第七章全同粒子§7.1交换对称

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Fermi-Dirac statistics（泡利不相容） Maxwell-Boltzmann statistics Bose-Einstein statistics（不同粒子占据相同态的倾向最强）
§7.3 两电子体系
(xv1, ms1, xv2, ms2)
C(ms1, ms2 ) xv1, ms1; xv2, ms2 (xv1, xv2 )(ms1, ms2 )
对两粒子体系，可能的P12本征矢为：k ' k '' 1 ( k ' k '' k '' k ' )
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将对称化( S12 (1 P12 ) / 2 )或反对称化( A12 (1 P12 ) / 2 )算符作用 于任意态，可得P12的本征态：
P12 S12 S12 ; P12 A12 A12
)
A
(
xv2
)B
(
xv1
)],
(xv1, xv2 )
2
1 2
{
A
(
xv1
)
2
B (xv2 )
2
A (xv2 )
2
B (xv1)
2
2
Re[A
(
xv1
)B
(
xv2
)
* A
(
xv2
)B*
(
xv1
)]},
交换密度项，对自旋单态和三态的几率密度有不同影响（但若ωA和
ωB无交叠时，交换密度项无贡献，全同粒子可区分。
把Z作为变分参量 Zeff，可显著改善 基态能量的结果。
引入更多变分参量 如2s成分，结果可 进一步改善。
交换积分/作用
对激发态（如(1s)(nlm)，全同性效应显著
E E100 Enlm E
E e2 I J (" "对应于自旋单态，“-”对应于自旋三态）, r12
I
dx13dx23
100 (xv1)
2
nlm (xv2 )
2
e2 r12
为库伦（直接）积分
J
dx13dx23100 (xv1) nlm (xv2 )
e2 r12
* 100
(
xv2
)
* nlm
(
xv1)
为交换积分>0
单态能量高、三态能量低（洪德规则）
可见交换对称性使得对于H与自旋无关的体系，其能级却与自旋态有关
对任意态组合，只能构造一个完全对称或反对称的态（P12、P21及其
他Pij具有相同本征值）。例如：k 'k ''k ''' 1 { k ' k '' k ''' k '' k ' k '''
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k '' k ''' k ' k ''' k '' k '
k ''' k ' k '' k ' k ''' k '' }
P12 A1P121P12 a ' a '' P12 A1P121 a '' a '
得：P12
A1
P 1 12
A2
;
P12A1 A2P12
即P12将观测量算符中的粒子标记1、2作了互换
从全同性考虑，P12应与H对易，即P12是运动常量。若初始状态为 P12的本征态，则体系一直保持为P12的本征态。
磁性的海森堡模型
由于
v S1
v S2
=
h2 4
(三态)或
-3h2 4
(单态)
P ( spin ) 12
1 (1 2
4 h2
vv S1 S2 )
可将上述不同自旋态能量项改写为：E
I
J
I
1 2
(1
4 h2
v S1
v S2 )J
(I
J) 2
2J h2
v S1
v S2
I
'
J
' v1
v2
对属于相邻原子的电子间交换作用，也可用相似关系描述。故有海森堡
ms1 ms 2
P =P P space spin
12 12
12
若
[
S2 tot
,
H
]
0,
对能量本征态有：
(xv1, xv2 ), 其中为St2ot本征态，即自旋单态（交换反对称）
或三态（交换对称）
对
H
H1
H2

(S12
,
S22
,
S2 tot
),
(xv1, xv2 )
1 2
[A
(
xv1
)B
(
xv2
模型：
H
Jijvi vj （Jij通常只对近邻原子不为0）
ij
作业: 7.2、7.3
但只要有任意两态相同，则无法构造完全反对称态，而只能构造出完
全对称态。如：
k 'k 'k ''
1 { k ' k ' k '' k ' k '' k ' k '' k ' k ' }
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对N粒子体系，若ki态的占据数为Ni，则归一化常数为： N1!N2 ! Nn !
N!
考虑独立状态数的不变性，会有非完全对称或反对称的态。
§7.4 氦原子
H=
pv12
pv22
2e2
2e2
e2
2m 2m r1 r2 r12
把电子间相互作用看着微扰并考虑(1s)(nlm)态
(xv1, xv2 )
1 2
[
100
(
xv1
)
nlm
(
xv2
)
100
(
xv2
)
nlm
(
xv1
)],
基态为100(xv1)100(xv2 )00
Z3
a03
e Z (r1r2 )/a0 00
(Z=2),
0阶能量：
E(0) Z 2e2 , a0
利用
1
r12
1
r12 r22 2r1r2 cos
l 0
rl r l 1
Pl (cos
)
和
Pl (cos
)
4
2l
1
l ml
Yl
m*
(1
,
1
)Yl
m
(
2
,
2
)
可得1阶微扰能量修正 E(1)
e2
5Z e2
r12 (1s)2
8 a0
与P12相似，可定义Pij：
Pij k ' k '' ki ki1 k j k ' k '' k j ki1 ki
一般而言，[Pij , Pkl ] 0 (但ijkl各不相同时是对易的）
为方便计，有时用 Pijk Pij Pik 。如 P123 k ' k '' k ''' k '' k ''' k '
§7.2 对称性假设
观测表明自然界没有混合对称性的全同粒子，并且： Pij N个全同玻色子 + N个全同玻色子 Pij N个全同费米子 - N个全同费米子
玻色-爱因斯坦统计(玻色子)：自旋为整数的粒子波色爱因斯坦凝聚 费米-狄拉克统计（费米子）：自旋半整数粒子泡利不相容原理
1 ( k ' k '' k '' k ' ); k ' k ' , k '' k '' , 1 ( k ' k '' k '' k ' )
第七章 全同粒子 §7.1 交换对称
一、不可区分与交换简并 微观粒子的状态由一组完整对易可观测量本征态标示，不能象跟踪经
典粒子轨迹那样区分不同粒子。 因此，微观粒子在本质上是不可区分的。 若粒子1处|k’>，粒子2处|k’’>，两粒子的状态为 k ' k '' k ' k '' k’≠k’’时，|k’> |k’’>与|k’’>|k’>不同且正交 但若实验测得{k’,k’’}，可推测出的一般态应为 c1 k ' k '' c2 k '' k ' 该特点称为交换简并性
交换兼并性影响对测量结果的预言
二、交换算符
将粒子1、2状态交换的算符P12：P12 k ' k '' k '' k ' 自然有：P12 P21; P122 P12P12 1. P12的本征值为±1 由于 P12 A1 a ' a '' a ' P12 a ' a '' a ' a '' a ' ,