微积分中数学符号的由来

微积分中数学符号的由来

作者：梁海滨

来源：《中小企业管理与科技·上旬刊》2013年第11期

摘要：介绍了积分符号∫、无穷大符号∞、极限符号lim、数集符号、判别式符号？驻、自然对数底数符号e、属于符号∈等微积分中常见数学符号的由来，帮助学生更好地掌握这一学科知识，激发学生学习兴趣，培养学生的数学素质。

关键词：微积分数学符号由来

“使用符号，是数学史上的一件大事。一套合适的符号，绝不仅仅是起速记、节省时间的作用。它能够精确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系。一个较复杂的公式，如果不用符号而用日常语言来叙述，往往十分冗长而且含糊不清。”（引自我国数学史家梁宗巨的《世界数学史简编》）。

1 积分符号∫的由来

积分的本质是无穷小的和，拉丁文中“Summa”表示“和”的意思。将“Summa”的头一个字母“S”拉长就是∫。

发明这个符号的人是德国数学家莱布尼茨（Friedrich ， Leibniz）。莱布尼兹具有渊博的知识，在数学史上他是最伟大的符号学者，并且具有符号大师的美誉。莱布尼兹曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动。”莱布尼兹创设了积分、微分符号，以及商“a/b”，比“a：b”，相似“∽”，全等“≌”，并“∪”，交“∩”等符号。

牛顿和莱布尼茨在微积分方面都做出了巨大贡献，只是两者在选择的方法和途径方面存在一定的差异。在研究力学的基础上，牛顿利用几何的方法对微积分进行研究；在对曲线的切线和面积的问题进行研究的过程中，莱布尼兹采用分析学方法，同时引进微积分要领。在研究微积分具体内容的先后顺序方面，牛顿是先有导数概念，后有积分概念；莱布尼兹是先有求积概念，后有导数概念。在微积分的应用方面，牛顿充分结合了运动学，并且造诣较深；而莱布尼兹则追求简洁与准确。另外，牛顿与莱布尼兹在学风方面也迥然不同。牛顿作为科学家，具有严谨的治学风格。牛顿迟迟没有发表他的微积分著作《流数术》的原因，主要是他没有找到科学、合理的逻辑基础，另外，可能也是担心别人的反对。与此相反，莱布尼兹作为哲学家，富于想象，比较大胆，勇于推广，主要表现为，在创作年代方面：牛顿比莱布尼兹领先10年，然而在发表时间方面，莱布尼兹却领先牛顿3年。对于微积分的研究，虽然牛顿和莱布尼兹采用的方法不同，但是却殊途同归，并且各自完成了创建微积分的盛业。

2 无穷大符号∞的由来

将8水平置放成“∞”来表示“无穷大”符号。

有人说这个符号的创意来自莫比乌斯带，因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永远不会停下来。但有人反驳说“∞”的发明比莫比乌斯带还要早。

罗马人将“∞”表示为1000，后来用于表示任意的非常大的数，无穷大。牛津大学的教授约翰·威廉在公元1665年第一次将这个符号表示为无限。但该符号直至1713年贝努利使用它之后，才被广为采纳。

3 极限符号lim的由来

“极限”一词源于拉丁文“limes”，缩写为“lim”。1786年瑞士数学家鲁易理（Lhuillier）首次引入，后人不断完善，发展了长达122年之久，由英国数学家哈代（Haddy）的完善极限符号才成为今天通用的符号。

4 自然对数底数符号e的由来

就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一，是瑞士数学家及自然科学家欧拉（Euler）通过极限■1+■■=e而发现的，它是个无限不循环小数，其值等于2.71828……以e 为底的对数叫做自然对数，用符号“ln”表示。上述求极限e的公式被英国科学期刊《物理世界》2004年10月号公布为读者选出的科学界历来“最伟大的公式”之一，并且名列第二。

在父亲的教育下，欧拉13岁进入巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。在一场重病中，他的左眼完全失明，凭借惊人的记忆力和心算技巧，欧拉继续科学创作，他与助手们通过讨论或者直接口授的方式完成大量的科学著作。欧拉在18世纪的数学界作为最杰出的人物，为数学界做出杰出的贡献，同时将数学推至几乎整个物理的领域。另外，欧拉还创设了许多数学符号，其中他将曲面表示为z=f（x，y）并引入一系列标准符号以表示z对x，y的偏导数，至今这些符号仍通用。欧拉对数学的研究如此广泛，因此以他的名字命名的重要常数、公式和定理等在许多数学的分支中也可经常见到。

5 数集符号由来

自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R，复数集C是分别由单词natural number （英语“自然数”的意思）、Zahlen（德语“整数”的意思，一位德国数学家在整数环中首次用这个字母，后来被沿用）、quotient（英语“商”的意思，因为有理数是两个整数相比的结果，有理数的英文是rational number，但如果取头一个字母就会和实数集符号相重）、real number （英语“实数”的意思）、complex number（英语“复数”的意思）。

6 判别式符号？驻的由来

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式

？驻b2-4ac，判别式符号“？驻”是由“Discriminate”（判别式）

一词的第一个字母D得来的，而字母D相当于希腊字母？驻。

7 属于符号∈的由来

“∈”表示一个元素属于某一集合的记号，是意大利数学学家皮亚诺（Peano）在1889年的数学著作中首先使用的。

在数系理论研究方面，皮亚诺做出了重大贡献。在1889年出版的《算术原理新办法》一书中，皮亚诺提出“皮亚诺自然数公理”举世闻名，在书中他还对许多逻辑符号进行了创新。在1891年创建了《数学杂志》，皮亚诺在这个杂志上利用数理逻辑符号写下自然数公理，并对它们的独立性进行了证明。皮亚诺于1893年发表《无穷小分析教程》，该书被德国的数学百科全书列在“自L.欧拉（Euler）和A.L，柯西（GAUCHY）时代以来最重要的19本微积分教科书”之中。皮亚诺撰写的《数学百科全书》中有很多地方引人注目，例如推广微分中值定理；多变量函数一致连续性的判定定理；隐函数存在定理以及其可微性定理的证明；部分可微但整体不可微的函数的例子；当时流行的极小理论的反例等。

8 平方根符号■的由来

“根”的拉丁语是radix，它是阿拉伯语的译名，在数学上具有双重意义；一方面表示方程的未知数，另一方面又表示一个数的平方根。1637年，法国哲学家、数学家笛卡尔在光辉的《几何学》著作中，他巧妙地在路多尔夫、斯蒂文创用的符号“■”上面添上一个括线“—”，即用■表示平方根（且多了一个小钩）。

将代数和几何巧妙地联系在一起，这是笛卡尔在数学上的杰出贡献，从而创造了解析几何这门学科。笛卡尔于1760年2月，病逝于斯德哥尔摩，由于教会的阻止，为其送葬仅有几个友人。在他死后其著作也被教会列为禁书。但是，广大科学家和革命者却对这位对科学做出巨大贡献的学者充满了敬仰和怀念。笛卡尔的骨灰和遗物在法国大革命之后被送进法国历史博物馆。其骨灰在1819年被移入圣日耳曼圣心堂中。墓碑上镌刻着：笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为争取和捍卫理性权利而奋斗的人。

9 其它数学符号由来

①任意符？坌。任意号来源于英语中的any一词，因为小写和大写均容易造成混淆，故将其单词首字母大写后倒置。

②存在符号？埚。存在符号来源于英语中的exist一词，因为小写和大写均容易造成混淆，故将其单词首字母大写后反置。