2021版高中数学课时分层作业二十七指数型对数型函数模型的应用举例含解析新人教A版必修1

课时分层作业二十七指数型、对数型函数模型的应用举例

(20分钟40分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的路程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是 ( )

A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5 km

B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D.某城市机动车最高限速80 km/h.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【解析】选D.对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于40 km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5 km，则A错；对于B选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B错；对于C选项：甲车以80 km/h的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1小时，消耗了汽油80×1÷10=8(升)，则C错；对于D选项：当行驶速度小于80 km/h时，在相同条件下，丙车的燃油效率高于乙车，则在该市用丙车比用乙车更省油，则D对.

2.我们定义函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y={x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]=4，[5]=5；{4.3}=5，{5}=5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推.若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为 ( ) (单位：元)

A.2[x+1]

B.2([x]+1)

C.2{x}

D.{2x}

【解析】选C.如x=1时，应付费2元，此时2[x+1]=4，2([x]+1)=4，排除A，B；当x=0.5时，付费为2元，此时{2x}=1，排除D.

3.温度对反应速率的影响可以用阿累尼乌斯公式：lg=表示，其中k1，k2分别

为温度T1，T2时的某反应的速率常数，E为反应的活化能(单位：KJ/mol)，R为摩尔气体常数，R=8.314 J/(mol·K)(假定活化能在温度变化范围不大时是常数).又已知同一反应在不同温度下反应速率常数与反应时间的关系如下：=，若现在温度为300K，鲜牛奶5小时后变酸，但是在275K的冰箱里可以保存50小时，则牛奶变酸反应的活化能为____KJ/mol(精确到0.01).

( )

A.63.19

B.7.60

C.-69.19

D.-7.60

【解析】选A.因为=，所以==10，

所以代入阿累尼乌斯公式得

lg=，

所以E=≈63.19 KJ/mol.

4.某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) ( )

A.2020年

B.2021年

C.2022年

D.2023年

【解析】选B.若2018年是第一年，则第n年科研经费为1 300×1.12n，由

1 300×1.12n>

2 000，可得lg 1.3+nlg 1.12>lg 2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即到2021年科研经费超过2 000万元.

【补偿训练】

(2019·重庆市第一中学高一检测)在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔.在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数学”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数.在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法.让我们来看看下面这个例子：

这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂.如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字：64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加起来：6+8=14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256=16 384.按照这样的方法计算：16 384×

32 768= ( )

A.134 217 728

B.268 435 356

C.536 870 912

D.513 765 802

【解析】选C.根据已知的规律，16 384对应第一行中的14，32 768对应第一行中的15，计算14+15=29，在第一行找到29，对应的第二行中的数是536 870 912，所以C是正确的.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天的回报比前一天多10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报是前一天的两倍.

若投资的时间为10天，为使投资的回报最多，你会选择的方案为_______.

【解析】方案一：投资10天的回报为40×10=400元；

方案二：投资10天的回报为10+20+30+40+…+90+100=550元；

方案三：投资10天的回报为0.4+0.4×2+0.4×22+…+0.4×29=0.4(1+2+22+…+29)=409.2元. 所以投资回报最多的为方案二.

答案：方案二

6.某商品价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即y=k·a x(a>0且a≠1)，x∈N*.当商品上架第1天的价格为96元，而上架第3天的价格为54元，则该商品上架第4天的价格为_______元.

【解析】由题意可得方程组：结合a>0且a≠1可得

即y=128×，则该商品上架第4天的价格为128×==40.5，即该商品上架第4天的价格为40.5元.

答案：40.5

三、解答题

7.(10分)医学上，为了研究某种传染病传播过程中病毒的发展规律及其预防，将病毒注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒在小白鼠体内的总个数与天数的关系如表：

天数 1 2 3 4 5 6 7 …

病毒总个数 1 2 4 8 16 32 64 …

已知该种病毒在小白鼠体内的个数超过108的时候，小白鼠就会死亡.但是注射某种药物，可以杀死此时小白鼠体内98%的病毒.

(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应该在何时注射该种药物？

(2)第二次最迟应该在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？

(精确到天，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)

【解析】(1)由题意可得病毒总个数y与天数x的函数关系式为y=2x-1，x∈N*，