2020-2021深圳北大附中深圳南山分校高三数学下期中试题(附答案)
2020-2021深圳市南山区宏基学校高三数学下期中模拟试题(附答案)
2020-2021深圳市南山区宏基学校高三数学下期中模拟试题(附答案)一、选择题1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S2．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100B ．-100C ．-110D ．1103．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3A b π==ABC ∆的面积为2，则a 的值为（ ） A ．2BCD ．14．在等差数列{}n a 中，若1091a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ） A ．15B ．16C ．17D ．145．设实数,x y 满足242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则1y x +的最大值是（ ）A ．-1B ．12C ．1D ．326．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a = A ．4B ．10C ．16D ．327．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD．3-8)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3 D 9．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．403710．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8B ．-8C ．1D ．-111．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 12．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ）A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bdB ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+dC ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c da b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d二、填空题13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .2C A π-=，1sin 3A =，3a =，则b =______.14．已知0,0x y >>，1221x y +=+，则2x y +的最小值为 . 15．设，，若，则的最小值为_____________.16．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++=L ________________.17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=.其中*m N ∈且2m ≥，则m =______.18．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿19．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．20．不等式211x x --<的解集是 ．三、解答题21．已知实数x 、y 满足6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，求实数a 的取值范围.22．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．23．已知角A ，B ，C 为等腰ABC ∆的内角，设向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r，(cos ,cos )n C B =r ，且//m n r r，7BC =（1）求角B ；（2）在ABC ∆的外接圆的劣弧»AC 上取一点D ，使得1AD =，求sin DAC ∠及四边形ABCD 的面积．24．已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程的根.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 25．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．26．数列{}n a 中，11a = ，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足21()2n n n S a S =⋅-．（1）求n S 的表达式； (2)设n b ＝21nS n +,求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】先通过数列性质判断60a <，再通过数列的正负判断n S 的最小值. 【详解】∵等差数列{}n a 中，390a a +<，∴39620a a a +=<，即60a <.又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S . 故答案选C 【点睛】本题考查了数列和的最小值，将n S 的最小值转化为{}n a 的正负关系是解题的关键.2．B解析：B 【解析】 【分析】数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()101192⨯+=-=-100．故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．B解析：B 【解析】试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得131sin ,2,23c c π⨯⨯=∴=由余弦定理得考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理．4．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得90a >，100a <，且9100a a +<，由等差数列的性质和求和公式可得结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和有最大值， ∴等差数列{}n a 为递减数列，又1091a a <-， ∴90a >，100a <， ∴9100a a +<， 又()118181802a a S +=<，()117179171702a a S a +==>，∴0n S >成立的正整数n 的最大值是17，【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．5．D解析：D 【解析】 【分析】由约束条件确定可行域，由1y x+的几何意义，即可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率求得答案． 【详解】由约束条件242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，作出可行域如图，联立10220x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得A （112，），1y x+的几何意义为可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率， 由图可知，113212PAk +==最大． 故答案为32． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．6．C解析：C由64S S -=6546a a a +=得，()22460,60q q a q q +-=+-=，解得2q =，从而3522=28=16a a =⋅⨯，故选C.7．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ），即4a +13a ≤故1212a x x x x ++的最大值为． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.8．B解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：36922a a -++≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.9．C【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.10．D解析：D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.故选：D . 【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.11．D解析：D 【解析】 【分析】 先求出31()2n n a -=，再求出2511()2n n n a a -+=，即得解.【详解】由题得35211,82a q q a ==∴=. 所以2232112()()22n n n n a a q---==⨯=，所以32251111()()()222n n n n n a a ---+=⋅=. 所以1114n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]4114n --=()32143n --. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．B解析：B 【解析】 【分析】利用不等式的性质和通过举反例否定一个命题即可得出结果. 【详解】A 项，虽然41,12>->-，但是42->-不成立，所以不正确；B 项，利用不等式的同向可加性得知，其正确，所以成立，即B 正确；C 项，虽然320,210>>>>，但是3221>不成立，所以C 不正确； D 项，虽然41,23>>-，但是24>不成立，所以D 不正确； 故选B. 【点睛】该题考查的是有关正确命题的选择问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对应的解题的方法是不正确的举出反例即可，属于简单题目.二、填空题13．7【解析】【分析】先求出再利用正弦定理求最后利用余弦定理可求【详解】因为所以故且为锐角则故由正弦定理可得故由余弦定理可得故即或因为为钝角故故故答案为：7【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外解析：7 【解析】 【分析】先求出22sin 3C =，再利用正弦定理求c ，最后利用余弦定理可求b . 【详解】 因为2C A π-=，所以2C A π=+，故sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 且A 为锐角，则22cos A =，故22sin 3C =. 由正弦定理可得sin sin a c A C =，故223sin 3621sin 3a Cc A⨯===， 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 故2229722623b b =+-⨯⨯即7b =或9b =， 因为C 为钝角，故c b >，故7b =. 故答案为：7. 【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量. （1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理.14．3【解析】试题分析：根据条件解得那么当且仅当时取得等号所以的最小值为3故填：3考点：基本不等式解析：3 【解析】试题分析：根据条件，解得，那么，当且仅当时取得等号，所以的最小值为3，故填：3. 考点：基本不等式15．3+22【解析】【分析】由已知可得a-1+b=1从而有2a-1+1b=(2a-1+1b)(a-1+b)展开后利用基本不等式即可求解【详解】由题意因为a>1b>2满足a+b=2所以a-1+b=1且a- 解析：【解析】【分析】 由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解. 【详解】 由题意，因为满足， 所以，且，则，当且仅当且，即时取得最小值.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16．【解析】【分析】求出数列的公比并得出等比数列的公比与首项然后利用等比数列求和公式求出即可计算出所求极限值【详解】由已知所以数列是首项为公比为的等比数列故答案为【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时 解析：323【解析】 【分析】求出数列{}n a 的公比，并得出等比数列{}1n n a a +的公比与首项，然后利用等比数列求和公式求出12231n n a a a a a a ++++L ，即可计算出所求极限值. 【详解】 由已知3212a q a ==，23112()()22n n n a --=⨯=，3225211111()()()2()2224n n n n n n a a ----+=⋅==⋅，所以数列{}1n n a a +是首项为128a a =，公比为1'4q =的等比数列， 11223118[(1()]3214[1()]13414n n n n a a a a a a -+-+++==--L ，1223132132lim ()lim [1()]343n n n n n a a a a a a +→+∞→∞+++=-=L .故答案为323. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了利用定义判定等比数列、等比数列求和以及数列极限的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.17．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项解析：5 【解析】 【分析】设等差数列的()n An n m S =-，再由12m S -=-，13m S +=，列出关于m 的方程组，从而得到m . 【详解】因为0m S =，所以设()n An n m S =-， 因为12m S -=-，13m S +=，所以(1)(1)2,125(1)13,13A m m m A m m -⋅-=-⎧-⇒=⇒=⎨+⋅=+⎩. 故答案为：5. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前n 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减少.18．10【解析】【分析】【详解】故则故n=10解析：10 【解析】 【分析】 【详解】1351,14,a a a =+=故126d 14,2a d +=∴=，则()1n 21002n n n S -=+⨯=故n=1019．【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC 构成其中作出直线显然点A 到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A 到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区【解析】作出不等式组所表示的可行域1Ω ，如图阴影部分，由三角形ABC 构成，其中(11),(30),(12)A B C -，，， ，作出直线20x y += ，显然点A 到直线20x y +=的距离最近，由其几何意义知，区域12,ΩΩ 内的点最短距离为点A 到直线20x y +=的距离的2倍，由点到直线的距离公式有：22215521d -==+ ，所以区域1Ω 内的点与区域2Ω 内的点之间的最近距离为25，即255CD = .点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题. 巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.20．【解析】【分析】【详解】由条件可得 解析：{}|02x x <<【解析】 【分析】 【详解】 由条件可得三、解答题21．[]1,1-【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用题中条件找出目标函数z ax y =+取得最大值和最小值的最优解，根据题意将直线z ax y =+与可行域边界线的斜率进行大小比较，可得出实数a 的取值范围. 【详解】作出不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩所表示的可行域如下图所示：由z ax y =+得y ax z =-+，Q 目标函数z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -.∴当直线y ax z =-+经过点()3,9B 时，该直线在y 轴上的截距最大，当直线y ax z =-+经过点()3,3A -时，该直线在y 轴上的截距最小， 结合图形可知，直线y ax z =-+的斜率不小于直线0x y +=的斜率，不大于直线60x y -+=的斜率，即11a -≤-≤，解得11a -≤≤，因此，实数a 的取值范围是[]1,1-.【点睛】本题考查线性目标函数最大值和最小值的最优解问题，对于这类问题，一般要利用数形结合思想，利用目标函数对应直线在坐标轴上的截距最值得出目标函数所在直线的斜率与可行域边界直线的斜率的大小关系来求解，考查数形结合思想，属于中等题.22．（1）21n a n =-；（2）2312n n -+【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用通项公式，可得3,2q d ==，进而得到所求通项公式；（2）由（1）求得1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列{}n c 和． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 因为233,9b b ==，可得323b q b ==，所以2212333n n n n b b q ---==⋅=， 又由111441,27a b a b ====，所以1412141a a d -==-， 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)12(1)21n a a n d n n =+-⨯=+-=-．（2）由题意知1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，则数列{}n c 的前n 项和为12(121)1331[13(21)](1393)2132n n n n n n n -+---+++-+++++=+=+-L L ． 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．23．（1）3B π=（2 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的条件，结合诱导公式，求得角B 的余弦值，即可得答案； （2）求出CD ，23ADC ∠=π，由正弦定理可得sin DAC ∠，即可求出四边形ABCD 的面积． 【详解】（1）Q 向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r ，(cos ,cos )n C B =r，且//m n r r，(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=，2sin cos sin()A B B C ∴=+，2sin cos sin A B A ∴=，1cos 2B ∴=，0B Q π<<，3B π∴=；（2）根据题意及（1）可得ABC ∆是等边三角形，23ADC ∠=π，ADC ∆中，由余弦定理可得22222cos3AC AD CD AD CD π=+-⋅⋅， 260CD CD ∴+-=，2CD ∴=，由正弦定理可得sin 21sin 7CD ADC DAC AC ∠∠==， ∴四边形ABCD 的面积．119317sin 77sin 224S DAC ABC =⨯⨯∠+⨯⨯∠=． 【点睛】本题考查向量共线条件的运用、诱导公式、余弦定理、正弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将四边形的面积分割成两个三角形的面积和. 24．（1）112n a n =+;（2）1422n n n S ++=-. 【解析】 【分析】 （1）方程的两根为2,3，由题意得233,2a a ==，在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式即可求出．【详解】方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3. 由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而得a 1＝32. 所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1. （2）设2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ， 由（1）知2n n a ＝122n n ++， 则S n ＝232＋342＋…＋12n n +＋122n n ++， 12S n ＝332＋442＋…＋112n n ++＋222n n ++， 两式相减得12S n ＝34＋311122n +⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭－222n n ++＝34＋111142n -⎛⎫- ⎪⎝⎭－222n n ++，所以S n ＝2－142n n ++. 考点：等差数列的性质；数列的求和． 【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前n 项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程的两根为2,3，由题意得233,2a a ==，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题． 25．（1）（2）57【解析】试题分析：（1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.试题解析：（1）由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A ＝. （2）由S ＝bcsin A ＝bc×＝bc ＝5，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝. 从而由正弦定理得sin B sin C ＝sin A×sin A ＝sin 2A ＝×＝.考点：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面积公式.【方法点睛】本题涉及到解三角形问题，所以有关三角问题的公式都有涉及，当出现时，就要考虑一个条件，,,这样就做到了有效的消元，涉及三角形的面积问题，就要考虑公式,灵活使用其中的一个.26．（1）1()21n S n N n =∈-；（2）21n n +。
2020-2021深圳北大附中深圳南山分校高三数学上期末试题(附答案)
2020-2021深圳北大附中深圳南山分校高三数学上期末试题(附答案)一、选择题1．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．42．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ） A．2+B1C．2D13．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <4．设,x y 满足约束条件330280440x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+的最大值是（ ）A ．9B ．8C ．3D ．45．已知数列{}n a 的通项公式是221sin2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110B ．100C ．55D ．06．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（ ） AB ．3CD7．在等差数列{}n a 中，若1091a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ） A ．15B ．16C ．17D ．148．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ） A ．78B ．18 C ．78- D ．18-9．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =10．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．911．在中，，，，则A ．B ．C ．D ．12．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．32二、填空题13．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有可能值为______14．设0a >，若对于任意满足8m n +=的正数m ，n ，都有1141a m n ++≤，则a 的取值范围是______.15．若x ，y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值是__________．16．若变量,x y 满足约束条件{241y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最小值为_____．17．数列{}n a 满足10a =，且()1*11211n nn N a a +-=∈--，则通项公式 n a =_______．18．设正项数列{}n a 的前n 项和是n S ，若{}n a 和{}nS 都是等差数列，且公差相等，则1a ＝_______．19．设()32()lg 1f x x x x =+++，则对任意实数,a b ，“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的_________条件．（填“充分不必要”.“必要不充分”.“充要”.“既不充分又不必要”之一） 20．已知是数列的前项和，若，则_____．三、解答题21．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且sin cos 20A a B a --=.（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若b =ABC ∆a c +的值． 22．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1>0，a 8﹣a 4﹣a 3=1，a 4是a 1和a 13的等比中项. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：对一切正整数n .有1211134n S S S +++<L L . 23．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-．（1）求证：A B =；（2）若c =3cos 4C =，求ABC ∆的周长．24．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，角A 、B 、C 的度数成等差数列，b =.（1）若3sin 4sin C A =，求c 的值； （2）求a c +的最大值.25．在ABC ∆sin cos C c A =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC S ∆，2b c +=+a 的值．26．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=． （1）求角A ；（2）若3a =，ABC △11b c +的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数；④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.答案：C.2．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．3．D解析：D 【解析】 ∵0a b << ∴设1,1a b =-= 代入可知,,A B C 均不正确对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确 故选D4．A解析：A 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标还是在点()3,2C 处取得最大值，其最大值为max 33329z x y =+=+⨯=.本题选择A 选项.5．C解析：C 【解析】由已知条件得a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数，所以a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92，由此能求出结果． 【详解】∵2n 12+π =n π+2π，n ∈N *，∴a n ＝n 2sin （2n 12+π）＝22,,n n n n ⎧-⎨⎩是奇数是偶数，∴a 1+a 2+a 3+…+a 10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92＝1+2+3+…+10＝()101+10=552故选C ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、三角函数的周期性，属于中档题．6．D解析：D 【解析】 【分析】三角形的面积公式为1sin 2ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】解：在ABC ∆中，2227cos 28b c a A bc +-==将2b c =，a =22246748c c c +-=， 解得：2c =由7cos 8A =得sin A ==所以，11sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯=故选D. 【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助12（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin 2bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.7．C【解析】 【分析】由题意可得90a >，100a <，且9100a a +<，由等差数列的性质和求和公式可得结论． 【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和有最大值， ∴等差数列{}n a 为递减数列， 又1091a a <-， ∴90a >，100a <， ∴9100a a +<， 又()118181802a a S +=<，()117179171702a a S a +==>，∴0n S >成立的正整数n 的最大值是17， 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．8．C解析：C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．9．A【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 10．C 解析：C 【解析】因为等差数列{}n a 中，611a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2n dS n =--， 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C.11．D 解析：D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可知，再由正弦定理即可求出AB . 【详解】由内角和定理知，所以，即，故选D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，属于中档题.12．A解析：A 【解析】分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出. 详解：,x y Q 均为正实数，且111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫+= ⎪++⎝⎭(2)(2)4x y x y ∴+=+++-116()[(2)(2)]422x y x y =++++-++226(2)46(242022y x x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号.x y ∴+的最小值为20. 故选A.点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.二、填空题13．【解析】【分析】根据题意化简得利用式相加得到进而得到即可求解结果【详解】因为所以所以将以上各式相加得又所以解得或【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用其中解答中利用数列的递推关系式得到关于数列首解析：34，- 【解析】 【分析】根据题意，化简得22111n n n a a a ++-=-，利用式相加，得到2213113112S a a a --=-，进而得到211120a a --=，即可求解结果.【详解】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n n a a a ++-=-， 所以2222222213321313121,1,,1a a a a a a a a a -=--=--=-L ，将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-，又21313S a =，所以211120a a --=，解得13a =-或14a =.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用，其中解答中利用数列的递推关系式，得到关于数列首项的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.14．【解析】【分析】由题意结合均值不等式首先求得的最小值然后结合恒成立的条件得到关于a 的不等式求解不等式即可确定实数a 的取值范围【详解】由可得故：当且仅当即时等号成立故只需又则即则的取值范围是【点睛】在 解析：[)1,+∞【解析】 【分析】由题意结合均值不等式首先求得141m n ++的最小值，然后结合恒成立的条件得到关于a 的不等式，求解不等式即可确定实数a 的取值范围. 【详解】由8m n +=可得19m n ++=，故：()1411411411419191n m m n m n m n m n +⎛⎫⎛⎫+=+++=+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭114142191n m m n ⎛⎫+⨯++⋅= ⎪ ⎪+⎝⎭≥， 当且仅当12141n mn m mn +=⎧⎪+⎨=⎪+⎩，即3m =，5n =时等号成立，故只需11a≤，又0a >，则1a ≥. 即则a 的取值范围是[)1,+∞. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．15．﹣33【解析】分析：由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求出最优解的坐标代入目标函数得答案详解：由约束条件作出可行域如图：联立解得化目标函数为直线方程的斜截式解析：[﹣3，3] 【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案. 详解：由约束条件作出可行域如图：联立13x y x y -=-+=，解得12x y ==，()1,2B ，化目标函数2z x y =-为直线方程的斜截式22x zy =-. 由图可知，当直线22x zy =-过()1,2B ，直线在y 轴上的截距最大，z 最小，最小值为1223-⨯=-；当直线22x zy =-过()3,0A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 最大，最大值为3203-⨯=.∴2z x y =-的取值范围为[﹣3，3].故答案为：[﹣3，3].点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是 (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.16．8【解析】【分析】【详解】作出不等式组表示的平面区域得到如图的△ABC 及其内部其中A （22）B （）C （32）设z=F （xy ）=3x+y 将直线l ：z=3x+y 进行平移当l 经过点A （22）时目标函数z 达解析：8 【解析】 【分析】 【详解】作出不等式组 表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A （2，2），B （53,22）,C （3，2）设z =F （x ，y ）=3x +y ，将直线l ：z =3x +y 进行平移， 当l 经过点A （2，2）时，目标函数z 达到最小值 ∴z 最小值=F （2，2）=8 故选：C17．【解析】【分析】构造数列得到数列是首项为1公差为2的等差数列得到【详解】设则数列是首项为1公差为2的等差数列故答案为【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法构造数列是解题的关键意在考查学生对于数列通项 解析：2221n n -- 【解析】 【分析】 构造数列11n nb a =-，得到数列n b 是首项为1公差为2的等差数列21n b n =-，得到2221n n a n -=-. 【详解】 设11n n b a =-，则12n n b b +-=，11111b a ==- 数列n b 是首项为1公差为2的等差数列1222121121n n n b n n a n n a -=⇒=--⇒--= 故答案为2221n n -- 【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法，构造数列11n nb a =-是解题的关键，意在考查学生对于数列通项公式的记忆，理解和应用.18．【解析】分析：设公差为d 首项利用等差中项的性质通过两次平方运算即可求得答案详解：设公差为d 首项和都是等差数列且公差相等即两边同时平方得：两边再平方得：又两数列公差相等即解得：或为正项数列故答案为：点 解析：14【解析】分析：设公差为d ，首项1a ，利用等差中项的性质，通过两次平方运算即可求得答案. 详解：设公差为d ，首项1a ，Q {}n a 和都是等差数列，且公差相等，∴=，即=，两边同时平方得：()1114233a d a a d +=+++14a d +=两边再平方得：()221111168433a a d d a a d ++=+，∴2211440a a d d -+=，12d a =，又两数列公差相等，2112a a d a =-==，12a =， 解得：114a =或10a =，Q {}n a 为正项数列，∴114a =.故答案为：14. 点睛：本题考查等差数列的性质，考查等差中项的性质，考查化归与方程思想.19．充要【解析】所以为奇函数又为单调递增函数所以即是的充要条件点睛：充分必要条件的三种判断方法1定义法：直接判断若则若则的真假并注意和图示相结合例如⇒为真则是的充分条件2等价法：利用⇒与非⇒非⇒与非⇒非解析：充要 【解析】3232()()lg(1)()lg(1)lg10f x f x x x x x x x +-=++++-+-++== ，所以()f x 为奇函数，又()f x 为单调递增函数，所以0()()()()()()0a b a b f a f b f a f b f a f b +≥⇔≥-⇔≥-⇔≥-⇔+≥ ，即“0a b +≥”是“()()0f a f b +≥”的充要条件点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．20．4950【解析】【分析】由an+Sn ＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an ＝2n 即可计算【详解】解：∵an+Sn＝2nan+1+Sn+1＝2n+1两式相减可得2an+1﹣an 解析：【解析】 【分析】由a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1，两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．即可计算． 【详解】解：∵a n +S n ＝2n ，a n +1+S n +1＝2n +1， 两式相减可得2a n +1﹣a n ＝2n ．则（2a 2﹣a 1）（2a 3﹣a 2）…（2a 100﹣a 99）＝21•22•23…299＝24950．【点睛】本题考查了数列的递推式，属于中档题．三、解答题21．(1) 23B π=;(2) 3a c +=. 【解析】试题分析：（1）正弦定理得sin sin cos 2sin 0B A A B A --=，sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以23B π=；（2）根据面积公式和余弦定理，得()27a c ac =+-，所以3a c +=. 试题解析：sin sin cos 2sin 0B A A B A --=， 因为sin 0A ≠cos 20B B --=，即sin 1,6B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又()50,,,666B B ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭， 62B ππ∴-=，所以23B π=.（Ⅱ）由已知11sin 22222ABC S ac B ac ac ∆==⋅=∴=， 由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-，即()217222a c ac ac ⎛⎫=+--⋅- ⎪⎝⎭， 即()27a c ac =+-，又0,0a c >>所以3a c +=. 22．（1）a n =2n +1；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用等比中项的性质，结合等差数列通项公式的基本量计算，求得1,a d ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）先求得n S ，然后利用裂项求和法证得不等式成立. 【详解】（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，()12111121(3)120d a a d a a d a -=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，∴数列{a n }的通项公式为a n =3+2（n ﹣1）=2n +1； （2）证明：由（1）知，()()12322n n n S n n n -⨯=+=+.∴()()()1211111111132435112n S S S n n n n +++=+++++⨯⨯⨯-++L L L12=[111111111132435112n n n n -+-+-++-+--++L ]3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等比中项的性质，考查裂项求和法，考查数列不等式的证明，属于中档题. 23．（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求in 0()s A B -=，可得()A B k k Z π-=∈，结合范围A ，(0,)B π∈，即可得证A B =．（2）由（1）可得a b =，进而根据余弦定理可求a b ==ABC ∆的周长．【详解】（1）sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-Q ，∴sin sin sin sin cos cos cos cos b B C a A Cb B a A C C-=-，sin sin cos cos sin sin cos cos b B C b B C a A C a A C ∴-=-， cos()cos()a A C b B C ∴+=+，又A B C π++=Q ，cos cos a B b A ∴-=-，sin cos sin cos A B B A ∴-=-， sin()0A B ∴-=，()A B k k Z π∴-=∈，又A Q ，(0,)B π∈，A B ∴=． （2）Q 由（1）可知A B =，可得a b =，又c =Q 3cos 4C =，∴22222323422a a a a a a +--==⋅， 226a b ∴==，可得a b ==ABC ∆∴的周长a b c ++=【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意三角函数求值时，要先写出角的范围． 24．(1)4c =；(2) 【解析】 【分析】【详解】(1) 由角,,A B C 的度数成等差数列，得2B A C =+. 又,3A B C B ππ++=∴=.由正弦定理，得34c a =,即34c a =. 由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-,即22331132442c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得4c =. (2)由正弦定理，得,.sin sin sin a c b a A c C A C B ====∴==)()sin sin sin sin sin sin 3a c A C A A B A A π⎤⎛⎫⎤∴+=+=++=++ ⎪⎥⎦⎝⎭⎦3sin sin cos 226A A A π⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭. 由203A π<<，得5666A πππ<+<. 所以当62A ππ+=，即3A π=时，()max a c +=【方法点睛】解三角形问题基本思想方法：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换、转化．逐步化为纯粹的边与边或角与角的关系，即考虑如下两条途径：①统一成角进行判断，常用正弦定理及三角恒等变换；②统一成边进行判断，常用余弦定理、面积公式等． 25．(1) 6A π=;(2) 2a =.【解析】试题分析：（1sin sin cos A C C A ⋅=⋅．消去公因式得到所以tan A =． 进而得到角A ；（2）结合三角形的面积公式，和余弦定理得到2b c +=+式得到2a =． 解析：（Isin cos C c A =，所以cos 0A ≠， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，sin sin cos A C C A ⋅=⋅． 又因为 ()0,C π∈，sin 0C ≠，所以 tan A =． 又因为 ()0,A π∈， 所以 6A π=．（II ）由11sin 24ABC S bc A bc ∆===bc =， 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得2222cos6a b c bc π=+-，即()()222212a b c bc b c =+-=+-，因为2b c +=+ 解得 24a =. 因为 0a >， 所以 2a =.26．（1）3π；（2）2【解析】 【分析】（1）可通过化简()sin2sin 0b A a A C -+=计算出cos A 的值，然后解出A 的值。
2020届广东省北大附中深圳南山分校高三上学期期中数学(文)试题(解析版)
广东省北大附中高三上学期期中数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}3,1,0,1,3A =--，{}2|30B x x x =+=，则A B =I （ ）A ．{}3,0,3-B ．{}3,0-C ．{}0,3D ．{}3,1,0,1,3--【答案】B【解析】化简集合B ，直接利用交集的定义求解即可. 【详解】因为集合{}3,1,0,1,3A =--，{}{}2|303,0B x x x =+==-，所以{}3,0A B ⋂=-.故选B. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先化简复数为代数形式，再根据共轭复数概念求解. 【详解】 因为,所以其共轭复数是，选C.【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.3．已知双曲线222:1(0)x C y a a -=>的渐近线方程为33y x =±，则该双曲线的焦距为（ ） A ．2 B ．2C ．22D ．4【答案】D【解析】利用双曲线的渐近线方程求出a ，然后求解双曲线的焦距，即可求得答案.【详解】双曲线222:1(0)x C y a a -=>的渐近线方程为33y x =±可得3,1a b ==则132c =+=∴C 的焦距为：4．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了求双曲线的焦距，解题关键是掌握双曲线的基础上知识，考查了分析能力和计算能力,属于基础题.4．某地某高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015和2018年高考情况，得到如下饼图：2018年与2015年比较，下列结论正确的是（ ） A ．一本达线人数减少 B ．二本达线人数增加了0.5倍 C ．艺体达线人数相同 D ．不上线的人数有所增加 【答案】D【解析】不妨设2015年的高考人数为100，则2018年的高考人数为150.分别根据扇形图算出2015和2018年一本、二本、艺术生上线人数以及落榜生人数，再进行比较即可. 【详解】不妨设2015年的高考人数为100，则2018年的高考人数为150.2015年一本达线人数为28,2018年一本达线人数为36，可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；2015年二本达线人数为32，2018年二本达线人数为60，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；艺体达线比例没变，但是高考人数是不相同的，所以艺体达线人数不相同，故选项C 错误；2015年不上线人数为32,2018年不上线人数为42，不上线人数有所增加，选项D 正确. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对扇形图的理解与应用，意在考查灵活应用所学知识解答实际问题的能力，属于简单题.5．如图，在等腰梯形ABCD 中，1,2DC AB BC CD DA ===，DE AC ⊥于点E ，则DE =u u u v（ ）A ．1122AB AC -u u uv u u u vB ．1122AB AC +u u uv u u u vC ．1124AB AC -u u uv u u u vD ．1124AB AC +u u uv u u u v【答案】A【解析】根据等腰三角形的性质可得E 是AC 的中点，由平面向量的加法运算法则结合向量平行的性质可得结果. 【详解】因为1,2DC AB BC CD DA ===，DE AC ⊥ 所以E 是AC 的中点，可得()11112222DE DA DC DC CA DC =+=++u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v111222DC AC AB AC u u u v u u u v u u u v u u u v=-=-，故选A .【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及向量平行的性质，属于简单题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x >时，()2f x x x =-，则函数()f x 的图像在点()()1,1f --处的切线方程是（ ） A ．20x y +-= B ．0x y += C ．10x y ++= D ．20x y ++=【答案】C【解析】根据奇偶性求出当0x <时，()f x 的解析式，根据导数的几何意义求得切线斜率，然后利用点斜式可得结果. 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，0x ->，()()2f x x x f x -=+=，()21f x x '=+，则()11f '-=-.因为()10f -=，所以函数()f x 的图象在点()()1,1f --处的切线方程是01y x （）-=-+ 化为10x y ++=. 故选C. 【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及函数奇偶性的应用，属于中档题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=•-.7．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在α的始边上有点A ，终边上有点()(),20B m m m ->，满足OA OB =，若OAB θ∠=，则2sin 22sin 1cos 2θθθ+=+（ ）A ．12B ．2C ．4D ．1【答案】D【解析】由三角函数的定义可得 tan 2α=-，由三角形内角和定理得2αθπ+=，可得()tan2tan tan 2θπαα=-=-=，利用二倍角的正切公式化简得2tan tan 1θθ+=，利用二倍角的正弦、余弦公式结合同角三角函数的关系，化简可得结果. 【详解】因为α的终边上有点()(),20B m m m ->， 所以tan 2α=-，由三角形内角和定理得2αθπ+= 所以()tan2tan tan 2θπαα=-=-=， 即22tan 21tan θθ=-.整理得2tan tan 1θθ+=， 所以2222sin22sin 2cos 2sin tan tan 11cos22cos sin θθθθθθθθθ++==+=+. 故选D. 【点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.8．古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l ）取线段AB ＝2，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ＝12AB ，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ．则点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE≤AF≤AE 的概率约为（ ）（参考数据：5≈2.236）A ．0.236B ．0.382C ．0.472D ．0.618【答案】A【解析】由勾股定理可得：AC ＝5 2.236≈，由图易得：0.764≤AF≤1.236，由几何概型可得概率约为1.2360.7642- ＝0.236．【详解】由勾股定理可得：AC ＝5 2.236≈，由图可知：BC ＝CD ＝1，AD ＝AE ＝51-≈1.236，BE≈2﹣1.236＝0.764，则：0.764≤AF≤1.236，由几何概型可得：使得BE≤AF≤AE 的概率约为＝1.2360.7642-=0.236，故选A ．【点睛】本题考查了勾股定理、几何概型求概率的问题，属于基础题． 9．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.【详解】()()f x f x -=-，∴函数是奇函数，排除D ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，排除B ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 20,1x ∈，2111,888x e e π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0,1⊂ 0,2x π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，()()0,1f x ∈，排除A ，C 符合条件，故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.10．已知如图正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上异于其中点的动点，Q 为棱1AA 的中点，设直线m 为平面BDP 与平面11B D P 的交线，以下关系中正确的是（ ）A ．1//m D QB ．1m Q B ⊥C ．//m 平面11BD Q D ．m ⊥平面11ABB A【答案】C【解析】根据正方体性质，以及线面平行、垂直的判定以及性质定理即可判断. 【详解】因为在正方体1111ABCD A B C D -中，11//D B BD ，且11D B ⊄平面BDP ，BD ⊂平面BDP ，所以11//D B 平面BDP ，因为11D B ⊂平面11B D P ，且平面11B D P I 平面BDP m =， 所以有11//m D B ，而1111D Q D B D =I ，则m 与1D Q 不平行，故选项A 不正确；若1m Q B ⊥，则111B Q D B ⊥，显然1B Q 与11D B 不垂直，矛盾，故选项B 不正确； 若m ⊥平面11ABB A ，则11D B ⊥平面11ABB A ，显然与正方体的性质矛盾，故D 不正确；而因为11D B ⊂平面11B D P ，m ⊄平面11B D P ， 所以有//m 平面11B D P ，所以选项C 正确，. 【点睛】本题考查了线线、线面平行与垂直的关系判断，属于中档题.11．已知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<，作倾斜角为34π的直线交椭圆C 于A B 、两点，线段AB 的中点为M O ，为坐标原点，若直线OM 的斜率为12，则b =（ ）A ．1BCD 【答案】B【解析】设()11,,A x y ()22,,B x y ()00,M x y ，则2211214x y b +=，2222214x y b+=，结合A B 、两点直线的倾斜角为34π，可得12121y y x x -=--，结合已知，即可求得答案. 【详解】设()11,,A x y ()22,,B x y ()00,M x y ，则2211214x y b +=，2222214x y b+=，两式相减，得()()()()12121212204x x x x y y y y b -+-++=．A B 、两点直线的倾斜角为34π ∴12121y y x x -=--，∴1212204x x y y b++-=，即00204x y b -=，∴2004y b x =——① Q 直线OM 的斜率为12∴0012y x =——② 由①②可得∴22b =得b =故选：B ． 【点睛】本题主要考查了掌握椭圆的基础知识和灵活使用“点差法”，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.12．若函数()ln f x x a x =在区间()1,+∞上存在零点，则实数a 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】D【解析】利用导数研究函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，当12a ≤时，()f x 在(1,)+∞上为增函数，且()(1)0f x f >=，即可判断其没有零点，不符合条件；当12a >时，()f x 在(1,)+∞上先减后增，有最小值且小于零，再结合幂函数和对数函数的增长速度大小关系，即可判断当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞，由零点存在性定理即可判断其必有零点，符合题意，从而确定a 的范围. 【详解】因为函数()ln f x x a x =，所以()1a f x x '==令()22g x x a =-，因为()2g x '==当(1,)x ∈+∞时，10,0>>，所以()0g x '> 所以()g x 在(1,)+∞上为增函数，则()(1)12g x g a >=-，当120a -≥时，()0g x >，所以()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上为增函数， 则()(1)0f x f >=，所以()f x 在(1,)+∞上没有零点. 当120a -<时，即12a >，因为()g x 在(1,)+∞上为增函数，则存在唯一的0(1,)x ∈+∞，使得0()0g x =，且当0(1,)x x ∈时，()0g x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >；所以当0(1,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数，当0x x =时，min 0()()f x f x =，因为0()(1)0f x f <=，当x 趋于+∞时，()f x 趋于+∞， 所以在0(,)x x ∈+∞内，()f x 一定存在一个零点. 所以1(,)2a ∈+∞， 故答案选D. 【点睛】本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，属于难题.对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况.二、填空题13．已知实数,x y 满足约束条件0,10,10,y x x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值为________.【答案】5【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件0,10,10,y x x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩表示的可行域，如图，由1010x y y +-=⎧⎪⎨⎪+=⎩可得21x y =⎧⎪⎨⎪=-⎩， 将3z x y =+变形为3y x z =-+， 平移直线3y x z =-+，由图可知当直3y x z =-+经过点()2,1C -时， 直线在y 轴上的截距最大，所以z 的最大值为()3215⨯+-=. 故答案为5. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 14．已知直线)31y x =--被圆2220x y x k +++=截得的弦长为2，则k =________.【答案】-3【解析】将圆的一般方程化为标准方程可求得圆心，利用点到直线距离公式、结合弦长为2，利用勾股定理列方程可求得k 的值. 【详解】圆2220x y x k +++=化为标准方程为()2211x y k ++=-，圆心坐标为()1,0-，)11r k k =-<，圆心到直线)1y x =-的距离d ==所以221r d -=，即221-=，解得3k =-. 故答案为-3.【点睛】本题主要考查圆的方程、点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式12l x =-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos23cos 1,5A A b +==，ABC ∆的面积S =ABC ∆的周长为__________． 【答案】9+【解析】∵cos23cos 1A A +=，∴22cos 3cos 20A A +-=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去），∴sin A=，又∵S =5b =，∴11sin 5222bc A c =⨯⨯⨯=∴4c =，由余弦定理得22212cos 2516254212a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，即a =∴ABC∆的周长为549++=+9+16．在三棱锥D ABC -中，DC ⊥底面ABC ，6AD =，AB BC ⊥且三棱锥D ABC -的每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为 _______ 【答案】36π【解析】根据题目所给的条件可得到相应的垂直关系，得到三角形ACD 和三角形ABD 均为直角三角形，有公共斜边AD ，由直角三角形的性质得到AD 中点为球心，进而得到球的半径和面积. 【详解】因为三棱锥D ABC -中，DC ⊥底面ABC ，所以DC AB ⊥，又因为AB BC ⊥，DC 和CB 相交于点C ，故得到AB ⊥面BCD ，故得到AB 垂直于BD ，又因为DC 垂直于面ABC ，故DC 垂直于AC ，故三角形ACD 和三角形ABD 均为直角三角形，有公共斜边AD ，取AD 中点为O 点，根据直角三角形斜边的中点为外心得到O 到ABCD 四个点的距离相等，故点O 是球心，求得半径为3，由球的面积公式得到S=24π36πR =. 故答案为36π. 【点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.三、解答题17．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==，338a b ==．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】（1）31n a n =-，2n n b =；（2）1326n n S n +=⨯--【解析】试题分析：（1）3a 用1a 和公差d 表示，把3b 用1b 和公比q 表示，求得公差，公比，可写出通项公式；（2）求出{}n c 的通项n c 321n =⨯-，其前n 项和，可用分组求和法，分为一个等比数列的和与一个常数数列的和．试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，且0q >． 由12a =，38a =，得822d =+，解得3d =．所以2(1)331n a n n =+-⨯=-，*n N ∈．由12b =，38b =，得282q =，又0q >，解得2q =．所以1222n n n b -=⨯=，*n N ∈．（2）因为321n nn b c a ==⨯-，所以12(12)332612n n n S n n +-=⨯-=⨯---． 【考点】等差数列与等比数列的通项公式，分组求和，等比数列的前n 项和公式． 18．每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以餐饮业为例，当外面太冷时，不少人都会选择叫外卖上门，外卖商家的订单就会增加，下表是某餐饮店从外卖数据中抽取的5天的日平均气温与外卖订单数.（Ⅰ）经过数据分析，一天内平均气温0()x C 与该店外卖订单数y （份）成线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程，并预测气温为012C -时该店的外卖订单数（结果四舍五入保留整数）；（Ⅱ）天气预报预测未来一周内（七天），有3天日平均气温不高于010C -，若把这7天的预测数据当成真实数据，则从这7天任意选取2天，求恰有1天外卖订单数不低于160份的概率.附注：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆˆˆ,niii nii x x y y ba y bxx x ==--==--∑∑. 【答案】(Ⅰ) 可预测当平均气温为012C -时，该店的外卖订单数为193份；(Ⅱ) 47P =. 【解析】分析：(Ⅰ) 由题意可知x 6=-，y 110=，据此计算可得1.75ˆ3b=-，ˆ27.5a=， 则y 关于x 的回归方程为13.7275ˆ5.y x =-+，可预测当平均气温为012C -时，该店的外卖订单数为193份.（Ⅱ）外卖订单数不低于160份的概率就是日平均气温不高于010C -的概率，据此可得这7天中任取2天结果有21种，恰有1天平均气温不高于010C -的结果有12种，由古典概型计算公式可得所求概率124217P ==. 详解：(Ⅰ) 由题意可知x 24681065-----==-，y 50851151401601105++++==，()()()522222214202440ii x x =-=+++-+-=∑，()()()()()()146022505230450550niii x x y y =--=⨯-+⨯-+⨯+-⨯+-⨯=-∑，所以()()()1240155013.750ˆ4niii nii x x y y bx x ==---===--∑∑，()11013.75627.5ˆˆay bx =-=+⨯-=， 所以y 关于x 的回归方程为13.7275ˆ5.yx =-+， 当12x =-时，()13.7527.513.751227.5192.5ˆ193yx =-+=-⨯-+=≈. 所以可预测当平均气温为012C -时，该店的外卖订单数为193份.（Ⅱ）外卖订单数不低于160份的概率就是日平均气温不高于010C -的概率， 由题意，设日平均气温不高于010C -的3天分别记作,,A B C ，另外4天记作,,,a b c d ， 从这7天中任取2天结果有：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A a A b A c A d B C B a B b B c(),B d ，()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,C a C b C c C d a b a c a d b c b d c d 共21种，恰有1天平均气温不高于010C -的结果有：()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c A d B a B b B c B d C a C b C c C d 共12种， 所以所求概率124217P ==. 点睛：一是回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．二是根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥．（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若PB PC =，E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=︒，2BC =，求四面体A PED -的体积．【答案】（1）见解析；（2）23【解析】分析：(1)由面面垂直的性质定理得到CD ⊥平面PBC ，即CD PB ⊥，进而得到平面PAB ⊥平面PCD ,(2)由等体积法求解，A PED P AED V V --=． 详解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC . ∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD =BC ，CD 平面ABCD ，∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PB . ∵PB ⊥PD ，CD ∩PD =D ，CD 、PD 平面PCD ，∴PB ⊥平面PCD .∵PB平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面PCD .（2）取BC 的中点O ，连接OP 、OE . ∵PB ⊥平面PCD ，∴PB PC ⊥，∴112OP BC ==， ∵PB PC =，∴PO BC ⊥．∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD =BC ，PO 平面PBC ，∴PO ⊥平面ABCD ，∵AE平面ABCD ,∴PO ⊥AE .∵∠PEA =90O , ∴PE ⊥AE .∵PO ∩PE=P ，∴AE ⊥平面POE ，∴AE ⊥OE . ∵∠C=∠D =90O , ∴∠OEC =∠EAD , ∴Rt OCE Rt EDA ∆~∆，∴OC CEED AD=． ∵1OC =，2AD =，CE ED =，∴2CE ED ==111332A PED P AED AED V V S OP AD ED OP --==⋅=⨯⋅⋅ 112221323=⨯⨯=．点睛：本题主要考查面面垂直，线面垂直，考查三棱锥体积的求法，考察学生分析解决问题的能力，考查学生的空间想象能力．20．已知椭圆2222E :1(0)x y a b a b+=>>经过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，椭圆E 的一个焦点为)3，.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l 过点(M 2且与椭圆E 交于,A B 两点.求AB 的最大值.【答案】(1) 2214x y +=;(2)566. 【解析】试题分析：(1)由椭圆定义可知2a = ，又3,c =从而得到椭圆方程；(2) 当直线l 的斜率存在时，设()()1122:2,,,,l y kx A x y B x y =.由22214y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()22148240k xkx +++=.由根与系数关系可得：222112611414AB k k⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭. 试题解析：(1)依题意，设椭圆E 的左，右焦点分别为()()123,0,3,0F F -.则21242,2,3,1,PF PF a a c b +==∴==∴椭圆E 的方程为2214x y +=. (2)当直线l 的斜率存在时，设()()1122:2,,,,l y kx A x y B x y =.由22214y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()22148240k x kx +++=.由0V >得241k >. 由121222824,1414k x x x x k k+=-=++得 ()22212122211142611414AB kx x x x k k⎛⎫=++-=-++ ⎪++⎝⎭. 设21t 14k =+,则221125560,2612621224t AB t t t ⎛⎫<<∴=-++=--+≤ ⎪⎝⎭. 当直线l 的斜率不存在时，562AB =<， ∴AB 的最大值56点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围. 21．已知函数f （x ）=e x -alnx-e （a ∈R ），其中e 为自然对数的底数． （1）若f （x ）在x=1处取到极小值，求a 的值及函数f （x ）的单调区间； （2）若当x ∈[1，+∞）时，f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.【解析】【试题分析】（1）令可求得的值.利用二阶导数求得函数点的单调区间.（2）对求导，并对分成，三类讨论函数的最小值，由此求得的取值范围. 【试题解析】 （Ⅰ）由，得因为，所以，所以令，则，当时，，故在单调递增，且所以当，.即当时，，当时，.所以函数在上递减，在上递增. （Ⅱ）【法一】由，得 （1）当时，，在上递增（合题意）（2）当时，，当时， ①当时，因为，所以，.在上递增，（合题意） ②当时，存在时，满足 在上递减，上递增，故. 不满足时，恒成立综上所述，的取值范围是. 【法二】由，发现由在恒成立，知其成立的必要条件是而， ，即①当时，恒成立，此时在上单调递增，（合题意）.②当时，在时，有，知，而在时，，知，所以在上单调递增，即（合题意）综上所述，的取值范围是.22．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建极坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin 3) 3.ρθθ= （Ⅰ）求C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线11:()63OM ππθθθ=≤≤与圆C 的交点为,O P 与直线l 的交点为Q ，求2226100,x y x y x y ++-+=+=则的范围．【答案】（Ⅰ）4cos .ρθ=（Ⅱ）[2,3]【解析】（1）圆C 的参数方程消去参数能求出圆C 的普通方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出C 的极坐标方程；（2）设P （ρ1，θ1），则有ρ1=4cosθ1，设Q （ρ2，θ1），且直线l 的方程是()sin 3cos 3ρθθ+=，由此能求出|OP|•|OQ|的范围． 【详解】（1）∵圆C 的参数方程为22(2x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数），∴圆C 的普通方程是（x ﹣2）2+y 2=4， 又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ； （2）设P （ρ1，θ1），则有ρ1=4cosθ1，设Q （ρ2，θ1），且直线l 的方程是()sin 3cos 3ρθθ+=， ∴，∴2≤|OP||OQ|≤3．∴|OP|•|OQ|的范围是[2，3]． 【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段的积的取值范围的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23．选修4—5：不等式选讲 已知函数()|3||2|f x x x =-++．（Ⅰ）若不等式()|1|f x m +≥恒成立，求实数m 的最大值M ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+≥++． 【答案】（1）M =4（2）见解析【解析】【试题分析】(I)利用绝对值三角不等式求得()f x 的最小值,再由单个绝对值的解法求得m 的取值范围,进而求得M 的值.(II) 24a b c ++=，得()()4a b b c +++=,第 21 页 共 21 页 对原不等式左边,乘以()()14a b b c ⎡⎤+++⎣⎦,转化为基本不等式来证明最小值为1. 【试题解析】 （Ⅰ）若()1f x m ≥+恒成立，即()min 1f x m ≥+ 由绝对值的三角不等式32325x x x x -++≥---=，得()min 5f x = 即15m +≤，解得64m -≤≤，所以M =4（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知24a b c ++=，得()()4a b b c +++= 所以有()()111114a b b c a b b c a b b c ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ ()11222144b c a b a b b c ++⎛⎫=++≥+= ⎪++⎝⎭ 即111a b b c+≥++。
2020-2021深圳北师大南山附属学校中学部高二数学上期中试题带答案
2020-2021深圳北师大南山附属学校中学部高二数学上期中试题带答案一、选择题1．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4πC ．14π- D ．与a 的值有关联 2．设,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ） A ．1936B ．1136C ．712D ．123．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（ ）A ．12 B ．13C ．14 D ．154．已知变量,x y 之间满足线性相关关系ˆ 1.31yx =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示： x 1 2 3 4 y0.1m3.14则实数m =（ ） A ．0.8B ．0.6C ．1.6D ．1.85．某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是 A ．14，9.5B ．9，9C ．9，10D ．14，96．为计算11111123499100S =-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+7．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A ．110B ．35C ．310D ．258．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. （a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A ．()()1212,p p E E ξξ><B ．()()1212,p p E E ξξC ．()()1212,p p E E ξξ>>D ．()()1212,p pE E ξξ<<9．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( )A ．15 B ．24125 C ．48125D ．9612510．某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥11．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A ．23B ．13C ．1 2D ．5612．同时掷三枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（ ） A ．78B ．58C ．38D ．18二、填空题13．下列说法正确的个数有_________（1）已知变量x 和y 满足关系23y x =-+，则x 与y 正相关；（2）线性回归直线必过点(),x y ；（3）对于分类变量A 与B 的随机变量2k ，2k 越大说明“A 与B 有关系”的可信度越大 （4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好.14．若x 是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，y 也是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，则221x y +<的概率为__________．15．甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________.16．一盒中有6个乒乓球，其中4个新的，2个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒子中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则(4)P X =的值为___________. 17．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x ＝________.18．某商家观察发现某种商品的销售量x 与气温y 呈线性相关关系，其中组样本数据如下表：已知该回归直线方程为ˆˆ1.02yx a =+，则实数ˆa =__________． 19．某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温（如表），并求得线性回归方程ˆ360yx =-为: x c9 14 -1y 184830d不小心丢失表中数据c ，d ，那么由现有数据知3c d -____________．20．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人只选择一个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.三、解答题21．画出解关于x 的不等式0ax b +<的程序框图，并用语句描述.22．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4 组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求a 的值(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率； （3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X ，求X 的分布列与期望.23．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个． （1）求三种粽子各取到1个的概率．（2）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望．24．有编号为1210,,,A A A L 的10个零件，测量其直径（单位：cm ），得到下面数据： 编号1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A直径 1.51 1.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直径在区间[]1.48,1.52内的零件为一等品.（1）上述10个零件中，随机抽取1个，求这个零件为一等品的概率. （2）从一等品零件中，随机抽取2个； ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果； ②求这2个零件直径相等的概率.25．2017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会简称党的“十九大”在北京召开一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在内，按成绩分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习．求这100人的平均得分同一组数据用该区间的中点值作代表； 求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率．26．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车，调查其续驶里程（单次充电后能行驶的最大里程），被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[)[)[)[)[)50,100,100,150,150,200,200,250,250,300，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中x 的值及续驶里程在[)200,300的车辆数；（2）若从续驶里程在[)200,300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为222()214a a a ππ-=-．考点：几何概型，圆的面积公式．2．A解析：A 【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件数是6×6=36种结果， 方程x 2+mx +n =0有实根要满足m 2−4n ⩾0， 当m =2，n =1 m =3，n =1，2 m =4，n =1，2，3，4 m =5，n =1，2，3，4，5，6， m =6，n =1，2，3，4，5，6 综上可知共有1+2+4+6+6=19种结果 ∴方程x 2+mx +n =0有实根的概率是1936； 本题选择A 选项.3．C解析：C 【解析】 【分析】甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人共有4种情况，甲、乙将贺年卡都送给丁有1种情况，利用古典概型求解即可． 【详解】（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种， 所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，概率是：14， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了古典概型的定义及计算，排列，计数原理，属于中档题．4．D解析：D 【解析】分析：由题意结合线性回归方程的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：12345 2.542x +++===，0.1 3.14 1.844m my +++==+， 线性回归方程过样本中心点，则：1.8 1.3 2.514m+=⨯-， 解得：8.1=m .本题选择D 选项.点睛：本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．A解析：A 【解析】2班共有8个数据，中间两个是9和10，因此中位数为9.5，只有A 符合，故选A ．（1班10个数据最大为22，最小为8，极差为14）．6．B解析：B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102.255= 故答案为D ．8．A解析：A 【解析】()11222m n m np m n m n m n +=+⨯=+++，()()()()()()()()2112111313m m n n mn p m n m n m n m n m n m n --=+⨯+⨯++-++-++-()()2233231m m mn n n m n m n -++-=++-，()()()()()()()()2222123212332233223161m n m n m m mn n nm n m m mn n n p p m n m n m n m n m n ++---++-+-++--=-=+++-++-()()()51061mn n n m n m n +-=>++-，故12p p >，()()()112201222nm n m n E m n m n m n ξ++⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪+++⎝⎭，()()()()()()()()22212133201131331n n mn m m mn n n E m n m n m n m n m n m n ξ⎛⎫⎛⎫--++-=⨯⨯+⨯+⨯ ⎪⎪ ⎪ ⎪++-++-++-⎝⎭⎝⎭()()2233231m m mn n n m n m n -++-=++-，由上面比较可知()()12E E ξξ>，故选A考点：独立事件的概率,数学期望.9．C解析：C 【解析】五所学生自由录取五名学生,共有55种不同的录取情况其中满足条件：仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的情况的录取情况有：213554C C A 种，则：则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率：2135545485125C C A p == 本题选择C 选项.10．A解析：A 【解析】试题分析：根据程序框图可知，该程序执行的是2362222++++L ，所以判断框中应该填i>6?.考点：本小题主要考查程序框图的识别和应用，考查学生读图、识图的能力.点评：要分清是当型循环还是直到型循环，要特别注意退出循环的条件的应用，避免多执行或少执行一步.11．A解析：A 【解析】 【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和．【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，∴P(A)2163==，P(B)2163==，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P（A∪B）＝P(A)+P(B)112 333 =+=，故选：A．【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．12．A解析：A【解析】【分析】先根据古典概型概率公式求没有正面向上的概率，再根据对立事件概率关系求结果.【详解】因为没有正面向上的概率为112228=⨯⨯，所以至少有1枚正面向上的概率是1-1788=，选A.【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.二、填空题13．3个【解析】【分析】直接利用线性回归直线的相关理论知识的应用求出结果【详解】（1）已知变量x和y满足关系y=-2x+3则x与y正相关；应该是：x与y负相关故错误（2）线性回归直线必过点线性回归直线解析：3个 【解析】 【分析】直接利用线性回归直线的相关理论知识的应用求出结果． 【详解】（1）已知变量x 和y 满足关系y=-2x+3，则x 与y 正相关；应该是：x 与y 负相关．故错误. （2）线性回归直线必过点(),x y ，线性回归直线必过中心点．故正确．（3）对于分类变量A 与B 的随机变量2k ，2k 越大说明“A 与B 有关系”的可信度越大． 根据课本上有原句，故正确．（4）在刻画回归模型的拟合效果时，残差平方和越小，相关指数R 2的值越大，说明拟合的效果越好．故正确，根据课本上有原句． 故填3个． 【点睛】本题主要考查了线性回归直线的应用，学生对知识的记忆能力，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于中档题.14．【解析】分析：不等式组表示的是正方形区域面积为满足的平面区域为阴影部分的面积利用几何概型概率公式可得结果详解：根据题意画出图形如图所示则不等式组表示的是正方形区域面积为其中满足的平面区域为阴影部分的 解析：36p 【解析】分析：不等式组0303x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的是正方形区域，面积为339⨯=，满足221x y +<的平面区域为阴影部分的面积21144ππ⋅=，利用几何概型概率公式可得结果.详解：根据题意，画出图形，如图所示，则不等式组0303x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的是正方形区域，面积为339⨯=，其中满足221x y +<的平面区域为阴影部分的面积21144ππ⋅=，故所求的概率为4936P ππ==，故答案为36p . 点睛：对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．15．【解析】【分析】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率【详解】所有的游览情况共有 种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 种解析：16 【解析】 【分析】所有的游览情况共有4466A A ⋅ 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 33556A A ⋅⋅ 种，由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率．【详解】所有的游览情况共有4466A A ⋅ 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 33556A A ⋅⋅ 种，故则最后一小时他们同在一个景点的概率为 33554466616A A A A ⋅⋅=⋅， 故答案为 16． 【点睛】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．16．【解析】【分析】要使盒子中恰好有4个是用过的球要求开始取的3个球1个是用过的2个没有用过的结合组合知识根据古典概型公式可得到结果【详解】从盒子中任取的3个球使用用完全后装回盒子中要使盒子中恰好有4个解析：35【解析】 【分析】要使盒子中恰好有4个是用过的球，要求开始取的3个球1个是用过的，2个没有用过的，结合组合知识根据古典概型公式可得到结果. 【详解】从盒子中任取的3个球使用，用完全后装回盒子中， 要使盒子中恰好有4个是用过的球，则要求开始取的3个球1个是用过的，2个没有用过的，共有214212C C =种方法，从装有6个乒乓球的盒子任取3个球使用有3620C =种方法，∴盒子中恰好有4个是用过的球的概率为123205P ==，故答案为35.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，所以中档题.要应用古典概型概率公式，分清在一个概型中某随机事件包含的基本事件个数和试验中基本事件的总数是解题的关键.17．12【解析】试题分析：第一圈是x=2;第二圈否x=4否x=5；第三圈是x=6否x=8否x=9；第四圈是x=10否x=12是输出x=12故答案为12考点：程序框图功能识别点评：简单题程序框图功能识别一解析：12 【解析】试题分析：第一圈，是，x=2; 第二圈，否，x=4,否，x=5，； 第三圈，是，x=6,否，x=8，否，x=9；第四圈，是，x=10，否，x=12,是，输出x=12．故答案为12 ． 考点：程序框图功能识别点评：简单题，程序框图功能识别，一般按程序逐次运行即可．18．【解析】分析：根据表格中数据及平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标结合样本中心点的性质可得进而可得关于的回归方程详解：由表格数据可得样本中心点坐标为代入可得故答案为点睛：本题主要考查线性回 解析： 2.4-【解析】分析：根据表格中数据及平均数公式可求出x 与y 的值，从而可得样本中心点的坐标，结合样本中心点的性质可得 2.4a ∧=，进而可得y 关于x 的回归方程.详解：由表格数据可得，1015202530205x ++++==，813172428185y ++++==，∴样本中心点坐标为()20,18，代入 1.0ˆ2ˆya =+，可得ˆ 2.4a =-，故答案为 2.4-. 点睛：本题主要考查线性回归方程，属于简单题. 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19．【解析】分析：由题意首先确定样本中心点然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：整理可得：故答案为：270点睛：(1)正确理解计算的公式和准确解析：【解析】分析：由题意首先确定样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：91412244c c x ++-+==，1848309644d dy ++++==， 回归方程过样本中心点，则：962236044d c ++=⨯-， 即：()96322240d c +=+-， 整理可得：3270c d -=. 故答案为：270．点睛：(1)正确理解计算$,ba $的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点中心(),x y ．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．20．【解析】【分析】【详解】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种有且仅有两人选择的项目完全相同有种其中表示3个同学中选2个同学选择的项目表示从三种组合中解析：23【解析】 【分析】 【详解】每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3×3×3=27种，有且仅有两人选择的项目完全相同有21133218C C C ⨯⨯=种,其中23C 表示3个同学中选2个同学选择的项目，13C 表示从三种组合中选一个，12C 表示剩下的一个同学有2中选择,故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是182273=. 考点：古典概型及其概率计算公式．三、解答题21．见解析 【解析】 【分析】 【详解】 解：流程图如下：程序如下： INPUT a ，b IF a ＝0 THEN IF b ＜0 THEN PRINT “任意实数” ELSEPRINT “无解” ELSE IF a ＞0 THEN PRINT “x ＜“；﹣b /a ELSEPRINT “x ＞“；﹣b /a ENDIF ENDIF ENDIF END点睛：解决算法问题的关键是读懂程序框图，明晰顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义，本题巧妙而自然地将算法、不等式、交汇在一起，用条件结构来进行考查.这类问题可能出现的错误：①读不懂程序框图；②条件出错；③计算出错. 22．(1) 0.035a = (2) 2150（3）()12.5E X =【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图求出a 的值；（2）设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ，由条件概率公式得到所求概率；（3）X 的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率值，从而得到X 的分布列与期望. 试题解析：（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =，（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ，则()()()1227312122121021031221|.50C C P AB C P B A C C C C P A C ===+ （3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的 概率为4,5P =X 的可能取值为0，1，2，3. ()30341015125P X C ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭，()121344121155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()212344482155125P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()33346435125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 所以X 的分布列为4~3,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭Q ，()4123.55E X np ==⨯=23．(1) 1()4P A =;(2)见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据古典概型的概率公式进行计算即可；（Ⅱ）随机变量X 的取值为：0，1，2，别求出对应的概率，即可求出分布列和期望试题解析：（1）令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，由古典概型的概率计算公式有P （A ）＝111235310C C C C ＝14. （2）X 的可能取值为0,1,2，且P （X ＝0）＝38310C C ＝715，P （X ＝1）＝1228310C C C ＝715， P （X ＝2）＝2128310C C C ＝115综上知，X 的分布列为： X12P715715115故E （X ）＝0×15＋1×15＋2×15＝5（个） 考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式 24．（1）35（2）①见解析②25【解析】 【分析】（1）先确定10个零件中一等品的个数，再根据古典概型概率公式求结果；（2）①根据枚举法逐个列举；②确定2个零件直径相等的事件数，再根据古典概型概率公式求结果. 【详解】（1）10个零件中一等品有123456,,,,,A A A A A A 共6个，所以所求概率为63=105； （2）①345634563435364541211112652226,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A 共15个结果；②其中2个零件直径相等的有463535124162,,,,,A A A A A A A A A A A A 共6个结果； 所以所求概率为62=155【点睛】本题考查求古典概型概率，考查基本分析求能力，属基础题. 25．（1）87.25；（2）3，2，；（3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质能求出这100人的平均得分（2）第3组的人数为30，第4组的人数为20，第5组的人数为10，用分层抽样能求出在这三个组选取的人数（3）记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，从这6人随机选取2人，利用列举法能写出甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率. 【详解】这100人的平均得分为：.第3组的人数为，第4组的人数为，第5组的人数为，故共有60人， 用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2， 记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，则所有选取的结果为甲、乙、甲、丙、甲、丁、甲、戊、甲、己、 乙、丙、乙、丁、乙、戊、乙、己 、丙、丁、丙、戊、丙、己、 丁、戊、丁、己 、戊、己共15种情况， 其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况， 故甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率为【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，分层抽样，古典概率，属于中档题. 26．（1）0.003，5；（2）35. 【解析】 【分析】（1）利用所有小矩形的面积之和为1，求得x 的值，求得续驶里程在[)200,300的车辆的概率，再利用频数=频率⨯样本容量求车辆数；（2）由（1）知续驶里程在[)200,300的车辆数为5辆，其中落在[)200,250内的车辆数为3辆，利用列举法求出从这5辆汽车中随机抽取2辆，所有可能的情况，以及恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的情况，利用古典概型概率公式可得结果. 【详解】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1可得：()0.0020.0050.0080.002501x ++++⨯=，解得：0.003x =，∴续驶里程在[)200,300的车辆数为：()200.0030.002505⨯+⨯=（辆）. （2）设“恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内”为事件M由（1）知续驶里程在[)200,300的车辆数为5辆，其中落在[)200,250内的车辆数为3辆，分别记为A 、B 、C ，落在[)250,300内的车辆数2辆，分别记为a 、b ,从这5辆汽车中随机抽取2辆，所有可能的情况如下：(),A B ，(),A C ，(),A a ，(),A b ，(),B C ，(),A B ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),a b 共10种且每种情况都等可能被抽到，事件M 包含的情况有：(),A a ，(),A b ，(),A B ，(),B b ，(),C a ，(),C b 共6种，所以由古典概型概率公式有：()63105P M ==，即恰有一辆车的续驶里程在[)200,250内的概率为35. 【点睛】本题主要考查直方图的应用，以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B ….1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.。
广东省深圳市北大附中南山分校高中部高二数学第一次月考试题 理(1)
广东省深圳市北大附中南山分校高中部2021-2021学年高二数学第一次月考试题 理一．选择题（本大题共8个小题；每题5分，共40分） 1. 已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，那么1a =（ ）A. 21B. 22C. 2D.22. 已知}{n a 为等差数列，105531=++a a a ，99642=++a a a 则20a 等于( )A. -1B. 1C. 3D.73. 设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，假设63S S =3 ，那么69S S =（ ）A. 2B.73C. 83D.34．已知△ABC 中，125tan -=A ，那么cos A =（ ）A. 1213B. 513C.513-D. 1213-5．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .假设4a 是37a a 与的等比中项，832S =,那么10S 等于（ ）A.18B.24C.60D. 90 .6．已知等比数列{}n a 知足0,1,2,n a n >=，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，那么当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）A. (21)n n -B.2(1)n +C.2nD.2(1)n -7．在ABC ∆中，依照以下条件解三角形，其中有两个解的是（ ） A.10,45,70b A C === B. 60,48,60a c B === C.7,5,80a b A === D. 14,16,45a b A ===8．假设a 0 ，b 0 ，那么不等式－b 1x a 等价于（ ）A.1b－ x 0或0 x 1aB.－1ax1b C.x -1a 或x 1b D.x1b －或x1a二.填空题（本大题共6个小题；每题5分，共30分） 9．不等式2560x x -+≤的解集为 .10.已知等差数列}{n a ，}{n b 的前n 项和别离为n S ，n T ，且72113+-=n n T S nn ，那么66b a = .11.已知数列}{n a 知足11=a ，n nn a a a 211+=+)(+∈N n ,那么n a = .12．已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，那么使得n S 达到最大值的n 是 .13．已知数列{}n a 知足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2014a =_________.14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么4S ，84S S -，128S S -，1612S S -成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，那么4T ， ， ，1612T T 成等比数列.三.解答题（本大题共6个小题；共80分）15．（12分）在ABC ∆中，内角A.B.C 的对边长别离为a .b .c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C =求b.16.（14分）已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .17．（12分）数列{n a } 中1a ＝13，前n 项和n S 知足1n S +-n S ＝113n +⎛⎫ ⎪⎝⎭（n ∈*N ）．( I ) 求数列{n a }的通项公式n a 和前n 项和n S ；K^S*5U.C#O（II ）假设S1 ， t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列，求实数t 的值.18．（14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边别离为,,a b c，且知足cos2A =， 3AC AB =•.（I ）求ABC ∆的面积； （II ）假设6b c +=，求a 的值.19．（14分）已知数列{}n a 的前n 项和2211+⎪⎭⎫⎝⎛--=-n n n a S （n 为正整数）.（Ⅰ）令2nn n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （II ）令1n n n c a n +=，12........nn T c c c=+++.求n T . 20.（14分）在数列{}n a 中，11111,(1)2n n nn a a a n ++==++ （I ）设nn a b n =，求数列{}n b 的通项公式；（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S .北大附中深圳南山分校高中部2021--2021学年度上学期第一次月考考试高二数学（理）答卷时刻：120分钟总分值：150分一.选择题：（每题5分，共40分）12345678填空题：（每题5分，共30分）9．；10. ；11．；12. ；13．；14. ，；三.解答题（本大题共6个小题；共80分）15．（12分）16.（14分）17．（12分）18．（14分）19．（14分）20.（14分）北大附中深圳南山分校高中部高二年级2021-2021学年度第一学期第一次月考数学（理）答案 选择题BBBDC CDD1. 解：2693a a a =⋅22252622526==∴=∴a a q a a ，q>0,2=∴q 2221==∴q a a 2. 解：10535313=++=a a a a ，9936424=++=a a a a233,353443-=-=∴==∴a a d a a ，1343517320=-=+=∴d a a3. 解：3336543216)()(S q S a a a a a a S +=+++++=，363339S q S q S S ++=由2313363=∴==+q S S q 373421113633333633369=++=+++=+++=∴q q q S q S S q S q S S S 4．解：已知△ABC 中，125tan -=A A ∴是钝角，1312cos -=∴A5．解：假设4a 是37a a 与的等比中项，832S =,因此)6()2()3(1121d a d a d a +⋅+=+，3227881=⋅+d a ，解得：2,31=-=d a解：12252321225252log ......log log log 2--++++∴=⋅=n nn n a a a a a a a D8．D 解：法一，分为两类 －b 1x 0或0 1xa法二，利用函数x y 1=图像二.填空题（本大题共6个小题；每题5分，共30分） 9．[2,3]10.解：2922)(211)(2112211111111111111116666==++=++==T S b b a a b b a a b a b a11.解：2112111+=∴+=++n n n n n a a a a a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴n a 1是首项111=a ，公差2=d 的等差数列12.解：10535313=++=a a a a ，9936424=++=a a a a 233,353443-=-=∴==∴a a d a a ，nd n a a n 241)3(3-=-+=∴ 解不等式5.20,0<>∴n a n ，因此前20项和最大13.解：1252410072014===-⋅a a a14．4T ，81248,T T T T ，1612T T 成等比数列. 三.解答题（本大题共6个小题；共80分）15．解：由正、余弦定理，sin cos 3cos sin ,A C A C =得2222223,22a b c c b a a c ab bc +-+-⋅=⋅化简得：2222()44b a c b b =-=∴= 16略解：利用大体量法，得 当2,81-==d a 时29n n S n -=当2,81=-=d a 时，n n S n 92-=17．解：=+1n a 1n S +-n S ＝113n +⎛⎫ ⎪⎝⎭ （n ∈*N ），因此),2(31≥⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a nn 而,311=a 因此,1=n 也适合，因此),(31*N n a n n ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=)311(21311)311(31n n n S -=--=2713)2711(21,94)911(21,31321=-==-==S S S由题知：S1 ，t( S1+S2 ), 3(S2+S3 ) 成等差数列，即925,97,31t 成等差数列 因此292892531914=∴=+=t t18．解：在ABC ∆中25cos25A =，5312cos 2cos 2=-=∴A A ,54sin =∴A 已知3AC AB =•，53533cos =∴=⋅∴=∴bc bc A cb 254521sin 21=⋅⋅==∴∆A bc S 由余弦定理，得A bc bc c b A bc c b a cos 22)(cos 22222--+=-+=2053101036=⋅--=19．解：当n=1时，咱们有11S a =，因此2121111=∴+--=a a a ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎪⎭⎫⎝⎛--=-++221221111n n n nn n a S a S 两式作差，得n n n n a a a 2111++-=++，即：n n n a a 2121+=+ 两边同乘n2，得12211+=++n n n n a a ，因此11+=+n n b b ，11=-+n n b b因此{}n b 等差数列，其中首项12121=⋅=b ，公差1=d .n n b n =⋅-+=∴1)1(1n n n n n n n c 2121+=⋅+=∴-(1)（错位相减）得:20.（14分）在数列{}n a 中，11111,(1)2n n nn a a a n ++==++ （I ）设nn a b n =，求数列{}n b 的通项公式；（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S .解：已知n n n n a n n a 2111+++=+n n n n a n a 2111+=+∴+n n n b b 211+=∴+n n n b b 211=-∴+由122--==∴=n n n n n n n nb a n a b令)1(2......642+=++++=n n n A()()21-(错位相减），得：nn nB 221 (212121212)113210-+++++=-。
2021届广东省北大附中深圳南山分校高三下学期3月一模数学试题(解析版)
2021届广东省北大附中深圳南山分校高三下学期3月一模数学试题一、单选题 1．已知()RA B =∅，则下面选项中一定成立的是（ ）A ．AB A = B ．AB B =C ．A B B ⋃=D ．A B R =【答案】B【分析】通过取特殊集合，依次分析各选项即可. 【详解】对于A 选项，由A B A =得A B ⊂，不妨设{}{}1,0A x x B x x =>=>，则(){}01RA B x x ⋂=<≤≠∅，故不满足，故A 选项错误；对于B 选项，由AB B =得B A ⊂，显然()R A B =∅，满足，故B 选项正确；对于C 选项，由A B B ⋃=得A B ⊂，由A 选项知其不满足，故C 选项错误； 对于D 选项，由AB R =，不妨设{}{}1,0A x x B x x =≤=>，显然(){}1RA B x x ⋂=>≠∅，故不满足，故D 选项错误.故选：B.2．中国数学奥林匹克由中国数学会主办，是全国中学生级别最高、规模最大、最具影响力的数学竞赛.某重点高中为参加中国数学奥林匹克做准备，对该校数学集训队进行一次选拔赛，所得分数的茎叶图如图所示，则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为（ ）A ．85，75B ．85，76C ．74，76D ．75，77【答案】B【分析】根据成绩出现次数最多的为众数，根据从小到大第七个和第八个数据的平均数为中位数求解即可.【详解】解：由茎叶图知，出现的数据最多的是85，故众数为85； 由于数据总数为14个，故中位数为第七个和第八个数据的平均数，即：7577762+= 故选：B.3．已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（ ）A ．64πB ．48πC ．32πD ．16π【答案】C【分析】由题意可得，圆锥的侧面展开图是扇形，半径为母线8，弧长为圆锥底面周长，进而可得结果.【详解】由题意可得，圆锥底面直径为，8半径为4，母线长为8，圆锥的侧面展开图是扇形，半径为母线8，弧长为圆锥底面周长248ππ=⨯=l 扇形面积为：1=88322ππ=S 故选：C4．将函数f (x )=sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω>0)，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )的最小正周期为6π，则（ ） A ．ω=13B ．ω=6C ．ω=16D ．ω=3【答案】A【分析】由伸缩变换求出()g x 的解析式，再由周期公式得出答案. 【详解】由题意可知()sin g x x ω=，由26ππω=，解得13ω=故选：A5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“S n +1>S n ”是“{a n }单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】由110++>⇒>n n n S S a ，举反例102=>n n a 和12n na =-即可得出结果 【详解】110++>⇒>n n n S S a ，例如102=>n n a ，但是数列{}n a 不单调递增，故不充分；数列{}n a 单调递增，例如12n na =-，但是1n n S S +<，故不必要； 故选：D6．已知抛物线C ：x 2=-2py (p >0)的焦点为F ，点M 是C 上的一点，M 到直线y =2p 的距离是M 到C 的准线距离的2倍，且｜MF |=6，则p =（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】A【分析】利用已知条件结合抛物线的定义求解即可．【详解】设()00,M x y ，则0026262p y p y -=⨯⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得4p =故选：A7．已知a =3.20.1，b =log 25，c =log 32，则（ ） A ．b >a >c B ．c >b >aC ．b >c >aD ．a >b >c【答案】A【分析】由指数函数和对数函数得单调性即可得出结果. 【详解】00.10.51=3.2 3.2 3.2212<<<⇒<<a22log 5log 422>=⇒>b3330=log 1<log 2log 3101<=⇒<<c所以b a c >> 故选：A8．已知椭圆2222x y a b+＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C于A ，B 两点，若2BA BF ⋅=0，且｜BF 2|，|AB |，|AF 2|成等差数列，则C 的离心率为（ ） A．2BC．3D ．12【答案】A【分析】由向量知识得出290ABF ∠=︒，再由等差数列的性质、勾股定理、椭圆的定义得出a =，最后由离心率公式得出答案.【详解】因为2BA BF ⋅，所以290ABF ∠=︒由｜BF 2|，|AB |，|AF 2|成等差数列，设22,||,2BF x AB x d AF x d ==+=+ 在2Rt ABF 中，222()(2)x x d x d ++=+，解得3x d = 即223,||4,5BF d AB d AF d ===由椭圆的定义得2ABF 的周长为1212224BF BF AF AF a a a +++=+= 即3454,3d d d a a d ++==在直角三角形12BF F 中，21BF a BF ==，122FF c =，则222(2)a a c +=，故a =即22c e a ==故选：A【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用勾股定理、等差中项的性质、椭圆的定义得出,a c 的齐次方程，进而得出离心率.二、多选题9．若复数3z i =，则（ ） A ．|z |=2B ．|z |=4C ．z 的共轭复数z 3iD ．2423z i =-【答案】AC【分析】根据复数的知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】依题意()()22312z =+-=，故A 选项正确，B 选项错误.3z i =，C 选项正确. ()2223323223z ii i i ==-+=-，D 选项错误.故选：AC10．已知(1-2x )2021=a o +a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a 2021x 2021.（ ）A ．展开式中所有项的二项式系数和为22021B ．展开式中所有奇次项系数和为2021312- C ．展开式中所有偶次项系数和为2021312- D ．320211223202112222a a a a +++⋅⋅⋅=- 【答案】ACD【分析】由二项式系数之和，当1x =-，2021012320213=-+-+-a a a a a ①当1x =，202101232021(1)-=+++++a a a a a ②，由①+②，①-②；令0x =，则0=1a ，令12x =，则2021120220210222=++++a a a a ，即可得结果. 【详解】A .二项式系数之和为0120212021202120212021=2+++C C C ，故A 正确；2021220210122021(12)x a a x a x a x -=++++当1x =-，2021012320213=-+-+-a a a a a ① 当1x =，202101232021(1)-=+++++a a a a a ② ①+②，可得当20212021022*********31312()2--=+++⇒+++=a a a a a a ， ①-②202120211320211320213+13+12()2=-+++⇒+++=-a a a a a a ， 故B 错误，故C 正确； D.2021220210122021(12)x a a x a x a x -=++++令0x =，则0=1a 令12x =，则2021120220210222=++++a a a a 20211222021=-1222+++a a a ，故D 正确 故答案为：ACD11．已知函数f (x )=x 3-3ln x -1，则（ ） A ．f (x )的极大值为0 B ．曲线y =f (x )在（1，f (1))处的切线为x轴C ．f (x )的最小值为0D ．f (x )在定义域内单调【答案】BC【分析】直接对f (x )=x 3-3ln x -1，求出导函数，利用列表法可以验证A 、C 、D;对于B:直接求出切线方程进行验证即可.【详解】f (x )=x 3-3ln x -1的定义域为()0+∞，，()()23333=1f x x x x x'=-- 令()()23333=1=0f x x x x x'=--，得1x =， 列表得：所以f (x )的极小值，也是最小值为f (1)=0，无极大值，在定义域内不单调；故C 正确，A 、D 错误；对于B:由f (1)=0及()10f '=，所以y =f (x )在（1，f (1))处的切线方程()001y x -=-，即0y =.故B 正确. 故选：BC【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围.12．在梯形ABCD 中，222AB AD DC CB ===，将BDC 沿BD 折起，使C 到C '的位置(C 与C '不重合)，E ，F 分别为线段AB ，AC '的中点，H 在直线DC '上，那么在翻折的过程中（ ）A ．DC '与平面ABD 所成角的最大值为6πB ．F 在以E 为圆心的一个定圆上C ．若BH ⊥平面ADC '，则3DH C H '=D ．若AD ⊥平面BDC '，四面体C ABD '的体积取得最大值 【答案】ACD【分析】根据已知条件可得四边形EBCD 是菱形， 60,120AED DEB ∠=∠=，线面角的知识可判断A ；根据圆锥的几何性质可判断B ；求得2DC C H ''=，由此可判断C ；由12060DCB HC B '∠=∠=，，BH DH ⊥，得60HC B ∠'=，结合锥体体积求法可判断D.【详解】如图，在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，222AB AD DC CB ===，AE EB =，所以DC EB =，又//DC EB ，所以四边形EBCD 是菱形，所以AD DE AE ==，60,120AED DEB ∠=∠=，所以90ADB ∠=，即AD DB ⊥，6BDC DBC π∠=∠=，在将BDC 沿BD 翻折至BDC '的过程中，BDC ∠与DBC ∠的大小保持不变，由线面角的定义可知，DC '与平面ABD 所成角的最大值为6π，故A 正确； 因为DBC ∠大小不变，所以在翻折的过程中，C '的轨迹在以BD 为轴的一个圆锥的底面圆周上，而EF 是ABC '的中位线，所以点F 的轨迹在一个截面圆锥的底面圆周上，AC '的长度在变化，BC '不变化，所以AC B '∠也在变化， AFE ∠也在变化，所以圆的圆心不是点E ，故B 不正确；因为四边形EBCD 是菱形， 120DEB ∠=，所以12060DCB HC B '∠=∠=，，当BH ⊥平面ADC '时，BH DH ⊥，因为60HC B ∠'=，所以2DC BC C H '='='，所以3DH C H '=，故C 正确；在翻折的过程中，BC D '的面积不变，显然当AD ⊥平面BDC '时，四面体C ABD '的体积取得最大值，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】本题考查了线面角、线面垂直的性质，解题国家大事要熟练掌握有关知识并能熟练应用，考查了学生分析问题、解决问题的能力及空间想象力.三、填空题13．一条与直线x -2y +3=0平行且距离大于5的直线方程为_______________.【答案】290x y -+=（答案不唯一）【分析】由平行关系设出直线方程，再由距离公式求出b 的范围，进而得出其方程. 【详解】设该直线方程为20x y b -+=55>2b <-或8b >则该直线可为290x y -+=故答案为：290x y -+=（答案不唯一）14．若某商品的广告费支出x (单位：万元）与销售额y (单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表，利用最小二乘法求得y 关于x 的回归直线方程为y =b x +1.5，据此预测，当投入10万元时，销售额的估计值为________万元. 【答案】106.5【分析】先求出,x y 得到10.5b =，即得解. 【详解】由题得1(24568)5,5x =++++= 1(2040607080)545y =++++=，所以54=5b +1.5，所以10.5b =， 所以y =10.5x +1.5，当10x =时，10.510 1.5106.5y =⨯+=. 故答案为：106.5【点睛】结论点睛：回归方程经过样本中心点(,)x y ，注意灵活运用这个性质解题. 15．已知y =f (x )的图象关于坐标原点对称，且对任意的x ∈R ，f (x +2)=f (-x )恒成立，当10x -≤<时，f (x )=2x ，则f (2021)=_____________.【答案】12-【分析】由已知条件推出函数()f x 的周期，利用函数的周期和奇偶性求值即可． 【详解】y =f (x )的图象关于坐标原点对称，则()()f x f x =--又()()2f x f x +=-，可得()()()22f x f x f x +=-=-，即()f x 的周期为4()()()()1202145051112f f f f =⨯+==--=-故答案为：12-四、双空题16．若向量,a b 满足()4,22,8a b a b a ==+⋅=，则,a b 的夹角为____，a b += _____． 【答案】34π22 【分析】利用向量运算求得cos ,a b ，由此求得,a b ；利用()2a b a b +=+来求得结果.【详解】依题意()8a b a +⋅=，22cos ,8a a b a a b a b +⋅=+⋅⋅=，解得2cos ,2a b =-，所以3,4a b π=. ()2222222cos ,22a b a b a a b b a a b a b b +=+=+⋅+=+⋅⋅+=.故答案为：34π；22五、解答题17．如图，在平面四边形ABCD 中，AD ⊥CD ， ∠BAD =34π，2AB =BD =4.（1）求cos ∠ADB ； （2）若BC 22CD . 【答案】（1）14cos 4ADB ∠=（2）32CD = 【分析】（1）ABD △中，利用正弦定理可得sin ADB ∠，进而得出答案； （2）BCD △中，利用余弦定理可得CD ．【详解】（1）ABD △中，sin sin AB BDADB BAD=∠∠，即2sin 2ADB =∠，解得sin ADB ∠=，故cos ADB ∠=（2）sin cos ADB CDB ∠==∠ BCD △中，222cos 2BD CD BC CDB BD CD +-∠=⋅⋅，即2224424CD CD+-=⋅⋅，化简得(0CD CD -+=，解得CD =．18．已知数列{a n }满足1223n n n a a a ++=-，a 2-a 1=1. （1）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （2）若a 1=12，求数列{a n }的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2）1122n n a -=-. 【分析】（1）利用()2112n n n n a a a a +++-=-证得结论成立. （2）利用累加法求得{}n a 的通项公式.【详解】（1）依题意1223n n n a a a ++=-，所以()2112n n n n a a a a +++-=-，故数列{}1n n a a +-是首项为211a a -=，公比为2的等比数列，所以112n n n a a -+-=.（2）由（1）得112n n n a a -+-=，所以()2122n n n a a n ---=≥，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+23012222n n --=++++11121121222n n ---=+=--. 即1122n n a -=-. 19．如图，平面ABCD ⊥平面ABE ，AD //BC ，BC ⊥AB ，AB =BC =2AE =2，F 为CE 上一点，且BF ⊥平面ACE .（1）证明：AE ⊥平面BCE ；（2）若平面ABE 与平面CDE 所成锐二面角为60°，求AD . 【答案】（1）见解析；（2）153【分析】（1）由平面ABCD ⊥平面ABE 证明BC ⊥面ABE ，得到BC ⊥AE ，由BF ⊥平面ACE ，得到BF ⊥AE ，从而证明AE ⊥平面BCE .（2）过A 作Ax 垂直AB ,以Ax 为x 轴正方向，以AB 为y 轴正方向，以AD 为z 轴正方向，建立直角坐标系，用向量法计算可得.【详解】（1）∵平面ABCD ⊥平面ABE ，AB 为平面ABCD 和平面ABE 的交线，BC ⊥AB ， ∴BC ⊥面ABE ，∴BC ⊥AE. 又BF ⊥平面ACE ，∴BF ⊥AE . 又BCBF B =,∴AE ⊥平面BCE .（2）如图示，过A 作Ax 垂直AB ,以Ax 为x 轴正方向，以AB 为y 轴正方向，以AD 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则()()()()310,0,0,0,2,0,,0,0,2,2,0,0,,2A B E C D m ⎫⎪⎪⎝⎭∴()33,,2,0,2,222CE CD m ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭设(),,m x y z =为平面CDE 的一个法向量，则·0·0m CE m CD ⎧=⎨=⎩，即()32020220x y z x y m z ⎧++=⎪⎨⎪⨯-+-=⎩， 不妨取z =2,则32,23m m m ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎭显然平面ABE 的一个法向量()0,0,2n BC ==∴cos ,cos60m n m n m n===⨯⎛，解得：m .故AD 【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．20．某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下：要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项.（1）求甲选排球且乙未选排球的概率；（2）用X 表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）415；（2）分布列见解析，2815 【分析】（1）设事件，分别求出甲、乙同学选排球的概率，由相互独立事件同时发生的概率，即可得出结果.（2）求出丙同学选排球的概率，X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出概率，进而可得结果.【详解】（1）设A 表示事件“甲同学选排球” B 表示事件“乙同学选排球”则1224233523(),()35C C P A P B C C ====因为事件A ，B 相互独立，所以甲同学选排球且乙同学未选排球的概率为：234()()()(1)3515==⨯-=P AB P A P B （2）设C 表示事件“丙同学选排球”，则24353()5C P C C ==X 的可能取值为0，1，2，3则2334(0)(1)(1)(1)35575==-⨯-⨯-=p X ；2332332334(1)(1)(1)+(1)(1)+(1)(1)35535535515==⨯-⨯--⨯⨯--⨯-⨯=p X23323323311(2)(1)+(1)+(1)35535535525==⨯⨯--⨯⨯⨯-⨯=p X2336(3)35525==⨯⨯=p XX 的分布列为数学期望为()01237525252515=⨯+⨯+⨯+⨯=E X 21．已知双曲线C ： 2222x y a b-＝1(a ，b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，其中c >0， M (c ，3)在C 上，且C 的离心率为2. （1）求C 的标准方程；（2）若O 为坐标原点，∠F 1MF 2的角平分线l 与曲线D ： 2222x y c b+＝1的交点为P ，Q ，试判断OP 与OQ 是否垂直，并说明理由.【答案】（1）2213y x -=；（2）OP 与OQ 不垂直，答案见解析． 【分析】（1）利用点在曲线上和离心率，解出,,a b c ，进而得出双曲线方程； （2）利用角平分线定理求出N 点坐标，联立直线MN 与曲线D 的方程，由根与系数的关系，结合平面向量的数量积得出结论．【详解】（1）由题意得222912c a b c a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2941b -=，解得3b =，又222c a b =+，可得1,2a c ==，故双曲线C 的标准方程为2213yx -=；（2）设角平分线与x 轴交于点N ，根据角平分线性质可得1122F N MF NF MF =，()2,3M ，1122515,3,,,032F NF M F M N F N ⎛⎫∴===∴ ⎪⎝⎭，1:2212MN y x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭设()()1122,,,P x y Q x y ，联立方程2221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得2191680x x --=12121619819x x x x ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩，()()()121212122121421y y x x x x x x =--=-++()1212121281652152101919OP OQ x x y y x x x x ⎛⎫∴⋅=+=-++=⨯--⨯+≠ ⎪⎝⎭即OP 与OQ 不垂直．【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查平面向量的数量积，解决本题的关键点是利用角平分线定理求出∠F 1MF 2的角平分线与x 轴交点N ，利用直线与曲线方程联立写出根与系数的关系，借助于平面向量的数量积得出结论，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题． 22．已知函数f (x )=e x ，g (x )=2ax +1.（1）若f (x )≥g (x )恒成立，求a 的取值集合；（2）若a >0，且方程f (x )-g (x )=0有两个不同的根x 1，x 2，证明：122x x +<ln 2a . 【答案】（1）12⎫⎧⎨⎬⎩⎭；（2）见解析【分析】（1）构造函数()()()21xu x f x g x e ax =-=--，求导，分类讨论得函数最值即可求解；（2）由题意得12122121x x e ax e ax ⎧=+⎨=+⎩，21212x x e e a x x -=-，等价证明()21212211x x x x x x ee --⎡⎤-<-⎣⎦，令2102x x t -=>，构造函数()212ttg t e te =--求导证明即可【详解】（1）令()()()21xu x f x g x e ax =-=--，()'2xu x e a =-当0,a ≤ ()'0u x >恒成立，()u x 在R 上单调递增，()00u =，当0x < ()0u x <不合题意，故舍去当0,a > ()'0u x =则()ln 2x a =，故当()ln 2,x a < ()'0u x <，()u x 单调递减；当()ln 2,x a > ()'0u x >；()u x 单调递增，故()()()()max ln 222ln 210u x u a a a a ==--≥令()()'ln 1,ln 0,1h x x x x h x x x =--∴=-==，故()h x 在()0,1 递增，在()1,+∞递减，故()()10,h x h ≤=即()ln 10,h x x x x =--≤即()22ln 21a a a --0≤，故21a =即12a =故a 的取值集合为12⎫⎧⎨⎬⎩⎭（2）方程f (x )-g (x )=0有两个不同的根x 1，x 2不妨令x 1<x 2,1212121221221x x x x e ax e e a x x e ax ⎧=+-∴∴=⎨-=+⎩ , 若证122x x +<ln 2a .即证()()1212212121212222121211x x x x x x x x x x x x e e ex x e e e x x e e x x ++---⎡⎤<⇔-<-⇔-<-⎣⎦- 令2102x x t-=>，即证212t t e te ->，令()()()2'12,21t t t tg t e te g t e e t =--=--因为1t e t >+，故()'0g t >，故()g t 单调递增，()()00g t g >=得证【点睛】本题关键是利用12122121x x e ax e ax ⎧=+⎨=+⎩，21212x x e e a x x -=-，等价证明()21212211x x x x x x ee --⎡⎤-<-⎣⎦，构造函数证明。
广东北大附中深圳南山分校2020届高三期末试题数学(理)
高三期末考试数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共40分)参考公式：锥体的体积公式1V=Sh3，其中S为锥体的底面积，和h为锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．1.设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，3，5}，N={3，4，5}，则集合(∁UM)∩N=A. {4}B. {2，3，4，5}C. {1，3，4，5}D.Φ2.若复数z1=3+i，z2=2－i，则12zz在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.在下列函数中，是奇函数的有几个①f(x)=sin(π－x)；②|x|f(x)=x；③f(x)=x3－x；④f(x)=2x+2-x.A.1个B.2个C.3个D.4个4.为了解地震灾区高三学生的身体发育状况，抽查了该地区100名年龄为17岁～18岁的男生体重(kg)，得到如图频率分布直方图. 根据右图可知体重在[56.5，64.5)的学生人数有A.20人B.30人C.40人D.50人5.在2010年开展的全国第六次人口普查中发现，某市市民月收入ξ (单位：元)服从正态分布N(3000，σ2)，且P(ξ<1000)=0.1962，则P(3000≤ξ≤5000)=A.0.8038B.0.3038C.0.6076D.0.39246.123(x)x-展开式中的常数项为A.－1320B.1320C.－220D.2207.设m、n是两条直线，α、β是两个不同平面，下列命题正确的是A.若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB.若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC.若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥βD.若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n8.对于直角坐标系内任意两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，定义运算P1⊗P2= (x1，y1)⊗(x2，y2)=(x1x2－y1y2，x1y2+x2y1)，若M是与原点O相异的点，且M⊗(1，1)=N，则∠M0N＝第4题图A. 1350B. 450C.900D. 600第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，其中14～15是选做题，考生只能选做一题，二题全答的，只计算前一题得分，共30分．把答案填在答题卡上．（一）必做题(9～13题)9.计算()302x 1dx =-⎰ .10.若抛物线y2=2px 的焦点与双曲线22y x =13-的右焦点重合，则p 的值为 .11.设x ，y 满足约束条件y 0x yx +y 1≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，则z=2x+y 的最大值为 .12.将4本不同的书全部发给3名同学，每名同学至少有一本书的概率是 .13.设f0(x)=cosx ，f1(x)= f0＇(x)，f2(x)= f1＇(x)，…，fn+1(x)= fn ＇(x)，n ∈N*，则f2011 (x)= .(二)选做题：(14 ~ 15题，考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选讲选做题) 圆C ：x =1+cos θy =sin θ⎧⎨⎩(θ为参数)的圆心到直线l ：x =3ty =13t ⎧-⎪⎨-⎪⎩(t 为参数)的距离为 . 15.(几何证明选讲选做题)如图，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ， PC=4，PB=8，则CD =___________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．16.(本小题满分12分)已知函数πf(x)=2sin(x +)2cosx6-.(Ⅰ)若4sin x 5=，πx [π]2∈，，求函数f(x)的值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期和值域.17.(本小题满分12分) 在第十六届广州亚运会上，某项目的比赛规则为：由两人(记为甲和乙)进行比赛，每局胜者得1分， 负者得0分(无平局)，比赛进行到有一人比对方 DC多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为p(p>0.5)，且各局胜负相互独立. 已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为95.(Ⅰ)求实数p 的值；(Ⅱ)如图为统计比赛的局数n 和甲、乙的总得分数S 、T 的程序框图. 其中如果甲获胜，输入a=1，b=0；如果乙获胜，则输入a=0，b=1.请问在第一、第二两个判断框中应分别填写什么条件；(Ⅲ)设ζ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ζ的分布列和数学期望Eζ.18.(本小题满分14分)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动，设AE=x(0<x<2).(Ⅰ)证明：A1D ⊥ D1E ；(Ⅱ) 当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD1的距离；(Ⅲ)x 为何值时，二面角D1-EC=D=的大小为450.D BA1 E A B119.(本小题满分14分)设函数f(x)=x2ex-1+ax3+bx2(其中e是自然对数的底数)，已知x=－2和x=1为函数f(x)的极值点.(Ⅰ)求实数a和b的值；(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅲ)是否存在实数M，使方程f(x)=M有4个不同的实数根? 若存在，求出实数M的取值范围；若不存在，请说明理由.20.(本小题满分14分)已知等差数列{an}中，a1=－1，前12项和S12=186．(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)若数列{bn}满足nan1b=()2，记数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式Tn<m对所有n∈N*恒成立，求实数m的取值范围．21.(本小题满分14分)椭圆中心是原点O，它的短轴长为F(c，0) (c>0)，它的长轴长为2a(a>c>0)，直线l：2ax=c与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．(Ⅰ)求椭圆的方程和离心率；(Ⅱ)若OP OQ =0⋅u u u r u u u r，求直线PQ 的方程；(Ⅲ)设AP =λAQ u u u r u u u r(λ>1)，过点P 且平行于直线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明：FM =λFQ -u u u r u u u r．高三数学(理)参考答案及评分标准二、填空题：(6×5＇=30＇)9、6； 10、4； 11、2； 12、49； 13、sinx ； 14、2； 15、245.三、解答题：（80＇）16. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵4sin x 5=，πx [π]2∈，，∴3cos x 5=-， ……2分又1f(x)=sinx +cosx)2cosx22- ……3分 =cosx -，……4分∴3f(x)=5. ……6分(Ⅱ) πf(x)=cosx =2sin(x )6--， ……8分∴2πT ==2π|ω|， ……10分∵x ∈R ，∴π22sin(x )26-≤-≤， ……11分所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[－2，2]． ……12分17. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束. 有225p +(1p)=9-. ……2分 解得2p 3=或1p 3=. ……3分 ∵1p 2>，∴2p 3=. ……4分 (Ⅱ)程序框图中的第一个条件框应填M=2，第二个应填n=6. ……8分 注意：答案不唯一． 如：第一个条件框填M>1，第二个条件框填n>5，或者第一、第二条件互换，都可以.(Ⅲ)依题意知，ζ的所有可能值为2，4，6． ……9分由已知 5P(ξ=2)=9，13132220P(ξ=4)=C p (1p)+C (1p)p =81--16P(ξ=6)=1P(ξ=2)P(ξ=4)=81--. …… 11分∴随机变量ζ的分布列为：ζ 2 4 6 P 59 2081 1681 故52016266E ξ=2+4+6=9818181⨯⨯⨯.……12分18. (本小题满分14分)解法一: (Ⅰ) 证明：∵AE ⊥平面AA1DD1， A1D ⊂平面AA1DD1，∴A1D ⊥AE ， ……1分AA1DD1为正方形， ∴A1D ⊥AD1， ……2分又A1D ∩AE=A ，∴A1D ⊥平面AD1E ， ……3分∴A1D ⊥D1E. ……4分(Ⅱ) 设点E 到面ACD1的距离为h ，在△ACD1中，1AC =CD ，1AD =D C BA1 E A B1C1 D1故1ΔAD C 13S ==22，而ΔACE 11S =AE BC =22⨯⨯， ……6分 ∴11D -AEC ΔAEC 1ΔAD C 11V =S DD =S h 33⨯⨯ ， ……8分即 131h 22⨯=⨯，从而1h 3=，所以点E 到面ACD1的距离为13. ……9分 (Ⅲ) 过D 作DH ⊥CE 于H ，连D1H ，则D1H ⊥CE ，∴∠DHD1为二面角D1-EC-D 的平面角，∴∠DHD1=450. ……11分 ∵D1D=1，∴DH=1，又DC=2，∴∠DCH=300， ……12分 ∴∠ECB=600，又BC=1，在Rt △EBC中，得EB = ……13分∴AE 2=，∴x 2=-D1-EC-D 的大小为450. ……14分解法二：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD1分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x ，0)，A (1，0，0)，C(0，2，0)， ……2分 (Ⅰ)1DA (101)=u u u u r ，，，1D E (1x 1)=-u u u u r ，，， 因为11DA D E =(101)(1x 1)=0⋅⨯-u u u u r u u u u r ，，，，，所以11DA D E ⊥u u u u r u u u u r ， ……6分 (Ⅱ)由E 为AB 的中点，有E(1，1，0)，从而1D E =(111)AC =(120)--u u u u r u u u r ，，，，，， 1AD (101)=-u u u u r ，，，设平面ACD1的法向量为n =(a b c)r ，，，则1n AC =0n AD =0⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩r u u u r r u u u u r ，也即a +2b =0a +c =0-⎧⎨-⎩，得a =2b a =c ⎧⎨⎩，从而n =(212)r ，，， ……8分 所以点E 到平面ACD1的距离为1|D E n |2121h =.33|n |⨯+-==u u u u r r r ……10分 (Ⅲ) 显然1DD u u u u r 是平面AECD 的一个法向量.设平面D1EC 的法向量为n =(a b c)r ，，， ∴CE =(1x 20)-u u u r ，，，1D C =(021)-u u u u r ，，，1DD =(001)u u u u r ，，， 由1n D C =02b c =0a +b(x 2)=0n CE =0⎧⋅-⎧⎪⇒⎨⎨-⋅⎩⎪⎩r u u u u r r u u u r ， 令b=1，∴c=2，a=2－x ，∴n =(2x 12)-r ，， ……12分依题意11|n DD|πcos===4|n||DD|⋅⇒⨯r u u u u rr u u u u r.∴1x2=，2x2=∴x2=-D1-EC-D的大小为450. ……14分19. (本小题满分14分)解:(Ⅰ)∵f′ (x)=(x2+2x)ex-1+3ax2+2bx，……1分又x=－2和x=1为函数f(x)的极值点.∴f′ (－2)= f′ (1)=0，……2分即6a+2b=03+3a+2b=0-⎧⎨⎩，解得1a3b1⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，……3分所以，1a3=-，b=－1. ……4分(Ⅱ) ∵1a3=-，b=－1，∴f′ (x)=(x2+2x)ex-1－x2－2x=(x2+2x)(ex-1－1)，……5分令f′ (x)=0，解得x1=－2，x2=0，x3=1，……6分∵当x∈(－∞，－2)∪(0，1)时，f′ (x)<0，当x∈(－2，0)∪(1，+∞)时，f′ (x)>0，……8分∴f(x)在区间(－2，0)和(1，+∞)上是单调递增的，在区间(－∞，－2)和(0，1)上是单调递减的. ……9分(Ⅲ)由(Ⅰ)得2x1321f(x)=x e x x3---，由(Ⅱ)得函数的极大值为f(x)极大值= f(0)=0，……10分函数的极小值为344f(x)=f(2)e3--极小值＝，和1f(x)=f(1)3-极小值＝……11分又3441e33-<-，……12分f(－3)= (－3)2e-4+9－9=9e-4>0，f(3)= 32e2－9－9=9(e2－2)>0，……13分通过上面的分析可知，当1M(0)3∈-，时方程f(x)=M恰有4个不等的实数根．所以存在实数M，使方程f(x)=M有4个根，其M取值范围为1(0)3-，. ……14分20. (本小题满分14分)解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d，∵ a1=－1，S12=186，∴ 1211211S =12a +d 2⨯， ……2分即 186=－12+66d. ……4分 ∴d=3. ……5分 所以数列{an}的通项公式 an=－1+(n －1)×3=3n －4. ……7分(Ⅱ)∵n an 1b =()2，an=3n －4，∴3n 4n 1b =()2-. ……8分∵ 当n≥2时，3n n 1b 11=()=b 28-， ……9分 ∴ 数列{bn}是等比数列，首项111b ()22-==，公比1q 8=. ……10分 ∴n n n 12[1()]1618T ==[1()]17818-⨯--. ∵10<<18，∴n *10<()<1(n N )8∈， ∴n *11()<1(n N )8-∈. 所以n n 16116T =[1()]<787⨯-. ……12分又不等式Tn<m 对n ∈N*恒成立，∴而n 11()8-单调递增，且当n 无限增大时，n11()8-的值无限趋近1， ……13分所以m 的取值范围为16[)7+∞，. ……14分21. (本小题满分14分)(Ⅰ)解：由题意，可知椭圆的方程为222x y +=1 (a >a 2. ……1分 由已知得222a c =2a c =2(c)c ⎧-⎪⎨-⎪⎩ ……2分解得a =c=2， ……3分 所以椭圆的方程为22x y +=1 62，离心率e =. ……5分 (Ⅱ)解：由（1）可得A(3，0)．设直线PQ 的方程为y=k(x －3).联立方程组22x y +=162y =k(x 3)⎧⎪⎨⎪-⎩，得(3k2+1)x2－18k2x+27k2－6=0， ……6分依题意△=12(2－3k2)>0，得<k <33-. ……7分设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则212218k x +x =3k +1， ① 212227k 6xx =3k +1-． ② ……8分由直线PQ 的方程得为y1=k(x1－3)，y2=k(x2－3)，于是，y1y2=k2(x1－3) (x2－3)= k2[x1x2－3(x1+ x2)+9]. ③∵OP OQ =0⋅u u u r u u u r ，∴x1x2+y1y2=0． ④ ……9分由①②③④得5k2=1，从而k =(．所以直线PQ的方程为x 3=0-或x 3=0+-． ……10分 (Ⅲ)证明：∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)， A(3，0)，∴11AP =(x 3,y )-u u u r ，22AQ =(x 3y )-u u u r ，．由已知得方程组121222112222x 3=λ(x 3)y =λy x y +=162x y +=162--⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，注意λ>1，解得25λ1x =2λ-， ……12分因为F(2，0)， M(x1，－y1)，故1121FM =(x 2,y )=(λ(x 3)+1,y )----u u u r 121λλ1=(y )=λ(y )22λ----，，.……13分 而222λ1FQ =(x 2y )=(y )2λ--u u u r ，，，所以FM =λFQ -u u u r u u u r. ……14分。
2020-2021深圳北大附中深圳南山分校高二数学上期中试题(附答案)
2020-2021深圳北大附中深圳南山分校高二数学上期中试题(附答案)一、选择题1．设,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ） A ．1936B ．1136C ．712D ．122．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若21P P ≥，则n 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．63．一组数据的平均数为m ，方差为n ，将这组数据的每个数都乘以()0a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是（ ） A ．这组新数据的平均数为m B ．这组新数据的平均数为a m + C ．这组新数据的方差为anD ．这组新数据的标准差为a n4．如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A ．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长5．某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （C ︒）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： 月平均气温x C ︒171382月销售量y （件）24334055由表中数据算出线性回归方程y bx a =+$$$中的2b =-$，气象部门预测下个月的平均气温为6C ︒，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）A ．58件B ．40件C ．38件D ．46件6．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ） A ．25B ．1225C ．1625D ．457．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A ．35B ．1180C ．119D ．568．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n 的值为 （ ）A．20B．25C．30D．359．在学校组织的考试中，45名学生的数学成绩的茎叶图如图所示，则该45名学生的数学成绩的中位数为（）A．127B．128C．128.5D．12910．我国古代名著《庄子g天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A ．17?,,+1i s s i i i≤=-= B ．1128?,,2i s s i i i≤=-= C ．17?,,+12i s s i i i ≤=-= D ．1128?,,22i s s i i i≤=-= 11．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元12．运行如图所示的程序框图，若输出S 的值为129，则判断框内可填入的条件是（ ）A ．4?k <B ．5?k <C ．6?k <D ．7?k <二、填空题13．已知一组数据：87,,90,89,93x 的平均数为90，则该组数据的方差为______． 14．将一枚骰子连续掷两次，点数之积为奇数的概率为__________．15．某校连续5天对同学们穿校服的情况进行统计，没有穿校服的人数用茎叶图表示，如图，若该组数据的平均数为18，则x =_____________.16．执行如下图所示的程序框图，若输入n 的值为6，则输出S 的值为__________．17．根据下图所示的流程图，回答下面问题：若a ＝50.6，b ＝0.65，c ＝log0.65，则输出的数是________．18．执行如图所示的程序框图，如果输出3s =，则正整数M 为__________．19．如图程序框图的输出结果是_________.20．已知方程0.85 2.1ˆ87yx =-是根据女大学生的身高预报其体重的回归方程， ˆ,x y 的单位是cm 和kg ，则针对某个体()160,53的残差是__________．三、解答题21．中国神舟十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，引起全国轰动．开学后，某校高二年级班主任对该班进行了一次调查，发现全班60名同学中，对此事关注的占13，他们在本学期期末考试中的物理成绩如下面的频率分布直方图：（1）求“对此事关注”的同学的物理期末平均分（以各区间的中点代表该区间的均值）． （2）若物理成绩不低于80分的为优秀，请以是否优秀为分类变量， ①补充下面的22⨯列联表：物理成绩优秀 物理成绩不优秀 合计对此事关注 对此事不关注 合计②是否有95%以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系？参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．画出解关于x 的不等式0ax b +<的程序框图，并用语句描述.23．自从高中生通过高校自主招生可获得加分进入高校的政策出台后，自主招生越来越受到高中生家长的重视.某机构为了调查A 城市和B 城市的高中家长对于自主招生的关注程度，在这两个城市中抽取了100名高中生家长进行了调查，得到下表：关注 不关注 合计 A 城高中家长2050B 城高中家长20合计100（1）完成上面的列联表；（2）根据上面列联表的数据，是否有95%的把握认为家长对自主招生关注与否与所处城市有关；（3）为了进一步研究家长对自主招生的直法，该机构从关注的学生家长里面，按照分层抽样方法抽取了5人，并再从这5人里面抽取2人进行采访，求所抽取的2人恰好,A B 两城市各一人的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.24．某乡镇为了发展旅游行业，决定加强宣传，据统计，广告支出费x 与旅游收入y （单位：万元）之间有如下表对应数据：（1）求旅游收入y 对广告支出费x 的线性回归方程y bx a =+，若广告支出费12万元，预测旅游收入；（2）在已有的五组数据中任意抽取两组，根据（1）中的线性回归方程，求至少有一组数据，其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率.（参考公式：1221ni ii nii x y nxyb xnx==-=-∑∑，a y bx =-，其中,x y 为样本平均值，参考数据：521145i i x ==∑，52113500i i y ==∑，511380i ii x y==∑）25．某“双一流A 类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：（1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这100人月薪收入的样本平均数x ； （2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设区间[)1.85,2.15Ω=，月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收取600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元； 方案二：每人按月薪收入的样本平均数的3%收取；用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？26．地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”.2019年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩（单位：分）分组如下：第一组[65，70），第二组[70，75），第二组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到频率分布直方图如下图：（1）求实数a 的值；（2）若从第四组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取6名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从6人中抽取2人作为正、副队长，列举出所有的基本事件并求“抽取的2人为不同组”的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A解析：A 【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率， 试验发生包含的事件数是6×6=36种结果， 方程x 2+mx +n =0有实根要满足m 2−4n ⩾0， 当m =2，n =1 m =3，n =1，2 m =4，n =1，2，3，4 m =5，n =1，2，3，4，5，6， m =6，n =1，2，3，4，5，6 综上可知共有1+2+4+6+6=19种结果 ∴方程x 2+mx +n =0有实根的概率是1936； 本题选择A 选项.2．B解析：B 【解析】 【分析】设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n n P C =-，由21P P …，得10.90.3n-…， 由此能求出n 的最小值． 【详解】Q 李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =，有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1， 现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究M ， 设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n nP C =-， 21P P Q …，10.90.3n∴-…， 解得4n ≥．n ∴的最小值是4．故选B ． 【点睛】本题考查实数的最小值的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率的计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．D解析：D 【解析】 【分析】计算得到新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为，结合选项得到答案. 【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am ，方差为2a n ，标准差为. 故选：D 【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.4．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可. 【详解】对于选项A ： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低， 差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误. 本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．D解析：D 【解析】试题分析：由表格得(),x y 为：()10,38，因为(),x y 在回归方程y bx a =+$$$上且2b =-$，()38102a ∴=⨯-+，解得58a =∴2ˆ58y x =-+，当6x =时，26ˆ5846y=-⨯+=，故选D. 考点：1、线性回归方程的性质；2、回归方程的应用.6．C解析：C 【解析】 【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率． 【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A ，收到张老师的信息为事件B ，A 、B 相互独立，42()()105P A P B ===， 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为33161()1(1())(1())15525P AB P A P B -=---=-⨯=．故选C ． 【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证正确．7．A解析：A 【解析】 【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可. 【详解】由表知空气质量为优的概率是110， 由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为111632+=， 所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率1131025P =+=， 故选：A 【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.8．B解析：B 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的n 的值. 【详解】输出20,80,100n m s ==≠；21,79,100n m s ==≠；22,78,100n m s ==≠； 23,77,100n m s ==≠；24,76,100n m s ==≠；25,75,100n m s ===，退出循环，输出25n =，故选B. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9．D解析：D 【解析】分析：由茎叶图得出45名学生的数学成绩，从而求出中位数． 详解：根据茎叶图得出45名学生的数学成绩，可知中位数为129. 故选D.点睛：本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据，进行解答，属基础题.．10．B解析：B 【解析】 【分析】分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出S 的值，由此可得到结论. 【详解】由题意，执行程序框图，可得： 第1次循环：11,42S i =-=； 第2次循环：111,824S i =--=； 第3次循环：1111,16248S i =--==； 依次类推，第7次循环：11111,256241288S i =----==L ， 此时不满足条件，推出循环，其中判断框①应填入的条件为：128?i ≤， 执行框②应填入：1S S i=-，③应填入：2i i =. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11．B解析：B 【解析】 试题分析：由题，，所以．试题解析：由已知，又因为ˆˆˆybx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以，即该家庭支出为万元．考点：线性回归与变量间的关系．12．C解析：C 【解析】 【分析】最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到循环终止，但在执行循环体时要明确循环终止的条件是什么，什么时候要终止执行循环体． 【详解】0S =，1k =；110121S -=+⨯=，2k =；211225S -=+⨯=， 3k =；3153217S -=+⨯=，4k =；41174249S -=+⨯=， 5k =；514952129S -=+⨯=，6k =，此时输出S ，即判断框内可填入的条件是“6?k <”.故选：C ． 【点睛】本题考查循环结构程序框图. 解决程序框图填充问题的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、执行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证． 二、填空题13．【解析】该组数据的方差为 解析：4【解析】8790899390591x x ++++=⨯∴=该组数据的方差为222221[(8790)(9190)(9090)(8990)(9390)]45-+-+-+-+-=14．【解析】【分析】先求出总的基本事件的总数再求出点数之积为奇数的基本事件的总数再利用古典概型的概率公式求解【详解】由题得总的基本事件个数为两次点数之积为奇数的基本事件的个数为由古典概型的概率公式得故答 解析：14【解析】 【分析】先求出总的基本事件的总数，再求出点数之积为奇数的基本事件的总数，再利用古典概型的概率公式求解. 【详解】由题得总的基本事件个数为66=36⨯，两次点数之积为奇数的基本事件的个数为33=9⨯，由古典概型的概率公式得91364P ==. 故答案为：14【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．8【解析】【分析】根据茎叶图计算平均数【详解】由茎叶图得【点睛】本题考查茎叶图以及平均数考查基本运算能力属基础题解析：8 【解析】 【分析】根据茎叶图计算平均数. 【详解】 由茎叶图得1617101920188.5x x +++++=∴=【点睛】本题考查茎叶图以及平均数，考查基本运算能力，属基础题.16．15【解析】程序执行过程为：当i=1s=1i<6s=1当i=3i<6s=3当i=5i<6s=15当i=7i>6退出s=15填15解析：15 【解析】 程序执行过程为：当i=1,s=1,i<6,s=1,当i=3,i<6,s=3,当i=5,i<6，s=15,当i=7，i>6，退出s=15.填15.17．6【解析】因为所以输出解析：6 【解析】因为a b c >>，所以输出50.6.a =18．27【解析】依次运行框图所示的程序可得第一次：不满足条件；第二次：不满足条件；第三次：不满足条件；……第二十四次：不满足条件；故判断框内的条件是答案：27点睛：程序框图的补全及逆向求解问题的解题策略解析：27 【解析】依次运行框图所示的程序，可得第一次：1331log 4log 4,4S k =⨯==，不满足条件； 第二次：2343log 4log 5log 5,5S k =⨯==，不满足条件； 第三次：3353log 5log 6log 6,6S k =⨯==，不满足条件； ……第二十四次：243263log 26log 27log 273,27S k =⨯===，不满足条件； 故判断框内的条件是27?k ≥。
广东省北大附中深圳南山分校高三上学期期末试题数学(理).doc
广东省北大附中深圳南山分校201X 届高三上学期期末试题数学(理科) 201X.1.13参考公式：锥体的体积公式1V =Sh 3，其中S 为锥体的底面积，和h 为锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1.设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1， 3，5}，N={3，4，5}，则集合(∁U M)∩N= A. {4} B. {2，3，4，5} C. {1， 3，4，5} D.Φ 2.若复数z 1=3+i ，z 2=2－i ，则12z z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在下列函数中，是奇函数的有几个 ①f(x)=sin(π－x)； ②|x |f(x)=x； ③f(x)=x 3－x ； ④f(x)=2x +2-x . A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.为了解地震灾区高三学生的身体发 育状况，抽查了该地区100名年龄为 17岁～18岁的男生体重(kg)，得 到如图频率分布直方图. 根据右图可 知体重在[56.5，64.5)的学生人数有 A.20人 B.30人C.40人D.50人5.在2010年开展的全国第六次人口普查中发现，某市市民月收入ξ (单位：元)服从正 态分布N(3000，σ2)，且P(ξ<1000)=0.1962，则P(3000≤ξ≤5000)=A.0.8038B.0.3038C.0.6076D.0.39246.12(x -展开式中的常数项为 A.－1320B.1320C.－220D.220 7.设m 、n 是两条直线，α、β是两个不同平面，下列命题正确的是 A.若m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥β B.若α⊥β，m ⊥α， n ∥β，则m ⊥n C.若α⊥β，α∩β=m ，m ⊥n ，则n ⊥β D.若α∥β，m ⊥α， n ∥β，则m ⊥n8.对于直角坐标系内任意两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，定义运算P 1⊗P 2= (x 1，y 1)⊗ (x 2， y 2)=(x 1x 2－y 1y 2，x 1y 2+x 2y 1)，若M 是与原点O 相异的点，且M ⊗ (1，1)=N ，则∠M0N ＝ A. 1350 B. 450 C.900 D. 600第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，其中14～15是选做题，考生只能选做一题，二题全答的，只计算前一题得分，共30分．把答案填在答题卡上．．．．．．．．．． （一）必做题(9～13题)第4题图9.计算()32x 1dx =-⎰ .10.若抛物线y 2=2px 的焦点与双曲线22y x =13-的右焦点重合，则p 的值为 . 11.设x ，y 满足约束条件y 0x y x +y 1≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，则z=2x+y 的最大值为 .12.将4本不同的书全部发给3名同学，每名同学至少有一本书的概率是 . 13.设f 0(x)=cosx ，f 1(x)= f 0＇(x)，f 2(x)= f 1＇(x)，…，f n+1(x)= f n ＇(x)，n ∈N*， 则f 201X (x)= .(二)选做题：(14 ~ 15题，考生只能从中选做一题．．．．．．．．．．) 14.(坐标系与参数方程选讲选做题) 圆C ：x =1+cos θy =sin θ⎧⎨⎩(θ为参数)的圆心到直线l：x =3t y =13t⎧-⎪⎨-⎪⎩(t 为参数)的距离为 . 15.(几何证明选讲选做题)如图，PC 切⊙O 于点 C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，PC=4，PB=8，则CD =___________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数πf(x)=2sin(x +)2cosx 6-. (Ⅰ)若4sin x 5=，πx [π]2∈，，求函数f(x)的值； (Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期和值域.17.(本小题满分12分)在第十六届广州亚运会上，某项目的比赛规则为： 由两人(记为甲和乙)进行比赛，每局胜者得1分， 负者得0分(无平局)，比赛进行到有一人比对方 多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为p(p>0.5)，且各局胜负相互独立. 已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为95.(Ⅰ)求实数p 的值；(Ⅱ)如图为统计比赛的局数n 和甲、乙的总得分数S 、T 的 程序框图. 其中如果甲获胜，输入a=1，b=0则输入a=0，b=1.请问在第一、第二两个判断框中应分别填 D C写什么条件；(Ⅲ)设ζ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ζ的 分布列和数学期望Eζ.18.(本小题满分14分)如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1， AB=2，点E 在棱AB 上移动，设AE=x(0<x<2). (Ⅰ)证明：A 1D ⊥ D 1E ；(Ⅱ) 当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； (Ⅲ)x 为何值时，二面角D 1-EC=D=的大小为450.19.(本小题满分14分)设函数f(x)=x 2e x-1+ax 3+bx 2(其中e 是自然对数的底数)，已知x=－2和x=1为函数f(x)的极值点. (Ⅰ)求实数a 和b 的值； (Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅲ)是否存在实数M ，使方程f(x)=M 有4个不同的实数根? 若存在，求出实数M 的取值范围；若不存在，请说明理由.D C B A 1E A B 120.(本小题满分14分)已知等差数列{a n }中，a 1=－1，前12项和S 12=186． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n }满足n an 1b =()2，记数列{b n }的前n 项和为T n ，若不等式T n <m 对所有 n ∈N*恒成立，求实数m 的取值范围．21.(本小题满分14分)椭圆中心是原点O ，它的短轴长为F(c ，0) (c>0)，它的长轴长为2a(a>c>0)，直线l ：2a x =c与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点． (Ⅰ)求椭圆的方程和离心率；(Ⅱ)若OP OQ =0⋅，求直线PQ 的方程；(Ⅲ)设AP =λAQ (λ>1)，过点P 且平行于直线l 的直线与椭圆相交于另一点M ， 证明：FM =λFQ -．(命题人：南头中学 万秉生 审题人：区教研室 罗诚)广东省北大附中深圳南山分校201X 届高三上学期期末试题数学(理科)参考答案及评分标准 201X.1.139、6； 10、4； 11、2； 12、49； 13、sinx ； 14、2； 15、245.三、解答题：（80＇）16. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵4sin x5=，πx[π]2∈，，∴3cos x5=-，……2分又1f(x)=+cosx)2cosx2-……3分=cosx-，……4分∴3f(x)=5. ……6分(Ⅱ)πf(x)=cosx=2sin(x)6--，……8分∴2πT==2π|ω|，……10分∵x∈R，∴π22sin(x)26-≤-≤，……11分所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[－2，2]．……12分17. (本小题满分12分)解：(Ⅰ)依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束.有225p+(1p)=9-. ……2分解得2p3=或1p3=. ……3分∵1p2>，∴2p3=. ……4分(Ⅱ)程序框图中的第一个条件框应填M=2，第二个应填n=6. ……8分注意：答案不唯一．如：第一个条件框填M>1，第二个条件框填n>5，或者第一、第二条件互换，都可以.(Ⅲ)依题意知，ζ的所有可能值为2，4，6．……9分由已知5P(ξ=2)=9，13132220P(ξ=4)=C p(1p)+C(1p)p=81--16P(ξ=6)=1P(ξ=2)P(ξ=4)=81--. …… 11分故52016266Eξ=2+4+6=9818181⨯⨯⨯. ……12分18. (本小题满分14分)解法一:(Ⅰ) 证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊂平面AA1DD1，∴A1D⊥AE，……1分AA1DD1为正方形，∴A1D⊥AD1，……2分又A1D ∩AE=A，∴A1D⊥平面AD1E，……3分∴A1D⊥D1E. ……4分(Ⅱ) 设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，1AC=CD=，1AD=故1ΔAD C13S==22，而ΔACE11S=AE BC=22⨯⨯，……6分∴11D-AECΔAEC1ΔAD C11V=S DD=S h33⨯⨯，……8分即131h22⨯=⨯，从而1h3=，所以点E到面ACD1的距离为13. ……9分(Ⅲ) 过D作DH⊥CE于H，连D1H，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1-EC-D的平面角，∴∠DHD1=450. ……11分∵D1D=1，∴DH=1，又DC=2，∴∠DCH=300，……12分∴∠ECB=600，又BC=1，在Rt△EBC中，得EB=……13分∴AE2=，∴x2=-D1-EC-D的大小为450. ……14分解法二：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，E(1，x，0)，A (1，0，0)，C(0，2，0)，……2分(Ⅰ)1DA(101)=，，，1D E(1x1)=-，，，因为11DA D E=(101)(1x1)=0⋅⨯-，，，，，所以11DA D E⊥，……6分(Ⅱ)由E为AB的中点，有E(1，1，0)，从而1D E=(111)AC=(120)--，，，，，，1AD(101)=-，，，设平面ACD1的法向量为n=(a b c)，，，则1n AC=0n AD=0⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，也即a+2b=0a+c=0-⎧⎨-⎩，得a=2ba=c⎧⎨⎩，从而n=(212)，，，……8分所以点E到平面ACD1的距离为1|D E n|2121h=.33|n|⨯+-==……10分(Ⅲ) 显然1DD是平面AECD的一个法向量.设平面D1EC的法向量为n=(a b c)，，，∴CE=(1x 20)-，，，1D C=(021)-，，，1DD=(001)，，，D CBA1EAB1C1D1由1n D C =02b c =0a +b(x 2)=0n CE =0⎧⋅-⎧⎪⇒⎨⎨-⋅⎩⎪⎩， 令b=1，∴c=2，a=2－x ， ∴n=(2x 12)-，， ……12分依题意11|n DD |π2cos===4|n ||DD |⋅⇒⨯∴1x 2=，2x 2=∴x 2=-D 1-EC-D 的大小为450. ……14分19. (本小题满分14分)解:(Ⅰ)∵f ′ (x)=(x 2+2x)e x-1+3ax 2+2bx ， ……1分 又x=－2和x=1为函数f(x)的极值点.∴f ′ (－2)= f ′ (1)=0， ……2分即6a +2b =03+3a +2b =0-⎧⎨⎩，解得1a 3b 1⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ……3分所以，1a3=-，b=－1. ……4分(Ⅱ) ∵1a 3=-，b=－1， ∴f ′ (x)=(x 2+2x)e x-1－x 2－2x=(x 2+2x)(e x-1－1)， ……5分令f ′ (x)=0，解得x 1=－2，x 2=0，x 3=1， ……6分 ∵当x ∈(－∞，－2)∪(0，1)时，f ′ (x)<0，当x ∈(－2，0)∪(1，+∞)时，f ′ (x)>0， ……8分 ∴f(x)在区间(－2，0)和(1，+∞)上是单调递增的，在区间(－∞，－2)和(0，1)上是单调递减的. ……9分 (Ⅲ)由(Ⅰ)得2x 1321f(x)=x e x x 3---，由(Ⅱ)得函数的极大值为f(x)极大值= f(0)=0，……10分函数的极小值为 344f(x)=f(2)e 3--极小值＝，和1f(x)=f(1)3-极小值＝ ……11分 又3441e 33-<-， ……12分 f(－3)= (－3)2e -4+9－9=9e -4>0，f(3)= 32e 2－9－9=9(e 2－2)>0， ……13分通过上面的分析可知，当1M (0)3∈-，时方程f(x)=M 恰有4个不等的实数根．所以存在实数M ，使方程f(x)=M 有4个根，其M 取值范围为1(0)3-，. ……14分 20. (本小题满分14分)解:(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，∵ a 1=－1，S 12=186，∴ 1211211S =12a +d 2⨯， ……2分即 186=－12+66d. ……4分 ∴d=3. ……5分 所以数列{a n }的通项公式 a n =－1+(n －1)×3=3n －4. ……7分(Ⅱ)∵n an 1b =()2，a n =3n －4，∴3n 4n 1b =()2-. ……8分∵ 当n≥2时，3n n 1b 11=()=b 28-， ……9分 ∴ 数列{b n }是等比数列，首项111b ()22-==，公比1q 8=. ……10分∴n n n12[1()]1618T ==[1()]17818-⨯--. ∵10<<18，∴n *10<()<1(n N )8∈， ∴n *11()<1(n N )8-∈. 所以n n 16116T =[1()]<787⨯-. ……12分 又不等式T n <m 对n ∈N*恒成立，∴而n11()8-单调递增，且当n 无限增大时，n11()8-的值无限趋近1， ……13分 所以m 的取值范围为16[)7+∞，. ……14分 21. (本小题满分14分)(Ⅰ)解：由题意，可知椭圆的方程为222x y +=1 (a >a 2. ……1分 由已知得222a c =2a c =2(c)c ⎧-⎪⎨-⎪⎩……2分解得a =c=2， ……3分所以椭圆的方程为22x y +=1 62，离心率e =3. ……5分(Ⅱ)解：由（1）可得A(3，0)．设直线PQ 的方程为y=k(x －3).联立方程组22x y +=162y =k(x 3)⎧⎪⎨⎪-⎩，得(3k 2+1)x 2－18k 2x+27k 2－6=0， ……6分 依题意△=12(2－3k 2)>0，得<k <. ……7分 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则212218k x +x =3k +1， ① 212227k 6x x =3k +1-． ② ……8分 由直线PQ 的方程得为y 1=k(x 1－3)，y 2=k(x 2－3)，于是，y 1y 2=k 2(x 1－3) (x 2－3)= k 2[x 1x 2－3(x 1+ x 2)+9]. ③∵OP OQ =0⋅，∴x 1x 2+y 1y 2=0． ④ ……9分由①②③④得5k 2=1，从而k =(． 所以直线PQ 的方程为x 3=0--或x 3=0+-． ……10分(Ⅲ)证明：∵P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)， A(3，0)，∴11AP =(x 3,y )-，22AQ =(x 3y )-，．由已知得方程组121222112222x 3=λ(x 3)y =λyx y +=162x y +=162--⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，注意λ>1，解得25λ1x =2λ-， ……12分 因为F(2，0)， M(x 1，－y 1)，故1121FM =(x 2,y )=(λ(x 3)+1,y )----121λλ1=(y )=λ(y )22λ----，，. ……13分 而222λ1FQ =(x 2y )=(y )2λ--，，，所以FM =λFQ -. ……14分。
深圳北大附中深圳南山分校数学高一下期中经典复习题(培优练)
一、选择题1．(0分)[ID ：12411]已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥2．(0分)[ID ：12383]直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞ 3．(0分)[ID ：12376]设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//；②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③4．(0分)[ID ：12373]已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β 5．(0分)[ID ：12351]已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A 3πB ．3πC ．43πD ．12π 6．(0分)[ID ：12346]已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M到直线l 的最大距离为（ ）A ．5B ．6C ．35D 417．(0分)[ID ：12343]在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面1202,2ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 长度最小3P ABC -的外接球的表面积是（ ）A ．92πB ．92πC ．18πD ．40π8．(0分)[ID ：12393]点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ） A ．1256π B ．8π C ．2516π D ．254π 9．(0分)[ID ：12392]设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题： ①m αβ=，////n m n α⇒，//n β②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒； ③//αβ，//m m αβ⊂⇒；④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．(0分)[ID ：12389]在长方体1111ABCD A B C D -中，11111,2AA A D a A B a ===，点P 在线段1AD 上运动，当异面直线CP 与1BA 所成的角最大时，则三棱锥11C PA D -的体积为（ ）A ．34a B ．33a C ．32a D ．3a 3a11．(0分)[ID ：12365]如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB 3C ．4πD 3 12．(0分)[ID ：12364]已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ） A ．[]4,10 B ．[]3,5 C ．[]8,10 D ．[]6,1013．(0分)[ID ：12410]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ） A ．26 B ．36 C ．23 D ．2214．(0分)[ID ：12402]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列说法错误．．的是( )A ．MN 与1CC 垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行D ．MN 与11A B 平行 15．(0分)[ID ：12363]若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为 A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶5D ．3∶2二、填空题16．(0分)[ID ：12463]已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是_________．17．(0分)[ID ：12523]已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．18．(0分)[ID ：12521]已知菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=，沿对角线BD 将ABD △折起，使二面角A BD C --为120，则点A 到BCD 所在平面的距离等于 ．19．(0分)[ID ：12486]以(3,2)a =-方向向量的直线平分圆2220x y y =++，直线l 的方程为________.20．(0分)[ID ：12454]如图，在ABC 中，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于点D ，E ，又SA AB =，SB BC =，则二面角E BD C --的大小为_______________.21．(0分)[ID ：12445]正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163P ABCD V ，则球O 的体积是______． 22．(0分)[ID ：12459]已知直线40Ax By A +-=与圆O ：2236x y +=交于M ，N 两点，则线段MN 中点G 的轨迹方程为______．23．(0分)[ID ：12520]如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.24．(0分)[ID ：12453]在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，则直线BE 和平面11ABB A 所成的角的正弦值为_____________.25．(0分)[ID ：12494]已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y 2=4cx 的准线被双曲线截得的弦长是2√23be 2（e 为双曲线的离心率），则e 的值为__________．三、解答题26．(0分)[ID ：12607]在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 经过()0,2A ，()0,0O ，(),0D t （0t >）三点，M 是线段AD 上的动点，1l ，2l 是过点()10B ,且互相垂直的两条直线，其中1l 交y 轴于点E ，2l 交圆C 于P 、Q 两点.（1）若6t PQ ==，求直线2l 的方程；（2）若t 是使2AM BM ≤恒成立的最小正整数①求t 的值； ②求三角形EPQ 的面积的最小值．27．(0分)[ID ：12572]如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，AC 与BD 交于点O ，E ，F 分别为AB ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PAD ；（Ⅱ）求证：AF ⊥平面POD ．28．(0分)[ID ：12570]已知圆22:(2)(3)4C x y -+-=外有一点()41-,，过点P 作直线l ．(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程；(2)当直线l 的倾斜角为135︒时，求直线l 被圆C 所截得的弦长．29．(0分)[ID ：12556]如图，在四棱锥P ABCD -中，CB ⊥平面PBD ，AD ⊥平面PBD ，PH BD ⊥于H ，10CD =，8BC AD ==.（1）求证：CD PH ⊥；（2）若13BH BD =，12PH BD =，在线段PD 上是否存在一点M ，使得HM ⊥平面PAD ，且直线HA 与平面PAD 所成角的正弦值为3525.若存在，求PM 的长；若不存在，请说明理由.30．(0分)[ID ：12542]如图，将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -沿着相邻的三个面的对角线切去四个棱锥后得一四面体11A CB D -．（Ⅰ）求该四面体的体积；（Ⅱ）求该四面体外接球的表面积．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．B3．B4．D5．C6．A7．C8．D9．B10．B11．A12．D13．A14．D15．C二、填空题16．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个17．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB的中点OAC的中点E连OCOE则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关18．【解析】【分析】【详解】设AC与BD交于点O在三角形ABD中因为∠A＝120°AB＝2可得AO＝1过A作面BCD的垂线垂足E则AE即为所求由题得∠AOE＝180°−∠AOC＝180°−120°＝6019．【解析】【分析】由为方向向量设直线的方程为：若要求直线平分圆则圆心在要求的直线上故得解【详解】根据题意要求的直线的方向向量为：设直线的方程为：圆即圆心为若要求直线平分圆则圆心在要求的直线上则有：则直20．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本21．【解析】【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上则棱锥的高等于球的半径由此可由棱锥体积求得球的半径从而得球体积【详解】∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上∴球心是正方形对角线交点是棱锥22．【解析】【分析】直线过定点设代入方程利用点差法计算得到答案【详解】直线过定点设则两式相减得到即故整理得到：故答案为：【点睛】本题考查了轨迹方程意在考查学生对于点差法的理解和掌握23．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平面PCD求出三棱锥P﹣BDC的外接球半径R＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平24．【解析】【分析】作出直线和平面所成的角解直角三角形求得线面角的正弦值【详解】设为的中点连接根据正方体的性质可知平面所以是直线和平面所成的角设正方体的边长为在中所以故答案为：【点睛】本小题主要考查线面25．62【解析】试题分析：由题意得抛物线的准线为x=-c它正好经过双曲线的左焦点所以准线被双曲线截得的弦长为2b2a所以2b2a=223be2即ba=23e2所以整理得2e4-9e2+1=0解得e=62三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.故选C.2．B解析：B【解析】【分析】利用数形结合，作出图象，计算得直线1l 与直线2l 的斜率，即可得到结论.【详解】曲线可化简为()22(1)40x y x +-=≤，如图所示：直线()1:24l y k x =-+2=，解得512k =， 直线()2:24l y k x =-+，此直线与曲线有两个交点，此时有12k =. 所以，过点()2,4的直线与该半圆有两个交点，数形结合，解得51122k <≤. 故选：B.【点睛】 本题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，点到直线的距离公式，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，其中抓住两个关键点是解本题的关键．3．B解析：B【解析】【分析】【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误；②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误；④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确．故选B ．4．D解析：D【解析】【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立；m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立；//m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.5．C解析：C【解析】【分析】的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论【详解】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为∴三棱锥的外接球体积为343π⨯=故选C【点睛】 本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题．6．A解析：A【解析】【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案.【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -， 350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =. 故选：A .【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.7．C解析：C【解析】【分析】首先确定三角形ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．【详解】解：如图所示：三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面2,2ABC AP AB ==，，M 是线段BC 上一动点，线段PM 3则：当AM BC ⊥时，线段PM 达到最小值，由于：PA ⊥平面ABC ，所以：222PA AM PM +=，解得：1AM =， 所以：3BM =，则：60BAM ∠=︒，由于：120BAC ∠=︒，所以：60MAC ∠=︒则：ABC 为等腰三角形． 所以：23BC =在ABC 中，设外接圆的直径为2324r ==， 则：2r =， 所以：外接球的半径2229222R ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 则：94182S ππ=⋅⋅=， 故选：C ．【点睛】本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用． 8．D解析：D【解析】试题分析：根据题意知，ABC 是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC 的中点上，设小圆的圆心为Q ，若四面体ABCD 的体积的最大值，由于底面积ABC S 不变，高最大时体积最大，所以，DQ 与面ABC 垂直时体积最大，最大值为12·33ABC S DQ =，即12133DQ ⨯⨯=，∴2DQ =，设球心为O ，半径为R ，则在直角AQO 中，222OA AQ OQ =+，即()22212R R =+-，∴54R =，则这个球的表面积为：2525444S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭；故选Ｄ． 考点：球内接多面体，球的表面积． 9．B解析：B【解析】【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项①，,//m n m αβ⋂=不能得出,////n n αβ，因为n 可能在α或β内，故①错误；对于选项②，由于,,m m αββα⊥⊥⊄，则根据直线与平面平行的判定，可得//m α，故②正确；对于选项③，由于//αβ，m α⊂，则根据面面平行的性质定理可得//m β，故③正确； 对于选项④，由于,αβαγ⊥⊥，则,βγ可能平行也可能相交，故④错误.故选：B【点睛】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，考查学生的空间想象能力和推理判断能力.10．B解析：B【解析】【分析】当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，由此能求出当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积．【详解】如图，当P 与A 重合时，异面直线CP 与BA 1所成的角最大，∴当异面直线CP 与BA 1所成的角最大时，三棱锥C ﹣PA 1D 1的体积：11C PA D V -=11C AA D V -=1113AA D S AB ⨯⨯=1111132AA A D AB ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=11232a a a ⎛⎫⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭=33a ．故选:B ．【点睛】 求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．11．A解析：A【解析】【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，因为AB ＝AD ＝1，BD 2由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形所以DE 为球体的半径32DE = 2343S ππ==故选A【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.12．D解析：D【解析】【分析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=， 又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ， 当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =， 再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10.故选：D.【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.13．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=23=，∴1OO ==∴高SD=2OO 1=263，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC =34， ∴132623436S ABC V -=⨯⨯=三棱锥．考点：棱锥与外接球，体积． 【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．14．D解析：D【解析】【分析】先利用三角形中位线定理证明//MN BD ，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN 与1CC 垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN 与AC 垂直，即可得出结论.【详解】如图：连接1C D ，BD ，在三角形1C DB 中，//MN BD ，故C 正确．1CC ⊥平面ABCD ，1CC BD ∴⊥，MN ∴与1CC 垂直，故A 正确；AC BD ，//MN BD ，MN ∴与AC 垂直，B 正确；∵//MN BD ，MN ∴与11A B 不可能平行，D 错误故选：D ．【点睛】本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键.15．C解析：C【解析】【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案【详解】设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝r ．∴S 侧＝πrl ＝πr 2，S 底＝πr 故选C ．【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．二、填空题16．相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式求出的值结合两圆的位置关系进行判断即可【详解】解：圆的标准方程为则圆心为半径圆心到直线的距离圆截直线所得线段的长度是即则圆心为半径圆的圆心为半径则即两个解析：相交【解析】【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a 的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为222:()(0)M x y a a a +-=>，则圆心为(0,)a ，半径R a =，圆心到直线0x y +=的距离2d =，圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22222222a a ∴-即24a =，2a =，则圆心为(0,2)M ，半径2R =，圆22:(1)(1)1N x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =， 则2MN =3R r +=，1R r -=，R r MN R r ∴-<<+，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a 的值是解决本题的关键．17．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB 的中点OAC 的中点E 连OCOE 则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O 为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关 解析：323π 【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC -如图所示，由条件可得在底面ACB ∆中，90,22ACB AC BC ∠=︒==。
深圳北大附中深圳南山分校数学高一上期中经典复习题(培优练)
一、选择题1．(0分)[ID ：11821]若集合{}|1,A x x x R =≤∈，{}2|,B y y x x R ==∈，则A B =A ．{}|11x x -≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|01x x ≤≤D ．∅2．(0分)[ID ：11814]函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．(0分)[ID ：11802]设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 4．(0分)[ID ：11797]关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③5．(0分)[ID ：11750]函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6．(0分)[ID ：11795]已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |14x x +-＞0}，那么集合A ∩(∁U B )＝( ) A ．{x |－2≤x ＜4} B ．{x |x ≤3或x ≥4} C ．{x |－2≤x ＜－1}D ．{x |－1≤x ≤3}7．(0分)[ID ：11790]已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ）A ．5B ．5-C ．0D ．20198．(0分)[ID ：11772]已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x 为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,3329．(0分)[ID ：11767]若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ． a b c <<D ．b c a <<10．(0分)[ID ：11742]已知0.80.820.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．a c b <<D ．b c a <<11．(0分)[ID ：11737]已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<12．(0分)[ID ：11732]方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)13．(0分)[ID ：11730]已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．7814．(0分)[ID ：11729]已知函数f(x)={(2a −1)x +7a −2，（x <1）a x，（x ≥1）在（-∞,+∞）上单调递减，则实数 a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(0,12)C ．[38,12)D ．[38,1)15．(0分)[ID ：11751]三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<二、填空题16．(0分)[ID ：11914]方程组240x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为_________. 17．(0分)[ID ：11913]某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元． 18．(0分)[ID ：11908]设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是_____.19．(0分)[ID ：11902]设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，记2()()g x f x x =-，且函数()g x 在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式2(2)(2)4f x f x x +->+的解集为_____20．(0分)[ID ：11880]已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x－1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是______________. 21．(0分)[ID ：11879]已知2a =5b =m ,且11a b+=1,则m =____. 22．(0分)[ID ：11870]设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线12x =对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．23．(0分)[ID ：11868]已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩，其中0a >且1a ≠，若函数()f x 的图象上有且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________．24．(0分)[ID ：11852]计算：log 3√27+lg25+lg4+7log 72−(827)−13=__________．25．(0分)[ID ：11831]已知()f x 定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，，则函数()()3g x f x x =-+的 零点的集合为 .三、解答题26．(0分)[ID ：12020]设函数()(0.af x x x x=+≠且x ，)a R ∈． （1）判断()f x 的奇偶性，并用定义证明； （2）若不等式()12262xxxf <-++在[]0,2上恒成立，试求实数a 的取值范围； （3）()11,0,12x g x x x -⎡⎤=∈⎢⎥+⎣⎦的值域为.A 函数()f x 在x A ∈上的最大值为M ，最小值为m ，若2m M >成立，求正数a 的取值范围．27．(0分)[ID ：12005]已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}， 其中min{p ，q}={,.p p q q p q ，，≤>（Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax+4a−2成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）； （ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.28．(0分)[ID ：11988]若()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，且满足()()()x f f x f y y=-， 当1x >时，()0f x >. （1）判断并证明函数的单调性；（2）若(2)1f =，解不等式1(3)()2f x f x+-<.29．(0分)[ID ：11970]设集合222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，若A ∩B=B ，求a 的取值范围．30．(0分)[ID ：11944]已知函数24,02()(2)2,2x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．A3．D4．C5．B6．D7．A8．B9．B10．B11．C12．C13．C14．C15．B二、填空题16．【解析】【分析】解方程组求出结果即可得答案【详解】由解得或代入解得或所以方程组的解组成的集合为故答案为【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题需要注意的问题是解是二维的再者就是需要写成集合的形式属于17．1120【解析】【分析】明确折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式结合y＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x元之间的解析式y∵y＝18．【解析】试题分析：由题意得函数的定义域为因为所以函数为偶函数当时为单调递增函数所以根据偶函数的性质可知：使得成立则解得考点：函数的图象与性质【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质解答中涉及到函数19．【解析】【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得原不等式转化为结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围【详解】根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为增函数且在区间上是增函数则20．－5－2【解析】分析：求出函数的值域根据条件确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论详解：由题意得：在－22上f(x)的值域A为g(x)的值域B的子集易得A＝－33B ＝m－18＋m从而解得－5≤m≤21．10【解析】因为2a=5b=m所以a=log2mb=log5m由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数22．0【解析】试题分析：的图像关于直线对称所以又是定义在上的奇函数所以所以考点：函数图象的中心对称和轴对称23．【解析】将在轴左侧的图象关于轴对称到右边与在轴右侧的图象有且只有一个交点当时一定满足当时必须解得综上的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关24．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填425．【解析】试题分析：当时由于定义在上的奇函数则；因为时则若时令若时令因则的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2函数的零点；3分段函数分段处理原则；三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】求出集合B 后可得A B .【详解】因为集合{}|1,{|11}A x x x R x x =≤∈=-≤≤，{}2|,{|0}B y y x x R y y ==∈=≥则A B ={}|01x x ≤≤，选C【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如(){}|,x y f x x D =∈表示函数的定义域，而(){}|,y y f x x D =∈表示函数的值域，()(){},|,x y y f x x D =∈表示函数的图像.2．A解析：A 【解析】 【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.3．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)．又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内4．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．5．B解析：B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ； 当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ； 又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.6．D解析：D 【解析】依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.7．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数；∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．8．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项.【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.9．B解析：B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可知，a =()3log 20,1,b ∈=lg0.20,c <=0.221>，所以b a c <<，故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.10．B解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a b c 、、的取值范围，从而可得结果. 【详解】0.8000.70.71a <=<=，22log 0.8log 10b =<=， 0.801.1 1.11c =>=，b ac ∴<<，故选B. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.11．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.12．C解析：C 【解析】 【分析】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f ∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C. 【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.13．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论． 【详解】2222log 4log 7log 83=<<=，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．14．C解析：C 【解析】 【分析】由函数单调性的定义，若函数f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当x =1时，f 1(x)≥f 2(x)，求解即可． 【详解】若函数f(x)={(2a −1)x +7a −2，（x <1）a x，（x ≥1）在(−∞,+∞)上单调递减，则{2a −1<00<a <1(2a −1)×1+7a −2≥a ，解得38≤a <12. 故选C. 【点睛】本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证y 随x 的增大而减小，故解答本题的关键是f 1(x)的最小值大于等于f 2(x)的最大值．15．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.二、填空题16．【解析】【分析】解方程组求出结果即可得答案【详解】由解得或代入解得或所以方程组的解组成的集合为故答案为【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题需要注意的问题是解是二维的再者就是需要写成集合的形式属于解析：()(){}2,2,2,2--【解析】 【分析】 解方程组240x y x +=⎧⎨-=⎩，求出结果即可得答案. 【详解】由240x -=，解得2x =或2x =-，代入0x y +=， 解得22x y =⎧⎨=-⎩或22x y =-⎧⎨=⎩， 所以方程组240x y x +=⎧⎨-=⎩的解组成的集合为{}(2,2),(2,2)--， 故答案为{}(2,2),(2,2)--. 【点睛】该题考查的是有关方程组解集的问题，需要注意的问题是解是二维的，再者就是需要写成集合的形式，属于简单题目.17．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y ∵y ＝解析：1120 【解析】 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．18．【解析】试题分析：由题意得函数的定义域为因为所以函数为偶函数当时为单调递增函数所以根据偶函数的性质可知：使得成立则解得考点：函数的图象与性质【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质解答中涉及到函数解析：1(1)3， 【解析】试题分析：由题意得，函数21()ln(1)1f x x x =+-+的定义域为R ，因为()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，当0x >时，21()ln(1)1f x x x =+-+为单调递增函数，所以根据偶函数的性质可知：使得()(21)f x f x >-成立，则21x x >-，解得113x <<. 考点：函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质，解答中涉及到函数的单调性和函数的奇偶性及其简单的应用，解答中根据函数的单调性与奇偶性，结合函数的图象，把不等式()(21)f x f x >-成立，转化为21x x >-，即可求解，其中得出函数的单调性是解答问题的关键，着重考查了学生转化与化归思想和推理与运算能力，属于中档试题.19．【解析】【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得原不等式转化为结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围【详解】根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为增函数且在区间上是增函数则 解析：()(),40,-∞-+∞【解析】 【分析】根据题意，分析可得()g x 为偶函数，进而分析可得原不等式转化为()()22g x g +>，结合函数的奇偶性与单调性分析可得22x +>，解可得x 的取值范围． 【详解】根据题意()()2g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()()()()22g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数，()()()()()()()22224222422f x f x x f x x f g x g +->+⇒+--⇒+>>+，又由()g x 为增函数且在区间[0,)+∞上是增函数，则22x +>， 解可得：4x <-或0x >， 即x 的取值范围为()(),40,-∞-+∞，故答案为()(),40,-∞-+∞；【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析()g x 的奇偶性与单调性，属于中档题．20．－5－2【解析】分析：求出函数的值域根据条件确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论详解：由题意得：在－22上f(x)的值域A 为g(x)的值域B 的子集易得A ＝－33B ＝m －18＋m 从而解得－5≤m≤解析：[－5,－2]. 【解析】分析：求出函数()f x 的值域，根据条件，确定两个函数的最值之间的关系即可得到结论. 详解：由题意得：在[－2,2]上f (x )的值域A 为g (x )的值域B 的子集. 易得A ＝[－3,3]，B ＝[m －1,8＋m ]，从而解得－5≤m ≤－2.点睛：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值之间的关系，综合性较强.21．10【解析】因为2a=5b=m 所以a=log2mb=log5m 由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数解析：10 【解析】因为2a =5b =m ,所以a =log 2m ,b =log 5m , 由换底公式可得11a b+=log m 2+log m 5=log m 10=1,则m =10. 点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．22．0【解析】试题分析：的图像关于直线对称所以又是定义在上的奇函数所以所以考点：函数图象的中心对称和轴对称解析：0 【解析】试题分析：()y f x =的图像关于直线12x =对称，所以()(1)f x f x =-，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(5)(15)(4)(4)f f f f =-=-=-，(3)(13)(2)(2)f f f f =-=-=-，(1)(11)(0)0f f f =-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f ++++=.考点：函数图象的中心对称和轴对称.23．【解析】将在轴左侧的图象关于轴对称到右边与在轴右侧的图象有且只有一个交点当时一定满足当时必须解得综上的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关解析：(0,1)1,4⋃（） 【解析】将()f x 在y 轴左侧的图象关于y 轴对称到右边，与()f x 在y 轴右侧的图象有且只有一个交点.当01a <<时一定满足，当1a >时必须log 41a >，解得4a <.综上a 的取值范围是()0,11,4⋃（）.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．24．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填4 解析：4【解析】原式=log 3332+lg(25×4)+2−[(23)3]−13=32+2+2−32=4,故填4.25．【解析】试题分析：当时由于定义在上的奇函数则；因为时则若时令若时令因则的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2函数的零点；3分段函数分段处理原则； 解析：【解析】 试题分析：当时，，由于()f x 定义在R 上的奇函数，则；因为0x ≥时，，则若时，令若时，令，因，则，的零点集合为考点：奇函数的定义与利用奇函数求解析式；2.函数的零点；3.分段函数分段处理原则；三、解答题 26．（1）奇函数；见解析（2）7a <-；（3）15,153⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）可看出()f x 是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；（2）由题意可得出22(2)162x xa <-++⋅在[]0,2上恒成立，然后令2x t =，[]1,4t ∈，从而得出2261y t t =-++，只需min a y <，配方求出y 的最小值，即可求解； （3）容易求出1,13A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，从而得出1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()()min max f x f x >，可讨论a ：容易得出0a ≤时，不符合题意；0a >时，可知()f x 在(上是减函数，在)+∞上是增函数，从而可讨论109a <≤，1a ≥和119a <<，然后分别求出()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，根据2m M >求出a 的范围即可． 【详解】()()1f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()af x x f x x-=-+=--， ()f x ∴为奇函数；()2若不等式()12262x x x f <-++在[]0,2上恒成立， 即122622xxx x a +<-++在[]0,2上恒成立， 即22(2)162x xa <-++⋅在[]0,2上恒成立， 令2x t =，则[]1,4t ∈，223112612()22y t t t =-++=--+， ∴当4t =，即2x =时，函数取最小值7-，故7a <-；()()123111x g x x x -==-+++是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的减函数， ()g x ∴在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为()][11,0,123A g g ⎡⎤⎛⎫== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x ∴在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，恒有2()()min max f x f x >，0a <①时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()()11max f x f a ∴==+，11()333min f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得115a >，不满足0a <；0a =②时，()f x x =在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，1()1,()3max min f x f x ∴==，1213⨯<，不满足题意；0a >③时，()f x 在(上单调递减，在)+∞上单调递增，13≤，即109a <≤时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，11()333min f x f a ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，()()11max f x f a ==+，12313a a ⎛⎫∴+>+ ⎪⎝⎭，解得11159a <≤；1≥，即1a ≥时，()f x 在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()11min f x f a ∴==+，11()333max f x f a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，()12133a a ∴+>+，解得513a ≤<；13)13<<，即119a <<时，()f x 在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，()min f x f∴==()113,1133f a f a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当1313a a +≥+，即113a ≤<时，133a >+，a <<，113a ∴≤<，当1313a a +<+，即1193a <<时，1a >+，解得77a -<<+1193a ∴<<， 综上，a 的取值范围是15,153⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了奇函数的定义及证明，指数函数的单调性，配方求二次函数最值的方法，换元法求函数最值的方法，函数()af x x x=+的单调性，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题．27．（Ⅰ）[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）()20,32{42,2a m a a a a ≤≤=-+->+．（ⅱ）()348,34{2,4a a a a -≤<M =≥．【解析】试题分析：（Ⅰ）分别对1x ≤和1x >两种情况讨论()F x ，进而可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-的最小值，再根据()F x 的定义可得()F x 的最小值()m a ；（Ⅱ）分别对02x ≤≤和26x ≤≤两种情况讨论()F x 的最大值，进而可得()F x 在区间[]0,6上的最大值()M a ．试题解析：（Ⅰ）由于3a ≥，故当1x ≤时，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->，当1x >时，()()()22422122xax a x x x a -+---=--．所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]2,2a ． （Ⅱ）（ⅰ）设函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-， 则()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x 的定义知()()(){}min 1,m a f g a =，即()20,32{42,2a m a a a a ≤≤+=-+-> （ⅱ）当02x ≤≤时，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，当26x ≤≤时，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=． 所以，()348,34{2,4a a M a a -≤<=≥．【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．【思路点睛】（Ⅰ）根据x 的取值范围化简()F x ，即可得使得等式()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()f x 和()g x 的最小值，再根据()F x 的定义可得()m a ；（Ⅱ）根据x 的取值范围求出()F x 的最大值，进而可得()M a ．28．（1）增函数,证明见解析；（2）{|01}x x << 【解析】 试题分析：(1)由题意结合所给的抽象函数关系可由120x x >>时有()()120f x f x ->，即()f x 在定义域内为增函数；(2)原问题等价于x 的不等式组(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩，求解不等式组可得01x <<.试题解析： （1）增函数证明：令12,x x y x ==，且120x x >>，则121x x > 由题意知：1122()()()x f f x f x x =- 又∵当x >1时，()0f x > ∴12()0x f x > ∴()()120f x f x -> ∴()f x 在定义域内为增函数(2)令x =4,y =2 由题意知：4()(4)(2)2f f f =- ∴()()422122f f ==⨯=()13()((3))(4)f x f f x x f x+-=+<又∵()f x 是增函数，可得(3)43010x x x x⎧⎪+<⎪+>⎨⎪⎪>⎩ ∴01x <<.点睛：抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法．29．a=1或a≤﹣1【解析】试题分析：先由题设条件求出集合A ，再由A∩B=B ，导出集合B 的可能结果，然后结合根的判别式确定实数a 的取值范围．试题解析：根据题意，集合A={x|x 2+4x=0}={0，﹣4}，若A∩B=B，则B 是A 的子集，且B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}，为方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的解集，分4种情况讨论：①B=∅，△=[2（a+1）]2﹣4（a 2﹣1）=8a+8＜0，即a ＜﹣1时，方程无解，满足题意； ②B={0}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根0，则有a+1=0且a 2﹣1=0，解可得a=﹣1，③B={﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根﹣4，则有a+1=4且a 2﹣1=16，此时无解，④B={0、﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个的实根0或﹣4，则有a+1=2且a 2﹣1=0，解可得a=1，综合可得：a=1或a≤﹣1．点睛：A ∩B=B 则B 是A={0，﹣4}的子集，而B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}为方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的解集，所以分四种情况进行讨论①B=∅，②B={0}，③B={﹣4}，④B={0、﹣4}，其中①B=∅不要忘记. 30．（1）2a ≤（2）03a ≤<【解析】【分析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当0a <，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x =-为减函数， 当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=， 此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件；若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件． 综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==，当0a <时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件； 当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭， 不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-， 不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件；综上所述，03a ≤<．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．。
广东省北大附中深圳南山分校2021-2022高一数学上学期期中试题.doc
广东省北大附中深圳南山分校2021-2022高一数学上学期期中试题一．选择题：本大题12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 138-＝（ ）A. 2B. 4C. 12 D 142.已知：集合21{03},()22x A x x B x -⎧⎫=<<=<⎨⎬⎭⎩,则A B ⋂=（ ） A. (1,3) B. ∅ C. (0,2) D. (2,3)3.已知：21(1)()(1)x x f x x x ->⎧=⎨≤⎩且((2))f f =（ ）A. 1B. 21- 4.已知函数1()1f x x =+，其值域是(,1)(1,)-∞-⋃+∞，则其定义域是（ ） A. (,1)(1,)-∞-⋃+∞ B. (1,1)- C. (2,1)-- D. (2,1)(1,0)--⋃-5.下列函数：12312(1),(2),(3),(4),(5)y x y x y x y x y x -=====五个函数中，是奇函数且值域不是一切实数R 的函数是（ ）A. (1),(3),(5)B. (1),(4)C. (4)D. (1),(3) 6.下列函数在(0,)+∞上单调递增的是（ ）A. 2y x =-B. 2log y x =C. 13y x =- D. 12xy =7.已知下列函数：31(0)1(1)log ,(2)lg ,(3)),(4)1(0)1x xy x y y x y x x >⎧+====⎨-<-⎩中，是奇函数的是（ ）A. (1),(2),(3),(4)B. (2),(4)C. (2),(3),(4)D. (3),(4) 8.已知0x >，则函数22xy x =+的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D.129.比较下列几个数的大小：0.30.001211(),log ,523a b c ===，则有（ ） A. a b c >> B. b a c >> C. c b a >> D. c a b >>10. 空气质量指数（简称：AQI ）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：[)0,50为优，[)50,100为良，[)100,150为轻度污染，[)150,200为中度污染，[)200,250为重度污染，[)250,300为严重污染.下面记录了北京市22天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是（ ）A ．在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量B ．在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度 C. 在北京这22天的空气质量中，12月29日空气质量最好 D ．在北京这22天的空气质量中，达到空气质量优的天数有6天 11. 函数2()(2)xf x x x e =-的图象大致是( )12.已知函数2()log 23x f x x =-+，则函数的零点（即()0f x =的解）个数为（ ） A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个二．填空题（本大题4掌上小题，每个5分共20分，填写要规范、正确） 13.已知幂函数()f x x α=过点(2,4)，则此函数的单调递减区间是14. 若命题P :0,x R ∃∈使得20020x x --=,则P ⌝：15.已知定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的偶函数，当0x >时，2()f x x x =+，则(2)f -=16.已知22(0)()2(0)x x ax a x f x a x ⎧++≥=⎨-<⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是三． 解答题（本题共6大题，1－5题每个12分，7题10分解答时要写出必要的文字说明证明推理过程或演算步骤） 17.计算每小题6分：（1）1124()1)9--++-+（2） 5log 2234lg5lg5lg 2lg 2log 2log 95+⋅++⋅+18.已知集合：}{}{}{222822log ()1,31,30x x A x R x x B x R C x R a ax +-=∈-==∈==∈+-<。
2021年广东省深圳市南山区北大附中深圳南山分校中考三模数学试卷
为直角三角形，
，
，
，四边形
为矩形，
，
，且点 、 、 、 在同一条真线上，点 与点 重合．
以每
秒 的速度沿矩形
的边 向右平移，当点 与点 重合时停止．设
与矩形
的重叠部分的面积为 ，运动时间 ．能反映 与 之间函数关系的大致图象是（
）．
A.
B.
2
C.
D.
10. 如图，在矩形
中，
，为
的对应点为 ，点 的对应点为 ，过点 作
1. 的立方根是（ ）．
A.
B.
C.
2. 华为
手机搭载了全球首款
记数法表示为（ ）．
A.
C.
制程芯片， 就是
B. D.
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A.
B.
D. ．数据
用科学
C.
D.
4. 下列各式中，运算正确的是（ ）．
A.
B.
C.
D.
5. 一个盒子中装有 个白球和 个红球（除颜色外完全相同），若每次将球充分搅匀后，任意摸出 个
下列结论：①
．②
外心．其中正确的个数为（ ）．
边的中点，将
绕点 顺时针旋转 ，点
交 于点 ，连接 、 交于点 ，现有
．③
．④点 为
的
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、 填空题
（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1. 因式分解：
．
2. 如图， 是
的角平分线，
，若
，则 的度数为
．
3. 对于实数 ， ，定义运算
球，记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在 左右，则 的值约
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2020-2021深圳北大附中深圳南山分校高三数学下期中试题(附答案)一、选择题1．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65B ．184C ．183D ．1762．已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（ ）A ．63B ．61C ．62D ．573．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．234．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =5．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1(1)()n n n S nS n N *++∈＜.若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值为8S B ．n S 的最小值为8S C ．n S 的最大值为7S D ．n S 的最小值为7S6．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A．2BC ．5D ．927．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C．D．8．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形9．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．510．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<11．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．2312．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13B ．38C ．37D ．1二、填空题13．已知0a >，0b >，当()214a b ab++取得最小值时，b =__________． 14．已知向量()()1,,,2a x b x y ==-r r ，其中0x >，若a r 与b r 共线，则yx的最小值为__________．15．已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．16．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有可能值为______17．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____． 18．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）19．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .20．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 三、解答题21．如图，在ABC ∆中，45B ︒∠=，10AC =,25cos 5C ∠=点D 是AB 的中点, 求（1）边AB 的长；（2）cos A 的值和中线CD 的长22．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且acos C ＋3asin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD 129，求△ABC 的面积． 23．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233=+nn S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T . 24．在ABC V 中，3B π∠=，7b =，________________，求BC 边上的高．从①21sin A =， ②sin 3sin A C =， ③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．25．在ABC V 中，5cos 13A =-，3cos 5B =． (1)求sinC 的值；(2)设5BC =，求ABC V 的面积．26．已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin 3A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．D解析：D 【解析】解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ， 据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，分组求和有：()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.3．C解析：C 【解析】试题分析：∵24354{10a a a a +=+=，∴1122{35a d a d +=+=，∴14{3a d =-=，∴1011091040135952S a d ⨯=+⨯=-+=． 考点：等差数列的通项公式和前n 项和公式．4．A解析：A 【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 5．C 解析：C 【解析】 【分析】由已知条件推导出（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ，从而得到d ＞0，所以a 7＜0，a 8＞0，由此求出数列{S n }中最小值是S 7． 【详解】∵（n +1）S n ＜nS n +1， ∴S n ＜nS n +1﹣nS n ＝na n +1 即na 1()12n n d-+＜na 1+n 2d ，整理得（n 2﹣n ）d ＜2n 2d ∵n 2﹣n ﹣2n 2＝﹣n 2﹣n ＜0 ∴d ＞0∵87a a -＜1＜0 ∴a 7＜0，a 8＞0 数列的前7项为负， 故数列{S n }中最小值是S 7 故选C ． 【点睛】本题考查等差数列中前n 项和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．6．C解析：C 【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.7．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.8．A解析：A 【解析】 【分析】先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】 因为2cos22A b c c+=，所以1cosA 22b cc ++=,() ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2π==，,选A.【点睛】本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.9．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
【详解】不等式组表示的平面区域如图，由36020x y x y --=⎧⎨-+=⎩得点B 坐标为B （4,6）.由图可知当直线z ax by =+经过点B （4,6）时，Z 取最大值。
因为目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，所以4612,a b +=即236,a b +=所以2312316616625()(23)(13)(132)6666a b a b a b a b a b b a b a +=++=++≥+⨯=。
当且仅当66236a bb a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即65a b ==时，上式取“=”号。
所以当65a b ==时，23a b +取最小值256。
故选A 。
【点睛】利用基本不等式2a b ab +≥可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”。