2020-2021深圳北大附中深圳南山分校高三数学下期中试题(附答案)

2020-2021深圳北大附中深圳南山分校高三数学下期中试题(附答案)

一、选择题

1．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65

B ．184

C ．183

D ．176

2．已知数列{}n a 中，(

)111,21,n n n

a a a n N S *

+==+∈为其前n 项和，5

S

的值为（ ）

A ．63

B ．61

C ．62

D ．57

3．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138

B ．135

C ．95

D ．23

4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）

A ．2a b =

B ．2b a =

C ．2A B =

D ．2B A =

5．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *

++∈＜.若

8

7

1a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S

6．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩

，则22

(2)x y -+的最小值为（ ） A

．

2

B

C ．5

D ．

92

7．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12

B ．10

C

．D

．8．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2

cos 22A b c c

+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形

D ．正三角形

9．,x y 满足约束条件362000

x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪

⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为

12，则23

a b

+的最小值为 ( ) A ．

256

B ．25

C ．

253

D ．5

10．已知421333

2,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<

D ．c a b <<

11．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小

角的余弦值为（ ） A ．

34

B ．

56

C ．

78

D ．

23

12．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3

x y

+的最大值为 A ．

13

B ．38

C ．

37

D ．1

二、填空题

13．已知0a >，0b >，当()2

1

4a b ab

++

取得最小值时，b =__________． 14．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则y

x

的最小值为

__________．

15．已知变量,x y 满足约束条件2

{41

y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．

16．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，2

1313S a =，则{a n }的首项的所

有可能值为______

17．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若

321

n n S n T n +=+，则4

4

a b =_____． 18．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n n

n N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）

19．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，

，，

则22

x y +的取值范围是 .

20．（理）设函数2

()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭

，

2()4()(1)4()x

f m f x f x f m m

-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 三、解答题

21．如图，在ABC ∆中，45B ︒∠=，10AC =,25

cos 5

C ∠=

点D 是AB 的中点, 求

（1）边AB 的长；

（2）cos A 的值和中线CD 的长

22．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且acos C ＋3asin C －b －c ＝0.

(1)求A ；

(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝

17，AD 129，求△ABC 的面积． 23．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233=+n

n S .

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T . 24．在ABC V 中，3

B π

∠=，7b =，________________，求BC 边上的高．

从①21

sin A =

， ②sin 3sin A C =， ③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

25．在ABC V 中，5cos 13A =-

，3cos 5

B =． (1)求sin

C 的值；

(2)设5BC =，求ABC V 的面积．

26．已知向量()

1

sin 2A =，m 与()

3sin 3A A =，

n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；

（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.

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