线性代数B25 矩阵的秩习题s
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(优选)线性代数矩阵的秩习题
规定 零矩阵的秩 等于0. 故r(A) =0 A=O．
矩阵A的秩，记作 r(A) 或 R(A)或 rank(A)或 秩(A) .
例1和例2综合 求矩阵A和B的秩 其中
A 421
2 3 7
531
B
2 0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2
4 0
0253 .
解 在A中 容易看出一个 B是一个有3个非零行的
x y ... 0 0
0 y ... 0 0
原式=x (1)11 ... ... ... ... ... y (1)12 ... ... ... ... ...
0 0 ... x y
0 0 ... x y
0 0 ... 0 x n-1 y ... 0 0
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 0 4
2 0 2 5
P21 ,2
解：D (1) (1)13 5 2 (1)23 3 0 1 (1)43 4
15
a11 a12 -1 a14
D= a21 a22 2 a24 a31 a32 0 a34
a41 a42 1 a44
（-1）1+1
P21 ,5(3)
P21 ,5(3)
解答：可能有 .
例如
A100
0 1 0
矩阵A的秩，记作 r(A) 或 R(A)或 rank(A)或 秩(A) .
例1和例2综合 求矩阵A和B的秩 其中
A 421
2 3 7
531
B
2 0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2
4 0
0253 .
解 在A中 容易看出一个 B是一个有3个非零行的
x y ... 0 0
0 y ... 0 0
原式=x (1)11 ... ... ... ... ... y (1)12 ... ... ... ... ...
0 0 ... x y
0 0 ... x y
0 0 ... 0 x n-1 y ... 0 0
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1，试求矩阵A的秩.
1 1 0 4
2 0 2 5
P21 ,2
解：D (1) (1)13 5 2 (1)23 3 0 1 (1)43 4
15
a11 a12 -1 a14
D= a21 a22 2 a24 a31 a32 0 a34
a41 a42 1 a44
（-1）1+1
P21 ,5(3)
P21 ,5(3)
解答：可能有 .
例如
A100
0 1 0
矩阵的秩的习题、行列式与矩阵综合习题
2
23. A 为 m n 的矩阵， O 为零矩阵，证明：线性方程组 Ax 0 与 A Ax 0 同解.
T
24. 任意的列向量 ，有 A 0 ，证明： A 反对称.
T
6
A.3 B.. 2 C.1 D. 0
）
1 2 2 x ,三阶矩阵 B 0 ,且满足 AB 0 ,则( 8. 设 A 2 6 3 0 6
A. x 8, r ( B ) 1 C. x 8, r ( B ) 1 B. x 8, r ( B ) 2 D. x 8, r ( B ) 2
cos 20. 求 sin
sin cos ， cos sin
1
sin cos
n
21. A 为方阵， O 为零矩阵，证明： A O 当且仅当 A A O .
T
5
22. A 为对称矩阵，且 A O ，其中 O 为零矩阵，证明： A O .
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
(1)
4
闫浩教你线性代数 2015 秋季学期（北京邮电大学）11 月 5 日用
a 1 a a
a a 1 a
... a ... a ... a 的秩为 n-1,求 a. ... 1
a b 3 13. 3 阶矩阵 A= 2 0 2 3 2 1
和 r(AB).
b 1 a 1 ， B= 1 1 0 ， 已知 r(AB)小于 r(A)和 r(B),求 a,b 0 2 1
23. A 为 m n 的矩阵， O 为零矩阵，证明：线性方程组 Ax 0 与 A Ax 0 同解.
T
24. 任意的列向量 ，有 A 0 ，证明： A 反对称.
T
6
A.3 B.. 2 C.1 D. 0
）
1 2 2 x ,三阶矩阵 B 0 ,且满足 AB 0 ,则( 8. 设 A 2 6 3 0 6
A. x 8, r ( B ) 1 C. x 8, r ( B ) 1 B. x 8, r ( B ) 2 D. x 8, r ( B ) 2
cos 20. 求 sin
sin cos ， cos sin
1
sin cos
n
21. A 为方阵， O 为零矩阵，证明： A O 当且仅当 A A O .
T
5
22. A 为对称矩阵，且 A O ，其中 O 为零矩阵，证明： A O .
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
(1)
4
闫浩教你线性代数 2015 秋季学期（北京邮电大学）11 月 5 日用
a 1 a a
a a 1 a
... a ... a ... a 的秩为 n-1,求 a. ... 1
a b 3 13. 3 阶矩阵 A= 2 0 2 3 2 1
和 r(AB).
b 1 a 1 ， B= 1 1 0 ， 已知 r(AB)小于 r(A)和 r(B),求 a,b 0 2 1
2-5矩阵的秩详解
矩阵的秩
1、矩阵的 k 阶子式 定义 在 m n 矩阵 A中，任取 k 行 k 列 k min{ m , n} , 位于这些行与列交叉处的 k 2 个元素，依照它们在 A 中的位置次序不变而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的一个 k 阶子式. k k m n 矩阵共有 C m Cn 个 k 阶子式.
满秩方阵; r ( A ) n A 0 ,此时称A为降秩方阵
3
成为B , 定理2.5.1 若Amn经过若干次初等行变换 则r ( A ) r ( B ),即行等价的矩阵有相同 的秩
初等行变换不改变矩阵的非零子式的最高阶数 推论 2.5.1 初等列变换也不改变矩阵的秩
推论2.5.2 设Amn , Pmm 及Qnn均可逆,则有
r ( PA ) r ( AQ ) r ( PAQ ) r ( A )
即满秩方阵乘矩阵后，矩阵的秩不改变
4
矩阵秩的求法
A 初等行变换 阶梯形矩阵B A的秩 等于 B中非零行的行数 例1 3 2 0 5 0 3 2 3 6 1 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 例 2 设 1 2 2 1 1 求 R A , R B , 2 4 8 0 2 其中 B A b ,b A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4
R( A ) r
（1） Dr 0 ; （2） Dr 1 0 .
性质： 若Amn 0 ,则 : 1 r ( A ) minm , n （ 1） T r ( A ) r ( A ) （ 2） （3）阶梯型矩阵的秩等于它的非零行的行数 （4） 对于Ann , r ( A ) n A 0 ,此时称A为
1、矩阵的 k 阶子式 定义 在 m n 矩阵 A中，任取 k 行 k 列 k min{ m , n} , 位于这些行与列交叉处的 k 2 个元素，依照它们在 A 中的位置次序不变而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的一个 k 阶子式. k k m n 矩阵共有 C m Cn 个 k 阶子式.
满秩方阵; r ( A ) n A 0 ,此时称A为降秩方阵
3
成为B , 定理2.5.1 若Amn经过若干次初等行变换 则r ( A ) r ( B ),即行等价的矩阵有相同 的秩
初等行变换不改变矩阵的非零子式的最高阶数 推论 2.5.1 初等列变换也不改变矩阵的秩
推论2.5.2 设Amn , Pmm 及Qnn均可逆,则有
r ( PA ) r ( AQ ) r ( PAQ ) r ( A )
即满秩方阵乘矩阵后，矩阵的秩不改变
4
矩阵秩的求法
A 初等行变换 阶梯形矩阵B A的秩 等于 B中非零行的行数 例1 3 2 0 5 0 3 2 3 6 1 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 例 2 设 1 2 2 1 1 求 R A , R B , 2 4 8 0 2 其中 B A b ,b A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4
R( A ) r
（1） Dr 0 ; （2） Dr 1 0 .
性质： 若Amn 0 ,则 : 1 r ( A ) minm , n （ 1） T r ( A ) r ( A ) （ 2） （3）阶梯型矩阵的秩等于它的非零行的行数 （4） 对于Ann , r ( A ) n A 0 ,此时称A为
线性代数B-2.5矩阵的秩+习题s
线性代数B-2.5 矩阵的秩+习
• 矩阵的秩的定义与性质 • 矩阵秩的应用 • 习题讲解 • 矩阵秩的扩展知识 • 总结与展望
01
矩阵的秩的定义与性质
定义
矩阵的秩是其行向量组和列向量组中线性无关向 量的最大数量。 矩阵的秩记作r(A)，其中A是给定的矩阵。
零矩阵的秩定义为0。
性质
若矩阵A经过有限次初等行变 换得到矩阵B，则r(A) = r(B)。
子式法
根据定义，求出矩阵所有不为零的子 式的阶数，取其中最大的一个数即为 矩阵的秩。
行空间维数法
利用行空间维数的概念求出矩阵的秩。
02
矩阵秩的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组的解空
间
矩阵的秩等于系数矩阵的秩，也 等于增广矩阵的秩，这些秩都等 于线性方程组解空间的维数。
判断方程组是否有
解
如果系数矩阵的秩小于增广矩阵 的秩，则线性方程组无解；如果 相等，则有唯一解；如果前者大 于后者，则有无穷多解。
首先，将矩阵$A$进行初等行变换，得到行阶梯形矩阵 。通过初等行变换，我们可以将矩阵$A$变为行阶梯形 矩阵，从而得到矩阵$A$的秩。
答案
矩阵$A$的秩为3。
题目2
给定矩阵$B = begin{bmatrix} 1 & 2 0 & 0 end{bmatrix}$，求矩阵$B$的秩。
解析
观察矩阵$B$，可以发现第二行全为0，因此矩阵$B$的 秩为1。
答案
矩阵$C$的秩为3。
题目4
给定矩阵$D = begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -1 2 & 0 & -1 & 2 -1 & 2 & 1 & -1 end{bmatrix}$，求矩阵$D$的 秩。
• 矩阵的秩的定义与性质 • 矩阵秩的应用 • 习题讲解 • 矩阵秩的扩展知识 • 总结与展望
01
矩阵的秩的定义与性质
定义
矩阵的秩是其行向量组和列向量组中线性无关向 量的最大数量。 矩阵的秩记作r(A)，其中A是给定的矩阵。
零矩阵的秩定义为0。
性质
若矩阵A经过有限次初等行变 换得到矩阵B，则r(A) = r(B)。
子式法
根据定义，求出矩阵所有不为零的子 式的阶数，取其中最大的一个数即为 矩阵的秩。
行空间维数法
利用行空间维数的概念求出矩阵的秩。
02
矩阵秩的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组的解空
间
矩阵的秩等于系数矩阵的秩，也 等于增广矩阵的秩，这些秩都等 于线性方程组解空间的维数。
判断方程组是否有
解
如果系数矩阵的秩小于增广矩阵 的秩，则线性方程组无解；如果 相等，则有唯一解；如果前者大 于后者，则有无穷多解。
首先，将矩阵$A$进行初等行变换，得到行阶梯形矩阵 。通过初等行变换，我们可以将矩阵$A$变为行阶梯形 矩阵，从而得到矩阵$A$的秩。
答案
矩阵$A$的秩为3。
题目2
给定矩阵$B = begin{bmatrix} 1 & 2 0 & 0 end{bmatrix}$，求矩阵$B$的秩。
解析
观察矩阵$B$，可以发现第二行全为0，因此矩阵$B$的 秩为1。
答案
矩阵$C$的秩为3。
题目4
给定矩阵$D = begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -1 2 & 0 & -1 & 2 -1 & 2 & 1 & -1 end{bmatrix}$，求矩阵$D$的 秩。
大学线性代数课件第四章第四节矩阵的秩
答案2
3
添加标题
答案3
4
添加标题
矩阵$A$的秩为3。
5
添加标题
矩阵$B$的秩为3。
6
添加标题
矩阵$C$的秩为3。
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第矩 阵 秩
三的 应 用
章
在线性方程组中的应用
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩小 于增广矩阵的秩，则线性方程组无解；如 果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的秩小 于增广矩阵的秩，则线性方程组有无穷多 解。
VS
向量空间的维数
矩阵的秩还可以用来确定向量空间的维 数。一个向量空间的维数等于该空间的 一组基所含向量的个数，而这个个数与 构成这组基的矩阵的秩相等。
在矩阵分解中的应用
矩阵的LU分解
矩阵的秩可以用于LU分解中。如果一个矩阵可以进行LU分解，那么这个矩阵一定是一个 满秩矩阵，即其秩等于其阶数。
矩阵的QR分解
第 量 点
言击
大
四 简 此
意处
学
节 赅 添
的加
线
矩 阐 正
述文
性
观， 点文 。字
件
的 提
第
炼 ，
四
请 尽
章
壹
目
貳
录
目录
叁
引 言
肆
矩 阵 秩 的 计 算 方 法
伍
矩 阵 秩 的 应 用
陆
矩 阵 秩 的 定 理 和 推 论
第引 言
一 章
矩阵秩的定 义
矩阵的秩也可以通过行或列的初等变换得到，即通过行或 列的线性组合来消除其他行或列中的元素，得到的行或列 中非零元素的个数即为矩阵的秩。
线性代数课件第三章矩阵的秩课件
VS
矩阵的秩可以用于判断两个矩阵是否相似。如果两个矩阵相似，则它们的秩相同。
特征值和特征向量
矩阵的秩还可以用于确定矩阵的特征值和特征向量的个数。对于给定的矩阵，其秩等于其非零特征值的个数。
矩阵相似
矩阵的秩可以用于矩阵分解，如奇异值分解（SVD）和QR分解等。这些分解方法将一个复杂的矩阵分解为几个简单的、易于处理的矩阵，有助于简化计算和解决问题。
1 2 3 | 0 0 -3
7 8 9 | 0 0 0`
```
由于非零行的行数为2，所以矩阵B的秩为2。
题目3
求矩阵C=[1 -2 3; -4 5 -6; 7 -8 9]的秩。
解答
首先，将矩阵C进行初等行变换，得到行阶梯矩阵
```
继续进行初等行变换，得到
1 -2 3 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0 -6 -9 | 0
矩阵秩的应用
03
线性方程组的解
矩阵的秩可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组有唯一解；否则，方程组无解或有无数多个解。
最小二乘法
矩阵的秩还可以用于最小二乘法，通过最小化误差平方和来求解线性方程组。最小二乘法的解就是使残差矩阵的秩等于其行数或列数的最小二乘解。
线性代数：矩阵秩的求法
可写成矩阵形式 Ax b,
若b 0, 称Ax 0为齐次的；
若b 0, 称Ax b为非齐次的.
满足方程组Ax b的向量x, 称为它的解向量, 也 称 为 解.
4/44
(A
b)
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
b1 b2 bm
称为增广矩阵.
若增广矩阵为阶梯阵，则称它所对应的方程组 为 阶 梯 形 方 程 组.
x3 x3
0 0 x4 0
1001
系数行列式 1 1 0 0 0(按第一行展开) 0110
0011
故有非零解,即x1, x2 , x3 , x4不全为零.
所以1 2 ,2 3 ,3 4 ,4 1线性相关.
注：1
,
2
,,
成单，线性无关；
n
成双，线性相关。
28/44
3.1.3 关于线性相关性的几个结论
24/44
解2 设 x11 x2 2 x33 0
用行列式来解 11 1
A 1 3 1 0 1 5 3
方程组有非零解, 所以1， 2，3线性相关.
25/44
可以证明：
n个n维向量i (ai1, ai2 ,, ain ), i 1,2,, n,
a11 a21 an1
线性相关 a12
a4
x5 x1 a5
RA RB
5
ai 0
i 1
15/44
5
方程组有解的充要条件是 ai 0.
i 1
x1 x2 a1
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
由此得通解：
x4 x5 a4
线性代数第三章第三节 矩阵的秩 相抵标准形(2014版)
2 1 4 1 0 00 0
1
2
11
33 12
33 00
故
1
1, 2 可由
1
1
31 3
1,
2
2,
0
3
线性表示，且
1
2
3 2 31 3
2
03
12 2
例4 设 A 4 3
t的值。
t 3 ，B是3阶非零矩阵，且AB=0,求
11
解：因方程组Ax=0有非零解，故 |A|=0,所以有t=-3
定理3：矩阵的行秩＝矩阵的列秩
证明：当秩(A)=r,由推论2、推论3和任何矩阵都可经有限
次初等变换变为相抵标准形，故A等价于 Ir 0 故A的最
高阶非零子式的阶数为r。
0
0
当 A的最高阶非零子式的阶数为r，则存在Dr 0
又等价的向量组有相同的秩，
A 的行秩＝ A2 的行秩， 即A的行秩不变。
（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上1 1 来自i i A
kri
A3
j
j
k i
显然，A3 中的行向量组 可以由 A的行向量组线性表示
m
m 而 A的行向量组可以由
A3 中的行向量组线性表示。
所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变。
2
1
1
3
7 1 3 5
11
8
4
0
1
2
4
11
1 5 1 7 1
0
9
1
11
0
0 36 4 44 3
0
63
7
77
0
1 5 1 7 1
矩阵的秩课件
总结词
理解矩阵秩的定义
详细描述
矩阵的秩定义为线性无关的行向量或 列向量的最大数量。
总结词
掌握特殊矩阵的秩
详细描述
对于方阵，其秩等于其所有非零子 式的最高阶数；对于增广矩阵，其 秩等于其对应的系数矩阵的秩。
习题二：判断矩阵是否可逆
总结词
掌握判断矩阵可逆的方法
01
总结词
理解矩阵可逆的定义
03
总结词
掌握可逆矩阵的性质
秩也可以定义为矩阵中非零子 式的最高阶数。
秩的性质
秩具有传递性，即如果矩阵A的秩为r ，矩阵B的秩也为r，那么矩阵A+B的 秩也为r。
如果矩阵P和Q可逆，那么(P*Q)的秩 等于(Q*P)的秩，即 rank(P*Q)=rank(Q*P)。
秩的计算方法
利用初等行变换或初等列变换，将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的数量即可得到 矩阵的秩。
THANKS
感谢观看
详细描述
构造法是一种直接证明方法，适用于能够具体构造出满足 条件的例子或反例的情况。在证明矩阵秩的性质时，构造 法可以通过构造一个具体的矩阵例子或反例，来证明命题 的正确性或错误性。
06
矩阵秩的习题与解答
习题一：求矩阵的秩
总结词
掌握求矩阵秩的方法
详细描述
通过初等行变换，将矩阵转化为行 阶梯形矩阵，非零行的行数即为矩 阵的秩。
归纳法
总结词
通过数学归纳法，证明对于所有自然数n，命题都成立。
详细描述
归纳法是一种通过有限步骤证明无限命题的方法。在证明矩阵秩的性质时，归纳法可以 通过从n=1开始，逐步推导归纳步骤，最终证明对于所有自然数n，命题都成立。
构造法
要点一
理解矩阵秩的定义
详细描述
矩阵的秩定义为线性无关的行向量或 列向量的最大数量。
总结词
掌握特殊矩阵的秩
详细描述
对于方阵，其秩等于其所有非零子 式的最高阶数；对于增广矩阵，其 秩等于其对应的系数矩阵的秩。
习题二：判断矩阵是否可逆
总结词
掌握判断矩阵可逆的方法
01
总结词
理解矩阵可逆的定义
03
总结词
掌握可逆矩阵的性质
秩也可以定义为矩阵中非零子 式的最高阶数。
秩的性质
秩具有传递性，即如果矩阵A的秩为r ，矩阵B的秩也为r，那么矩阵A+B的 秩也为r。
如果矩阵P和Q可逆，那么(P*Q)的秩 等于(Q*P)的秩，即 rank(P*Q)=rank(Q*P)。
秩的计算方法
利用初等行变换或初等列变换，将矩阵化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的数量即可得到 矩阵的秩。
THANKS
感谢观看
详细描述
构造法是一种直接证明方法，适用于能够具体构造出满足 条件的例子或反例的情况。在证明矩阵秩的性质时，构造 法可以通过构造一个具体的矩阵例子或反例，来证明命题 的正确性或错误性。
06
矩阵秩的习题与解答
习题一：求矩阵的秩
总结词
掌握求矩阵秩的方法
详细描述
通过初等行变换，将矩阵转化为行 阶梯形矩阵，非零行的行数即为矩 阵的秩。
归纳法
总结词
通过数学归纳法，证明对于所有自然数n，命题都成立。
详细描述
归纳法是一种通过有限步骤证明无限命题的方法。在证明矩阵秩的性质时，归纳法可以 通过从n=1开始，逐步推导归纳步骤，最终证明对于所有自然数n，命题都成立。
构造法
要点一
线性代数 第二章 矩阵的秩与线性方程组 参考答案
3 1 2 1 2 3 4 （１） A = 2 3 −5 ； （２） A = −1 −1 −4 −2 ； 4 7 3 4 11 8 1
3 2 0 5 0 1 3 −2 2 3 6 − 1 3 −2 （３） A = 0 2 − 1 3 ； （４） ． A = 2 0 1 5 −3 −2 0 1 5 1 6 −4 −1 4
1 0 → 0 0
r3 + 3r2 r4 + 5 r2
6 −4 4 0 0
4 1 −3 −2 3 r4 + r3 0 → 0 0 1 −2 0 −1 2 0
−1
6 −4
4 4 −3 − 2 3 0 0 1 −2 0 0 0 0
其中 x2 , x4 , x5 为自由未知量，令
x2 = c1 , x 4 = c 2 , x 5 = c 3 ，
可得通解为
5
2 1 x1 = − 3 c1 − 3 c2 x 2 = c1 1 x3 = − c3 ， （ c1 , c 2 为任意常数） ． 3 x 4 = c2 x5 = c3
解 （１）系数矩阵
3
1 −3 2 1 −3 2 行 A = 2 −5 3 → 0 1 −1 ， 3 −8 2 0 0 −3 x1 = 0 由于 r ( A) = 3 = n ，故方程组只有唯一零解，即 x2 = 0 ． x = 0 3
x3 = c1, x 4 = c 2 ，
可得通解为
x1 = c1 + 2c2 x = c + 3c 2 2 1 ， （ c1 , c 2 为任意常数） ． x = c 3 1 x4 = c2
3 2 0 5 0 1 3 −2 2 3 6 − 1 3 −2 （３） A = 0 2 − 1 3 ； （４） ． A = 2 0 1 5 −3 −2 0 1 5 1 6 −4 −1 4
1 0 → 0 0
r3 + 3r2 r4 + 5 r2
6 −4 4 0 0
4 1 −3 −2 3 r4 + r3 0 → 0 0 1 −2 0 −1 2 0
−1
6 −4
4 4 −3 − 2 3 0 0 1 −2 0 0 0 0
其中 x2 , x4 , x5 为自由未知量，令
x2 = c1 , x 4 = c 2 , x 5 = c 3 ，
可得通解为
5
2 1 x1 = − 3 c1 − 3 c2 x 2 = c1 1 x3 = − c3 ， （ c1 , c 2 为任意常数） ． 3 x 4 = c2 x5 = c3
解 （１）系数矩阵
3
1 −3 2 1 −3 2 行 A = 2 −5 3 → 0 1 −1 ， 3 −8 2 0 0 −3 x1 = 0 由于 r ( A) = 3 = n ，故方程组只有唯一零解，即 x2 = 0 ． x = 0 3
x3 = c1, x 4 = c 2 ，
可得通解为
x1 = c1 + 2c2 x = c + 3c 2 2 1 ， （ c1 , c 2 为任意常数） ． x = c 3 1 x4 = c2
线性代数-矩阵的秩-PPT-期末复习资料
4
2 3 7
3 5, 1
2
B
0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2 4 0
2
5
3 0
3
A 在 中，容易看出一个2阶
子式
1 2 3 A 2 3 5,
12
D
1 0,
23
4 7 1
2 1 0 3 2
的3阶子式只有一个
A A 0, 因此 R( A) 2.
在 中，由于它是行阶梯形
阶的子式也全为零，因此把 阶非零子式称为最高阶非零子式；
r 1
r
A A ✓矩阵 的秩就是 中不等于零的子式的最高阶
数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；
A s ✓当矩阵 中有某个 阶子式不为0，则 A t 当矩阵 中所有 阶子式都为0，则
R( A) s; R( A) t;
5
n A ✓对于 阶矩阵 ，当
1 1 1 2
1 1 1 2
A 3
5
3
1
2 6
r2 3r1 r3 5r1
0 0
3
8
4
5
4 4
12
1 1 1 2
0 3 4 4 0 8 5 4
1 1 1 2
r3 r2
0
3
4
4
0 8 1 0
因为 R( A，) 故 2
5 0, 1 0,
子式
A0
A
10
3 2 5 32 5
3
2
6 6
0
11 (1)12 2 6
11 0.
25
2 0 5 20 5
说明
▪最高阶非零子式一般是不唯一的.
▪上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外 观察法也是常用的方法.
2 3 7
3 5, 1
2
B
0 0 0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2 4 0
2
5
3 0
3
A 在 中，容易看出一个2阶
子式
1 2 3 A 2 3 5,
12
D
1 0,
23
4 7 1
2 1 0 3 2
的3阶子式只有一个
A A 0, 因此 R( A) 2.
在 中，由于它是行阶梯形
阶的子式也全为零，因此把 阶非零子式称为最高阶非零子式；
r 1
r
A A ✓矩阵 的秩就是 中不等于零的子式的最高阶
数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；
A s ✓当矩阵 中有某个 阶子式不为0，则 A t 当矩阵 中所有 阶子式都为0，则
R( A) s; R( A) t;
5
n A ✓对于 阶矩阵 ，当
1 1 1 2
1 1 1 2
A 3
5
3
1
2 6
r2 3r1 r3 5r1
0 0
3
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4
5
4 4
12
1 1 1 2
0 3 4 4 0 8 5 4
1 1 1 2
r3 r2
0
3
4
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0 8 1 0
因为 R( A，) 故 2
5 0, 1 0,
子式
A0
A
10
3 2 5 32 5
3
2
6 6
0
11 (1)12 2 6
11 0.
25
2 0 5 20 5
说明
▪最高阶非零子式一般是不唯一的.
▪上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外 观察法也是常用的方法.
线性代数 矩阵的秩
设R(A)r R(B)s 又设A的行阶梯形为A0 B的列阶梯形 为B0 则存在可逆矩阵P和Q使APA0 BB0Q
因为ABPA0B0Q 所以R(AB)R(A0B0) 因为A0有r个非零行 B0有s个非零列 所以A0B0至多有r个 非零行和s个非零列 因此
R(A0B0)min{r s}min{R(A) R(B)}
1 1 0 0
01 01
>>>
梯形矩阵为
所以R(A)2 R(B)3
B0(A0 b0) 则A0就是A的行阶梯形矩阵 故从B0(A0 b0)中可同时看出 R(A)及R(B)
注 以B为增广矩阵的线性方 程组Axb是无解的 这是因为 行阶梯形矩阵的第3行表示矛 盾方程01
❖k阶子式 在mn矩阵A中 任取k行与k列(km kn) 位于这些行列
交叉处的k2个元素 不改变它们在A中所处的位置次序而得的 k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式
例如
A
1 2 2
1 1 3
2 1 1 1 1 1
4 2 2
3 6 9 7 9
D
❖几个简单结论
(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0 则R(A)s 若A中所 有t阶子式全为0 则R(A)t
(2)若A为mn矩阵 则0R(A)min{m n}
(3)R(AT)R(A)
(4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 R(A)n 当|A|0时
R(A)n 可逆矩阵又称为满秩矩阵 不可逆矩阵(奇异矩阵)又称为
(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0 则R(A)s 若A中所 有t阶子式全为0 则R(A)t
(2)若A为mn矩阵 则0R(A)min{m n} (3)R(AT)R(A)
25矩阵的秩及习题处理
T34(4)：解： 2
3 2 2 3 令A 1 1 0 ，则 | A | 1 1 0 1 0，且： 1 2 1 1 2 1 2
A11
1 0 2 1
2 3 2 1
2 3
1, A12
4, A22
1
3
0
1 1
1, A13
T
3)当r ( A) min{ m , n}时，称矩阵 A为满秩矩阵。
注： (1) 非奇异矩阵（可逆矩阵）A，有 | A | 0，
A的秩就等于它的阶数，A为满秩矩阵。
(2) 奇异矩阵A，也称为降秩矩阵。
3 2 2 1 0 3 1 2 5 0 观察： 求矩阵 B 的秩. 0 0 0 4 3 0 0 0 0 0
1 已知 A 0 例1： 2 1 3 2 0, 解 0 2
1 0 3 2 1 1 , 2 1 00 3 2
3 2 2 2 1 3 ，求秩． 0 1 5
计算A的3阶子式，
2 2
3 2 2 1 0 , 2 3 2 , 1 3 00 0 1 5 2
§2.5 矩阵的秩
1. k 阶子式
定义 : 设A (a ij )是m n矩阵，从 A中任取 k行k列 ( k min{ m , n}), 把位于这些行和列的相 保持它们原来的相对位 矩阵 A的一个 k阶子式。
1 0 A 0 2 0 0
交处的元素，
置所构成的 k阶行列式，称为
B , A
1 - 2 A 1 BA1 1 1 ，且 A 则D 0 1 ， 1 A 0 1 - 2 3 4 1 - 2 1 1 1 A BA 0 1 2 3 0 1 2 1 ， 1 0 1 2 1 2 1 0 1 所以 A . 0 0 1 2 0 0 0 1
线性代数：矩阵的秩
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 例4 设 A = , 求矩阵 A 的 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 秩,并求 A 的一个最高阶非零子式 .
作初等行变换, 阶梯形矩阵: 解 对 A 作初等行变换,变成行 阶梯形矩阵:
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A= 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
定义 2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子 阶子式( 式 D,且所有 r + 1 阶子式(如果存在的话 )全等 的最高阶非零子式, 于 0,那末 D 称为矩阵 A的最高阶非零子式,数 r 称为矩阵 A 的秩,记作 r ( A) .并规定零矩阵的秩 的秩, 等于零 . m × n 矩阵 A 的秩 r ( A) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数 .
2 4
1 1 8 0 2 4 2 3 3 6 0 6 4 2
r2 2r1 1 2 2 1 r3 + 2r1 0 0 4 2 0 0 2 1 r4 3r1 0 0 6 3
1 0 5 1
r2 ÷ 2 r3 r2
r4 + 3r2
1 2 0 0 0 0 0 0
解 Q B是一个行阶梯形矩阵, 其非零行有 3行, 是一个行阶梯形矩阵,
∴ B 的所有 4 阶子式全为零 .
2 1 3 而 0 3 2 ≠ 0, 0 0 4
∴ r ( B ) = 3.
1 例3 已知 A = 0 2 1 3 = 2 ≠ 0, 解 Q 0 2
3 2 2 2 1 3 ,求该矩阵的秩. 求该矩阵的秩. 0 1 5
因此 D r ≠ 0,从而 r ( B ) ≥ r . 分三种情况讨论: 当A → B时,分三种情况讨论:
(1)Dr中不含第 i行; (2)Dr中同时含第 i行和第 j行; (3)Dr中含第 i行但不含第 j行;
线性代数 习题 答案详解
线性代数习题答案详解线性代数习题答案详解线性代数是一门研究向量空间和线性映射的数学学科，是大学数学课程中的重要组成部分。
在学习线性代数的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以帮助巩固知识，提高对线性代数的理解。
本文将对一些常见的线性代数习题进行详细解答，帮助读者更好地掌握线性代数的知识。
1. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
对于一个m行n列的矩阵A，其转置记作A^T。
转置矩阵的性质包括：(1) (A^T)^T = A；(2) (AB)^T =B^T A^T。
2. 矩阵的逆对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵A可逆，B为A的逆矩阵，记作A^-1。
如果矩阵A可逆，则有以下性质：(1) (A^-1)^-1 = A；(2) (AB)^-1 = B^-1 A^-1。
3. 向量的线性相关性对于n维向量组V={v1, v2, ..., vn}，如果存在不全为零的实数c1, c2, ..., cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则称向量组V线性相关；如果只有当c1=c2=...=cn=0时，才有c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0，则称向量组V线性无关。
4. 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
对于一个m行n列的矩阵A，其秩记作rank(A)。
矩阵的秩具有以下性质：(1) rank(A) ≤ min(m, n)；(2) 如果A可逆，则rank(A) = m = n。
5. 特征值和特征向量对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x和一个实数λ，使得Ax = λx，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量的性质包括：(1) 矩阵A的特征值个数等于其秩rank(A)；(2) 矩阵A的特征向量线性无关。
通过以上几个常见的线性代数习题，我们可以看到线性代数的知识体系是相互联系的，各个概念之间有着内在的联系和逻辑。
线性代数-矩阵的秩-PPT-期末复习资料
、 可逆， 若 P、Q 可逆，则 R( PAQ ) = R( A);
max{ R( A), R( B )} ≤ R( A, B ) ≤ R( A) + R( B ),
特别地， 为列向量时， 特别地，当b为列向量时，有 为列向+ 1; 即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不 分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩， 超过所有子块的秩之和. 超过所有子块的秩之和
例如
a11 a12 a13 a14 A = a21 a22 a23 a24 a a32 a33 a34 31 得到4个子块 个子块： 得到 个子块： a11 a12
A11 = a 21
a13 a14 , , A12 = a a21 a24 23
矩阵的秩的原理
；
阵
知道矩阵的标准形与秩的联系； 知道矩阵的标准形与秩的联系；
的 秩
知道矩阵的秩的基本性质. 知道矩阵的秩的基本性质
1
一、k 阶子式
定义1 在 m × n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列（ k ≤ m , k ≤ n），位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素 , 不改 ），位于这些行列交叉 阶行列式， 变它们在 A 中所处的位置次序而得 的 k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式 . 例如
5 3 2 3 − 2 6 A0 = 2 0 5 1 6 − 1
r
1 6 − 1 0 − 4 1 0 0 4 0 0 0
因此 R( A0 ) = 3, 在 A0中,找一个 阶非零子式是比较 找一个3阶非零子式是比较 找一个 容易的，另外注意到， 的子式， 容易的，另外注意到， 0 的子式都是 A 的子式，所 A 以易求得的一个最高阶非零子式
线性代数B-2.5矩阵的秩习题s优制课件
4 3 3 4
4 3
=
3 3+4 4
4
3-3
4
3 4-4 3 4 4+3 3
52
=
0
0 52
可知A14的值，同理可计算A2
4的值.
相关知识
31
P60:4(4),
用初等变换法判定下列矩阵是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵.
3 -2 0 -1
（4）0
2
2
1
1 -2 -3 -2
0
1
2
1
又因A0的子式
3 25 3 2 6 0
2 05
所以这个子式是A的最高阶非
零子式.
相关知识
11
例5
相关知识
即AB与B等价
12
例6
相关知识
13
小结
1. 矩阵的秩的概念 2. 求矩阵的秩的方法
(1)定义法 寻找矩阵中非零子式的最高阶数;
(2)初等变换法 把矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
例如
A
1 2 2
1 1 3
2 1 1
1 1 1
4 2 2
3 6 9 7 9
11 3 1
是 A的一个二阶子式.
说明
mn矩阵的k阶子式有
C
k m
C
k n
个.
相关知识
5
2、矩阵的秩
定义2 设在mn矩阵A中有一个不等于零的r阶子式 D 且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0 那么数 r 称为 矩阵A的秩 D 称为矩阵A的最高阶非零子式.
相关知识
14
P67:31
练习题 P67:31,32
相关主题
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3 A 1 4
4 3 2 , 则 A = 1 4 3
4 3 3 4
4 3
3 3+4 4 3 4-4 3 = 4 3-3 4 4 4+3 3 52 0 4 4 = 可知A 1 的值，同理可计算A 2 的值. 2 5 0
若A可逆，则可以使用初等变换法求A-1 A E 初等行变换 E A1 ；
P60 5(2)
初等变换法求解矩阵方程:前提A可逆！
XA B，
A E . 初等列变换 1 B BA
行阶梯形矩阵
例5
即AB与B等价
例6
小结
1. 矩阵的秩的概念
2. 求矩阵的秩的方法 (1)定义法 寻找矩阵中非零子式的最高阶数; (2)初等变换法 把矩阵用初等行变换化为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1 ，试求矩阵A的秩. 1 1 x
3、矩阵的秩的性质
(1)若矩阵A中有某个 s 阶子式不为0 则r(A) s 若A中所有 t 阶子式全为0 则r(A)t. (2) 若A为mn矩阵 则 0 r(A) min{m n}. r(Am×n) min{m n} 可叫做满秩矩阵，否则叫做降秩矩阵。 (3) r(A)r(AT)，
继续讨论x的值的变化对矩阵A的秩的影响，结果同解法一。
P67:32
1 2 2 1 32.设A为5 4的矩阵，A 0 1 1 1 2 0
练习题 P67:31,32
3 1 k 2 1 3 ，且A的秩为3，求k . 0 4 2 5
P67:32
例4 求矩阵A的秩 并求A 所以r(A)3. 的一个最高阶非零子式 其中 为求A的最高阶非零子式 考虑由A的 1、2、4 列构成的 3 2 0 5 0 3 2 3 6 1 矩阵 A . 2 0 1 5 3 3 2 5 1 6 1 1 6 4 1 4 3 2 6 0 4 1 A0 . ~ 2 0 5 0 0 4 解 因为 1 6 1 0 0 0 3 2 0 5 0 可见r(A0 )＝3, 3 2 3 6 1 A 2 0 1 5 3 3 2 5 又因 A 的子式 1 6 4 1 4 0 3 2 6 0 2 0 5 行变换 1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 ~ 0 0 0 4 8 所以这个子式是A的最高阶非 0 0 0 0 0 零子式.
例如
1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 1 1 A 3 1 是 A的一个二阶子式. 2 3 1 1 2 3 6 9 7 9 说明 k k mn矩阵的k阶子式有 C m C n 个.
2、矩阵的秩
定义2 设在mn矩阵A中有一个不等于零的r阶子式 D 且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0 那么数 r 称为 矩阵A的秩 D 称为矩阵A的最高阶非零子式.
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 31.设三阶矩阵A 1 x 1 ，试求矩阵A的秩. 1 1 x
P67:31
练习题 P67:31,32
x 1 1 ，试求矩阵A的秩. 31.设三阶矩阵A 1 x 1 1 1 x
0 y ... 0 0 ... ... ... ... ... 0 y 0 ... x 0 ... 0 y x n-1
=x n +(1) n+1 y n
习题1-5, P25 :5
P40:3(3)、(4),
(3)
(4)
P40-4
4
P40-6
6
已知两个线性变换 y3 x1 2 y1 x2 2 y1 3 y2 2 y3 , x 4y y 5y 1 2 3 3 y1 3z1 z2 z3 , y2 2 z1 y z2 3z3 3
二、矩阵的秩的求法
任何矩阵都可以经过初等行变换变成行阶梯形矩阵。
问题：经过初等变换后，矩阵的秩 变 吗？ 定理1 若A与B等价 则 r(A)r(B). 即初等变换不改变矩阵的秩 . 根据这一定理 为求矩阵的秩 只要把矩阵用初等(行)变换变成行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩.
求z1，z2，z3到x1，x2，x3的线性变换.
n个变量x1, x2 ,
, xn与m个变量y1, y2 ,
, ym之间的关系式
y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn , y a x a x a x , 2 21 1 22 2 2n n ym am 1 x1 am 2 x2 amn xn .
Amn
r ~ r ~ c ~
行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 标准形
(形式不唯一) (形式唯一)
Er F O
O O mn
由于矩阵的等价标准形的唯一性没有给出证明，也可 以借助行列式来定义矩阵的秩．
1、k 阶子式
定义1 在mn矩阵A中 任取 k 行 k 列 (1 k m,1 k n) 位于这些行 列 交叉处 的 k2 个元素 不改变它们在A中所 处的位置次序而得的k阶行列式 称为矩阵A的k阶子式.
任课教师:胡凤珠
矩阵的秩
秩(rank)是矩阵更深层的性质，是
矩阵理论的核心概念．
秩是德国数学家弗洛贝尼乌斯在 1879年首先提出的． 矩阵的秩是讨论线性方程组解的存 在性、向量组的线性相关性等问题
的重要工具．
课本§2.6 矩阵的秩
一、矩阵的秩的概念
二、矩阵的秩的求法
一、矩阵的秩的概念
补充例3 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式? 有没有等于0的 r 阶子式?
解答：可能有 .
1 0 0 0 例如 A 0 1 0 0 r(A)3. 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 是等于0的3阶子式. 0 0 是等于0的2阶子式 0 1 0
1 2 2 1 32.设A为5 4的矩阵，A 0 1 1 1 2 0
练习题 P67:31,32
3 1 k 2 1 3 ，且A的秩为3，求k . 0 4 2 5
P21 ,2
解：D (1) (1)13 5 2 (1)23 3 0 1 (1)43 4 15 a a -1 a
P60:4(4),
用初等变换法判定下列矩阵是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵. 3 -2 0 -1 0 2 2 1 （4） 1 -2 -3 -2 0 1 2 1
若A可逆，则可以使用初等变换法求A-1 1 A E 初等行变换 E A ；
P60:4(4),
矩阵常用的三种特殊的等价形式：
Amn
r ~ r ~ c ~
行阶梯形矩阵 行最简形矩阵 标准形
(形式不唯一) (形式唯一)
Er F O
O O mn
标准形由数r完全确定，r也就是A的行阶梯形中非零行 的行数 这个数便是矩阵A的秩.
一、矩阵的秩的概念
矩阵常用的三种特殊的等价形式：
容易出错
1 1 若三阶矩阵A的伴随矩阵为A* ,已知 A , 求 3 A 2 A* . 2 P66:18
可逆矩阵性质（5）若矩阵A可逆，则 A
1
A .
1
3 4 o 4 3 P66:22 , 求 A8 及A4 . 设A 2 0 o 2 2
规定 零矩阵的秩 等于0. 故r(A) =0 A=O． 矩阵A的秩，记作 r(A) 或 R(A)或 rank(A)或 秩(A) .
例1和例2综合 求矩阵A和B的秩 其中 2 1 0 3 2 1 2 3 0 3 1 2 5 A 2 3 5 B . 0 0 0 4 3 4 7 1 0 0 0 0 0 解 在A中 容易看出一个 B 是一个有 3 个非零行的 2阶子式 行阶梯形矩阵 其所有 4 阶子 式全为零. 以 3 个非零行的首 1 2 1 0 2 3 非零元为对角元的3阶子式 A的3阶子式只有一个|A| 经计 2 1 3 算可知|A|0 因此r(A)2. 0 3 2 0 0 4 提示 是一个上三角行列式 它显然 对于行阶梯形矩阵 它的 =24不等于0 因此r(B)3. 秩就等于非零行的行数.
a11 a12 a21 a22 (4)对于n阶矩阵A 当|A|0时 r(A)n A 当|A|0时 r(A)n. 可逆矩阵(非奇异矩阵),又称为满秩矩阵 am1 am 2 不可逆矩阵(奇异矩阵),又称为降秩矩阵. a1n a2 n amn
(2.3)
称为从变量x1, x2 ,
, xn到变量y1, y2 ,
, ym的线性变换.
其中a （ . ij i=1,2,...,m;j=1,2,...,n）为常数
作业：P46:1(1),7(1)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP66:18
P46:1(1),
0 3 3 , AB A 2 B, 求B. 设A 1 1 0 7(1) 1 2 3
11 12
14
a21 D= a31 a41
a22 a32 a42
2 0 1
a24 a34 a44
P21 ,5(3)
1+1 （-1）
P21 ,5(3)
x y ... 0 0 11 ... ... ... ... ... 原式=x (1) y (1)1 2 0 0 ... x y 0 0 ... 0 x n-1 =x n +y (1)1 2 y (1) y ... 0 0 n -11 ... ... ... ... ... ... ... ... 0 ... x y n 2