电磁场中的基本方程
麦克斯韦方程组在伽利略变换
麦克斯韦方程组在伽利略变换介绍麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程，它由麦克斯韦首次提出，并成为电磁学的基本理论。
伽利略变换则是描述参考系间相对运动的变换关系。
本文将探讨麦克斯韦方程组在伽利略变换下的性质和应用。
麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组包括四个方程：高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定律和法拉第电磁感应定律的积分形式。
高斯定律高斯定律描述了电场的产生和分布与电荷密度之间的关系。
它可以用以下方程表示：∇⋅E=ρε0其中，E是电场强度，ρ是电荷密度，ε0是真空介电常数。
法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律描述了磁场的产生和磁感应强度与电场变化率之间的关系。
它可以用以下方程表示：∇×E=−∂B ∂t其中，B是磁感应强度。
安培环路定律安培环路定律描述了磁场的产生和磁感应强度与电流之间的关系。
它可以用以下方程表示：∇×B=μ0J其中，J是电流密度，μ0是真空磁导率。
法拉第电磁感应定律的积分形式法拉第电磁感应定律的积分形式描述了磁场的产生和磁感应强度与电流回路之间的关系。
它可以用以下方程表示：∮E⋅dl=−ddt∬B⋅dA伽利略变换伽利略变换是描述参考系之间相对运动的变换关系。
它假设时间和空间是绝对的，并忽略了光速的影响。
伽利略变换可以用以下公式表示：r′=r−vtt′=t其中，r是空间坐标，v是相对速度，t是时间。
麦克斯韦方程组在伽利略变换下的性质在伽利略变换下，麦克斯韦方程组的形式保持不变。
由于伽利略变换假设时间和空间是绝对的，因此方程组中的时间和空间导数仍然适用于变换后的坐标系。
麦克斯韦方程组在伽利略变换下的应用麦克斯韦方程组在伽利略变换下的应用主要涉及电磁场与相对运动参考系之间的关系。
例如，在研究电磁波传播时，可以通过伽利略变换将电磁场转换到相对静止的参考系中进行分析。
另外，通过在伽利略变换下对麦克斯韦方程组进行变换，还可以推导出洛伦兹变换和相对论电磁学的基本方程。
总结本文通过介绍麦克斯韦方程组和伽利略变换，探讨了麦克斯韦方程组在伽利略变换下的性质和应用。
第一章 电磁理论基本方程-公式
电磁理论基本方程一、电磁理论基本方程1麦克斯韦方程：d d l S t ⎛⎫∂⋅=+⋅ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎰⎰⎰D H l J S （1-1） d d l St ∂⋅=-⋅∂⎰⎰⎰B E l S （1-2） d d SVV ⋅=⎰⎰⎰⎰⎰ρD S （1-3） d 0S⋅=⎰⎰B S （1-4） 式中：E ——电场强度（/V m ）H——磁场强度（/A m ）D ——电位移矢量或电通密度（2/C m ） B ——磁感应强度或磁通密度（2/Wb m ）J ——电流密度（2/A m ）ρ——电荷密度（3/C m ）式（1－1）全电流安培环路定律，它表示传导电流和位移电流（即变化的电场）都可以产生磁场式（1－2）为法拉第电磁感应定律，它表示变化的磁场产生电场。
式（1－3）为电场高斯定理，它表示电荷可以产生电场； 式（1－4）为磁场高斯定理，也称为磁通连续原理。
t∂∇⨯=+∂DH J （1－5） t∂∇⨯=-∂BE （1－6） 0∇⋅=B （1－7）∇⋅=ρD （1－8）t∂∇⋅=-∂ ρJ （1－9）式（1－5）表示传导电流密度和位移电流是磁场的旋度源； 式（1－6）表示变化的磁场是电场的旋度源； 式（1－7）表示磁场是无散场；式（1－8）表示电荷密度是电场的散度源。
微分形式的麦克斯韦方程描述了空间的任一点上场与场源的时空变化关系。
由于含有对场量的微分，它只适用于媒质物理性质不发生突变的区域。
式（1－5）、（1－6）、（1－9）是相互独立的。
2广义麦克斯韦方程阐述了电型源和磁型源的麦克斯韦方程的对称性即两组方程是对偶的。
但目前电型源电流和电荷是自然界的实际场，而尚未发现自然界有磁荷和磁流。
3时谐麦克斯韦方程电磁场量,,,,E D H B 是空间和时间的函数，在随时间变化的电磁场中最有用而又最重要的是随时间按正弦或余弦变化的场 ——时谐电磁场。
二物质的电磁特性1电磁场对物质的作用对于均匀、各项同性、线型煤质，在电磁场作用下，其物质内部电荷运动导致煤质的极化、磁化、和传导。
第2章--电磁场基本方程---2
B(z) 0Ia
4π
2π 0
(z2
ez a a2 )3/2
d
'
0 Ia 2
2(z2 a2 )3/ 2
可见，线电流圆环轴线上的磁感应强度只有轴向分量，这是因为
圆环上各对称点处的电流元在场点P产生的磁感应强度的径向分 量相互抵消。
在圆环的中心点上，z = 0，磁感应强度最大，即
B(0)
ez
0 I
dB (r )
0
4π
Idl (r r r3
r )
体电流产生的磁感应强度
B(r ) 0 J (r) R dV
4π V R3 面电流产生的磁感应强度
z
C Idl M
r R r y
o
x
B(r ) 0
4π
S
JS
(r ) R3
R
dS
25
电磁场
第二章 电磁场基本方程
3. 几种典型电流分布的磁感应强度
D
rˆ
q
4r 2
4
电磁场
第二章 电磁场基本方程
电通量为
S
D
ds
q
4r 2
4r 2
q
此通量仅取决于点电荷量q, 而与所取球面的半径无关。
如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利用叠加原理知, 穿出封闭 面的电通量总和等于此面所包围的总电量
S D ds Q
－－－ 高斯定理的积分形式(1839
K .F .Gauss导出),
r1 R12 r2
o
x
C2
I2dl2
y
安培磁力定律
F12
0
4π
I2dl2 (I1dl1 R12 )
麦克斯维尔方程
麦克斯维尔方程
麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）是描述电磁场的基本
方程组，由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦在19世纪提出。
该
方程组共有四个方程，包括高斯定律、法拉第电磁感应定律、法拉第环路定律和电磁场的无源性定律。
1. 高斯定律（Gauss's law）：电场通过一个封闭曲面的总电场
通量等于该曲面内的电荷总数的1/ε₀（ε₀为真空介电常数）。
数学表达式：∮E·dA = 1/ε₀∫ρdV
2. 法拉第电磁感应定律（Faraday's law of electromagnetic induction）：电磁感应现象是由于磁通量的变化所产生的感应
电动势。
该定律描述了磁场变化引起的感应电势。
数学表达式：∮E·dl = -d(∫B·dA)/dt
3. 法拉第环路定律（Ampere's law with Maxwell's addition）：
通过一个闭合回路的环路积分得到的磁场的环路积分与电流及电场的变化率之和成正比，并且为环路内自由电流和穿过环路的总电流之和。
数学表达式：∮B·dl = μ₀(I_f + ε₀d(∫E·dA)/dt)
4. 电磁场的无源性定律（Gauss's law for magnetism）：磁场的
闭合环路积分为零，即没有磁单极子的存在。
数学表达式：∮B·dA = 0
这些方程描述了电场和磁场的产生和相互作用规律，并为电磁
波的传播提供了理论依据。
麦克斯韦方程组对于电磁理论和电磁学应用有重要意义，成为现代电磁学的基础。
写出麦克斯韦方程组的微分形式并说明其物理意义
写出麦克斯韦方程组的微分形式并说明其物理意义麦克斯韦方程组是电磁学的基本方程,描述了电荷和电磁场之间相互作用的规律.它由4个方程组成，其中两个方程是高斯定理，另外两个方程是法拉第定律和安培定理。
这四个方程分别是：1. 高斯定理：$$\nabla \cdot \mathbf{E} =\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$这个方程描述了电场强度($\mathbf{E}$)在空间中的分布。
左边的散度运算符($\nabla \cdot$)表示电场通过单位体积的流出量，右边的$\rho$表示单位体积内的电荷密度。
方程右边的比例常数$\varepsilon_0$是真空中的介电常数。
2. 高斯-安培定理：$$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$这个方程描述了磁场($\mathbf{B}$)的散度为零，即磁场不存在磁荷。
散度为零意味着磁场线没有源或汇。
这四个方程是电磁学中的基本方程，通过它们可以推导出所有的电磁现象。
它们的微分形式描述了电磁场在空间中的分布和变化规律。
它们代表了电磁场与电荷和电流的相互作用，可以应用于不同的情况和问题。
高斯定理用于描述静电场，描述了电荷是如何产生电场的；高斯-安培定理描述了磁场的结构，磁场的产生和变化均由电流来决定；法拉第定律描述了变化的磁场如何产生电场；安培定理描述了变化的电场如何产生磁场。
这些方程描述了电荷和电磁场之间的相互作用，是电磁学研究的基础。
这四个方程的微分形式更加具体和详细地描述了电磁场的分布和变化。
通过对这些方程的求解，可以得到电场和磁场在不同条件下的具体数值，进而得到电磁场的行为和特性。
这对于研究电磁波传播、电磁感应、电磁辐射等现象具有重要意义。
总之，麦克斯韦方程组的微分形式描述了电磁场的产生、分布和变化规律，揭示了电荷和电磁场之间的相互作用。
通过对这些方程的求解和分析，可以深入理解电磁学的各种现象和现象的产生原因，为电磁学的研究和应用提供了重要的理论基础。
麦克斯韦方程组矢量形式
麦克斯韦方程组矢量形式
麦克斯韦方程组是描述电磁场的一组基本方程，包括电场和磁场的动力学方程以及电磁场的源项。
麦克斯韦方程组的矢量形式如下：
1. 磁场的高斯定律（磁场无源律）：
$$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$$
2. 磁感应定律（法拉第电磁感应定律）：
$$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial
\mathbf{B}}{\partial t}$$
3. 电场的高斯定律（电场无源律）：
$$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$
4. 安培定律（安培环路定律）：
$$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\mathbf{J} +
\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$$
其中，$\mathbf{E}$表示电场矢量，$\mathbf{B}$表示磁场矢量，$\rho$表示电荷密度，$\mathbf{J}$表示电流密度，
$\varepsilon_0$表示真空介电常数，$\mu_0$表示真空磁导率。
工程电磁场
E m j Bm
Bm 0
Dm m
不再含有场量对时间t的偏导数，从而使时谐电磁场的分析得 以简化。
例4-2：写出与时谐电磁场对应的复矢量(有效值)或瞬时矢量，
H x jH 0 sin cos(x cos )e
jz sin
E
U e ln( b / a
U I ez ln( b / a ) 2
同轴电缆中的电磁能流
单位时间内流入内外导体间的横截面A的总能量为 b UI P S dA 2d UI A a 2 2 ln b / a 这表明： • 穿出任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部被负载吸收。
时变电磁场中媒质分界面上的衔接条件的推导方式与前三章类同，归纳如下：
e n H 2 H 1 k e n E 2 E1 0
E2t E1t
B1n B2n
D2n D1n
e n B2 B1 0
tan 1 1 tan 2 2
时谐电磁场
4.2.1 时谐电磁场的复数表示
E(r, t ) ex Exm r cost x r e y Eym r cost y r ez Ezm r cost z r
（三要素） 是角频率，Exm、Eym、Ezm及x、y、z 分别是 电场强度在直角坐标系下的三个分量的振幅和初相位。 采用相量表示法，上式可表示为如下复矢量(相量)，即
~ j
通常的磁导率
通常的介电常数
表征磁介质中的 磁化损耗
在高频时谐电磁场以上参数通常是频率的函数
当电介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电 常数可写为 ~ e j 为了表征电介质中损耗的特性，通常采用损耗角的正切
电磁场基本方程
一、电磁场的源——电荷与电流1、电荷与电荷密度宏观上可以用“电荷密度”来描述带电体的电荷分布。
定义体电荷密度为30m C d d lim−→∆⋅=∆∆=VQV Q V ρ其中Q ∆是体积元V ∆内包含的总电荷量。
当电荷存在于一无限薄的薄层或者截面很小的细线上时，可用面电荷密度或线电荷密度来描述20m C d d lim−→∆⋅=∆∆=SQS Q S S ρ10m C d d lim −→∆⋅=∆∆=lQl Q l l ρ一个体积为V 、表面积为S 、线长为l 上包含的电荷总量可以分别对上述三式进行体、面、线积分得到，即∫∫∫=VV Q d ρ、∫∫=SS S Q d ρ、∫=ll lQ d ρ2、电流与电流密度任取一个面，穿过此面的电流定义为单位时间内穿过此面的电荷量，即As C d d lim10或−→∆⋅=∆∆=tQt Q I t 电流的正方向规定与正电荷的运动方向。
体电流密度是一个矢量，方向为正电荷的运动方向，大小等于垂直于运动方向上的单位面积上的电流。
电流密度的大小可表示为20m A lim−→∆⋅∆∆=SI J S 体电流密度矢量由体电荷密度和正电荷的运动速度确定，即vJ r r ⋅=ρ对于任意曲面，穿过此曲面的总电流为∫∫⋅=SSJ I r r d 同样，可以定义面电流密度为10m A lim −→∆⋅∆∆=l IJ l S vJ S S r r ⋅=ρ∫⋅=ls lJ I r r d 3、电流连续性方程（电荷守恒定律）在一个体电荷密度为ρ的带电体内任取一个封闭曲面S ，某瞬间从此封闭曲面流出的电流为i(t)，则()∫∫∫∫∫−=−==⋅V S V t t Q t i S J d d d d d d ρr r 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的积分形式。
若体积V 是静止的，则对时间的微分和体积分的次序可以交换，结合散度定理，有∫∫∫∫∫∫∫∫∂∂−=⋅=⋅∇V S V Vt S J V J d d d ρr r r于是，对于任意体积V ，都有tJ ∂∂−=⋅∇ρr 即电流连续性方程（电荷守恒定律）的微分形式。
写出麦克斯韦方程组的积分形式与微分形式,并说明每个方程的物理意义
写出麦克斯韦方程组的积分形式与微分形式,并说明每个方程的物理意义麦克斯韦方程组是电磁学领域中的基本方程组，描述了电磁场的行为，它由四个方程组成，分别是高斯定律、高斯磁场定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
1. 高斯定律（积分形式）：麦克斯韦方程组的第一个方程是高斯定律，它描述的是电场通过一个封闭曲面的总通量与内部电荷之比。
其积分形式可以表示为：\[\oint \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{in}}{\varepsilon_0}\]这里，\(\vec{E}\) 表示电场，\(d\vec{A}\) 表示曲面元素，\(Q_{in}\) 表示封闭曲面内的净电荷，\(\varepsilon_0\) 是真空介电常数。
这个方程表明了电场对电荷的影响是通过电场通量来描述的。
物理意义：高斯定律说明了电场随着电荷的分布而改变，并且电场的分布是由电荷形成的。
通过对这个方程的理解，我们可以更好理解电场在空间中是如何形成和传播的。
2. 高斯磁场定律（积分形式）：麦克斯韦方程组的第二个方程是高斯磁场定律，它描述的是磁场通过一个闭合曲面的总磁通量等于零。
其积分形式可以表示为：\[\oint \vec{B}\cdot d\vec{A} = 0\]这里，\(\vec{B}\) 表示磁场，\(d\vec{A}\) 表示曲面元素。
这个方程表明了磁场不存在单极子，磁场线总是形成闭合曲线或形成环路的形式。
物理意义：高斯磁场定律说明了磁场的性质，它告诉我们磁场不存在孤立的单极子，而总是存在一对相等大小相反方向的磁极。
这个方程的理解对于磁场的性质和行为有很大的帮助。
3. 法拉第电磁感应定律（微分形式）：麦克斯韦方程组的第三个方程是法拉第电磁感应定律，它描述的是磁场变化所产生的感应电场。
它的微分形式可以表示为：\[\nabla\times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\]这里，\(\nabla\times\) 是旋度算子，\(\vec{E}\) 表示电场，\(\vec{B}\) 表示磁场，\(t\) 表示时间。
麦克斯韦方程组的四个积分形式
麦克斯韦方程组的四个积分形式麦克斯韦方程组是电磁学中的基本方程组，描述了电磁场的行为规律。
它由四个积分形式构成，分别是高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培环路定律和高斯磁定律。
下面将分别介绍这四个定律的积分形式。
一、高斯定律高斯定律是麦克斯韦方程组中的第一个积分形式。
它描述了电场与电荷分布之间的关系。
根据高斯定律，电场通过任意闭合曲面的总通量等于该曲面内的电荷代数和的1/ε0倍，其中ε0为真空介电常数。
高斯定律的积分形式可以用来计算闭合曲面内的电场强度，或者通过已知电场强度来求闭合曲面内的电荷分布。
这个定律在电场分布对称的情况下特别有用，比如在球对称、柱对称和平面对称的电场问题中。
二、法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律是麦克斯韦方程组中的第二个积分形式。
它描述了磁场的变化如何产生感应电动势。
根据法拉第电磁感应定律，电磁感应电动势等于磁场变化率对时间的积分，即感应电动势等于磁场改变的通量。
法拉第电磁感应定律的积分形式可以用来计算闭合回路上的感应电动势，或者通过已知的电动势来求闭合回路中的磁场分布。
这个定律广泛应用于电磁感应、电动机和发电机等领域。
三、安培环路定律安培环路定律是麦克斯韦方程组中的第三个积分形式。
它描述了磁场与电流之间的关系。
根据安培环路定律，磁场通过任意闭合回路的总环流等于该回路内的电流代数和的μ0倍，其中μ0为真空磁导率。
安培环路定律的积分形式可以用来计算闭合回路内的磁场强度，或者通过已知磁场强度来求闭合回路中的电流分布。
这个定律在磁场分布对称的情况下特别有用，比如在轴对称和平面对称的磁场问题中。
四、高斯磁定律高斯磁定律是麦克斯韦方程组中的第四个积分形式。
它描述了磁场与磁荷分布之间的关系。
根据高斯磁定律，磁场通过任意闭合曲面的总通量等于该曲面内的磁荷代数和的0倍，即磁荷不存在。
高斯磁定律的积分形式可以用来计算闭合曲面内的磁场强度，或者通过已知磁场强度来证明磁荷不存在。
然而，目前还没有观测到独立存在的磁荷，因此高斯磁定律在实际应用中较少使用。
电磁场基本方程
（1）分析电场是否具有对称性。 （2）取合适的高斯面(封闭面)，即取在E相等的曲面上。
（3）E相等的面不构成闭合面时，另选法线方向垂直于E
的面，使其成为闭合面。
（4）分别求出
D ds
s
，从而求得 D 及 E 。
qi
S内
16
高等教育出版社出版
2.1.3 电流密度，电荷守恒定律
电流 —— 电荷的定向运动而形成，用i 表示，其大小定义为： 单位时间内通过某一横截面S的电荷量，即
E
EdS S
4 r2E
01o 43Vr0d3V
E 0r ,Do0r
a
r
3o
3
高等教育出版社出版
13
例2 如图所示，同轴线的内外导体半径分别为a 和b。在内外导体间加电压U，则内导体通过的 电流为I，外导体返回的电流为-I。
a)设内外导体上单位长度的带电量分别为
作为封闭面，还应加上前后圆盘底面，但是它们与 D相平行，因而没有通量
穿过，不必考虑。
于是
sD d sD ˆ2l ll
得
D ˆ l , 2
E D ˆ l
ab
2
14
高等教育出版社出版
b) UlEd la b2 l d2 l ln b a 故
利用斯托克斯定理 E dS E dl
S
C
导出： E0
表明静电场是无旋场。
静电场的基本性质 （1）静电场是由通量源、不是 由旋涡源产生的场； （2）静电场是有源无旋场。
高等教育出版社出版
12
例1 求真空中均匀带电球体的电场强度和电通密度分布。已
知球体半径为a ，电 荷密度为 0 。
电磁波麦克斯韦方程组的解释
电磁波麦克斯韦方程组的解释麦克斯韦方程组是描述电磁场行为的基本物理方程，它由四个方程组成：电场高斯定律、电场的法拉第电磁感应定律、磁场高斯定律和安培环路定律。
这些方程集合起来，揭示了电磁波的解释和性质。
电场高斯定律是其中之一，描述了电场的分布与内部的电荷分布之间的关系。
它说明了电通量通过一个闭合曲面的大小与该曲面所包围的总电荷量之间的关系。
数学表达式如下：∮ E·dA = Q/ε0其中，∮ E·dA表示电场E在闭合曲面上的通量，Q表示该曲面所包围的电荷量，ε0是真空介电常数。
电场的法拉第电磁感应定律描述了磁场的变化如何引起电场的变化。
它表明，磁场的变化会在空间中产生一个环绕变化磁场的电场，数学表达式如下：∮ E·dl = - dΦB/dt其中，∮ E·dl表示电场E沿着一个闭合回路的线积分，dΦB/dt表示磁通量的变化率。
磁场高斯定律是磁场的另一个重要方程，它描述了磁场的分布与内部的磁荷分布之间的关系。
然而，目前并没有发现存在磁荷的宏观粒子，所以磁场高斯定律的应用相对有限。
安培环路定律是最后一个方程，描述了沿着闭合回路的磁场B沿着环路的环绕电流的线积分等于该回路所包围的电流总和的倍数。
数学表达式如下：∮ B·dl = μ0I其中，∮ B·dl表示磁场B沿闭合回路的环路积分，I表示该回路所包围的电流总和，μ0是真空磁导率。
通过这些麦克斯韦方程组的数学表达式，我们可以揭示电磁波的性质。
根据这些方程组，可以求解出电场E和磁场B的分布情况，并进一步了解电磁波的传播特性和行为规律。
电磁波是由振荡的电场和磁场相互作用而产生的，通过空间的传播，具有能量和动量。
总之，电磁波麦克斯韦方程组提供了电磁场行为的基本物理方程。
它们的解释和应用不仅在电磁学领域具有重要意义，也对通信、电子技术等行业的发展起到了重要的促进作用。
麦克斯韦方程 四种形式
麦克斯韦方程介绍麦克斯韦方程集是描述电磁场的基本规律，由物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出。
这套方程集包含了电磁感应定律、电磁场的高斯定律、电磁场的安培定律和法拉第定律，形式简洁而又完备，是电磁学的基石。
四种形式麦克斯韦方程包括四种形式，分别是：高斯定律高斯定律用于描述电场和电荷之间的关系，它可以写成以下形式：1.在自由空间中，高斯定律表达为：∇⋅E=ρε0其中，∇⋅E表示电场强度的散度，ρ表示电荷密度，ε0是真空介电常数。
2.在有介质的情况下，高斯定律表达为：∇⋅E=ρε其中，ε表示介质的介电常数。
安培定律安培定律用于描述磁场和电流之间的关系，它可以写成以下形式：1.安培定律的积分形式：∮B⋅dl=μ0I其中，B表示磁感应强度，dl表示路径微元，μ0是真空磁导率，I表示电流。
2.安培定律的微分形式：∇×B=μ0J其中，∇×B表示磁感应强度的旋度，J表示电流密度。
法拉第定律法拉第定律描述了电磁感应现象，它可以写成以下形式：1.法拉第定律的积分形式：∮E⋅dl=−dΦdt其中，E表示电场强度，dl表示路径微元，dΦdt表示磁通量的变化率。
2.法拉第定律的微分形式：∇×E=−∂B ∂t其中，∇×E表示电场强度的旋度，∂B∂t表示磁感应强度的时间变化率。
麦克斯韦方程麦克斯韦方程是将高斯定律、安培定律和法拉第定律统一起来的方程，它可以写成以下形式：1.麦克斯韦方程的积分形式：∮E⋅dA=1ε0∫ρdV∮B⋅dA=0∮E⋅dl=−dΦdt∮B⋅dl=μ0∫J⋅dA 2.麦克斯韦方程的微分形式：∇⋅E=ρε0∇⋅B=0∇×E=−∂B ∂t∇×B=μ0J其中，dA表示面积元素，V表示体积元素。
总结麦克斯韦方程集是电磁场描述的基本规律，它包含了高斯定律、安培定律和法拉第定律。
这四个方程形式简洁而又完备，能够用来描述电磁现象的发生和演化。
麦克斯韦方程组四个方程
麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）是描述电磁场（包括静电场、静磁场以及电磁波）律动基本规律的四个基本方程。
这四个方程分别是高斯电场定理、高斯磁场定理、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。
在积分形式下，麦克斯韦方程组如下：1. 高斯电场定理：∮ E • dA = Q / ε₀表示：电场 E 与穿过某一闭合曲面 A 的总电荷量 Q 的关系，ε₀是真空中的电介质常数。
1. 高斯磁场定理：∮ B • dA = 0 表示：穿过任意闭合曲面 A 的磁通量总和为零，即没有磁单极子的存在。
1. 法拉第电磁感应定律：∮ E • dl = -dΦB/dt 表示：电场 E 沿闭合路径 L 的线积分等于负的磁通量ΦB 的时间变化率。
1. 安培环路定律（含位移电流项）：∮ B • dl = μ₀(I + ε₀\*dΦE/dt) 表示：磁场 B 沿闭合路径 L 的线积分等于真空磁导率μ₀(经过曲面 A 的总电流 I 加上位移电流项)。
在微分形式下，麦克斯韦方程组如下：1. 高斯电场定理：∇ • E = ρ / ε₀表示：电场 E 的散度（divergence）与电荷密度ρ的关系。
1. 高斯磁场定理：∇ • B = 0 表示：磁场 B 的散度总是为零，即不存在磁单极子。
1. 法拉第电磁感应定律：∇ × E = -∂B / ∂t 表示：电场 E 的旋度（curl）与磁场 B 随时间变化的关系。
1. 安培环路定律（含位移电流项）：∇ × B = μ₀ (J + ε₀∂E / ∂t) 表示：磁场 B 的旋度与电流密度 J 及位移电流项的关系。
这四个方程构成了电磁学的基础，几乎包含了所有电磁现象的信息。
电磁场基本方程
推导2
ˆ) 0 Id l ( I ' dl ' R F 2 l' 4 R l
r'
I' I R
r
电流元作用在电流元上的力
ˆ) 0 Idl ( I ' dl 'R dF 4 R2
线圈对线圈的作用可以表示为
l
F Id l B
作业 2.1-2
高斯定理解题步骤： （1）分析电场是否具有对称性。 （2）取合适的高斯面(封闭面)，即取在E相等的曲面上。 （3）E相等的面不构成闭合面时，另选法线 n ˆ E 的面，
使其成为闭合面。
D ds s （4）分别求出 ，从而求得 D 及 E 。 qi S内
第2章 电磁场基本方程
主要内容 • 静态电磁场的基本定律 • 法拉第电磁感应定律和全电流定律 • Maxwell方程组 • 电磁场的边界条件 • 坡印廷定理和坡印廷矢量
1
§2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
基本定理
静电场： (1)
l
E dl 0即 E ds 0
17
§2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
三、全电流连续性原理
a) 各个电流特点如下 1.传导电流：在导体中，由自由电子的定向运动形成： Jc E 2.运流电流：在真空和气体中，带电粒子的定向运动形成： Jv ρ v v 3.位移电流：电通量密度的时间变化率 J d D 传导电流、运流电流和位移电流之和称为全电流：
U ln b a
同轴线内最大电场强度EM发生于内导体表面处：
EM U a ln b a
c) EM最大值发生于
dEM U b (ln 1) 0 b 2 da (a ln a ) a
第二章-电磁场的基本方程汇总
式中, K是比例常数, r是F两v点电rˆK荷间qr的1q2距2 离, rˆ 是从q1指向q2的单位
矢量。若q1和q2同号, 该力是斥力, 异号时为吸力。
在国际单位制中, 库仑定律表达为
v F
rˆ
q1q2
40r 2
(N
)
式中, q1和q2的单位是库仑(C), r的单位是米(m), ε0是真空的介电
2)
ISSJvJv((rvrv))gcdosvs
S
ds
Jv(rv)gn)ds
n)
Jv(rv)
S
2、面电流密度 Surface Electronic current density
❖当电荷只在一v个薄层内流动时，形成的电流为面电流。 ❖面电流密度 J s 定义：
电流在曲面S上流动，在垂直于
电流方向取一线元 l ，若通过 线元的电流为 I ，则定义
❖4、对于连续分布的电荷系统（如体电荷、面电荷和 线电荷），静电力的求解不能简单地使用库仑定律，必 须进行矢量积分
二、电场强度
定义：单位正电荷在电场中所受的作用力称为该点的电场强
度，以E 表示。
v E
lim
v F
q0 q
式中q 为试验电荷的电量，F 为电荷q 受到的作用力。
说明：❖1）对q取极限是避免引入试验电荷影响原电场； ❖2）电场强度的方向与电场力的方向一致； ❖3）电场强度的大小与试验电荷q的电量无关。 ❖4) 电场的单位：牛顿/库仑(N/C)
❖体电流：电荷v在一定体积空间内流动所形成的电流
❖设ev体j正电方电流向荷密上沿度取ev一Jj 面方定元向义流：S动，，若则在在垂t 直时
evj
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第二章 电磁场基本方程
vv
蜒 v
F
0
4
l
Idl (I 'dl ' rˆ)
l'
r2
rˆ 式中, r是电流元I′dl′至Idl的距离, 是由dl′指向dl的单位矢量, μ0是
真空的磁导率:
0 4 107 H / m
v
vv
F Ñl Idl B
蜒 v
B
0
4
v
l
I
'dl ' r2
rˆ
0 4
I
v ' dl
I A U
d t
I C U t
式中C=εA/d为平板电容器的电容。
第二章 电磁场基本方程
§2 .3 麦克斯韦方程组
2 .3 .1 麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式
图 2-5 麦克斯韦
第二章 电磁场基本方程 表2-1 麦克斯韦方程组及电流连续性方程
第二章 电磁场基本方程
这四个方程的物理意义可简述如下: ; (a) 时变磁场将激发电场; ; (b) 电流和时变电场都会激发磁场; ; (c) 穿过任一封闭面的电通量等于此面所包围的自由电荷电量; ; (d) 穿过任一封闭面的磁通量恒等于零。
常数:
0
8.854 1012
1
36
109 F
/m
设某点试验电荷q所受到的电场作用力为F, 则该点的电场强度为
v E
v F
(V
/
m)
q
由库仑定律知, 在离点电荷q距离为r处的电场强度为
v E
rˆ
q
4 0r
2
(2-4)
第二章 电磁场基本方程
2 .1 .2 高斯定理, 电通量密度
除电场强度E外, 描述电场的另一个基本量是电通量密度D, 又称为电位移矢量。 在简单媒质中, 电通量密度由下式定义:
一定的电位能。 从而可引入v电位函数φ:
E
第二章 电磁场基本方程
静电场既然是无旋场, 则必然是有散场, 它的通量源就是电
荷。电力线起止于正负电荷。静磁场的特性则正好相反。因为
在自然界中并不存在任何单独的磁荷, 磁力线总是闭合的。这样,
闭合的磁力线穿进封闭面多少条, 也必然要穿出同样多的条数,
结果使穿过封闭面的磁通量恒等于零, 即
第二章 电磁场基本方程
把式(2-30)两端用体积分表示, 对静止体积V有
v Jdv
V
t
V
vdv
V
c dv
t
上式对任意选择的V都成立, 故有
v J
v
这是微分形式的电流连续性方程。
t
麦克斯韦首先注意到上述微分形式的基本方程不符合电流
连续性方程， 因为
v
v
( H ) 0 J
对于静态场是成立的，但对于时变场则不成立。故应 用于时变场时需加以修正。
第二章 电磁场基本方程
麦氏方程组中的四个方程并不都是独立的。 表2-1中两个散
度方程(c) , (d)可由两个旋度方程(a) , (b)导出。例如, 对式(b)取散
度, 得
v J
v D t
0
将连续性方程(e)代入上式, 有
v
v ( D) 0
t t
则
v
v D
C (常n
)
第二章 电磁场基本方程
应用斯托克斯定理, 上式左端的线积分可化为面积分。同时,
如果回路是静止的, 则穿过回路的磁通量的改变只有由于B随时
间变化所引起的项。 因而得
(
v E)
dsv
v B dsv
S
因为S是任意的, 从而有
v E
S vt B
t
这是法拉第电磁感应定律的微分形式。其意义是, 随时间变化的
磁场将激发电场。这导致极重要的应用。我们称该电场为感应电
第二章 电磁场基本方程
(
v H
)
0
v J
v
t
(
v H
)
v J
v D t
v H
v J
v D
t
D / t的量纲是(库仑/米2)/秒=安/米2, 即具有电流密度的量纲,
故称之为位移电流密度(
displacemevnt current density)Jd, 即 v D J d t
第二章 电磁场基本方程
第二章 电磁场基本方程
式(2-26)可写成
d m
dt
(2-26)
vv
Ñl E dl
v
S
B t
dsv
d dt
S
v B
dsv
Ñl (vv
v B)
v dl
右边第一项是磁场随时间变化在回路中“感生”的电动势; 第二 项是导体回路以速度v对磁场作相对运动所引起的“动生”电动 势.
第二章 电磁场基本方程
过一个球面的相同,仍为q。如果在封闭面内的电荷不止一个, 则利
用叠加原理知, 穿出封闭面的电通量总和等于此面所包围的总电
量
v
ÑS D
dsv
Q
这就是高斯定理的积分形式(1839
K .F .Gauss导出), 即
穿过任一封闭面的电通量, 等于此面所包围的自由电荷总电量。
对于简单的电荷分布, 可方便地利用此关系来求出D。
v
R ˆ zˆ(z z '), R [ 2 (z z ')2 ]1/2
vv
dl ' R zˆdz '[ˆ zˆ(z z ')] ˆdz '
v
B
ˆ
0 I
4
l
dz '
l 2 (z z ')2 3/2
ˆ
0 I
lz
lz
4 2 (z l)2 2 (z l)2
对无限长直导线, l→∞, 有
因为
v H
v J
v D
t
v ( H ) 0
vvv (Jc Jv Jd ) 0
对任意封闭面S有
Ñ S
v (Jc
v Jv
v Jd
) dsv
V
v (Jc
v Jv
v Jd
)dv
0
即
Ic Iv Id 0
第二章 电磁场基本方程
穿过任一封闭面的各类电流之和恒为零。这就是全电流连续 性原理。将它应用于只有传导电流的回路中, 得知节点处传导电 流的代数和为零(流出的电流取正号, 流入取负号)。这就是基尔霍 夫(G .R .Kirchhoff, 德)电流定律: ΣI=0。
vv
Ñl H dl I
这一关系式最先由安培基于实验在1823年提出, 故称之为安培环
路定律。它表明, 磁场强度H沿闭合路径的线积分等于该路径所
包围的电流I。这里的I应理解为传导电流的代数和。利用此定律
可方便地计算一些具有对称特征的磁场分布。
s
(
v H
)
dsv
S
v J
dsv
因为S面是任意取的, 所以必有
v
ÑS B
dsv
0
将左端化为▽·B的体积分知
v B 0
第二章 电磁场基本方程
§2 .2 法拉第电磁感应定律和全电流定律
2 .2 .1 法拉第电磁感应定律
静态的电场和磁场的场源分别是静止的电荷和等速运动的电荷 (恒定电流)。 它们是相互独立的, 二者的基本方程之间并无联系。 但是随时间变化的电场和磁场是相互关联的。这首先由英国科学家 法拉第在实验中观察到。 他发现, 导线回路所交链的磁通量随时间 改变时, 回路中将感应一电动势, 而且感应电动势正比于磁通的时间 变化率。 楞次(H .E .Lenz, 俄)定律指出了感应电动势的极性, 即它在 回路中引起的感应电流的方向是使它所产生的磁场阻碍磁通的变化。 这两个结果的结合就是法拉第电磁感应定律, 其数学表达式为
全部采用1960年国际计量大会通过的国际单位制(SI制), 基本单位
是米(m) , 千克(kg) , 秒(s)和安培(A)。 电磁学中其他单位都可由之
导出, 今已列在附录C中, 以供查用。在SI制中, 库仑定律表达为
v F
rˆ
q1q2
4 0r 2
(N)
第二章 电磁场基本方程
式中, q1和q2的单位是库仑(C), r的单位是米(m), ε0是真空的介电
力为qE, 因此, 当点电荷q以速度v在静止电荷和电流附近时, 它所
受的总力为
v F
q(
v E
vv
v B)
第二章 电磁场基本方程 例 2 .1 参看图2-3, 长2l的直导线上流过电流I。 求真空中P点 的磁通量密度。
图 2-3 载流直导线
第二章 电磁场基本方程
［解］ 采用柱坐标, 电流Idz′到P点的距离矢量是
'
rv
l' r3
第二章 电磁场基本方程
矢量B可看作是电流回路l′作用于单位电流元(Idl=1 A·m)的磁场 力, 它是表征电流回路l′在其周围建立的磁场特性的一个物理量, 称为磁通量密度或磁感应强度。它的单位是
N Am
V s m2
Wb m2
T
毕奥-萨伐(J .B .Biot-F .Savart, 法)定律, 于1820年独立地基于磁
第二章 电磁场基本方程 例 2 .2 设平板电容器两端加有时变电压U, 试推导通过电容 器的电流I与U的关系。
图 2-4 平板电容器
第二章 电磁场基本方程
［解］
由全电流连续性原理可知，传导电流应等于 二平板间的位移电流。
I
Id
AJd
A D t
A E
t
设平板尺寸远大于其间距, 则板间电场可视为均匀, 即E=U/d, 从而得