2011离散数学作业10_谓词逻辑

离散数学作业

作业10 ——第3章谓词逻辑

1. 利用谓词公式翻译下列命题。

(1)所有人都是要呼吸的。

解：M(x):x是人；F(x):x是要呼吸的。

(∀x)(M(x)→F(x))

(2)任何整数或是正的或是负的。

解：Z(x):x是整数；P(x):x是正的； N(x):x是负的。

(∀x)(Z(x)→P(x)∨N(x))

(3)存在一些数是质数。

解：Z(x):x是数；P(x):x是质数。

(∃x)(Z(x)∧P(x))

(4)一些人是聪明的。

解：M(x):x是人；F(x):x是聪明的。

(∃x)(M(x) ∧F(x))

(5)并非每个实数都是有理数。

解：R(x):x是实数；Q(x):x是有理数。

(∃x)(R(x) ∧┐Q(x))或者┐(∀x)(R(x)→Q(x))

(6) 如果有限个数的乘积是零，那么至少有一个因子等于零；

解：E(x):x是有限个数的乘积；F(y,x): y是x的一个因子； Z(x):x 是零。

(∀x)（E(x) ∧Z(x) →(∃y)(F(y,x) ∧Z(y))）

(7) 对于每一个实数x，存在一个更大的实数y；

解：R(x):x是实数；Q(x,y):x比y大。

(∀x)(R(x)→(∃y)( R(y) ∧Q(y,x)))

(8) 存在实数x,y和z，使得x与y之和大于x与z之积；

解：R(x):x是实数；Q(x,y):x比y大; f(x,y)=x+y;g(x,y)=xy。 (∃x)(∃y)(∃z)(R(x) ∧ R(y) ∧ R(z) ∧Q(f(x,y),g(x,y)))

2. 取个体域为实数集R ，函数f 在a 点连续的定义是：f 在点连续，当且仅当对每个a 0>ε，存在一个0>δ，使得对所有x ，若δ<−a x ，则()()ε<−a f x f 。把上述定义用符号化的形式表达。

解：设个体域为全体实数，令Q(x,y):x比y大； g 1(x)=a-x; g 2(x)=a+x; f 1(x)=f(a)- ε; f 2(x)=f(a)+ε,则

(∀ε)(Q(ε,0)→(∃δ)(Q(δ,0)∧(∀x) (Q(x,g 1( δ))∧Q(g 2 (δ),x)→Q(f(x),f 1(ε))∧Q(f(x), f 2(ε))))。

注：(∀ε)((ε>0)→(∃δ)((δ>0)∧(∀x) ((|x-a|<δ)→(|f(x)-f(a)|<ε))))。