：空间距离的各种计算

高中数学立体几何 空间距离1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离；【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线.(2)在Rt △BEF 中，BF =a 23,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 212，即EF =a 22.由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为a 22. 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED .∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB .∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离.∵CE =23,∴CF =FD =21,∠EFC =90°,EF =22212322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. ∴AB 、CD 的距离是22. 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离.例1题图例2题图（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.题型二：两条异面直线间的距离【例3】 如图(1),正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离； 过A 作AO ⊥平面BCD 于O ，连BO 并延长与CD 相交于E ，连AE . ∵AB =AC =AD ,∴OB =OC =OD .∴O 是△BCD 的外心.又BD ＝BC ＝CD ， ∴O 是△BCD 的中心，∴BO =32BE =332332=⨯. 又AB ＝1，且∠AOB =90°,∴AO =36331222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-BO AB .∴A 到平面BCD 的距离是36. 【例4】在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =2π,AB =a ,AD =3a 且sin ∠ADC =55,又P A ⊥平面ABCD ,P A =a ,求：(1)二面角P —CD —A 的大小; (2)点A 到平面PBC 的距离.【规范解答】 (1)作AF ⊥DC 于F ,连结PF , ∵AP ⊥平面ABCD ,AF ⊥DC ,∴PF ⊥DC , ∴∠PF A 就是二面角P —CD —A 的平面角. 在△ADF 中,∠AFD =90°,∠ADF =arcsin55,AD =3a ,∴AF =53a , 在Rt △P AF 中tan ∠PF A =3535==a a AF PA ,∴∠PF A =arc tan 35. (2)∵P A ⊥平面ABCD ,∴P A ⊥BC ,又BC ⊥AB ,∴BC ⊥平面P AB ,作AH ⊥PB ,则BC ⊥AH ,∴AH ⊥平面PBC ,∵P A ⊥AB ,P A =AB =a ,∴PB =2a ,∴AH =a 22.【例5】如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.解法1：（Ⅰ）过E 作EH//BC 交CC 1于H ，则CH=BE=1，EH//AD ，且EH=AD. ∵AF ∥EC 1，∴∠FAD=∠C 1EH. ∴Rt △ADF ≌Rt △EHC 1.∴DF=C 1H=2. .6222=+=∴DF BD BF （Ⅱ）延长C 1E 与CB 交于G ，连AG ， 则平面AEC 1F 与平面ABCD 相交于AG . 过C 作CM ⊥AG ，垂足为M ，连C 1M ，由三垂线定理可知AG ⊥C 1M.由于AG ⊥面C 1MC ， 且AG ⊂面AEC 1F ，所以平面AEC 1F ⊥面C 1MC.在Rt △C 1CM 中，作CQ ⊥MC 1，垂足为Q ，则CQ 的长即为C 到面AEC 1F 的距离..113341712317123,17121743cos 3cos 3,.17,1,2211221=+⨯=⨯=∴=⨯===∠=∠=+===MC CC CM CQ GAB MCG CM MCG GAB BG AB AG BG CGBGCC EB 知由从而可得由解法2：（I ）建立如图所示的空间直角坐标系，则D （0，0，0），B （2，4，0）， A （2，0，0），C （0，4，0），E （2，4，1），C 1（0，4，3）.设F （0，0，z ）.∵AEC 1F 为平行四边形，例3题图B ACD1A1B 1C1A .62,62||).2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,11的长为即于是得由为平行四边形由BF BF EF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴（II ）设1n 为面AEC 1F 的法向量，)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然⎩⎨⎧=+⨯+⨯-=+⨯+⨯⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02020140,0,011y x y x AF n AE n 得由⎪⎩⎪⎨⎧-==∴⎩⎨⎧=+-=+.41,1,022,014y x x y 即111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为a ，则11114cos 33||||CC n CC n α⋅==⋅ ∴C 到平面AEC 1F 的距离为.11334333343cos ||1=⨯==αCC d【例6】正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。

（1）求点1B 到直线AC 的距离.（2）求直线1AB 到平面BD C 1的距离． 解：（1）连结BD ，D B 1，由三垂线定理可得：AC D B ⊥1， 所以D B 1就是1B 点到直线AC 的距离。

在BD B Rt 1∆中,6810222211=-=-=BC C B BB 34=BD ．2122121=+=∴B B BD D B ．（2）因为AC 与平面BD 1C 交于ＡＣ的中点Ｄ， 设E BC C B =⋂11，则1AB //DE ，所以1AB //平面BD C 1， 所以1AB 到平面BD 1C 的距离等于Ａ点到平面BD 1C 的距离，等于Ｃ点到平面BD 1C 的距离，也就等于三棱 锥1BDC C -的高， BDC C BDC C V V --=11 ，131311CC S hS BDC BDC ∆∆=∴，131312=∴h ，即直线1AB 到平面BD 1C 的距离是131312． 【解后归纳】 求空间距离注意三点： 1．常规遵循一作二证三计算的步骤； 2．多用转化的思想求线面和面面距离；3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．【范例4】如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4π.解析：法1（1）∵AE ⊥面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴A 1D ⊥D 1E（2）设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=2，故.2121,232152211=⋅⋅==-⋅⋅=∆∆BC AE S S ACE C AD 而 11111131,1,.33223D AECAEC AD C V S DD S h h h -∆∆∴=⋅=⋅∴⨯=⨯∴=1A（3）过D 作DH ⊥CE于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ， ∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角.设AE=x ，则BE=2－x11,, 1.4,,,Rt D DH DHD DH Rt ADE DE Rt DHE EH x π∆∠=∴=∆=∴∆=在中在中在中.4,32.32543.54,3122π的大小为二面角时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt ---=∴-=⇒+-=+∴+-=∆=∆法2：以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，E(1，x ，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111E D DA x E D DA ⊥=-=所以因为 （2）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0）， 从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，)1,0,1(1-=AD ，设平面ACD 1的法向量为),,(c b a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01AD n AC n 也即⎩⎨⎧=+-=+-002c a b a ，得⎩⎨⎧==c a b a 2， 从而)2,1,2(=n ，所以点E 到平面AD 1C 的距离为.313212||1=-+==n n E D h （3）设平面D 1EC 的法向量),,(c b a n =， ∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD C D x CE由⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0)2(02,0,01x b a c b CE n C D n 令b =1, ∴c=2, a =2－x ，∴).2,1,2(x n -=依题意.225)2(222||||4cos211=+-⇒=⋅=x DD n DD n π∴321+=x （不合，舍去），322-=x . ∴AE=32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为4π. ●对应训练 分阶提升 一、基础夯实1.把边长为a 的正△ABC 沿高线AD 折成60°的二面角，则点A 到BC 的距离是 ( )A.aB.a 26 C.a 33 D.a 415 2.△ABC 中，AB =9，AC =15，∠BAC =120°.△ABC 所在平面外一点P 到三个顶点A 、B 、C 的距离都是14，那么点P 到平面α的距离为 ( )A.7B.9C.11D.133.从平面α外一点P 向α引两条斜线P A ,PB .A ,B 为斜足,它们与α所成角的差是45°,它们在α内的射影长分别是2cm 和12cm ,则P 到α的距离是 ( )A.4cmB.3cm 或4cmC.6cmD.4cm 或6cm4.空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为 ( )A.a 21 B.a 22 C.a 23 D.a 5.在四面体P —ABC 中，P A 、PB 、PC 两两垂直.M 是面ABC 内一点，且点M 到三个面P AB 、PBC 、PCA 的距离分别为2、3、6，则点M 到顶点P 的距离是 ( )A.7B.8C.9D.106.如图，将锐角为60°，边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离是 ( )A.a 43B.a 43 C.a 23 D.a 467.如图，四棱锥P —ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD =AD ＝1，设点C 到平面P AB 的距离为d 1，点B 到平面P AC 的距离为d 2，则有 ( )A.1<d 1<d 2B.d 1<d 2<1C.d 1<1<d 2D.d 2<d 1<18.如图所示，在平面α的同侧有三点A 、B 、C ，△ABC 的重心为G .如果A 、B 、C 、G 到平面α的距离分别为a 、b 、c 、d ，那么a+b+c 等于 ( )A.2dB.3dC.4dD.以上都不对9.如图，菱形ABCD 边长为a ，∠A =60°，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点且2====DGCGFB CF HD AH EB AE ，沿EH 和FG 把菱形的两锐角折起，使A 、C 重合，这时点A 到平面EFGH 的距离是 ( )A.2a B.a 22 C.a 23 D.a 615二、思维激活10.二面角α-MN -β等于60°，平面α内一点A 到平面β的距离AB 的长为4，则点B 到α的距离为 .11.在60°的二面角α—l —β中，A ∈α,AC ⊥l 于C ，B ∈β，BD ⊥l 于D ，又AC =BD =a ,CD =2a ，则A 、B 两点间距离为 .12.设平面α外两点A 和B 到平面α的距离分别为4cm 和1cm ，AB 与平面α所成的角是60°，则线段AB 的长是 .13.在直角坐标系中,已知A (3,2),B (-3,-2)沿y 轴把直角坐标系折成平面角为α的二面角A —Oy —B 后,∠AOB =90°，则cos α的值是 . 三、能力提高第6题图第7题图 第8题图 第9题图14.在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥平面ABCD，E是P A的中点，求点E到平面PBC的距离．15.在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB为直角，侧面AB1与侧面AC1所成的二面角为60°，M为AA1上的点.∠A1MC1=30°，∠BMC1=90°，AB=a.(1)求BM与侧面AC1所成角的正切值.(2)求顶点A到面BMC1的距离.第15题图16.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直.∠ABC=90°,BC=2,AC =23,且AA1⊥A1C,AA1=A1C.（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小;（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小;（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离.17.如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB与BC的中点，EF与BD交于H.(1)求二面角B1—EF—B的大小.(2)试在棱B1B上找一点M，使D1M⊥面EFB1，并证明你的结论.(3)求点D1到面EFB1的距离.第17题图空间的距离习题解答1.D 折后BC =2a ,∴点A 到BC 的距离为415422a a a =⎪⎭⎫⎝⎛-.2.A BC =21120cos 159215922=︒⨯⨯-+. ∴△ABC 外接圆半径R =37120sin 221=︒,∴点P 到α的距离为.7)37(1422=-3.D 设PO ⊥α垂足为O ,|PO |=x cm ,∠OAP =β,∠OBP =γ,那么β-γ=45°, tan β=2x ,tan γ=12x,tan (β-γ)=tan 45° 展开左边并整理得:x 2-10x +24=0,解得x 1=6,x 2=4.4.B P 、Q 的最短距离即为异面直线AB 与CD 间的距离，当P 为AB 的中点，Q 为CD 的中点时符合题意.5.A PM =7632222=++.6.C 取BD 的中点O 连AO 、OC ，作OE ⊥AC 于E ，则OE 为所求，∴AO =CO =AC =23a . 7.D 点C 到平面P AB 的距离d 1=22, 点B 到平面P AC 的距离d 2=33211221=+⋅， ∵12233<<,∴d 2<d 1<1． 8.B |MM ′|=2c b +，又3122=+-+-c b a cb d .∴a +b +c =3d . 9.A 设BD 的中点为O ，∴EO =6760cos 2322322a a a a a =︒⨯⨯-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛，点A 到平面EFGH 的距离为23679422a a a =-. 10.2 作AC ⊥MN 于C ，连BC ，则BC ⊥MN ，∴∠ACB =60°，又MN ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面α，作BD ⊥AC 于D ，则BD ⊥α，∴BD 的长即为所求，得BD =2．11.a 3 AB =a a a a a a 360cos 2)2(222=︒⋅⋅⋅-++. 12.23cm 或3310cm 当点A 、B 在α同侧时，AB =3260sin 3=︒;当点A 、B 在α异侧时，AB =331060sin 5=︒ 13.94如图,AB ″=26)32(22222=+=+OB OA ∵BC ⊥y 轴,B ′C ⊥y 轴,∴∠B ′CB ″为二面角A —Oy —B 的平面角. ∠B ′CB ″=α,在△B ′CB ″中,B ′C =B ″C =3, B ′B ″=104262=-,由余弦定理易知cos α=94. 14.如图，将点E 到平面PBC 的距离转化成线面距，再转化成点面距. 连AC 、BD ，设AC 、BD 交于O ，则EO ∥平面PBC ， ∴OE 上任一点到平面PBC 的距离相等． ∵平面PBC ⊥平面ABCD ，过O 作OG ⊥平面PBC ，则G ∈BC ， 又∠ACB=60°，AC=BC=AB=a ， ∴OC =2a ,OG =OC sin60°=43a .点评：若直接过E 作平面PBC 的垂线，垂足难以确定．在解答求距离时，要注意距离之间的相互转化有的能起到意想不到的效果．15.(1)∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，∴∠BAC 为二面角B 1—AA 1—C 1的平面角，∴∠BAC =60°.又∵∠ACB 为直角，∴BC ⊥侧面AC 1.连MC ，则MC 是MB 在侧面AC 1上的射影. ∴∠BMC 为BM 与侧面AC 1所成的角.且∠CMC 1=90°，∠A 1MC 1=30°，所以∠AMC =60°. 设BC =m ，则AC =m 33，MC =32m ， 所以tan ∠BMC =23. 即BM 与侧面AC 1所成的角的正切值为23. (2)过A 作AN ⊥MC ，垂足为N ，则AN ∥面MBC 1.∵面MBC ⊥面MBC 1，且过N 作NH ⊥MB ，垂足为H ， 则NH 是N 到面MBC 1的距离，也就是A 到面MBC 1的距离. ∵AB =a ,AC =2a,且∠ACN =30°， ∴AN =4a 且∠AMN =60°，∴MN =a 123.第14题图解∴NH =MN sin ∠BMC =a 123×a 5239(本题还可用等积法). 16.(1)如图所示,作A 1D ⊥AC ,垂足为D ,由面A 1ACC 1⊥面ABC ,得A 1D ⊥面ABC ∴∠A 1AD 为A 1A 与面ABC 所成的角 ∵AA 1⊥A 1C ,AA 1=A 1C ∴∠A 1AD =45°为所求.(2)作DE ⊥AB 垂足为E ,连A 1E ,则由A 1D ⊥面ABC ,得A 1E ⊥AB , ∴∠A 1ED 是面A 1ABB 1与面ABC 所成二面角的平面角.由已知AB ⊥BC 得DE ∥BC ,又D 是AC 的中点,BC =2,AC =23 ∴DE =1,AD =A 1D =3,tan ∠A 1ED =DEDA 1=3,故∠A 1ED =60°为所求. (３)连结A 1B ,根据定义,点C 到面A 1ABB 1的距离,即为三棱锥C —A 1AB 的高h . 由V C —A 1AB =V A 1-ABC 得31S △AA 1B h =31S △ABC ·A 1D 即313223122⨯⨯=⋅⨯h ,∴h =3为所求. 17.(1)如图连结B 1D 1，AC ，B 1H ， ∵底面为正方形ABCD ， ∴对角线AC ⊥BD .又∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点 ∴EF ∥AC .∴EF ⊥BD .又∵棱B 1B ⊥底面ABCD ，EF 面ABCD ，∴EF ⊥B 1B . 又B 1B ∩BD =B ,BB 1面BB 1D 1D ，BD 面BB 1D 1D . ∴EF ⊥面BB 1D 1D .而B 1Ｈ面BB 1D 1D ，BH 面BB 1D 1D ，∴EF ⊥B 1H ，EF ⊥BH . ∴∠B 1HB 为二面角B 1—EF —B 的平面角. 在Rt △B 1BH 中，B 1B =a ,BH =a 42， ∴tan ∠B 1HB =221=BHBB . ∴∠B 1HB =arctan22.∴二面角B 1—EF —B 的大小为arctan22.(2)在棱B 1B 上取中点M ，连D 1M ， 则D 1M ⊥面EFB 1.连结C 1M .∵EF ⊥面BB 1D 1D ，D 1M 面BB 1D 1D . ∴D 1M ⊥EF .又∵D 1C 1⊥面B 1BCC 1.∴C 1M 为D 1M 在面B 1BCC 1内的射影.在正方形B 1BCC 1中，M 、F 分别为B 1B 和BC 的中点， 由平面几何知识B 1F ⊥C 1M .于是，由三垂线定理可知B 1Ｆ⊥D 1Ｍ，而B 1F 面EFB 1，EF 面EFB 1，EF ∩B 1F =F ， ∴D 1M ⊥面EFB 1.(3)设D 1M 与面EFB 1交于N 点，则D 1N 为点D 到面EFB 1的距离， ∵B 1Ｎ面EFB 1,D 1M ⊥面EFB 1，第17题图解∴B 1N ⊥D 1M .在Rt △MB 1D 1中，由射影定理D 1B 12=D 1N ·D 1M ， 而D 1B 1=2a ,D 1Ｍ=a M B D B 2321211=+， ∴D 1N =.341211a M D B D = 即点D 1到面EFB 1的距离为a 34.空间距离的计算1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一：两条异面直线间的距离【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1) 求证：EF 是AB 和CD 的公垂线；(2)求AB 和CD 间的距离；【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离.例1题图例2题图【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度.（2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离.题型二：两条异面直线间的距离例3、如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求：A 到平面BCD 的距离；例4、在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =2,AB =a ,AD =3a 且sin ∠ADC =55,又P A ⊥平面ABCD ,P A =a ,求：(1)二面角P —CD —A 的大小; (2)点A 到平面PBC 的距离.例5、如图，所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.（Ⅰ）求BF 的长；（Ⅱ）求点C 到平面AEC 1F 的距离.例3题图B ACD1A1B 1C D 1C 1B 1A 1EDC BA 例6、正三棱柱111CB A ABC -的底面边长为8，对角线101=C B ，D 是AC 的中点。