2012年高考数学专题复习_椭圆(修订版,可直接打印)
2012届高考数学第一轮复习强化训练 15.1《椭圆》新人教版选修1-1
15.1椭圆【考纲要求】1、了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2、掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.3、了解椭圆的简单应用.4、理解数形结合的思想. 【基础知识】 1、 椭圆的定义平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆 （).ellipse 这两个定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 1.2F F 叫做椭圆的焦距。
当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F =的点的轨迹是线段12F F ;当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F <的点的轨迹不存在. 2、 椭圆的标准方程⑴设(,)x y 是椭圆上任意一点，椭圆焦点12,F F 的坐标分别为(,0),(,0)c c -又点M 与点12,F F 的距离的和等于常数2(220),a a c >>则椭圆的标准方程是：22221x y a b+=（其中222,0).b a c a b =->>（2）设(,)x y 是椭圆上任意一点，椭圆焦点12,F F 的坐标分别为(0,),(0,)c c -又点M 与点12,F F 的距离的和等于常数2(220),a a c >>则椭圆的标准方程是：22221y x a b+=（其中222,0).b a c a b =->>3、 椭圆的简单几何性质 标准方程22221(0)x y a b a b +=>> 22221(0)y x a b a b +=>>图形范围 ,a x a b y b -≤≤-≤≤,a y a b x b -≤≤-≤≤对称性 既是中心对称，又是轴对称，原点是椭圆的对称中心，x 轴和y 轴是椭圆的对称轴顶点 (,0),(,0),(0,),(0,)a a b b --(,0),(,0),(0,),(0,)b b a a --离心率 (0,1)ce a=∈， 焦点 (,0),(,0)c c -(0,),(0,)c c -焦距222c a b =-）长轴长 2a 短轴长 2b准线方程 2a x c=±2a y c=±通径22b d a= 4、点00(,)p x y 和椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的位置关系（1）点00(,)p x y 在椭圆外2200221x y a b ⇔+>（2）点00(,)p x y 在椭圆上2200221x y a b ⇔+=（3）点00(,)p x y 在椭圆内2200221x y a b⇔+<5、求椭圆的方程，用待定系数法，先定位，后定量。
【优化方案】2012高考数学总复习 第7章第5课时椭圆精品课件 文 新人教B版
第5课时
双基研习·面对高考 考点探究·挑战高考 考向瞭望·把脉高考
双基研习·面对高考
基础梳理
1．椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之_和___等 于常数(__大__于__|F__1F__2|__) 的点的集合叫做椭圆， 这两个定点F1，F2叫做椭圆的__焦__点___，两 焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的__焦__距___．
解得 22≤e≤1，又∵0<e<1，∴ 22≤e<1.
【思维总结】 椭圆的几何性质主要是围绕椭圆 中的“六点”(两个焦点、四个顶点)，“二 线”(两条对称轴)，“两形”(中心、焦点以及短 轴端点构成的三角形、椭圆上一点和两焦点构成 的三角形)，“两围”(x的范围，y的范围)．
互动探究 本例中若M点在椭圆内部，其他条 件不变，试求之．
设直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 有|AB|＝ 1＋k2x1－x22＝
1＋k2· x1＋x22－4x1x2＝ 1＋k12y1－y22＝
1＋k12· y1＋y22－4y1y2(k 为直线斜率)．
例4 (2010年高考福建卷)已知中心在坐标原点O 的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C 有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求 出直线l的方程；若不存在，说明理由． 【思路分析】 (1)利用待定系数法求方程， (2)先设直线方程，代入值，利用判别式求其范围．
B.6x02＋8y02 ＝1
C.8x02＋2y02 ＝1
D.2x02 ＋8y20＝1
答案：C
4．(教材习题改编)已知椭圆中心在原点，一个焦 点为 F(－2 3，0)，且长轴长是短轴长的 2 倍， 则该椭圆的标准方程是________________．
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2012年高考数学专题复习椭圆【考纲要求】一、考点回顾 1. 椭圆的定义2. 椭圆的标准方程3. 椭圆的参数方程4 椭圆的简单几何性质l6 关于焦点三角形与焦点弦7 椭圆的光学性质二典例剖析 1 求椭圆的标准方程【例1】(1已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴较近的一个端点____________(2椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,直线1y x =+交椭圆于,P Q 两点,若0OP OQ ⋅= ,且PQ ,则椭圆方程为【例2】设椭圆(222210x y a b a b +=>>的左焦点为F ,上顶点为A ,过A 点作AF 的垂线分别交椭圆于P ,交x 轴于Q ,且85AP PQ =(1求椭圆的离心率。
(2若过,,A F Q 三点的圆恰好与直线30x +=相切,求椭圆的方程。
【例3】已知中心在原点的椭圆的左,右焦点分别为12,F F ,斜率为k 的直线过右焦点2F 与椭圆交于,A B 两点,与y 轴交于点M 点,且22MB BF =(1若k ≤(2若k =AB 的中点到右准线的距离为10033,求椭圆的方程【例4】已知椭圆的中心在原点O ,短轴长为右准线交x 轴于点A ,右焦点为F ,且2OF FA =,过点A 的直线l 交椭圆于,P Q两点(1求椭圆的方程(2若0OP OQ ⋅=,求直线l 的方程(3若点Q 关于x 轴的对称点为Q ',证明:直线PQ '过定点 OPQ【例5】已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1 (1求椭圆C的标准方程(2若直线:l y kx m=+与椭圆交于,A B两点(,A B不是左,右顶点且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标2 椭圆的性质【例6】已知椭圆(222210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为(1,0F c -,(2,0F c ,在椭圆上存在一点P ,使得120PF PF ⋅=(1求椭圆离心率e 的取值范围(2当离心率e 取最小值时,12PF F 的面积为16,设,A B 是椭圆上两动点,若线段AB 的垂直平分线恒过定点(0,Q 。
椭圆高考真题含详解
2012年椭圆高考真题1.【2012高考新课标文4】设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） 【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形，∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，∴322c a =，∴e =34，故选C.2.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y +=（B ）221128x y +=（C ）22184x y +=（D ）221124x y += 【解析】因为242c c =⇔=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县22448a a c c=⇔==，所以222844b a c =-=-=。
故选答案C 3.【2012高考浙江文8】 如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点。
若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是A.3B.2C. 3D. 2【解析】设椭圆的长轴为2a ，双曲线的长轴为2a '，由M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则222a a '=⨯，即2a a '=，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c ，则双曲线的离心率为c e a '='，c e a =，2e a e a '=='. 4.【2012高考上海文16】对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件【解析】方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，常数常数n m ,的取值为0,0,,m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩所以，由0mn >得不到程122=+ny mx 的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出0mn >，因而必要.所以答案选择B.5.【2012高考江西文8】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2。
椭圆高考真题含详解
2012年椭圆高考真题1.2012高考新课标文4设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点;P 为直线32ax =上一点;12PF F ∆是底角为30的等腰三角形;则E 的离心率为 解析∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形;∴0260PF A ∠=;212||||2PF F F c ==;∴2||AF =c ;∴322c a =;∴e =34;故选C.2.2012高考全国文5椭圆的中心在原点;焦距为4;一条准线为4x =-;则该椭圆的方程为 A2211612x y +=B 221128x y +=C 22184x y +=D 221124x y += 解析因为242c c =⇔=;由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县22448a a c c=⇔==;所以222844b a c =-=-=..故选答案C 3.2012高考浙江文8 如图;中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点;M;N 是双曲线的两顶点..若M;O;N 将椭圆长轴四等分;则双曲线与椭圆的离心率的比值是 A.3 B.2 C. 3 D. 2解析设椭圆的长轴为2a;双曲线的长轴为2a ';由M;O;N 将椭圆长轴四等分;则222a a '=⨯;即2a a '=;又因为双曲线与椭圆有公共焦点;设焦距均为c;则双曲线的离心率为c e a '=';c e a =;2e a e a '=='. 4.2012高考上海文16对于常数m 、n ;“0mn >”是“方程221mx ny +=的曲线是椭圆”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件解析方程122=+ny mx 的曲线表示椭圆;常数常数n m ,的取值为0,0,,m n m n >⎧⎪>⎨⎪≠⎩所以;由0mn >得不到程122=+ny mx 的曲线表示椭圆;因而不充分；反过来;根据该曲线表示椭圆;能推出0mn >;因而必要.所以答案选择B.5.2012高考江西文8椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是A;B;左、右焦点分别是F 1;F 2..若|AF 1|;|F 1F 2|;|F 1B|成等比数列;则此椭圆的离心率为 A.14 B. 55 C. 12D.5-2解析本题着重考查等比中项的性质;以及椭圆的离心率等几何性质;同时考查了函数与方程;转化与化归思想.利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：1AF a c =-;122F F c =;1F B a c =+.又已知1AF ;12F F ;1F B 成等比数列;故2()()(2)a c a c c -+=;即2224a c c -=;则225a c =.故55c e a ==.即椭圆的离心率为55.6.2012高考四川文15椭圆2221(5x y a a +=为定值;且5)a >的的左焦点为F ;直线x m =与椭圆相交于点A 、B ;FAB ∆的周长的最大值是12;则该椭圆的离心率是______..解析根据椭圆定义知：4a=12; 得a=3 ; 又522=-c a 7.2012高考天津19本小题满分14分已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>;点P 52)2a 在椭圆上.. I 求椭圆的离心率..II 设A 为椭圆的右顶点;O 为坐标原点;若Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ 的斜率的值..解析Ⅰ 点52,)2P a 在椭圆上222222222115365211884a ab b e e a b a a ⇔+=⇔=⇔=-=⇔=Ⅱ 设(cos ,sin )(02)Q a b θθθπ≤<；则(,0)A a直线OQ 的斜率sin 5cos OQ b k a θθ==±8.2012高考江苏1916分如图;在平面直角坐标系xoy 中;椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，;2(0)F c ，．已知(1)e ，和3e ⎛ ⎝⎭，都在椭圆上;其中e 为椭圆的离心率．1求椭圆的方程；2设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点;且直线1AF 与直线2BF 平行;2AF 与1BF 交于点P ． i 若126AF BF -=求直线1AF 的斜率； ii 求证：12PF PF +是定值． 答案解：1由题设知;222==ca b c e a+，;由点(1)e ，在椭圆上;得 2222222222222222111=1===1e c b c a b a a b b a b a a b+=⇒+⇒+⇒⇒;∴22=1c a -.. 由点3e ⎛ ⎝⎭，在椭圆上;得222224222244331311144=0=214e c a a a a a b a a -⎝⎭⎝⎭+=⇒+=⇒+=⇒-+⇒ ∴椭圆的方程为2212x y +=..2由1得1(10)F -，;2(10)F ，;又∵1AF ∥2BF ; ∴设1AF 、2BF 的方程分别为=1=1my x my x +-，;()()11221200A x y B x y y >y >，，，，，..∴()222122111111221221=022=1x m m y m y my y m my x ⎧+++=⎪⇒+--⇒⎨+⎪+⎩∴()()())222222221111122112210==12m m m m m AF x y my y m m +++++++-+++..①同理;)2222211=2m m BF m +-++..②i 由①②得;21221m m AF BF +-=2216m m +得2m =2.. ∵注意到0m >;∴=2m .. ∴直线1AF 的斜率为12m ii 证明：∵1AF ∥2BF ;∴211BF PB PF AF =;即2121111111BF PB PF BF AF PBPF AF PF AF +++=+⇒=.. ∴11112=AF PF BF AF BF +..由点B 在椭圆上知;1222BF BF +=()11212=22AF PF BF AF BF +..同理..()22112=22BF PF AF AF BF +..∴()()121212211212122+=222222AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF +=+++ 由①②得;)2122221=2m AF BF m +++;21221=2m AFBF m ++;∴1223+=2222PF PF .. ∴12PF PF +是定值..解析1根据椭圆的性质和已知(1)e ，和3e ⎛ ⎝⎭，都在椭圆上列式求解..2根据已知条件126AF BF -=用待定系数法求解.. 9.2012高考安徽文20本小题满分13分如图;21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22by =10>>b a 的左、右焦点;A 是椭圆C 的顶点;B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点;1F ∠A 2F =60°.Ⅰ求椭圆C 的离心率；Ⅱ已知△A B F 1的面积为403;求a; b 的值.解析I 1216022c F AF a c e a ο∠=⇔=⇔==Ⅱ设2BF m =；则12BF a m =-在12BF F ∆中;22212122122cos120BF BF F F BF F F ο=+-⨯⨯1AF B ∆面积211133sin 60()40322510,5,53S F F AB a a a a c b ο=⨯⨯⨯⇔⨯⨯+=⇔===10.2012高考广东文20本小题满分14分在平面直角坐标系xOy 中;已知椭圆1C ：22221x y a b+=0a b >>的左焦点为1(1,0)F -;且点(0,1)P 在1C 上.1求椭圆1C 的方程；2设直线l 同时与椭圆1C 和抛物线2C ：24y x =相切;求直线l 的方程. 解析1因为椭圆1C 的左焦点为1(1,0)F -;所以1c =;点(0,1)P 代入椭圆22221x y a b +=;得211b =;即1b =;所以2222a b c =+=;所以椭圆1C 的方程为2212x y +=. 2直线l 的斜率显然存在;设直线l 的方程为y kx m =+;2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩;消去y 并整理得222(12)4220k x kmx m +++-=; 因为直线l 与椭圆1C 相切;所以2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=; 整理得22210k m -+= ①24y x y kx m⎧=⎨=+⎩;消去y 并整理得222(24)0k x km x m +-+=.. 因为直线l 与抛物线2C 相切;所以222(24)40km k m ∆=--=; 整理得1km = ②综合①②;解得2k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩或2k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩..所以直线l的方程为y x =或y x =-11.2102高考北京文19本小题共14分已知椭圆C ：22x a +22y b=1a ＞b ＞0的一个顶点为A2;0;离心率为2; 直线y=kx-1与椭圆C 交与不同的两点M;NⅠ求椭圆C 的方程 Ⅱ当△AMN的面积为3时;求k 的值 考点定位此题难度集中在运算;但是整体题目难度确实不大;从形式到条件的设计都是非常熟悉的;相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的..解：1由题意得22222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得b =.所以椭圆C 的方程为22142x y +=.2由22(1)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4240k x k x k +-+-=.设点M;N的坐标分别为11(,)x y ;22(,)x y ;则11(1)y k x =-;22(1)y k x =-;2122412k x x k +=+;21222412k x x k -=+.所以|MN|=222121()()x x y y -+-221212(1)[()4]k x x x x ++-222(1)(46)k k ++. 由因为点A2;0到直线(1y k x =-）的距离212d k=+; 所以△AMN 的面积为221|46||212k k S MN d k +=⋅=+. 由22|4610123k k k +=+;解得1k =±. 12.2012高考山东文21 本小题满分13分如图;椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>3;直线x a =±和y b =±所围成的矩形ABCD 的面积为8.Ⅰ求椭圆M 的标准方程；Ⅱ 设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的 交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||||PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值. 答案I 222334c a b e a a -==⇒=……① 矩形ABCD 面积为8;即228a b ⋅=……②由①②解得：2,1a b ==;∴椭圆M 的标准方程是2214x y +=.II 222244,58440,x y x mx m y x m ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩;设1122(,),(,)P x y Q x y ;则21212844,55m x x m x x -+=-=;由226420(44)0m m ∆=-->得55m <<22284442||245555m PQ m m -⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭当l 过A 点时;1m =;当l 过C 点时;1m =-.①当51m <<-时;有(1,1),(2,2),||2(3)S m T m ST m ---+=+; 222||454461||5(3)5PQ m ST m t t-==-+-+其中3t m =+;由此知当134t =;即45,(5,1)33t m ==-∈--时;||||PQ ST 255.②由对称性;可知若15m <<则当53m =时;||||PQ ST 255.③当11m -≤≤时;||22ST =2||25||5PQ m ST =-; 由此知;当0m =时;||||PQ ST 255.综上可知;当53m =±和0时;||||PQ ST 255.13.2012高考辽宁文20本小题满分12分如图;动圆2221:C x y t +=;1<t<3;与椭圆2C ：2219x y +=相交于A;B;C;D 四点;点12,A A 分别为2C 的左;右顶点.. Ⅰ当t 为何值时;矩形ABCD 的面积取得最大值 并求出其最大面积； Ⅱ求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程..命题意图本题主要考查直线、圆、椭圆的方程;椭圆的几何性质;轨迹方程的求法;考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力;难度较大.. 解析Ⅰ设A 0x ;0y ;则矩形ABCD 的面积S=004|||x y ;由220019x y +=得;220019x y =-;∴2200x y =2200(1)9x x -=220199()924x ---; 当2092x =;2012y =时;max S =6;∴t 5;矩形ABCD 的面积最大;最大面积为6. Ⅱ 设()()1111,,,-A x y B x y ;又知()()12-3,0,3,0A A ;则直线1A A 的方程为()11=+3+3y y x x ① 直线2A B 的方程为()11-=-3-3yy x x ②由①②得()22221221-=-3-3y y x x ③由点()11,A x y 在椭圆0C 上;故可得2112+=13x y ;从而有22112=1-3x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭;代入③得 ∴直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程为()22-=1<-3,<09x y x y 解析本题主要考查直线、圆、椭圆的方程;椭圆的几何性质;轨迹方程的求法;考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力;难度较大..14.2012高考重庆文21本小题满分12分;Ⅰ小问5分;Ⅱ小问7分已知椭圆的中心为原点O ;长轴在x 轴上;上顶点为A ;左、右焦点分别为12,F F ;线段12,OF OF 的中点分别为12,B B ;且△12AB B 是面积为4的直角三角形..Ⅰ求该椭圆的离心率和标准方程；Ⅱ过1B 作直线交椭圆于,P Q ;22PB QB ⊥;求△2PB Q 的面积答案：Ⅰ220x +24y =11610;12|OA B B ⊥*设1122(,),(,),P x y Q x y 则12,y y 是上面方程的两根;因此1224,5my y m +=+ 122165y y m -⋅=+ 又111222(2,),(2,)B P x y B P x y =-=-; 所以1212(2)(2)B P B P x x ⋅=--12y y + 由22PB QB ⊥ ;知220B P B Q ⋅= ;即216640m -= ;解得2m =± 当2m = 时;方程*化为：298160y y --= 故1244104410y y +-== ;12810||y y -= 2PB Q 的面积121211610||||2S B B y y =-= 当2m =- 时;同理可得或由对称性可得2PB Q 的面积1610S = 综上所述;2PB Q 161015.2012高考陕西文20本小题满分13分已知椭圆221:14x C y +=;椭圆2C 以1C 的长轴为短轴;且与1C 有相同的离心率.. 1求椭圆2C 的方程；2设O 为坐标原点;点A;B 分别在椭圆1C 和2C 上;2OB OA =;求直线AB 的方程..解析Ⅰ由已知可设椭圆2C 的方程为()222124y x a a +=>;则4a =． 故椭圆2C 的方程为141622=+x y ．Ⅱ解法一：A B ，两点的坐标分别为()()A A B B x y x y ，，，; 由2AB OA =及Ⅰ知;O A B ，，三点共线且点A B ，不在y 轴上; 因此可设直线AB 的方程为kx y =．将kx y =代入1422=+y x 中;得()44122=+x k ;所以22414k x A +=; 将kx y =代入22+1164y x =中;得()22416k x +=;所以22164B x k =+; 又由2AB OA =;得224A B x x =;即224116416k k +=+．解得1±=k ;故直线AB 的方程为x y =或x y -=． 解法二：A B ， 两点的坐标分别为()()B B A A y x y x ,,,;由OA AB 2=及Ⅰ知;O A B ，，三点共线且点A B ，不在y 轴上; 因此可设直线AB 的方程为kx y =．将kx y =代入1422=+y x 中;得()44122=+x k ;所以22414k x A +=; 又由2AB OA =;得224116k x B+=;2224116k k y B +=;将22,BBy x 代入141622=+x y 中;得141422=++k k ;即22414k k +=+; 解得1±=k ;故直线AB 的方程为x y =或x y -=。
内蒙古呼伦贝尔市2012届高三数学总复习《椭圆》课件
得
2
b b2 a
1,
1,
从而
a
b
2, 1.
因此,所求的椭圆方程为 y2 x2 1. 4
(2)如图,设M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2+h),
则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′|x=t=2t. 直线MN的方程为y=2tx-t2+h. 将上式代入椭圆C1的方程中,得 4x2+(2tx-t2+h)2-4=0. 即4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.①
x2 b2
1(a
b
0)的右
顶点为A 1, 0,过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设点P在抛物线C2 : y x2 h(h R)上,C2在点P处
的切线与C1交于点M, N.当线段AP的中点与MN的中
点的横坐标相等时, 求h的最小值.
解
:
F1(0,-c);F2(0,c)
-a≤x≤a
-b≤x≤b
-b≤y≤b
-a≤y≤a
中心
O(0,0)
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
准线方程 离心率
x a2 c
a2 y
c
0e c 1 a
考点训练
1.(2009
北京)椭圆 x2 9
y2 2
1的焦点为F1, F2,点P在椭
(| PF1 PF2 |)2 2 | PF1 || PF2 | 4c2,
即4a2 4c2 2 | PF1 || PF2 | 2 18 4b2.
b 3.
4.(2009
浙江省2012高考数学总复习 第8单元 第5节 椭圆课件 文 新人教A版
圆方程为 x 2 + 3 y=2 1或 +3 x 2 =1y 2.
5
10
10
5
h
10
变式1-1
已知F1、F2为椭圆
x a
2 2
y b
2
=2 1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆
的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e= 3 ，则椭圆的方
程是( )
2
A. x 2 y 2 1
B.
43
C. x 2 y 2 1
2 .5
3
由椭圆的定义，知2a=|PF1|+|PF2|=2 5 ，即a= 5 .
由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴．
故在Rt△PF2F1中，4c2=|PF1|2-|PF2|2= 6 9 0
=
2 0，∴c2=
3
，5
3
于是b2=a2-c2=1 0 .
3
又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭
|
3x
=4 y|x6-| 5
2|.若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0，其斜率为负，不合题意，舍
去．于是3x-4y+6=-5x+10，即2x-y-1=0，所以∠F1AF2的角平分 线所在直线的方程为2x-yy轴上，则
+ y 2
2
=x 2 1， >2 2⇒0<k<1.
3. A 解析： 直线y=kx+1过点(0k ,1)，2 要使直k 线恒与椭圆有公共
点，点(0,1)应在椭圆内部或椭圆上，则由图形得m≥1且m¹5.
4. B 解析：依题意可得：a=2，b=1，c=3 ，所以M=a+c=32+
2012高考数学文北师大版一轮复习课后练习43椭圆
2012届高考（文科）数学一轮复习课时作业43椭圆一、选择题1．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( ) A ．4B ．5C ．7D ．8解析：椭圆焦点在y 轴上，∴a 2＝m －2，b 2＝10－m .又c ＝2，∴m －2－(10－m )＝22＝4.∴m ＝8.答案：D2．[2011·课标全国卷] 椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( ) A.13 B.12 C.33 D.22解析：由题意a ＝4，c 2＝8，∴c ＝22，所以离心率为e ＝c a ＝224＝22. 答案：D3．已知点M (3，0)椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为( ) A ．4B ．8C ．12D ．16解析：直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8.答案：B4．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为( )A ．1B. 2 C ．2 D ．2 2 解析：设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22.∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D.答案：D5．[2011·福建卷] 设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32解析：设|F 1F 2|＝2c (c >0)，由已知|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，得|PF 1|＝83c ，|PF 2|＝43c ，且|PF 1|>|PF 2|，若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，离心率e ＝c a ＝12； 若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝43c ，离心率e ＝c a ＝32，故选A. 答案：A6．(2010年全国Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与C 相交于A 、B 两点，若AF →＝3FB →，则k 等于( )A ．1B. 2C. 3 D ．2解析：由椭圆C 的离心率为32，得c ＝32a ，b 2＝a 24， ∴椭圆C ：x 2a 2＋4y 2a 2＝1.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，F (32a,0)． ∵AF →＝3FB →，∴(32a －x A ，－y A ) ＝ 3(x B －32a ，y B )． 32a －x A ＝3(x B －32a )，－y A ＝3y B即x A ＋3x B a ，y A ＋3y B ＝0将A 、B 代入椭圆C 方程相减得9x B 2－x A 2a 2＝8，(3x B ＋x A )(3x B －x A )a 2＝8， ∴3x B －x A ＝433a . ∴y A ＝－69a ，y B ＝618a ，∴k ＝y B －y A x B －x A ＝618a ＋66a 539a －33a ＝ 2. 答案：B二、填空题7．(2011年金华十校)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为________．解析：根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6. 答案：68．(2011年北京育才第二次月考)设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的标准方程为________． 解析：抛物线y 2＝8x 的焦点是(2,0)，∴椭圆的半焦距c ＝2即m 2－n 2＝4，又e ＝m 2－n 2m ＝2m ＝12，∴m ＝4，n 2＝12.从而椭圆的方程为x 216＋y 212＝1. 答案：x 216＋y 212＝1 9．(2011年佳木斯第一中学第二次月考)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________． 解析：设椭圆的长半轴为a ，由2a ＝12知a ＝6，又e ＝c a ＝32，故c ＝33，∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9. ∴椭圆标准方程为x 236＋y 29＝1. 答案：x 236＋y 29＝1 三、解答题10． [2011·陕西卷] 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35. (1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标． 解：(1)将(0,4)代入椭圆C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4. 又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5， ∴C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)， 设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1， 即x 2－3x －8＝0.解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412， ∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32， y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65. 即中点为（32，－65）.11．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程． 解：若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2， y ＝－b 2，即B (3c 2，－b 2)． 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b2＝1， 即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·(3c 2，－3b 2)＝32⇒b 2－c 2＝1， 即有a 2－2c 2＝1.②由①，②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.12．(2010年广州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过P (1，32)． (1)求椭圆C 的方程；(2)设F 是椭圆C 的左焦点，判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．解：(1)∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P (1，32)，则 1a 2＋94b 2＝1，且a 2－b 2 a 2＝14∴a 2＝4，,b 2＝3∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)∵a 2＝4，b 2＝3，∴c ＝a 2－b 2＝1，∴椭圆C 的左焦点F 的坐标为(－1,0)．以椭圆C 的长轴为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，圆心坐标是(0,0)，半径为2.以PF 为直径的圆的方程为x 2＋(y －34)2＝2516，圆心坐标是(0，34)，半径为54. ∵两圆心之间的距离为(0－0)2＋(34－0)2＝34＝2－54，故以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．。
【三年考点汇总】2012年高考数学考点汇总22椭圆(人教大纲版)
考点22 椭圆
一、选择题
1.（2012·大纲版全国卷高考文科·Ｔ5）与（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ3）相同
椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为（）
A.+=1
B.+=1
C.+=1
D.+=1
【解题指南】求椭圆的标准方程关键是求出的值，根据题意易得出的方程组，先求出的值.再根据,c的关系求出b的值，代入椭圆标准方程. 【解析】选C.由题意得，解得，，.
则该椭圆的方程为+=1.
二、填空题
2.（2012·四川高考文科·Ｔ15）椭圆为定值，且的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。
【解题指南】利用椭圆的定义，不等式的性质解题.
【解析】设椭圆的右焦点为, 的周长
.即直线过右焦点时，的周长最大.由得，.故椭圆方程为.离心率. 【答案】.
3.（2012·四川高考理科·Ｔ15）椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________.
【解题指南】利用椭圆的定义，不等式的性质，三角形的面积公式解题.
【解析】设椭圆的右焦点为, 的周长
.即直线过右焦点时，的周长最大. 故，设，则又, 的面积为
【答案】.。
2012重点中学高中数学专项------椭圆
课题：椭圆教学目标：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. 教学重点： 椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质及应用.典例分析问题1．根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)1P ，(2P ；（2）两准线间的距离为5，焦距为（3）和椭圆2212420xy+=共准线，且离心率为12；（4）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为3和3，过点P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点.(5)问题2．已知F 是椭圆225945x y +=的左焦点，P 是此椭圆上的动点，()1,1A 是一定点.(1)求23PA PF +的最小值，并求点P 的坐标； (2)求PA PF +的最大值和最小值.问题3.(1)设点(),P x y 在椭圆2244x y +=上，求x y +的最大值和最小值.(2) 椭圆224936x y +=的焦点为1F 、2F ，点P 位其上的动点，当12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是问题4．已知点P 是椭圆22221xya b+=（0a b >>）上一点，1F 、2F 是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P 使1260F PF ∠=︒.(1)求椭圆离心率e 的取值范围；(2)求12PF F △的面积问题5. 已知椭圆C ：22221xy ab+=()0a b >>的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求A O B △面积的最大值.课后作业1.已知P 是椭圆22221xya b+=()0a b >>上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P 到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为2.点P 在椭圆221259xy+=上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标是3.如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是 4.方程|2|)1(3)1(322-+=+++y x y x 表示的曲线是 ( ).A 椭圆 .B 双曲线 .C 抛物线 .D 不能确定5.已知(1,0)A -,(1,0)B ,点(,)C x y 12=，则AC BC += ( ).A 6 .B 4 .C 2 .D 不能确定 6.已知)0,3(),0,3(21F F - 是椭圆122=+nymx的两个焦点，P 是椭圆上的点，当1223F P F π∠=，12F PF △的面积最大，则有 ( ).A 3,12==n m .B 6,24==n m .C 6,12==n m .D 23,6==n m7.已知C 是椭圆22221x y ab+= ()0a b >>的半焦距，则b c a+的取值范围是 ( ).A ()1,+∞ .B)+∞ .C (.D (1,8.求证：无论k 取何值时，直线10kx y k -++=都与椭圆2212516xy+=相交9.直线l 过点()1,1M ，与椭圆22143xy+=相交于A 、B 两点，若A B 的中点为M ，试求直线l 的方程.10.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与椭圆相交于点P 和点Q ，且OP OQ ⊥，2PQ =.走向高考11.椭圆5522=-ky x 的一个焦点是()2,0 ，那么=k12.设椭圆2212516xy+=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2O M O P O F =+，则O M =13.在平面直角坐标系x O y 中，已知A B C △顶点(4,0)A -和(4,0)C ，顶点B 在椭圆221259xy+=上，则s i n s i n s i n A CB+=14.椭圆221259xy+=的离心率是 ，准线方程是15.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( ).A 13.B 3.C 12.D 216.设12,F F 分别是椭圆22221x y ab+=（0a b >>）的左、右焦点，P （c 为半焦距）的点，且122F F F P =，则椭圆的离心率是 ( ).A 12.B 12.C 12.D 217.椭圆22221x y ab+=(0)a b >>的焦点为12,F F ，两条准线与x 轴的交点分别为,M N ，若M N ≤12F F 2，则该椭圆离心率的取值范围是 ( ).A 102⎛⎤ ⎥⎝⎦，.B 02⎛ ⎝⎦ .C 112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.D 12⎫⎪⎪⎣⎭18.设11229(,),(4,),(,)5A x yBC x y 是右焦点为F 的椭圆221259xy+=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的 ( ).A 充要条件；.B 必要不充分条件；.C 充分不必要条件；.D 既非充分也非必要条件19.已知以1(20)F -，，2(20)F ，为焦点的椭圆与直线40x ++=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 ( ).A .B .C .D20.已知A B C △的顶点,B C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在B C 边上，则A B C △的周长是 ( ) .A .B 6 .C .D 12 21.设椭圆22221xya b+=(0)a b >>的离心率为12e =，右焦点为(0)F c ，，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12(,)P x x.A 必在圆222x y +=内 .B 必在圆222x y +=上 .C 必在圆222x y +=外 .D 以上都可能。
2012届高考数学难点突破复习-椭圆
2012届高考数学难点突破复习:椭圆第一节椭圆1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.第二定义:平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(02.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示)标准方程图形顶点对称轴焦点焦距离心率准线方程点P(x0,y0)的焦半径公式例1.P点在椭圆上，F1、F2是两个焦点，若，则P点的坐标是.例2.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6;.(2)焦点坐标为,,并且经过点(2，1);.(3)椭圆的两个顶点坐标分别为,,且短轴是长轴的;____.(4)离心率为，经过点(2，0);.例3.是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是．课时练11.F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹方程是()(A)椭圆(B)直线(C)圆(D)线段2.已知的周长是16，，B,则动点的轨迹方程是()(A)(B)(C)(D)3.若F(c，0)是椭圆的右焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为M，最小值为m，则椭圆上与F点的距离等于的点的坐标是()(A)(c，)(C)(0，±b)(D)不存在4.如果椭圆上有一点P，它到左准线的距离为2.5，那么P点到右焦点的距离与到左焦点的距离之比是()。
(A)3:1(B)4:1(C)15:2(D)5:15.设F1(-c，0)、F2(c，0)是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF1F2=5∠PF2F1,则椭圆的离心率为()(A)(B)(C)(D)6.椭圆中心是坐标原点O，焦点在x轴上，e=，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，|PQ|=，且OP⊥OQ，求此椭圆的方程.第二节双曲线1.双曲线的定义：第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(0第二定义:平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数叫做双曲线的离心率.标准方程图形顶点对称轴焦点焦距离心率准线方程例1.过点(2，-2)且与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程是()(A)(B)(C)(D)例2.如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么双曲线的离心率为（）（A）（B）（C）（D）2例3.如果双曲线上一点到它的左焦点的距离是8，那么点到它的右准线的距离是()(A)(B)(C)(D)例4.根据下列条件，求双曲线方程:⑴与双曲线有共同渐近线，且过点(-3，)；⑵与双曲线有公共焦点，且过点(，2).例5.设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2）⑴求直线AB方程；第三节抛物线1.抛物线的定义:平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F不在上).定点F叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.标准方程图形对称轴焦点顶点准线离心率点P(x0,y0)的焦半径公式用到焦半径自己推导一下即可如:开口向右的抛物线上的点P(x0,y0)的焦半径等于x0+.例1.顶点在原点，焦点是的抛物线方程是()例2.抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是()(A)(B)(C)(D)0例3.过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有()(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条例4.斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，则．例5.过点(-1,0)的直线l与抛物线y2=6x有公共点，则直线l的倾斜角的范围是.第四节直线与圆锥曲线位置关系一．知识要点：1．弦长公式．2．焦点弦长：（点是圆锥曲线上的任意一点，是焦点，是到相应于焦点的准线的距离，是离心率）例1.AB为过椭圆=1中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则△AFB的面积最大值是()(A)b2(B)ab(C)ac(D)bc例2.若直线y＝kx＋2与双曲线的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（）,,,,例3.抛物线y2=4x截直线所得弦长为3，则k的值是()(A)2(B)-2(C)4(D)-4课时练1．以点为中点的抛物线的弦所在的直线方程为（）2．斜率为的直线交椭圆于两点，则线段的中点的坐标满足方程（）3．过点与抛物线只有一个公共点的直线的条数是（）4．已知椭圆，则以为中点的弦的长度是（）5.若双曲线x2－y2=1右支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为，则a＋b 的值是（）.或(D)2或－26.抛物线y=x2上的点到直线2x-y=4的距离最近的点的坐标是())(B)(1,1)(C)()(D)(2,4)7.如果直线与双曲线没有交点，则的取值范围是.。
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2012年高考数学专题复习
椭 圆 【考纲要求】
一、考点回顾 1. 椭圆的定义
2. 椭圆的标准方程
3. 椭圆的参数方程
4 椭圆的简单几何性质
l
6 关于焦点三角形与焦点弦
7 椭圆的光学性质
二 典例剖析 1 求椭圆的标准方程
【例1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的一个端点____________
（2）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+交椭圆于,P Q 两点，若0OP OQ ⋅= ，且PQ ，则椭圆方程为
【例2】设椭圆()22
2
210x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为A ，过A 点作AF 的垂线分别交椭圆于P ，交x 轴于Q ，且85AP PQ =
（1）求椭圆的离心率。
（2）若过,,A F Q 三点的圆恰好与直线30
x +=相切，求椭圆的方程。
【例3】已知中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为12,F F ，斜率为k 的直线过右焦点2
F 与椭圆交于,A B 两点，与y 轴交于点M 点，且
22MB BF =
（1）若k ≤
（2）若
k =AB 的中点到右准线的距离为100
33，求椭圆的方程
【例4】已知椭圆的中心在原点O ，短轴长为右准线交
x 轴于点A ，右焦点为F ，且2OF FA =，过点A 的直线l 交椭圆于,P Q
两点
（1）求椭圆的方程
（2）若0
OP OQ ⋅=
，求直线l 的方程
（3）若点Q 关于x 轴的对称点为Q '，证明：直线PQ '
过定点 OPQ
【例5】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1（1）求椭圆C的标准方程
（2）若直线:l y kx m
=+与椭圆交于,A B两点（,A B不是左，右顶点）且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定
点，并求出该定点的坐标
2 椭圆的性质
【例6】已知椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，在椭圆上存在一点P ，使得120PF PF ⋅=
（1）求椭圆离心率e 的取值范围
（2）当离心率
e 取最小值时，12
PF F 的面积为16，设,
A B 是椭圆上两动点，若线段AB 的垂直平分线恒过定点(0,
Q 。
①求椭
AB k
【注1】在方法二中，也可由
QA QB
=得到②
【注2】求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况： （1）已知不等式；（2）椭圆上的点的横坐标满足0a x a -≤≤；（3）0∆>；
（4）椭圆内部的点()
00
,x y
满足
22
00
22
1
x y
a b
+<
；
【例7】椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，斜率为1的直线过椭圆的右焦点2F与椭圆交于,A B两点，OA OB
+
与向量
()
3,1
a=-
共线。
（1）求椭圆的离心率e
（2）设M为椭圆上任一点，若
()
,
OM OA OB R
λμλμ
=+∈
，求证：
22
λμ
+为定值
【例8】已知A为椭圆
()
22
22
10
x y
a b
a b
+=>>
上一动点，弦
,
AB AC分别过焦点
12
,F F
，当AC x
⊥轴时，恰有12
3
AF AF
=
.
（1）椭圆的离心率
（2）设
111AF F B λ= ，222AF F C λ= ，判断12λλ+是否为定值？
【例9】设00(,)P x y 是椭圆()22
2
210x y a b a b +=>>上的定点，过P 点作两条直线,PA PB 与椭圆分别交于,A B 两点（异于P 点）且满足直线PA 与PB 的倾斜角互补，求证：直线AB 的斜率为定值
3. 最值问题
【例10】已知12,F F 是椭圆2214x y +=的左，右焦点以及两定点()1,,0,22M N ⎫⎪⎝⎭
（1）设P 为椭圆上一个动点 ①求
1PF PM
+的最大值与最小值；②求1
2PF PF ⋅
的最大值与最小值。
（2）过N 点作直线l 与椭圆交于,A B 两点，若AOB ∠为锐角（O 为原点），求直线l 的斜率的取值范围
【例11】已知椭圆
22
:1
43
x y
C+=
，AB是垂直于
x轴的弦，直线4
x=交x轴于点N，F为椭圆C的右焦点，直线AF与BN交
于点
M
（1）证明：点
M在椭圆C上
（2）求
AMN
面积的最大值
【例12】已知椭圆的中心在原点，左，右焦点分别为())12
0,0
F F ，右顶点为()2,0A ，设
11,2M ⎛⎫
⎪
⎝⎭，过原点O 的直线
与椭圆交于,B C 两点，求MBC 的最大值
【例13】（08 山东）已知曲线
()
1
:10
x y
C a b
a b
+=>>
所围成的封闭图形的面积为1C的内切圆半径为，记2C是以1C与坐标轴的交点为顶点的椭圆
（1）求椭圆2
C的标准方程
（2）设AB是过椭圆2C中心的任意弦，
l是AB线段的垂直平分线，M是l上异于椭圆中心的点。
①若MO OA
λ
=
（
O为坐标原点）当A点在椭圆2C上运动时，求点M的轨迹方程；②若点M是
l与椭圆2C的交点，求AMB
的最小面积
【例14】已知椭圆22:1
43x y C +=的左，右焦点分别为12,F
F ，过1F 的直线与椭圆交于,A B 两点 （1）求2AF B 的面积的最大值
（2）当
2AF B 的面积最大值时，求12tan F AF ∠的值
【例15】(2009山东卷) 设椭圆E: ()22
2210x y a b a b +=>>过M （2 ，两点，O 为坐标原点，
（1）求椭圆E 的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥
？若存在，写出该圆的方程，并求
|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
（3）设直线l 与椭圆
222
:(2C x y r r +=<<相切于P 点，与椭圆E 只有一个公共点Q ，当r 取何值时，
PQ 取得最大
值？并求此最大值
【注】存在以坐标原点O 为圆心的圆，使得圆的任一切线与椭圆交于P, Q 两点，满足OP OQ ⊥，且圆的方程为
22
2
2
2
2a b x y a b +=+；
反之，若OP OQ ⊥，
则O 点到直线PQ 的距离为定值
ab
. 当
k PQ b
a =±
时，|PQ|当2
k 0
PQ =或
PQ x ⊥轴时，|PQ|。
.
4 直线与椭圆的位置关系
【例16】已知12,F F 是椭圆2
2:1
4x C y +=的左，右焦点，直线l 与椭圆相切。
（1）分别过1
2,F F 作切线l 的垂线，垂足分别为M N ，
，求12F M F N ⋅的值
（3）设直线l 与
x 轴，y 轴分别交于两点,A B ，求AB 的最小值。
【例17】已知椭圆
22
:1
94
x y
C+=
，过点
()
03
P，
作直线
l与椭圆顺次交于,A B两点（A在,P B之间）。
（1）求
PA
PB
的取值范围；
（2）是否存在这样的直线
l，使得以弦AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，求l的方程，若不存在，说明理由。
【例18】设,A B是椭圆
()
22
30
x yλλ
+=>
上两点，点
()3
N1，
是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线交椭圆于,C D两点
（1）确定
λ的取值范围，并求直线AB的方程
（2）是否存在这样的实数λ，使得
,,,
A B C D
四点在同一圆上？并说明理由。