高中物理竞赛讲义——微积分初步

高中物理竞赛讲义——微积分初步

一：引入

【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几

倍。

分析：

①根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立

方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U 1=8U 2 ；

②立方体角点的电势与什么有关呢?电荷密度ρ；二立方体的边长a ；三立方体的形状；

根据点电荷的电势公式U=K Q r

及量纲知识，可猜想边长为a 的立方体角点电势为 U=CKQ a

=Ck ρa 2 ；其中C 为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q 是总电量，ρ是电荷密度；其中Q=ρa 3

③ 大立方体的角点电势：U 0= Ck ρa 2

；小立方体的角点电势：U 2= Ck ρ（a 2 ）2=CK ρa 2 4 大立方体的中心点电势：U 1=8U 2=2 Ck ρa 2 ；即U 0=12

U 1 【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。

二：导数

㈠ 物理量的变化率

我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t 图像，求其斜率可

以得出加速度a ，求其面积可以得出位移s ，而斜率和面积是几何意义上

的微积分。我们知道，过v-t 图像中某个点作出切线，其斜率即a=

△v △t . 下面我们从代数上考察物理量的变化率： 【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t 2,试求其t 时刻的速度的表达式。（所有物理量都用国际制单位，以下同）

分析：我们知道，公式v=△s

△t 一般是求△t 时间内的平均速度，当△t 取很小很小，才可近似处理成瞬时速度。

s(t)=3t+2t 2 s(t+△t)=3(t+△t)+2(t+△t) 2

△s=s(t+△t)-s(t)=3(t+△t)+2(t+△t) 2-3t-2t 2=3△t+4t △t+2△t 2

v=△s △t =3△t+4t △t+2△t 2△t

=3+4t+2△t 当△t 取很小，小到跟3+4t 相比忽略不计时，v=3+4t 即为t 时刻的瞬时速度。 【练】假设一个闭合线圈匝数为100匝，其磁通量为φ=3t+4t 3,求感应电动势随时间t 的函数关系。

【小结】回顾我们求物理量y=f(t)的变化率瞬时值z 的步骤：

①写出t 时刻y 0=f(t)的函数表达式；

②写出t+△t 时刻y 1=f(t+△t)的函数表达式；

③求出△y=y 1- y 0=f(t+△t)- f(t)；

④求出z=△y

△t =f(t+△t)- f(t)△t

； ⑤注意△t 取很小，小到与有限值相比可以忽略不计。

㈡ 无穷小

当△t 取很小时，可以用V=△s

△t 求瞬时速度，也可用i=△Q △t 求瞬时电流,用ε=N △φ△t

求瞬时感应电动势。下面，我们来理解△t ：

△t 是很小的不为零的正数，它小到什么程度呢？可以说，对于我们任意给定一个不为零的正数ε，都比△t 大，即：ε>△t 。或者从动态的角度来看，给定一段时间t ，我们进行如下操作：

第一次，我们把时间段平均分为2段，每段时间△t=t 2

； 第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间△t=t 3

； 第三次，我们把时间段平均分为4段，每段时间△t=t 4

； …………

第N 次，我们把时间段平均分为N+1段，每段时间△t=t N+1

； …………

一直这样进行下去，我们知道，△t 越来越小，虽然它不为零，但永远逼近零，我们称它为无穷小，记为△t →0。或者，用数学形式表示为 0lim t ∆→△t=0。其中“0lim t ∆→”表示极限，意思是△t 的极限值为0。常规计算：

①0lim t ∆→（△t+C ）=C ②0lim t ∆→C ·△t=0 ③0

lim t ∆→f(△t)=f(0) ④0lim t ∆→ f(t+△t)=f(t) ⑤0lim t ∆→sin(△t)△t = 1

『附录』常用等价无穷小关系（0x →）

①sin x x = ；②tan x x = ；③211cos 2

x x -= ；④()ln 1x x += ；⑤1x e x -= ㈢ 导数

前面我们用了极限“0

lim t ∆→”的表示方法，那么物理量y 的变化率的瞬时值z 可以写成: z=0lim t ∆→△y

△t ,并简记为z=dy d t

,称为物理量y 函数对时间变量t 的导数。物理上经常用某物理量的变化率来定义或求解另一物理量，如v=

dx d t 、a=dv d t 、i=dq d t 、ε=N d Фd t 等，甚至不限于对时间求导，如F=dW F d x 、E x =dU d x 、ρ=dm dl

等。 这个dt （也可以是dx 、dv 、dm 等）其实相当于微元法中的时间微元△t ，当然每次这样用0

lim t ∆→来求物理量变化率的瞬时值太繁琐了，毕竟微元法只是草创时期的微积分。 如果能把常见导数计算的基本规律弄懂，那么我们可以简单快速地求解物理量变化率的瞬时值（导数）了。同学们可以课后推导以下公式：

⑴ 导数的四则运算

①d(u ±v)d t =du d t ± dv d t ③d(u v )d t = du d t ·v - u ·dv d t u v v 2 ②d(u ·v)d t =du d t ·v + u ·dv d t u v

⑵ 常见函数的导数

①dC dt =0(C 为常数)； ④dcost dt

=-sint ； ②dt n dt =nt n-1 (n 为实数)； ⑤de t dt

=e t ； ③dsint dt

=cost ； ⑶ 复合函数的导数

在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自变量。