专题8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系(解析版)

专题8.4 空间点、直线、平面的位置关系

运用一基本事实辨析

【例1】（1）（2019·安徽高二月考）下列说法错误的是（）

A.平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点

B.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面

C.经过两条相交直线，有且只有一个平面

D.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合

（2）下列结论中不正确的是（）

A.若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点

B.若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线

C.若点A既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b，且点A在b上

D.任意两条直线不能确定一个平面

【答案】（1）A（2）D

【解析】A. 平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点

平面与平面相交成一条直线，因此它们有无限个公共点.A错误.

B. 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面

直线和直线外一点确定一个平面， B正确

C. 经过两条相交直线，有且只有一个平面

两条相交直线确定一个平面，C正确

D. 如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合

不共线的三点确定一个平面，D正确故答案选A．

（2）由平面基本性质可知，若两个不重合的平面有一个公共点，则两平面相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，因此选项A，C正确；

当平面四个点中，有三点共线，由直线与直线外一点确定一个平面可得此四个点共面，

故假设不成立，即其中任意三点不共线，因此选项B正确；

若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D错误.故选D.

【举一反三】

1．（2019·山西高二月考）下列命题中，真命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面；

③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内； ④若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l. A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B

【解析】由公理二知命题①④正确；命题②两条直线异面时不成立，为假命题；命题③空间中，相交于同一点的三条直线可能确定三个平面，为假命题。故选B

2．（2019·贵州省铜仁第一中学）在下列命题中，不是公理的是（ ） A.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 B.平行于同一个平面的两个平面相互平行

C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】B

【解析】对于A ， 过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，是公理2； 对于B ，平行于同一个平面的两个平面相互平行，不是公理；

对于C ，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，是公理1；

对于D ，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，是公理3．故选：B ．

3．（2019·浙江高二期末）设P 表示一个点，a ，b 表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ） ①,P a P a αα∈∈⇒∈ ②,a b P b a ββ⋂=⊂⇒⊂

③a ∥b ，,,a P b P b ααα⊂∈∈⇒⊂ ④,,b P a P P b αββ⋂=∈∈⇒∈． A ．①② B ．②③

C ．①④

D ．③④

【答案】D

【解析】当a P α⋂=时，,P a P α∈∈，但a α∉∴①错；当a ∩β=P 时，②错；

如图∵a ∥b ，P ∈b ，∴P a ∉，∴由直线a 与点P 确定唯一平面α，

又a ∥b ，由a 与b 确定唯一平面β，但β经过直线a 与点P ∴β与α重合，∴b ⊂α，故③正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．故选：D ．

4．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是( ) A ．1或3 B ．1或4 C ．3或4 D ．1、3或4 【答案】D

【解析】直线之外不共线的三点记为A ，B ，C ．当直线在A ，B ，C 所确定的平面内时，它们只能够只确定一个平面；当A ，B ，C 三点中有两点与直线共面时，能确定平面有3个；当A ，B ，C 三点中没有两点与直线共面时，这样可确定的平面最多就可以达到4个．故选:D ．

5．（2018·内蒙古集宁一中高一月考）空间四边形ABCD ，E ，F 点分别是AB ，BC 的中点，G ，H 分别在CD 和AD 上，且满足

2CG AH

GD HD

==。 （1）证明：E ，F ，G ，H 四点共面； （2）证明：EH ，FG ，BD 三线共点. 【答案】（1）见解析； （2）见解析.

【解析】（1）由题意，,E F 分别为,AB BC 的中点，所以//EF AC ， 又由

CG AH

GD HD

=，根据平行线段成比例，可得//GH AC ， 所以//EF GH ，所以四点,,,E F G H 在同一平面内，即,,,E F G H 四点共面。 （2）由题意，,E F 分别为,AB BC 的中点，所以//EF AC ，且CG AH

GD HD

=， 假设直线EH 和FG 交于点M ，即EH FG M ⋂=， 因为EG ⊂平面ABD ，可得点M ⊂平面ABD , 同理可得M ⊂平面BCD ,

又因为平面ABD ⋂平面BCD BD =，即点M ⊂直线BD ， 所以直线,,EH FG BD 三线共点。

运用二 直线的位置关系

【例2】（2019·江西省大余县新城中学高二月考）已知//,a b αα⊂，则直线a 与直线b 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交或异面

C ．异面

D ．平行或异面

【答案】D

【解析】∵a ∥α，∴a 与α没有公共点，∵b ⊂α，∴a 、b 没有公共点，∴a 、b 平行或异面．故答案为：D 【举一反三】

1．（2018·嘉峪关市酒钢三中高一月考）若直线a,b,c 满足a ∥b,a,c 异面,则b 与c （ ） A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线

【答案】C

【解析】由于//a b ，,a c 异面，此时，b 和c 可能相交，也即共面，如图所示b 与c 相交；b 和c 也可能异面，如图所示'b 与c 异面.综上所述，b 与c 不可能是平行直线. 故选C.

运用三 直线与平面的位置关系

【例3】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，M 、N 分别为1A B 和AC 上的点，13

A M AN a ==，则MN 与平面11B

B

C C 的位置关系是（ ）