第二讲——参数估计和假设检验

2 / 2
n
2 E
式中的总体比例π可以通过以下方式估计： 根据历史资料确定 通过试验性调查估计 取为0.5。
不重复抽样时的必要样本量

比重复抽样时的必要样本量要小。
n0 n n0 1 N

式中n0是重复抽样时的必要样本容量。
样本量的确定（实例1）
需要多大规模的样本才能在 90% 的置信 水平上保证均值的误差在 ± 5 之内? 前 期研究表明总体标准差为 45. Z n= E2
ˆx, ,x 称为 1 n
1
n

的估计值。
,x ,x 通过一次具体抽样值 x 1 2 n ，估计 参数 取值的方法称为参数的点估计问题。 例如，在估计总体方差时，

n
i 1
( xi x ) 2 n
和

n
Fra Baidu biblioteki 1
( xi x ) 2 n 1
都可以作为估计量。
一个待估参数 ，可以有几个不同的估计量， 这就引出了如何衡量估计量好坏的标准。
由于在实践中总体参数的真实值是未 知的，因此实际抽样误差是不可知的； 由于样本估计值随样本而变化，因此 实际抽样误差是一个随机变量。

抽样平均误差

抽样平均误差：样本均值的标准差，也就是前面说 的标准误。它反映样本均值（或比例）与总体均值 （比例）的平均差异程度。 2 ˆ
ˆ
E ( )
参数估计与假设检验
1.参数估计 2.假设检验
参数估计：对总体参数运用统计学原理给 出一个估计量或估计区间来。 假设检验：对提出的关于总体或总体参数 的某个陈述进行检验，判断真伪。
1. 参数估计
1.1参数估计的基本概念 1.2总体均值和比例的区间估计 1.3必要样本容量的确定

1.1 参数估计的基本概念
1.0
1.5 2.0 2.5
1.5
2.0 2.5 3.0
2.0
2.5 3.0 3.5
2.5
3.0 3.5 4.0
样本均值的抽样分布
所有样本均值的均值和方差
1 . 0 1 . 5 4 . 0 2 . 5 x M 16
i 1 i
x
n
n
M 2 2 2 ( 1 .02 .5 ) (4 .02 .5 ) 0 .625 16 n 1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值
点估计量的常用评价准则：无偏性

无偏性：估计量的数学期望与总体待估参 数的真值相等： E( ˆ)
P(ˆ ) 无偏 有偏
A
B

ˆ
点估计量的常用评价准则： 有效性

在两个无偏估计量中方差较小的估 计量较为有效。
P(ˆ )
ˆ1 的抽样分布
B A
ˆ 2 的抽样分布

ˆ
估计量的常用评价准则：一致性
如何确定必要样本量？

必要样本量受以下几个因素的影响：




1、总体标准差。总体的变异程度越大，必 要样本量也就越大。 2、最大允许误差。最大允许误差越大，需 要的样本量越小。 3、置信度1- 。要求的置信度越高，需要 的样本量越大。 4、抽样方式 。其它条件相同，在重复抽样、 不重复抽样；简单随机抽样与分层抽样等不 同抽样方式下要求的必要样本容量也不同。
2 2
=
(1.645) (45)
2
2
(5)
2
= 219.2≈ 220
向上取整
样本量的确定（实例2）
一家市场调研公司 想估计某地区有电 脑的家庭所占的比 例。该公司希望对 比例 p 的估计误差不 超 过 0.05 ， 要 求 的 可 靠 程 度 为 95% ， 应抽多大容量的样 本（没有可利用的 p 估计值）？
置信区间
置信下限
估计值(点估计)
置信上限
抽样分布 Sampling Distribution



从总体中抽取一个样本量为n的随机样本， 我们可以计算出统计量的一个值。 如果从总体中多次抽取样本量为n的样本， 就可以得到统计量的多个值。 统计量的抽样分布就是这一统计量所有可 能值的概率分布。
抽样分布：几个要点

置信区间的推导：
x Z 2
x 1 P Z / 2 n

x Z
n
2
n
有限总体不重复抽样时，样本均值或比例的方 差需要乘以“有限总体校正系数”（当抽样比 f=n/N小于0.05时可以忽略不计），前面的公 式需要进行相应的修改。 N n ˆ ˆ p ( 1 p ) N n x ˆ p
简单随机抽样下估计总体均值时 样本容量的确定
E Z /2


Z /2 , n 2 E n
2
2
式中的总体方差可以通过以下方式估计： 根据历史资料确定 通过试验性调查估计
简单随机抽样下估计总体比例时 样本容量的确定
E Z / 2

Z ( 1 ) ( 1 ) ,n
n N 1
n N 1
关于置信度含义的说明
在所有的置信区间中， 有(1-) *100% 的区间 包含 总体真实值。 对于计算得到的一个具 体区间，这个区间包含 总体真实值要么包含， 要么不包含总体真值。 说“总体均值有95%的概 率落入某一区间”是不 严格的，因为总体均值 是非随机的 。 /2
解 : 已 知 E=0.05 ， =0.05 ， Z/2=1.96 ， 当 π 未 知 时 取 为 0.5。
n
Z 2 2 (1 )
E2 (1 . 96 ) 2 ( 0 . 5 )( 1 0 . 5 ) ( 0 .5 ) 2 385
实例3
你在美林证券公司的人力资源部工作。你计划 在员工中进行调查以求出他们的平均医疗支出。 你希望有 95% 置信度使得样本均值的误差在
2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n

2 x
(x )
i 1 i x
2
M为样本数目
样本均值的抽样分布与总体分布的比较
总体分布
.3 .2 .1 0
.3 .2 .1
P(x)
抽样分布
1
2
3
4
0
= 2.5
σ2 =1.25
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
样本均值的抽样分布 x 2 .5 2 x 0 .625
总体 样本
参数
统计量
?
算术平均数 x
用来推断总体参数的统计量称为估计量（estimator), 其取值称 为估计值（estimate) 。 同一个参数可以有多个不同的估计量。 参数是唯一的，但估计量（统计量）是随机变量，取值是不确 定的。
点估计及其性质
估计量：设 为总体X的一个未知参数，统计量 ˆ ˆX , ,X 称为 的估计量。
根据中心极限定理得 到的近似结果。 σ未知时用s来估计。
总体比例的置信区间

ˆ ˆ n p 5 ,n ( 1 p ) 5 时总体比例的置 当 信区间可以使用正态分布来进行区间估计。 ˆ ，总体比例记为π） （样本比例记为 p
ˆ p z ~ N(0 , 1 ) ( 1) n
关于置信区间的补充说明

基本原理 零假设和备择假设 检验统计量和拒绝域 两类错误与显著性水平
实际中的假设检验问题

假设检验: 事先作出关于总体参数、分 布形式、相互关系等的命题（假设）， 然后通过样本信息来判断该命题是否 成立（检验） 。

指随着样本容量的增大，估计量越来越接 近被估计的总体参数。
P(X )
较大的样本容量
B A
较小的样本容量

X
区间估计


根据事先确定的置信度1 - 给出总体参数 的一个估计范围。 置信度1 - 的含义是：在同样的方法得到 的所有置信区间中，有100(1- % 的区间 包含总体参数。 抽样分布是区间估计的理论基础。

例如对简单随机抽样中的样本均值有：
x n
或 x

n
N n （不重复抽样） N 1

我们通常说“抽样调查中可以对抽样误差进行控 制”，就是指的抽样平均误差。由上面的公式可知 影响抽样误差的因素包括：总体内部的差异程度； 样本容量的大小；抽样的方式方法。
最大允许误差


最大允许误差（allowable error)：在确定 置信区间时样本均值（或样本比例）加减 的量，一般用E来表示，等于置信区间长 度的一半。在英文文献中也称为margin of error。 置信区间= x E 最大允许误差是人为确定的，是调查者在 相应的置信度下可以容忍的误差水平。

简单随机抽样、重复抽样时，样本均 值抽样分布的标准差等于 ，这
n
个指标在统计上称为标准误。 统计软件在对变量进行描述统计时一 般会输出这一结果。
有限总体校正系数
Finite Population Correction Factor

简单随机抽样、不重复抽样时，样本均值 抽样分布的方差略小于重复抽样的方差， 等于 2 N n
抽样分布的一个演示：重复抽样 时样本均值的抽样分布（2）
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复 抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果 如下表.
所有可能的n = 2 的样本（共16个）
第一个 观察值 1 2 3 4
1 1,1 2,1 3,1 4,1
第二个观察值 2 3 1,2 1,3 2,2 2,3 3,2 3,3 4,2 4,3
$50 以内。 过去的研究表明 约为 $400。需
要多大的样本容量?
Z n= 2 E
2
2
(1.96) (400) = 245.86 ≈ 246 = 2 (50)
2
2
2. 假设检验
2.1 假设检验的基本问题 2.2 单个总体参数的检验 2.3 两个总体参数的检验
2.1 假设检验的基本问题


抽样分布的一个演示：重复抽样 时样本均值的抽样分布（1）
设一个总体含有 4 个个体，分别为 X1=1 、 X2=2 、 X3=3 、X4=4 。总体的均值、方差及分布如下。 均值和方差

总体的频数分布
X
i 1
N
i
N
N
2.5
2 i1
2 ( X ) i
N
1 .25
.3 .2 .1 0 1 2 3 4
任意总体， 随n增大， 样本均值的 分布趋于正 态分布的过 程。
中心极限定理
从均值为 ，方差为 2 的一个任意总体中抽取容量 为 n 的样本，当 n 充分大时，样本均值的抽样分布近 似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布。
x n
大样本(n 30)
f(X)
小样本
x
X
标准误（Standard Error）




抽样分布是统计量的分布而不是总体或样本的 分布。 在统计推断中总体的分布一般是未知的，不可 观测的（常常被假设为正态分布）。 样本数据的统计分布是可以直接观测的，最直 观的方式是直方图，可以用来对总体分布进行 检验。 抽样分布一般利用概率统计的理论推导得出， 在应用中也是不能直接观测的。其形状和参数 可能完全不同于总体或样本数据的分布。
样本均值的抽样分布_正态总体
一般的，当总体服从 N(μ,σ2 )时，来自该总体 的容量为n的样本的均值X也服从正态分布，X 的 期望为μ，方差为σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)。
=10
n=4 x 5 n =16 x 2.5
= 50
X
x 50
X
总体分布
抽样分布
样本均值的抽样分布_其他总体
n N 1

N n N 1
这一系数称为有限总体校正系数。

当抽样比（n/N）<0.05时可以忽略有限总 体校正系数。
1.2 总体均值和比例的区间估计
相关理论
σ2已知？
是

n
是 总体正态？
否
n≥30？ 否 是 否
x Z 2
x t
s
2
n
x Z 2

n
增大n？数学 变换?
实际中总体方差总是未知的， 因而这是应用最多的公式。在 大样本时t值可以用z值来近似。
样本均值的 抽样分布
σ_
x
1 -
/2
_
X
x =
1.3 必要样本量的计算
样本量越大抽样误差越小。由于调 查成本方面的原因，在调查中我们总 是希望抽取满足误差要求的最小的样 本量。
关于抽样误差的几个概念


实际抽样误差 抽样平均误差 最大允许误差
实际抽样误差

样本估计值与总体真实值之间的绝对 离差称为实际抽样误差。 | ˆ |
4 1,4 2,4 3,4 4,4
抽样分布的一个演示：重复抽 样时样本均值的抽样分布（3）
各样本的均值如下表，并给出样本均值的抽样分布
16个样本的均值（x） 第一个 观察值
.3 P(x)
第二个观察值
1 2 3 4
.2 .1 0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 x
1
2 3 4