反比例函数的图象和性质

第六章反比例函数2.反比例函数的图象与性质（二）一、学生知识状况分析函数是研究现实世界变化规律的一个重要数学模型，学生曾在七年级下册和八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”等相关知识，对函数的概念和研究函数的方法有了初步的认识和了解．特别是在学习一次函数时，学生已经掌握了如何画一次函数的图象，探究过一次函数的性质，积累了一定的活动经验和方法感悟，在此基础上学习反比例函数的图象与性质，可以让学生进一步领悟函数的概念，进一步积累探究函数图象和性质的方法，为后续探究二次函数的图像和性质做好知识上和方法上的铺垫．二、教学任务分析《反比例函数的图象与性质》安排在北师大版教材九年级上册，共分两课时，本节课是第二课时．在第一课时中，学生已经学会如何画反比例函数的图象，并对0k<时函数图象的特点有了初步的认识，本节课主要是在第一课时的k>和0基础上，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数的自身规律，在质理解和掌握。

由此，本节课的教学目标制定如下：知识与技能目标：能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式探索并理解反比例函数的主要性质．提高学生观察、分析能力和对图象的感知水平，领会研究函数的一般要求．过程和方法目标：让学生经历知识的探究过程，通过全面的观察和比较，积累数学方法和活动经验．逐步提高观察和归纳分析能力，体验数形结合和分类讨论的数学思想．情感、态度和价值观目标：经历小组合作与交流活动，在质疑、追问、讨论中达成共识，发展合作能力和语言表达能力.在教学目标的基础上制定如下的教学重点、教学难点：重点：探索反比例函数的主要性质.难点：理解反比例函数性质的探索过程，从“数”和“形”两方面综合考虑问题．三、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：第一环节：要点回顾铺平道路；第二环节：设问质疑探究尝试；第三环节：实际运用巩固新知；第四环节：激趣质疑再探新知；第五环节：活学活用巩固提高；第六环节：总结串联纳入系统；第七环节：分层达标课后延伸.第一环节：要点回顾铺平道路内容：1. 下列函数中，哪些是反比例函数？教学策略：让学生找出题目中的反比例函数，运用空间想象能力，勾勒出反比例函数例函数定义以及图象的再认知．设计意图：反比例函数的定义以及函数图象的特点，是继续进行本节内容学习的重要知识储备．本环节避免单纯的复习定义以及对知识的简单复述，力图通过具体问题，让学生在解决问题的过程中加深对知识本身的理解，培养学生的空间想象能力和对知识的实际运用能力．第二环节：设问质疑探究尝试内容1：试一试观察反比例函数2yx=，4yx=，6yx=的图象，你能发现它们的共同特征吗?(1)函数图象分别位于哪几个象限内？(2)在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？(3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗？可能与y轴相交吗？为什么？教学策略：1．本环节的问题串，能有效的激发学生的思考热情，教师要善于运用启发性的语言，调动起学生思维的“小宇宙”．2．对于问题（2）、（3），教师要给学生留有充分的讨论、交流的时间和空间，让学生对图象进行细致的观察、类比、分析、交流，鼓励学生尽可能多的从图象中获取信息，并对信息进行分析、综合、概括、归纳，形成知识系统．3．在讨论、交流过程中，教师要指导学生勇于表达自己的想法，善于倾听他人的见解，让讨论在质疑、追问中进行．设计意图：本环节意在通过观察三个反比例函数的图象，分析、归纳、概括出反比例函数的主要性质．在问题的设置上，引导学生从对图象的直观观察开始，逐步上升到理性的分析，顺应学生思维的发展，在有效的问题引领下，培养学生的逻辑思维能力和数形结合能力．内容2：议一议x教学策略：前面已经对0k>时，反比例函数图象的特征进行了分析，此处可以完全放手给学生，让学生通过类比，分析、归纳、概括出0k<时图象的共同特征，教师只需进行适时的点拨．设计意图：通过对0k<时反比例函数图像特征的探究，培养学生利用数形结合探究问题的意识，发展学生类比分析问题的能力，使学生在知识上更加完善，在能力上逐步提高．内容3：说一说教学策略：1．在具体问题探究的基础上，让学生尝试着总结反比例函数从具体问题的分析进一步上升到理性的概括、归纳．2．鼓励学生大胆表述自己的想法，语言即使不规范、不完整，教师也要给以充分的肯定、表扬，在讨论、交流的基础上使语言更加完善．设计意图：“试一试”、“议一议”已经对反比例函数的图象特征进行了细致的分析，内容3主要是将知识进行了系统的归纳、概括，通过讨论、交流，形成完整、规范的结论，培养了学生的语言表达能力和对知识的归纳、概括能力．第三环节：实际运用巩固新知内容：练一练（1）图象位于二、四象限的有；（2）在每一象限内，y 随x 的增大而增大的有； （3）在每一象限内，y 随x 的增大而减小的有．2. x 的增大而增大，则m 的取值范围是．3.点1,1()A x y ，2,2()B x y 120x <<，则1,2y y 的大小关系是． 变式：点1,1()A x y ，2,2()B x y 1,2y y 的大小关系是． 教学策略：1．留有充分的时间，让学生独立完成。

在此基础上，小组交流，每名成员完成一个题目的讲解，力争让所有学生都积极地投入到知识的学习中．2．问题3的变式中蕴含分类讨论思想，教学中让学生独立思考，然后交流各自的想法，关注学生思维的广度和深度． 设计意图：1.通过几个小题目的练习，及时运用、巩固所学的知识，使学生加深对反比例函数性质的理解．2.运用变式训练，拓展学生思维的广度，渗透分类讨论的数学思想．3.课堂上以小组合作讲解的形式，让每个学生都融入到表达与倾听中，调动每个学生的主观能动性，夯实基础．第四环节：激趣质疑 再探新知内容1：想一想在一个反比例函数图象任取两点P 、Q ，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为1S ；过点Q 分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为2S ，1S 与2S 有什么关系？为什么？ （1）让我们从具体的反比例函数xy 2=开始考虑：此时，1S 与2S 有什么关系？为什么？ （2）对于一般的反比例函数xky =呢？教学策略：1. 给出具体的反比例函数y =1、2S ，自主探究1S 与2S 之间的关系，然后由学生讲解，教师进行方法的总结和点拨． 2．在前面探究的基础上，对于一般的反比例函数xky =，可以完全放手给学生，充分利用小组成员间的合作，探究、归纳、概括出一般性的结论——矩形面积总等于k ，教师在整个过程中要给以适时的点拨和及时的总结． 设计意图：如果直接探究函数xky =，对于有些学生来说有一定的困难．为了突破这一难点，先给出简单的反比例函数xy 2=，在探究了具体函数的基础上，再由特殊到一般，进一步探究xky =，符合学生的认知规律． 内容2：变一变在一个反比例函数图象任取两点P 、Q ，过点P 作x 轴的垂线，连接PO （O 为原点），与坐标轴围成的三角形面积为1S ；过点Q 作x 轴的垂线，连接QO ，与坐标轴围成的三角形面积为2S ，1S 与2S 有什么关系？为什么？ 教学策略：将问题直接抛给学生，类比前面探究问题的方法，让学生来寻求解决问题的策略． 设计意图：通过变式探究，开阔学生的思路，促进学生思维的发展，形成有效的知识建构．第五环节：活学活用 巩固提高1．如图，),(y x P 是反比例函数xy 3=的图象在第一象限分支上的一个动点，，轴于点A x PA ⊥，轴于点B y PB ⊥ 随着自变量x 的增大，矩形OAPB 的面积（ ） A ．不变 B.增大 C.减小 D.无法确定2．如图，),(y x P 是反比例函数xy 3=的图象在第一象限分支上的一个动点，过点P 作A PA x ⊥轴于点，连接PO ，则△PAO 的面积为．3．已知点)2,3(P 、点),2(a Q -都在反比例函数xky =的图象上.过点P 分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积是1S ；过点Q 分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积是2S .求21S S 、、a 的值. 教学策略：3个题目都比较基础，教师可以让学生独立完成，然后共同交流，总结知识，提炼方法． 设计意图：巩固所学知识，加深对反比例函数性质的理解．第六环节：归纳总结 纳入系统内容：本节课你学到了反比例函数的哪些新知识?你有哪些感悟和收获？你还有想继续探究的问题吗？ 你对小组成员有什么评价和建议呢？ 教学策略：引导学生对自己的学习过程进行提炼、反思，从知识上和方法上进行总结． 设计意图：引导学生关注数学的学习过程，及时总结、反思、交流，同时重视小组内的合作和交流，倾听小组成员的评价、建议，取长补短，共同提高．第七环节：分层达标 课后延伸A 层：1.下列函数中，图象位于第一、三象限的有；在图象所在象限内，y 的值随x 的增大而增大的有．(1)x y 32=；（2）x y 1.0=；（3）x y 5=；（4）xy 752-= 2.已知点A （-1，1y ）、B （-2，2y ）在双曲线1y x=上，则1y 2y (填“>、<或=”）．B 层：已知点1(2,)y ，2(1,)y ，3(1,)y -，4(2,)y -都在反比例函数1y x=的图象上，比较1y 、2y 、3y 与4y 的大小．C 层：已知点1(2,)y -，2(1,)y -，3(3,)y 都在反比例函数ky x=的图象上，比较1y 、2y 、3y 的大小．教学策略：让学生根据自身的学习情况，自主选择适合的题目。

尽可能当堂反馈检测结果，如果时间不允许，可以课后反馈，但一定要及时．设计意图：设置不同层次、具有选择性的题目，供不同的学生选择，实现“不同的人在数学上得到不同的发展”． 作业：A 层：习题1、2B 层：习题3、4C 层：习题5附：板书设计反比例函数的图象与性质（二）一、探究过程 二、性质提炼结论：；三、练一练结论：；四、教学设计反思1．学生在学习本节课前经历过一次函数图象和性质的探索过程，对函数图象和性质的探究方法有了初步的认识，这些对本节课知识的学习起到了很好的铺垫作用．本节课又不同于研究一次函数，由于反比例函数的图象相对于一次函数图象的特殊性，使得对反比例函数图象和性质的探索过程更加细致、全面．教学设计中，特别注重了比例函数性质的探索过程，通过问题的引领让生更全面的对函数进行观察和比较，给学生创设了充足的讨论时间和空间，鼓励学生用自己的语言对观察和概括的结论进行充分的表达和描述．2．学生能做的让学生做，学生能说的让学生来说，教学设计中关注了学生主体作用的发挥，教师进行适时的引领和点拨，教学中教师要用鼓动性的语言，激发学生探究的热情，点燃学生学习的激情．3．本节课学生的参与度较高，教师要了解学生参与活动中情感与智力的参与程度，及时进行多角度的积极评价，帮助学生建立自信，发挥评价的教育功能．。