《概率论与数理统计》(武汉大学 齐民友版)课后答案

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概率论与数理统计课后习题参考答案

概率论与数理统计课后习题参考答案

习题11、(1)同时掷两枚骰子,记录点数之和 {2,3,,12}S =;(2)生产产品知道得到5件正品,记录生产产品的总件数 {5,6,}S =; (3)单位圆任取一点,记录它的坐标 22{(,)1,,}S x y x y x R y R =+<∈∈;(4)将单位长线段分3段,观察各段长度{(,,)1,0,0,0}S x y z x y z x y z =++=>>>。

2、(1)A 与B 都发生,C 不发生:ABC ;(2)ABC 至少一个发生:A B C ;(3)ABC 不多于一个发生:ABAC BC 。

3、对事件ABC ,已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求ABC 至少发生一个的概率?解:依题可知,()0P ABC =,则所求的概率为()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ++=++---+1153000488=⨯---+= 4、将10本书任意地放在书架上,其中有一套4卷成套的书,求概率?解:设事件A 表示“成套的书放在一起”,B 表示“成套的书按卷次顺序排好放在一起”,由概率的古典定义可得所求的概率为 (1)成套的书放在一起:7!4!1()10!30P A ⋅==(2)成套的书案卷次顺序排好放在一起:7!11()10!720P B ⋅==5、从5双不同的鞋子中任取4只,问这4只鞋子不能配成一双的概率是多少?解:设事件A 表示“取出的4只鞋子不能配成一双”,由概率的古典定义可得所求的概率为 44541028()21C P A C ⋅== 6、在电话号码簿中任取一个电话号码,求后面4个数全不相同的概率?解:设事件A 表示“电话号码的后面4个数全不相同”,由概率的古典定义可得所求的概率为4104()0.50410A P A ==7、已知P(非A)=0、3,P(B)=0、4,P(A 非B)=1/2,求P(B|AU 非B)? 解:依题可知,()1()0.7P A P A =-=,()1()0.6P B P B =-=,而()0.55()()0.77P AB P B A P A ===则2()1()7P B A P B A =-=,()()()0.2P AB P A P B A ==,故所求的概率为 ()()()()()P BAB P ABBB P B A B P AB P AB ⎡⎤⎣⎦== ()0.20.25()()()0.70.60.5P AB P A P B P AB ===+-+-8、设AB 是随机事件,P(A)=0、7,P(A-B)=0、3,求P (非(AB))?解:由()()()P A B P A P AB -=-,得()()()0.70.30.4P AB P A P A B =--=-=故 ()1()0.6P AB P AB =-=9、半圆内均匀的投掷一随机点Q ,试求事件A={Q于π/4}的概率?解:事件A 所对应的区域D 如下图所示,由概率的几何定义得所求的概率为()()()m D P A m S ==10、10解:设事件A 表示“这对夫妇正好坐在一起”,(91)!22()(101)!9P A -⋅==-11、已知10只晶体管中有2只是次品,在其中任取两只,每次随机取一只作不放回抽取 解:设事件A 表示“两只都是正品”, B 表示“两只都是次品”, C 表示“一只是正品,一只是次品”, D 表示“第二次取出的是次品”, 由概率的古典定义可得所求的概率为(1)两只都是正品2821028()45A P A A == (2)两只都是次品222101()45A P B A ==(3)一直是正品,一只是次品11128221016()45C C C P C A ⋅⋅== (4)第二次取出的是次品11292101()5C C PD A ⋅== 12、某学生接连参加同一课程的两次考试,第一次及格的概率为p ,如果他第一次及格,则x第二次及格的概率也为p ,如果第一次不及格,第二次及格概率为p/2。

概率论与数理统计课后题参考答案

概率论与数理统计课后题参考答案

第一章 基本概念1、试对下列随机试验各写出一个样本空间: (1)掷一颗骰子;(2)一个口袋中有5个外形相同的球,编号分别为1、2、3、4、5,从中同时取出3个球; (3)10只产品中有3只是次品,每次从中任取一只(取出后不放回),直到将3只次品全部取出,记录抽取的次数;(4)对某工厂生产的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如果查出2件次品就停止检查,或者查满4件也就停止检查,记录检查结果。

解:(1)}6,5,4,3,2,1{=Ω(2))}5,4,3(),5,4,2(),5,3,2(),4,3,2(),5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1{(=Ω5个球中选3各球进行组合,有1035=C 种。

(3)}109876543{,,,,,,,=Ω最少抽取的次数是每次取出的都是次品;最多抽取的次数是把10只产品全部取出,总能抽出3个是次品。

(4)用数字1代表正品,数字0代表次品;样本空间包括查出2件是次品和查满4件产品这两种情况。

)}1,1,1,0(),1,1,1,1(),1,0,1,1(),1,1,0,1(),0,1,1,1(),0,0,1,1(),0,1,0,1(),0,1,1,0(),0,0,1(),0,1,0(),0,0{(=Ω2、工厂对一批产品作出厂前的最后检查,用抽样检查方法,约定,从这批产品中任意取出4件产品来做检查,若4件产品全合格就允许这批产品正常出厂;若有1件次品就再作进一步检查;若有2件次品则将这批产品降级后出厂;若有2件以上次品就不允许出厂。

试写出这一试验的样本空间,并将“正常出厂”、“再作检查”、“降级出厂”、“不予出厂”这4个事件用样本空间的子集表示。

解:用数字1代表正品,数字0代表次品设=“正常出厂”; =“再作检查”; =“降级出厂”;D =“不予出厂”)}1,1,1,1{(=A)}0,1,1,1(),1,0,1,1(),1,1,0,1(),1,1,1,0{(=B)}0,0,1,1(),0,1,0,1(),1,0,0,1(),1,1,0,0(),1,0,1,0(),0,1,1,0{(=C )}0,0,0,0(),0,0,0,1(),0,0,1,0(),0,1,0,0(),1,0,0,0{(=D)}0,0,0,0(),0,0,0,1(),0,0,1,0(),0,1,0,0(),1,0,0,0(),0,0,1,1(),0,1,0,1(),1,0,0,1(),1,1,0,0(),1,0,1,0(),0,1,1,0(),0,1,1,1(),1,0,1,1(),1,1,0,1(),1,1,1,0(),1,1,1,1{(=⋃⋃⋃=ΩDC B A3、设A 、B 、C 是三个事件,试用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件: (1)A 与B 都发生,但C 不发生;(2)A 发生,但B 与C 可能发生也可能不发生; (3)这三个事件都发生; (4)这三个事件都不发生; (5)这三个事件中至少有一个发生; (6)这三个事件中最多有一个发生; (7)这三个事件中至少有两个发生; (8)这三个事件中最多有两个发生; (9)这三个事件中恰有一个发生; (10)这三个事件中恰有两个发生。

概率论与数理统计 第二版 齐民友 第二章 课后习题答案

概率论与数理统计 第二版 齐民友 第二章 课后习题答案

P( B1 U B2 U B3 U B4 ) = 1 − P( B1B2 B3 B4 ) = 1 − P( B1 )P( B2 )P( B3 )P( B4 ) ,
这里 Bi , i = 1,2,3, 4, 表示出现了故障及时得到了维修, 且有 P ( B1 )=P ( B2 )=P ( B3 )=P ( B4 ) . 若 设随机变量 X 为一人承包的机器中出故障的数量, 则 X : B (20, 0.01) , 近似地, 我们可以把
13. 设每条蚕的 产卵 数量记 为 X , 则 X : P (λ ), 设 每条蚕产 的卵变 成小蚕的数量 为 Y , 那么有
P(Y = k ) = ∑ P(Y = k | X = m) P( X = m )
m =k ∞ k k p (1 − p ) m −k = ∑ Cm m=k

λ m −λ e m! λ k λ m −k m!
P ( A3 ) = 0.30. 由于 A1,A2,A3 相互独立,因此,有
P{X = 0} = P( A 1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = (1 − 0.1) × (1 − 0.2) × (1 − 0.3) = 0.504, P{X = 1} = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) =0.1×0.8×0.7+0.9×0.2×0.7+0.9×0.8×0.3=0.398, P{X = 2} = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) =0.092,
(2) P( X > 300) = e

1 ×300 200

概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案1.在下列句子中随机地取一个单词,以X 表示取到的单词包含的字母的个数,试写出X 的分布律,并求)(X E .Have a good time解:本题的随机试验属于古典概型.所给句子共4个单词,其中有一个单词含一个字母,有3个单词含4个字母,则X 的所有可能取值为1,4,有41)1(==X P ,43)4(==X P ,从而413434411)(=⋅+⋅=X E .2.在上述句子的13个字母中随机地取一个字母,以Y 表示取到的字母所在的单词所含的字母数,写出Y 的分布律,并求)(Y E .解:本题的随机试验属于古典概型.Y 的所有可能取值为1,4,样本空间Ω由13个字母组成,即共有13个样本点,则131)1(==Y P ,1312)4(==Y P ,从而1349131241311)(=⋅+⋅=Y E .3.一批产品有一、二、三等品及废品4种,所占比例分别为60%,20%,10%和10%,各级产品的出厂价分别为6元、8.4元、4元和2元,求产品的平均出厂价.解:设产品的出厂价为X (元),则X 的所有可能取值为6,8.4,4,2,由题设可知X 的分布律为X 68.442P6.02.01.01.0则16.51.021.042.08.46.06)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E (元).4.设随机变量X 具有分布:51)(==k X P ,5,4,3,2,1=k ,求)(X E ,)(2X E 及2)2(+X E .解:3)54321(51)(=++++=X E ,11)54321(51)(222222=++++=X E ,274)(4)()44()2(222=++=++=+X E X E X X E X E .5.设离散型随机变量X 的分布列为k k kk X P 21)!2)1((=-=, ,2,1=k ,问X 是否有数学期望.解:因为∑∑∞=∞==⋅-111212)1(k k k k kkk 发散,所以X 的数学期望不存在.6.设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他.,0,22,cos 2)(2πππx x x f 求)(X E 及)(X D .解:因为x x 2cos 在]2,2[ππ-上为奇函数,所以0d cos 2d )()(222=⋅==⎰⎰-∞+∞-πππx x x x x f x X E ,2112d cos 2d )()(2222222-=⋅==⎰⎰-∞+∞-ππππx x x x x f x X E ,故2112)]([)()(222-=-=πX E X E X D .7.设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤<=其他.,0,21,2,10,)(x x x x x f 求)(X E 及)(X D .解:1d )2(d d )()(2112=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ,67d )2(d d )()(2121322=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ,61)]([)()(22=-=X E X E X D .8.设随机变量X 在)21,21(-上服从均匀分布,求)sin(X Y π=的数学期望与方差.解:由题可知X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他.,0,2121,1)(x x f 则0d 1sin d )(sin )][sin()(2121=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ,21d 1sin d )(sin )]([sin )(21212222=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ,21)]([)()(22=-=Y E Y E Y D .9.某正方形场地,按照航空测量的数据,它的边长的数学期望为350m ,又知航空测量的误差随机变量X 的分布列为X (m)30-20-10-0102030P05.008.016.042.016.008.005.0而场地边长随机变量Y 等于边长的数学期望与测量误差之和,即X Y +=350,求场地面积的数学期望.解:设场地面积为S ,则2Y S =,16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.030)(⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 005.03008.020=⨯+⨯+,16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.0)30()(222222⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 18605.03008.02022=⨯+⨯+,故)350700(])350[()()(2222++=+==X X E X E Y E S E 122686350)(700)(22=++=X E X E .10.A ,B 两台机床同时加工零件,每生产一批较大的产品时,出次品的概率如下表所示:A 机床次品数X 0123概率P7.02.006.004.0B 机床次品数X 0123概率P8.006.004.010.0问哪一台机床加工质量较好.解:44.004.0306.022.017.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ,8.004.0306.022.017.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ,6064.0)]([)()(22=-=X E X E X D ,44.010.0304.0206.018.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ,12.110.0304.0206.018.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ,9264.0)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ,)()(Y E X E =,但)()(Y D X D <,故A 机床加工质量较好.11.设随机变量X 与Y 相互独立,且方差存在,试证:22)]()[()()]([)()()(Y E X D Y D X E Y D X D XY D ++=,由此得出)()()(Y D X D XY D ≥.证:22)]([])[()(XY E XY E XY D -=222)]()([)(Y E X E Y X E -=2222)]([)]([)()(Y E X E Y E X E -=2222)]([)]([})]([)(}{)]([)({Y E X E Y E Y D X E X D -++=22)]()[()()]([)()(Y E X D Y D X E Y D X D ++=.因为)(X D ,)(Y D ,2)]([X E ,2)]([Y E 非负,所以)()()(Y D X D XY D ≥.12.已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤++=其他.,010,)(2x c bx x a x f又已知5.0)(=X E ,15.0)(=X D ,求a ,b ,c .解:c b a x c bx x a x x f ++=++==⎰⎰∞+∞-2131d )(d )(1102,c b a x c bx x a x x x f x X E 213141d )(d )()(5.0102++=++===⎰⎰∞+∞-,⎰⎰++-=-==∞+∞-1222d )()5.0(d )()]([)(15.0xc bx x a x x x f X E x X D 41314151-++=c b a ,解之得12=a ,12-=b ,3=c .13.设),(Y X 的分布律为(1)求)(X E 及)(Y E ;(2)设XYZ =,求)(Z E ;(3)设2)(Y X Z -=,求)(Z E .解:(1)2)13.00(3)1.001.0(2)1.01.02.0(1)(=++⨯+++⨯+++⨯=X E ,0)1.01.01.0(1)3.001.0(0)01.02.0()1()(=++⨯+++⨯+++⨯-=Y E ,(2)1.01)3.001.0(00)31(1.021(2.01)(⨯+++⨯+⨯-+⨯-+⨯-=Z E 1511.0311.021-=⨯+⨯+,(3)1.0)01(0)]1(3[1.0)]1(2[2.0)]1(1[)(2222⨯-+⨯--+⨯--+⨯--=Z E 51.0)13(1.0)12(1.0)11(3.0)03(0)02(22222=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+.14.设随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他.,0,10,20,3),(y x yx y x f求)(X E ,)(Y E ,)(Y X E +及)(22Y X E +.解:⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(911d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x x ,⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x yf Y E d d ),()(95d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x y ,⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(916d d 3)(1020=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ,⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(2222613d d 3)(102022=+⋅+=⎰⎰y x y x y x .15.),(Y X 在区域}1,0,0|),{(≤+≥≥=y x y x y x D 上服从均匀分布,求)(X E ,)23(Y X E -及)(XY E .解:由题可知),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤-≤≤=其他.,0,10,10,2),(y y x y x f ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(31d d 21010==⎰⎰-yy x x ,⎰⎰∞+∞-∞+∞--=-y x y x f y x Y X E d d ),()23()23(31d d )23(21010=-=⎰⎰-yy x y x ,⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x xyf XY E d d ),()(121d d 21010==⎰⎰-y y x xy .16.设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=.1,0,1,1),(2222y x y x y x f π证明:随机变量X 与Y 不相关,也不相互独立.证:⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθππ201d d cos 1d d 1)(r r r y x x X E ,同理,0)(=Y E ,⎰⎰⎰⎰⋅⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθθππ201d d sin cos 1d d 1)(r r r r y x xy XY E ,0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ,故随机变量X 与Y 不相关.当11≤≤-x 时,ππ21112d 1d ),()(22x y y y x f x f x x X -===⎰⎰---∞+∞-,其他,0)(=x f X ,故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他.,0,11,12)(2x x x f X π同理,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他.,0,11,12)(2y y y f Y π易得)()(),(y f x f y x f Y X ≠,故随机变量X 与Y 不相互独立.17.设随机变量1X ,2X 的概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 2)(21x x x f x ,⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 4)(42y y y f y 试用数学期望的性质求:(1))(21X X E +及)32(221X X E -;(2)又设1X ,2X 相互独立,求)(21X X E .解:由题可知1X ~)2(E ,2X ~)4(E ,则21)(1=X E ,41)(2=X E ,161)(2=X D ,81)]([)()(22222=+=X E X D X E .(1)43)()()(2121=+=+X E X E X X E ,85)(3)(2)32(221221=-=-X E X E X X E .(2)81)()()(2121==X E X E X X E .18.(1)设1X ,2X ,3X 及4X 独立同在)1,0(上服从均匀分布,求)51(41∑=k k kX D ;(2)已知随机变量X ,Y 的方差分别为25和36,相关系数为4.0,求Y X U 23+=的方差.解:(1)由题易得121)(=i X D ,)51(41∑=k k kX D )(5141∑==k kkX D )](4)(3)(2)([514321X D X D X D X D +++=21)4321(121512222=+++⋅=.(2)由已知25)(=X D ,36)(=Y D ,4.0)()(),cov(==Y D X D Y X XY ρ,得12),cov(=Y X ,)2,3cov(2)2()3()23()(Y X Y D X D Y X D U D ++=+=513),cov(232)(2)(322=⋅⋅++=Y X Y D X D .19.一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如果到达一个车站没有旅客下车就不停车,以X 表示停车的次数,求)(X E (设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立).解:引入随机变量⎩⎨⎧=站无人下车.,在第站有人下车;,在第i i X i 01,10,,2,1 =i .易知1021X X X X +++= .按题意,任一旅客在第i 站不下车的概率为9.0,因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为209.0,在第i 站有人下车的概率为209.01-,也就是209.0)0(==i X P ,209.01)1(-==i X P ,10,,2,1 =i .由此209.01)(-=i X E ,10,,2,1 =i .进而)()()()()(10211021X E X E X E X X X E X E +++=+++= 784.8)9.01(1020=-=(次).20.将n 只球(1~n 号)随机地放进n 只盒子(1~n 号)中去,一只盒子装一只球.若一只球装入与球同号的盒子中,称为一个配对,记X 为总的配对数,求)(X E .解:引入随机变量⎩⎨⎧=号盒子.号球未放入第第号盒子号球放入第第i i i i X i ,0,,1,n i ,,2,1 =,则n X X X X +++= 21,显然n X P i 1)1(==,则nX P i 11)0(-==,n i ,,2,1 =,从而nX E i 1)(=,n i ,,2,1 =,于是1)()()()()(2121=+++=+++=n n X E X E X E X X X E X E .21.设随机变量),(Y X 的分布律为试验证X 和Y 是不相关的,但X 和Y 不是相互独立的.证:0)25.00(2)025.0(1)025.0()1()25.00(2)(=+⨯++⨯++⨯-++⨯-=X E ,5)25.00025.0(4)025.025.00(1)(=+++⨯++++⨯=Y E ,0)4(25.0)8(0225.0125.0)1(02)(⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯-+⨯-=XY E 025.0804=⨯+⨯+,所以0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ,故X 与Y 不相关.易知25.025.00)2(=+=-=X P ,5.0025.025.00)1(=+++==Y P ,0)1,2(==-=Y X P ,有)1()2()1,2(=-=≠=-=Y P X P Y X P ,故X 与Y 不相互独立.22.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他.,0,10,10,),(y x y x y x f 求)(X E ,)(Y E ,)(X D ,)(Y D ,)(XY E ,),cov(Y X 及XY ρ.解:127d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ,125d d )(d d ),()(1010222=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ,14411)]([)()(22=-=X E X E X D ,由轮换对称性,得127)(=Y E ,14411)(=Y D ,31d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ,1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ,111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ.23.设X ~),(2σμN ,Y ~),(2σμN ,且X ,Y 相互独立.求Y X Z βα+=1和Y X Z βα-=2的相关系数(α,β是不为0的常数).解:由题可知μ==)()(Y E X E ,2)()(σ==Y D X D ,则2222)]([)()(σμ+=+=X E X D X E ,2222)]([)()(σμ+=+=Y E Y D Y E ,μβαβα)()()(1+=+=Y X E Z E ,μβαβα)()()(2-=-=Y X E Z E ,222221)()()()()(σβαβαβα+=+=+=Y D X D Y X D Z D ,222222)()()()()(σβαβαβα+=+=-=Y D X D Y X D Z D ,)()])([()(222221Y X E Y X Y X E Z Z E βαβαβα-=-+=))(()()(22222222σμβαβα+-=-=Y E X E ,222212121)()()()(),cov(σβα-=-=Z E Z E Z Z E Z Z ,22222121)()(),cov(21βαβαρ+-==Z D Z D Z Z Z Z .24.设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤--=.,0,10,10,2),(其他y x y x y x f (1)求),cov(Y X ,XY ρ和)32(Y X D -;11(2)X 与Y 是否独立?解:(1)125d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ,41d d )2(d d ),()(1010222=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ,61d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ,14411)]([)()(22=-=X E X E X D ,由轮换对称性,125)(=Y E ,14411)(=Y D ,1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ,111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ,)3,2cov(2)3()2()32(Y X Y D X D Y X D -+-+=-144155),cov(12)(3)(222=-+=Y X Y D X D .(2)当10≤≤x 时,x y y x y y x f x f X -=--==⎰⎰∞+∞-23d )2(d ),()(10,其他,0)(=x f X ,故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他.,0,10,23)(x x x f X 同理,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他.,0,10,23)(y y y f Y 因为)()(),(y f x f y x f Y X ≠,故X 与Y 不相互独立.。

概率论与数理统计课后标准标准答案

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第四章 大数定律与中心极限定理4.1设D(x)为退化分布:讨论下列分布函数列地极限是否仍是分布函数?1 1(1){D(x n)}; (2){D(x )}; (3){D(x - 0},其中 n =1,2,…n n解:(1)( 2)不是;(3)是. 4.2设分布函数F n (x)如下定义:x 兰- nl /、 x +nF n (x)=」 ---- 一 n c x 兰 n2n 1 x > n1J问F(x) =lim F n (x)是分布函数吗?n _jpc解:不是•4.3设分布函数列{F n (x)}弱收敛于分布函数 F(x),且F(x)为连续函数,则 {F n (x)}在(」:,::)上一致收敛于F(x).证:对任意地;.0,取M 充分大,使有1 —F(x) :: ;,—x_M;F(x) :: ;,—x ^-M对上述取定地 M ,因为F(x)在[-M,M ]上一致连续,故可取它地 k 分点:& 二-M :: X2 :: ::: X2 :: X k 二 M ,使有 F(X j .J - F(xJ ::;,仁 i :: k ,再令X o - -::,Xk T =3,则有F(x 「) —F(xJ :: ;,0G k 1这时存在N ,使得当n • N 时有|F n (X i )-F(X i" ;,0G Ek 1(2)成立,对任意地x •(-::,::),必存在某个i(0 _ i 一 k),使得(X j ,X j 』,由(2) 知当n •N 时有F n (X)乞 F n (X i1) ::F(X i1);D(x)x 0X _0(1)(3)F n (X)一 F n (Xj • F(X)一 ;(4)由( 1), (3), (4)可得F n (x) —F(x):: F(X i 1)—F(x) , F(X i ) — F(X i) — 2;, F n (x)-F(x) F(X i )-F(x)- ; _F(X i )_F(X i i)_ ; —2;,即有|Fn(x)-F(x)| c 2g 成立,结论得证•4.5设随机变量序列 同时依概率收敛于随机变量 •与,证明这时必有P( = ) =1.4.6设随机变量序列^n -In 1分别依概率收敛于随机变量•与,证明:(1)_nn即;■ n J'成立.(2 )先证明这时必有7—^ 2 .对任给地;0^0取M 足够大8<1 i ,使有^|> MT 〕£ §成立,对取定地M ,存在N ,当n> N 时有 lM 丿 < 2丿即对任意地名>0有P (E 」Mg )=0成立,于是有P G^n)=P |U 吐一H 兰丄卩 <z P 工丄1=02 n从而P 「二)"成立,结论得证.证:对任意地;0有'->-卜 P 乍n 冷? |T 0,n T 0 2丿l 2丿证:(1)因为仁+口_監』n | |D n |沁A)u2 _P QE n -E 对)兰P Q -耳色上成立这时有I M 丿P fg +q >M 洋卩忤-匕+|2勺>M ) =p 鸥乂 +|2卩M 小為—q <i »P{(l n - I |2 | . M) - (I n - |-1)} < P(| r I ■ M 一 1)P(| n 一 |一1) ::2、・P(I n - "k J=P(|「|| n |- 0 = P{(| n - || n |- )- (| n #M)}P{(| 卄 || n |-)^ (| n | M)}乞 P(| n - |) P(| n | M)::3.MP2 n n =(: ■ n )^ n - n >C ■)^-^2'故;n P 「,结论成立.1 1 设随机变量序列©n ― T a ,a 0是一个常数,且:n式0,证明T -------- J —-na从而有P由;「•地任意性知;22,由前述(1)有4.7 不妨设a 0对任意地0 :::;::: a ,当< Z 时有;a =a 2 +a(£ _a)兰a2-a ;,n -a\a-;n.于是有J巴—a[n aTTn -a2-<Pl a 结论成立.兰名+P (^n —a KgH O, n T°o因而丿l a、 x ( 1证:充分性,令 f (x) , x 0,则 f (x)20, x 0,故 f (x)是 x(x -0)1 + X(1 + X)地单调上升函数,因而 L 止(启〉丘j ,于是有1 + E E F n _,| 0 兰 --- E ——t 0,n T 凶1半—匕|对任意地;.0成立,充分性得证.必要性,对任给地名>0,令A =仏:J -匕 > 計,因为©n ―J 匕,故存在 E- 充分大地N 使得当n 一 N 时有P (A ;):::;,于是有4.10设随机变量n 按分布收敛于随机变量■,又数列a n > a ,b n > b ,证明a n n ' b n 也按分布收敛于a b.证:先证明a n 按分布收敛于a . ^0时为显然,不妨设a 0( a ::: 0时地 修改为显然),若a , ',a n , n 地分布函数分别记作F a • •,F ,F an -与 F n •,则F a * X = F £」x,当x 是F a …地连续点时,%是F …地连续点,于是有 a ab5E2RGbCAP⑺ 〔X 、n m F a 缶(X )二 n m Fn 匕广广 F a©(X )PP4.9证明随机变量序列 I n [依概率收敛于随机变量 地充要条件为:住n 」|―;0,n -;::由;地任意性知 E一;0,nr ::, 结论为真.< P (A ;) ; ::成立,结论为真.由 4.12 知=(an -a)—;0,再由 4.6(1)知\(a^a) bn—;b ,于是由前述结论及4.11知\a n b^a;-佝-a)「b n按分布收敛于a:b ,结论得证.4.11设随机变量序列{;}按分布收敛于随机变量,随机变量序列{n}依概率收敛于常数a,证明n按分布收敛于:a.证:记「n地分布函数分别为F(x),F n(x),贝r - a地分布函数为F(x—a),设x是F (x 一a)地连续点,则对任给地;• 0 ,存在0,使当0 :::;厂时有| F(x - a _ ;) -F(x - a)卜:(1)现任取0 :::;1 :::;2 :::-,使得x-a,;1,x-a - ;2都是F ()地连续点,这时存在N,当n _弘时有I F (x - a * 詁)-F n (x - a * 詁)| ::>(2)|F(X-a - 二)- F n(X-a - ;2)|::;(3)对取定地,,存在N2,当n _ N2时有P(I n -a|_ ;1)::;(4)于是当n Xmax(N「N2)时,由(1),(2),(4)式有P(n n -a) *a)= P{(n n—a::x — a)-(|n—a|「1)} P{(n n—a::x — a)-(|n—a|_;1)} MP (n ::x—a ;1)P(| n —a|—;1):: F(x — a) 3;⑸又因为P(n ::X-a- ;2)=P{[ n n -(n -a)::X- ;2]「(| nT卜:;2)}+ P{(©n £X-am —a^2)}于是由(1),(3),(4)式有P(n n —a ::X-a) -P{[ n n -(n - 司::X - 叨「(| 厂&卜:;2)}他(6)-P(n ::X - a - ;2)一p(| n 一 a |- ;2 - F(X - a) - 3 ;由(5), (6)两式可得|P( n n — a ::x—a) —F(x—a)|::3;由;地任意性即知;n按分布收敛于:a ,结论得证.4.12设随机变量序列{ n}按分布收敛于,随机变量序列{ n}依概率收敛于0,证明P'n n >0.证:记',n地分布函数分别为F(x),F n(x),对任给地;弋,取a 0,b 0足够大,使—a,b是F(x)地连续点且1 —F(b) :::;,F(_a):::;W因为F n(x) > F(x),故存在N i,当n 一N i时有1 — F n(b)::2,F n(—a)::2P令M =max(a,b),因为厂0,故存在 2,当n _ N2时有P(l n | 八M而P(| n n | ;) = P{(| n n | ;厂[(—a ^ n 小厂(| n | )]}MP{(| n n | •;) 一[(中空n 小)一(| n | )]} = h 丨2M其中^=0,当n 一max(N「N2)时有P{(| n n | 厂(—a 乞n ::b)}乞P{^^ n < b)}二P{( n —a) 一( n - b)}二F n(-a) [1-F n(b)]P因而P(「n n | • J = J :::5 ;,由;地任意性知;n >0,结论为真•4.13设随机变量;服从柯西分布,其密度函数为P n(x)二n二(1 n2x2)这时有nP( n -x ^ii P( i 一)二[1 —F(x)]n =e 利xv),x ai=i对任意地;• 0,有证:对任意地; ■ 0,有已 庄 n 胆 1P(| n 匡;)r^dx21,n r ::4.14设{ n }为一列独立同分布随机变量,其密度函数为_P _其中:• 0为常数,令n =max (「I ,…,n ),证明n —;证:对任意地n ,0 ::: n ::: '■为显然,这时有P ( n :::nnx 1 xx W.i P( i <x W.i 0=dx =(—)n ,0 ::: x :::: y y P PP( n :: X)二 0,X 乞 0; P( n ::: X)=1,X _ :对任意地;• 0( ; ::: 1),有P(| n - J •;)二 P( n - ;)=(^-)n > 0, nP故n 》-成立,结论得证•4.15设{ ;}为一列独立同分布随机变量,其密度函数为x^a P (x )=」i0x vaP令 n 二 mi n(l ,2「;n ),证明 n 2.证:设i 地分布函数为F (x ),有F(x)■:P故 n 0, n _•:.0 :: x :::P(| n - a ;) = P( n - a _ ;) =0, n“ ::P故n 》a 成立,结论得证•4.17设{ n }为一列独立同分布随机变量,都服从(0,1)上地均匀分布,若n1Pn =([丨;)n,证明n 》C(C 为常数),并求出C.k 4证:这时{In n }也是独立同分布随机变量序列,且1E n = °ln xdx = -11 nP由辛钦大数定律知{In n }服从大数定理,即有—'T n 11,令f(x)二e x,则n y结论成立.2 n P 证明 一2k k )a.n(n 1) k^2 / ka = a n(n 1)心4J “2門2 —2 kn (n 1)心对任给地;・0,由契贝晓夫不等式有2协1 协1 4Q 2P(| n -a|- ;)2 D n 2 0,n::.n 1P故n 》a ,结论得证.4.19设{ n }为一列独立同分布随机变量,且 D ^-2存在,数学期望为零,证f (x)是直线上地连续函数,由 4.8题知n (II i :—1 i )nnln i P土 —;e J = c4.18设{ n }为一列独立同分布随机变量, 每个随机变量地期望为a ,且方差存在,证:已知E n = a ,记D ^-2,令n2n(n 1)数定律(马尔柯夫大数定律) 证:由契贝晓夫不等式即得.4.26在贝努里试验中,事件 A 出现地概率为p ,令1,若在第n 次及第n+1次实验中A 出现 O 其它证明{ n }服从大数定律.证:{ n }为同分布随机变量序列,且E E 'n= p 2 ,因而D ;二P 2(1- P 2)叮,n P明-Zn k 4证:这时{ ;}仍独立同分布,且E SD ; ::,由辛钦大数定律知结论成立.4.21设随机变量序列{ n }按分布收敛于随机变量,又随机变量序列{ n }依概率收敛于常数a(a = 0), n =0,则{ n 按分布收敛于a.证:由4.7题知丄 -- --- J 0,于是由4.12题有-n (―an*1布收敛于一(见4.10题地证明),因而由4.11题知a按分布收敛于一,结论成立.a4.22设{;}为独立同N(0,1)分布地随机变量序列,证明ni 地分布函数k4弱收敛于N(0,1)分布.证:这时{ '}也为独立同分布随机变量序列,且 E 'n=1,由辛钦大数定律知 na i 2—P》1,又n 1服从N(0,1)分布,当然弱收敛于 n i 1N(0,1)分布,由4.21题即知n 按分布收敛于N(0,1)分布,结论得证.plEanqFDPw4.23如果随机变量序列{ n },当n > -> 0,证明{ n }服从大又当|i-j|_2时,i与j独立,由4.24知{n}服从大数定律,结论得证•Q Q4.28设{n}为一列独立同分布随机变量,方差存在,又'a n为绝对收敛级数,n 4令n二n - i,则{a n n}服从大数定律.i 4证:不妨设E ^0.否则令:「n -E n,并讨论{n}即可•记E :=于,又:: n n i n nc — |a n 卜:::.因为 7 a i i - 7 a i (V - W aj,故有n 4 i =4 i 4 k =4 k4i 土1 n 1 n . n CT2 n n C%2D(1 a i i)2E{1 "(二a i)] 牙"(二a i)0,n r ::n i土n k A i土n 心甘n由4.23知{a n n}服从大数定律,结论得证.4.30设{n}为一列独立同分布随机变量,共同分布为弹 2 1P( n 2) F ,k=1,2,k 2试问{n}是否服从大数定律?答:因为E n存在,由辛钦大数定律知{n}服从大数定律.4.31设{n}为一列独立同分布随机变量,共同分布为弹 cP(n"莎而,5旳 1其中C=( 2 P)',问{n}是否服从大数定律?k=2 k log k答:因为E n存在,由辛钦大数定律知{n}服从大数定律.4.32如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上地概率,为了有95鸠上地把握保证所观察到地频率与概率P地差小于P10,问至少应该做多少次试验?DXDiTa9E3d 解:令n-(- p)— P|:: P) =P(| V k 1 np10 Jnpq 10 F q 1 一彳 _e 2dx _ 0.95故应取 1 np= 2,即n =400$,但图钉底部重,尖头轻,由直观判断有p_〕,10、q p2因而q<1,故可取 n =400.p4.33 一本书共有一百万个印刷符号,排版时每个符号被排错地概率为 0.0001,校对时每个排版错误被改正地概率为 0.9,求在校对后错误不多于 15个地概 率.RTCrpUDGiT解:令戶‘1第i 个印刷符号被排错且校 对后仍错误 厂:0 其它因为排版与校对是两个独立地工序,因而P = P( j =1) =0.0001 0.1 =10二P( j =0) =q =1 - pn{ i }是独立同分布随机变量序列,E j = p ,令n = ' i ,其中n = 106,由中心im极限定理有p( n 汨5) = P (—匸叩 J 5二np =b)、1Jnpq pnpqv 2其中b '5:1.58,查N (0,1)分布表即可得P( n 汨5) : 0.94,即在校对后错误.10不多于15个地概率.‘1第n 次试验时图钉的尖头朝上其它据题意选取试验次数n 应满足 nz 耳P(|^^ - Pl 2)_ 0.95,因为n 比较大,由中心n10极限定理有n ' iP(ln1 np 10, q_• 1 np 2刁0「24.34在一家保险公司里有10000个人参加保险,每人每年付12元保险费,在一年里一个人死亡地概率为 0.006,死亡时家属可向保险公司领得1000元,问:5PCzVD7HxA(1) 保险公司亏本地概率多大?(2) 保险公司一年地利润不少于 40000元,60000元,80000元地概率各为多大? 解:保险公司一年地总收入为120000元,这时 (1) 若一年中死亡人数 120,则公司亏本; (2) 若一年中死亡人数<80,则利润中死亡人数_ 40000元;若一年中死亡人数<60,则利润中死亡人数> 60000元;若一年中死亡人数<40,则利润中死亡人数_ 80000元; 令¥‘1第i 个人在一年内死亡巴=丿 i0第i 个人在一年内活着n则P ( i =1)=0.006二p ,记n =7爲n=10000已足够大,于是由中心极限定理i 吕 可得欲求事件地概率为 (1)同理可求得 (2)P ( n 岂 80) : 0.995 (对应的 b 2.59) P (n ^60) : 0.5 (对应的 b = 0)P^n >120) =1 _P (苹/ J 20_n pJnpq 」pqx 21b —60,——「e 2dx 畑0(其中b 畑P ( n 乞 40) : 0.005 (对应的b ” -2.59)4.35有一批种子, 其中良种地比例与其中良种占1,从中任取6000粒,问能以0.99地概率保证61相差多少? jLBHrnAlLg6解:令1第i 粒为良种0第i 粒不是良种则P (〔ni,其中n = 6000,据题意即要求:使满足i An P(|」 1人 n.Z --卜?) 一 0.99.令q =1-p,b ----- ,因为n 很大,由中心极限定理有6n :npq1 n — np: ) = P(—bm —n — p mb) 6. nipq 由N(0,1)分布表知当b =2.60时即能满足上述不等式,于是知b ___ 1a =-J npq ".25x10,,即能以0.99地概率保证其中良种地比例与相差不超n6过1.25 10巴4.36若某产品地不合格率为0.005,任取10000件,问不合格品不多于70件地 概率等于多少? 解:令尹_;1第i 件为不合格品 _i ="0 第i 件为合格品贝U p =P( i =1) =0.005,记 q =1_p, “ = J i ,其中 n = 10000,记 b = 70二np , y J npq由中心极限定理有—x 2叮—np1 bP( n 乞 70) =P(—nb) e 2dx : 0.998.npq2-即不合格品不多于70件地概率约等于0.998.4.37某螺丝钉厂地不合格品率为0.01,问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中 含有100只合格品地概率不小于0.95 ? XHAQX74J0X 解:令£_ ;1 第i 只是合格品 _i ="0第i 只是不合格品=1) =0.99,记 q=1 —p,b = 100二np,Jn pq应满足P( n :: 100) < 0.05,由中心极限定理有十 S 一 npP( n ::100) =P(—n ——b):J npq 寸2兀查N(0,1)分布表可取b =-1.65,由此求得n =103,即在一盒中应装103只螺丝 钉才能使其中含有100只合格品地概率不小于0.95. LDAYtRyKfE4.39用特征函数地方法证明“二项分布收敛于普哇松分布”地普哇松定理.证:设{ i }」』独立同二项分布,即P(|-n- n 21 b _; ---- e 2dx _ 0.99 2 u则 p 二 P( i n二:h ,其中n 尚待确定,它i =12b 丄_e 2 dx 乞0.05P( ' =1) = P n,P( 「=0) =q n =1 一P n,1 S 乞nn(q nP n e"),记n 八i n , n 地特征函数记作:n (t),因为i 1二- o(-), qn =1 - 一 o(-),于是有n1 it.二[1 — ■ (e -1)o(—)]n —e ,n r ::而e ,(eH A)是参数为■地普哇松分布地特征函数,由特征函数地逆极限定理即知定 理成立,证毕.4.40设随机变量I .服从丨---分布,其分布密度为■二 地分布函数弱收敛于N (0,1)分布. Jot证:l 地特征函数为,()=(1-殳厂〉,易知 」地特征函数为t 2故lim _g :.(t) =e _2,所以相应地分布函数弱收敛于 N (0,1)分布,命题得证.Ct —JpC4.41设{ ;}为一列独立同分布随机变量,且 ;服从(-n,n)上地均匀分布,证明 对{ n }成立中心极限定理.in地特征函数为 nP n 》’,故 P nn (t) =4P n" =(1e K o(1))nn nn a, it八仁帀乜)(1n P (x)=丨(:)X~e 「X x 0(, m 0)x _0证:当=时, g,t) =e 八(1-it-i -t r :ln(1 )=e■因而有ln(1 -+ 0(^^))t 2T -— a T2,.23t1 ito2 2nx , ndx ,于是」2n 3nnk 21B "2;Dk ;§=!8n (n1)(2n1)r对任意地「0,存在N ,使当n-N 时有亍」,因而B.n ,即林德贝尔格条件满足,所以对{ ;}成立中心极限定理,结论得证•4.42设{ ;},{ n }皆为独立同分布随机变量序列,且 { n } 与{ n }独立,其中1 1 nE?n =0,DE n =1; PC =±1) = ,n= 1,2,…,证明:s n=〒送 和地分布函数弱2 P n i 二收敛于正态分布N(0,1).证:这时{ ; n }仍是独立同分布随机变量序列,易知有E( n n ) ",D( n n ) = E( n nt = E ;=1分布N(0,1),结论得证.4.45利用中心极限定理证明: f n k 、 .Z ——b T —,n T k!丿 2证:设{ n }是独立同分布随机变量序列,共同分布为 ■ =1地Poisson 分布,故nE n =D n -1, Bn =、' D k = n ,由林德贝尔格---勒维中心极限定理知kJ证:易知E n3 2故 B n从而当n K N ,LX^Bn Tx 2dF k (x) = 0,若 k <n ,由此知lim 12"B ; k4n送爲/2dF k (x )=0由林德贝尔格---勒维中心极限定理知:S n\ i 地分布函数弱收敛于正态广nZ (J -EL)k-1B nn由Poisson 分布地可加性知;服从参数为n 地Poisson 分布,因而k 4nn」n *n nP(v k ::: n) ■ —e 』,但 一e J — 0 (n —;),所以 k 4 k ^o k! n!成立,结论得证版权申明本文部分内容,包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理 .版权为个人所有This articlein eludes someparts, in cludi ng text, pictures,and desig n. 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概率论与数理统计课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案1. 引言概率论与数理统计是统计学的基础课程之一,通过学习这门课程,我们可以理解和运用概率和统计的概念和方法,从而分析和解决实际问题。

本文档将提供《概率论与数理统计》课后习题的详细答案。

2. 习题答案第一章:概率论的基本概念和基本原理1.1 选择题a.概率是以【答案】】D.形式结果给出的。

b.从一副有 52 张牌的扑克牌中,任意取一张牌,其点数是 7 的概率是【答案】】C.$\\frac{4}{52}$。

1.2 计算题a.设 A, B 是两个事件,已知 P(A) = 0.5,P(B) = 0.4,且P(A ∪ B) = 0.7,求P(A ∩ B)。

【解答】根据概率的加法定理可知,P(P∪P)=P(P)+P(P)−P(P∩P)代入已知数据,得到:0.7=0.5+0.4−P(P∩P)解上式得到P(A ∩ B) = 0.2。

所以,P(A ∩ B) = 【答案】0.2。

b.有两个相互独立的事件 A 和 B,且 P(A) = 0.3,P(A∪ B) = 0.5,求 P(B)。

【解答】由于事件 A 和 B 是相互独立的,所以根据概率的乘法定理可知,P(P∪P)=P(P)×P(P)代入已知数据,得到:0.5=0.3×P(P)解上式得到 P(B) = 0.5 ÷ 0.3 = 1.67。

所以,P(B) = 【答案】1.67。

第二章:随机变量及其分布2.1 选择题a.设 X 是一个随机变量,其概率密度函数为:$$ f(x) = \\begin{cases} \\frac{1}{2}x & 0 < x < 2 \\\\ 0 &其他 \\end{cases} $$则 P(X < 1) = 【答案】】C. 0.25。

b.对 X 的分布函数 F(x) = 1 - e^{-x}, 其中x ≥ 0,下列说法中错误的是【答案】】B. F(x) 是一个概率密度函数。

概率论与数理统计课后习题答案第7章习题详解

概率论与数理统计课后习题答案第7章习题详解

习题七1.设总体X 服从二项分布b (n ,p ),n 已知,X 1,X 2,…,X n 为来自X 的样本,求参数p 的矩法估计.【解】1(),(),E X np E X A X ===因此np =X所以p 的矩估计量 ˆXpn= 2.设总体X 的密度函数f (x ,θ)=22(),0,0,.x x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他X 1,X 2,…,X n 为其样本,试求参数θ的矩法估计. 【解】23022022()()d ,233x x E X x x x θθθθθθθ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰令E (X )=A 1=X ,因此3θ=X 所以θ的矩估计量为 ^3.X θ=3.设总体X 的密度函数为f (x ,θ),X 1,X 2,…,X n 为其样本,求θ的极大似然估计.(1) f (x ,θ)=,0,0,0.e x x x θθ-⎧≥⎨<⎩(2) f (x ,θ)=1,01,0,.x x θθ-⎧<<⎨⎩其他【解】(1) 似然函数111(,)e e eniii n nx x nn ii i L f x θθθθθθ=---==∑===∏∏1ln ln ni i g L n x θθ===-∑由1d d ln 0d d ni i g L n x θθθ===-=∑知 1ˆnii nxθ==∑所以θ的极大似然估计量为1ˆXθ=.(2) 似然函数11,01nni i i L x x θθ-==<<∏,i =1,2,…,n.1ln ln (1)ln ni i L n x θθ==+-∏由1d ln ln 0d ni i L n x θθ==+=∏知11ˆln ln nniii i n nxx θ===-=-∑∏所以θ的极大似然估计量为 1ˆln nii nxθ==-∑求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值. 【解】0.094x =- 0.101893s = 9n =0.094.EXx ==- 由222221()()[()],()ni i x E X D X E X E X A n==+==∑知222ˆˆ[()]E X A σ+=,即有 ˆσ=于是 ˆ0.101890.0966σ=== 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966. 5.随机变量X 服从[0,θ]上的均匀分布,今得X 的样本观测值:0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6,求θ的矩法估计和极大似然估计,它们是否为θ的无偏估计. 【解】(1) ()2E X θ=,令()E X X =,则ˆ2X θ=且ˆ()2()2()E E X E X θθ===, 所以θ的矩估计值为ˆ220.6 1.2x θ==⨯=且ˆ2X θ=是一个无偏估计.(2) 似然函数8811(,)i i L f x θθ=⎛⎫== ⎪⎝⎭∏,i =1,2, (8)显然L =L (θ)↓(θ>0),那么18max{}i i x θ≤≤=时,L =L (θ)最大, 所以θ的极大似然估计值ˆθ=0.9.因为E(ˆθ)=E (18max{}i i x ≤≤)≠θ,所以ˆθ=18max{}i i x ≤≤不是θ的无偏计.6.设X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的样本,E (X )=μ,D (X )=σ2,2ˆσ=k 1211()n i i i XX -+=-∑,问k 为何值时2ˆσ为σ2的无偏估计. 【解】令 1,i i i Y X X +=-i =1,2,…,n -1,则 21()()()0,()2,i i i i E Y E X E X D Y μμσ+=-=-==于是 1222211ˆ[()](1)2(1),n ii E E k Yk n EY n k σσ-===-=-∑那么当22ˆ()E σσ=,即222(1)n k σσ-=时, 有 1.2(1)k n =-7.设X 1,X 2是从正态总体N (μ,σ2)中抽取的样本112212312211311ˆˆˆ;;;334422X X X X X X μμμ=+=+=+ 试证123ˆˆˆ,,μμμ都是μ的无偏估计量,并求出每一估计量的方差. 【证明】(1)11212212121ˆ()()(),333333E E X X E X E X μμμμ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭21213ˆ()()()44E E X E X μμ=+=, 31211ˆ()()(),22E E X E X μμ=+= 所以123ˆˆˆ,,μμμ均是μ的无偏估计量. (2) 22221122145ˆ()()(),3399D D X D X X σμσ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222212135ˆ()()(),448D D X D X σμ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()223121ˆ()()(),22D D X D X σμ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭8.某车间生产的螺钉,其直径X ~N (μ,σ2),由过去的经验知道σ2=0.06,今随机抽取6枚,测得其长度(单位mm )如下:14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 试求μ的置信概率为0.95的置信区间. 【解】n =6,σ2=0.06,α=1-0.95=0.05,0.25214.95, 1.96,a x u u ===,μ的置信度为0.95的置信区间为/2(14.950.1 1.96)(14.754,15.146)x u α⎛±=±⨯= ⎝.9.总体X ~N (μ,σ2),σ2已知,问需抽取容量n 多大的样本,才能使μ的置信概率为1-α,且置信区间的长度不大于L ?【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为/2x u α⎛± ⎝,/2u α,/2u α≤L ,得n ≥22/224()u L ασ 10.设某种砖头的抗压强度X ~N (μ,σ2),今随机抽取20块砖头,测得数据如下(kg ·cm -2):64 69 49 92 55 97 41 84 88 99 84 66 100 98 72 74 87 84 48 81 (1) 求μ的置信概率为0.95的置信区间. (2) 求σ2的置信概率为0.95的置信区间. 【解】76.6,18.14,10.950.05,20,x s n α===-==/20.025222/20.0250.975(1)(19)2.093,(1)(19)32.852,(19)8.907t n t n ααχχχ-==-===(1) μ的置信度为0.95的置信区间/2(1)76.6 2.093(68.11,85.089)a x n ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)2σ的置信度为0.95的置信区间222222/21/2(1)(1)1919,18.14,18.14(190.33,702.01)(1)(1)32.8528.907n s n s n n ααχχ-⎛⎫--⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ 11.设总体X ~f (x )=(1),01;10,.x x θθθ⎧+<<>-⎨⎩其中其他 X 1,X 2,…,X n 是X 的一个样本,求θ的矩估计量及极大似然估计量.【解】(1)1101()()d (1)d ,2E X xf x x x x θθθθ+∞+-∞+==+=+⎰⎰ 又1(),2X E X θθ+==+ 故21ˆ1X Xθ-=- 所以θ的矩估计量 21ˆ.1X Xθ-=- (2) 似然函数11(1) 01(1,2,,)()()0n n ni i i i i x x i n L L f x θθθ==⎧+<<=⎪===⎨⎪⎩∏∏其他. 取对数11ln ln(1)ln (01;1),d ln ln 0,d 1nii i ni i L n x x i n L nx θθθθ===++<<≤≤=+=+∑∑所以θ的极大似然估计量为1ˆ1.ln nii nXθ==--∑12.设总体X ~f (x )= 36(),0;0,.xx x θθθ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其他X 1,X 2,…,X n 为总体X 的一个样本 (1) 求θ的矩估计量ˆθ;(2) 求ˆ()D θ.【解】(1) 236()()d ()d ,2x E X xf x x x x θθθθ+∞-∞=-=⎰⎰令 ,2EX X θ==所以θ的矩估计量 ˆ2.X θ= (2)4ˆ()(2)4(),D D X D X DX nθ===, 又322236()63()d ,2010x x E X x θθθθθ-===⎰于是222223()()(),10420D XE X EX θθθ=-=-=,所以2ˆ().5D nθθ=13.设某种电子元件的使用寿命X 的概率密度函数为f (x ,θ)= 2()2,;0,.x x x θθθ--⎧>⎨≤⎩e其中θ(θ>0)为未知参数,又设x 1,x 2,…,x n 是总体X 的一组样本观察值,求θ的极大似然估计值.【解】似然函数12()12e 0;1,2,,;()0ln ln 22(),;1,2,,,ni i x n i n i i i x i n L L L n x x i n θθθθ=--=⎧∑⎪⋅≥===⎨⎪⎩=--≥=∑ 其他.由d ln 20ln (),d Ln L θθ=>↑知 那么当01ˆˆmin{}ln ()max ln ()ii nx L L θθθθ>≤≤==时 所以θ的极大似然估计量1ˆmin{}ii nx θ≤≤=其中θ(0<θ<12)是未知参数,利用总体的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3,求θ的矩估计值和极大似然估计值. 【解】813ˆ(1)()34,()4 28ii x E X E X x x x θθ=-=-====∑令得又 所以θ的矩估计值31ˆ.44x θ-== (2) 似然函数86241(,)4(1)(12).ii L P x θθθθ===--∏2ln ln 46ln 2ln(1)4ln(1),d ln 628628240,d 112(1)(12)L L θθθθθθθθθθθθ=++-+--+=--==---- 解2628240θθ-+=得1,272θ=. 由于71,122> 所以θ的极大似然估计值为7ˆ2θ-=. 15.设总体X 的分布函数为F (x ,β)=1,,0,.x xx ββααα⎧->⎪⎨⎪≤⎩其中未知参数β>1,α>0,设X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本(1) 当α=1时,求β的矩估计量;(2) 当α=1时,求β的极大似然估计量; (3) 当β=2时,求α的极大似然估计量. 【解】当α=1时,11,1;(,)(,1,)0,1.x x f x F x x x ββββ+⎧≥⎪==⎨⎪<⎩当β=2时, 2132,;(,)(,,2)0,.x x f x F x x x ααααα⎧≥⎪==⎨⎪<⎩(1) 111()d 11E X x x x βββββββ+∞-+∞===--⎰令()E X X =,于是ˆ,1XX β=- 所以β的矩估计量ˆ.1XX β=- (2) 似然函数(1)1111,1,(1,2,,);()(,)0,.ln ln (1)ln ,d ln ln 0,d n n ni i i i i ni i ni i x x i n L L f x L n x L n x ββββββββ-+====⎧⎛⎫>=⎪ ⎪===⎨⎝⎭⎪⎩=-+=-=∏∏∑∑ 其他所以β的极大似然估计量1ˆ.ln nii nxβ==∑(3) 似然函数23112,,(1,2,,);(,)0,.n ni nn i i i i x i n L f x x ααα==⎧≥=⎪⎪⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩∏∏ 其他 显然(),L L α=↑那么当1ˆmin{}i i nx α≤≤=时,0ˆ()max ()a L L L αα>== , 所以α的极大似然估计量1ˆmin{}i i nx α≤≤=. 16.从正态总体X ~N (3.4,62)中抽取容量为n 的样本,如果其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问n 至少应取多大?2/2()d zt z t ϕ-=⎰【解】26~3.4,X N n ⎛⎫⎪⎝⎭,则~(0,1),X Z N ={1.4 5.4}33210.95Z P X P PZ ΦΦΦ<<<<=⎧=-<<⎨⎩⎭⎛=-=-≥ ⎝于是0.975Φ≥ 1.96≥, ∴ n ≥35.17. 设总体X 的概率密度为f (x ,θ)=,01,1,12,0,.x x θθ<<⎧⎪-≤<⎨⎪⎩其他 其中θ是未知参数(0<θ<1),X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值x 1,x 2,…,x n 中小于1的个数.求: (1) θ的矩估计;(2) θ的最大似然估计. 解 (1) 由于121(;)d d (1)d EX xf x x x x x x θθθ+∞-∞==+⎰⎰⎰-133(1)222θθθ=+-=-. 令32X θ-=,解得32X θ=-, 所以参数θ的矩估计为32X θ=-. (2) 似然函数为1()(;)(1)nN n N i i L f x θθθθ-===-∏,取对数,得ln ()ln ()ln(1),L N n N θθθ=+--两边对θ求导,得d ln ().d 1L N n Nθθθθ-=-- 令 d ln ()0,d L θθ=得 Nnθ=,所以θ的最大似然估计为Nnθ=.。

概率论与数理统计课后习题答案 (3)

概率论与数理统计课后习题答案 (3)

概率论与数理统计课后习题答案一、概率论1.1 基础概念题目1.什么是随机试验?试举例子。

2.什么是样本空间和事件?回答1.随机试验是指具备以下特征的实验:可以在相同条件下重复进行,每次试验的结果不确定,但可能结果(事件)集合已经确定。

例如,抛一枚硬币的结果是正面或反面,掷一个骰子的结果是1、2、3、4、5或6等等。

2.样本空间是指随机试验所有可能结果的集合,用S表示。

事件是指样本空间中的一个或多个结果组成的子集。

例如,抛一枚硬币的样本空间是{正面,反面},事件可以是{正面}或{反面},或者样本空间本身。

1.2 概率公理题目1.什么是频率概率和主观概率?2.概率公理中的三条公理是什么?回答1.频率概率是由大量重复试验的结果所呈现的相对频率给出的概率。

它基于频率的思想,认为某个事件发生的概率等于该事件在大量试验中出现的频率。

主观概率是由个人主观判断给出的概率。

它基于主观认知和经验,认为某个事件发生的概率取决于主观评估和信念。

2.概率公理是指概率理论的基本公理系统,包括以下三条公理:–非负性公理:对于任意事件A,其概率P(A)大于等于0。

–规范性公理:样本空间S的概率为1,即P(S) = 1。

–可列可加性公理:对于任意互不相容的事件A1,A2,…,An,即这些事件两两不相容(即任意i≠j,Ai∩Aj=∅),则它们的并事件A=A1∪A2∪…∪An的概率等于各事件概率之和,即P(A) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)。

1.3 条件概率与独立性题目1.什么是条件概率?给出计算条件概率的公式。

2.什么是独立事件?给出判断两个事件独立的条件。

回答1.条件概率是指事件A在另一个事件B已经发生的条件下发生的概率。

条件概率的公式是P(A|B) = P(A∩B) /P(B),其中P(A∩B)表示A与B的交集的概率,P(B)表示事件B发生的概率。

2.事件A和事件B是独立事件,指的是事件A的发生与事件B的发生无关。

概率论与数理统计课后习题集及答案详解

概率论与数理统计课后习题集及答案详解

概率论与数理统计课后习题集及解答第一章 随机事件和概率一. 填空题1. 设A, B, C 为三个事件, 且=-=⋃⋃=⋃)(,97.0)(,9.0)(C AB P C B A P B A P 则____. 解.)(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +--=-=-=-=)(C B A P ⋃⋃-)(B A P ⋃= 0.97-0.9 = 0.072. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_______.解. }{合格品二件产品中有一件是不=A , }{二件都是不合格品=B511)()()()()|(2102621024=-===c c c c A P B P A P AB P A B P 注意: }{合格品二件产品中有一件是不=}{不合格品二件产品中恰有一件是 +}{二件都是不合格品 所以B AB B A =⊃,; }{二件都是合格品=A 3. 随机地向半圆a x ax y (202-<<为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为______. 解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆. 则121)),((2==∈a kD Y X P π, k 为比例系数. 所以22ak π= 假设D 1 = {D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于4π的区域}πππ121)2141(2)),((22211+=+=⨯=∈a a a D k D Y X P 的面积. 4. 设随机事件A, B 及其和事件A ⋃B 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B 的对立事件, 则积事件B A 的概率)(B A P = ______.解. =+-+=)()()()(B A P B P A P AB P 0.4 + 0.3-0.6 = 0.13.01.04.0)()()(=-=-=AB P A P B A P .5. 某市有50%住户订日报, 有65%住户订晚报, 有85%住户至少订这两种报纸中的一种, 则同时订这两种报纸的住户的百分比是________. 解. 假设A = {订日报}, B = {订晚报}, C = A + B. 由已知 P(A) = 0.5, P(B) = 0.65, P(C) = 0.85.所以 P(AB) = P(A) + P(B)-P(A + B) = 0.5 + 0.65-0.85 = 0.3.6. 三台机器相互独立运转, 设第一, 第二, 第三台机器不发生故障的概率依次为0.9, 0.8, 0.7, 则这三台机器中至少有一台发生故障的概率________. 解. 设A i 事件表示第i 台机器运转不发生故障(i = 1, 2, 3). 则 P(A 1) = 0.9, P(A 2) = 0.8, P(A 3) = 0.7,)()()(1)(1)()(321321321321A P A P A P A A A P A A A P A A A P -=-==++ =1-0.9×0.8×0.7=0.496.7. 电路由元件A 与两个并联元件B, C 串联而成, 若A, B, C 损坏与否相互独立, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.1, 则电路断路的概率是________. 解. 假设事件A, B, C 表示元件A, B, C 完好.P(A) = 0.7, P(B) = 0.8, P(C) = 0.9. 事件线路完好 = A(B + C) = AB + AC.P(A(B + C) ) = P(AB + AC) = P(AB)+P(AC)-P(ABC) = P(A)P(B) + P(A)P(C)-P(A)P(B)P(C) = 0.7×0.8 +0.7×0.9-0.7×0.8×0.9 = 0.686. 所以 P(电路断路) = 1-0.686 = 0.314.8. 甲乙两人投篮, 命中率分别为0.7, 0.6, 每人投三次, 则甲比乙进球多的概率______. 解. 设X 表示甲进球数, Y 表示乙进球数.P(甲比乙进球多) = P(X = 3, Y = 2) +P(X = 3, Y = 1) + P(X = 3, Y = 0) + P(X = 2, Y = 1) +P(X = 2, Y = 0) + P(X = 1, Y = 0) = P(X = 3)P(Y = 2) +P(X = 3)P(Y = 1) + P(X = 3)P(Y = 0) + P(X = 2)P(Y = 1) +P(X = 2)P(Y = 0) + P(X = 1)P(Y = 0)=+⋅⋅⋅21336.04.07.0c +⋅⋅⋅6.04.07.02233c 334.07.0⋅++⋅⋅⋅⋅⋅2132134.06.07.03.0c c +⋅⋅⋅32134.07.03.0c 32134.03.07.0⋅⋅⋅c= 0.148176 + 0.098784 +0.021952 + 0.127008 + 0.028224 + 0.012096 = 0.43624.9. 三人独立破译一密码, 他们能单独译出的概率分别为41,31,51, 则此密码被译出的概率_____.解. 设A, B, C 表示事件甲, 乙, 丙单独译出密码., 则41)(,31)(,51)(===C P B P A P . P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC) + P(ABC)= P(A) + P(B) + P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) =53413151413141513151413151=⋅⋅+⋅-⋅-⋅-++.二.单项选择题.1. 以A 表示“甲种产品畅销, 乙种产品滞销”, 则对立事件A 为(A) “甲种产品滞销, 乙种产品畅销” (B) “甲、乙产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲产品滞销或乙产品畅销” 解. (D)是答案.2. 设A, B, C 是三个事件, 与事件A 互斥的事件是(A) C A B A + (B) )(C B A + (C) ABC (D) C B A ++ 解. ==++C B A A )C B A A(φ, 所以(D)是答案. 3. 设A, B 是任意二个事件, 则(A) P(A ⋃B)P(AB)≥P(A)P(B) (B) P(A ⋃B)P(AB)≤P(A)P(B) (C) P(A -B)P(B -A)≤P(A)P(B)-P(AB) (D)41)()(≥--A B P B A P . 解. P(A + B)P(AB)-P(A)P(B) = (P(A) + P(B)-P(AB))P(AB)-P(A)P(B) =-P(A)(P(B)-P(AB)) + P(AB)(P(B)-P(AB) =-(P(B)-P(AB))(P(A)-P(AB)) =-P(B -A)P(A -B) ≤ 0 所以(B)是答案 .4. 事件A 与B 相互独立的充要条件为(A) A + B = Ω (B) P(AB) = P(A)P(B) (C) AB = φ (D) P(A + B) = P(A) + P(B) 解. (B)是答案.5. 设A, B 为二个事件, 且P(AB) = 0, 则(A) A, B 互斥 (B) AB 是不可能事件 (C) AB 未必是不可能事件 (D) P(A) = 0或P(B) = 0. 解. 概率理论中 P(A) = 0不能推出A 为不可能事件(证明超出大纲要求). 所以(C)是答案. 6. 设A, B 为任意二个事件, 且A ⊂B, P(B) > 0, 则下列选项必然成立的是 (A) P(A) < P(A|B) (B) P(A) ≤ P(A|B) (C) P(A) > P(A|B) (C) P(A) ≥ P(A|B) 解. )()()()()()|(A P B P A P B P AB P B A P ≥==(当B = Ω时等式成立). (B)是答案.7. 已知 0 < P(B) < 1, 且P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B), 则下列选项必然成立的是 (A))B |P(A )B |P(A ]B |)A P[(A 2121+=+ (B) P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B)(C) P(A 1 +A 2) = P(A 1|B) +P(A 2|B)(D) P(B) = P(A 1)P(B|A 1) + P(A 2)P(B|A 2)解. 由P[(A 1 + A 2)|B] = P(A 1|B) + P(A 2|B)得到)()()()()(])[(2121B P B A P B P B A P B P B A A P +=+, 所以P(A 1B +A 2B) = P(A 1B) +P(A 2B). (B)是答案.三. 计算题1. 某厂生产的产品次品率为0.05, 每100个产品为一批, 抽查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 如果发现次品不多于1个, 则这批产品可以认为合格的, 求一批产品被认为是合格的概率.解. P(该批产品合格) = P(全部正品) + P(恰有1个次品)=2794.050100154995*********=+c cc c c2. 书架上按任意次序摆着15本教科书, 其中有5本是数学书, 从中随机地抽取3本, 至少有一本是数学书的概率.解. 假设A={至少有一本数学书}. A ={没有数学书}P(A ) =9124315310=c c , P(A) = 1-P(A ) = 91673. 全年级100名学生中有男生80名, 来自北京的20名中有男生12名. 免修英语的40名学生中有男生32名, 求出下列概率: i. 碰到男生情况不是北京男生的概率;ii. 碰到北京来的学生情况下是一名男生的概率; iii. 碰到北京男生的概率;iv. 碰到非北京学生情况下是一名女生的概率; v. 碰到免修英语的男生的概率.解. 学生情况: 男生 女生 北京 12 8 免修英语 32 8 总数 80 20i. P(不是北京|男生) =20178068=ii. P(男生|北京学生) =532012=iii. P(北京男生) =10012iv. P(女生|非北京学生) =8012v. P(免修英语男生) =100324. 袋中有12个球, 其中9个是新的, 第一次比赛时从中取3个, 比赛后任放回袋中, 第二次比赛再从袋中任取3个球, 求: i. 第二次取出的球都是新球的概率;ii. 又已知第二次取出的球都是新球, 第一次取到的都是新球的概率.解. i. 设B i 表示第一次比赛抽到i 个新球(i = 0, 1, 2, 3). A 表示第二次比赛都是新球. 于是312339)(c c c B P i i i -=, 31239)|(c c B A P i i -=)()(1)()|()()(3603393713293823193933092312323123933930c c c c c c c c c c c c c c c c c B A P B P A P i i i i i i i +++===∑∑=--=146.0484007056)201843533656398411()220(12==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=ii. 215484007056)220(20184)()()|()|(2333=⨯⨯==A P B P B A P A B P5. 设甲、乙两袋, 甲袋中有n 个白球, m 个红球, 乙袋中有N 个白球, M 个红球, 今从甲袋中任取一只放入乙袋, 再从乙袋中任取一球, 问取到白球的概率. 解. 球的情况: 白球 红球 甲袋 n m 乙袋 N M假设 A = {先从甲袋中任取一球为白球} B = {先从甲袋中任取一球为红球} C = {再从乙袋中任取一球为白球} P(C) = P(C|A)P(A) + P(C|B)P(B)nm mM N N m n n M N N +⋅++++⋅+++=111 ))(1()1(n m M N NmN n +++++=第二章 随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ~B(2, p), Y ~B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2=-p , 31=p 2719321)0(1)1(3=⎪⎭⎫⎝⎛-==-=≥Y P Y P2. 已知随机变量X 只能取-1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率:P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________.P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)-P(X < a) = F(a)-F(a -0) P(X > a) = 1-F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)-F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442=+++k kx x 有实根的概率为_____.解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f 其它50≤≤kP{02442=+++k kx x 有实根} = P{03216162≥--k k } = P{k ≤-1或k ≥ 2} =535152=⎰dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =-===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b(X, Y)的联合分布为ab = 216α, 539=α α249)3()1()3,1()2(==-===-===-=abY P X P Y X P Z P α66)2,1()3,2()1(=-==+-===-=Y X P Y X P Z Pα251)1,1()2,2()3,3()0(=-==+-==+-====Y X P Y X P Y X P Z P α126)2,3()1,2()1(=-==+-====Y X P Y X P Z Pα723)1()3()1,3()2(==-===-====abY P X P Y X P Z P6. 已知(X, Y)联合密度为⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ 其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+⎰⎰c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时))4cos()(cos 12()sin()12(),()(4y y dx y x dx y x y Y +-+=++==⎰⎰∞+∞-πϕϕπ所以⎪⎩⎪⎨⎧+-+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=⎰e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: ⎪⎩⎪⎨⎧=021),(y x ϕ 其它D y x ∈),(下面求X 的边沿密度:当x < 1或x > e 2时 0)(=x X ϕ 当1 ≤ x ≤ e 2时 ⎰⎰===∞+∞-x X x dy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ. 8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++=服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X 与Y 相互独立, 则α = ______, β = _______.解.213161)1(,18)3(,9)2(,31)2(=+==+==+==++==Y P Y P Y P X P βαβα 132)3()2()1(=++==+=+=βαY P Y P Y P⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=======+++=======)181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(ββαβαβααY P X P Y X P Y P X P Y X P两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)的联合分布律为3122 0 122 则 i. Z = X + Y 的分布律 ______. ii. V = X -Y 的分布律______.iii. U= X 2 + Y -2的分布律_______. 解.二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221)(x F 0022≥<≤--<x x x , (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x , (D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案. 2. ),4,2,0(!/)( ===-k k ec k X P kλλ是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足(A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0 解. 因为),4,2,0(!/)( ===-k k ec k X P kλλ, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负.所以(B)是答案.3. X ~N(1, 1), 概率密度为ϕ(x), 则(A)5.0)0()0(=≥=≤X P X p (B)),(),()(+∞-∞∈-=x x x ϕϕ (C) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p (D) ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2 (D) X -Y 解. X ~⎩⎨⎧=01)(x ϕ其它10≤≤x , Y ~⎩⎨⎧=01)(y ϕ其它10≤≤y . 所以(X, Y)~⎩⎨⎧=01),(y x ϕ其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 1100>≤<≤x x x 则(A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为)(),(y F x F Y X , 则Z = max(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = max{)(),(z F z F Y X } (B) )(z F Z = max{|)(||,)(|z F z F Y X } (C) )(z F Z = )()(z F z F Y X (D) 都不是解. }{}),{m ax ()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X , 则Z = min(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = )(z F X (B) )(z F Z = )(z F Y(C) )(z F Z = min{)(),(z F z F Y X } (D) )(z F Z = 1-[1-)(z F X ][1-)(z F Y ] 解. }{1}),{m in(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>-=>-=>-=≤=且 )](1)][(1[1)](1)][(1[1z F z F z Y P z X P Y X ---=≤-≤--因为独立 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是 (A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D)y arctan 1π解. )2()2(}2{)()(y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= )4(2)2(112121)2()2()]([)(22''y y y y F y F y X X Y Y +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππϕϕ (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+-0),()(y x e y x ϕ 其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) ⎩⎨⎧=-04)(2z Z ze Z ϕ 00≤>z z (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=-021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B). 21210=⎰∞+-dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案.注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度: 当z < 0时0)(=z F Z当z ≥ 0时⎰⎰≤+=≤+=≤+=≤=zy x Z dxdy y x z Y X P z YX P z Z P z F 2),()2()2()()(ϕ =12222020+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎰⎰z z z xz y x e ze dx dy e e ==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧-042z ze 00≤>z z , (C)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X -Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X -Y ≤ 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ~ N(1, 2), X -Y ~ N(-1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 解. 分布函数:))2,(m in(1))2,(m in()()(y X P y X P y Y P y F Y >-=≤=≤= 当y ≥ 2时101))2,(m in(1)(=-=>-=y X P y F Y 当0 ≤ y < 2时)2,(1))2,(m in(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= ye y X P y X P λ--=≤=>-=1)()(1当y < 0时)2,(1))2,(m in(1)(y y X y X P y F Y >>-=>-= 0)()(1=≤=>-=y X P y X P于是 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-011)(yY e y F λ 0202<<≤≥y y y 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i -1次不中, 第i 次命中) = 9.0)1.0(1⋅-i , i = 1, 2, 3, 4.当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = 4)1.0(. 于是分布律为2. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3, …) i.1310)()1(1===A P X P 1331210)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P 1331221110)()|()|()()3(11223321⋅⋅====A P A A P A A P A A A P X P 1331221111)()|()|()|()4(1122334⋅⋅⋅===A P A A P A A P A A P X Pii. 每次抽取后将原产品放回1310133)()()()()(11111---⎪⎭⎫⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P , (k = 1, 2, …)iii.13)()1(1===A P X P 1331311)()|()()2(11212⋅====A P A A P A A P X P1331321312)()|()|()()3(112123321⋅⋅====A P A A P A A A P A A A P X P 1331321311)()|()|()|()4(1121231234⋅⋅⋅===A P A A P A A A P A A A A P X P3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧-=01)(2x cx ϕ 其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在)21,21(-内的概率. 解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====-==⎰⎰-∞+∞-c c c x c dx xc dx x3162|arcsin 211))2/1,2/1((2/102/12/12=⋅==-=-∈⎰-ππππx x dx X P 4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x -⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ 其它1||<x , ii. ⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x x x ϕ 其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ≤ 1时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当-1< x < 1时 ⎰⎰∞--++-=-==x x x x xdt t dt t x F 21arcsin 1112)()(212πππϕ 当x ≥ 1时 ⎰⎰∞--=-==x dt t dt t x F 112)()(112πϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=121arcsin 110)(2x x xx F ππ 1111≥<<--≤x x xii. 当x < 0时 ⎰⎰∞-∞-===x xdt dt t x F 00)()(ϕ当0 ≤ x < 1时 ⎰⎰∞-===x x x tdt dt t x F 2)()(2ϕ当1 ≤ x < 2时 122)2()()(2110-+-=-+==⎰⎰⎰∞-x x dt t tdt dt t x F x x ϕ当2 ≤ x 时 1)2()()(2110⎰⎰⎰∞-=-+==x dt t tdt dt t x F ϕ所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, -∞ < x < +∞试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, -∞ < x < +∞, 所以X ~N(20, 402). i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=<<-=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P )25.1()25.0(-Φ-Φ=1)25.1()25.0()25.1(1()25.0(-Φ+Φ=Φ--Φ= 18944.05987.0-+== 0.4931.(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1-P(三次误差的绝对值都超过30) =88.012.01)4931.0(13=-=- 6. 设电子元件的寿命X 具有密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x . 所以31100)150(1501002==<⎰dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1-31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=-piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛c 7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布.解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ 其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).)()()(2x D P x X P x F ≤=≤=π当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=≤=≤=πππx D xP x D P x X P x F 44)()()(2 =54145-=⎰ππxdt x当 x > 9π时 1)()(65===⎰⎰∞-dt dt t x F x ϕ所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=1540)(πxx F ππππ99425425>≤≤<x x x 密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0-1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布.解. X 的分布律为(X, Y)3.05321)1()1|1()1,1(=⋅=======X P X Y P Y X P 1.05361)1()1|2()2,1(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05331)1()1|3()3,1(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|1()1,0(=⋅=======X P X Y P Y X P2.05221)0()0|2()2,0(=⋅=======X P X Y P Y X P1.05241)0()0|3()3,0(=⋅=======X P X Y P Y X P所以Y 的分布律为5.06.03.0)1()1,0()1|0(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P5.06.03.0)1()1,1()1|1(==≠≠==≠=Y P Y X P Y X P所以9. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度.解. X ~⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ 其它90≤≤x , Y ~⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)~⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤=当 z ≤ 0时0)(=z F Z 当 0 < z < 1时D 1z z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F D Z 219921811811)()()()(1=⋅⋅==≤=≤=≤=⎰⎰ 当z ≥ 1时⎰⎰=≤=≤=≤=2811)()()()(D Z dxdy Xz Y P z X Y P z Z P z F zz 211)992181(811-=⋅-⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z 10. 设(X, Y)的密度为⎩⎨⎧--=0)1(24),(y x y y x ϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 求: i.)21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解. i.⎰∞+∞-=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ≤ 0 或 x ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dy y x x X ϕϕ当0 < x < 1时310)1(4)1(24),()(x dy y x y dy y x x x X -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(4)(3x x X ϕ 其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii.⎰∞+∞-=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ≤ 0 或 y ≥ 1时0),()(==⎰∞+∞-dx y x y Y ϕϕ当0 < y < 1时210)1(12)1(24),()(y y dx y x y dx y x y y Y -=--==⎰⎰-∞+∞-ϕϕ所以 ⎩⎨⎧-=0)1(12)(2y y y Y ϕ 其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ其它1,0,0<+>>y x y x所以 ⎩⎨⎧-==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x第三章 随机变量的数字特征一. 填空题1. 设随机变量X 与Y 相互独立, D(X) = 2, D(Y) = 4, D(2X -Y) = _______. 解. D(2X -Y) = 4D(X) + D(Y) = 122. 已知随机变量X ~N(-3, 1), Y ~N(2, 1 ), 且X 与Y 相互独立, Z = X -2Y + 7, 则Z ~____. 解. 因为Z = X -2Y + 7, 所以Z 服从正态分布. E(Z) = E(X)-2E(Y) + 7 = 0. D(Z) = D(X -2Y + 7) = D(X) + 4D(Y) = 1+4 = 5. 所以Z ~N(0, 5)3. 投掷n 枚骰子, 则出现点数之和的数学期望______. 解. 假设X i 表示第i 颗骰子的点数(i = 1, 2, …, n). 则 E(X i ) = 27616612611=⋅++⋅+⋅(i = 1, 2, …, n) 又设∑==ni i X X 1, 则27)()()(11nX E X E X E ni i ni i ===∑∑== 4. 设离散型随机变量X 的取值是在两次独立试验中事件A 发生的次数, 如果在这些试验中事件发生的概率相同, 并且已知E(X) = 0.9, 则D(X) = ______. 解. ),2(~p B X , 所以E(X) = 0.9 = 2p. p = 0.45, q = 0.55 D(X) = 2pq = 2×0.45×0.55 = 0.495.5. 设随机变量X 在区间[-1, 2]上服从均匀分布, 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧-=101Y 000<=>X X X , 则方差D(Y) = _______.解. X ~⎪⎩⎪⎨⎧=031)(x ϕ 其它21≤≤-xY因为 33)0()1(20==>==⎰dx X P Y P 0)0()0(====X P Y P3131)0()1(01==<=-=⎰-dx X P Y P于是 313132)(=-=Y E , 13132)(2=+=Y E , 98)]([)()(22=-=Y E Y E Y D6. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 且服从相同的两点分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.08.010, 则∑==31i i X X 服从_______分布, E(X) = _______, D(X) = ________.解. X 服从B(3, 0.2). 所以E(X) = 3p = 3×0.2= 0.6, D(X) = 3pq = 3×0.2×0.8 = 0.487. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X ~N(0, 1), Y 在[-1, 1]上服从均匀分布, 则),cov(Y X = _______.解. 因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以),cov(Y X = 0.8. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为:⎩⎨⎧=02)(x x ϕ 其它10≤≤x , ⎩⎨⎧=--0)()5(y e y ϕ 其它5>y , 则E(XY) = ________. 解. 322)()(1=⋅==⎰⎰∞+∞-xdx x dx x x X E ϕ 6)()(5)5(=⋅==⎰⎰∞+--∞+∞-dy e y dy y y Y E y ϕ因为X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 所以E(XY) = E(X)E(Y) = 49. 若随机变量X 1, X 2, X 3相互独立, 其中X 1在[0, 6]服从均匀分布, X 2服从正态分布N(0, 22), X 3服从参数λ = 3的泊松分布, 记Y = X 1-2X 2 + 3X 3, 则D(Y) = ______. 解. )(9)(4)()32()(321321X D X D X D X X X D Y D ++=+-==4639441262=⨯+⨯+二. 单项选择题1. 设随机变量X 和Y 独立同分布, 记U = X -Y , V = X + Y , 则U 和V 必然 (A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零 解. 因为X 和Y 同分布, 所以E(U) = E(X)-E(Y) = 0, E(U)E(V) = 0. 0)()()(22=-=Y E X E UV E .所以 cov(X,Y) = E(UV)-E(U)E(V) = 0. (D)是答案. 2. 已知X 和Y 的联合分布如下表所示, 则有(A) X 与Y 不独立 (B) X 与Y 独立 (C) X 与Y 不相关 (D) X 与Y 彼此独立且相关 解. P(X = 0) = 0.4, P(Y = 0) = 0.3.0.1 = P(X = 0, Y= 0) ≠ P(X = 0)×P(Y = 0). (A)是答案.3. 设离散型随机变量X 可能取值为: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, 且E(X) = 2.3, E(X 2) = 5.9, 则x 1, x 2, x 3所对应的概率为(A) p 1 = 0.1, p 2 = 0.2, p 3 = 0.7 (B) p 1 = 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5 (C) p 1 = 0.3, p 2 = 0.5, p 3 = 0.2 (D) p 1 = 0.2, p 2 = 0.5, p 3 = 0.3解. 3.223)1(32)(212121332211=--=--++=++=p p p p p p p x p x p x X E 7.0221=+p p9.5)1(94)(21213232221212=--++=++=p p p p p x p x p x X E 1.35821=+p p解得 p 1 = 0.2, p 2 = 0.3, p 3 = 0.5. (B)是答案.4. 现有10张奖券, 其中8张为2元, 2张为5元, 今每人从中随机地无放回地抽取3张, 则此人抽得奖券的金额的数学期望(A) 6 (B) 12 (C) 7.8 (D) 9解. 假设X 表示随机地无放回地抽取3张, 抽得奖券的金额. X 的分布律为157)()6(31038====c c P X P 三张都是二元157),()9(3101228====c c c P X P 一张五元二张二元151),()9(3102218====c c c P X P 二张五元一张二元8.71511215791576)(=⋅+⋅+⋅=X E . (C)是答案. 5. 设随机变量X 和Y 服从正态分布, X ~N(μ, 42), Y ~N(μ, 52), 记P 1 =P{X ≤ μ-4}, P 2 = P{Y≥ μ + 5}, 则(A) 对任何μ, 都有P 1 = P 2 (B) 对任何实数μ, 都有P 1 < P 2 (C) 只有μ的个别值, 才有P 1 = P 2 (D) 对任何实数μ, 都有P 1 > P 2 解. P 1 = {X ≤ μ-4} =)1(1)1(14Φ-=-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-μX PP 2 = {Y ≥ μ + 5} =)1(115115Φ-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-μμY P Y P(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数). 所以(A)是答案.6. 随机变量ξ = X + Y 与η = X -Y 不相关的充分必要条件为(A) E(X) = E(Y) (B) E(X 2)-E 2(X) = E(Y 2)-E 2(Y) (C) E(X 2) = E(Y 2) (D) E(X 2) + E 2(X) = E(Y 2) + E 2(Y) 解. cov(ξ, η) = E(ξη)-E(ξ)E(η)E(ξη) =)()()])([(22Y E X E Y X Y X E -=-+ E(ξ)E(η) = [E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)] = )()(22Y E X E - 所以(B)是答案.三. 计算题1. 设X 的分布律为1)1()(++==k ka a k X P , k = 0, 1, 2, …, a > 0, 试求E(X), D(X).解. ∑∑∑∞=+∞=+∞=⎪⎭⎫⎝⎛+=+===1111011)1()()(k k k k k k a a k a a ka k X kP X E令 22'2'1211201)1(1)(x x x x x x x kx x kxx f k k k k k k -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛===∑∑∑∞=∞=-∞=+ 2222)11()1()1(a aa a a a a f =+-+=+, 所以a a a X E =⋅=21)(.∑∑∑∞=+∞=+∞=+-+=+===11112022)1()11()1()()(k k kk k k k a a k k a a k k X P k X E∑∑∑∞=∞=+∞=+-+++=+-++=11111)1()1(11)1()1()1(k kkk k k k k k a a a k k a a a k a a k k 令 3''2''1111)1(21)1()1()(x x x x x x x kx k x kxk x f k k k k k k-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=∑∑∑∞=+∞=-∞= 23)1(2)11(12)1(a a a a a aa a f +=+-+=+,所以2222)1(211)(a a a a a aX E +=-+⋅+=.222222)]([)()(a a a a a X E X E X D +=-+=-=.2. 设随机变量X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0cos 2)(2xx πϕ 其它2||π≤x , 求E(X), D(X).解. 0cos 2)()(222===⎰⎰-∞+∞-πππϕxdx xdx x x X E⎰-=-=222222cos 2)]([)()(πππxdx x X E X E X D211222cos 122222-=+=⎰πππdx x x 3.求⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2)(sin Y X E π. 解. 2)(sinY X +π的分布律为 25.015.0)1(40.0145.002)(sin =⨯-+⨯+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+Y X E π 4. 一汽车沿一街道行驶需要通过三个设有红绿信号灯路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号显示的时间相等, 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数, 求: i. X 的概率分布, ii. ⎪⎭⎫⎝⎛+XE 11 解. 假设X 为该汽车首次遇到红灯已通过的路口数P(X = 0) = P{第一个路口为红灯} =2P(X = 1) = P{第一个路口为绿灯, 第二个路口为红灯} =2212121=⋅ P(X = 0) = P{第一,二路口为绿灯, 第三个路口为红灯} =321P(X = 0) = P{第一, 二, 三路口为绿灯} =3219667214121312121211111332=⋅+⋅+⋅+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+X E 5. 设(X, Y)的分布密度⎩⎨⎧=+-04),()(22y xxye y x ϕ其它0,0>>y x求)(22Y X E +. 解. ⎰⎰⎰⎰>>+-∞+∞-∞+∞-+=+=+00)(222222224),()(y x y xdxdy xye y x dxdy y x y x Y X E ϕ434sin cos 02202πθθθπ=⋅⋅⋅⋅=⎰⎰∞+-rdr e r r d r 6. 在长为l 的线段上任选两点, 求两点间距离的数学期望与方差.解. 假设X, Y 为线段上的两点. 则它们都服从[0, l ]上的均匀分布, 且它们相互独立.X ~⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l x ϕ 其它l x ≤≤0, Y ~⎪⎩⎪⎨⎧=01)(l y ϕ 其它l y ≤≤0(X, Y)的联合分布为⎪⎩⎪⎨⎧=01)(2l x ϕ 其它l y x ≤≤,0.又设Z = |X -Y|, D 1={(x, y): x > y, 0 ≤ x, y ≤ l }, D 2={(x, y): x ≤ y, 0 ≤ x, y ≤ l }⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-=∞+∞-∞+∞-21221)(1)(),(||)(D D dxdy l x y dxdy l y x dxdy y x y x Z E ϕ⎰⎰⎰⎰-+-=l y lxdy dx x y l dx dy y x l2002])([1])([13212122022ldy y l dx x ll l=+=⎰⎰ 6)(1),()()(2002222l dxdy y x ldxdy y x y x Z E ly lx =-=-=⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤≤≤≤ϕ 1896)]([)()(22222l l l Z E Z E Z D =-=-=7. 设随机变量X 的分布密度为)(,21)(||+∞<<-∞=--x e x x μϕ, 求E(X), D(X). 解. ⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞---∞+∞-+-===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||||)(2121)()(μμϕμ=⎰∞+∞--dt te t ||21+μμμ==⎰⎰∞+-∞+∞--0||21dt e dt e tt⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞---∞+∞-+-===dt e t x t dx e x dx x x X E t x ||2||222)(2121)()(μμϕμ=⎰∞+-02dt e t t+20022μμμ+==⎰⎰∞+-∞+-dt e dt e t t所以 22)]([)()(2222=-+=-=μμX E X E X D8. 设(X, Y)的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧=01),(πϕy x 其它122≤+y x , 求E(X), D(Y), ρ(X, Y).解. 01),()(122===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-≤+y x xdxdy dxdy y x x X E πϕ01),()(122===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-≤+y x ydxdy dxdy y x y Y E πϕ41cos 11),()(20132122222====⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+πθθππϕdr r d dxdy x dxdy y x x X E y x 41sin 11),()(20132122222====⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+πθθππϕdr r d dxdy y dxdy y x y Y E y x 01),()(122===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-≤+y x xydxdy dxdy y x xy XY E πϕ41)]([)()(22=-=X E X E X D , 41)]([)()(22=-=Y E Y E Y D0)()()()()(=-=Y D X D Y E X E XY E XY ρ.9. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2, 机器发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日里无故障, 可获利润10万元, 发生一次故障仍可获利润5万元; 发生二次故障所获利润0元; 发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求一周内期望利润是多少? 解. 假设X 表示一周内发生故障的天数. 则X ~B(5, 0.8)33.0)8.0()0(5===X P , 41.0)8.0(2.05)1(4=⨯⨯==X P20.0)8.0(2.0)2(3225=⨯⨯==c X P , 06.020.041.033.01)3(=---=≥X P又设YE(Y) = 10×0.33 + 5×0.41 + 0×0.20 + (-2)×0.06 = 5.23(万元)10. 两台相互独立的自动记录仪, 每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布; 若先开动其中的一台, 当其发生故障时停用而另一台自行开动. 试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度)(t f 、数学期望和方差.解. 假设X 、Y 分别表示第一、二台记录仪的无故障工作时间, 则X 、Y 的密度函数如下:⎩⎨⎧<≥=-05)(~,5x x e x f Y X xX 、Y 相互独立, 且 T = X + Y .X 、Y 的联合密度: ⎩⎨⎧≥≥=+-,00,0,25),()(5y x e y x f y x关于T 的分布函数: ⎰⎰≤+=≤+=≤=ty x T dxdy y x f t Y X P t T P t F ),(}{}{)(当 0<t 时⎰⎰⎰⎰≤+≤+===≤+=≤=ty x ty x T dxdy dxdy y x f t Y X P t T P t F 00),(}{}{)(当 0≥t 时⎰⎰⎰⎰≥≥≤++-≤+==≤+=≤=0,0)(525),(}{}{)(y x t y x y x ty x T dxdy edxdy y x f t Y X P t T P t Ft t tx t y x x t y t x te e dx e e dy e dx e 550055050551|)(525----------=-==⎰⎰⎰所以 ⎩⎨⎧<≥--=--0,00,51)(55t t te e t F t t T所以T 的概率密度: ⎩⎨⎧<≥==-0,00,25)]'([)(5t t e t t F t f t T T 所以 ⎰⎰∞+∞-∞+-===5225)()(052dt e t dt t f t T E t T 所以⎰⎰∞+∞-∞+-=-=-=-=25225425)52()()]([)()(0532222dt e t dt t f t T E T E T D tT第四章 大数定律和中心极限定理一. 填空题1. 设Y n 是n 次伯努利试验中事件A 出现的次数, p 为A 在每次试验中出现的概率, 则对任意 ε > 0, 有=⎪⎭⎫⎝⎛≥-∞→ε||lim p n Y P n n __________. 解. =⎪⎭⎫⎝⎛≥-∞→ε||lim p n Y P n n 1-011||lim =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛<-∞→εp n Y P n n2. 设随机变量X 和Y 的数学期望是2, 方差分别为1和4, 而相关系数为0.5, 则根据切比雪夫不等式P(|X -Y| ≥ 6) ≤ _______. 解. E(X -Y) = E(X)-E(Y) = 2-2 = 0 D(X -Y) = D(X) + D(Y)-)()(2Y D X D XY ρ= 1 + 4-2×0.5×1×2 = 3所以 1213636)()6|(|2==-≤≥-Y X D Y X P二. 选择题1. 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立, n n X X X S +++= 21, 则根据列维-林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理, n S 近似服从正态分布, 只要n X X X ,,,21 ( A ) 有相同的数学期望 ( B ) 有相同的方差( C ) 服从同一指数分布 ( D ) 服从同一离散型分布解. 列维-林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理要求n X X X ,,,21 既有相同的数学期望, 又有相同的方差, 因此( A ) 、( B )、 ( D )都不是答案, ( C )为答案.三. 计算题1. 某厂有400台同型机器, 各台机器发生故障的概率均为0,02, 假如各台机器相互独立工作, 试求机器出现故障的台数不少于2台的概率.解. 假设X 表示400台机器中发生故障的台数, 所以X ~B(400, 0.02) 由棣莫佛-拉普拉斯定理:。

概率论与数理统计第一章课后答案

概率论与数理统计第一章课后答案

第5题
必然事件是指概率为1的事件,因此 C选项正确。
习题二答案与解析
1. C 答案
2. B
01
03 02
习题二答案与解析
01
3. D
02
4. A
03
5. B
习题二答案与解析
第1题
根据概率的加法公式,两个互斥事件之和的概率等于它们概率的和,因此C选项正确。
第2题
根据概率的乘法公式,两个独立事件同时发生的概率等于它们概率的乘积,因此B选项 正确。
习题二答案与解析
01
02
第3题
第4题
根据概率的加法公式,两个对立事件 之和的概率等于1减去它们的概率之 和,因此D选项正确。
根据概率的加法公式,两个互斥且对 立事件之和的概率等于1减去它们的 概率之和,因此A选项正确。
03
第5题
根据概率的加法公式,两个独立事件 同时发生的概率等于它们概率的乘积 加上它们的概率之和减去它们同时发 生的概率,因此B选项正确。
3. C 4. B 5. C
习题一答案与解析
第1题
根据概率的基本性质,任何事件的概率都介 于0和1之间,因此A选项正确。
第2题
互斥事件是指两个事件不可能同时发生,因 此D选项正确。
习题一答案与解析
第3题
独立事件是指一个事件的发生不受另 一个事件是否发生的影响,因此C选
项正确。
第4题
不可能事件是指概率为0的事件,因 此B选项正确。
概率论与数理统计的应用领域
金融
概率论与数理统计在金融领 域中广泛应用于风险评估、 投资组合优化和金融衍生品 定价等方面。
医学
在医学领域,概率论与数理 统计用于临床试验设计、流 行病学研究、诊断和预后评 估等方面。

概率论与数理统计课后习题答案 (5)

概率论与数理统计课后习题答案 (5)

概率论与数理统计课后习题答案第一章:概率论1.1 概率的基本概念1.设A, B为两个事件,且P(A) = 0.2, P(B) = 0.3,P(A并B) = 0.1,求事件A与事件B的交/并/差。

•事件A与事件B的交:P(A交B) = P(A并B) = 0.1•事件A与事件B的并:P(A并B) = P(A) + P(B) - P(A交B) = 0.2 + 0.3 - 0.1 = 0.4•事件A与事件B的差:P(A差B) = P(A) - P(A交B) = 0.2 - 0.1 = 0.1 P(B差A) = P(B) - P(A交B) = 0.3 - 0.1 = 0.21.2 条件概率与独立性2.在甲乙两个班级的男生人数分别是60人和40人,女生人数分别是40人和60人。

现从这两个班级中随机抽取一名学生,求所抽到的学生是男生的条件概率。

设事件A为所抽到的学生是男生,则 P(A) = P(甲班级男生) + P(乙班级男生) = 60/200 + 40/200 = 0.5则所抽到的学生是男生的条件概率为 P(男生|A) = P(A交男生) / P(A) = (60/200) / 0.5 = 0.61.3 全概率公式与 Bayes 公式3.有两个箱子,袋子1中有2个红球和3个蓝球,袋子2中有3个红球和4个蓝球。

先选择一个袋子,再从所选的袋子中取一个球。

若取到的是红球,求这个红球来自袋子1的概率。

设事件A为所选的袋子为袋子1,事件B为取到的是红球。

则所求的概率为P(A|B)。

根据全概率公式,有 P(B) = P(A交B) + P(A’交B) - P(A交B) = P(A) × P(B|A) = (1/2) × (2/5) = 1/5 - P(A’交B) = P(A’) × P(B|A’) = (1/2) × (3/7) = 3/14所以,P(B) = P(A交B) + P(A’交B) = 1/5 + 3/14 = 17/70根据贝叶斯公式,有 P(A|B) = P(A交B) / P(B) = (1/5) / (17/70) = 14/17所以,这个红球来自袋子1的概率为 14/17。

概率论与数理统计课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案

随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点.习题2将一枚均匀的硬币抛两次,事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”,试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式:习题5.习题6.习题7习题8习题9习题10习题11习题12习题13习题14习题15习题16习题17习题18习题19习题20习题21习题22习题23习题24习题25习题26第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么?解答:①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的,事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答:①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来,则称X为离散型随机变量;否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出,但可在一段连续区间上取值,则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个,编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个,观察号码是“小于5”,“等于5”,“大于5”的情况,试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果,并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答:分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”,“等于5”,“大于5”,则样本空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下:X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.解答:由P{X=1}=P{X=2}, 得λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为 P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3}; (3)P{X>3}.解答:(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.解答:依题意知,12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得c=3716=2.3125.由条件概率知 P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.解答:随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,所以X的分布律为设X表示取出3件产品的次品数,则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36120,P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律为X 0123P 351203612021120112 0习题9一批产品共10件,其中有7件正品,3件次品,每次从这批产品中任取一件,取出的产品仍放回去,求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.解答:由于每次取出的产品仍放回去,各次抽取相互独立,下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同,所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯.设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品), 则随机变量X的分布律为P{X=k}=310×310×⋯×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,⋯.习题10设随机变量X∼b(2,p),Y∼b(3,p), 若P{X≥1}=59,求P{Y≥1}.解答:因为X∼b(2,p),P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因为Y∼b(3,p), 所以P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27.习题11纺织厂女工照顾800个纺绽,每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.解答:以X记纺锭断头数, n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理,所求概率为:P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005)≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈0.2381.习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布,经统计发现在某本书上,有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同,求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率.解答:\becauseP{X=1}=P{X=2}, 即λ11!e-λ=λ22!e-λ⇒λ=2,∴P{X=0}=e-2,∴p=(e-2)4=e-8.2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0,是随机变量X的分布函数,则X是___________型的随机变量.解答:离散.由于F(x)是一个阶梯函数,故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答:首先,因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).其次,F(x)单调不减且右连续,即F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1,且 F(-∞)=0,F(+∞)=1,所以F(x)是随机变量的分布函数.习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F(x),并画出图形.解答:由题意知X的分布律为:X 135Pk 0.30.50.2所以其分布函数F(x)=P{X≤x}={0,x<10.3,1≤x<30.8,3≤x<51,x≥5.F(x)的图形见图.习题4设离散型随机变量X的分布函数为 F(x)={0,x<-10.4,-1≤x<10.8,1≤x<31,x≥3,试求:(1)X的概率分布; (2)P{X<2∣X≠1}.解答:(1)X -113pk 0.40.40.2(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.习题5设X的分布函数为F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答:P{0.4<X≥1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞),试求:(1)系数A与B; (2)X落在(-1,1]内的概率.解答:(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarctanx, -∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]=12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例,试求X的分布函数.解答:F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1).解答:应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它, 求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答:P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.当X≤0时,F(x)=0;当0<x<1时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求:(1)A,B的值;(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数F(x).解答:(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1, ∴A=1;又 \becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0, ∴B=-1.(2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F(x).解答:由概率密度函数的性质知,∫-∞+∞f(x)dx=1,即∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1, 即A=1/2.从而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,又因为F(x)=∫-∞xf(t)dt,所以当x<0时,F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;当x≥0时,F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管,其寿命(以小时计)为一随机变量,概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答:设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为 p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上,某路公共汽车每5分钟有一辆车到达,设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的,试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答:设X为每位乘客的候车时间,则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布,其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题7设X∼N(3,22).(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥0.9,问d至多为多少?解答:因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c},必有1-P{X≤c}=P{X≤c},即P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12, 所以c-32=0, 故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9,即P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282,所以d≤0.436.习题8设测量误差X∼N(0,102), 先进行100次独立测量,求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率.解答:先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数,则Y∼b(100,0.05).因为n很大,p很小,可用泊松分布近似,np=5=λ,所以P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖,为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录,各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖,求:工人每月需完成多少件产品才能获奖?解答:用X表示工人每月需装配的产品数,则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖,依题意得P{X≥x}=0.1,即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1, 即 1-Φ(x-400060)=0.1, 所以Φ(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997,因此 x-400060≈1.28, 即x=4077件,就是说,想获超产奖的工人,每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压,以mm-HG计)服从N(110,122). 在该地区任选一18岁女青年,测量她的血压X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)确定最小的x, 使P{X>x}≤0.005.解答:已知血压X∼N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.(2)使P{X>x}≤0.05,求x, 即1-P{X≤x}≤0.05, 亦即Φ(x-11012)≥0.95,查表得x-10012≥1.645,从而x≥129.74.习题11设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答:X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm,由题意P{X>x}<0.01, 而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm.因此,车门的高度超过183.98cm时,男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车,有两条路可以走. 第一条路程较短,但交通拥挤,所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长,但意外阻塞较少,所需时间服从正态分布N(50,42), 求:(1)若动身时离开车时间只有60分钟,应走哪一条路线?(2)若动身时离开车时间只有45分钟,应走哪一条路线?解答:设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间,则 X∼N(40,102),Y∼N(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分钟应走第一条路.Y -101P 21513815习题3设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布,令Y=cX+d(c≠0),试求随机变量Y的密度函数.解答: fY(y)={fX(y-dc)⋅1∣c∣,a≤y-dc≤b0,其它,当c>0时,fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时,fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布,求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).解答:f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数,y∈(1,e), 其反函数为x=lny, 可得f(x)={fX(lny)∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.习题5设X∼N(0,1),求Y=2X2+1的概率密度.解答:因y=2x2+1是非单调函数,故用分布函数法先求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 分布函数为F(x), 求下列随机变量Y的概率密度:(1)Y=1X; (2)Y=∣X∣.解答:(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当y>0时,FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);;②当y<0时,FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);③当y=0时,FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故这时取fY(0)=0, 综上所述fY(y)={1y2⋅f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①当y>0时,FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);②当y<0时,FY(y)=P{∅}=0, 这时fY(y)=0;③当y=0时,FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故这时取FY(y)=0, 综上所述 fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量, 且有T∼N(98.6,2), 已知θ=5(T-32)/9, 试求θ(∘F)的概率密度.解答:已知T∼N(98.6,2). θ=59(T-32), 反函数为T=59θ+32,是单调函数,所以fθ(y)=fT(95y+32)⋅95=12π⋅2e-(95y+32-98.6)24⋅95=910πe-81100(y-37)2.习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0, 其分布函数为FY(x), 又Y在[0,1]上服从均匀分布,证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答:因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0, 故FX(x)是单调增加函数,其反函数FX-1(y)存在,又Y 在[0,1]上服从均匀分布,故Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是,Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1由于FX(z)为X的分布函数,故0≤FX(z)≤1.FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能,故上式仅有FZ(z)=FX(z), 因此,Z与X的分布函数相同.总习题解答习题1从1∼20的整数中取一个数,若取到整数k的概率与k成正比,求取到偶数的概率.解答:设Ak为取到整数k, P(Ak)=ck, k=1,2,⋯,20.因为P(⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1,所以c=1210,P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20} =1210(2+4+⋯+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答:若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立,所以是一个10重伯努利概型,X服从二项分布,其参数为n=10,p=0.7, 故(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;(2)P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]≈0.998;(3)因X∼b(10,0.7), 而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险,在1年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费,而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金,求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答:1)以“年”为单位来考虑,在1年的1月1日,保险公司总收入为2500×120元=30000元.设1年中死亡人数为X, 则X∼b(2500,0.002), 则保险公司在这一年中应付出200000X(元),要使保险公司亏本,则必须 200000X>300000即X>15(人).因此,P{保险公司亏本}=P{X>15}=∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司获利不少于100000元}=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.P{保险公司获利不少于200000元}=P{300000-200000X≥200000}=P{X≤5}=∑k=05C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈∑k=05e-55kk!≈0.615961,即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%.习题4一台总机共有300台分机,总机拥有13条外线,假设每台分机向总机要外线的概率为3%, 试求每台分机向总机要外线时,能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数.解答:设分机向总机要到外线的台数为X, 300台分机可看成300次伯努利试验,一次试验是否要到外线. 设要到外线的事件为A, 则P(A)=0.03, 显然X∼b(300,0.03), 即P{X=k}=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,⋯,300),因n=300很大,p=0.03又很小,λ=np=300×0.03=9,可用泊松近似公式计算上面的概率. 因总共只有13条外线,要到外线的台数不超过13,故P{X≤13}≈∑k=0139kk!e-9≈0.9265, (查泊松分布表)且同时向总机要外线的分机的最可能台数k0=[(n+1)p]=[301×0.03]=9.习题5在长度为t的时间间隔内,某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数t2的泊松分布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时计), 求:(1)某一天从中午12至下午3时没有收到紧急呼救的概率;(2)某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率.解答:(1)t=3,λ=3/2, P{X=0}=e-3/2≈0.223;(2)t=5,λ=5/2,P{X≥1}=1-P{X=0}=1-e-5/2≈0.918.习题6设X为一离散型随机变量,其分布律为X -101pi 1/21-2qq2试求:(1)q的值; (2)X的分布函数.解答:(1)\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi, 满足∑ipi=1,且0≤pi≤1,∴ {1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,解得q=1-1/2. 从而X的分布律为下表所示:则A=¯,P{∣X∣<π/6}=¯.解答:应填1;1/2.由分布函数F(x)的右连续性,有F(π2+0)=F(π2)⇒A=1.因F(x)在x=π6处连续,故P{X=π6=12,于是有P{∣X∣<π6=P{-π6<X<π6=P{-π6<X≤π6=F(π6)-F(-π6)=12..习题8使用了x小时的电子管,在以后的Δx小时内损坏的概率等于λΔx+o(Δx),其中λ>0是常数,求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x),并求电子管在T小时内损坏的概率.解答:因X的可能取值充满区间(0,+∞),故应分段求F(x)=P{X≤x}.当x≤0时,F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0;当x>0时,由题设知P{x<X≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),而P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F(x+Δx)-F(x)1-F(x),故F(X+Δx)-F(x)1-F(x)=λΔx+o(Δx),即F(x+Δx)-F(x)Δx=[1-F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,得F′(x)=λ[1-F(x)].这是关于F(x)的变量可分离微分方程,分离变量dF(x)1-F(x)=λdx,积分之得通解为C[1-F(x)]=e-λx(C为任意常数).注意到初始条件F(0)=0, 故C=1.于是F(x)=1-e-λx,x>0,λ>0,故X的分布函数为F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0),从而电子管在T小时内损坏的概率为P{X≤T}=F(T)=1-e-λT.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x)={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函数F(x).解答:当x≤0时,F(x)=∫-∞x0dt=0;当0<x≤1时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;当1<x≤2时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt=0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;当x>2时,F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题10某城市饮用水的日消费量X(单位:百万升)是随机变量,其密度函数为:f(x)={19xe-x3,x>00,其它,试求:(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率;(2)水日消费量介于600万升到900万升的概率.解答:先求X的分布函数F(x). 显然,当x<0时,F(x)=0, 当x≥0时有F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0,所以P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,P{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.习题11已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0),求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答:由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx=c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,从而c=eλa.于是P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1-e-λ.注意,a-1<a, 而当x<a时,f(x)=0.习题12已知X∼f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,其它, 计算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答:根据条件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫0.10.2(12x2-12x+2)dx∫0.10.5(12x2-12x+3)dx =(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.习题13若F1(x),F2(x)为分布函数,(1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数,为什么?(2)若a1,a2是正常数,且a1+a2=1. 证明:a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.解答:(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函数.(2)由F1(x),F2(x)单调非减,右连续,且 F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减,右连续,且 a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.习题14设随机变量X的概率密度ϕ(x)为偶函数,试证对任意的a>0, 分布函数F(x)满足:(1)F(-a)=1-F(a); (2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)].解答:(1)F(-a)=∫-∞-aϕ(x)dx=∫a+∞ϕ(-t)dt=∫a+∞ϕ(x)dx=1-∫-∞aϕ(x)dx=1-F(a).(2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].习题15设K在(0,5)上服从均匀分布,求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答:因为K∼U(0,5), 所以 fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4⋅4(K+2)≥0,即 K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0,解得K≥2(K≤-1舍去), 所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习题16某单位招聘155人,按考试成绩录用,共有526人报名,假设报名者考试成绩X∼N(μ,σ2), 已知90分以上12人,60分以下83人,若从高分到低分依次录取,某人成绩为78分,问此人是否能被录取?解答:要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多,可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得90-μσ=2 ①同理:P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈0.1578.因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得μ-60σ≈1.0 ②联立①,②解得σ=10,μ=70, 所以,X∼N(70,100).某人是否能被录取,关键看录取率. 已知录取率为155526≈0.2947, 看某人是否能被录取,解法有两种:方法1:P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取.方法2:看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=0.2947(录取率),P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查标准正态表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分,所以可以录取.习题17假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布,X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位:年).(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数;(2)求今后3年内再次发生地震的概率;(3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率.解答:(1)当t≥0时,P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;当t<0时,F(t)=0,∴ F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服从指数分布(λ=0.1);(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;(3)F(5)-F(3)≈0.13.习题18100件产品中,90个一等品,10个二等品,随机取2个安装在一台设备上,若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品,则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.(1)试求设备寿命超过1的概率;(2)已知设备寿命超过1,求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率 .解答:(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”,Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2),则X的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002, P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1, P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式:P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.(2)由贝叶斯公式:P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.求Y=eX的概率密度.解答:因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.类似上题可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题22设随便机变量X的密度函数为 fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.解答:X的取值范围为(-1,1), 则Y的取值范围为[1,2). 当1≤y<2时,FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx=2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,从而Y的分布函数为 FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度为fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布习题1设(X,Y)的分布律为X\123Y1 1/61/91/182 1/3a1/9求a.解答:由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知 1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得 a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示:(1)P{a<X≤b,Y≤c};解答:P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示:(2)P{0<Y≤b};解答:P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y),试用F(x,y)表示:(3)P{X>a,Y≤b}.解答:P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:试求: (1)P{12<X<32,0<Y<4;解答:P{12<X<23,0<Y<4P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:试求:(2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答:P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:试求: (3)F(2,3).解答:F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量,且P{X≥0,Y≥0}=37,P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答:P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0} =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}=47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值: (0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表,并写出关于Y的边缘分布.解答:(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零,且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值,故事件:{X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均为不可能事件,其概率必为零. 因而得到下表:Y 01/31pk 7/121/121/3习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答:由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1,且由正态分布图形的对称性,知P{X≤Y}=P{X>Y},故P{X≤Y}=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它,(1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1.5}; (4)求P{X+Y≤4}.解答:如图所示(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数k.∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.(3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732. (4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,试求:(1)常数c; (2)X和Y的联合分布函数F(x,y).解答:(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)当x≤0或y≤0时,显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时,显然F(x,y)=1;设0≤x≤1,0≤y≤1,有F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.设0≤x≤1,y>1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后,设x>1,0≤y≤1,有F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答:fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布,求联合分布密度和边缘分布密度.解答:区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1,即fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1,即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.3.2 条件分布与随机变量的独立性习题1二维随机变量(X,Y)的分布律为故(1)在Y=1条件下,X的条件分布律为。

概率论与数理统计课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案概率论与数理统计课后习题答案概率论与数理统计是一门重要的数学学科,它研究的是随机事件的规律性和统计现象的规律性。

在学习这门课程时,课后习题是巩固知识和提高能力的重要方式。

下面将给出一些概率论与数理统计课后习题的答案,希望对大家的学习有所帮助。

1. 掷一枚硬币,出现正面的概率是多少?答:硬币只有两面,正面和反面。

所以出现正面的概率是1/2。

2. 从一副扑克牌中随机抽取一张牌,抽到红桃的概率是多少?答:一副扑克牌共有52张牌,其中有26张红桃牌。

所以抽到红桃的概率是26/52,即1/2。

3. 一枚骰子有六个面,每个面上的数字分别是1、2、3、4、5、6。

投掷一次,出现奇数的概率是多少?答:一共有六个可能的结果,其中有三个是奇数(1、3、5)。

所以出现奇数的概率是3/6,即1/2。

4. 一家超市每天卖出的苹果数量服从正态分布,均值为100,标准差为10。

如果随机选取一天,卖出的苹果数量大于110的概率是多少?答:根据正态分布的性质,若随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2),则P(X > a) = 1 - P(X ≤ a),其中a为某个实数。

根据题目给出的均值和标准差,可以计算出标准化后的分数为(110-100)/10=1。

查正态分布表可知,标准正态分布Z的分位数为0.8413。

所以P(X > 110) = 1 - P(X ≤ 110) = 1 - 0.8413 = 0.1587。

5. 一批产品的质量服从正态分布,均值为μ,标准差为σ。

如果从中随机抽取一件产品,其质量在μ-σ和μ+σ之间的概率是多少?答:根据正态分布的性质,P(μ-σ < X < μ+σ) = P((X-μ)/σ < (μ+σ-μ)/σ < (X-μ)/σ) = P(-1 < Z < 1),其中Z为标准正态分布的随机变量。

查正态分布表可知,P(-1 < Z < 1) = 0.6826。

《概率论与数理统计》(武汉大学_齐民友版)课后答案

《概率论与数理统计》(武汉大学_齐民友版)课后答案

19、由条件知 P ( A B ) =
P( A)= P( B)
由独立性,有 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) =
1 1 ,从而得 P ( A ) = ,故 9 3 2 P ( A ) = 1− P ( A ) = 3 1− ( 1− P ) 4 = 80 81
20、设射手的命中率为 P,则由题意得:
1 1 4 2 1 1 πa 2 + a 2 π +2 4 2 = P( A)= 1 2π πa 2 2 13、设两艘船到达的时刻分别是 x 和 y ,则样本空间为 Ω = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24 , 0 ≤ y ≤ 24 }
由实际意义可知这是一个几何概型问题,且有一艘需等待一段时间的事件 A 为 A = {( x , y ) | −2 ≤ x − y ≤ 1 , ( x , y ) ∈ Ω } 1 因 Ω 的面积 S Ω = 24 2 ,A 的面积 S A = 24 2 − ( 23 2 + 22 2 ) ,故所求概率为 2 SA = 0.121 P( A)= SΩ 14、不妨设是单位圆,三点 A、B、C 将单位圆周分成 x , y , 2 π − x − y 三段,于是样本空 间Ω 为
2 ax − x 2 }
由条件知这是一个几何概型问题且原点和该点的连线与 0 x 轴的夹角小于
A = {( x , y ) | 0 < y < 1 2 2 ax − x 2 , y < x }
பைடு நூலகம்
π
4
的事件 A 为
Ω 的面积 S Ω = πa 2 ,A 的面积 S A = πa 2 + a 2 ,故所求概率为
第 1 章习题解案

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

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·1·习 题 一1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. A =‘出现奇数点’; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’,B =‘第一次的点数,比第二次的点数大2’; (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A =‘球的最小号码为1’;(4)将,a b 两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,A =‘甲盒中至少有一球’;(5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量,A =‘通过汽车不足5台’,B =‘通过的汽车不少于3台’。

解 (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =,135{,,}A e e e =。

(2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。

(3){(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S =(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =(4){(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =---------(,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒;{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。

概率论与数理统计统计课后习题答案

概率论与数理统计统计课后习题答案

第二章习题解答1. 设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数, 则b a ,的值可取为( A ).A . 52,53-==b aB . 32,32==b a C . 23,21=-=b a D . 23,21-==b a2. 解:因为随机变量X ={这4个产品中的次品数}X 的所有可能的取值为:0,1,2,3,4.且4015542091{0}0.2817323C C P X C ===≈; 31155420455{1}0.4696969C C P X C ===≈;2215542070{2}0.2167323C C P X C ===≈; 1315542010{3}0.0310323C C P X C ===≈;041554201{4}0.0010969C C P X C ===≈.3.解:设{1}P x p ==,则{0}1P x p ==-. 由已知,2(1)p p =-,所以23p =X 当0x <时,(){}0F x P X x =≤=;当01x ≤<时,1(){}{0}3F x P X x P X =≤===; 当1x ≥时,(){}{0}{1}1F x P X x P X P X =≤==+==.X 的分布函数为:00()1/30111x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩. 4. 解:设X ={在取出合格品以前,已取出不合格品数}. 则X 的所有可能的取值为0,1,2,3.7{0}10P x ==; 377{1}10930P x ==⋅=;3277{2}1098120P x ==⋅⋅=; 32171{3}10987120P x ==⋅⋅⋅=. 所以X 的概率分布为:5.解:设X ={其中黑桃张数}.则X 的所有可能的取值为0,1,2,3,4,5.0513395522109{0}0.22159520C C P x C ===≈; 14133955227417{1}0.411466640C C P x C ===≈; 23133955227417{2}0.274399960C C P x C ===≈; 32133955216302{3}0.0815199920C C P x C ===≈; 411339552429{4}0.010739984C C P x C ===≈; 50133955233{5}0.000566640C C P x C ===≈. 所以X 的概率分布为:6.解:由已知,()XG p所以()(1),0,1,2iP X i p p i ==-=.7.解:X 的所有可能的取值为0,1,2,3. 且1{0}2P X ==; 111{1}224P X ==⨯=;1111{2}2228P X ==⨯⨯=;1111{3}2228P X ==⨯⨯=;8. 一家大型工厂聘用了100名新员工进行上岗培训,据以前的培训情况,估计大约有4%的培训者不能完成培训任务. 求:(1)恰有6个人不能完成培训的概率; (2)不多于4个的概率. 解:设X ={不能完成培训的人数}.则(100,0.04)XB ,(1)6694100{6}0.040.960.1052P X C ==⋅=;(2)4100100{4}0.040.960.629k k k k P X C-=≤=⋅=∑.9. 一批产品的接收者称为使用方,使用方风险是指以高于使用方能容许的次品率p 接受一批产品的概率. 假设你是使用方,允许次品率不超过05.0=p ,你方的验收标准为从这批产品中任取100个进行检验,若次品不超过3个则接受该批产品. 试求使用方风险是多少?(假设这批产品实际次品率为0. 06).解:设X ={100个产品中的次品数},则(100,0.06)X B ,所求概率为1001003{3}(0.06)(0.94)0.1430k k k k P X C-≤≤==∑.10. 甲、乙两人各有赌本30元和20元,以投掷一枚均匀硬币进行赌博. 约定若出现正面,则甲赢10元,乙输10元;如果出现反面,则甲输10元,乙赢10元. 分别求投掷一次后甲、乙两人赌本的概率分布及相应的概率分布函数.解:设甲X ={投掷一次后甲的赌本},乙X ={投掷一次后乙的赌本}. 则甲X 的取值为20,40,且1{20}{40}2P X P X ====甲甲,1{10}{30}2P X P X ====乙乙,所以甲X 与乙X 的分布律分别为:0,201,204021,40X x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩甲(), 0,101,103021,30X x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩乙() 11. 设离散型随机变量X 的概率分布为:(1){}2,1,2,,100k P X k a k ===;(2){}2,1,2,k P X k a k -===,分别求(1)、(2)中常数a 的值.解:(1)因为{}1001001121,kk k P X k a =====∑∑即 1002(12)112a -⋅=-,所以)12(21100-=a . (2) 因为{}1121,kk k P X k a ∞∞-=====∑∑即121112a ⋅=-,所以 1=a .12. 已知一电话交换台服从4=λ的泊松分布,求:(1)每分钟恰有8次传唤的概率;(2)每分钟传唤次数大于8次的概率.解:设X ={每分钟接到的传唤次数},则()XP λ,查泊松分布表得(1){8}{8}{9}0.05110.02140.0297P X P X P X ==≥-≥=-=; (2){8}0.02136P X ≥=.13. 一口袋中有5个乒乓球,编号分别为1、2、3、4、5,从中任取3个,以示3个球中最小号码,写出X 的概率分布.解:X 的所有可能的取值为1,2,3.243563{1}105C P x C ====;23353{2}10C P x C ===;22351{3}10C P x C ===.所以X 的概率分布为:14. 已知每天去图书馆的人数服从参数为(0)λλ>的泊松分布. 若去图书馆的读者中每个人借书的概率为(01)p p <<,且读者是否借书是相互独立的. 求每天借书的人数X 的概率分布.解:设Y ={每天去图书馆的人数},则()YP λ,{},0,1,2,!iP Y i e i i λλ-===当{}Y i =时,(,)XB i p ,{}{}(1)k k i k i i kP X k P Y i C p p +∞-====⋅-∑!(1)(1)!!!()!iik k i kk i k ii k i ki e C p p e p p i i k i k λλλλ+∞+∞----===⋅-=-⋅-∑∑!(1)(1)!!()!!()!ik k i k k i ki k i ki k i p ep p e p i k i k k i k λλλλλ-+∞+∞----===-=-⋅--∑∑(1)()(1)e !()!!!k ki kk kk i kp pi kp p p ep e ek i k k k λλλλλλλλ-+∞-----==-=⋅=-∑即X 的概率分布为(){}e ,0,1,2,!k pp P X k k k λλ-===.15. 设随机变量X 的密度函数为 ,010,⎩⎨⎧<<+= x b ax f(x)其它, 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<3131X P X P ,试求常数a 和b . 解:1301()3183a b P X ax b dx ⎧⎫<=+=+⎨⎬⎩⎭⎰; 113142()393a b P X ax b dx ⎧⎫>=+=+⎨⎬⎩⎭⎰,由421183932a b a b +=+=得,71.5,.4a b =-= 16. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F (x )=A +B x arctan , 求常数A , B ;{1}P X <以及概率密度f (x ).解:由()lim (arctan )02()lim (arctan )12x x F A B x A B F A B x A B ππ→-∞→+∞⎧-∞=+=-=⎪⎪⎨⎪+∞=+=+=⎪⎩得121A B π⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.所以11()arctan 2F x x π=+; {1}{11}(1)(1)0.5P X P x F F <=-<<=--=; 211()'()1f x F x x π==⋅+.17. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩求:(1)常数A 的值;(2)X 的概率密度函数)(x f ;(3){}2≤X P .解:(1)由()F x 的连续性得(10)(10)(1)1F F F -=+==即21lim 1x Ax -→=,所以1A =,20,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩;(2)2,01()'()0,x x f x F x <<⎧==⎨⎩其他;(3){2}(2)1P X F ≤==.18. 设随机变量X 的分布密度函数为 , 01 , 1)(2⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它当x xAx f 试求:(1)系数A ;(2)⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221X P ;(3)X 的分布函数)(x F . 解:(1)因为1111()arcsin f x dx A x A π+∞--∞-====⎰⎰所以1A π=,1() 0 ,x f x <=⎩其它; (2)12111221112()arcsin 23P X f x dx x π⎧⎫<<====⎨⎬⎩⎭⎰;(3) 当1x <-时,(){}0f x P X x =≤=, 当01x ≤<时,11(){}arcsin 2xf x P X x x π-=≤==+⎰, 当1x ≥时,1(){}1f x P X x -=≤==⎰,所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<=1,111,arcsin 1211,0x x x x x F π)( 19. 假设你要参加在11层召开的会议,在会议开始前5 min 你正好到达10层电梯口,已知在任意一层等待电梯的时间服从0到10 min 之间的均匀分布. 电梯运行一层的时间为10 s ,从11层电梯口到达会议室需要20 秒. 如果你不想走楼梯而执意等待电梯,则你能准时到达会场的概率是多少?解:设X ={在任意一层等待电梯的时间},则(0,10)XU ,由题意,若能准时到达会场,则在10等电梯的时间不能超过4.5 min , 所求概率为 4.50{ 4.5}0.45100P X -≤==-.20. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X (min )服从51=λ的指数分布. 某顾客在窗口等待服务,若超过10 min ,他就离开. 若他一个月到银行5次,求: (1) 一个月内他未等到服务而离开窗口的次数Y 的分布; (2) 求{}1≥Y P . 解:(1)由已知,1(),(5,)5XE Y B p其中10{10}1{10}1()p P X P X f x dx -∞=>=-≤=-⎰110250115e dx e --=-=⎰所以Y 的分布为55{}(1)k k k P Y k C p p -==-2255()(1),(0,1,2,3,4,5)k k k C e e k ---=-=;(2){}02025511{0}1()(1)0.5167P Y P Y C e e --≥=-==--=.21. 设随机变量)4,5(~N X ,求α使:(1){}903.0=<αX P ;(2){}01.05=>-αX P .解:由)4,5(~N X 得5~(0,1)2X N - (1){}555()0.903222X P X P ααα---⎧⎫<=<=Φ=⎨⎬⎩⎭ 查标准正态分布表得:51.32α-=,所以6.7=α;(2)由{}01.05=>-αX P 得,{}50.99P X α-<=所以{}{}55PX P X ααα-<=-<-<5()()2()10.99222222X P ααααα-⎧⎫=-<<=Φ-Φ=Φ-=⎨⎬⎩⎭即()0.9952αΦ=,查标准正态分布表得2.582α=,所以16.5=α22. 设)2,10(~2N X ,求{}{}210 , 1310<-<<X P X P . 解:由)2,10(~2N X 得10~(0,1)2X N - {}101013=P 0 1.5(1.5)(0)0.99320.50.49322X P X -⎧⎫<<<<=Φ-Φ=-=⎨⎬⎩⎭;{}102{2102}P X P X -<=-<-< 10{11}(1)(1)2(1)120.841310.68262X P -=-<<=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=. 23. 某地8月份的降水量服从185mm,28mm μσ==的正态分布,求该地区8月份降水量超过250 mm 的概率.解:设随机变量X ={该地8月份的降水量}, 则2(185,28)XN ,从而185(0,1)28X N -所求概率为185250185{250}{}1(2.32)10.98980.01022828X P X P --≥=>=-Φ=-= 24. 测量某一目标的距离时,产生的随机误差(cm)X 服从正态分布)400,0(N ,求在3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30 cm 的概率.解:由(0,400)X N 得(0,1)20X N设Y ={在3次测量中误差的绝对值不超过30 cm 的次数},则(3,)Y B p其中{30}{3030}{1.5 1.5}p P X P X P X =<=-<<=-<<(1.5)( 1.5)2(1.5)120.933210.8664=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=所以P {3次测量中至少有1次误差的绝对值不超过30 cm }={1}P Y ≥00331{0}10.86640.13320.9976P Y C =-==-⋅=25. 已知测量误差2~(7.5,10)X N ,X 的单位是mm ,问必须进行多少次测量,才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm 的概率大于0. 9.解:设必须进行n 次测量才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm 的概率大于0. 9.由已知2~(7.5,10)X N ,7.5~(0,1)10X N - 设Y ={n 次测量中,绝对误差不超过10mm 的次数},则(,)Y B n p其中7.5{10}{0.25}(0.25)0.598710X p P X P -=≤=≤=Φ= 所求概率为{1}0.9P Y ≥>,即{0}0.1P Y =≤000.59870.40130.1n n C ⋅≤,解之得,3n ≥必须进行3次测量,才能使至少有一次测量的绝对误差不超过10mm 的概率大于0. 9. 26. 参加某项综合测试的380名学生均有机会获得该测试的满分500分. 设学生的得分)(~2σμ,N X ,某教授根据得分X 将学生分成五个等级:A 级:得分)(σμ+≥X ;B 级:)(σμμ+<≤X ;C 级:μσμ<≤-X )(;D 级:)()2(σμσμ-<≤-X ;F 级:)2(σμ-<X . 已知A 级和C 级的最低得分分别为448分和352分,则: (1)μ和σ是多少?(2)多少个学生得B 级?解:(1)由已知,448352μσμσ+=⎧⎨-=⎩,解之得40048μσ=⎧⎨=⎩(2){}{01}X P X P μμμσσ-≤<+=≤<(1)(0)0.84130.50.3413=Φ-Φ=-=由于0.3413×380=129.66,故应有130名学生得B 级。

《概率论与数理统计》课后习题答案chapter1

《概率论与数理统计》课后习题答案chapter1
解:令,即 ,即
13. 乘以什么常数将使变成概率密度函数? 解:令
即 即 14. 随机变量,其概率密度函数为
() 试求;若已知,求.
解:
, 若,由正态分布的对称性 可知 .
15. 设连续型随机变量的概率密度为 以表示对的三次独立重复试验中“”出现的次数,试求概率.
解: 。
16. 设随机变量服从[1,5]上的均匀分布,试求. 如果 (1); (2). 解:的概率密度为 (1) (2) 17. 设顾客排队等待服务的时间(以分计)服从的指数分布。某顾
(1)
(2) 3. 从家到学校的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的 概率是相互独立的,且概率均是0.4,设为途中遇到红灯的次数,试求 (1)的概率分布; (2) 的分布函数。 解: (1) 列成表格
(2) 4. 试求习题1.3中第11题的分布函数,并画出
的曲线。 解:
5. 设连续型随机变量的分布函数为 试求:(1)的值; (2); (3)概率密度函数.
7. 已知事件相互独立,求证与也独立。 证明:因为、、相互独立,
与独立。 8. 甲、乙、丙三机床独立工作,在同一段时间内它们不需要工人照
顾的概率分别为0.7,0.8和0.9,求在这段时间内,最多只有一台机床需 要工人照顾的概率。
解: 令分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾, 那么 令表示最多有一台机床需要工人照顾, 那么
4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1,当生产过程中 出现废品时立即进行调整,X代表在两次调整之间生产的合格品数,试 求
(1)的概率分布; (2)。 解: (1) (2) 5. 一张考卷上有5道选择题,每道题列出4个可能答案,其中有1个答 案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少? 解:因为学生靠猜测答对每道题的概率为,所以这是一个,的独立重 复试验。
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16、用 A,B,C 分别表示取出的是一,二,三等品三个事件,则所求概率为 P ( A C ) P ( A − AC ) P( A) 0.6 2 P ( A|C ) = = = = = 1 − P ( C ) 1 − P ( C ) 1 − 0 . 1 3 P(C ) 其中利用到 AC = φ ,即 A 与 C 互斥。 17、由贝叶斯公式所求概率为 0.01× 0.6 3 = 0.01× 0.6 + 0.02 × 0.4 7 18、由条件及加法公式有 P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( AB ) − P ( AC ) − P ( BC ) + P ( ABC )
C
2 M −m
+C C
1 m
1 M −m
=
2m M + m −1
注:这里采用的是在缩减的样本空间中计算条件概率的方法,且题中“有一件”其意应在 “至少有一件”而不能理解为“只有一件” ,这是因为对另一件是否是不合格还不知道。 2、 (1 )这是条件概率,下面考虑在缩减的样本空间中去求,第一、第二次取到正品有 15 × 14 × 18 种取法,在此条件下第三次取到次品有 15 × 14 × 5 种取法,故所求概率为 15 × 14 × 5 5 = 15 × 14 × 18 18 注: 上述是将样本空间中的元素看成是三次取完后的结果, 更简单的也可只考虑以第三次 取的结果作为样本空间中的元素,即在第一、第二次取到正品时,第三次取时有 18 种取法, 5 而在第一次、第二次取到正品时,第三次取次品有 5 种取法,故所求概率为 18 (2)此问是要求事件“第一、第二次取到正品,且第三次取到次品”的概率(与(1)不 同的在于这里没有将第一、第二次取到正品作为已知条件,而是同时发生) ,按题意,三次取 产品共有 20 × 19 × 18 种取法,而第三次才取到次品共有 15 × 14 × 5 种取法,故所求概率为
2 种取法,故所求概率为 有C m
2 Cm
C
2 m
+C C
1 m
1 M −m
=
m −1 2 M − m −1
2 1 (2)取出产品中有一件是合格品有 C M +C m C1 种取法,而已知两件中有一件是合 −m M −m 1 Cm 种取法,故所求概率为 格品,另一件是不合格品有 C 1 M −m 1 1 CM Cm −m
第 1 章习题解案
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第一章
(一)基本题答案 1、 (1 ) Ω 1 = { 0 , 1 , 2 , 3 } (3) Ω 3 = {( x , y ) | x 2 + y 2 < 1 } (5 ) Ω 5 = { 2 , 3 , 4 , 2、 (1) AB C
,12}
随机事件与概率
(2 ) Ω 2 = { 1 , 2 ,
1 1 4 2 1 1 πa 2 + a 2 π +2 4 2 = P( A)= 1 2π πa 2 2 13、设两艘船到达的时刻分别是 x 和 y ,则样本空间为 Ω = {( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24 , 0 ≤ y ≤ 24 }
由实际意义可知这是一个几何概型问题,且有一艘需等待一段时间的事件 A 为 A = {( x , y ) | −2 ≤ x − y ≤ 1 , ( x , y ) ∈ Ω } 1 因 Ω 的面积 S Ω = 24 2 ,A 的面积 S A = 24 2 − ( 23 2 + 22 2 ) ,故所求概率为 2 SA = 0.121 P( A)= SΩ 14、不妨设是单位圆,三点 A、B、C 将单位圆周分成 x , y , 2 π − x − y 三段,于是样本空 间Ω 为
= 1 − [ P( A) + P( B ) + P(C ) − P( AB) − P( AC ) − P( BC ) + P( ABC )] 1 1 1 1 1 17 = 1 − ( + + − 0 − − + 0) = 4 4 4 9 9 36
7、 P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( AB ) − P ( AC ) − P ( BC ) + P ( ABC ) 1 1 1 1 5 = + + −0− −0+0 = 4 4 4 8 8 8、因 ( A ∪ B )( A ∪ B )( A ∪ B )( A ∪ B ) = ( AA ∪ B )( AA ∪ B ) = B B = φ 所以 P {( A ∪ B )( A ∪ B )( A ∪ B )( A ∪ B )} = P ( φ ) = 0 9、七个字母任意排有 7!种排法,且每一排法的可能性相同,这是一个古典概型问题, 4 1 而排成 SCIENCE 有 1× 2 × 1× 2 × 1× 1× 1 = 4 种排法,故所求概率为 = 7 ! 1260 10、12 件产品按不放回方式抽两次时有 12 × 11 种抽取法,且每一种取法的概率相等,这 11× 2 1 是一个古典概型问题,而第二次抽出次品抽取法有 11× 2 种,故所求事件概率为 = 12 × 11 6 11、这可看成是条件概率问题 方法一 设 A 表示第一次取到不合格品, B 表示第二次取到不合格品,所求概率是 P ( AB | A ∪ B ) ,按条件概率的定义有 P ( AB ( A ∪ B )) P ( AB ) P ( AB | A ∪ B ) = = P ( A∪ B ) P ( A∪ B ) 4×3 4× 6 + 4× 6 + 4×3 因 P ( AB ) = , P ( A∪ B ) = ,故所求概率为 10 × 9 10 × 9 4×3 1 P ( AB | A ∪ B ) = = 4× 6 + 4× 6 + 4×3 5 2 1 1 种取法, C6 +C 4 方法二 如果是同时从中任取 2 件 产品, 此时有一件是不合格时共有 C 4
} = { n / n 是正整数}
}
(4) Ω 4 = {x 0 ≤ x ≤ 2} (7 ) Ω 7 = { 0 , 1 , 2 , (3 ) A ∪ B ∪ C (6) A ∪ B ∪ C (或 ABC )
(6) Ω 6 = {( x, y, z ) | x + y + z = 1, x > 0, y > 0, z > 0} (2 ) A ( B ∪ C ) (4) A B C ∪ AB C ∪ A BC (5) AB ∪ BC ∪ AC
3、 P ( A ∪ B ) = P ( AB ) = 1 − P ( AB ) = 1 − z
P ( AB ) = P ( B − AB ) = P ( B ) − P ( AB ) = y − z
P ( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( AB) = 1 − x + y − ( y − z ) = 1 − x + z P ( AB) = P( A ∪ B) = 1 − P( A ∪ B) = 1 − [ P( A) + P( B) − P( AB )] = 1 − x − y + z
2 ax − x 2 }
由条件知这是一个几何概型问题且原点和该点的连线与 0 x 轴的夹角小于
A = {( x , y ) | 0 < y < 1 2 2 ax − x 2 , y < x }
π
4
的事件 A 为
Ω 的面积 S Ω = πa 2 ,A 的面积 S A = πa 2 + a 2 ,故所求概率为
解之得
2 3 21、设 P ( A ) = P ,则由题意得 P= 1 − ( 1 − P = 0.2 ,在三次独立试验中,事件 A 出现一次的概率是 1 C3 P ( 1 − P ) 2 = 3 × 0.2 × 0.8 2 = 0.384 (二)补充题答案 1、 (1)类似于本章第 11 题,这里不妨认为是同时取出两件产品,此时取出产品中有一件 2 1 1 是不合格品有 C m +C m CM 种取法,而已知两件中有一件是不合格品,另一件也是不合格品 −m
Ω = {( x, y ) | 0 < x < 2π ,0 < y < 2π ,0 < 2π − ( x + y ) < 2π }
由实际意义知这是几何概型问题,当且仅当三段弧长都小于 π 时,三角形 ABC 为锐角三 角形,即三角形 ABC 为锐角三角形的事件 A 为
A = {( x, y ) | 0 < x < 2π ,0 < y < π ,0 < 2π − ( x + y ) < π , ( x, y ) ∈ Ω}
19、由条件知 P ( A B ) =
P( A)= P( B)
由独立性,有 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) =
1 1 ,从而得 P ( A ) = ,故 9 3 2 P ( A ) = 1− P ( A ) = 3 1− ( 1− P ) 4 = 80 81
20、设射手的命中率为 P,则由题意得:
2 种取法,故所求概率为 而已知有一件是不合格品时,另一件也是不合格共有 C 4
第 1 章习题解案
2 C4
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2 1 1 +C 4 C4 C6
=
1 5
注:此种方法是在缩减的样本空间中考虑条件概率的计算。 12、设点的坐标为 ( x , y ) ,则样本空间
Ω = {( x , y ) | 0 < y <
4、 P ( AB ) = P ( A − AB ) = P ( A) − P ( AB )
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