy
又因为MN 面ADDA
所以MN //面ADDA.
A
B
x
小结：
l//或l v n l v//n // n1//n（2 , 不重合） n1 n（2 , 不重合）
2022-2023学年高一数学：空间中点、直线和平面的向量表示课件
B－OQ)，OQ＝－OA＋
2OB.设点
Q 的坐标为(x′，y′，z′)，则上
式换用坐标表示，得(x′，y′，z′)＝－(2，
D1
C1
A1
B1
D
A
x
y
C
M
B
解: (1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量.
(2)因为AB=4, BC=3, CC1 =2,M是AB的中点，所以M,C,A的坐标分别为
(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2).因此
=(-3,2,0), 1=(0,-2,2),
设n2=(x,y,z)是平面MCA1的一个法向量，则
n2⊥ ，n2⊥ 1，
所以
2 ⋅ = −3 + 2 = 0
2
= 3
解得
=
2 ⋅ 1 = −2 + 2 = 0
令z=3，则x=2，y=3，所以n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量.
总结
求平面法向量的步骤
4．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、
面面间的平行关系．(数学运算、直观想象)
知识回顾
推广
平面向量
建系
空间向量
代数运算
空间向量解决了哪些几何问题？
平行、垂直问题
距离问题
夹角问题
我们已经把向量由平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有
关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几何要素的对
1 3
C. 1, 2 , 2
2 1
D. - 3 , 3 ,1
2 1
解析: =(2,-1,-3)=-3 - 3 , 3 ,1 ,故选 D.
2OB.设点
Q 的坐标为(x′，y′，z′)，则上
式换用坐标表示，得(x′，y′，z′)＝－(2，
D1
C1
A1
B1
D
A
x
y
C
M
B
解: (1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量.
(2)因为AB=4, BC=3, CC1 =2,M是AB的中点，所以M,C,A的坐标分别为
(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2).因此
=(-3,2,0), 1=(0,-2,2),
设n2=(x,y,z)是平面MCA1的一个法向量，则
n2⊥ ，n2⊥ 1，
所以
2 ⋅ = −3 + 2 = 0
2
= 3
解得
=
2 ⋅ 1 = −2 + 2 = 0
令z=3，则x=2，y=3，所以n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量.
总结
求平面法向量的步骤
4．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、
面面间的平行关系．(数学运算、直观想象)
知识回顾
推广
平面向量
建系
空间向量
代数运算
空间向量解决了哪些几何问题？
平行、垂直问题
距离问题
夹角问题
我们已经把向量由平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有
关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几何要素的对
1 3
C. 1, 2 , 2
2 1
D. - 3 , 3 ,1
2 1
解析: =(2,-1,-3)=-3 - 3 , 3 ,1 ,故选 D.
优选直线的方向向量与平面的法向量演示ppt
第22页，共25页。
而O→A1·O→B＝1－1＋0＝0，O→A1·B→G＝－2＋0＋2＝0， ∴O→A1⊥O→B，O→A1⊥B→G，即 OA1⊥OB，OA1⊥BG. 而 OB∩BG＝B，且 OA1⊄平面 GBD， ∴OA1⊥平面 GBD.
第23页，共25页。
证法三：同证法二建直角坐标系后，设平面 GBD 的一个法 向量为 n＝(x，y，z)，则BB→→GD··nn＝＝00，， ∴－－22xx－＋2z＝y＝0，0.
A．－592，－5236，－14
B．－592，－2572，－14
C．－592，216，－14
D．－2572，－5236，－14
第10页，共25页。
题型2 由直线的方向向量与平面的法向量判断线、 面的位置关系
例 2：根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线 l1，l2 的方向向量分别是 a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)； (2)平面 α，β 的法向量分别是 u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9，0)； (3)直线 l 的方向向量、平面 α 的法向量分别是 a＝(1，－4，－3)， u＝(2,0,3)； (4)直线 l 的方向向量、平面 α 的法向量分别是 a＝(3,2,1)， u＝(－1,2，－1)． 思维突破：若直线 l 的方向向量是 u，平面 α 的法向量是 v，
第12页，共25页。
2．下列命题中正确的是( A ) A．若 n 是平面 ABC 的一个法向量，则 n 和平面 ABC 内任 意一条直线的方向向量垂直 B．若 n 和平面 ABC 内两条直线的方向向量垂直，则 n 是 平面 ABC 的法向量 C．若 n 既是平面α 的法向量，又是平面β 的法向量，则
第17页，共25页。
【变式与拓展】 3．若互不重合的平面α，β的法向量分别为 u＝(1，2，－2)，
而O→A1·O→B＝1－1＋0＝0，O→A1·B→G＝－2＋0＋2＝0， ∴O→A1⊥O→B，O→A1⊥B→G，即 OA1⊥OB，OA1⊥BG. 而 OB∩BG＝B，且 OA1⊄平面 GBD， ∴OA1⊥平面 GBD.
第23页，共25页。
证法三：同证法二建直角坐标系后，设平面 GBD 的一个法 向量为 n＝(x，y，z)，则BB→→GD··nn＝＝00，， ∴－－22xx－＋2z＝y＝0，0.
A．－592，－5236，－14
B．－592，－2572，－14
C．－592，216，－14
D．－2572，－5236，－14
第10页，共25页。
题型2 由直线的方向向量与平面的法向量判断线、 面的位置关系
例 2：根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线 l1，l2 的方向向量分别是 a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2)； (2)平面 α，β 的法向量分别是 u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9，0)； (3)直线 l 的方向向量、平面 α 的法向量分别是 a＝(1，－4，－3)， u＝(2,0,3)； (4)直线 l 的方向向量、平面 α 的法向量分别是 a＝(3,2,1)， u＝(－1,2，－1)． 思维突破：若直线 l 的方向向量是 u，平面 α 的法向量是 v，
第12页，共25页。
2．下列命题中正确的是( A ) A．若 n 是平面 ABC 的一个法向量，则 n 和平面 ABC 内任 意一条直线的方向向量垂直 B．若 n 和平面 ABC 内两条直线的方向向量垂直，则 n 是 平面 ABC 的法向量 C．若 n 既是平面α 的法向量，又是平面β 的法向量，则
第17页，共25页。
【变式与拓展】 3．若互不重合的平面α，β的法向量分别为 u＝(1，2，－2)，
平面法向量的求法
轴平行 轴平行 轴平行
② 单○r 就是面 谁○谁垂r 直 若 ar （0, y, z）, 则 ar 与x 轴垂直 若 ar （x, 0, z）, 则 ar 与y 轴垂直 若 a （x, y, 0）, 则 a与z 轴垂直
1.几个常见的结论：
① 双○就是轴 谁非谁平行
② 单○就是面 谁○谁垂直
③ 双○补单○
z
D1
A1
C1
B1
y
D A
x
C B
2.验证法：感觉良好验证法
已感知到某向量是所求法向量 用线面垂直判定定理验证即可
例1.如图,已知正方体ABD-A1B1C1D1的棱长为1
则平面ACD1的法向量是________ z
解：建立如图所示的坐标系……
D1
令 n （1,1,1）
A1
因
n • AD1 （1,1,1）(1,0,1） 0
(
11
,
)
24
（5 , 2 , 1 ）
三、法向量的求法：
1.直接法：特殊易得直接写 2.验证法：感觉良好验证法 3.三步法：一设二乘三特值 4.平面方程(截距)法： 5.含○速算法： 6.行列式(叉积)法：
均要伪装成： 三步法
1.直接法：特殊易得直接写
坐标面或于其平行的面的法向量，r 可直接写出： 面xoy或于其平行的面的法向量是 nr （0, 0,1） 面yoz或于其平行的面的法向量是 nr （1, 0, 0） 面zox或于其平行的面的法向量是 n （0,1, 0）
1.单○负倒参
例5.在棱长为1的正方体AC1中，M为棱A1B1的中点
求平面BMC1的一个法向量 z
析1：
uuuur
1
MC1 uuuur
求法向量
z
B1
C1
3）面BDE
（1，-1，0）
A1
4）面ACE （-1，1，-2）
5）面DC1E （1，-2，2） 6）面A1CE （-1，1，2）
x
A
E D B
y
C
作业：1、 右图是AD=1， DC=2，DD1 =3的长方体， E、F分别是B1C、BD1 的中点 分别以DA，DC，DD1所在直 线建立右手直角坐标系， 1）求面AC的一个法向量.
z
D1
C1 B1
A1
F
D A
E
C
） 2）求面ACE的一个法向量 3）求面DD1F的一个法向量 x
y
B
4）求面DEF的一个法向量 5）求面AEF的一个法向量
2、已知A（1，1，2）B（3，3，3），C（5，6，5）， 求平面ABC的单位法向量
1 2 2 （ ， ，） 3 3 3
作业:1、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E是BB1的中点,求下列平面的一个法向量 1）面AC.
• 第三步(解):把z(或x或y)看作常数,用z(或x或y) 表示另外两个量 • 第四步(取):取z为任意一个数(当然取得越特殊 越好),便得到平面法向量n的坐标.
练：:在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E 是BB1的中点,求下列平面的一个法向量 1）面AC.
2）面A1D与面C1D
D1
取z =1 得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).
求平面法向量的坐标的步骤
• 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). • 第二步(列):根据n· a = 0且n· b = 0可列出方程组
x1 x y1 y z1z 0 x2 x y2 y z2 z 0
直线的方向向量与平面的法向量课件
提示：(1)√.两条直线平行，它们的方向向量就是共线的，所以方向要么相同，要 么相反． (2)×.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可 以根据需要进行选取． (3)×.两直线的方向向量平行，说明两直线平行或者重合． (4)×.直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面可能平行，也可能在平 面内． (5)×.不一定．当 a＝0 时，也满足 a∥l，尽管 l 垂直于平面 α，a 也不是平面 α 的 法向量．
本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量．
【解析】以 A 为坐标原点，分别以A→B ，A→D ，A→P 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0，0，1)，C(1， 3 ，0)，所以P→C ＝(1， 3 ，－1)，即为直线 PC 的一个方向向量．
【解析】选 C.直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量一定垂直，经检 验只有选项 C 中 s·n＝0.
2．在△ABC 中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设 M(x，y，z)是平 面 ABC 内任意一点． (1)求平面 ABC 的一个法向量； (2)求 x，y，z 满足的关系式．
关键能力·合作学习
类型一 确定直线上点的位置(数学运算) 【典例】已知 O 是坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，4，0)，B(2，5， 5)，C(0，3，5). (1)若O→P ＝12 (A→B －A→C )，求 P 点的坐标； (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 AP∶PB＝1∶2，求 P 点的坐标． 【思路导引】(1)由条件先求出A→B ，A→C 的坐标，再利用向量的运算求 P 点的坐 标． (2)先把条件 AP∶PB＝1∶2 转化为向量关系，再运算．
高中数学 3.2.2平面的法向量与平面的向量表示配套课件 新人教B版选修21
3.2.2
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
【学习要求】 1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量． 2．会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直． 3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题． 【学法指导】
在证明过程中，体会向量法与几何法证明的不同之处．从不同 的角度阐明数学证明的原理，培养我们善于探索、独立思考、 集体交流的好习惯.
第十二页，共28页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)
3.2.2
更高效
跟踪训练 2 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2，E、
F 分别是 BB1、DD1 的中点，求证：
(1)FC1∥平面 ADE；
(2)平面 ADE∥平面 B1C1F.
证明 (1)建立如图所示空间直角坐标系
Dxyz，
研一研·问题(wèntí)探究、课堂
3.2.2
更高效
例2 在四面体 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，BC＝CD，∠BCD
＝90°，∠ADB＝30°，E、F 分别是 AC、AD 的中点，求
证：平面 BEF⊥平面 ABC.
证明 建系如图，设 A(0,0，a)，
则易得 B(0,0,0)，C
23a，
23a，0，
练一练·当堂检测(jiǎn cè)、目标达成 落实处
3.2.2
3．已知 l∥α，且 l 的方向向量为(2，m,1)，平面 α 的法向量 为1，12，2，则 m＝________. 解析 ∵(2，m,1)·1，12，2＝2＋12m＋2＝0. ∴m＝－8.
答案 －8
第二十五页，共28页。
练一练·当堂检测(jiǎn cè)、目标达成
3.2.2
问题 2 根据下列条件，判断相应的直线与平面、平面与平 面的位置关系． (1)直线 l 的方向向量、平面 α 的法向量分别是 a＝(3,2,1)， n＝(－1,2，－1)； (2)平面 α、β 的法向量分别是 n1＝(1,3,0)，n2＝(－3，－9,0)； (3)平面 α、β 的法向量分别是 n1＝(1，－3，－1)，n2＝(8,2,2)． 解 (1)∵a＝(3,2,1)，n＝(－1,2，－1)， ∴a·n＝－3＋4－1＝0，∴a⊥n，∴l⊂α 或 l∥α.
3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示
【学习要求】 1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量． 2．会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直． 3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题． 【学法指导】
在证明过程中，体会向量法与几何法证明的不同之处．从不同 的角度阐明数学证明的原理，培养我们善于探索、独立思考、 集体交流的好习惯.
第十二页，共28页。
研一研·问题探究、课堂(kètáng)
3.2.2
更高效
跟踪训练 2 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2，E、
F 分别是 BB1、DD1 的中点，求证：
(1)FC1∥平面 ADE；
(2)平面 ADE∥平面 B1C1F.
证明 (1)建立如图所示空间直角坐标系
Dxyz，
研一研·问题(wèntí)探究、课堂
3.2.2
更高效
例2 在四面体 ABCD 中，AB⊥平面 BCD，BC＝CD，∠BCD
＝90°，∠ADB＝30°，E、F 分别是 AC、AD 的中点，求
证：平面 BEF⊥平面 ABC.
证明 建系如图，设 A(0,0，a)，
则易得 B(0,0,0)，C
23a，
23a，0，
练一练·当堂检测(jiǎn cè)、目标达成 落实处
3.2.2
3．已知 l∥α，且 l 的方向向量为(2，m,1)，平面 α 的法向量 为1，12，2，则 m＝________. 解析 ∵(2，m,1)·1，12，2＝2＋12m＋2＝0. ∴m＝－8.
答案 －8
第二十五页，共28页。
练一练·当堂检测(jiǎn cè)、目标达成
3.2.2
问题 2 根据下列条件，判断相应的直线与平面、平面与平 面的位置关系． (1)直线 l 的方向向量、平面 α 的法向量分别是 a＝(3,2,1)， n＝(－1,2，－1)； (2)平面 α、β 的法向量分别是 n1＝(1,3,0)，n2＝(－3，－9,0)； (3)平面 α、β 的法向量分别是 n1＝(1，－3，－1)，n2＝(8,2,2)． 解 (1)∵a＝(3,2,1)，n＝(－1,2，－1)， ∴a·n＝－3＋4－1＝0，∴a⊥n，∴l⊂α 或 l∥α.
直线的方向向量与平面的法向量课件高二下学期数学选择性
1－
315052＝
3352，
所以平行四边形 ABCD 的面积＝|A→B|·|A→D|·sin ∠BAD＝8 6.
内容索引
内容索引
1. 已知直线 l 的一个方向向量为 m＝(2，－1，3)，且直线 l 过 A(0，
y，3)和 B(－1，2，z)两点，则 y－z 等于
()
A. 0
B. 1C.Fra bibliotek3 2【答案】 AC
12345
内容索引
4. 在空间直角坐标系O-xyz中，设平面α经过点P(1，0，0)，平面α 的法向量为e＝(1，0，0)，M(x，y，z)为平面α内任意一点，则x，y，z 满足的关系是______________．
【解析】 由题意可知 e·P→M＝0，即(1，0，0)·(x－1，y，z)＝0，所 以 x＝1，y∈R，z∈R.
D. 3
【解析】 因为 A(0，y，3)和 B(－1，2，z)，所以A→B＝(－1，2－y， z－3).因为直线 l 的一个方向向量为 m＝(2，－1，3)，故设A→B＝km， 所以－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k，解得 k＝－12，y＝32，z＝32，所以 y－z＝0.
【答案】 A
12345
Thank you for watching
直线l上的非零向量e以及与e共线的非零向量叫作直 直线的方向向量
线l的方向向量 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面 平面的法向量 α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我 们把向量n叫作平面α的法向量
内容索引
(2) 用向量表示直线的位置：
直线 l 上一点 A 条件
直线的方向向量
如果在直线 l 上取A→B＝a，那么对于直线 l 上任意一点 P， 性质
北师大版选择性必修第一册第3章44.1 直线的方向向量与平面的法向量课件(44张)
1．求直线的方向向量时，要充分利用几何体中的平行关系，平 行直线的方向向量共线．
2．在空间中，过点 A，方向向量为 n 的直线可以表示为O→P＝O→A ＋tn．
[跟进训练] 1．如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，以顶点为向量端点的 所有向量中，直线 AB 的方向向量有( )
A．8 个 B．7 个 C．6 个 D．5 个
当堂达标·夯基础
必备素养 学以致用
1．若要证明一个向量是一条直线的方向向量，只要证明向量所 在直线与直线平行或重合即可；若要证明一个向量是一个平面的法向 量，只要证明向量所在直线垂直于平面即可．
2．直线的方向向量与平面的法向量是本章的两个重要概念，它 是研究与直线、平面有关的位置关系与数量关系的基础，要掌握其求 法．
1234
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 直线的方向向量及应用 【例 1】 在空间直角坐标系 O-xyz 中，已知直线 l 过点 A(－1， 0，2)，其方向向量为 n＝(2，1，3)． (1)求直线 l 的向量表达式； (2)求直线 l 与坐标平面 xOy 的交点 B 的坐标．
[解] (1)直线 l 的向量表达式为O→P＝O→A＋tn(t∈R)． (2)由(1)知，O→P＝(－1＋2t，t，2＋3t)，令 2＋3t＝0，得 t＝－23， 所以，点 B 的坐标为－73，－23，0．
[解] A(0，0，0)，D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)． ∵AD⊥平面 SAB， ∴A→D＝(1，0，0)是平面 SAB 的一个法向量． 设平面 SCD 的法向量为 n＝(1，y，z)，则 n·D→C＝(1，y，z)·(1， 2，0)＝1＋2y＝0，
∴y＝－12．又 n·D→S＝(1，y，z)·(－1，0，2)＝－1＋2z＝0，∴z ＝12．
高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.2空间中的平面与空间向量课件
【例1】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD
的中点.AB=AP=1,AD= √3 ,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE的
一个法向量.
解因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.
如图,以 A 为坐标原点, , , 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间
· = 0,
则
即
- = 0,
· = 0,
= 3,
解得
令 z=1,则 x=y=3,
= .
故平面 ABC 的一个法向量为 n=(3,3,1).
探究点二 有关空间向量的证明问题
角度1利用空间向量证明平行问题
【例2】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,
第一章
1.2.2 空间中的平面与空间向量
课标要求
1.理解平面的法向量的定义并能在空间直角坐标系中正确地求出某一平
面的法向量;
2.能用向量语言表达线面、面面的垂直、平行关系;
3.理解三垂线定理及其逆定理.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
学以致用•随堂检测全达标
基础落实•必备知识全过关
共线向量表示且直线不在平面内;③证明直线的方向向量与平面的法向量
垂直且直线不在平面内,如例2(1)中,FC1⊄平面ADE一定不能漏掉.
(2)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行.当然要
注意当法向量坐标中有0时,要使用n1=λn2这一形式.
变式训练2
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PB与底面所成的角为45°,底面
平面的法向量课件
3. 验证结果：通过已知条件 验证直线与平面的位置关系是
否成立。
例题三：用平面的法向量求线面角
总结词：通过已知直线和平面的法向量 可以求出直线与平面之间的夹角。
3. 验证结果：通过已知条件验证计算出 的夹角θ是否符合实际情况。
2. 计算夹角：通过向量的点乘和向量的 模长计算直线与平面之间的夹角θ。
方向。
定义法适用于任何形式的平面，无论是 固定平面还是动态平面。
方向向量法
方向向量法是一种基于平面方程的求解方法。通过已知平面的方程，我们可以求出 平面的一个方向向量，这个方向向量就是平面的法向量。
方向向量法的具体步骤是：首先确定平面的方程，然后通过对方程进行微分运算， 得到一个与方程垂直的方向向量。这个方向向量就是平面的法向量。
说明
法向量在解决几何问题中扮演着重要的角色，它是解决许多几何问题的关键所 在。
02
平面的法向量的计算方法
定义法
定义法是求平面的法向量的基本方法之 一。根据定义，平面法向量是垂直于平 面的一个向量，其方向与平面的走向相
上 一个点，然后通过该点做一个垂直于平 面的直线，这条直线就是平面的一个法 线，而法线的方向就是平面的法向量的
详细描述
1. 定义直线和平面的法向量：设直线l的 法向量为m，平面α的法向量为n。
05
平面的法向量的实践与思考
在实际问题中平面的法向量的应用
01
02
03
方向判断
平面的法向量可以用于判 断物体在平面上的方向， 如机器人移动、飞行器导 航等。
距离测量
通过平面的法向量可以计 算点到平面的距离，为测 量和计算提供便利。
求解线面角
总结词
通过平面的法向量，我们可以求解线面角。
相关主题
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的法向量可设为 A1
M (1, 2 ,1)
B1
r n
(
1
,
1
,
z)
D O
xy
C y
A
.
x
B (1,1,0)
4
问题2：在长宽高分别为2,1,2的长方体AC1中r，uuur
求平面AC1的一个法向量.
ngAA1 0,
解：u A u C u r ( 1 , 2 , 0 ) , u A u A u r 1 ( r0 , 0 , 2 ) , 0 g x 0 g y 2 g z 0
1,0)
a bx
A(a,0,0) .
B(0,b,0) y
6
类比迁移
结论1
1.平面ABCD//z轴，在x轴、y轴上的截距分别 为a、b，则平面ABCD的一个法向量 ( 1 , 1 , 0 )
ab
2.平面ABCD//x轴，在y轴、z轴上的截距分别
为b、c，则平面ABCD的一个法向量 ( 0 , 1 , 1 ) bc
z
N
D1
Q
C1
P
A1
M(0,-2,0)
D O
R(1,0,0)
A(2,0,0) . x
B1(2,2,2) C(0,2,0) y
B(2,2,0)
13
直击高考
（2010浙江理数改编）在矩形ABCD中，点E、F分 别在线段AB、AD上，AE=EB=AF2 = FD=4.沿直线
3
EF将△AEF翻折成△A1EF，使平面A1EF⊥平面BEF.求 平面A1FD的一个法向量.
r n1
(0,
1
,
2)
24
A
G(0,2,0)
F
z A1(0, 0, 2 2 )
E
B
O
y
x
D.
C
14
巩固练习
练2.已知ABCD是上下底边长分别为2和6，高为 3
的等腰梯形，将他沿对称轴OO1折成直二面角，求 平面OAC和ACO1的一个法向量. z
D O1 C
O1( 0 ,
0, C
3) ( 0 , 1,
3.平面ABCD//y轴，在x轴、z轴上的截距分别
为a、c，则平面ABCD的一个法向量 ( 1 , 0 , 1 ) ac
.
7
探究规律
问题4：平面AOBD，O是原点，A在z轴上
点B(a,b,0),则平面AOBD的一个法向量为
( 1 , 1 ,0) ____a__b______
z
u u u r u u u r
分别为a、b、c，则平面ABC的一个法向量为
(1 ,1 ,1) ___a___b___c ___
z C (0,0,c)
O x A (a,0,0) .
B (0,b,0) y
10
探究规律
结论3 平面ABC在x轴,y轴,z轴上的截距分别为a,b,c， 则平面ABC的一个法向量为 ( 1 , 1 , 1 )
abc
.
11
Байду номын сангаас
练1：在棱长为2的正方体AC1中,P,Q,R分别为棱
A1D1,C1D1, AD的中点,求以下平面的一个法向量.
(1)面RCD1; (1 , 1 , 1 ) (2)面PRCC1; 2 2
(1, 1 , 0 ) 2
z
D1(0,0,2) P(1,2,0)
A1
B1
D
O
R(1,0,0)
.
A
B
x
C1
ab
2.平面AOBD,O是原点,A在x轴上点B(0,b,c), 则平面AOBD的一个法向量为 ( 0 , 1 , 1 )
bc
3.平面AOBD,O是原点,A在y轴上点B(a,0,c),
则平面AOBD的一个法向量为 ( 1 , 0 , 1 )
.
a c9
探究规律
问题5：平面ABC在x轴、y轴、z轴上的截距
在空间直角坐标系下求平面 的法向量
.
1
在空间直角坐标系下， 如何求平面的法向量？
r 1.设平面α的法向量 n(x,y,z)
rr 2.在平面α内找两个不共线的向量 a , b
rr rr 3.由 na0 ,n 得b 到 关0 于x,y,z的三元一次
方程组，解之可得平面的法向量
α
.
2
特殊平面的法向量
1.平面ABCD//y轴和z轴，则平面ABCD的 一个法向量为__(_1_,0_,_0_) _
距分别为a、b，则平面ABCD的一个法向量为
(1 ,1 ,0) ___u au _u r __b ______ u u u r
z
解：A B ( a ,b ,0 ) ,B C ( 0 ,0 ,c ) ,
C(0,b,c)
设平r面ABCD的一个D法向量
为n(x,y,0)
r uuur
O
nAB0
r n
(1,
n r设平u A u 面C urA C10 的 一个法x 向2量y为z0n (nrx,y,(10,)12,0)
反思2r ：
D1
跟向量a =(x,0,0)垂直
C1(0,2,2)
的法向量可设为 A1 (1,0,2)
B1
r n(0,y,z)
D
C(0,2,0)
O
y
A(1,0. ,0)
B
5
x
探究规律
问题3：平面ABCD//z轴，在x轴、y轴上的截
解：M u u u C u r1( 1 ,1 2,0 ),u B u C u u r1( r1 ,0 ,1 )
(1)gx1y0gz0 2
设r 平uu面uuBrMC1的一个法向量为rn(1,2,z)
nBC1 0
z
1
n(1,2,1)
z
反思1r： 跟向量a =(x,y,0)垂直
D1 1
C1(0,1,1)
解：O A ( 0 ,0 ,c ) ,O D ( a ,b ,0 )A(0,0,c)
设平r面OABD的一个法向量
为n(x,y,0)
r uuur
nOD0
O
nr (1,1,0)
x
ab
.
B
y D(a,b,0)
8
类比迁移
结论2
1.平面AOBD,O是原点,A在z轴上点B(a,b,0), 则平面AOBD的一个法向量为 ( 1 , 1 , 0 )
C(0,2,0) y
12
练1：在棱长为2的正方体AC1中,P,Q,R分别为棱
A1D1,C1D1, AD的中点,求以下平面的一个法向量.
(3)面PQAC; ( 1 , 1 , 1 )
( 1, 1 , 0 )
(4)面PRBB1; 2 2 4 T(0,0,4)
2
反思通3：过延长线段找平
面与坐标轴的交点
2.平面ABCD//x轴和z轴，则平面ABCD的 一个法向量为_(_0_,_1_,0_)__
3.平面ABCD//x轴和y轴，则平面ABCD的 一个法向量为__(_0_,0_,_1_) _
.
3
问题1：在棱长为1的正方体AC1中，M为棱Ar1Bu1uuur
的中点，求平面BMC1的一个法向量.
ngMC10
3)
D
A
O
B
O
x A (3, 0, 0)
r n1 (0,1,
3)
3
r n2
(1 ,0,
3)
.3 3
y B
15
巩固练习
练3.直三棱柱AC1中，∠ACB=90°，AC=1，