新2021年高考数学专题讲义第15讲 函数与方程(解析版)
2021年新课标高中数学必修①第三章-函数与方程精讲
¤学习目标 ：结合二次函数的图像， 判断一元二次方程根的存在性及根的个数，
从而了解函数的零点与方
程根的联系；掌握零点存在的判定条件
.
¤知识要点 ：
1. 对于函数 y f ( x) ，能使 f ( x) 0 的实数 x 叫作函数 y f ( x) 的零点， 函数的零点就是方程 f (x ) 0 的
A ．确定区间 [ a,b] ，验证 f (a) gf (b) 0 ，给定精度ε； B. 求区间 (a, b) 的中点 x1 ；
C. 计算 f ( x1) ： 若 f ( x1 ) 0 ，则 x1 就是函数的零点；
若 f ( a) gf (x1) 0 ，则令 b x1 （此时零点
x0 ( a, x1 ) ）； 若 f (x1)gf (b) 0 ，则令 a x1 （此时零点 x0 (x1, b) ）；
D. 判断是否达到精度ε；即若 | a b | ，则得到零点零点值 a（或 b）；否则重复步骤 B~D ．
¤例题精讲 ：
【例 1】借助计算器，方程 ln x x 3 0 在区间（ 2， 3）内的根是 解 ：令 f ( x) ln x x 3 ，则 f (2) 0, f (3) 0 ，
（精确到 0.1 ）．
[ a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线，且 ）.
A. (1, 2)
B. (2 , 3)
C. (3, 4)
解 ：易知函数 f (x ) 在定义域 (0, ) 内是增函数 .
D. (4, 5)
∵ f (1) ln1 2 6 4 0 ， f (2) ln 2 4 6 ln 2 2 0 ， f (3) ln3 6 6 ln3 0 .
实数根，也就是函数 y f ( x) 的图象与 x 轴的交点的横坐标 .
2021年高考数学真题试题(新高考Ⅰ卷)(word版,含答案与解析)
2021年高考数学真题试卷（新高考Ⅰ卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.设集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=（）A. {2}B. {2,3}C. {3,4,}D. {2,3,4}【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：根据交集的定义易知A∩B是求集合A与集合B的公共元素，即{2,3}，故答案为：B【分析】根据交集的定义直接求解即可.2.已知z=2-i，则( z(z⃗+i)=（）A. 6-2iB. 4-2iC. 6+2iD. 4+2i【答案】C【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：z(z+i)=(2−i)(2+2i)=4+4i−2i−2i2=6+2i故答案为：C【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的定义求解即可.3.已知圆锥的底面半径为√2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. 2B. 2 √2C. 4D. 4 √2【答案】B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】【解答】解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为l，底面半径为r，则有2πr=180°360°×2πl，解得l=2r=2√2故答案为：B【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即可.4.下列区间中，函数f(x)=7sin( x−π6)单调递增的区间是（）A. (0, π2) B. ( π2, π) C. ( π, 3π2) D. ( 3π2, 2π)【答案】A【考点】正弦函数的单调性【解析】【解答】解：由−π2+2kπ≤x−π6≤π2+2kπ得−π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ，k∈Z，当k=0时，[−π3，2π3]是函数的一个增区间，显然(0，π2)⊂[−π3，2π3]，故答案为：A【分析】根据正弦函数的单调性求解即可.5.已知F 1,F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1 的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为（ ） A. 13 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】 C【考点】基本不等式在最值问题中的应用，椭圆的定义【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a 2=9,b 2=4,|MF 1|+|MF 2|=2a=6， 则由基本不等式可得|MF 1||MF 2|≤|MF1||MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9 ，当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时，等号成立. 故答案为：C【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即可. 6.若tan θ =-2,则sin θ(1+sin2θ)sin θ+cos θ=（ ）A. −65 B. −25 C. 25 D. 65 【答案】 C【考点】二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用 【解析】【解答】解：原式=sinθ(sin 2θ+2sinθcosθ+cos 2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)=sin 2θ+sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθtan 2θ+1=25故答案为：C【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角公式求解即可. 7.若过点（a,b)可以作曲线y=e x 的两条切线，则（ ） A. e b <a B. e a <b C. 0<a<e b D. 0<b<e a 【答案】 D【考点】极限及其运算，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：由题意易知，当x 趋近于-∞时，切线为x=0，当x 趋近于+∞时，切线为y=+∞，因此切线的交点必位于第一象限，且在曲线y=e x 的下方. 故答案为：D【分析】利用极限，结合图象求解即可.8.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 丙与丁相互独立 【答案】 B【考点】相互独立事件，相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式 【解析】【解答】解：设甲乙丙丁事件发生的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)， 则P(A)=P(B)=16，P(C)=56×6=536，P(D)=66×6=16 ，对于A ，P(AC)=0；对于B ，P(AD)=16×6=136； 对于C ，P(BC)=16×6=136； 对于D ，P(CD)=0.若两事件X,Y 相互独立，则P(XY)=P(X)P(Y), 故B 正确. 故答案为：B【分析】根据古典概型，以及独立事件的概率求解即可二、选择题：本题共4小题。
高一数学基础知识讲义(2021)——函数的综合运用
第九讲 函数综合练习基本知识回顾一.定义域、值域、对应法则1). x 自变量的取值范围叫做这个函数的定义域。
2）.函数中y 的变化范围，叫做这个函数的值域。
3）.自变量x ，与y 的对应关系，对应法则。
二.函数的单调性与奇偶性1）.函数的单调性：函数在定义域内的增减性。
f(x)在其定义域内，当 12x x < 时，都有()()12f x f x <，那么就说函数f （x ）是其定义域的增函数。
当 12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说函数f （x ）是其定义域的减函数。
函数增减性证明通常采用定义法。
从图像来看：1）增函数从左到右逐渐上升2）减函数从右到左逐渐下降2）判断函数的奇偶性：要看f(x)与f(-x)的关系。
函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断。
表达式的判断：当f(-x)=f(x)的时候，是偶函数。
当f(-x)=-f(x)的时候，是奇函数。
f(x)=0,既是奇函数，又是偶函数 三.指数函数和对数函数当一个函数是一个一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。
互为反函数的两函数图象关于y x =对称。
从定义我们可以看出原函数的值域是反函数的定义域，原函数的定义域是反函数的值域且原函数与其反函数单调性一致。
这时，我们发现指数函数和对数函数正好满足反函数的定义，所以我们说指数函数与对数函数互为反函数。
经验证图像间的关系，定义域与值域的关系都满足。
函数()f x 的反函数我们用()1f x -注意：反函数存在的条件：原函数要是一一映射。
求反函数的步骤：1）用y 来表示x ；2）互换x ，y 3）标注反函数的定义域。
4）幂函数我们学习了211,,y x y x y x x-====可以发现这些函数的共同特征：幂的底数是自变量，指数是常数。
一般地，形如()y x R αα=∈的函数称为幂函数，其中α为常数。
考点15 诱导公式及恒等变化——2021年高考数学专题复习讲义附解析
考点15 诱导公式及恒等变化【思维导图】【常见考法】考点一：诱导公式1．已知角α的终边经过点()5,12P --，则3sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于 。
【答案】513【解析】由三角函数的定义可得：5cos 13α==-，则32sin πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭5cos 13α=-=. 2．若角θ的终边经过点34(,)55-，则sin()cos()tan(2)2πθπθπθ++-+-= 。
【答案】43【解析】由题知4tan θ=-3．由诱导公式()()44sin cos tan 2cos cos tan tan 233πθπθπθθθθθ⎛⎫⎛⎫++-+-=--=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．3．若,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭= 。
【答案】sin cos θθ-【解析】由题意，利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式，sin cos θθ===-，又由(,)2πθπ∈，则sin 0,cos 0θθ><sin cos θθ=-． 4．若sin 2sin 2x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则cos cos 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
【答案】25-【解析】∵sin 2sin 2cos 2x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴222sin 4cos 1cos x x x ==-，21cos 5x =， ∴cos cos 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin x x -2122cos 255x =-=-⨯=-．5．若()0,απ∈，()sin cos παα-+=，则sin cos αα-的值为 。
【答案】43【解析】由诱导公式得()sin cos sin cos 3παααα-+=+=， 平方得()22sin cos 12sin cos 9αααα+=+=，则72sin cos 09αα=-<， 所以()216sin cos 12sin cos 9αααα-=-=， 又因为()0,απ∈，所以sin cos 0αα->，所以4sin cos 3αα-=. 6．已知α为第四象限角,化简=________.【答案】2cos α【解析】依题意α为第四象限角，所以==+1sin 1sin 1sin 1sin 2cos cos cos cos αααααααα+-++-=+==.故答案为：2cos α7．已知α 【答案】-1=sin cos 1cos sin αααα-==--故答案为：1-8．在数学解题中，时常会碰到形如“1x yxy+-”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构类似.若a ,b 是非零实数，且满足sin cos855tan15cos sin55a ba bπππππ+=-，则ba=________.【解析】由已知sin cos tan8555tan15cos sin1tan555ba baba baπππππππ++==--，又tan tan853tan tan()15531tan tan35πππππππ+=+=-，所以tan3baπ==考点二：恒等变换1．计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为.【答案】1 2 -【解析】sin133cos197cos47cos73sin47(cos17)cos47sin17+=-+()sin47cos17cos47sin17=--sin(4717)=--1 sin302 =-=-2．2sin37522+的值为.【解析】2223 cos375sin375cos15sin15cos(4515)cos302222+=+=-==．3=.【答案】14【解析】13tan10=-=⎝⎭()sin204sin3010︒︒-︒=14= 4．tan70tan503tan50tan70+-=______.【答案】【解析】因为tan 70tan 50tan1201tan 50tan 70+=-⋅，所以()tan 70tan50tan1201tan50tan 7033tan50tan 70+=-⋅=-+⋅，∴原式50tan 703tan 50tan 703=⋅-⋅=-.故答案为5．70tan 70)sin 80︒-︒︒= . 【答案】12【解析】由题意可得：()707080tan sin ︒-︒︒cos1020=40cos20cos10sin 20-=⋅()()3010cos 3010cos10sin 20+--=⋅331sin10cos10sin1022cos10sin 20⎫⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅sin10cos1012sin10cos102==. 6．化简cos 20(tan20cos10︒︒+⋅︒值为 .【答案】2【解析】cos 20sin 20cos 20(tan 20(cos10cos 20cos10︒︒︒︒⋅=+⋅︒︒︒cos 20cos10︒=︒12(sin 2020)2sin80222cos10cos10︒+︒︒===︒︒ 7．2223164sin 20sin 20cos 20︒︒︒-+=__________． 【答案】32.【解析】因为222222313cos20sin 20sin 20cos 20sin 20cos 20︒-︒-=︒︒︒︒)2sin20sin201sin 404︒+︒︒-︒=︒。
2021年全国新高考Ⅰ卷高考数学中真题试卷及答案解析【完整版】
2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4} 2．已知z＝2﹣i，则z（+i）＝（）A．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2B．2C．4D．44．下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（）A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）5．已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（）A．13B．12C．9D．66．若tanθ＝﹣2，则＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．若过点（a，b）可以作曲线y＝e x的两条切线，则（）A．e b＜a B．e a＜b C．0＜a＜e b D．0＜b＜e a8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i＝x i+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同10．已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin （α+β）），A（1，0），则（）A．||＝||B．||＝||C．•＝•D．•＝•11．已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（）A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3D．当∠PBA最大时，|PB|＝312．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（）A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BPD．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
第15讲 函数与方程(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
第15讲：函数与方程一、课程标准1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．2．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法．二、基础知识回顾1、函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程f(x)＝0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．(2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程f(x)＝0有实根．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成立．2、二分法对于在区间上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值．3、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系4、有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．三、自主热身、归纳总结1、函数f(x)＝12x－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A . 0B . 1C . 2D . 3 【答案】B【解析】 f(x)是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝12，∴f(0)f(1)<0，∴f(x)有且只有一个零点．故选B . 2、已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f (x )必有零点的区间为( ) A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(3，4) D ．(4，5)【答案】B【解析】B 由所给的函数值的表格可以看出，x ＝2与x ＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f (2)·f (3)＜0，所以函数在(2，3)内有零点．故选B.3、设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4)【答案】B【解析】B ∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0， ∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，且为增函数， ∴f (x )的零点所在的区间是(1，2)．4、(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是( )A ．ln x ＝1－xB ．e x＝1xC ．2－x 2＝lg|x |D ．cos x ＝|x |＋1【答案】ABD【解析】 对于A ，设f (x )＝ln x ＋x －1，易知y ＝f (x )为增函数，又f (1)＝0，故ln x ＝1－x 有唯一解，符合；对于B ，设g (x )＝e x－1x ，易知y ＝g (x )为增函数，又g ⎝⎛⎭⎫12＝e －2＜0，g (1)＝e －1＞0，由函数零点存在定理可得e x＝1x 有唯一解，符合；对于C ，设h (x )＝x 2＋lg x －2，易知y ＝h (x )为增函数，由h (1)＝1－2＜0，h (2)＝2＋lg 2＞0，由函数零点存在定理可得h (x )＝x 2＋lg x －2有唯一零点，又H (x )＝2－x 2－lg|x |为偶函数，则2－x 2＝lg|x |有两个解，不符合；对于D ，因为cos x ∈[－1，1]，|x |＋1≥1，当且仅当x ＝0时cos x ＝x －1，即cos x ＝|x |＋1有唯一解，符合．5、若函数f (x )＝log 2x ＋x －k (k ∈Z )在区间(2，3)内有零点，则k ＝________． 【答案】4【解析】因函数f (x )在区间(2，3)内递增，则f (2)f (3)<0，即(log 22＋2－k )·(log 23＋3－k )<0，整理得(3－k )·(log 23＋3－k )<0，解得3<k <3＋log 23，而4<3＋log 23<5.因为k ∈Z ，所以k ＝4.6、 已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是______． 【答案】a≥94.【解析】 函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]上至少有一个零点，等价于函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]上有一个零点，或两个零点(包括两个相等的零点)．①当函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]上有一个零点时，由于f(0)＝2>0， ∴只需f(4)＝16－8a ＋2≤0，解得a≥94.7、(一题两空)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，x 3，x ＜1，若f (x 0)＝－1，则x 0＝________；若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点，则实数k 的取值范围是________． 【答案】－1 (0，1)【解析】解方程f (x 0)＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，1x 0＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜1，x 30＝－1，解得x 0＝－1.关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同交点，观察图象可知：当0＜k ＜1时y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同交点．即k ∈(0，1)．四、例题选讲考点一 判断零点所在的区间例1、（1）若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)（2）已知函数f(x)＝ln x －212x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的零点为x 0，则x 0所在的区间是(C )A . (0，1)B . (1，2)C . (2，3)D . (3，4) （3）若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x ＝x 13的解，则x 0属于区间( )A.⎝⎛⎭⎫23，1B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫0，13【答案】（1） A （2）C. （3） C【解析】（1） ∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＝(a －b )(a －c )＞0， f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点．因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.(2)∵f (x )＝ln x －212x -⎛⎫ ⎪⎝⎭在(0，＋∞)为增函数，又f (1)＝ln1－112⎛⎫ ⎪⎝⎭＝ln1－2<0， f (2)＝ln2－012⎛⎫ ⎪⎝⎭<0，f (3)＝ln3－112⎛⎫ ⎪⎝⎭>0， ∴x 0∈(2，3)．（3）令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，f (x )＝x 13，则g (0)＝1＞f (0)＝0，g ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1212＜f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫1213，g ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1213＞f ⎝⎛⎭⎫13＝⎝⎛⎭⎫1313，结合图象可得13＜x 0＜12.变式： (1)已知函数f (x )＝1x －a 为奇函数，g (x )＝ln x －2f (x )，则函数g (x )的零点所在区间为( ) A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)（2）已知方程2x ＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________．（3）设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是________.【答案】（1） C. （2）[5，10)（3） (1，2).【解析】（1）由函数f (x )＝1x －a 为奇函数，可得a ＝0， 则g (x )＝ln x －2f (x )＝ln x －2x .又g (2)＝ln 2－1<0，g (3)＝ln 3－23>0， 所以g (2)·g (3)<0.故函数g (x )的零点所在区间为(2，3). （2）令函数f (x )＝2x ＋3x －k ， 则f (x )在R 上是增函数．当方程2x ＋3x ＝k 的解在(1，2)内时，f (1)·f (2)<0， 即(5－k )(10－k )<0，解得5<k <10. 当f (1)＝0时，k ＝5.综上，k 的取值范围为[5，10)．（3）设f (x )＝x 3－⎝⎛⎭⎫12x －2，则x 0是函数f (x )的零点，在同一坐标系下画出函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象如图所示.因为f (1)＝1－⎝⎛⎭⎫12－1＝－1<0， f (2)＝8－⎝⎛⎭⎫120＝7>0，所以f (1)·f (2)<0，所以x 0∈(1，2).方法总结：确定函数f (x )的零点所在区间的常用方法：(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行分析判断.考点二 判断零点的个数1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为【答案】 5【解析】：因为f(x ＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R 上的图像，由y ＝f (x )－log 5| x |＝0，得f (x )＝log 5| x |，分别画出y ＝f (x )和y ＝log 5|x |的图像，如下图，由f (5)＝f (1)＝1，而log 55＝1，f (－3)＝f (1)＝1，log 5|－3|<1，而f (－7)＝f (1)＝1，而log 5|－7|＝log 57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.解后反思 本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点．变式1、（1）(2019·十堰调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （x －1），x >1，2x －1－1，x ≤1，则f (x )的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3（2）(2020·惠州质检)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A.0B.1C.2D.3【答案】（1）C （2）C【解析】（1） 当x >1时，令f (x )＝ln(x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1.故选C.（2）由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示.由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.变式2、（1）(2019·郑州质检)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为________．（2）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是__2__； （3）若函数f (x )＝x －1x ，则函数g (x )＝f (4x )－x 的零点是__12__． 【答案】（1）3（2）2（3）12【解析】（1）如图，作出g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 与h (x )＝cos x 的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3.(2)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，∴在(－∞，0]上有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又∵f (2)＝－2＋ln2<0，f (3)＝ln3>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有一个零点．综上，函数f (x )的零点个数为2.(3)∵f (x )＝x －1x ，∴f (4x )－x ＝4x －14x －x ＝－4x 2－4x ＋14x. 令f (4x )－x ＝0，得4x 2－4x ＋1＝0，解得x ＝12，这是方程g (x )＝0的根，即是函数g (x )的零点，∴函数g (x )＝f (4x )－x 的零点是12.方法总结：函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点，令f (x )＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数.考点三 与零点有关的参数的范围例3、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x>0，x 3－3mx －2，x≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】 (1，＋∞)【解析】解法1(直接法) 当x>0时，令f(x)＝e －x－12＝0，解得x ＝ln 2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R 上有3个不同的零点，则当x ≤0时，f (x )＝x 3－3mx －2有2个不同的零点，因为f ′(x )＝3x 2－3m ，令f ′(x )＝0，则x 2－m ＝0，若m ≤0，则函数f (x )为增函数，不合题意，故m >0，所以函数f (x )在(－∞，－m )上为增函数，在(－m ，0]上为减函数，即f (x )max ＝f (－m )＝－m m ＋3m m －2＝2m m －2，f (0)＝－2<0，要使f (x )＝x 3－3mx －2在(－∞，0]上有2个不同的零点，则f (x )max ＝2m m －2>0，即m >1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)．解法2(分离参数) 当x>0时，令f(x)＝e －x－12＝0，解得x ＝ln 2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R 上有3个不同的零点，则当x ≤0时，f (x )＝x 3－3mx －2有2个不同的零点，即x 3－3mx －2＝0，显然x ＝0不是它的根，所以3m ＝x 2－2x ，令y ＝x 2－2x (x <0)，则y ′＝2x ＋2x 2＝2（x 3＋1）x 2，当x ∈(－∞，－1)时，y ′<0，此时函数单调递减；当x ∈(－1，0)时，y ′>0，此时函数单调递增，故y min ＝3，因此，要使f (x )＝x 3－3mx －2在(－∞，0)上有两个不同的零点，则需3m >3，即m >1.变式1、（1）、(2019·安徽合肥二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x ＞0，e x （x ＋1），x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0C ．(1，＋∞)∪{0}D ．(0，1]（2）、(2019·河北省九校第二次联考)若函数f (x )＝kx －|x －e －x |有两个正实数零点，则k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，1eC ．(0，1)D ．(0，e)【答案】（1）D （2）C【解析】（1）令g (x )＝f (x )－b ＝0，函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于f (x )＝b 有三个根，当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )＜0得e x (x ＋2)＜0，即x ＜－2，此时f (x )为减函数， 由f ′(x )＞0得e x (x ＋2)＞0，即－2＜x ＜0，此时f (x )为增函数，即当x ＝－2时，f (x )取得极小值f (－2)＝－1e 2，作出f (x )的图象如图，要使f (x )＝b 有三个根，则0＜b ≤1，故选D.（2）令f (x )＝kx －|x －e －x |＝0，得kx ＝|x －e －x|，当x >0时，k ＝⎪⎪⎪⎪x －e －xx ＝⎪⎪⎪⎪1－1x e x ， 令g (x )＝1－1x e x ，x >0，则g ′(x )＝1＋x x 2e x >0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为g ⎝⎛⎭⎫12＝1－2e <0，g (1)＝1－1e >0，所以在⎝⎛⎭⎫12，1上存在一个a ，使得g (a )＝0，所以y ＝|g (x )|的图象如图所示．由题意知，直线y ＝k 与y ＝|g (x )|的图象有两个交点，所以0<k <1，故选C.变式2、若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m 的取值范围是____________．【答案】⎝⎛⎭⎫14，12【解析】依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f （－1）·f （0）<0，f （1）·f （2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋（2m ＋1）]（2m ＋1）<0，[m －2＋m ＋（2m ＋1）][4（m －2）＋2m ＋（2m ＋1）]<0， 解得14<m <12.方法总结：函数零点求参数范围，其思路是把一个函数拆分为两个基本初等函数，将函数的零点问题转化为两函数图象问题，体现转化与化归思想及数形结合思想，从而体现核心素养中的直观想象．考点四 零点的综合运用例4、设函数f(x)＝||x x ＋2－ax 2(a ∈R )． (1)当a ＝2时，求函数y ＝f (x )的零点；(2)当a >0时，求证：函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点； (3)若函数y ＝f (x )有4个不同的零点，求实数a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝2时，f (x )＝||x x ＋2－2x 2，由f (x )＝0，得||x x ＋2－2x 2＝0.当x ≥0时，得xx ＋2－2x 2＝0，即x (2x 2＋4x －1)＝0，解得x ＝0，或x ＝－2＋62(x ＝－2－62<0舍去)； 当x <0时，得－x x ＋2－2x 2＝0，即x (2x 2＋4x ＋1)＝0(x ≠－2)，解得x ＝－2＋22，或x ＝－2－22. 综上所述，函数y ＝f (x )的零点为0，－2＋62，－2＋22，－2－22. (2)证明：当a >0，且x ∈(0，＋∞)时，由f (x )＝0，得x x ＋2－ax 2＝0，即1x ＋2－ax ＝0，即ax 2＋2ax －1＝0.记g (x )＝ax 2＋2ax －1，则函数y ＝g (x )的图像是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－1，又g (0)＝－1<0，∴函数y ＝g (x )在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点，即函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点． (3)易知x ＝0是函数f (x )的一个零点．当x >0时，由f (x )＝0得，x x ＋2－ax 2＝0，即1x ＋2－ax ＝0，即ax 2＋2ax －1＝0，记g (x )＝ax 2＋2ax －1，由a >0知函数g (x )的图像是开口向上的抛物线，又g (0)＝－1<0，∴函数f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点．于是，问题等价于f (x )＝||x x ＋2－ax 2(a >0)在(－∞，0)上有且只有两个不同的零点． 当x <0时，由f (x )＝0得，－xx ＋2－ax 2＝0， 即－1x ＋2－ax ＝0，即ax 2＋2ax ＋1＝0(x ≠－2)，由a >0，得x 2＋2x ＋1a ＝0(x ≠－2)，即x 2＋2x ＝－1a (x ≠－2)．作出函数h (x )＝x 2＋2x (x <0)图像，由图像易得：正数a 必须满足－1<－1a <0，从而有a >1.变式：(2018镇江期末）已知k 为常数，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ＋1，x≤0，|ln x|，x>0，若关于x 的方程f(x)＝kx ＋2有且只有四个不同解，则实数k 的取值构成的集合为________．【答案】： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e 3∪(－e ，－1)【解析】作函数y ＝f(x)和y ＝kx ＋2的图像，如图所示，两图像除了(0，2)还应有3个公共点，当k≥0时，直线应与曲线y ＝f(x)(x>1)相切，设切点(x 0，ln x 0)，则切线斜率为k ＝1x 0，又k ＝ln x 0－2x 0，则1x 0＝ln x 0－2x 0，解得x 0＝e 3，此时k ＝1e 3，当k<0时，当y ＝kx ＋2与曲线y ＝x ＋2x ＋1相切于点(0，2)时，函数y ＝f(x)和y ＝kx＋2的图像只有三个公共点，不符合题意，此时k ＝－1，当－1<k<0时，函数y ＝f(x)和y ＝kx ＋2的图像只有三个公共点，不符合题意，当直线y ＝kx ＋2与y ＝f(x)(0<x<1)相切时，两图像只有三个公共点，设切点(x 0，－ln x 0)，则切线的斜率k ＝－1x 0，又k ＝－ln x 0－2x 0，则－1x 0＝－ln x 0－2x 0，解得x 0＝e －1，此时k ＝－e 不符合题意，当k<－e 时，两图像只有两个公共点，不合题意，而当－e <k<－1时，两图像有4个公共点，符合题意，所以实数k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e 3∪(－e ，－1)．解后反思 方程解的个数的判断，常转化为函数图像公共点个数的判断，在转化的过程中，一般将它转化为一个确定的函数与一个不确定的函数，这样，只需要研究不确定的函数的图像的变化情况就可以得到问题的解．转化时有时也会做一些“技术”上的处理，比如本题可以知方程f(x)＝kx ＋2一定有一个零解，在x≠0时，可以转化为直线y ＝k 与曲线y ＝f （x ）－2x 有三个公共点来处理，这样做的好处是在画出两图像后很容易得到k 的取值范围，但曲线画起来难度增加了．方法总结：函数零点与二次函数的综合问题，主要考查函数零点、方程的根以及不等式的解法等基础知识和基本方法，考查推理论证和运算求解的能力．解决这类问题，一是用零点的定义转化为方程问题，二是利用零点存在定理转化为函数问题，三是利用数形结合的思想转化为图形问题．五、优化提升与真题演练1、函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．7 D ．0【答案】： B【解析】法一：(直接法)由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0， 解得x ＝－2或x ＝e. 因此函数f (x )共有2个零点．法二：(图象法)函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．2、(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A.－12B.13 C.12D.1【答案】：C【解析】(1)f (x )＝(x －1)2－1＋a (e x －1＋e 1－x )，则f (2－x )＝(2－x －1)2－1＋a [e 2－x －1＋e 1－(2－x )]＝(1－x )2－1＋a (e x－1＋e 1－x )＝f (x )，即f (x )的图象关于直线x ＝1对称.若f (x )有唯一的零点，则只有f (1)＝0，∴a ＝12. 3、【2019年浙江09】设a ，b ∈R ，函数f （x ）若函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点，则（ ） A ．a ＜﹣1，b ＜0B ．a ＜﹣1，b ＞0C ．a ＞﹣1，b ＜0D ．a ＞﹣1，b ＞0【解答】解：当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ；y ＝f （x ）﹣ax﹣b 最多一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2﹣b ，y ′＝x 2﹣（a +1）x ，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上递增，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多一个零点．不合题意；当a +1＞0，即a ＜﹣1时，令y ′＞0得x ∈[a +1，+∞），函数递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如右图： ∴0且，解得b ＜0，1﹣a ＞0，b （a +1）3．故选：C ．4、【2018年新课标1理科09】已知函数f（x），g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．5、若函数y＝x＋log2(a－2x)＋2在R上有零点，则实数a的最小值为________.【答案】：1【解析】令x＋log2(a－2x)＋2＝0，则a－2x＝2－(x＋2).依题意，关于x的方程a＝2x＋2－(x＋2)有解.又2x ＋2－(x ＋2)≥22－2＝1.当且仅当x ＝－1时，等号成立. ∴a ≥1，故a 的最小值为1.6、【2018年浙江15】已知λ∈R ，函数f （x ），当λ＝2时，不等式f （x ）＜0的解集是 ．若函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ． 【解答】解：当λ＝2时函数f （x ），显然x ≥2时，不等式x ﹣4＜0的解集：{x |2≤x ＜4}；x ＜2时，不等式f （x ）＜0化为：x 2﹣4x +3＜0，解得1＜x ＜2，综上，不等式的解集为：{x |1＜x ＜4}． 函数f （x ）恰有2个零点， 函数f （x ）的草图如图：函数f （x ）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4． 故答案为：{x |1＜x ＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．7、(2017南通期末） 已知函数f (x )是定义在[1，＋∞)上的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x －3|，1≤x <2，12f ⎝⎛⎭⎫12x ， x ≥2，则函数y＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________． 【答案】11【解析】解法1 由题意得当1≤x <2时，f (x )＝⎩⎨⎧2x －2，1≤x ≤32，4－2x ， 32<x <2.设x ∈[2n －1,2n)(n ∈N *)，则x2n －1∈[1,2)，又f (x )＝12n －1f ⎝⎛⎭⎫12n －1x ， ①当x2n －1∈⎣⎡⎦⎤1，32时，则x ∈[2n －1,3·2n －2]，所以f (x )＝12n －1f ⎝⎛⎭⎫12n －1x ＝12n －1⎝⎛⎭⎫2·12n －1x －2，所以2xf (x )－3＝2x ·12n －1⎝⎛⎭⎫2·12n －1x －2－3＝0，整理得x 2－2·2n －2x －3·22n －4＝0.解得x ＝3·2n －2或x ＝－2n －2.由于x ∈[2n －1,3·2n －2]，所以x ＝3·2n －2；②当x2n －1∈⎝⎛⎭⎫32，2时，则x ∈(3·2n －2,2n )，所以f (x )＝12n －1f ⎝⎛⎭⎫12n －1x ＝12n －1⎝⎛⎭⎫4－2·12n －1x ，所以2xf (x )－3＝2x ·12n －1⎝⎛⎭⎫4－2x 2n －1－3＝0，整理得x 2－4·2n －2x ＋3·22n －4＝0.解得x ＝3·2n －2或x ＝2n －2.由于x ∈(3·2n －2,2n)，所以无解． 综上所述，x ＝3·2n －2.由x ＝3·2n －2∈(1,2 015)，得n ≤11，所以函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.解法2 由题意得当x ∈[2n －1,2n)时，因为f (x )＝12n －1·f ⎝⎛⎭⎫12n －1x ，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32·2n －1＝12n －1.令g (x )＝32x .当x ＝32·2n －1时，g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫32·2n －1＝12n －1，所以当x ∈[2n －1,2n )时，x ＝32·2n －1为y ＝2xf (x )－3的一个零点．下面证明：当x ∈[2n －1,2n )时，y ＝2xf (x )－3只有一个零点．当x ∈[2n －1,3·2n －2]时，y ＝f (x )单调递增，y ＝g (x )单调递减，f (3·2n －2)＝g (3·2n －2)，所以x ∈[2n －1,3·2n －2]时，有一零点x ＝3·2n －2；当x ∈(3·2n －2,2n)时，y ＝f (x )＝12n －1－12n －1⎝⎛⎭⎫x 2n －2－3，k 1＝f ′(x )＝－122n －3，g (x )＝32x ，k 2＝g ′(x )＝－32x 2∈⎝⎛⎭⎫－13·22n －3，－322n ＋1，所以k 1<k 2.又因为f (3·2n －2)＝g (3·2n －2)，所以当x ∈[2n －1,2n )时，y ＝2xf (x )－3只有一个零点．由x ＝3·2n －2∈(1,2 015)，得n ≤11，所以函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11. 解法3 分别作出函数y ＝f (x )与y ＝32x 的图像，如图，交点在x 1＝32，x 2＝3，x 3＝6，…，x n ＝3·2n －2处取得．由x ＝3·2n －2∈(1,2 015)，得n ≤11，所以函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.。
2021版高考数学(理)第一轮复习课件：函数与方程
√
)
2．[课本改编]函数 f(x)＝x－4x的零点个数是(
)
A．0 B．1 C．2 D．无数个
解析 令 f(x)＝0，解 x－4x＝0，即 x2－4＝0，且 x≠0， 则 x＝±2.
3．[课本改编]方程 2－x＋x2＝3 的实数解的个数为( ) A．2 B．3 C．1 D．4
解析 构造函数 y＝2－x 与 y＝3－x2，在同一坐标系中 作出它们的图象，可知有两个交点，故方程 2－x＋x2＝3 的 实数解的个数为 2.故选 A.
解析 函数 f(x)的大致图象如图所示，根据题意知只要 m>4m－m2 即可，又 m>0，解得 m>3，故实数 m 的取值范 围是(3，＋∞)．
触类旁通 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式， 再通过解不等式确定参数范围．
(2)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐 标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
满分策略 1.函数 f(x)的零点不是点，是一个实数，是方程 f(x)＝0 的根，也是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标． 2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而 不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称 性或结合函数图象来分析.
板块三 启智培优·破译高考
题型技法系列 4——利用函数的零点比较大小 [2018·武汉调研]已知 x0 是函数 f(x)＝2x＋1－1 x的一个零 点．若 x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( ) A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 解题视点 构造函数 y＝2x 和函数 y＝x－1 1，并画出函 数的图象，可根据函数的图象进行判断．
新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解64--- 函数与方程 解析版
新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解专题3.8 函数与方程【考纲解读与核心素养】1.理解函数零点的概念.2.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数据分析等数学核心素养.3. 高考预测：（1）分段函数与函数方程结合；（2）二次函数、指数函数、对数函数与方程结合.（3）常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定参数的取值范围等．也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大.4.备考重点：（1）函数方程的概念（2）基本初等函数的图象和性质.【知识清单】1．函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点. 2．零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.特别提醒两个易错点：(1)函数的零点不是点,是方程f(x)=0的实根.(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.【典例剖析】高频考点一：求函数的零点【典例1】（2019·四川高考模拟（理））已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有解的和为（）A．B．1 C．3 D．5【答案】C【解析】∵是定义在R上的奇函数，且当时，∴当时，则即则作出的图象如图：∵的图象与的图象关于对称 ∴作出的图象，由图象知与的图象有三个交点即有三个根，其中一个根为1，另外两个根a ，b 关于对称即则所有解的和为故选：C ． 【思路点拨】根据函数奇偶性，求出函数的解析式，结合的图象与的图象关于对称，画出函数图象，结合函数的对称性，求得方程的所有解的和．【典例2】（2020·上海高三三模）函数2,1()(2),1x x f x x x ⎧=⎨->⎩，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x ，则1234x x x x +++= ． 【答案】4 【解析】作出函数2,1()(2),1x x f x x x ⎧=⎨->⎩的图象，方程()f x b =有四个不同的实数解， 等价为()y f x =和y b =的图象有4个交点， 不妨设它们交点的横坐标为1x 、2x 、3x 、4x ， 且1234x x x x <<<，由1x 、2x 关于原点对称，3x 、4x 关于(2,0)对称， 可得120x x +=，344x x +=， 则12344x x x x +++=． 故答案为：4．【总结提升】1.正确理解函数的零点：(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．(2)根据函数零点定义可知，函数f (x )的零点就是f (x )＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f (x )＝0是否有实根，有几个实根．即函数y ＝f (x )的零点⇔方程f (x )＝0的实根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标． 2．函数零点的求法：(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(2)几何法：与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．, 【变式探究】1.（2019·贵州省凯里一中高一期中）方程2210x x --=的两个根分别为（ ） A ．2,1- B ．1,12-C ．2,1-D ．1,12-【答案】B 【解析】2210x x --=等价于()()2110x x +-=，解得12x =-或1.故选：B.2.（2019·安徽高考模拟（文））函数()2211f x x x x =----的所有零点之和等于______． 【答案】2 【解析】令()22110f x x x x =----=，则()21120x x ----=.设10t x =-≥，则220t t --=，解得1t =-(舍去)或2t =. 所以12t x =-=，解得1x =-或3x =.所以函数()f x 有两个零点1,3-，它们之和等于13 2.-+= 高频考点二：判断函数零点所在区间【典例3】（2020·海丰县彭湃中学高一期末）函数31()102f x x x =--+的零点所在的大致区间为（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】D【解析】因为函数31()102f x x x =--+在R 上单调递减, (2)10f =>,(3)0f <,所以零点所在的大致区间为(2,3) 故选:D【典例4】(2019·浙江省温州十校联考)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 【答案】B 【解析】方法一 函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的区间．作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1，2)．方法二 易知f (x )＝ln x ＋x －2在(0，＋∞)上为增函数， 且f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0.所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点． 【规律方法】判断函数零点所在区间有三种方法：①解方程，直接求出零点；②利用零点存在定理，判断零点所在区间；③图象法，观察交点所在区间.特别提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函数性质进行分析判断． 【特别提醒】二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验． 【变式探究】1.（2019·云南省玉溪第一中学高考模拟（文））函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是（ ） A ．（-2，-1） B ．（-1,0） C ．（0,1） D ．（1,2）【答案】B 【解析】由题，函数()23x f x x =+在定义域上单调递增且连续，2(2)260f --=-<，1(1)230f --=-<，f(0)=1>0，由零点定理得，零点所在区间是（-1,0），故选B.2.（2020·郸城县实验高中高一月考）如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（ ）A ．[－2.1，－1]B ．[4.1，5]C ．[1.9，2.3]D ．[5，6.1]【答案】C 【解析】结合图象可得：ABD 选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点， C 选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点. 故选：C高频考点三：判断函数零点的个数【典例5】（2015·天津高考真题（文））已知函数,函数,则函数的零点的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A 【解析】 当时,所以,,此时函数的小于零的零点为;当时,,函数无零点;当时,,,函数大于2的零点为,综上可得函数的零点的个数为2.故选A.【典例6】（2020·山东省高三二模）已知图象连续不断的函数()f x 的定义域为R ，()f x 是周期为2的奇函数，()y f x =在区间[]1,1-上恰有5个零点，则()f x 在区间[]0,2020上的零点个数为（ ）A ．5050B ．4041C ．4040D ．2020【答案】B 【解析】由函数()f x 的定义域为R 上的奇函数，可得()00f =， 又由()y f x =在区间[]1,1-上恰有5个零点，可得函数()f x 在区间[1,0)-和(0,1]内各有2个零点，因为()f x 是周期为2，所以区间(1,2]内有两个零点，且(2)0f =， 即函数()f x 在区间(0,2]内有4个零点， 所以()f x 在区间[]0,2020上的零点个数为20204140412⨯+=个零点. 故选：B. 【规律方法】判断函数零点个数的方法：1.直接法：即直接求零点，令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点；2.定理法：利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点3.图象法：即利用图象交点的个数，画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数.4.性质法：即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数. 【变式探究】1.（2020·江苏省高三其他）设[]t 表示不超过实数t 的最大整数(如[ 1.3]2-=-，[2.6]2=)，则函数[]()21f x x x =--的零点个数为_______.【答案】2 【解析】函数[]()21f x x x =--的零点即方程[]21x x -=的根，∴函数()f x 的零点个数，即方程[]21x x -=的根的个数.[]210,0,0x x x -≥∴≥∴≥.当01x ≤<时，[]10,210,2x x x =∴-=∴=.当1x =时，[]1,211,211x x x =∴-=∴-=或211,1x x -=-∴=或0x =（舍）. 当1x >时，[]2121x x x x -=->≥，∴方程[]21x x -=无解. 综上，方程[]21x x -=的根为12，1. 所以方程[]21x x -=有2个根，即函数[]()21f x x x =--有2个零点. 故答案为：2.2.（2019·四川高考模拟（文））函数()()22ln f x x x =--的零点个数为______． 【答案】2 【解析】函数()()22ln f x x x =--的定义域为()0+∞，， 画出两个函数()22y x =-，ln y x =的图象，由函数图象的交点可知，函数的零点个数为2．故答案为：2．高频考点四：函数零点的应用【典例7】（2020·鸡泽县第一中学高二开学考试）已知函数()232,3,x x x mf x x x m ⎧-+≤=⎨-+>⎩，若()f x 恰好有2个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．(]2,3 B ．[)2,3C ．[)[)1,23,+∞ D ．(][)1,23,+∞【答案】C 【解析】令21232,3y x x y x =-+=-+，因为方程2320x x -+=的两根为121,2x x ==， 所以在同一直角坐标系下作出函数21232,3y x x y x =-+=-+的图象如图所示：由图可知，当12m ≤<时，函数()f x 恰有两个零点，图象如图所示：当3m ≥时，函数()f x 恰 有两个零点，图象如图所示：综上可知，所求实数m 的取值范围为[)[)1,23,+∞.故选：C【典例8】（2019·新疆高考模拟（文））关于x 的方程()00,1xa x a a a --=>≠且有两个解，则a 的取值范围是（ ）A ．()1+∞，B ．()01，C ．()0+∞，D ．ϕ【答案】A 【解析】由0x a x a --=得：x a x a =+，当01a <<时，分别作出函数x y a =及y x a =+的图象如下：显然，两个函数图象只交于一点，故0x a x a --=只有一解. 当1a >时，分别作出函数x y a =及y x a =+的图象如下：显然，两个函数图象交于两点，故0x a x a --=有两个解. 所以实数a 的取值范围是1a >. 故选：A【典例9】已知e 是自然对数的底数,函数()2x f x e x =+-的零点为a,函数() 2g x ln x x =+-的零点为b,则()()(),1,f a f f b 的大小关系为________. 【答案】()()()1f a f f b << 【解析】由题意,知()10x f x e '=+>恒成立, 所以函数f(x)在R 上是单调递增的, 而()000210,f e =+-=-<()111210,f e e =+-=-> 所以函数f(x)的零点a ∈(0,1);由题意,知g ′(x)=1x+1>0, 所以函数g(x)在(0,+∞)上是单调递增的, 又g(1)=ln 1+1-2=-1<0,g(2)=ln 2+2-2=ln 2>0, 所以函数g(x)的零点b ∈(1,2). 综上,可得0<a<1<b<2. 因为f(x)在R 上是单调递增的, 所以()()()1f a f f b <<. 【规律方法】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 【变式探究】1.（2019·江西高考模拟（文））已知函数22,1(),1x x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩若函数g(x)=f(x)-m x-m 的图像与x 轴的交点个数恰有3个，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()1,+∞【答案】B 【解析】由题可知函数g(x)=f(x)-m x-m 的图像与x 轴的交点恰有3个，即为函数()y=f x 的图像与函数m mx y +=的图像的交点恰有3个，函数m mx y +=的图像过定点()1,0P -，且斜率m ，当动直线过点()1,1A 时有2个交点，此时直线的斜率1.2m m =增大即有3个交点，故21>m当动直线与直线2+=x y 平行时有2个交点，故1m <，综上：112m << 2.(2019·河北保定一模)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝－2x ＋1，设函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－1≤x ≤3)，则函数f (x )与g (x )的图象所有交点的横坐标之和为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】A【解析】∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， ∴f (x )的周期为2.又f (x )为偶函数，∴f (1－x )＝f (x －1)＝f (x ＋1)， 故f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|(－1≤x ≤3)的图象关于直线x ＝1对称，作出f (x )和g (x )的图象如图所示．3.已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－log12x，h(x)＝log2x－x的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )A．x1＞x2＞x3B．x2＞x1＞x3 C．x1＞x3＞x2D．x3＞x2＞x1【答案】D【解析】由f(x)＝2x＋x＝0，g(x)＝x－log12x＝0，h(x)＝log2x－x＝0得2x＝－x，x＝log12x，log2x＝x.在坐标系中分别作出y＝2x，y＝－x；y＝x，y＝log12x；y＝log2x，y＝x的图象，由图象可知－1＜x1＜0,0＜x2＜1，x3＞1，所以x3＞x2＞x1.【总结提升】函数零点的应用主要体现在三类问题：一是函数中不含参数，零点又不易直接求出，考查各零点的和或范围问题；二是函数中含有参数，根据零点情况求函数中参数的范围；三是函数中有参数，但不求参数，仍是考查零点的范围问题．这三类问题最终都是通过数形结合转化为两函数图象的交点进行解决．。
新高考数学复习考点知识专题讲义 2---基本初等函数、函数与方程
新高考数学复习考点知识专题讲义第2讲基本初等函数、函数与方程[考情分析]1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼1．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同．2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．例1(1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值答案C解析画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．(2)已知函数f (x )＝e x ＋2(x <0)与g (x )＝ln(x ＋a )＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e B ．(－∞，e) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，e D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－e ，1e 答案B解析由题意知，方程f (－x )－g (x )＝0在(0，＋∞)上有解， 即e －x ＋2－ln(x ＋a )－2＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y ＝e －x 与y ＝ln(x ＋a )的图象在(0，＋∞)上有交点． 函数y ＝ln(x ＋a )可以看作由y ＝ln x 左右平移得到， 当a ＝0时，两函数有交点，当a <0时，向右平移，两函数总有交点，当a >0时，向左平移，由图可知，将函数y ＝ln x 的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，把(0,1)代入y＝ln(x＋a)，得1＝ln a，即a＝e，∴a<e.规律方法(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．跟踪演练1(1)函数f(x)＝ln(x2＋2)－e x－1的大致图象可能是()答案A解析当x→＋∞时，f(x)→－∞，故排除D；函数f(x)的定义域为R，且在R上连续，故排除B；f(0)＝ln2－e－1，由于ln2>ln e＝12，e－1<12，所以f(0)＝ln2－e－1>0，故排除C.(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－1 2的解集是()A．(－∞，－1) B．(－∞，－1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)答案A解析当x >0时，f (x )＝1－2－x >0. 又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )<－12的解集和f (x )>12的解集关于原点对称，由1－2－x >12得2－x <12＝2－1， 即x >1，则f (x )<－12的解集是(－∞，－1)．故选A.考点二函数的零点 核心提炼判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在性定理判断法． (2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．考向1函数零点的判断例2(1)(2022·长沙调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x e x ，x ≤0，2－|x －1|，x >0，若函数g (x )＝f (x )－m 有两个不同的零点x 1，x 2，则x 1＋x 2等于()A．2B．2或2＋1 eC．2或3D．2或3或2＋1 e答案D解析当x≤0时，f′(x)＝(x＋1)e x，当x<－1时，f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上单调递减，当－1<x≤0时，f′(x)>0，故f(x)在(－1,0]上单调递增，所以x≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝－1e.又当x≥1时，f(x)＝3－x，当0<x<1时，f(x)＝x＋1.作出f(x)的图象，如图所示．因为g(x)＝f(x)－m有两个不同的零点，所以方程f(x)＝m 有两个不同的根，等价于直线y＝m与f(x)的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x1，x2，由图可知1<m<2或m＝0或m＝－1e.若1<m<2，则x1＋x2＝2；若m ＝0，则x 1＋x 2＝3；若m ＝－1e ，则x 1＋x 2＝－1＋3＋1e ＝2＋1e .(2)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x －1，则关于x 的方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4 答案C解析对于任意的x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x ＋4)＝f [2＋(x ＋2)]＝f [2－(x ＋2)]＝f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )是一个周期函数，且T ＝4.又∵当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x －1，且函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (6)＝1，则函数y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，根据图象可得y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点，即f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根．考向2求参数的值或取值范围例3(1)已知关于x 的方程9－|x －2|－4·3－|x －2|－a ＝0有实数根，则实数a 的取值范围是________． 答案[－3,0)解析设t ＝3－|x －2|(0<t ≤1)， 由题意知a ＝t 2－4t 在(0,1]上有解， 又t 2－4t ＝(t －2)2－4(0<t ≤1)， ∴－3≤t 2－4t <0，∴实数a 的取值范围是[－3,0)．(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x >a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为____________________． 答案[－3，－1)∪[3，＋∞)解析由题意得g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3－2x ，x >a ，x 2＋6x ＋3－2x ，x ≤a ，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x >a ，x 2＋4x ＋3，x ≤a ，如图所示，因为g(x)恰有两个不同的零点，即g(x)的图象与x轴有两个交点．若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有两个零点，则令x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1，则当x>a时，g(x)＝3－x没有零点，所以a≥3.若当x≤a时，g(x)＝x2＋4x＋3有一个零点，则当x>a时，g(x)＝3－x必有一个零点，即－3≤a<－1，综上所述，a∈[－3，－1)∪[3，＋∞)．规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法跟踪演练2(1)已知偶函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－1x，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为()A ．1B ．3C ．2D ．4 答案B解析作出函数f (x )与g (x )的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y ＝f (x )－g (x )有3个零点．(2)(多选)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2a ，x <0，x 2－ax ，x ≥0，若关于x 的方程f (f (x ))＝0有8个不同的实根，则a 的值可能为() A ．－6B ．8C ．9D ．12 答案CD解析当a ≤0时，f (x )仅有一个零点x ＝0，故f (f (x ))＝0有8个不同的实根不可能成立．当a >0时，f (x )的图象如图所示，当f (f (x ))＝0时，f 1(x )＝－2a ，f 2(x )＝0，f 3(x )＝a .又f (f (x ))＝0有8个不同的实根，故f 1(x )＝－2a 有三个根，f 2(x )＝0有三个根，f 3(x )＝a 有两个根，又x 2－ax ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－a24，所以－2a >－a 24且a <2a ，解得a >8且a >0，综上可知，a >8.专题强化练一、单项选择题1．(2022·全国Ⅰ)设a log 34＝2，则4－a 等于() A.116B.19C.18D.16 答案B解析方法一因为a log 34＝2， 所以log 34a ＝2， 所以4a ＝32＝9， 所以4－a ＝14a ＝19. 方法二因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4log 94-＝14log 94-＝9－1＝19.2．函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点一定位于区间()A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)答案B解析函数f(x)＝ln x＋2x－6在其定义域上连续且单调，f(2)＝ln2＋2×2－6＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋2×3－6＝ln3>0，故函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点在区间(2,3)上．3．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax和g(x)＝log a(x＋2)(a>0且a≠1)的大致图象可能为()答案A解析由题意知，当a>0时，函数f(x)＝2－ax为减函数．若0<a<1，则函数f(x)＝2－ax的零点x0＝2a∈(2，＋∞)，且函数g(x)＝log a(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数；若a>1，则函数f(x)＝2－ax的零点x0＝2a∈(0,2)，且函数g(x)＝log a(x＋2)在(－2，＋∞)上为增函数．故A 正确．4．(2022·广东省揭阳三中模拟)已知a ，b ，c 满足4a ＝6，b ＝12log 4，c 3＝35，则()A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a 答案B解析4a ＝6>4，a >1，b ＝12log 4＝－2，c 3＝35<1,0<c <1，故a >c >b .5．(2022·全国Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e－0.23(t －53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln19≈3)() A ．60B ．63C ．66D ．69 答案C 解析因为I (t )＝K1＋e －0.23(t －53)，所以当I (t *)＝0.95K 时，*0.23531et K⎛⎫-- ⎪⎝⎭+＝0.95K ，即*0.235311et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+＝0.95，即1＋*0.2353et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝10.95，即*0.2353et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝10.95－1，∴*0.2353et ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝19，∴0.23(t *－53)＝ln19， ∴t *＝ln190.23＋53≈30.23＋53≈66.6．(2022·泉州模拟)若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是() A ．1<a <2B ．0<a <2，a ≠1 C ．0<a <1D ．a ≥2 答案A解析令u (x )＝x 2－ax ＋1，函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，∴a >1，且u (x )min >0，∴Δ＝a 2－4<0，∴1<a <2，∴a 的取值范围是1<a <2.7．(2022·太原质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x >0，－2x 2＋4x ＋1，x ≤0(e 为自然对数的底数)，若函数g (x )＝f (x )＋kx 恰好有两个零点，则实数k 等于() A ．－2eB ．eC ．－eD ．2e 答案C解析g (x )＝f (x )＋kx ＝0，即f (x )＝－kx ，如图所示，画出函数y ＝f (x )和y ＝－kx 的图象， －2x 2＋4x ＋1＝－kx ，即2x 2－(4＋k )x －1＝0， 设方程的两根为x 1，x 2，则Δ＝(4＋k )2＋8>0，且x 1x 2＝－12， 故g (x )在x <0时有且仅有一个零点， y ＝－kx 与y ＝f (x )在x >0时相切．当x >0时，设切点为(x 0，－kx 0)，f (x )＝e x ， f ′(x )＝e x ，f ′(x 0)＝0e x ＝－k ，0e x ＝－kx 0， 解得x 0＝1，k ＝－e.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，x ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |＋1，x ≠0，若关于x 的方程2f 2(x )－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有五个不同的解，则a 的取值范围是() A ．(1,2) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 答案D解析作出f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |＋1，x ≠0的图象如图所示．设t ＝f (x )，则原方程化为2t 2－(2a ＋3)t ＋3a ＝0， 解得t 1＝a ，t 2＝32.由图象可知，若关于x 的方程2f 2(x )－(2a ＋3)f (x )＋3a ＝0有五个不同的实数解，只有当直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点时才满足条件， 所以1<a <2.又方程2t 2－(2a ＋3)t ＋3a ＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝(2a ＋3)2－4×2×3a ＝(2a －3)2>0， 解得a ≠32，综上，得1<a <2，且a ≠32. 二、多项选择题9．(2022·临沂模拟)若10a ＝4,10b ＝25，则() A ．a ＋b ＝2B ．b －a ＝1 C ．ab >8lg 22D ．b －a >lg6 答案ACD解析由10a ＝4,10b ＝25，得a ＝lg4，b ＝lg25，则a ＋b ＝lg4＋lg25＝lg100＝2，故A 正确；b－a＝lg25－lg4＝lg 254>lg6且lg254<1，故B错误，D正确；ab＝lg4·lg25＝4lg2·lg5>4lg2·lg4＝8lg22，故C正确．10．已知函数f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a(1－x)，a>0，a≠1，则()A．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1)B．函数f(x)＋g(x)的图象关于y轴对称C．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0D．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数答案AB解析∵f(x)＝log a(x＋1)，g(x)＝log a(1－x)，a>0，a≠1，∴f(x)＋g(x)＝log a(x＋1)＋log a(1－x)，由x＋1>0且1－x>0得－1<x<1，故A对；由f(－x)＋g(－x)＝log a(－x＋1)＋log a(1＋x)＝f(x)＋g(x)，得函数f(x)＋g(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，B对；∵－1<x<1，∴f(x)＋g(x)＝log a(1－x2)，∵y＝1－x2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a<1时，函数f(x)＋g(x)在[0,1)上单调递增，有最小值f(0)＋g(0)＝log a(1－0)＝0；当a>1时，函数f(x)＋g(x)在[0,1)上单调递减，无最小值，故C错；∵f(x)－g(x)＝log a(x ＋1)－log a(1－x)，当0<a<1时，f(x)＝log a(x＋1)在(0,1)上单调递减，g(x)＝log a(1－x)在(0,1)上单调递增，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递减；当a>1时，f(x)＝log a(x＋1)在(0,1)上单调递增，g(x)＝log a(1－x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递增，故D错．11．(2022·淄博模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －1.给出下列结论，其中正确的是() A ．f (2)＝0B ．点(4,0)是函数y ＝f (x )图象的一个对称中心C ．函数y ＝f (x )在区间[－6，－2]上单调递增D ．函数y ＝f (x )在区间[－6,6]上有3个零点 答案AB解析对于A ，因为f (x )为奇函数且对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，令x ＝－2，则f (2)＝f (－2)＋f (2)＝0，故A 正确；对于B ，由A 知，f (2)＝0，则f (x ＋4)＝f (x )，则4为f (x )的一个周期，因为f (x )的图象关于原点(0,0)成中心对称，则(4,0)是函数f (x )图象的一个对称中心，故B 正确；对于C ，因为f (－6)＝0，f (－5)＝f (－5＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，－6<－5，而f (－6)>f (－5)，所以f (x )在区间[－6，－2]上不是单调递增的，故C 错误；对于D ，因为f (0)＝0，f (2)＝0，所以f (－2)＝0，又4为f (x )的一个周期，所以f (4)＝0，f (6)＝0，f (－4)＝0，f (－6)＝0，所以函数y ＝f (x )在区间[－6,6]上有7个零点，故D 错误． 12．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，x ∈[0，2]，12f (x －2)，x ∈(2，＋∞)，则下列结论正确的是()A ．任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1B ．函数y ＝f (x )在[4,5]上单调递增C ．函数y ＝f (x )－ln(x －1)有3个零点D ．若关于x 的方程f (x )＝m (m <0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝132 答案ACD解析f (x )＝⎩⎨⎧sinπx ，x ∈[0，2]，12f (x －2)，x ∈(2，＋∞)的图象如图所示，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )的最大值为12，最小值为－12，∴任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1恒成立，故A 正确；函数y ＝f (x )在[4,5]上的单调性和在[0,1]上的单调性相同，则函数y ＝f (x )在[4,5]上不单调，故B 错误；作出y ＝ln(x －1)的图象，结合图象，易知y ＝ln(x －1)的图象与f (x )的图象有3个交点，∴函数y ＝f (x )－ln(x －1)有3个零点，故C 正确；若关于x 的方程f (x )＝m (m <0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 1＋x 2＝3，x 3＝72，∴x 1＋x 2＋x 3＝132，故D 正确． 三、填空题13．(2022·全国Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax .若f (ln2)＝8，则a ＝________. 答案－3解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝－e －ax .因为函数f (x )为奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝e －ax ，所以f (ln2)＝e －a ln2＝⎝⎛⎭⎪⎫12a＝8，所以a ＝－3. 14．已知函数f (x )＝|lg x |，若f (a )＝f (b )(a ≠b )，则函数g (x )＝⎩⎨⎧x 2＋22x ＋5，x ≤0，ax 2＋2bx ，x >0的最小值为________． 答案2 2解析因为|lg a |＝|lg b |，所以不妨令a <b ， 则有－lg a ＝lg b ，所以ab ＝1，b ＝1a(0<a <1)，所以g (x )＝⎩⎨⎧(x ＋2)2＋3，x ≤0，ax ＋2ax ，x >0，当x ≤0时，g (x )＝(x ＋2)2＋3≥3，取等号时x ＝－2； 当x >0时，g (x )＝ax ＋2ax ≥2ax ·2ax ＝22，当且仅当x ＝2a 时，等号成立， 综上可知，g (x )min ＝2 2.15．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为________．答案11－2π解析由题意知，当x <0时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x ，x ∈(－1，0)，|x ＋3|－1，x ∈(－∞，－1]，作出函数f (x )的图象如图所示，设函数y ＝f (x )的图象与y ＝1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝11－2π，所以函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为11－2π. 16．对于函数f (x )与g (x )，若存在λ∈{x ∈R |f (x )＝0}，μ∈{x ∈R |g (x )＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f (x )与g (x )互为“零点密切函数”，现已知函数f (x )＝e x －2＋x －3与g (x )＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________． 答案[3,4]解析由题意知，函数f (x )的零点为x ＝2， 设g (x )的零点为μ，满足|2－μ|≤1， 因为|2－μ|≤1，所以1≤μ≤3.21 / 21 方法一因为函数g (x )的图象开口向上，所以要使g (x )的至少一个零点落在区间[1,3]上，则需满足g (1)g (3)≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (3)>0，Δ≥0，1<a ＋12<3，解得103≤a ≤4，或3≤a <103，得3≤a ≤4. 故实数a 的取值范围为[3,4]．方法二因为g (μ)＝μ2－aμ－μ＋4＝0， a ＝μ2－μ＋4μ＝μ＋4μ－1，因为1≤μ≤3，所以3≤a ≤4.故实数a 的取值范围为[3,4]．。
函数与方程-2021新高考数学自主复习课件47张
函数与方程
考点3 求与零点有关的参数问题
5．[课标全国Ⅰ2018·9]已知函数
存在2个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1，0) C．[－1，＋∞)
B．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)
【解析】 ∵函数g(x)存在2个零点，∴函数y＝f(x)的图像与y＝－x－a的图 像有2个交点．如图，平移直线y＝－x，可以看出当且仅当－a≤1即a≥－1 时，直线y＝－x－a与y＝f(x)的图像有2个交点．故选C.
【解析】 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x(x－4)，
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【答案】C
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第7节
函数与方程
Hale Waihona Puke 6．[浙江2018·15]已知λ∈R，函数f(x)＝
g(1)＝－6<0，g(2)＝－4<0，g(3)＝log23－4<0，g(4)＝－1<0，g(5)＝log25－2>0， 故函数g(x)＝f(x)＋x－9的零点所在的区间为(4，5)．
【答案】D
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第9节函数与方程--2025湘教版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
2.函数零点存在定理
微点拨1.零点存在定理只能判断零点存在,不能确定零点的个数.若函数在
某区间上是单调函数,则该函数在该区间上至多有一个零点.
2.图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值同号.
3.连续不断的函数图象,通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
C.(b,c)和(c,+∞)内
D.(-∞,a)和(c,+∞)内
解析 由题意,f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,所以函
数f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内.
6.(人教B版必修第一册习题3-2B第3题改编)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有三个
考点三 函数零点的应用(多考向探究预测)
考向1根据函数零点的个数求参数取值范围
( + 1)2 , ≤ 0,
例3(1)已知函数f(x)=
若函数g(x)=f(x)-b有四个不同的零点,
||, > 0,
则实数b的取值范围为( A )
A.(0,1]
B.[0,1]
C.(0,1)
D.(1,+∞)
解析 依题意,函数g(x)=f(x)-b有四个不同的零点,即方程f(x)=b有四个解,转
微思考如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,y=f(x)
在(a,b)内有零点,那么一定有f(a)f(b)<0吗?
提示 不一定.例如,函数f(x)=x2-1在区间[-2,2]上的图象是连续不断的一条
2021版高考数学苏教版一轮教师用书：2.9 函数与方程
[最新考纲] 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断 一元二次方程根的存在性与根的个数．
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D)的零
点．
(2)三个等价关系
方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零 点．
则函数 y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
B [∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，故函数 f(x)在区间[1,6]内至少
有 3 个零点．]
2．函数 f(x)＝ln x＋2x－6 的零点所在的区间是( )
当 x＞0 时，令 f(x)＝ex＋x－3＝0，则 ex＝－x＋3，分别画出函数 y＝ex 和 y＝－x＋3 的图象，如图所示，两函数图象有 1 个交点，所以函数 f(x)有 1 个零 点．
根据对称性知，当 x＜0 时，函数 f(x)也有 1 个零点．综上所述，f(x)的零点 个数为 3.]
(1)利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图象在区间[a，b] 上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、 奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(－∞，0]∪(1，＋∞) [函数 g(x)＝f(x)＋x－m 的零点就是方程 f(x)＋x＝m 的 根，画出 h(x)＝f(x)＋x＝Error!的大致图象(图略)．
观察它与直线 y＝m 的交点，得知当 m≤0 或 m＞1 时，有交点，即函数 g(x) ＝f(x)＋x－m 有零点．]
2021年高考数学复习精选课件 第八节 函数与方程
∴0<a<1. ∵g(x)=ln x+x2-3,
∴g'(x)= 1 +2x. 当x∈(0,+x ∞)时,g'(x)>0, ∴g(x)在(0,+∞)上为增函数, 又g(1)=ln 1-2=-2<0,g(2)=ln 2+1>0,且g(b)=0, ∴1<b<2,∴a<b,
∴
f g
(故b) 选 fA(a. ) 0,
f(x) =
0,得x =1 <1.因此,函数f(x)的零点个数为3.
e
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考点三 函数零点的应用 命题角度一 利用函数的零点比较大小 典例3 设函数f(x) =ex +x -2,g(x) =ln x +x2 -3.假设实数a,b满足f(a) =0,g(b) =0,那么 ( ) A.g(a)<0<f(b) B.f(b)<0<g(a) C.0<g(a)<f(b) D.f(b)<g(a)<0 答案 A 解析 ∵f(x) =ex +x -2, ∴f '(x) =ex +1>0, 那么f(x)在R上为增函数, 又f(0) =e0 -2<0, f(1) =e -1>0,且f(a) =0,
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判断以下结论的正误(正确的打 "√〞,错误的打 "×〞) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. (×) (2)函数y =f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不连续),那么f(a)·f(b)<0. (×) (3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值. (×) (4)二次函数y =ax2 +bx +c(a≠0)在b2 -4ac<0时没有零点. (√) (5)假设函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)·f(b)<0,那么函数f(x)在[a,b]上有且只有 一 个零点. (√)