三角形内角和定理的应用

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三角形内角和定理的应用

张水华

三角形内角和定理及其推论表明了三角形的内角之间、内角与外角之间的关系。这些关系对于解答有关三角形角的问题有着很重要的作用。下面举例说明它在解题中的若干应用。

1. 求三角形中角的度数

例1 已知△ABC 中,∠A :∠B :∠C=2:3:4,求各内角的度数。

分析:这个比例式是以后学习中经常遇到的。我们知道,三角形的内角和是180°,如果将角的比例式转化为每一个角的度数,问题就可解决。设参数是个好方法。 解:设∠A 、∠B 、∠C 的大小分别为2x °、3x °、4x °.

根据三角形内角和定理,得180x 4x 3x 2=++

解得x=20

∴∠A=2×20°=40°,∠B=3×20°=60°,∠C=4×20°=80°。

例2 如图1,在△ABC 中,∠A=50°,∠B 、∠C 的平分线交于O 点,求∠BOC 的度数。

图1

分析:在△BCO 中,若知道∠1与∠2的度数和,可求出∠BOC 的度数。在△ABC 中,已知∠A 的度数,可求出∠ABC 和∠ACB 的度数和,进而可求出∠1与∠2的度数和。 解:如图1,由三角形内角和定理,得

∠ABC +∠ACB=180°-∠A=130°

又由题设知∠1=

21∠ABC ,∠2=21∠ACB ∴∠1+∠2=

21∠ABC +21∠ACB =

21(∠ABC +∠ACB ) =2

1×130° =65°

∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-65°=115°。

2. 求特殊图形中某些角的度数之和

例3 如图2,求五角星的五个顶角的度数之和。

图2

分析:观察图2可发现,∠2=∠B +∠D ,∠1=∠E +∠C ,这样将五个角的度数集中到一个三角形中。

解:由三角形内角和定理的推论,得

∠B +∠D=∠2,∠C +∠E=∠1

∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E

=∠A +∠2+∠1=180°

3. 确定角与角之间的关系

例4 如图3,AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条角平分线,它们交于O 点,则∠DOC 与∠ABE 的关系是( )

A. 相等

B. 互余

C. 互补

D. 无法判断

图3

分析:观察图3,∠1+∠2+∠ABE 是△ABC 内角和的一半,即90°。又∠DOC 是△OAC 的一个外角,所以∠DOC=∠1+∠2,那么∠DOC +∠ABE=90°。

解:∵∠DOC=∠1+∠2=

21∠BAC +21∠BCA =2

1(180°-∠ABC ) =90°-

21∠ABC =90°-∠ABE

∴∠DOC +∠ABE=90°,即两角互余,故应选B 。

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