6925椭圆的综合问题
专题47 椭圆——直线与椭圆的综合问题(课后层级训练)-2020年新高考数学一轮复习
课下层级训练(四十七) 直线与椭圆的综合问题[A 级 基础强化训练]1．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 23＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 25＋y 24＝1【★答案★】C [设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且|AB |＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]2．(2019·山东枣庄检测)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A ．43 B ．53 C ．54D ．103【★答案★】B [由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，不妨设A 点的纵坐标y A ＝－2，B 点的纵坐标y B ＝43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53.]3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( ) A ．12 B ．22 C ．32D ．55【★答案★】C [设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知y M ＝－b 2a 2k x M ，代入k ＝1，M (－4,1)，解得b 2a 2＝14，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝32.]4．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A ．53 B ．23 C ．23D ．13【★答案★】A [由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3. 根据勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53.] 5．(2019·山东济宁模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝( ) A ．60° B ．90° C ．120°D ．150°【★答案★】B [由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y ＝kx ＋a (k >0)，与椭圆方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y 整理得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 3x ＋a 4－a 2b 2＝0， 由Δ＝(2ka 3)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0，得k ＝c a ，从而y ＝c a x ＋a 交x 轴于点A (－a 2c，0)，又F (c,0)，易知BA →·BF →＝0，故∠ABF ＝90°.]6．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝____________．【★答案★】12 [设MN 交椭圆于点P ，连接F 1P 和F 2P (其中F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN |＋|BN |＝2|F 1P |＋2|F 2P |＝2×2a ＝4a ＝12.]7．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则PA →·PB →的取值范围是______________．【★答案★】[3,15] [圆心C (1,0)为椭圆的右焦点，PA →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝(PC →＋CA →)·(PC →－CA →)＝PC →2－CA →2＝|PC →|2－1，显然|PC →|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,4]，所以PA →·PB →＝|PC →|2－1∈[3,15]．]8．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________________． 【★答案★】3－1 [直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2．在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c＝3－1.]9．(2019·山东济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．【★答案★】解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1．(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0， Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <23．∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3． ∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355．10．如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．【★答案★】解 设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0．因为直线AB 过椭圆的左焦点F ，所以方程有两个不等实根，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4k22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，所以AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2．因为k ≠0，所以－12<x G <0，所以点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0．[B 级 能力提升训练]11．(2019·辽宁沈阳模拟)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为43，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．【★答案★】解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，因为c ＝2 3.e ＝c a ＝32，所以a ＝4，b ＝2， 所求椭圆方程为x 216＋y 24＝1．(2)由题得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 216＋y 24＝1得(1＋4k 2)x 2＋8kx －12＝0，且Δ＞0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由若AM →＝2MB →， 得x 1＝－2x 2，又x 1＋x 2＝－8k 1＋4k 2，x 1x 2＝－121＋4k 2，所以－x 2＝－8k 1＋4k 2，－2x 22＝－121＋4k 2，消去x 2解得k 2＝320，k ＝±1510，所以直线l 的方程为y ＝±1510x ＋1． 12．(2019·山东东营月考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，－1)，离心率e ＝22．(1)求椭圆的方程；(2)已知点P (m,0)，过点(1,0)作斜率为k (k ≠0)直线l ，与椭圆交于M ，N 两点，若x 轴平分∠MPN ，求m 的值．【★答案★】解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，过点(0，－1)，离心率e ＝22，所以b ＝1，c a ＝22， 所以由a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝2， 所以椭圆C 的标准方程是x 22＋y 2＝1，(2)因为过椭圆的右焦点F 作斜率为k 直线l ，所以直线l 的方程是y ＝k (x －1)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1消去y ， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 显然Δ＞0，设点M (x 1，y 1)，N (x 1，y 1)， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，因为x 轴平分∠MPN ，所以∠MPO ＝∠NPO ． 所以k MP ＋k NP ＝0， 所以y 1x 1－m ＋y 2x 2－m＝0，所以y 1(x 2－m )＋y 2(x 1－m )＝0，所以k (x 1－1)(x 2－m )＋k (x 2－1)(x 1－m )＝0， 所以2kx 1x 2－(k ＋km )(x 1＋x 2)＋2km ＝0， 所以2·2k 2－21＋2k 2－(1＋m )·4k21＋2k 2＋2m ＝0所以－4＋2m1＋2k2＝0，所以－4＋2m ＝0，所以m ＝2．13．(2019·山东德州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与C D ．当直线AB 斜率为0时，AB ＝4．(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．【★答案★】解 (1)由题意知e ＝c a ＝12，2a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1．(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB |＋|CD |＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线AB 方程代入椭圆方程中并整理得 (3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12(k 2＋1)3＋4k2．同理，|CD |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋13＋4k2＝12(k 2＋1)3k 2＋4． 所以|AB |＋|CD |＝12(k 2＋1)3＋4k 2＋12(k 2＋1)3k 2＋4＝84(k 2＋1)2(3＋4k 2)(3k 2＋4)＝487， 解得k ＝±1，所以直线AB 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0．14．(2019·湖北荆州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，直线l过椭圆C 的右焦点F 且与椭圆C 交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P (4,0)，求证：若圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN 也相切．【★答案★】(1)解 设椭圆C 的焦距为2c (c ＞0)，依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋94b 2＝1解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．(2)证明 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，M ，N 两点关于x 轴对称，点P (4,0)在x 轴上， 所以直线PM 与直线PN 关于x 轴对称， 所以点O 到直线PM 与直线PN 的距离相等，故若圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线PM 相切，则也会与直线PN 相切；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，k PM ＝y 1x 1－4＝k (x 1－1)x 1－4，k PN ＝y 2x 2－4＝k (x 2－1)x 2－4，k PM ＋k PN ＝k (x 1－1)x 1－4＋k (x 2－1)x 2－4＝k [2x 1·x 2－5(x 1＋x 2)＋8](x 1－4)(x 2－4)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－243＋4k 2－40k 23＋4k 2＋8(x 1－4)(x 2－4)＝0，所以，∠MPO ＝∠NPO ，于是点O 到直线PM 与直线的距离PN 相等， 故若圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线PM 相切，则也会与直线PN 相切；综上所述，若圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN 也相切．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
椭圆中的分类讨论 专题训练
椭圆中的分类讨论专题训练简介椭圆是数学中的一种曲线，具有多种分类方法和讨论内容。
本次专题训练将着重讨论椭圆的分类方法和相关问题。
椭圆的定义椭圆是平面上一组点，其到两个定点的距离之和等于定长的常数。
数学表达式为：$|\overline{PF_1}| + |\overline{PF_2}| = 2a$，其中$a$为常数，$F_1$和$F_2$为椭圆的两个焦点。
椭圆的参数方程椭圆也可以使用参数方程来表示。
参数方程可以通过描述椭圆上的点与一个参数（通常是角度）之间的关系。
常见的参数方程为：$$\begin{aligned}x &= a\cos(t) \\y &= b\sin(t)\end{aligned}$$其中$a$和$b$分别为椭圆的长半轴和短半轴，$t$为参数。
椭圆的分类根据椭圆的长短半轴之间的关系，我们可以将椭圆分为不同的类型。
1. 等轴椭圆：当长半轴和短半轴相等时，即$a=b$，椭圆为等轴椭圆。
等轴椭圆具有特殊的对称性，并且沿着对称轴有多个重叠点。
2. 扁圆椭圆：当长半轴大于短半轴时，即$a>b$，椭圆为扁圆椭圆。
扁圆椭圆的形状更加扁平，离标准圆形更远。
3. 瘦圆椭圆：当短半轴大于长半轴时，即$b>a$，椭圆为瘦圆椭圆。
瘦圆椭圆的形状更加狭长，接近于直线。
椭圆的相关问题除了椭圆的分类外，我们还可以探讨其他与椭圆相关的问题，如：1. 椭圆的焦点和直径之间的关系。
2. 椭圆的离心率和长短半轴之间的关系。
3. 椭圆的切线方程和法线方程。
4. 椭圆的旋转和平移。
以上只是一些椭圆相关问题的简要提及，我们可以根据具体需要进行更深入的讨论和研究。
希望本次专题训练能帮助大家更好地理解和应用椭圆的分类方法和相关知识。
上海2020届高三数学基础知识回顾辅导讲义—椭圆双曲线—-教师版
1/ 61高三数学（教师版）一、椭圆1.椭圆定义：平面内到两个定点1F ，2F （12||2F F c =）的距离的和等于常数2(0)a a c >>的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点1F ，2F 叫做椭圆的焦点，两个焦点的距离12||2F F c =叫做焦距． 注意：若设动点为P ，则（1）当1212||||||PF PF F F +>时，动点P 的轨迹是椭圆．（2）当1212||||||PF PF F F +=时，动点P 的轨迹是线段．（3）当1212||||||PF PF F F +<时，动点P 的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程及性质 椭圆的标准方程及性质列于下表中．焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程222222201a b x y b c a a b >>⎛⎫+= ⎪+=⎝⎭222222201a b y x b c a a b >>⎛⎫+= ⎪+=⎝⎭图形焦点坐标1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c ，2(0,)F c -椭圆与双曲线知识梳理2/ 613．椭圆的其他性质①椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大、最小的点是长轴的两个端点，最大距离是a c +，最小距离是a c -． ③设椭圆的两个焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上的点，当点P 在短轴的端点时12F PF ∠最大． ④椭圆的焦点的光学性质：从任一焦点发出的光线通过椭圆面反射后，反射光线经过另一焦点． 4．直线与椭圆的位置关系 联立方程，看∆．0∆>（其中a 为二次项系数）； 0∆=，直线与椭圆相切，也即直线与椭圆只有一个公共点； 0∆<，直线与椭圆无交点．二、双曲线1.双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（12F F <）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））．这两个定点叫双曲线的焦点． 2.双曲线标准方程的两种形式：3/ 613.直线0=++C By Ax 和双曲线12222=-b y a x 的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程。
高中数学人教A版选修2-1课件：2习题课1 椭圆的综合问题及应用
25 = ,则 4
5 c= ,2c=5. 2
75 4
首页 探究一 探究二 探究三 思想方法
课前预习案
课堂探究案
(2)设 P(x0,y 0),则 ������△������������1 ������2 = · |F1F2|· |y0|, 由 (1)可得
1 2 1 2
椭圆两个交点的横坐标.
首页
课前预习案
课堂探究案
做一做1 若点M是椭圆 F1,F2,则△MF1F2的周长为( ) A.4 B.6 C.8 D.4+2 3 解析：由已知得a=2,b= 3 ,c=1, 所以△MF1F2的周长等于2a+2c=4+2=6. 答案：B
������2 4
������2 + =1 上任意一点,两个焦点分别为 3
课前预习案
课堂探究案
探究一利用椭圆的定义解决焦点三角形问题 【例1】 设P是椭圆 ∠F1PF2=60°. (1)求△F1PF2的面积; (2)求点P的坐标.
������2 ������2 + 75 =1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,若 25
4
分析：(1)根据椭圆的定义以及余弦定理求得|PF1|· |PF2|的值,然 后利用三角形面积公式������△������1 ������������2 = |PF1|· |PF2|· sin 60°求得 ;(2)由(1) 的结果根据面积公式������△������������1 ������2 = · |F1F2|· |y 0|先求得点 P 的纵坐标,再 代入椭圆方程即可求得点 P 的坐标.
������2 2 +y =1 的右焦点,交椭 4
.
解析：右焦点( 3,0), ������ = ������- 3 , 所以 2 ������ + 4������ 2 = 4, 整理得 5x2-8 3x+8=0, 所以|AB|= 1
椭圆基本知识点与题型总结
椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形.知识点二：椭圆的简单几何性质标准方程12222=+by a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点、焦距)0,(1c F -，)0,(2c F ，cF F 221=),0(1c F -，),0(2c F cF F 221=范围a x ≤，b y ≤b x ≤，ay ≤顶点)0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±对称性关于x 轴、y 轴,轴对称，关于原点中心对称轴长长轴长=a 2，短轴长=b2离心率()10122<<-==e ab ac e e 越小,椭圆越圆；e 越大,椭圆越扁通径过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab 22（通径为最短的焦点弦）准线方程ca x 2±=ca y 2±=焦半径01ex a PF +=,02ex a PF -=01ey a PF +=，02ey a PF -=1.椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义222c b a +=（见右图）2.椭圆的一般方程：22Ax By C +=()B A C B A 0ABC ≠≠同号，，，，且3.椭圆的参数方程：{cos sin x a y b ϕϕ==（其中ϕ为参数）4.椭圆焦点三角形问题（1）焦点三角形周长：ca 22+（2）在21F PF ∆中，有余弦定理：()θcos 2P P 22122212PF PF F F c -+=经常变形为：()()θcos 22-PF 221212212PF PF PF PF PF c -+=即：()()θcos 22-22212122PF PF PF PF a c -=（3）焦点三角形面积2tan cos 1sin sin 21S 2221P 21θθθθb b PF PF y c p F F =+=⋅=⋅=∆，其中21PF F ∠=θ5.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠为最大角。
人教A版高二数学选修2-1第二章第二节 椭圆 经典例题汇总
For personal use only in study and research; not for commercial use椭圆经典例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：11422=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．例3 已知方程13522-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<<k ，且4≠k ．∴满足条件的k 的取值范围是53<<k ，且4≠k ．说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨⎧<-<-,03,05k k 得53<<k ，故k 的取值范围是53<<k ．出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆． 例4 已知1c o s s i n 22=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围．解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)43,2(ππα∈．说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin 1>α，0cos 1>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，αsin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式．解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，即定点()03，-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径，即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：171622=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．2.焦半径及焦三角的应用例1 已知椭圆13422=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ．∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=，112212x ex a MF +=+=． ∵212MF MF MN⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在．例2 已知椭圆方程()012222>>=+b a by a x ，长轴端点为1A ，2A ，焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，θ=∠21PA A ，α=∠21PF F ．求：21PF F ∆的面积（用a 、b 、α表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角α的两邻边，从而利用C ab S sin 21=∆求面积． 解：如图，设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设()y x P ，，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．由余弦定理知： 221F F 2221PF PF +=12PF -·224cos c PF =α．①由椭圆定义知： a PF PF 221=+ ②，则－①②2得 αcos 12221+=⋅b PF PF． 故αsin 212121PF PF S PF F ⋅=∆ ααsin cos 12212+=b 2tan 2αb =． 3.第二定义应用例1 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法．解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．例2 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=．由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅．∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．例3 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标； (2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点)2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(． 说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．4.参数方程应用例1 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值． 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．例2 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积． 分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y 轴，设)sin 2,c o s 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．例3 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b -=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022<<c a ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ． 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？5.相交情况下--弦长公式的应用例1 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=．（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．解：（1）把直线方程m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得 ()1422=++m x x ，即012522=-++m mx x ．()()020*********≥+-=-⨯⨯-=∆m m m ，解得2525≤≤-m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，由（1）得5221m x x -=+，51221-=m x x ．根据弦长公式得 ：51025145211222=-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+m m ．解得0=m ．方程为x y =．说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式∆；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程． 例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 分析：可以利用弦长公式]4))[(1(1212212212x x x x k x x k AB -++=-+=求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．2121x x k AB -+=]4))[(1(212212x x x x k -++=．因为6=a ，3=b ，所以33=c ．因为焦点在x 轴上，所以椭圆方程为193622=+y x ，左焦点)0,33(-F ，从而直线方程为93+=x y ． 由直线方程与椭圆方程联立得：0836372132=⨯++x x ．设1x ，2x 为方程两根，所以1337221-=+x x ，1383621⨯=x x ，3=k ， 从而1348]4))[(1(1212212212=-++=-+=x x x x k x x k AB ．(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．由题意可知椭圆方程为193622=+y x ，设m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122．在21F AF ∆中，3co s 22112212122πF F AF F F AF AF -+=，即21362336)12(22⋅⋅⋅-⋅+=-m m m ；所以346-=m ．同理在21F BF ∆中，用余弦定理得346+=n ，所以1348=+=n m AB ．(法3)利用焦半径求解．先根据直线与椭圆联立的方程0836372132=⨯++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是A ，B 的横坐标．再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，从而求出11BF AF AB +=6.相交情况下—点差法的应用例1 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112aa x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=， 4112===a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．例2 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ． 所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --．解法二：设过⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．例3 已知椭圆1222=+y x ，（1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()12，A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足21-=⋅OQ OP k k ， 求线段PQ 中点M 的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④，③，②，①，y y y x x x y x y x 222222212122222121①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x ，将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤（1）将21=x ，21=y 代入⑤，得212121-=--x x y y ，故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程2222=+y x 得041662=--y y ，0416436>⨯⨯-=∆符合题意，0342=-+y x 为所求．（2）将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分） （3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分） （4）由①＋②得 ：()2222212221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得 212222124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨将⑧⑨代入⑦得：()224424212212=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将212121x x y y -=代入⑩式得： 221242212212=⎪⎭⎫⎝⎛--+-x x y x x x ， 即12122=+y x ．此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．例4 已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围． 解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称，直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ，∴设直线AB 的方程为n x y +-=41．由方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,134,4122yx n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x①。
椭圆大题题型及方法总结
椭圆大题题型及方法总结
椭圆在大题中的题型一般有以下几种:
1. 求椭圆方程：这是基础中的基础，可以直接设方程，也可以根据已知条件设方程。
2. 探究椭圆的性质：例如探究椭圆的焦点位置、焦距大小、离心率等性质。
3. 求椭圆上的点的坐标：通常会涉及到椭圆上的点与其他图形的关系，例如与直线、圆、柱形等的关系。
4. 用韦达定理求解椭圆的问题：韦达定理是椭圆考试中的一个重要知识点，通常会在第 2 问或第 3 问中使用。
5. 与三角形相关的问题：椭圆通常会与三角形联系起来，涉及到三角形的面积、周长、角度等问题。
6. 探究椭圆与其他图形的关系：例如椭圆与圆的关系、椭圆与直线的关系等。
针对以上题型，有一些常用的方法和技巧，例如:
1. 画图是一个必不可少的步骤，有助于更好地理解题意和解决问题。
2. 熟悉椭圆的定义和性质，有助于更好地解答题目。
3. 韦达定理是椭圆考试中的一个重要知识点，需要熟练掌握。
4. 注意椭圆与其他图形的关系，例如椭圆与直线的关系、椭圆与圆的关系等，可能需要使用勾股定理、余弦定理等知识。
5. 考试中需要仔细阅读题目，理解题意，抓住关键信息，有针
对性地解决问题。
数学椭圆知识点总结
数学椭圆知识点总结椭圆，作为数学中的一个重要几何图形，拥有许多有趣的性质和应用。
在本文中，我们将对椭圆的相关知识点进行总结和介绍，旨在帮助读者更好地理解和掌握椭圆的特性。
一、椭圆的定义椭圆可以通过一对焦点和一个到这两个焦点距离之和等于一定值的点的集合来定义。
这个固定值称为椭圆的长轴长度。
而长轴的中点则为椭圆的中心。
椭圆还具有一个短轴，它是与长轴垂直且通过中心的线段。
二、椭圆的性质1. 对称性椭圆具有关于两条轴的对称性。
也就是说，关于长轴或短轴对称的点，其到两个焦点的距离和相等。
这一性质在解决椭圆相关问题时经常被用到。
2. 焦点椭圆的两个焦点是与椭圆定义密切相关的概念。
焦点对于椭圆的形状和特性起着重要的作用。
例如，离椭圆中心较远的焦点，它的位置将决定椭圆的长轴长度。
3. 倾斜椭圆可以有不同的倾斜程度。
当椭圆的长轴与水平线不平行时，我们称之为斜椭圆。
斜椭圆相对于水平椭圆来说，具有更多的特殊性质和难度。
研究斜椭圆可以帮助我们探索椭圆的更多奥秘。
三、椭圆的方程椭圆的方程式是通过数学推导出的表达式，用于表示椭圆的轨迹。
对于以坐标系原点为中心、长轴与x轴平行的标准椭圆来说，其方程可以用以下形式表示：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1 。
其中a和b分别代表长轴和短轴的长度。
同样，当椭圆的中心不在坐标原点处，或者长轴不与x轴平行时，我们可以通过平移和旋转坐标系的方法将其转化为标准椭圆的方程。
四、椭圆的参数方程椭圆也可以通过参数方程的方式进行描述。
参数方程将椭圆上的点的坐标表示为参数t的函数。
对于以坐标系原点为中心的椭圆来说，其参数方程可以表示为：x = a*cos(t)，y = b*sin(t)。
参数方程在椭圆的绘制和计算过程中具有一定的优势。
通过改变参数t的取值范围，我们可以绘制出完整的椭圆图形。
五、椭圆的一些应用椭圆在许多领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用例子：1. 天体轨道分析由于天体运动的规律是椭圆的轨迹，椭圆在行星、卫星以及彗星等天体的轨道分析中具有重要作用。
椭圆竞赛练习题 (难)
椭圆竞赛练习题 (难)题目一已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a > b > 0$。
设点 A $(x_1, y_1)$ 为椭圆上一点，且点 B $(x_1, -y_1)$ 与点 A 同处于椭圆的第一象限。
现有条件 $a=\sqrt{3}, b=1$，试求点 A 的坐标及椭圆长半轴的长度。
题目二已知椭圆的长半轴与短半轴的长度分别为 $2a$ 和 $2b$，椭圆的面积为 $2\pi ab$，其中 $a,b>0$。
设两点 $P(x_1,y_1)$ 和$Q(x_2,y_2)$ 分别为椭圆上的两点，且满足 $x_1+x_2=2a,y_1+y_2=2b$。
现给定椭圆的焦点坐标 $(f,0)$ 和 $(-f,0)$，试求两点$P$ 和 $Q$ 的坐标。
题目三在平面直角坐标系中，已知椭圆的方程为 $\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1$。
点 $P$ 是椭圆上的一点，过 $P$ 分别作椭圆的两条切线 $l_1$ 和 $l_2$。
设切线 $l_1$ 和 $l_2$ 的斜率分别为$k_1$ 和 $k_2$，求证 $\frac{1}{k_1^2} + \frac{1}{k_2^2} =\frac{a^2}{b^2}$。
题目四设 $\angle BAC = \alpha$，椭圆的焦点坐标为 $F(f,0)$ 和 $F'(-f,0)$，直线 $l$ 与椭圆交于点 $P$ 和 $Q$，且点 $P$ 和 $F'$ 在同侧于 $l$，点 $Q$ 和 $F$ 在同侧于 $l$。
已知 $\angle PAF = \angle QAF = \beta$，求证 $\tan \alpha = \frac{2 \sin \beta}{\cos^2 \beta -\sin^2 \beta}$。
解答与说明> 难度较大的椭圆竞赛练题，需要对椭圆的性质有一定的了解和掌握。
椭圆教案含基础题
椭圆教案含基础题一、教学目标：1. 了解椭圆的定义及其基本性质。
2. 掌握椭圆的标准方程及其求法。
3. 能够运用椭圆的知识解决实际问题。
二、教学内容：1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。
2. 椭圆的基本性质：（1）椭圆的两个焦点距离为定值，等于椭圆的长轴长度。
（2）椭圆的短轴长度为定值，等于椭圆的半短轴长度。
（3）椭圆的离心率小于1，且与长轴和短轴长度有关。
3. 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（a > b > 0）其中，a为椭圆的长半轴长度，b为椭圆的短半轴长度。
三、教学重点与难点：1. 重点：椭圆的定义及其基本性质，椭圆的标准方程。
2. 难点：椭圆标准方程的求法及其应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解椭圆的定义、性质和标准方程。
2. 利用图形展示，让学生更直观地理解椭圆的特点。
3. 运用例题，引导学生掌握椭圆方程的求法和应用。
五、教学安排：1. 第1-2课时：讲解椭圆的定义及其基本性质。
2. 第3-4课时：讲解椭圆的标准方程及其求法。
3. 第5-6课时：运用椭圆知识解决实际问题。
4. 课后作业：布置相关习题，巩固所学知识。
5. 课堂练习：及时检验学生掌握情况，针对性地进行讲解和辅导。
六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问学生，了解他们对椭圆定义和性质的理解程度。
2. 作业批改：检查学生对椭圆标准方程的求法和应用，以及对实际问题的解决能力。
3. 课堂练习：观察学生在练习过程中的表现，及时发现并解决问题。
七、教学拓展：1. 探讨椭圆在其他领域的应用，如物理学、天文学等。
2. 介绍椭圆的变形，如双曲线、抛物线等。
3. 引导学生关注椭圆在现实生活中的实例，提高他们的观察能力。
八、教学反思：2. 根据学生的反馈，调整教学计划，提高教学效果。
3. 针对学生的薄弱环节，加强辅导和练习。
高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.5 椭圆试题 理 北师大版(2021年最新整理)
2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5 椭圆试题理北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.5 椭圆试题理北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第九章平面解析几何 9。
5 椭圆试题理北师大版1．椭圆的概念把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．集合P ＝{M｜|MF1|＋|MF2|＝2a}，｜F1F2|＝2c，其中a〉0,c〉0，且a，c为常数：(1）若a>c，则集合P为椭圆;（2)若a＝c，则集合P为线段；（3）若a〈c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝1 （a〉b>0)错误!＋错误!＝1（a〉b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴:坐标轴对称中心：原点顶点A1（－a,0），A2(a,0）B1(0，－b)，B2（0，b）A1（0，－a）,A2（0，a）B1（－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝错误!∈（0,1)a,b，c的关a2＝b2＋c2系【知识拓展】点P （x 0，y 0)和椭圆的关系（1）点P (x 0，y 0）在椭圆内⇔错误!＋错误!<1。
(2）点P （x 0，y 0）在椭圆上⇔错误!＋错误!＝1.（3)点P （x 0，y 0）在椭圆外⇔x 20a2＋错误!>1.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×")（1）平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × ）（2)椭圆上一点P 与两焦点F 1,F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距）．（ √ )（3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( × ）(4）方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n 〉0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ )(5）y 2a 2＋x 2b2＝1(a ≠b ）表示焦点在y 轴上的椭圆．( × )(6)错误!＋错误!＝1（a >b 〉0)与错误!＋错误!＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ ）1．(教材改编）椭圆x 210－m＋错误!＝1的焦距为4，则m 等于( ） A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．12 答案 C解析 由题意知错误!或错误!解得m ＝4或m ＝8。
椭圆的几何性质及综合问题汇总(供参考)
椭圆的几何性质一、槪念及性质1. 椭圆的"范围、对称性、顶点、轴长、焦距、离心率及范围、“0,C的关系”；2. 椭圆的通经：3. 椭圆的焦点三角形的概念及而积公式：4. 椭圆的焦半径的概念及公式：主要用来求离心率的取值范围，对于此问题也可以用下列性质求解：a-c<∖PF l∖≤a+c.5. 直线与椭圆的位置关系：6・椭圆的中点弦问题：【注L椭圆的几何性质是髙考的热点，髙考中多以小题出现，试题难度一般较大，髙考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度：(1) 根据椭圆的性质求参数的值或范围：(2) 由性质写椭圆的标准方程：(3) 求离心率的值或范围・题型一：根据椭圆的性质求标准方程、参数的值或范弗I、离心率的值或范【羽.【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：3(1) 经过点P(-3,0),β(0-2): (2)长轴长等于20,离心率等于—•【典例2】求椭圆16x2+25y2 =400的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标.2 2【典例3】已知A, P, Q为椭圆C：∆τ +二= l(α>b>O)上三点，若直线PQ过原点，Cr Zr且直线AP, AQ的斜率之积为-丄，则椭圆C的离心率为()2√2Cl √2r 1AA. ---- B・— C. -------- D・—2 2 4 4【练习】(1)已知椭圆£+张=I(Qb>0)的一个焦点是圆√+^-6x+8=0的圆心，且短轴长为8,则椭圆的左顶点为()A. (一3, 0)B. (-4, 0)C. (-10, 0)D. (一5, 0)(2) 椭圆曽+£=1的离心率为扌，则k的值为()19 19A. —21 B・21 C.—亏或21 D・牙或21(3) 设椭圆C：£+$=l(“>b>0)的左，右焦点为F∣, Fi,过尺作X轴的垂线与C相交于A,B两点，FlB与y轴相交于点D,若AD丄戸B,则椭圆C的离心率等于___________ .【典例4】已知几，6为椭圆卡+*=l(Qb>0)的左，右焦点，P为椭圆上任意一点，且∖PF i∖ = 5∖PF2∖,则该椭圆的离心率的取值范围是 _______________2 2练习：如图，把椭圆—+ — = 1的长轴AB分成8等份，过每个分点作X轴的垂线交椭圆25 16的上半部分与Pι∙P2,∙∙∙.P?七个点,F是椭圆的一个焦点,则IP^I+∣P^∣ + ---+∣P∕⅛∣=_【典例5】若“过椭圆→p=ιω>b>o)的左，右焦点尺，尺的两条互相垂直的直线n/2的交点在椭圆的内部S求离心率的取值范用・【典例6】已知椭圆C： £+¥=1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A, B,线段MN的中点在C上，则L4M+IBM= __________ ・【方法归纳】：1 •在利用椭圆的性质求解椭圆的标准方程时，总体原则是“先定位，再定量”.2•求解与椭圆几何性质有关的问题时，其原则是“数形结合，定义优先，几何性质简化匕一左要结合图形进行分析，当涉及顶点.焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理淸它们之间的内在联系，充分利用平而几何的性质及有关重要结论来探寻参数Y之间的关系，以减少运算:⅛∙3・在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化.4.求椭圆的离心率或其范用时，一般是依据题设得出一个关于Gk C的等式(或不等式)，利用√=∕X+c2消去4即可求得离心率或藹心率的范［亂有时也可利用正弦.余弦的有界性求解藹心率的范围.5・在探寻</, /7, C的关系时，若能充分考虑平而几何的性质，则可使问题简化，如典例5・【本节练习】31. 已知椭圆的长轴长是&离心率是歹则此椭圆的标准方程是()V? 牙2 γ2 F 丫2 γ∙2 y2牙2 F 丫2A- ⅛+T= 1 B- ⅛+7^= 1 或7+16=1 C- 16+S=1 D- l6+S= 1 或去+花=12. 设e是椭圆吕+£= 1的离心率，且e∈(*, 1)，则实数k的取值范用是()A. (0, 3)B. (3, y)C. (0, 3)U(γt÷∞) D・(O, 2)3.已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B∖, By若四边形BiF1B2Fz是正方形, 则这个椭圆的离心率幺等于()A.*B.*C.半D.半4.如图，焦点在X轴上的椭I^rq-÷P= 1的离心率e=*, F, A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF-M的最大值为5 •已知椭圆G Δv + Z- = l（rt>∕7>O）的左、右焦点为离心率为二.过佗的直cΓ.3线/交C于A.B两点，若AAFiB的周长为4馅，则C的方程为（）7 ? 2 *> 2X"）厂I Jr -> 工.I Jr y" IA.——+ — = 1B. — + V" = 1C.——+ — = 1D. — + — = 13 2 3 12 8 12 4X2 V26•已知戸、鬥是椭圆yθθ+g4=l的两个焦点，P是椭圆上一点，且PFXLPF2.则AFJF J的面积为_______7 •设片，化是椭圆E：二+ L = l(">b>0)的左、右焦点，P为直线X =—上一点，iΓ Zr2^F l PF｝是底角为30。
椭圆、双曲线测试题(含答案)
椭圆、双曲线测试题(含答案)章末综合测评(二)：圆锥曲线与方程本次测评共分为一、二两大题，时间为120分钟，满分150分。
一、选择题1.椭圆 $x^2+my^2=1$ 的焦点在 $y$ 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 $m$ 的值是（）A。
1.B。
2.C。
4.D。
11/4解析：由题意可得 $2=2\times2$，解得 $m=11/4$。
故选D。
2.下列双曲线中，渐近线方程为 $y=\pm2x$ 的是（）A。
$x^2-4y=1$。
B。
$4x^2-y=1$。
C。
$x^2-2y=1$。
D。
$2x^2-y=1$解析：由渐近线方程为 $y=\pm2x$，可得 $2=\pm x$，所以双曲线的标准方程可以为 $x^2/4-y^2/1=1$ 或 $-x^2/4+y^2/1=1$，舍去 C。
故选 A。
3.若双曲线 $a^2-b^2=1$ 的一条渐近线经过点 $(3,-4)$，则此双曲线的离心率为（）A。
$\sqrt{3}/5$。
B。
$4/3$。
C。
$\sqrt{5}/3$。
D。
$3/2\sqrt{2}$解析：由双曲线的渐近线过点 $(3,-4)$，知 $a=3$，又$b^2=c^2-a^2=16-9=7$，故$e=\sqrt{1+b^2/a^2}=\sqrt{16/9+7/9}=\sqrt{23}/3$，故选 D。
4.平面内有定点 $A$、$B$ 及动点 $P$，设命题甲是“$|PA|+|PB|$ 是定值”，命题乙是“点 $P$ 的轨迹是以 $A$、$B$ 为焦点的椭圆”，那么甲是乙的（）A。
充分不必要条件。
B。
必要不充分条件。
C。
充要条件。
D。
既不充分也不必要条件解析：点 $P$ 在线段 $AB$ 上时，$|PA|+|PB|$ 是定值，但点 $P$ 的轨迹不一定是椭圆，反之成立，故选 B。
5.已知动圆 $E$ 与圆 $A$：$(x+4)^2+y^2=2$ 外切，与圆$B$：$(x-4)^2+y^2=2$ 内切，则动圆圆心 $E$ 的轨迹方程是（）A。
椭圆练习题(经典归纳)
初步圆锥曲线感受：已知圆O 以坐标原点为圆心且过点1,22⎛ ⎝⎭,,M N 为平面上关于原点对称的两点，已知N 的坐标为0,3⎛- ⎝⎭，过N 作直线交圆于,A B 两点 （1）求圆O 的方程; （2）求ABM ∆面积的取值范围二. 曲线方程和方程曲线（1）曲线上点的坐标都是方程的解； （2）方程的解为坐标的点都在曲线上。
三. 轨迹方程例题:教材P 。
37 A 组.T3 T4 B 组 T2练习1。
设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3，则动点P 的轨迹方程是____练习 2.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -,动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为___________ 总结:求点轨迹方程的步骤： (1)建立直角坐标系（2）设点:将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化(未知的暂用参数表示）(3)列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程（4)化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围四. 设直线方程设直线方程：若直线方程未给出，应先假设。
(1）若已知直线过点00(,)x y ,则假设方程为00()yy k x x ;(2）若已知直线恒过y 轴上一点()t ，0,则假设方程为t kx y +=; （3)若仅仅知道是直线，则假设方程为b kx y +=【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论;(4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设直线为x my t 。
【反斜截式,1m k】不含垂直于y 轴的情况(水平线） 例题：圆C 的方程为：.0222=-+y x（1）若直线过点）（4,0且与圆C 相交于A ，B 两点，且2=AB ,求直线方程. （2）若直线过点）（3,1且与圆C 相切，求直线方程.（3）若直线过点）（0,4且与圆C 相切，求直线方程. 附加：4)4(3:22=-+-y x C ）（。
高二数学选修2-1(B版)_拓展资料：破解椭圆问题“六法”
破解椭圆问题“六法”一、定义法椭圆是一种重要的圆锥曲线，理解和掌握它的两种定义是解决椭圆问题的基础和前提。
灵活运用椭圆的定义解题，常常能收到事半功倍之效。
例1一个椭圆的两个焦点是)0,6(),0,6(-，且椭圆过点1,6(），求椭圆的方程。
解：由题意可设椭圆的方程为12222=+by a x )0(>>b a .根据椭圆的第一定义立即得到,()()()()2222016601662-+-+-++=a =615=+,∴3=a .又6=c ,∴.369222=-=-=c a b 于是椭圆的方程为13922=+y x 例2设已知椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F, 右准线为l. 若过F 且垂直于x 轴的弦长等于点F 到l 的距离, 求此椭圆的离心率. 解：如图1, QM PQ =. 由椭圆的第二定义可知,离心率2121===PQ PQ QM QF e . ( 图1) 二、取特殊位置动点、动直线、动弦、动角、动轨迹常常是椭圆问题中出现的动态图形，利用这些动态图形的特殊位置往往能帮助我们迅速解决某些选择题或填空题。
例3若动点P 、Q 在椭圆9x 2+16y 2=144上，且满足OP ⊥OQ ，则中心O 到弦PQ 的距离OH 必等于（ ）A.326B. 435C. 522D. 154解：对于动点P 、Q ，我们可以选一个特殊位置。
令P是右顶点、Q 是上顶点(如图2)。
由a 2=16, b 2=9得，OP=4，OQ=3，则OH=512，根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立” 可知，应选答案C. 三、运用焦半径公式椭圆问题中常常涉及到椭圆上的点到焦点的距离，这时若能灵活运用相应的焦半径公式，往往会出奇制胜.例4 设A(x 1, y 1)是椭圆x 2+2y 2=2上任意一点，过A 作一条斜率为－112y x 的直线l. 又设d 为原点到l 的距离，r 1，r 2分别为A 到两焦点的距离, 求d r r ⋅⋅21的值. 解：由题意得l 的方程为，y －y 1=－112y x (x －x 1), 即x 1x+2y 1y=2 (因x 12+2y 12=2). ∴d=2121214242x y x -=+.由椭圆的焦半径公式可得，24212))((21211121x x ex a ex a r r -=-=-+=⋅. 于是d r r ⋅⋅21=2.四、整体相减法涉及到椭圆上若干个动点的问题，我们常常由点的坐标满足椭圆方程而得到若干个方程，将这若干个方程实施整体相减，往往能帮助我们顺利解题. 例5求椭圆1222=+y x 中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程.解：设斜率为2的平行弦（动弦）的两个端点A 、B 的坐标分别为),(),,(2211y x y x ，中点M 的坐标为),(y x . 则12,1222222121=+=+y x y x 。
椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)
椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)典型例题一已知椭圆的一个顶点为A(2.0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程。
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置。
解：（1）当A(2.0)为长轴端点时，a=2，b=1，椭圆的标准方程为：x^2/4+y^2/1=1；（2）当A(2.0)为短轴端点时，b=2，a=4，椭圆的标准方程为：x^2/16+y^2/4=1.说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况。
典型例题二一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率。
解：设椭圆长轴长为2a，焦点到准线的距离为c，则2c/3=a，即c=3a/2.由椭圆定义可得c^2=a^2-b^2，代入c=3a/2中得到9a^2/4=a^2-b^2，化简得b^2=3a^2/4.再由离心率的定义e=c/a得到e=√(1-b^2/a^2)=√(1-3/4)=√(1/4)=1/2.说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a，求c，再求比。
二是列含a和c的齐次方程，再化含e的方程，解方程即可。
典型例题三已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程。
解：由题意，设椭圆方程为x^2/4+y^2/a^2=1，直线方程为y=1-x。
将直线方程代入椭圆方程得到x^2/4+(1-x)^2/a^2=1，化简得到(4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0.设AB的中点为M(x1.y1)，则M的坐标为[(x1+x2)/2.(y1+y2)/2]，其中x2为方程(4+a^2)x^2-8ax+(4-a^2)=0的另一个解。
由OM的斜率为0.25可得到y1=0.25x1.又因为M在直线x+y-1=0上，所以有y1=1-x1.解以上两个方程可得到M的坐标为(4/5.1/5)。
2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.5.2椭圆的几何性质课后练习含解析新人教B
第二章平面解析几何椭圆与其方程2.5.2椭圆的几何性质课后篇巩固提升必备知识根底练1.过椭圆x24+y23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A.8,6B.4,3C.2,√3D.4,2√3a=2,b=√3,c=1,最长弦过两个焦点,长为2a=4,最短弦垂直于x轴,长度为当x=c=1时,纵坐标的绝对值的2倍为3.2.(多项选择)椭圆x2a2+y2b2=1与椭圆x225+y216=1有一样的长轴,椭圆x2a2+y2b2=1的短轴长与椭圆y2 21+x29=1的短轴长相等,如此如下结论不正确的有()A.a2=25,b2=16B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25D.a2=25,b2=9解析椭圆x 225+y 216=1的长轴长为10,椭圆y 221+x 29=1的短轴长为6,由题意可知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的焦点在x 轴上, 即有a=5,b=3.3.设椭圆C :x 2a2+y 24=1(a>2)的左、右焦点分别为F 1,F 2,直线l :y=x+t 交椭圆C 于点A ,B ,假如△F 1AB 的周长的最大值为12,如此C 的离心率为()A.√33B.√53C.2√23D.59F 1AB 的周长等于AB+AF 1+BF 1=AB+2a-AF 2+2a-BF 2=4a+AB-(AF 2+BF 2),因为AF 2+BF 2≥AB ,当且仅当A ,B ,F 2三点共线时等号成立,所以4a+AB-(AF 2+BF 2)≤4a+AB-AB=4a ,即△F 1AB 的周长的最大值为4a ,所以4a=12,解得a=3,由椭圆的方程可得b 2=4,所以c=√a 2-b 2=√9-4=√5,所以椭圆C 的离心率为e=ca =√53. 4.(多项选择)如图,椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点,且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的半长轴长分别为a1和a2,半焦距分别为c1和c2,离心率分别为e1,e2,如此如下结论正确的答案是()A.a1+c1>2(a2+c2)B.a1-c1=a2-c2C.a1c2>a2c1D.e1=e2+12,a1=2a2,c1>2c2,∴a1+c1>2(a2+c2),2a1c2<2a2c1,即a1c2<a2c1,故A正确,C不正确;∵椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点,且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心,∴a1-c1=a2-c2,故B正确;由图知,c1=a2+c2,∴e1=c1a1=a2+c22a2=e2+12,故D正确.5.F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P为C上一点,O为坐标原点,△POF2为正三角形,如此C的离心率为.√3-1,因为△POF2为正三角形,所以|OF1|=|OP|=|OF2|,所以△F1PF2是直角三角形.因为∠PF2F1=60°,|F2F1|=2c,所以|PF2|=c.所以|PF1|2=|F1F2|2-|PF2|2=4c2-c2=3c2, 所以|PF1|=√3c.因为|PF2|+|PF1|=2a,所以c+√3c=2a,即ca =√3+1=√3-1,所以e=√3-1.6.假如椭圆x2k+8+y29=1的离心率e=12,如此k的值为.或-54假如焦点在x轴上,即k+8>9时,a2=k+8,b2=9,e2=c2a2=a2-b2a2=k-1k+8=14,解得k=4.(2)假如焦点在y轴上,即0<k+8<9时,a2=9,b2=k+8,e2=c2a2=a2-b2a2=1-k9=14,解得k=-54.综上所述,k=4或k=-54.7.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法〞得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的半长轴长与半短轴长的乘积.假如椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为45,面积为20π,如此椭圆C的标准方程为.+x212=1C的方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0),椭圆C的面积为S=πab=20π,又e=√1-b2a2=45,解得a2=1003,b2=12,所以椭圆C的方程为y21003+x212=1.8.椭圆C:4x2+9y2=36.求椭圆的长轴长,焦点坐标和离心率.C:4x2+9y2=36的标准方程为x29+y24=1,所以a=3,b=2,c=√a2-b2=√9-4=√5,所以椭圆的长轴长2a=6,焦点坐标(-√5,0),(√5,0),离心率e=ca =√53.9.(1)求与椭圆x29+y24=1有一样的焦点,且离心率为√55的椭圆的标准方程;(2)椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.∵c=√9-4=√5,∴所求椭圆的焦点为(-√5,0),(√5,0).设所求椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).∵e=ca =√55,c=√5,∴a=5,b2=a2-c2=20,∴所求椭圆的方程为x225+y220=1.(2)∵椭圆的焦点在x轴上,∴设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),∵2c=8,∴c=4,又a=6,∴b2=a2-c2=20.∴椭圆的方程为x236+y220=1.关键能力提升练10.椭圆x24+y2=1,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P为椭圆上的任意一点,如此1|PF1|+1|PF2|的取值X围为()A.[1,2]B.[√2,√3]C.[√2,4]D.[1,4]|PF1|+|PF2|=2a=4, 设m=|PF1|,n=|PF2|,如此m+n=4,m,n∈[a-c,a+c],即m,n∈[2-√3,2+√3],如此1|PF1|+1|PF2|=1m+1n=4m(4-m)=4-(m-2)2+4∈[1,4].11.(2021全国乙,理11)设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点,假如C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,如此C的离心率的取值X围是()A.[√22,1)B.[12,1)C.(0,√22]D.(0,12],点B(0,b).设P(x0,y0),如此x02a2+y02b2=1,得x02=a2(1-y02b2),∴|PB|2=x02+(y0-b)2=a2(1-y02b2)+y02-2by0+b2=-c2b2y02-2by0+a2+b2,y0∈[-b,b].由题意知当y0=-b时|PB|2最大,∴-b3c2≤-b,得b2≥c2,即a2-c2≥c2,∴离心率e=ca ≤√22,即e∈(0,√22].12.(多项选择)椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,点P在椭圆C上,点Q在圆E:(x+3)2+(y-4)2=4上,且圆E上的所有点均在椭圆C外,假如|PQ|-|PF|的最小值为2√5-6,且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等,如此如下说法正确的答案是()A.椭圆C的焦距为2B.椭圆C的短轴长为√3C.|PQ|+|PF|的最小值为2√5D.过点F的圆E的切线斜率为-4±√73E的圆心为E(-3,4),半径长为2,由于椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等,如此2a=4,可得a=2,设椭圆的左焦点为点F1,由椭圆的定义可得|PF|+|PF1|=2a=4,∴|PF|=4-|PF1|.∴|PQ|-|PF|=|PQ|-(4-|PF1|)=|PF1|+|PQ|-4≥|PF1|+|PE|-2-4≥|EF1|-6=2√5-6,当且仅当P,Q,E,F1四点共线,且当P,Q分别为线段EF1与椭圆C、圆E的交点时,等号成立,如此|EF1|=√(-3+c)2+(4-0)2=√(c-3)2+16=2√5.∵0<c<a=2,解得c=1,∴椭圆C的焦距为2c=2,A选项正确;椭圆C的短轴长为2b=2√a2-c2=2√3,B选项错误;|PQ|+|PF|≥|PE|+|PF|-2≥|EF|-2=√(-3-1)2+(4-0)2-2=4√2-2,当且仅当P,Q,E,F四点共线,且当P,Q分别为线段EF与椭圆C、圆E的交点时,等号成立,C 选项错误;假如所求切线的斜率不存在,如此切线方程为x=1,圆心E 到该直线的距离为|-3-1|=4>2,如此直线x=1与圆E 相离,不合题意;假如所求切线的斜率存在,可设切线的方程为y=k (x-1),即kx-y-k=0,由题意可得√k 2+1=√k 2+1=2,整理得3k 2+8k+3=0,解得k=-4±√73,D 选项正确.13.假如椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,线段F 1F 2被点(b2,0)分成5∶3的两段,如此此椭圆的离心率为()A.1617B.4√1717C.45D.2√55解析依题意得c+b2c -b 2=53,即c=2b.∵a 2-b 2=c 2,∴a=√b 2+c 2=√5b.∴e=ca =2√55. 14.F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的一个焦点,P 是C 上的任意一点,如此|FP|称为椭圆C 的焦半径.设C 的左顶点与上顶点分别为A ,B ,假如存在以A 为圆心,|FP|为半径的圆经过点B ,如此椭圆C 的离心率的最小值为.,|AB|=√a 2+b 2,a-c ≤|PF|≤a+c ,由题意可得,a-c ≤√a 2+b 2≤a+c ,不等式左边恒成立,如此√a 2+b 2≤a+c ,两边平方整理得2e 2+2e-1≥0,解得e ≤-1-√32(舍)或e ≥√3-12.∴椭圆C的离心率的最小值为√3-12.15.(1)计算:①假如A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P(0,2),如此k PA1·k PA2=;②假如A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P(-√5,43),如此k PA1·k PA2=;③假如A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P(1,-4√23),如此k PA1·k PA2=.(2)观察①②③,由此可得到:假如A1,A2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的两个端点,P为椭圆上任意一点,如此k PA1·k PA2=?并证明你的结论.①由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P(0,2),∴k PA1·k PA2=2-00+3×2-00-3=-49.②由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P(-√5,43),∴k PA1·k PA2=43-03-√543-0-3-√5=-49.③由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P(1,-4√23),∴k PA1·k PA2=-4√23-01+3×-4√231-3=-49.(2)假如A1,A2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)长轴的两个端点,P为椭圆上任意一点,如此k PA1·k PA2=-b2a2.证明如下:设P (x 0,y 0).由题意k PA 1=y 0-0x 0+a ,k PA 2=y 0-0x 0-a ,如此k PA 1·k PA 2=y 0-0x0+a·y 0-0x0-a=y 02x 02-a 2.又P 为椭圆上任意一点,满足x 02a 2+y 02b 2=1,得y 02=b 2(1-x 02a 2),代入可得k PA 1·k PA 2=b 2(1-x 02a 2)x 02-a 2=-b 2a 2,得证.16.如图,椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线AF 2交椭圆于另一点B.(1)假如∠F 1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)假如椭圆的焦距为2,且AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求椭圆的方程.由∠F 1AB=90°与椭圆的对称性知b=c ,如此e=ca =√c 2a 2=√c 2b 2+c 2=√22. (2)由a 2-b 2=1,F 2(1,0),A (0,b ),设B (x ,y ), 如此AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-b ),F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1,y ), 由AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(1,-b )=2(x-1,y ), 解得x=32,y=-b2,如此94a 2+b 24b 2=1,得a2=3,因此b2=2,椭圆的方程为x23+y22=1.17.F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.(1)求椭圆的离心率的取值X围;(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.解不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由余弦定理得cos60°=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|·|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-|F1F2|22|PF1|·|PF2|,所以|PF1|·|PF2|=4a2-2|PF1|·|PF2|-4c2, 所以3|PF1|·|PF2|=4b2,所以|PF1|·|PF2|=4b23.又因为|PF1|·|PF2|≤(|PF1|+|PF2|2)2=a2,所以3a2≥4(a2-c2),所以ca ≥12,所以e≥12.又因为椭圆中0<e<1,所以所求椭圆的离心率的取值X围是[12,1).(1)可知|PF1|·|PF2|=43b2,S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|sin 60°=12×43b2×√32=√33b2.所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.学科素养拔高练18.(多项选择)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦为的椭圆,如下列图,它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,并且F,A,B三点在同一直线上,地球半径约为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,如此()A.a-c=m+RB.a+c=n+RC.2a=m+nD.b=√(m+R)(n+R)a,半短轴长为b,半焦距为c,如此由题意可知a-c-R=m,a+c-R=n,可得a-c=m+R,所以A正确;a+c=R+n,所以B正确;可得a=m+n2+R,c=n-m2,所以C不正确;b2=a2-c2=(m+n2+R)2−(n-m2)2=(m+R)(n+R),如此b=√(m+R)(n+R),所以D正确.19.椭圆x2a2+y2b2=1的坐标原点为点O,有长轴上一端点坐标为(2,0),离心率e=√32,过椭圆右焦点倾斜角为30°的直线交椭圆于A,B两点.(1)求椭圆的方程;(2)求三角形OAB的面积.由题意可知焦点在x 轴上,如此a=2,e=ca =√32,c=√3,由a 2=b 2+c 2,解得b 2=1,∴椭圆方程为x 24+y 2=1.(2)由题意可知右焦点(√3,0),如此直线方程为y=√33(x-√3),即y=√33x-1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 将直线方程代入椭圆方程整理得7x 2-8√3x=0,由根与系数的关系x 1+x 2=8√37,x 1·x 2=0, 由弦长公式|AB|=√1+13×√(8√37)2=167,原点O 到直线的距离为d=√1+(√33)=√32, ∴△OAB 的面积S=12×d ×|AB|=12×√32×167=4√37. ∴△OAB 的面积S=4√37.。
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班级
学号 姓名 一、课堂目标：会解决与椭圆有关的最值、定值以及综合问题 二、目标训练：
1、已知椭圆
19
162
2=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为
（ ）
(A )
5
9
(B )3 (C )
7
79 (D )
4
9
2、P 是长轴在x 轴上的椭圆22
221x y a b
+=上的点，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半
焦距为c ，则12PF PF ⋅的最大值与最小值之差一定是 （ ） （A ）1 （B ）2
a （C ）2
b （D ）2
c
3、椭圆22
221x y a b
+=内接矩形的最大面积为 。
4、定点)0,1(),1,1(B A -，点P 在椭圆13
42
2=+y x 上运动，则|PA|+2|PB|的最小值为 ，此时点P 的坐标为 。
5、如图，已知椭圆中心O 是坐标原点，F 是 它的左焦点，A 是它的左顶点，1l 、2l 分别为 左、右准线，1l 交x 轴于点B ，P 、Q 两点在 椭圆上，且1PM l ⊥于M ，2PN l ⊥于N ，
QF AO ⊥，下列5个比值中：①
PM PF
，②
PF PN
，③
AO BO
，④
AF BA
，⑤
QF BF
，其中等于
该椭圆离心率的编号有___________.
6、已知点),(y x P 是椭圆14
2
2=+y x 上的动点，)20)(0,(≤<m m A ，求|PA|的最小值。
7、在椭圆
14
92
2=+y x 上求一点P ，使它到直线0102=+-y x 的距离最小，并求出最小值。
8、设椭圆中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为2
3
，已知)23,0(P 到椭圆上点的最远距离是7，
求这个椭圆的方程。
9、AB 是椭圆22
a x ＋22
b y ＝1（a>b>0）中不平行对称轴的一条弦，M 是AB 的中点，O 是椭圆
的中心，求证：k AB ·k OM ＝－22
a
b 。
10、已知椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线
1+=x y 与该椭圆相交于
P 、Q 两点，且
2
10
||,=
⊥PQ OQ OP ，求椭圆方程。
11、椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，
|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。
（1）求椭圆方程及离心率；（2）若0=⋅，求直线PQ 的方程。