机械系统动力学第1章 绪论

第一章绪论1.1机械系统动力学的研究内容机械系统动力学是研究机械结构在动态载荷作用下的动力学行为的科学，是20世纪中叶才发展起来的一门学科。

机械动力学与机械振动学是紧密相关的学科，它是进行机械结构动力优化设计的基础。

动态载荷作用于动态系统，就构成一个动态问题。

所谓动态载荷即迅速变化的载荷，它包括交变载荷与突变载荷。

当载荷的频率成分之一接近或超过系统的某一固有频率时，就必须作为一个动态问题，而不是静态问题来处理。

事实上，工程中的许多问题都必须看作动态问题。

与静态问题比较起来，动态问题具有以下特点：1.复杂性造成动态问题的复杂性的主要原因是其载荷作用的“后效性”与其响应对应于过去经历载荷的“记忆性”。

前者是指某时刻作用在系统上的载荷不仅只影响系统在该时刻的响应，而影响系统在此后各时刻的响应；后者则是指系统在任一时刻的响应不只由该时刻的载荷来决定，而是由在该时刻之前系统所经受的载荷的全部历程来决定，好像系统能记住它过去的经历一样。

动载荷对系统的作用是首先改变系统在各个时刻的初态，这些受扰的初态就按系统内在的模式，向前运动和发展，然后才能决定系统在其后各个时刻的总的响应。

由此可见，一个动态系统在受到外加扰动时，其响应并不是亦步亦趋地跟踪载荷的变化，而是力图表现出它的个性；对一个动态系统施加控制，只有顺应该系统的内在模式，才能收到预期的效果。

由于上述特性，使得对一个动态系统的辨识、响应预测或控制，都要比对静态问题复杂得多。

2.危险性动态系统可能十分危险，其危险性主要是由两种因素引起的：其一为共振现象，当扰动频率接近系统的固有频率时，微小的载荷可以引起“轩然大波”，在结构中激起比静态响应大很多倍的动态位移响应与应力响应，产生巨大的破坏力；其二为自激振动，在一定的条件下，一个动态系统(例如金属切削机床、轧钢机或飞机等等)，可以在没有外加交变激励的情况下，突然振动起来，振幅猛烈上升而产生巨大的破坏性。

例如机床上如果发生这种振动，便难于正常地进行切削加工，而飞机如果产生这种振动，往往会产生机毁人亡的后果。

这种振动即自激振动。

它似乎是“无缘无故”地发生的，对其机理的剖析及防治都比较困难。

3.超常性动态问题的现象、规律及其防治方法往往超越人们的生活常识之外，无法以直观的方法来说明和理解，而必须通过严谨的理论分析，才能得以解释和加以预测。

动态问题的许多解答当然是在乎道理之中，却往往又出人意料之外。

这里举一个很简单的例子。

例如，一个工作机械，受到一定频率的扰动，而扰动频率又正好等于机械结构的固有频率，于是产生强烈的共振，无法正常工作。

如果不是基于理论分析，而凭“想当然”，恐怕谁也不敢想象以下的消振方案：在该工作机械上再加装一个子系统，并使此子系统的固有频率正好等于扰动频率。

人们可能“直观”地以为，这样以来，振动将会加倍厉害。

但事实是工作机械的振动竟然完全被消除了，此即所谓“无阻尼调谐消振器”。

振动理论对其工作原理给出了满意的解释。

总之，动态问题在本质上不同于静态问题，不能归结为静态问题。

以静态的观点与方法来看待与处理动态问题这是非常危险的，而动态的观念与动态的知识不是自然而然地可以得到的，而必须经过刻苦的学习和钻研才能掌握。

机械结构或者机械系统是我们研究的一个客观实体，我们称之为系统。

外界对系统的作用可以是力(力矩)或称载荷，也可以是运动，我们通称为激励，前者为力激励，后者为运动激励。

系统受到激励后的行为我们则称之为响应。

一般用机械系统的某一个构件或某点的位移(线、角)、速度、加速度的时间函数来表示，其实机械中的各构件，运动副中受到的力，如应力应变也都属于响应。

现代机械动力学主要研究对象就是激励、系统和响应，而其主要研究内容就是三者的关系，归结为以下三个方面的问题：1.已知载荷和结构参数求结构的响应，称为响应预估问题，它是机械动力学的正问题，也是机械动力学研究的核心问题。

这类问题一般借助于多种动态分析方法(如模态分析法、机械阻抗法、有限元法等)对结构的动态特性进行研究。

即为已知激励和系统求响应。

2.已知载荷和结构响应求结构参数或数学模型，称为参数辨识或系统辨识问题，它是机械动力学的第一类逆问题。

这类问题通常要借助于模态分析的方法来识别结构参数，正确地建立结构的数学模型，并完成从模态参数到物理参数的转换，这样才能弄清结构的薄弱环节，为改进结构提供依据。

即为已知激励和响应求系统。

3.已知结构参数和响应求载荷，称为载荷辨识问题，它是机械动力学的第二类逆问题。

这类问题通常先进行第一类逆问题的计算和测试，求得结构参数，然后方能进行载荷辨识，以弄清外界扰动力的水平和规律。

即为已知系统和响应求激励。

1.2系统与机械系统现代的工程问题不仅要对系统进行动态特性的分析，而且还需要对系统进行综合，即将所要研究和处理的对象当作一个系统，看其中元素和元素之间的关联，并从整体的角度来协调好这种关联，使这个系统在我们所要求的某种性能指标下达到最佳状态，这正是系统论的基本思想。

从系统论的观点看，系统是一些元素的组合，这些组合在一起的元素通过相互作用共同完成给定的任务。

系统的概念不仅适用于物理系统，而且可以推广到任何动态现象，包括自然系统(例如太阳系统，生态系统)和人工系统(例如经济系统，交通运输系统、商业系统)等。

本书所要研究的是由机械元件组成的机械系统，例如平面连杆机构系统，由凸轮元件组成的凸轮机构系统，由齿轮元件组成的齿轮系统等等。

这些元件常与电气系统，液压系统相结合一种新的系统。

如机和电形成的机电一体化系统，机械和液压结合形成的机液控制系统等。

因此，机械系统动力学也常常研究这些系统的动力学问题，所以研究机械系统动力学具有极其重要的意义。

分析任何一种动态系统，都应首先建立它的数学模型，建立一个合理的数学模型是分析过程的关键。

机械系统的数学模型是指对机械系统动态特性的数学描述，通常机械系统的数学模型是用微分方程来描述的。

机械系统的数学模型通常可分为离散系统和连续系统两大类，也可以根据描述系统的微分方程是否为线性的，分为线性系统和非线性系统。

有时也根据其数学模型的确定性、随机性和模糊性进行分类。

1.3离散系统和连续系统机械系统动力学是借助于模型进行研究，模型是将实际事物抽象化而得到的。

例如质点、刚体、梁、板、壳、弹簧-质量系统等等都是抽象化的模型。

抽象化的方法并不是脱离实际，而是为了抓住事物的主要因素，忽略次要因素，在一定的条件下更能深刻地反映客观实际。

任何机器、结构或它们的零部件都具有弹性与质量。

若机械各构件的弹性变形很小，以致可以忽略不计，则可近似认为系统是由刚体构件组成的，当构件的弹性变形不能忽略时，则机械系统的动力学模型可分为离散系统(或称集中参数系统)和连续系统(或称分布参数系统)两大类。

离散系统是由集中参数元件组成的，基本的集中参数有三种，即质量，弹簧与阻尼器。

如图1-1a所示的安装在混凝土基础上的精密机器，为了隔振，在基础下面一般装有弹性衬垫。

在隔振分析中需要考察机器与基础的整体振动，这时机器与基础可视为一个刚体。

起着质量的作用具有惯性，弹性衬垫起着弹簧的作用，衬垫的内摩擦以及基础与周围约束之间的摩擦起着阻尼的作用。

因而这一系统可以简化成图l-1b所示的集中参数系统。

离散系统的运动在数学上用常微分方程来描述。

再如图1-2所示简支梁系统，当研究梁在垂直平面内的振动时，若只考虑梁作为一个整体而振动，且简化质心点取在梁的中点处时，梁有总体重量m和纵向方向的变形，可简化为图1-2b所示的具有m和k集中参数元件的系统，即用离散系统来研究和分析。

而要研究每一点的振动特性时，由于梁具有分布的空间质量和每点都有不同的变形，故用图1-2a作为连续系统来处理。

m Array Array k ca) b)a) b)图1-1 机床系统图1-2 简支梁系统连续系统是由弹性元件组成的。

典型的弹性元件有杆、梁，轴，板、壳等。

弹性体的惯性，弹性和阻尼实际上是连续分布的，亦称为分布参数系统，连续系统的运动在数学上用偏微分方程来描述。

机械系统中有不少问题需要简化为连续系统的模型。

离散系统和连续系统形式上代表不同类型的系统，似乎它们具有不同的动态特性，但事实上恰恰相反，因为离散系统和连续系统只不过是表示同一物理系统的两个数学模型而已，由此推测它们应具有类似的动力学性态。

尽管这两种系统分别是由常微分方程和偏微分方程来描述的，但它们的性态实际上是相似的。

为了论证这一点，我们将从杆的纵向振动微分方程的导出来说明它们之间的内在联系。

a )1-Ti F Ti Fb ) 图1-3 连续系统与离散系统现在我们讨论如图1-3a 所示的两端固定的杆的纵向振动方程。

取杆的纵向作为x 轴，各个截面的纵向位移表示为u (x ，t )，见图1-3a 。

杆的微元dx 在自由振动中的受力图也在图1-3a 中给出。

设杆单位体积的质量为ρ、杆长为l 、截面面积为A 、材料的弹性模量为E ，杆在x 截面处的纵向应变为ε(x )，纵向张力为F T (x )。

由材料力学可知，在x 截面处有：xu x ∂∂=)(ε x u AE AE x F T ∂∂==ε)( 而在x +d x 截面处的张力则为：)(22dx xu x u AE dx x F F T T ∂∂+∂∂=∂∂+ 杆的微元dx 的运动微分方程为：dx x uAE t u Adx 2222∂∂=∂∂ρ令c 2=E/ρ，则上式可化为：222221t uc x u∂∂=∂∂ (1-1)式(1-1)称为波动方程。

杆的纵向振动除要满足上述波动方程外，还必须满足下列边界条件：u (0，t )=u (l ，t )=0 （1-2）方程式(1-1)和(1-2)即为用连续系统模型导出的杆的纵向振动偏微分方程。

在第八章中将说明它们构成了所谓的边值问题，其解法亦将在那里进行讨论。

以下，我们将改用离散系统模型来研究上述问题，并指出当离散系统模型取极限时，它将趋近于上述连续系统模型。

首先将系统简化为图1-3b 所示的由无质量弹簧k i (i =1，2，…，n +1)和集中质量m i (i =1，2，…，n )组成的系统。

为了导出有代表性的质量m i 的运动微分方程，可研究图1-3b 中的三个相邻质量m i -1，m i 和m i +1。

连结m i 和m i -1及m i 和m i +1的线段中的张力分别用F Ti-1及F Ti 表示，这二线段分别为Δx i -1和Δx i 。

由牛顿第二定律，质量m i 在水平方向的运动方程为：22111)()(dt u d m u u k u u k ii i i i i i i =----++ (1-3)方程式(1-3)适用于任一质量m i (i =2，3，…，n -1)，也可用于i =1和i =n ，但必须附加一些规定以反映系统的支承形式，因为方程式(1-3)对i =1和i =n 分别包含位移u 0和u n +1，如果杆两端固支，方程式(1-3)中必须令u 0(t )=u n +1(t )=0为了得到离散系统和连续系统的相似性，我们有必要对方程式(1-3)作进一步讨论。