2013年名牌高校自主招生数学专题讲座及2013年全国高中数学联赛专题讲座

（6）几何法。数形结合，利用几何图形中的不等关系求最值； （7）换元法。换元得到较容易求最值的函数解析式后应用其他方法。 例 函数 f n ( x)(n = 1,2,3, ) 定义如下： f1 ( x) = 4( x − x 2 )(0 ≤ x ≤ 1), f n+1 ( x) = f n ( f1 ( x))
1
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5. 幂函数、指数函数、对数函数
1.幂函数、指数函数、对数函数； 2．指数方程与对数方程； 3．指数不等式和对数不等式。
ax (a > 0, a ≠ 1) ， [m] 表示不超过实数 m 的最大整数，求函数 1+ ax 1 1 [ f ( x) − ] + [ f (− x) − ] 的值域。 2 2
x1 、 x2 ∈ B ，当 x1 < x2 时总有 f ( x1 ) < f ( x2 ) ( f ( x1 ) > f ( x2 )) ，则称 f ( x) 在 B 上是增函
数（减函数） 。同一个函数在定义域内可以出现几个单调区间，如函数 y =
1 在 (−∞,0) 和 x (0,+∞) 上分别递减；也可以没有单调区间，如狄里克莱（Dirichlet）函数
π
1 ( x + 3 + 2 sin θ cosθ ) 2 + ( x + a wk.baidu.comin θ + a cosθ ) 2 ≥ . 8
9.三角恒等式
3
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1 1 sin θ cos(60 − θ ) sin(60 + θ ) = sin 3θ ； cos θ cos(60 − θ ) cos(60 + θ ) = cos 3θ ； 4 4
三边的命题正是余弦定理，而面积公式 S ∆ABC =
12. 反三角函数与三角方程
反正弦函数 1．定义；函数 y = sin x( x ∈ [−
π π
, ]) 的反函数就是反正弦函数，记为 y = arcsin x 2 2
( x ∈ [−1,1]). 这个式子表示：在区间 [−
2．反正弦函数的性质： （1）定义域为 [−1,1] ，值域为 [− （2）在定义域上单调增。
例 设 f ( x) =
6.函数的图像与性质
设函数 y = f ( x) 的定义域为 D。 函数的值域是函数值 f ( x) 的集合 { y | y = f ( x), x ∈ D} ，函数的图像是坐标为 ( x, f ( x)) 的点的集合 {(x, y) | y = f ( x), x ∈ D} 。函数的图像能形象地体现函数的一些性质。 函数的单调性是函数的局部性质。函数 f ( x) 在集合 B 上有定义 ( B ⊆ D) ，且对任意
1 = 0. cos100 x cos101x
13.向量的加法与减法
1．多个首尾相连的向量相加及其运算 A1 A2 + A2 A3 + 2．向量加减法的相互转换 AB + CD = AB − DC. 3．用平面内两个不共线向量总可以唯一地表示平面内任一向量；用空间内三个不共 面的向量总可以唯一地表示空间任一向量。 例 证明： ∆ABC 的外心 O，重心 G，垂心 H 三点共线，且 OG : GH = 1 : 2.
例一次国际学术会议有 100 位科学家参加，每人至少有 67 位合作者，求证：可以找 到 4 位数学家，他们中每两人都合作过。
2.子集
映射定义：设 A、B 是两个非空集合，如果存在一个法则 f ，使得对于 A 中的任何一 个元素 x ，按此法则，在 B 中一定有一个唯一确定的元素 y 与之对应。我们就称 f 是 A 到 B 的映射， 记为 f : A → B 或 f : x → y. 元素 y 称为元素 x 的像， 记作 y = f ( x) ， 称 x是
1, 当x ∈ Q; f ( x) = 0, 当x ∉ Q.
函数的奇偶性是函数的全局性质，需在整个定义域上考察，若 D 关于原点对称，即 x ∈ D ⇒ − x ∈ D ，且对于任意的 x ∈ D ，总有 f ( − x) = f ( x)( f (− x) = − f ( x)) ，则称 f ( x) 为偶函数（奇函数） 。对于奇函数 f ( x) ，若 0 ∈ D ，则由定义易知 f (0) = 0. 函数的周期性也是函数的全局性质。对于函数 f ( x) ，若存在一个常数 T ≠ 0 ，使得 x 以定义域内的每一个值时， f ( x + T ) = f ( x) 都成立，则称 f ( x) 是周期函数，T 称为它的 一个周期。 例 设 f ( x) 的定义域和值域都是非负实数集，且满足下列条件： （1） f ( x • f ( y )) • f ( y ) = f ( x + y ) x 、 y ≥ 0 ； （2） f ( 2) = 0 ； （3） f ( x) ≠ 0 对所有 0 ≤ x < 2 成立。 试求所有满足上述条件的函数 f ( x).
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1.集合的概念与运算
容斥原理
| A ∪ B |=| A | + | B | − | A ∩ B |
| A ∪ B ∪ C |=| A | + | B | + | C | − | A ∩ B | − | B ∩ C | − | C ∩ A | + | A ∩ B ∩ C | ……
+ An−1 An = A1 An .
14. 向量的数量积及其坐标表示
x A + x B + xC y A + y B + yC , ). 3 3 ax + bx B + cxC ay A + by B + cyC ∆ABC 的内心坐标为 I ( A , ). a+b+c a+b+c 例 ∆ABC 中，O 为外心，三条高 AD、BE、CF 交于点 H，直线 DE 和 AB 交于点 M，FD （2） OH ⊥ MN . 和 AC 交于点 N。求证： （1） OB ⊥ DF , OC ⊥ DE ；
,200}, G = {a1 , a 2 ,
, a100 } ⊂ E ，且 G 具有下列两条性质： + a100 = 10080 ，
（1）对任何 1 ≤ i ≤ j ≤ 100 ，恒有 ai + a j ≠ 201 ； （2） a1 + a 2 +
试证：G 中的奇数的个数是 4 的倍数，且 G 中所有数字的平方和为一定数。
sin( x + ϕ ) |≤ a 2 + b 2 ，也需要熟记。
例 设0 <θ <
π
2
，求
1 3 3 的最小值，并求出取得最小值时的 θ 值。 + sin θ cosθ
11.
正弦定理与余弦定理
根据全等三角形的 SAS 公理，一个三角形的两边及夹角一旦确定，整个三角形也就 确定了，于是人们最自然的想法便是利用两边一夹角表示第三边和三角形面积。表示第
1 (1 + x 2 ) ？证明你的结论。 2
4.二元多项式
例 设 f ( x, y ) 是二元多项式，且满足下列条件： （1） f (1,2) = 2 ； （2） yf ( x, f ( x, y ))
= xf ( f ( x, y ), y ) = f ( f ( x, y )) 2 ，试确定所有这样的 f ( x, y ).
π π
, ] 内，正弦函数值为 x 的角就是 arcsin x . 2 2
, ]. 2 2
π π
（3）是 [−1,1] 上的奇函数，即 arcsin( − x) = − arcsin x, x ∈ [−1,1] 4
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（4） y = arcsin x 的图像：与 y = sin( x ∈ [−
3.一元二次函数、方程、不等式
在解含字母系数的一元二次不等式时，要注意根据字母的不同取值来确定二次项的 正负、判别式的正负、两根的大小，即注意对字母系数的分类讨论，做到不重复不遗漏。 例 是否存在实数 a 、 b c ，使函数 f ( x) = ax 2 + bx + c 的图像过点 M (−1,0) ，且满足 条件：对一切 x ∈ R ，都有 x ≤ f ( x) ≤
π π
, ]) 的图像关于 y = x 对称。 2 2
（5） arcsin(sin x) 的值及 y = arcsin(sin x) 的图象： arcsin(sin x) = x, x ∈ [− 例 解方程
π π
, ] 2 2
1 1 + + cos x cos 2 x cos 2 x cos 3x
+
y 的一个原像（或逆像） ，A 是映射 f 的定义域，记为 D f ，称 { y | y = f ( x), x ∈ D f } 为 f
的值域，记为 R f 或 f ( A) ，它是 A 中的有元素的像的全体组成的集合。 若 f : A → B 是一个映射，且对任意 x, y ∈ A, x ≠ y ，都有 f ( x) ≠ f ( y ) ，则称 f 是 A 到 B 的一个单射，显然 | A |≤| B | ；若对任意 y ∈ B ，都有一个 x ∈ A ，使得 y = f ( x) ，则 称 f 是 A 到 B 的一个一一映射，显然 | A |=| B | . 例 设 E= {1,2,3,
(n = 1,2, ) .设在 [0,1] 上使 f n ( x) 取最大值的 x 的个数为 an ，取最小值的 x 的个数为 bn ，
试把 an 和 bn 用 n 表示。
8.三角函数的性质及应用
周期性 如果对 f ( x), x ∈ R ，存在非零实常数 T，使对任意实数 x 均成立 f ( x + T ) = f ( x) ，那么称 f ( x) 是周期函数，T 是 f ( x) 的一个周期。如果 f ( x) 的所有正 周期中存在一个最小的，记作 T0 ，则 T0 称为 f ( x) 的最小正周期。可以证明，如果 f ( x) 有 最小正周期 T0 ，则 f ( x) 的一切周期均为 T0 的整数倍。 例 求实数 a 的取值范围，使对于任意实数 x 和任意 θ ∈ [0, ] ，恒有 2
n
其中 g ( x) 有下界 z (i = 1,2, ∑ g ( x) + c ，
i
i
n
i
, n) ,
i =1
c 为常数，则
n
∑z
i =1
i
+ c 为 f ( x) 的一个下界。如存在 x0 ，使 g i ( x0 ) = zi (i = 1,2,
, n) ，则
∑z
i =1
i
+ c = f ( x0 ) 为 f ( x) 的最小值；
7.函数的最大值与最小值
求函数的最值的常用方法。 （1）单调性法。利用函数的单调性求最值； （2）不等式法。利用各种不等式来求最值，常用的有平均不等式、柯西不等式等； 2
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（3）判别式法。将等式 y = f ( x) 化成 p ( y ) x 2 + q ( y ) x + r ( y ) = 0 的形式，利用该二次 方程有解 x ，考虑判别式 ∆ = q 2 ( y ) − 4 p( y )r ( y ) ，从而求出 y 的最值； （4）猜测法。先猜测 f ( x) 在某一点 x0 处取最大值，再证明对任意 x, f ( x) ≤ f ( x0 ) ； （5） 拆项法。 先将 f ( x) 分解为 f ( x) =
tan θ tan(60 − θ ) tan(60 + θ ) = tan 3θ .
例 求 sin
π
7
sin
2π 3π sin 的值。 7 7
10.三角不等式与三角最值
则 x 2 + y 2 + z 2 ≥ 2 xy cos A + 2 yz cos B + 2 zx cos C ， 设 ∆ABC ，x 、y 、z 是任意实数， 这是一个很基本、很重要的不等式；另一个基本不等式是 | a cos x + b sin x |=| a 2 + b 2
1 1 1 ab sin C = bc sin A = ac sin B 则推出 2 2 2 了正弦定理。由此可以知道，正弦定理往往的三角形面积公式扯在一起，而余弦定理则 在探求未知线段长度方面经常大显身手。通过正弦定理、余弦定理及三角形面积公式， 许多比较困难的几何问题就可以转化为相对较易的三角问题，这有利于问题的解决。 例 证明：顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦之和小于该三角形的周长之半。