分数乘法与分数裂项法

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分数乘法与分数裂项法

分数乘法与分数裂项法【专题解析】我们知道，分数乘法的运算是这样的：分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母（当然能约分的最好先约分在计算）。

分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。

1、运用运算定律：这里主要指乘法分配律的应用。

对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。

2、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为 1。

进行分数的乘法运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。

需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。

【典型例题】——乘法分配律的妙用 44 例 1．计算：（1）×37 4567 2003 44 44 44 分析与解：观察这两道题的数字特点，第（1）题中的与 1 只相差 1 个分数单位，如果把写成（1－） 45 45 45 67 的差与 37 相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。

同样，第（2）题中可以把整数 2004 写成（2003+1）的和与 2003（2）2004× 相乘，再运用乘法分配律计算比较简便。

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【举一反三】43 56 56 ×37 （2）×37 （3）×56 44 57 57 17 1 4 1 例 2．计算：（1）72 × （2）73 × 17 24 15 8 4 4 1 分析与解：（1）72 把改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。

（2）73 把 17 17 15 16 改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。

15计算：（1）【举一反三】4 7 计算：（1）20 × 7 10（2）166 13 × 13 32（3）573 1 × 13 8（4）641 1 × 17 9【小试牛刀】

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 计算：（1）28 ×37 29（2）13 ×28 29【典型例题】——乘法交换律的巧用 5 3 7 5 4 5 例 3. 计算：（1）× ＋× ＋× 27 8 27 12 24 27（2）1 3 26 3 ×39 + ×25 + × 4 4 4 13分析与解：（1）观察题目的特点，分子中都有 5，分母中都有 27，根据乘法的交换律，凑出乘法分配律使计算简便。

每个因数中都含有 5 ，就可以应用 27 1 3 26 3 26 3 （2）观察题目的特点，×39 可以写成×13，× 可以写成× ，这样 4 4 4 4 13 133 ，就可以运用乘法分配律使计算简便。

4【举一反三】计算：（1）4 1 1 9 × ＋× 13 7 13 7（2）5 5 1 4 5 6 × ＋× ＋× 17 6 9 17 18 17（3）1 3 ×39 + ×27 4 4（4）5 1 ×17 + ×25 11 11【典型例题】——有关小数、带分数的分数乘法的巧算 1 4 5 例 4. 计算：41 ×0.75 ＋51.25× ＋×61.2 3 5 6分析与解：先把题中的小数化成分数，再观察题目的特点，411 4 3 写成（40+ ）后可以与应用乘法分配律 3 3 4直接就算出了结果，后两个算式同样可以应用这个方法，从而使计算简便。

【举一反三】4 5 8 计算：（1）21.25× ＋31.2× ＋46.125× 5 6 9 一、分数裂项求和（2）851 1 6 ×0.375＋71 × ＋56.25×0.8 3 6 7

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【专题解析】细心观察、善于总结的同学，在学习中可能发现了这样一个有趣的现象：如果分数的分子是自然数 1，分母是相邻两个自然数的乘积，那么这个分数可以写成两个分数差的形式。

写成的两个分数的分子是自然数 1，分母分别是相邻的两个自然数。

（这种方法称为“裂项法” ）如：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ＝—；＝—；＝—；＝—；…… 1? 2 1 2 2 ? 3 2 3 3 ? 4 3 4 4 ? 5 4 5我们可以利用分数的这一性质，使看似复杂的题目简单化。

【典型例题】例 1．计算：1 1 1 1 1 + + +…+ + 1? 2 2 ? 3 3 ?

4 48 ? 49 49 ? 50分析与解：这道题如果按照常规方法先通分再求和，计算起来很繁杂，甚至难以做到。

但是如果巧妙地对算式变形，就可以使繁杂的计算简便。

【举一反三】计算：（1）1 1 1 1 1 + + +…+ + 1? 2 2 ? 3 3 ?

4 18 ? 19 19 ? 20（2）1 1 1 1 1 + + +…+ + 11 ? 12 12 ? 13 13 ?

14 2008 ? 2009 2009 ? 2010例 2．计算：1 1 1 1 + + +…+ 6 12 20 2450分析与解：上面这道题中的每个分数的分子都是 1，但分母并不是两个相邻自然数的乘积，该怎么办呢？仔细观察这些分数的分母就会发现：6＝2×3 , 12＝3×4 , 20＝4×5 ，…，2450＝49×50。

这样，上面算式中分数的分母也可以写成相邻两个自然数乘积的形式。

【举一反三】1 1 1 1 1 计算：（3）+ + + +…+ 2 6 12 20 90