安徽大学2017-2018高数概率论统计试卷

安徽大学2017—2018学年第一学期
《高等数学A （三）》（概率论与数理统计）考试试卷（A 卷）
（闭卷 时间120分钟）
考场登记表序号
一、 填空题（每小题2分，共10分）
1．设()0.6P A =，()0.4P B =，(|)0.3P A B =，则(|)__________P A B =．
2．设随机变量X 的概率密度函数01,()0,.x f x <<=
其他，λ是(0,1)内的一个实数，且满足
()()P X P X λλ<=>，则λ=____________．
3．某人向同一目标独立重复射击，每次击中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击
时恰好第2次命中目标的概率为___________．
4．设X 与Y 是两个独立同分布的随机变量，且1(0)3P X ==，2
(1)3
P X ==，则min(,)Z X Y =
的分布律为________．
5．已知2EX =，3EY =，4DX =，16DY =，()14E XY =，则由切比雪夫不等式可得
(|32|3)P X Y −≤≥___________．
二、选择题（每小题2分，共10分）
6． 设A 和B 为随机事件，则()()()P A B P A P B −=−成立的充要条件是（ ）． （A ）B A ⊂ （B ）A B = （C ）()0P B A −= （D ）()0P A B =
7．设1()F x 和2()F x 都是随机变量的分布函数，则为了使12()()()F x aF x bF x =−是某随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）．
题 号 一 二 三 四 五 总分
得 分
阅卷人
得分
院/系 年级 专业 姓名 学号
答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
得分
（A ）35a =，25b = （B ）23a =，13b =− （C ）12a =−，32b = （D ）12a =，3
2b =−
8．设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，记(,)f x y 表示(,)X Y 的联合概率密度函数；(),()X Y f x f x 分别表示X ，Y 的边缘概率密度函数；||(|),(|)X Y Y X f x y f y x 分别表示Y y =条件下X 的条件概率密度和X x =条件下Y 的条件概率密度．考虑下列式子： •(,)()()X Y f x y f x f y =； ‚()(,)()
X Y f x f x y f y =； ƒ|(|)()X Y X f x y f x =； ○4|(|)()Y X Y f y x f y =． 其中正确的个数为（ ）．
（A ）1个 （B ） 2个 （C ）3个 （D ）4个
9．设随机变量X 和Y 有相同且不为零的方差，则相关系数1XY ρ=−的充要条件为（ ）． （A ）(,)0Cov X Y Y −= （B ）(,)0Cov X Y X −= （C ）(,)0Cov X Y X Y +−= （D ）(,)0Cov X Y Y +=
10．设12,,,,n X X X L L 是相互独立的随机变量序列且都服从
区间上的均匀分布，记()x Φ为标准正态分布的分布函数，则（ ）．
（A
）14lim ()n i i n X P x x n =→∞ −
≤=Φ ∑ （B
）2lim ()n i n X P x x →∞
− ≤=Φ
∑ （C
）lim ()n i n X P x x →∞ ≤=Φ ∑ （D
）lim ()n i n X P x x →∞
≤=Φ
∑
三、分析计算题（每小题13分，共65分）
11．甲袋中有3件正品2件次品，乙袋中有4件正品4件次品．先从甲袋中任取两件产品放入乙袋，再从乙袋中任取1件产品．（1）求取出的该产品是正品的概率；（2）若已知从乙袋中取出的产品是正品，求从甲袋中取出的是一件正品、一件次品的概率．
得分
12．设连续型随机变量X 的概率密度函数为()x f x Ce −=，x −∞<<+∞．
求：（1）常数C 的值；（2）X 的分布函数()F x ；（3）Y X =的概率密度函数．
13．袋中装有5个白球和3个红球，第一次从袋中任取一球，取后不放回，第二次从袋中任取两个球，用i X 表示第i 次取到的白球数，1,2i =． （1）求12(,)X X 的联合分布律； （2）求事件12{0}X X =的概率；
（3）判断1X 与2X 是否相关，并说明理由．
答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
14．已知二维随机变量(,)X Y 在以点(0,0)，(1,1)−，(1,1)为顶点的三角形区域内服从均匀分布．求：（1）()Y f y ；（2）|(|)X Y f x y ；（3）102P X Y
>>
．
15． 设总体X 的概率分布为
X
1 2 3 P
2θ
2(1)θθ−
2(1)θ−
其中()01θθ<<是未知参数．利用总体X 的如下样本值1、1、2、1、3、2，求θ的矩估计值和极大似然估计值． 四、应用题（每小题10分，共10分）
16．已知一种元件的寿命2~(,)X N µσ，并根据规定其平均寿命为1000小时．现从中随机抽取25个元件，测得样本均值950x =小时，样本标准差150s =小时．
分别在下列两种情况：① 己知100σ=小时；② 未知σ下，检验这批元件是否符合规定要求．(0.05)α=
（其中0.05 1.65u =，0.025 1.96u =，0.05(25) 1.7081t =，0.05(24) 1.7109t =，0.025(25) 2.0595t =，0.025(24) 2.0639t =）
得分
答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
五、证明题（每小题5分，共5分）
17．设总体X 服从(0,1)N ，()12,,n X X X L 是来自总体的简单随机样本，1
1n
i i X X n ==∑，
()
22
1
11n i
i S X X n ==−−∑分别为样本均值和样本方差，记221T X S n =−． 证明：2
(1)
DT n n =−．
得分。