勾股定理证明PPT课件
勾股定理课件
希腊1955年为纪念毕 达哥拉斯学派发行的纪念 邮票。
读一读
勾股历史（ 勾股历史（二）
我国是最早了解勾股定理的国家之一。 我国是最早了解勾股定理的国家之一。 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出， 早在三千多年前，周朝数学家商高就提出， 将一根直尺折成一个直角三角形， 将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾 等于三，股等于四，那么弦就等于五， 等于三，股等于四，那么弦就等于五，即 勾三、股四、弦五” “勾三、股四、弦五”。它被记载于我国 古代著名的数学著作《周髀算经》 古代著名的数学著作《周髀算经》中。最 早是由三国时期的数学家赵爽在为《 早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀 算经》注解时给出的。 算经》注解时给出的。
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图是在北京召开的2002年国际数学家大会 年国际数学家大会 图是在北京召开的 （TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图”， － ）的会标，其图案正是“弦图” 它标志着中国古代的数学成就. 它标志着中国古代的数学成就
一.勾股定理
发 现
们 ， 我 们 也 来 观 察 下 面 的 案 ， 看 看 你 能 图
（一）对勾股定理内容的直接应用 1. 求下列图中字母所代表的正方形的面积
A 32 60
81 B 225 B=________ 225-81=144
A=________ 32+60=92
求出下列直角三角形中未知边的长度. 2. 求出下列直角三角形中未知边的长度.
y
6 8
x 5 13
132 − 52 = 144 =12 y=_____________________
年一个周末的傍晚， 在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在 年一个周末的傍晚 在美国首都华盛顿的郊外， 散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。 散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着 走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么， 走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么， 时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去， 时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去， 想搞清楚两个小孩到底在干什么。 想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着 一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？ 一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地 请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和 ， 说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为 和4，那么斜边长为多 少呢？ 伽菲尔德答到： 小男孩又问道： 少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为 呀 5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到： 和 ，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？ 伽菲尔德不加思索地回答到： 那斜边的平方一定等于5的平方加上 的平方。 小男孩又说道： 先生， 的平方加上7的平方 “那斜边的平方一定等于 的平方加上 的平方。”小男孩又说道：“先生，你 能说出其中的道理吗？ 伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。 能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经 过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
华师版八年级数学 14.1勾股定理(学习、上课课件)
感悟新知
知1－练
2-1. 若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能
有( B )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
感悟新知
知识点 2 勾股定理的证明
知2－讲
1. 常用证法 验证勾股定理的方法有很多，如测量法、几 何证明法等，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形， 并根据拼图中各部分面积之间的关系来验证.
出第三边.
3. 运用勾股定理求解时，若分不清哪条边是斜边，则要分
类讨论，写出所有可能的情况，以免漏解或错解.
感悟新知
知1－练
例 1 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b， c，∠C＝90°. (1)已知a＝3，b＝4，求c； (2)已知c＝13，a＝12，求b； (3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b(结果保留根号). 解题秘方：紧扣“勾股定理的特征”解答.
感悟新知
知1－练
1-1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边 分别为a，b，c.
(1)若a∶b＝3∶4，c＝75，求a，b； 解：设a＝3x(x>0)，则b＝4x. 由勾股定理得a2＋b2＝c2， 则(3x)2＋(4x)2＝752，解得x＝15. ∴a＝3×15＝45，b＝4×15＝60.
图形
赵爽的“赵 爽弦图”
知2－讲
证明
∵ 大正方形的边长为c，
∴ 大正方形的面积为c2.
又∵大正方形的面积＝
4×
1 2
ab＋(a－b)2＝a2＋b2，
∴ a2＋b2＝c2
感悟新知
续表： 方法
刘徽的“青 朱出入图”
图形
知2－讲
证明
设大正方形的面积为S，则 S＝c2. 根据“出入相补， 以盈补虚”的原理，有S＝ a2＋b2，∴ a2＋b2＝c2
勾股定理9种证明(有图)
勾股定理的9种证明（有图）【证法1】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2.∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE,∴ ∠HGD = ∠EHA.∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴ ()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P. ∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌∴ ∠EGF = ∠BED ， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. ∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+ abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法3】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P.过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ，∴ ∠MPC = 90º，∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA.同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结BF 、CD. 过C 作CL ⊥DE ， 交AB 于点M ，交DE 于点L.∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， ∵ ΔFAB 的面积等于221a ，ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ，即 222c b a =+. 【证法5】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c. 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R. 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P. 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H.∵ ∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴ ∠DAH = ∠BAC.又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ， ∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA.∴ DH = BC = a ，AH = AC = b.由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA. 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a.∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA.∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+= 812S S b -- . ②把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +. ∴ 222c b a =+.【证法6】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c. 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE. 又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ， ∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT ―HT = b ―a.又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC.∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC. 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE. 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE.∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR.又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ，∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC. 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ， 即 222c b a =+.【证法7】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB ∙+∙=∙，∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=， ∴ 222c b a =+.【证法8】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D.假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB ∙=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB ∙+∙可知 AD AB AC ∙≠2，或者 BD AB BC ∙≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB.在ΔADC 和ΔACB 中，∵ ∠A = ∠A ，∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则∠ADC ≠∠ACB. 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ， ∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB. 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+. 【证法9】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c. 作边长是a+b 的正方形ABCD. 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.。
《勾股定理发展史》课件
牛顿利用微积分的方法研究了曲线的面积和体积，而莱布尼 茨则利用解析几何的方法研究了平面图形的面积和体积，这 些研究都与勾股定理有着密切的联系。
CHAPTER 03
相等的特殊情况。
非欧几何的应用主要在宇宙学 、相对论等领域，勾股定理在 这些领域中仍然具有重要意义
。
勾股定理在复数域的应用
勾股定理在复数域中可以表述为 三角恒等式，即对于任意复数z
，有z^2 = x^2 + y^2。
在复数域中，勾股定理的应用主 要涉及信号处理、控制系统等领
域。
通过利用勾股定理，可以方便地 计算复数的模长，进而进行信号
建筑中的勾股定理
建筑师在设计和建造建筑物时，经常运用勾股定理的原理。例如，在建造高塔或大型建筑时，建筑师可以利用勾 股定理来计算建筑物的角度和线条，以确保建筑物的稳定性和美观性。
勾股定理在文学作品中的描述
小说中的勾股定理
一些小说家在创作中运用勾股定理的原理，以丰富作品的主题和情节。例如，在描写爱情故事时，小 说家可以利用勾股定理来描述男女主角之间的情感关系，使情节更加生动和有趣。
欧几里得的证明方法虽然简洁，但在当时并未得到广泛的认可和应用，直到文艺 复兴时期才被重新发掘和推广。
笛卡尔与费马的新证明方法
笛卡尔和费马分别独立地提出了新的 证明方法，他们的证明方法更加直观 和易于理解，为勾股定理的普及和应 用做出了重要贡献。
笛卡尔的证明方法利用了代数和坐标 系的思想，而费马的证明方法则利用 了无穷小量的概念，这两种方法都对 后来的数学发展产生了深远的影响。
毕达哥拉斯定理
新人教版《勾股定理的证明》完美课件下载
②甲、乙两组同时施工8天可以完成，需付装修费用3 520元，此时工期比甲组单独施工少4天，商店早开业4天可盈利4×200＝800(元)
．
②甲、乙两组同时施工8天可以完成，需付装修费用3 520元，此时工期比甲组单独施工少4天，商店早开业4天可盈利4×200＝800(元)
．
12．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC
一级基础巩固练
三级检测练
11．已知直角三角形的两条直角边的长分别为 1，2，
则斜边长为( D ) (2)如果学校计划购买足球和篮球共80个，总费用不超过4800元，那么最多能买多少个篮球？
为____________． ②甲、乙两组同时施工8天可以完成，需付装修费用3 520元，此时工期比甲组单独施工少4天，商店早开业4天可盈利4×200＝800(元)
新课学习
3．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2. 几何语言： ∵_在___R_t_△__A_B_C__中__，__∠__A_C__B_＝__9_0_°， ∴_a_2_＋__b_2_＝__c_2 ________________．
4．(例 1)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3， AC＝4，求 AB 的长．
当AD="1" /"3" "AE时,如图①,(-1+m)-(-1-m)=" "1" /"3" [(1+m)-(-1-m)],
＝1 ×4×4 3 (2)为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？ 2
＝8 3 ．
小结： (1)勾股定理只适用于直角三角形； (2)已知直角三角形两边，用勾股定理求出第三边； (3)勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③5，12，13；
勾股定理ppt课件
创设情境 数学是科技发展中最重要的学科，2002年全球最顶级数学家大 会在北京召开，大会会徽是：
赵爽弦图
数学文化 赵爽，名婴，字君卿，是我国三国时期杰出的数学家， 他在注解《周髀算经》时给出的这个图.
创设情境 请你观察这个图中有哪些基本几何图形？2002年的数学家大会为 什么用这个图作为会徽呢？
继续探究
1.如图，表格中左、右各有一组图，每组图中的三个正方形的面积分 别是多少，它们之间有什么关系？（设表格中每个小正方形面积为1）
C A
B
C A
B
继续探究 2.观察图形，请完成下面表格：
两个图中正 方形C的面积 如何求呢？
项目
左图 右图 A、B、C 面积关系
A的面积 4 16
B的面积 9 9
A
8
B 6
C
应用新知
例2 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形 B，D的边长分别是16，12，SE=625，S1=400，求正方形A、C的边长. 解：依题意，得SB=162=256，SD=122=144， ∵S1=SA+SB且S1=400， ∴SA=S1-SB=400-256=144， ∴正方形A的边长为 144 12， ∵SE=S1+S2且SE=625，S1=400， ∴S2=SE-S1=625-400=225， ∵S2=SC+SD，∴SC=S2-SD=225-144=81， ∴正方形C的边长 81 9 .
证明2： 如图，四个全等直角三角形拼成
如图所示的正方形，直角边为a、
b，斜边为c. S四个直角三角形面积和= 4 1 ab 2ab，
2
S四个直角三角形面积和=(a+b)2-c2
八下数学第十七章勾股定理全章课件
在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.
在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2=MB′2.
B′
∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2，
即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，
解得x＝2.即AM＝2.
探究新知
方法点拨
折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:
(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)； (2)用已知线段或含x的代数式表示出其他线段长； (3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的
D
3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内
通过？为什么？
C 2m
解：如图，连接AC。 在Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC AB2 BC2 12 22
AB
1m
5
5 2.236 2.2
∴木板可以从门框内通过。
巩固练习
如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方 向上一点，测得BC=60 m，AC=20m.求A，B两点间的距离
在Rt△AFD′中，AF2=D′F2+AD′2,
(8-x)2=x2+42， 解得x=3. ∴AF=AB-FB=8-3=5， ∴S△AFC= AF•BC=10．
互逆命题:
两个命题中, 如果第一个命题的题设是第 二个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第 二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命 题.
A的面 B的面 C的面
积
积
积
C A
图1
9
9 18
B 图2-1
C A
B 图2-2
图2
4
48
A、B、C 面积关系
SA+SB=SC
直角三角形 两直角边的平方和 三边关系 等于斜边的平方
勾股定理证明简述 公开课课件
直角三角形中两直角边a、
b的平方和，等于斜边c的
平方
a
c
a2+b2=c2
b
方法一:
△ABD≌△FBC， 矩形BL=2△ABD， 方形GB=2△FBC。 于是 矩形BL=正方形GB。 同样有 矩形CL=正方形AK。 所以 正方形GB+正方形AK=正方形BE
方法二
如图一：两个正方形边长 分别是a ,b, 它们的面积和 为a2+b2
___________________________________________________________________________ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文 化宝库 中一颗 璀璨的 明珠。 （缩写 句子） ___________________________________________________________________________ 3．我在她面前只停留了短短的几分钟。 她已经 成了我 灵魂的 一部分 。（用 关联词 连成一 句话） ___________________________________________________________________________
1、世上没有绝望的处境，只有对处境 绝望的 人。 2、挑水如同武术，武术如同做人。循序 渐进， 逐步实 现目标 ，才能 避免许 多无谓 的挫折 。 3、别想一下造出大海，必须先由小河川 开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一 ，要想 成功， 首先必 须建立 起自信 心，而 你若想 在自己 内心建 立信心 ，即应 像洒扫 街道一 般，首 先将相 当于街 道上最 阴湿黑 暗之角 落的自 卑感清 除干净 ，然后 再种植 信心， 并加以 巩固。 信心建 立之后 ，新的 机会才 会随之 而来。 5、一个人在科学探索的道路上，走过弯 路，犯 过错误 ，并不 是坏事 ，更不 是什么 耻辱， 要在实 践中勇 于承认 和改正 错误。 ——爱 因斯坦 6、瓜是长大在营养肥料里的最甜，天才 是长在 恶性土 壤中的 最好。 ——培 根 7、发光并非太阳的专利，你也可以发光 。 8、人们常用“心有余而力不足”来为自 己不愿 努力而 开脱， 其实， 世上无 难事， 只怕有 心人， 积极的 思想几 乎能够 战胜世 间的一 切障碍 。 9、如果你希望成功，当以恒心为良友， 以经验 为参谋 ，以当 心为兄 弟，以 希望为 哨兵。 ——爱 迪生 10、涓滴之水终可磨损大石，不是由于 它力量 大，而 是由于 昼夜不 舍的滴 坠。只 有勤奋 不懈的 努力才 能够获 得那些 技巧， 因此， 我们可 以确切 地说： 说：不 积跬步 ，无以 致千里 。—— 贝多芬 11、一定要做最适合自己的事情，不要 迎合别 人的口 味而去 做一件 不属于 自我的 “难事 ”。一 旦“发 现自我 ”，就 要尽力 而为， 但要全 面了解 自己和 周围的 环境， 知道适 可而止 。 12、要有自信，然后全力以赴--假如具 有这种 观念， 任何事 情十之 八九都 能成功 。—— 威尔逊 13、莫找借口失败，只找理由成功。 14、一个有坚强心志的人，财产可以被 人掠夺 ，勇气 却不会 被人剥 夺的。 ——雨 果 15、积极的人在每一次忧患中都看到一 个机会 ，而消 极的人 则在每 个机会 都看到 某种忧 患。 16、不是境况造就人，而是人造就境况 。 17、在人生的竞赛场上，没有确立明确 目标的 人，是 不容易 得到成 功的。 许多人 并不乏 信心、 能力、 智力， 只是没 有确立 目标或 没有选 准目标 ，所以 没有走 上成功 的途径 。这道 理很简 单，正 如一位 百发百 中的神 射击手 ，如果 他漫无 目标地 乱射， 也不能 在比赛 中获胜 。 18、生活就像海洋，只有意志坚强的人 ，才能 到达彼 岸。— —马克 思 19、别因为落入了一把牛毛就把一锅奶 油泼掉 ，别因 为犯了 一点错 误就把 一生的 事业扔 掉。— —蒙古 20、许多人之所以在生活中一事无成， 最根本 原因在 于他们 不知道 自己到 底要做 什么。 在生活 和工作 中，明 确自己 的目标 和方向 是非常 必要的 。只有 在知道 你的目 标是什 么、你 到底想 做什么 之后， 你才能 够达到 自己的 目的， 你的梦 想才会 变成现 实。 21、怠惰是贫穷的制造厂。 22、先知三日，富贵十年。 23、自信是向成功迈出的第一步。—— 爱因斯 坦 24、一个人除非自己有信心，否则不能 带给别 人信心 ；已经 信服的 人，方 能使人 信服。 ——麦 修·阿诺 德 25、凡是挣扎过来的人都是真金不怕火 炼的； 任何幻 灭都不 能动摇 他们的 信仰： 因为他 们一开 始就知 道信仰 之路和 幸福之 路全然 不同， 而他们 是不能 选选择 的，只 有往这 条路走 ，别的 都是死 路。这 样的自 信不是 一朝一 夕所能 养成的 。你绝 不能以 此期待 那些十 五岁左 右的孩 子。在 得到这 个信念 之之前 ，先得 受尽悲 痛，流 尽眼泪 。可是 这样是 好的， 应该要 这样… …—— 罗曼·罗 兰 26、一个人在科学探索的道路上，走过 弯路， 犯过错 误，并 不是坏 事，更 不是什 么耻辱 ，要在 实践中 勇于承 认和改 正错误 。—— 爱因斯 坦88我 们的理 想应该 是高尚 的。我 们不能 登上顶 峰，但 可以爬 上半山 腰，这 总比待 在平地 上要好 得多。 如果我 们的内 心为爱 的光辉 所照亮 ，我们 面前前 又有理 想，那 么就不 会有战 胜不了 的困难 。—— 普列姆 昌德 27、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计 分板上 。
勾股定理的证明 教研组集体备课课件. ppt
数学家毕达哥拉斯的故事
相传2500年前,毕达哥拉斯 (古希腊著名的哲学家、数学家、 A B 天文学家）有一次在朋友家做 客时，发现朋友家里用砖铺成 的地面中反映了直角三角形三 C 边的某种数量关系。你能观察 图中的地面，看看能发现什么？ A、B、C的面积有什么关系？
SA+SB=SC
OD __________ 5 2.236__________ ___ .
D
１、本节课我们经历了怎样的过程？ 经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探 索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程。 ２、本节课我们学到了什么？
通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还 知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、 验证数学结论的数形结合思想。
C
B
定理应用
1、 某楼房三楼失火，消防 队员赶来救火，了解到每层 楼高 3 米，消防队员取来 6.5 米长的云梯，如果梯子的底 部离墙基的距离是2.5米，请 问消防队能否进入三楼灭火?
6.5
?
2.5
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m 的薄木板能否从门框内通过?为什么?
连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
2
b2
c2=ab+ c2
2 2 1 2
2+ab+ 1 b2=ab+ 1 c2 ∵s梯形=s梯形 ∴ 1 a 2
∴a2+b2=c2
勾股定理证法－－赵爽弦图
b c b c
a
c
a
两个边长分别 为a,b的正方形 S=a2+b2
a 将前图中的两个 三角形移动至如 图位置
即可得到边长 为c的正方形
勾股定理ppt
如果一个直角三角形的斜边为c，其中一条直角边为a，另一条直角边为b，那么 以a和b为直径的圆与斜边c相切。
勾股定理与三角函数的联系
勾股定理与正弦函数的关系
正弦函数是三角函数的一种，它表示直角三角形中锐角度数 的对边与斜边的比值，即sinA=a/c。
勾股定理与余弦函数的关系
勾股定理的逆定理
逆定理的表述
勾股定理的逆定理是指如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c²，那么这 个三角形是直角三角形。
逆定理的证明方法
勾股定理逆定理的证明方法比较简单，可以通过三角形全等的判定方法“边 边边”进行证明。也可以通过反证法进行证明，假设三角形不是直角三角形 ，则可以推导出矛盾的结果，从而证明了逆定理的正确性。
间的距离、求圆的直径等。
勾股定理在日常生活中的应用
建筑学
勾股定理在建筑学中有着广泛的应用，例如确定建筑物的结构、设计建筑物的外 观等。
制作直角工具
勾股定理可以用来制作直角工具，例如勾股尺、勾股定理板等。
勾股定理在金融和投资领域的应用
确定投资组合
在金融和投资领域中，勾股定理可以用来确定投资组合，以 实现最大收益和最小风险。
勾股定理的一般形式
勾股定理不仅仅适用于直角三角形，对于一般的三角形同样适用，其一般形 式为：c² = a² + b² - 2abcosθ，其中θ为两直角边的夹角。
勾股定理与平面几何的联系
勾股定理与三角形面积的关系
勾股定理可以用来求三角形的面积，其中一条直角边为底边，另外两条为高，三 角形的面积为1/2底边乘以高。
学习技巧
学习技巧包括制定学习计划、合理安排时间、掌握学习重点 和难点、积极参与课堂讨论等。同时，需要注重实践和应用 ，将理论知识应用到实际问题的解决中。
小学奥数几何模型专项课件-勾股定理课件
总结归纳
总结归纳
直角三角形 三边关系
直接利用
进行构造
勾股定理
巩固提升
巩固提升
作业1：如图，每个直角三角形的一条直角边都是1厘米，求图中阴影部分的面积.
巩固提升
作业2：7个正方形如图进行摆放，已知其中3个正方形的面积，求其余4个正方形的面积之和.
巩固提升
作业3：如图，直角三角形ABC中，已知AB=6厘米，BC=8厘米，且点O到三条边的距离相等，求 图中阴影部分的面积.
目 录
专题解析 例题讲授 总结归纳 巩固提升
专题解析
专题解析
勾股定理 勾股定理作为直角三角形中最为重要的一条定理，也是几何部分最重要的定理之一，其主要研究 的是直角三角形三条边的关系，即两直角边的平方和等于斜边平方. 基本要求 直角三角形，一定满足勾股定理；满足勾股定理的三角形一定是直角三角形.
S梯
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2
ab
1 2
c 2；
S梯
1（a 2
b）2
ab
1 2
a2
1 2
b2；
则1 c2 1 a2 1 b2， 即a2 b2 c2 . 222
专题解析
勾股数 我们将满足勾股定理的三个数称之为一组勾股数，下面列出常见的一些.
3
4
5
6
8
10
9
12
15
12
16
20
…
…
…
例题讲授
例5：如图，正方形ABCD中，以CD为斜边作直角三角形CDE，已知CE=3，DE=5，求图中阴影部 分的面积.
例题讲授
练一练5：如图，长方形ABCD的长是16厘米，宽是12厘米，E为BC边上一点，过E点向AC、BD作 垂线，垂足分别是F、G，求EF+EG.
《17.1 勾股定理》课件(含习题)
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，
请你按照他们的解题思路完成解答过程.
A
作AD⊥BC于D, 设BD=x,用含x的 代数式表示CD
根据勾股定理， 利用AD作为“桥 梁”建立方程模 型求出x
B
DC
利用勾股定理求 出AD的长，再计 算三角形面积
解：如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13, 设BD=x,则CD=14-x,
在Rt△COD中，根据勾股定理，
OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15
OD 3.15 1.77,
BD OD OB 1.77 1 0.77 .
A C
O
BD
所以梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外 移0.5m，而是外移约0.77m.
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
a
c
b
二 勾股定理的验证
拼一拼 请同学们准备四个完全相同的直角三 角形，跟着我国汉代数学家赵爽拼图.
赵爽
b
a
c
b
a
a2 + b2
这种用拼图的验
=证勾c股2 定理的方
法叫做弦图法
c
a
b
证一证
证明： S大正方形＝c2
c b
a
b-a
赵爽弦图
S小正方形＝（b-a）2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
当堂练习
1.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵2米，两棵对相距8米
.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行
（ B ）A. 8米 B.10米
C.12米 D.14米
A
B
第1题图
《勾股定理》PPT课件
AC 2 6
1.在△ABC中，∠C=90°.
练 习
(1)若a=6，c=10，则b=
;
(2)若a=12，b=9，则c= (3)若c=25，b=15，则a=
; ;
2.等边三角形边长为10，求它的高及面积。 C 3.如图，在△ABC中，C=90°，
CD为斜边AB上的高，你可以得 b 出哪些与边有关的结论？ A m h
c2
；
a c
c a
b a
∵ c2= 4•ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴a2+b2=c2
a
b
b c
b c
2 (a+b) 大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 c2 +4•ab/2
a b
a
b
c
c
a
b
c
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2
a
B D n
如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上， A 求证：AD2-AB2=BD· CD
证明：过A作AE⊥BC于E ∵AB=AC，∴BE=CE D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2) B E C
a b
c
勾股定理的证明
证明方法3：赵爽弦图，动手拼图
勾股定理的证明
证明方法4：美国总统加菲尔德的证明方法
a b
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参考:
证明二与证明三的比较
• 两个证明基本上相同！
证明二与证明三的比较
• 两个证明基本上相同！
证明二与证明三的「缺点」
• 两个证明都需要用到两个恒等式： • (a b)2 = a2 2ab + b2
证明四ห้องสมุดไป่ตู้
a c
b
证明四
a c
b
证明四
a
b
c
c
a b
证明四
证明五
证明五
证明五
证明五
a2 + b2 = c2 c2
出入相补
• 刘辉(生于公元三世纪)
• 三国魏晋时代人。 • 魏景元四年（即 263 年）
为古籍《九章算术》作注 释。 • 在注作中，提出以「出入 相补」的原理来证明「勾 股定理」。后人称该图为 「青朱入出图」。
参考:
青朱入出图
青朱入出图
勾股定理证明
Author:eMaill
证明一
证明一
证明一
证明一
证明一
几何原本
• 欧几里得（Euclid of Alexandria; 约 325 B.C. 约 265 B.C.）
• 欧几里得的《几何原本》
是用公理方法建立演绎 数学体系的最早典范。
• 「证明一」就是取材自
《几何原本》第一卷的 第 47 命题。
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
• History of Mathematics
• Math Education and Technology International Education Software
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
参考:
b
a c
证明二
(a + b)2=c2 + 4(½ab) a2+2ab+b2=c2 + 2ab a2 + b2 = c2
证明二
c
c2 = (a b)2 + 4(½ab) = a2 2ab + b2 + 2ab
c2 = a2 + b2
弦图
• 赵爽 • 东汉末至三国时代吴
国人 • 为《周髀算经》作注，
证明七
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2 由此得，面积 I + 面积 II = 面积 III 因此，a2 + b2 = c2 。
无字证明－课后研究
b
a
a+b
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
自主学习
• 香港道教联合会青松中学 • 梁子杰网上文集
a
a
b
c
c b
c
a b
a2 + b2 = c2
画家的证法
• 达·芬奇(Leonardo Da
Vinci 1452-1519 ).
• 文艺复兴时期卓越的代表 人物.
• 他不仅是一位天才的画家， 并且是大数学家、科学家、
力学家和工程师.
• 第一次在数学上使用加减
参考:
(+、-)符号.
证明五
a2
b2
青朱入出图
拼 图 游 戏
拼图游戏
证明六
c2
证明六
证明六
证明六
a2 b2
a2 + b2 = c2
印度婆什迦羅的证明
c b a
c2 = b2 + a2
证明七
II I
III
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明七
I II III
注意：
面积 I : 面积II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明七
I II III
注意：
面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明七
注意： 面积 I : 面积 II : 面积 III = a2 : b2 : c2
证明七
注意： 面积 I : 面积 II : 面积III = a2 : b2 : c2
证明七
注意： 面积 I : 面积II : 面积 III = a2 : b2 : c2
并著有《勾股圆方图 说》。
参考:
a bc
c a
b
证明三
½(a + b)(b + a) = ½c2 + 2(½ab)
½a2 + ab + ½b2 = ½c2 + ab
a2 + b2= c2
美国总统的证明
• 加菲(James A. Garfield,1831 1881)
• 1881 年成为美国第20 任总统.