双曲线的简单几何性质PPT教学课件
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3.2.2双曲线的简单几何性质(第一课时)课件(人教版)
令Δy= x
= (x- 2 −
2
)
∵x≥a>0
∴ 2 − <x
−
N(x,y’)
y
Q
b
M(x,y)
B2
A1
A2
o
(x≥a)
a
x
B1
b
y x
a
b
y x
a
∴Δy>0 即在第一象限，对于任意一个x,
x> 2 −
• 即 直线y= x与曲线y= 2 − 在第一象限不相交
，并且直线y= x始终在曲线y= 2 − 上方。
2
2
根据双曲线的对称性，直线y= x与双曲线 2 - 2 =1不
相交，两者对于同一个横坐标对应的纵坐标的绝对值
始终是前者的比后者的大。
2
2
• 同理，直线y=- x与双曲线 2 - 2 =1也有相同的结
论
∵b= 2 − 2
∴ = (2 − 1)
e越趋近于1，b越小，两渐近线开口越小，双曲线
开口也越小；e越大，b越大，两渐近线开口越大，
双曲线开口也越大。
例3.求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长、虚半轴长、
焦点坐标、离心率、渐近线方程.． 2 2
分析 把已知方程化成标准方程为 : - ＝1
第三章 圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
（第一课时）
•
双曲线的性质PPT课件
双曲线的定义及标准方程
双曲线的几何性质
椭圆
双曲线
方程
x2 y2 1
a2 b2
(a b 0)
x2 y 2 1 (a 0,b 0) a2 b2
图形
y
y
B2
A1 F1 O
F2 A2
x
B1
范围 | x | a ， | y | a
对称性 对称轴：x、y轴 对称中心：原点
顶点 离心率
a4
渐近线方程:
x 3 y,即
4
y 4x 3
例3.已知实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲 线，求等轴双曲线的渐近线以及离心率。
x 等轴双曲线方程： 2 y 2 a 2
或 y2 x2 a2 渐进线方程： x y 0
离心率： e 2
双曲线
x2 y2 16 b2
双曲线性质：
1、 范围：x≥a或x≤-a
B2
2、对称性：关于x轴，y轴，
原点对称。 3、顶点 A1(-a,0),A2(a,0)
F1 A1 O
A2 F2
x
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
B1
|A1A2|=2ca,|B1B2|=2b 5、离心率：e= a
焦点在x轴上的双曲线图像
y 渐进线方程： b x a
1 的实轴的一个端点A1，虚轴的一个
端点为B1，且|A1B1|=5，求双曲线的标准方程。
y
A1 O
xB1ຫໍສະໝຸດ 四个顶点 (a,0)e c (0,1)
a
，
e越大，椭圆越扁，
e越小，椭圆越圆
(0,b)
F1 A1 O A2 F2
x
| x | a
双曲线的几何性质
椭圆
双曲线
方程
x2 y2 1
a2 b2
(a b 0)
x2 y 2 1 (a 0,b 0) a2 b2
图形
y
y
B2
A1 F1 O
F2 A2
x
B1
范围 | x | a ， | y | a
对称性 对称轴：x、y轴 对称中心：原点
顶点 离心率
a4
渐近线方程:
x 3 y,即
4
y 4x 3
例3.已知实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲 线，求等轴双曲线的渐近线以及离心率。
x 等轴双曲线方程： 2 y 2 a 2
或 y2 x2 a2 渐进线方程： x y 0
离心率： e 2
双曲线
x2 y2 16 b2
双曲线性质：
1、 范围：x≥a或x≤-a
B2
2、对称性：关于x轴，y轴，
原点对称。 3、顶点 A1(-a,0),A2(a,0)
F1 A1 O
A2 F2
x
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
B1
|A1A2|=2ca,|B1B2|=2b 5、离心率：e= a
焦点在x轴上的双曲线图像
y 渐进线方程： b x a
1 的实轴的一个端点A1，虚轴的一个
端点为B1，且|A1B1|=5，求双曲线的标准方程。
y
A1 O
xB1ຫໍສະໝຸດ 四个顶点 (a,0)e c (0,1)
a
，
e越大，椭圆越扁，
e越小，椭圆越圆
(0,b)
F1 A1 O A2 F2
x
| x | a
人教版高中数学选择性必修《双曲线的简单几何性质》PPT课件
（1）范围
“形”的角度：观察双曲线
x2
a2
y2
b2
1(a 0, b 0).
双曲线上的点（，）的横坐标的
范围是 ≤ －，或 ≥ ，纵坐标
的范围是 ∈ .
（1）范围
“数”的角度：x2ຫໍສະໝຸດ a2y2b2
x2
a2
x2
a2
1
x
y2
1 2
b
a或x
1,
a.
双曲线上的点（，）的横坐标的
范围是 ≤ －，或 ≥ ，纵坐标
双曲线的
标准方程
x2
a2
y2
b2
1( a
0, b
0)
x2
a2
y2
b2
1( a
0, b
图形
焦点
F1 ( c, 0), F2 (c, 0)
F1 (0, c), F2 (0, c)
0)
双曲线的
标准方程
x2
a2
y2
b2
范围
x
a, x
渐近线
0, b
a, y R
x2
b2
y
1( a
a, y
0, b
a, x R
关于对称轴和坐标原点对称
的范围是 ∈ .
（2）对称性
y
x2 y 2
2 1
2
a
b
“形”的角度：
双曲线既关于坐标轴对称，
又关于原点对称．
o
x
（2）对称性
x2 y 2
2 1
2
a
b
y
（ x, y）
“数”的角度：
( x) 2 ( y ) 2
2 1
“形”的角度：观察双曲线
x2
a2
y2
b2
1(a 0, b 0).
双曲线上的点（，）的横坐标的
范围是 ≤ －，或 ≥ ，纵坐标
的范围是 ∈ .
（1）范围
“数”的角度：x2ຫໍສະໝຸດ a2y2b2
x2
a2
x2
a2
1
x
y2
1 2
b
a或x
1,
a.
双曲线上的点（，）的横坐标的
范围是 ≤ －，或 ≥ ，纵坐标
双曲线的
标准方程
x2
a2
y2
b2
1( a
0, b
0)
x2
a2
y2
b2
1( a
0, b
图形
焦点
F1 ( c, 0), F2 (c, 0)
F1 (0, c), F2 (0, c)
0)
双曲线的
标准方程
x2
a2
y2
b2
范围
x
a, x
渐近线
0, b
a, y R
x2
b2
y
1( a
a, y
0, b
a, x R
关于对称轴和坐标原点对称
的范围是 ∈ .
（2）对称性
y
x2 y 2
2 1
2
a
b
“形”的角度：
双曲线既关于坐标轴对称，
又关于原点对称．
o
x
（2）对称性
x2 y 2
2 1
2
a
b
y
（ x, y）
“数”的角度：
( x) 2 ( y ) 2
2 1
3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)
2
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
3.2.2双曲线的简单几何性质(第1课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
双曲线的渐近线方程？
=−
2 2
对于双曲线 2 − 2 = 1和它的渐近线 = ± ，
=
y
(, )
将方程中的与互换，就得到双曲线
即 = ± ．
− 2 = 1 的渐近线方程 = ± ，
2
2
2
(−, )
规律方法：由双曲线方程求渐近线方程，只需把1变成0,
∴当 ∈
2
+
2
2
> 1.
=
(1, +∞)时，
∈
1+
2
(0, +∞),且增大, 也增大
b
离心率越大, 渐近线y x的斜率越大 双曲线的“张口”越大
a
新知探究
方程
2 2
− 2=1
2
2 2
− 2=1
2
图像
范围
对称性
≤ −，或 ≥
≤ −，或 ≥
≤ −，或 ≥
关于轴、轴、原点对称
（ − ，），（，） （， − ），（，）
a
b
y x
y x
渐近线
b
a
= >
离心率
顶点
1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程.
2
2
x
y
2
2
2
2
2
2
(1) x 8 y 32; (2) 9 x y 81; (3) x y 4; (4)
=−
2 2
对于双曲线 2 − 2 = 1和它的渐近线 = ± ，
=
y
(, )
将方程中的与互换，就得到双曲线
即 = ± ．
− 2 = 1 的渐近线方程 = ± ，
2
2
2
(−, )
规律方法：由双曲线方程求渐近线方程，只需把1变成0,
∴当 ∈
2
+
2
2
> 1.
=
(1, +∞)时，
∈
1+
2
(0, +∞),且增大, 也增大
b
离心率越大, 渐近线y x的斜率越大 双曲线的“张口”越大
a
新知探究
方程
2 2
− 2=1
2
2 2
− 2=1
2
图像
范围
对称性
≤ −，或 ≥
≤ −，或 ≥
≤ −，或 ≥
关于轴、轴、原点对称
（ − ，），（，） （， − ），（，）
a
b
y x
y x
渐近线
b
a
= >
离心率
顶点
1. 求下列双曲线的实轴与虚轴的长, 顶点和焦点的坐标, 离心率, 渐近线方程.
2
2
x
y
2
2
2
2
2
2
(1) x 8 y 32; (2) 9 x y 81; (3) x y 4; (4)
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)(第3课时)课件(人教版)
当1-k2≠0即k≠±1时，若直线与双曲线只有一个公共点
5
2
则 20 16k 0, 即 k
2
5
综上，k 1 或 k
2
例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1.
(3)若直线l与双曲线C的右支有2个公共点，求k的取值范围.
y kx 1
2
A. － ＝1
3
6
x2 y2
B. － ＝1
4
5
x2 y2
C. － ＝1
6
3
)
x2 y2
D. － ＝1
5
4
x2 y2
解：设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，由题意知 c＝3，a2＋b2＝9，
a
b
x12 y12
－ 2 ＝1，
2
a
b
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x22 y22
第 3 章圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
复 焦点位置
习 方程
x轴
x2
y2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
图形
范围
对称性
顶点
y轴
y2
x2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
M(x,y)
F2
F1 O
F2
x
即x a或x a , y R
O
x
即y a或y a , x R
两式作差，
－
＝1，
a2
b2
y1－y2 b2（x 1＋x2） －12b2 4b2
5
2
则 20 16k 0, 即 k
2
5
综上，k 1 或 k
2
例1 已知双曲线C：x2-y2=4，直线l：y=kx-1.
(3)若直线l与双曲线C的右支有2个公共点，求k的取值范围.
y kx 1
2
A. － ＝1
3
6
x2 y2
B. － ＝1
4
5
x2 y2
C. － ＝1
6
3
)
x2 y2
D. － ＝1
5
4
x2 y2
解：设双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a>0，b>0)，由题意知 c＝3，a2＋b2＝9，
a
b
x12 y12
－ 2 ＝1，
2
a
b
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x22 y22
第 3 章圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
复 焦点位置
习 方程
x轴
x2
y2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
图形
范围
对称性
顶点
y轴
y2
x2
2 1( a 0，b 0)
2
a
b
y
M(x,y)
F2
F1 O
F2
x
即x a或x a , y R
O
x
即y a或y a , x R
两式作差，
－
＝1，
a2
b2
y1－y2 b2（x 1＋x2） －12b2 4b2
双曲线的简单几何性质课件
双曲线的简单几何性质
通过探索直角双曲线的定义、方程、性质和应用，本课件将带您深入了解双 曲线的几何特性，以及它在数学和实际生活中的重要性。
直角双曲线定义
直角双曲线是由一个平面上的点到两个给定直点的距离差等于一个常数的点集合。 这个定义可以用数学方程形式表示，并且直角双曲线拥有独特的图形特点。
直角双曲线的图形特点
冷却塔
直角双曲线的形状在工程中被 广泛应用于冷却塔的设计。
Hale Waihona Puke 火箭轨迹双曲线轨迹模型可用于描述火 箭的轨迹和飞行路线。
卫星轨道
卫星在空间中的运行轨道也经 常使用双曲线模型进行建模。
结论和要点
几何性质
直角双曲线具有独特的几 何性质，如两支曲线、渐 近线以及对称性。
方程与参数
可以使用标准方程和参数 方程来描述直角双曲线的 形状。
渐近线
直角双曲线的渐近线是与曲 线的无限延伸方向相切的特 殊直线。
直角双曲线的性质与证明
1
双曲线的对称性
直角双曲线具有关于两条坐标轴的对称性。
2
焦距与离心率
焦距是焦点与曲线上任一点的距离，而离心率则是焦距与准线长度的比值。
3
曲线与渐近线
直角双曲线在无穷远处与其渐近线趋于平行。
直角双曲线的相关实例和应用
2 参数方程
直角双曲线的参数方程 是x = a * sec(θ)和y = b * tan(θ)。
3 参数特性
直角双曲线的参数a和b 分别决定曲线的形状和 大小。
直角双曲线的焦点、准线与渐近线
焦点
直角双曲线拥有两个焦点， 位于对称轴上，与曲线的离 心率相关。
准线
准线是离心率等于1的直角双 曲线上的一条特殊直线。
通过探索直角双曲线的定义、方程、性质和应用，本课件将带您深入了解双 曲线的几何特性，以及它在数学和实际生活中的重要性。
直角双曲线定义
直角双曲线是由一个平面上的点到两个给定直点的距离差等于一个常数的点集合。 这个定义可以用数学方程形式表示，并且直角双曲线拥有独特的图形特点。
直角双曲线的图形特点
冷却塔
直角双曲线的形状在工程中被 广泛应用于冷却塔的设计。
Hale Waihona Puke 火箭轨迹双曲线轨迹模型可用于描述火 箭的轨迹和飞行路线。
卫星轨道
卫星在空间中的运行轨道也经 常使用双曲线模型进行建模。
结论和要点
几何性质
直角双曲线具有独特的几 何性质，如两支曲线、渐 近线以及对称性。
方程与参数
可以使用标准方程和参数 方程来描述直角双曲线的 形状。
渐近线
直角双曲线的渐近线是与曲 线的无限延伸方向相切的特 殊直线。
直角双曲线的性质与证明
1
双曲线的对称性
直角双曲线具有关于两条坐标轴的对称性。
2
焦距与离心率
焦距是焦点与曲线上任一点的距离，而离心率则是焦距与准线长度的比值。
3
曲线与渐近线
直角双曲线在无穷远处与其渐近线趋于平行。
直角双曲线的相关实例和应用
2 参数方程
直角双曲线的参数方程 是x = a * sec(θ)和y = b * tan(θ)。
3 参数特性
直角双曲线的参数a和b 分别决定曲线的形状和 大小。
直角双曲线的焦点、准线与渐近线
焦点
直角双曲线拥有两个焦点， 位于对称轴上，与曲线的离 心率相关。
准线
准线是离心率等于1的直角双 曲线上的一条特殊直线。
3.2.2 双曲线的简单几何性质课件ppt
椭圆的差异性.
2.如果双曲线的方程确定,那么其渐近线的方程是确定的,但如果双曲线的渐
近线确定,那么其对应的双曲线有无数条,具有共同渐近线的双曲线方程可
x2
设为 2
a
−
y2
=λ(λ≠0),当
b2
λ>0 时,对应的双曲线焦点在 x 轴上,当 λ<0 时,对应的
双曲线焦点在 y 轴上.
3.因为
c
e=a
=
x2
y2
− 2 =λ(λ≠0).
a2
b
2.共轭双曲线
(1)定义:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,与原双曲线是
一对共轭双曲线.
(2)共轭双曲线的性质:
①有相同的渐近线;②有不同的离心率,离心率倒数的平方和为1.
课堂篇 探究学习
探究一
由双曲线的方程求几何性质
例1求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心
M(-3,2 3);
(3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.
思路分析对于(1)和(2),可直接设出双曲线方程,根据条件求出参数a,b的值,
即得方程;对于(3),焦点位置不确定,应分类讨论.
解
2
(1)设双曲线方程为 2
∵双曲线过点 P(
由题意得
−
4
6,2),∴ 2
2
[激趣诱思]
火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑物.建在
水源不十分充足的地区的电厂,为了节约用水,需建造一个循环冷却水系统,
以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用.大型电厂采用的冷
却构筑物多为双曲线形冷却塔.这样从结构稳定,强度高,能够获得更大的
2.如果双曲线的方程确定,那么其渐近线的方程是确定的,但如果双曲线的渐
近线确定,那么其对应的双曲线有无数条,具有共同渐近线的双曲线方程可
x2
设为 2
a
−
y2
=λ(λ≠0),当
b2
λ>0 时,对应的双曲线焦点在 x 轴上,当 λ<0 时,对应的
双曲线焦点在 y 轴上.
3.因为
c
e=a
=
x2
y2
− 2 =λ(λ≠0).
a2
b
2.共轭双曲线
(1)定义:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,与原双曲线是
一对共轭双曲线.
(2)共轭双曲线的性质:
①有相同的渐近线;②有不同的离心率,离心率倒数的平方和为1.
课堂篇 探究学习
探究一
由双曲线的方程求几何性质
例1求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心
M(-3,2 3);
(3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.
思路分析对于(1)和(2),可直接设出双曲线方程,根据条件求出参数a,b的值,
即得方程;对于(3),焦点位置不确定,应分类讨论.
解
2
(1)设双曲线方程为 2
∵双曲线过点 P(
由题意得
−
4
6,2),∴ 2
2
[激趣诱思]
火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑物.建在
水源不十分充足的地区的电厂,为了节约用水,需建造一个循环冷却水系统,
以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用.大型电厂采用的冷
却构筑物多为双曲线形冷却塔.这样从结构稳定,强度高,能够获得更大的
人教版高中数学选修2-12双曲线的简单几何性质(共54张PPT)教育课件
O
x
A1
F1
3. 焦半径公式
※双曲线
x2 y2 a2 b2
1
(a0,b0)，
y
F1 , F 2 是其左右焦点, 则 重在理解， F1 A1 O A2 F2 x
MF1 MF2
aex0 aex0
关键用第 二定义。
※ 双曲线
y2 a2
x2 b2
1(a>0,b>0)，
F
1
,
F
是其下上焦点,
2
则
y
F2 A2
双曲线的第二定义
1. 第二定义：当点M到一个定点的距离和它到定直
线的距离的比是常数 e c (e 1) 时，这个点的轨
迹是双曲线。
a
定点为双曲线的焦点，定直线为双曲线相对应
于此焦点的准线，常数e为双曲线的离心率。
2. 准线方程：
两准线间的距离是 2 a 2
c
y
a2
x
c
y
F2
a2 yA2cF1 A1 O A2 F2 x
复习回顾
1.双曲线的定义是怎样的？ 2.双曲线的标准方程是怎样的？
x2 y2 1 a2 b2
y2 a2
x2 b2
1
3. 椭圆的简单几何性质有哪些？
①范围; ②对称性; ③顶点;④离心率 等。
l双曲线是否具有类似的性质呢?
探究新知
1.范围：
横坐标：x≤－a或x≥a；
x＝±a
y
纵坐标：y∈R.
F1 o
的距离的比是常数 c (c a o) ，求点M的轨迹。
c
yl
a
.F1
o
.M
解：设d是点P到直线的距离．根 据题意得
双曲线的几何性质课件
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记为2c。
性质
焦距是双曲线几何量中最基本的量 之一，它决定了双曲线的形状和大 小。
计算
焦距2c可以通过半长轴a和半短轴b 计算得出，c = sqrt(a^2 + b^2)。
焦点距离公式
定义
焦点距离公式是指双曲线上的任 意一点P到两个焦点的距离之差
的绝对值等于常数2a。
离心率的计算公式
离心率 = 根号下(分母的 平方 - 分子) / 分母。
离心率的物理意义
离心率越大，双曲线开口 越大，反之则越小。
离心率与双曲线的关系
当离心率大于1时，双曲线的开口方向为水平方向；当离心率小于1时，双曲线的 开口方向为垂直方向。
离心率的大小决定了双曲线的形状和开口大小，是双曲线几何性质中非常重要的 一个参数。
实轴与虚轴
总结词
实轴是双曲线与x轴的交点形成的线段，虚轴是双曲线与y轴的交点形成的线段 。
详细描述
实轴是双曲线与x轴的交点形成的线段，长度为 $2a$。虚轴是双曲线与y轴的交 点形成的线段，长度为 $2b$。
渐近线
总结词
双曲线有两条渐近线，它们是连接顶点和原点的线段。
详细描述
双曲线的渐近线方程是 $y = pm frac{b}{a} x$。这些线是连接顶点和原点的线段 ，随着x的增大或减小，双曲线会逐渐接近这些线，但永远不会与其相交。
离心率的变化范围
对于给定的双曲线，离心率有一 个变化范围。这个范围取决于双
曲线的标准方程和焦点位置。
在标准方程下，离心率的变化范 围是大于0小于等于根号下2。
当离心率等于根号下2时，双曲 线成为一条直线；当离心率等于 0时，双曲线成为以原点为中心
高二数学双曲线的几何性质PPT课件
问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？
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感谢您的观看！
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到炮弹爆炸比在B地晚2 s，且声速为340
m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。 y
解：如图，建立直角
坐标系xoy，使A、B两
P
点在x轴上，并且坐标
原点o与线段AB的中点 重合。
A oBx
设爆炸点P的坐标为(x,y)，则
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|PA|-|PB|=340×2=680 ，
即 2a=680，a=340 . 又 |AB|=800
y
A1 O
x
B1
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1、中心在原点，一个顶点为A（ 3，0），
离心率为4 的双曲线方程是（） 3
A. x2 y2 1 B.7y2 x2 1
97
81 9
C y2 x2 1 D x2 y2 1或 7y2 x2 1
97
97
81 9
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2.以椭圆x2 y2 1的焦点为顶点， 16 9
顶点为焦点的双曲线的方程是（）
A x2 y2 1 16 9
C y2 x2 1 79
B x2 y2 1 9 16
D x2 y2 1 79
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双曲线 焦点在x轴
焦点在y轴
标准方程 图形
x2 y2 a2 b2 1(a 0, b 0)
y2 x2 a2 b2 1(a 0, b 0)
所以 2c=800, c=400 b2=c2-a2=44 400 .
因为|PA|-|PB|=340×2=680 ，所以x>0. 因此炮弹爆炸点的轨迹的方程为
x2 y2 1(x 0) 115600 44400
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（
）
作业：
1、求中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐进
线的倾斜角为
6
，一条准线方程为x=6的双曲
线的标准方程。
2、求与双曲线x2/2－y2=1有公共渐近线且以
y=－3为准线的双曲线的标准方程.
数学广角
沏茶前要做些什么事呢？
怎样才能让客人尽快喝上茶？
①
②
③
④
⑤
⑥
数学家,中国科学院院士 华罗庚
双曲线的 简单几何性质(3)
方程
性质
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
图形
范围 对称性 顶点坐标
离心率
a x a,b y b
关于x, y轴及原点对称 A1(a,0), A2 (a,0) B1(0,b), B2 (0,b)
A1A2叫长轴, B1B2叫短轴
F
双曲线
y2 a2
x2 b2
1中:
上焦点F2 (0，c)，对应的上准线方程是
y
a2 c
;
下焦点F1(0 ， c)对应的下准线方程是
y
a2 c
.
例2、以坐标轴为对称轴的双曲线，一条 准线方程为y＝4，焦距为12，求此双曲线 的标准方程.
练习：
1、3y2－x2＝1的准线方程是___________， 渐近线方程是_______________.
y2 b2
1的渐进线为
x a
2 2
y2 b2
0
y ybx
a
O
x
y b x a
例1、点
M
(x，y)与定点F (c，0)的距离和它到定直线
l
:
x
a2 c
的
距离的比是常数 c (c a 0)，求点M的轨迹 . a
解：设 d是点M到直线 l的距离，则
|
MF d
|
c a
即
(x c)2 y2 | x a2 |
是常数 e c (e 1)，则这个点的轨迹是双曲线. a
“三定”：定点是焦点；定直线是准线； 定值是离心率.
l' y
l
d .M
双曲线 x2 y2 1中: a2 b2
.
F’ O
右焦点F2 (c，0)，对应的右准线方程是
x
a2 c
;
左焦点 F1 (c，0)对应的左准线方程是
x a2 . c
.x
e c , (0 e 1) a
x a或x a, y R 关于x, y轴及原点对称
A1(a,0), A2 (a,0)
A1A2叫实轴, B1B2叫虚轴 e c , (e 1) a
双曲线 x2 a2
y2 b2
1, (a
0,b
0)
直线y b x叫做双曲线的渐进线 a
双曲线 x2 a2
c. a
c
yl简 (c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 ) .
设
c2 a2 b2 ，则 方程化为
x2 a2
y2 b2
1
(a
0, b
0)
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为 2a、2b的双曲线 .
双曲线的第二定义：
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比
3
1
1
ok
1
3分钟 + 3分钟
3
1
ok
3分钟 + 3分钟 + 3分钟
o3k ok
ok
3分钟 + 3分钟 + 3分钟＝9分钟
①烙2张饼需要6分钟， 烙3张饼的最佳方案需要9分钟。
②每次烙饼，锅里都有两张饼，速度最快。
两个人合作完成三张正反面的贺卡， 要怎样分工合作好呢？
2、若双曲线
上一点P到左、右
焦点的距离之比为1∶2，则P到右准线的
距离为_______________.
例3、已知双曲线x2 － y2 a2 b2
1(a
0,b
0)的焦点F（1 c,0）F2 (c,0),
P(x0, y0 )是双曲线右支上任意点，求证：| PF1 | a ex0 ，
| PF2 | a ex0 其中e为双曲线的离心率.
例4、已知双曲线 x2 y2 1右支上一点P到右焦点的距离等于8， 64 36
求点P到双曲线左准线的距离。
法1：
l' y
l
P.
法2：
l' y
l
P.
.
F1 O
.
F2
x
.
.
F1 O
F2
例5、求与双曲线
有共同渐近
线，且焦点在x轴上，且两准线间的距离
为 144 的双曲线方程.
5
分析：与 程可设为
有共同渐近线的方
“统筹法”
① 时间只剩１０分钟！！！
②
一次能放两个烧饼
③
每个饼要烙两面
④ 每个饼每面要烙３分钟才熟！！！
1
2
3
1 1
1
2
3
2
1
2
2
3
1
2
3
3分钟
1
1
2
3
3分钟
1
1
2
3分钟
1
1
3
3
3
2
3分钟
3
1
3
3
2
1
3分钟 + 3分钟
3
ok
1
3分钟 + 3分钟
ok
3
ok
ok
1
3分钟 + 3分钟
证明： 双曲线的左准线为 x a2 c
l' y
l
P.
由整双理曲得线:的| P第F1二|定a义 e得x0：x|0PF1ac|2
c a
.
F1 O
.
F2
x
由双曲线的第一定义得：| PF2 || PF1 | 2a a ex0
| PF1 |min c a
说明：|PF1|, |PF2|称为双曲线的焦半径.