初中数学教程坐标平面内的图形

第11章 平面直角坐标系 11.1 平面内点的坐标
第2课时 坐标平面内的图形
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学习目标
1.在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置， 并能求出顺次连接所得图形的面积;（重点） 2. 能建立适当的直角坐标系，描述图形的位置;（难点） 3.通过用直角坐标系表示图形的位置，使学生体会平 面直角坐标系在实际问题中的应用．
4
3
2
D
-5 -4
B ●
-3 -2
1
-1O
-1
-2
-3
-4
A●
-5
∵A(-4,-5)，∴D(-4,0) .
由点的坐标可得 AD=5 ，BC=6，
C
●
12 345 x
∴
S△ABC
=
1 2
·BC·AD
= 1 ×6×5=15.
2
例2:在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用
线段依次连接起来得到一个封闭图形，说说得到的是什么图
☆建立坐标系求图形中点的坐标 问题：正方形ABCD的边长为4，请建立一个平面直角 坐标系，并写出正方形的四个顶点A,B,C,D在这个平面 直角坐标系中的坐标.
D
C
A
B
y 4D
（A） O
解：如图，以顶点A为原点， C AB所在直线为x轴，AD所在直
线为y轴建立平面直角坐标系． 此时，正方形四个顶点A,B,C,D
例4:长方形的两条边长分别为4，6，建立适当的直角 坐标系，使它的一个顶点的坐标为(－2，－3)．请 你写出另外三个顶点的坐标．
解：如图建立直角坐标系， ∵长方形的一个顶点的坐标为A(-2，-3)， ∴长方形的另外三个顶点的坐标分别为 B(2，－3)，C(2，3)，D(－2，3)．
方法总结
由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题 的关键，当建立的直角坐标系不同，其点的坐标也 就不同，但要注意，一旦直角坐标系确定以后，点 的坐标也就确定了．
导入新课 情境引入
问题：如果某小区里有一块如图所示的空地，打算进 行绿化，小明想请他的同学小慧提一些建议，小明要 在电话中告诉小慧同学如图所示的图形，为了描述清 楚，他使用了直角坐标系的知识．你知道小明是怎样 叙述的吗？
讲授新课
☆在坐标平面内描点作图 问题：我们上节课已经学习过了平面直角坐标系的定 义．根据定义想一想你会在坐标轴上描点吗？
找点的方法： 先分别找出该点的横坐标、纵坐标在两条 数轴上的点，再分别作对应坐标轴的垂线， 交点即为所要找的点的位置．
典例精析
例1:在直角坐标系中描出下列各点，并将各组内的点 用线段依次连接起来.
① (-6,5),(-10,3),(-9,3),(-3,3),(-2,3); ② (-9,3),(-9,0),(-3,0),(-3,3); ③ (3.5,9),(2,7),(3,7),(4,7),(5,7); ④ (3,7),(1,5),(2,5),(5,5),(6,5); ⑤ (2,5),(0,3),(3,3),(3,0),(4,0),(4,3),(7,3),(5,5).
B
OA
x
A(-4，-4), B(0，-4),C(0，0), D(-4，0).
A(-2，-2), B(2，-2),C(2，2), D(-2，2).
追问 由上得知，建立的平面直角坐标系不同，则 各点的坐标也不同．你认为怎样建立直角坐标系才 比较适当？
【总结】平面直角坐标系建立得适当，可以容易确定 图形上的点，例如以正方形的两条边所在的直线为坐 标轴，建立平面直角坐标系．又如以正方形的中心为 原点建立平面直角坐标系．建立不同的平面直角坐标 系，同一个点就会有不同的坐标，但正方形的形状和 性质不会改变．
B
4 x 的坐标分别为： A(0，0), B(4，0), C(4，4), D(0，4).
想一想：还可以建立其他平面
直角坐标系，表示正方形的四
y
D
个顶点A,B,C,D的坐标吗？
C
A(0，-4), B(4，-4),C(4，0), D(0，0).
A(-4，0), B(0，0),C(0，4), D(-4，4).
2
(2)得到一个平行四边形， 如图所示. ∴ S =3×4=12.
例3:如图，已知点A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)， 求△ABC的面积．
解析：本题宜用补形法．过点A作x轴的平 行线，过点C作y轴的平行线，两条平行线 交于点E，过点B分别作x轴、y轴的平行 线，分别交EC的延长线于点D，交EA的 延长线于点F，然后根据S△ABC＝S长方形 BDEF－S△BDC－S△CEA－S△BFA即可求出 △ABC的面积．
2
2
2
＝12－1.5－1.5－4
＝5.
方法总结
本题主要考查如何利用简单方法求坐标系中图形的面积． 已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有三种方法： 方法一：直接法，计算三角形一边的长，并求出该边上的高； 方法二：补形法，将三角形面积转化成若干个特殊的四边形 和三角形的面积的和与差； 方法三：分割法，选择一条恰当的直线，将三角形分割成两 个便于计算面积的三角形．
y
●
●●●●
●
●●
●●
●●
●●
●
●●
●
●
●
●●
O
x
☆坐标平面内图形面积的计算
y
画一画：你能在直角坐标系
4
3
里描出点A(-4,-5),B(-2,0),
2
B
1
●
-5 -4 -3 -2 -1O
-1
C(4,0)吗？并连线．
C
●
12 345 x
-2
-3
-4
A●
-5
问题：你能求出△ABC的面积吗？ y 解：过点A作AD⊥x轴于点D.
形，并计算他们的面积.
(1)A(5,1),B(2,1),C(2,-3) (2)A(-1,2),B(-2,-1),C(2,-1),D(3,2)
y
y
4
3
2
B
A
1
A
2
D
-2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-1 -2 -3 C
-2 O
2 4x
B
C
-2
y
y
B O
A x
A
O B
D x
C
C
(1)得到一个直角三角形， 如图所示. ∴ S = 1 ×3×4=6.
例3:如图，已知点A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)，
求△ABC的面积．
解：如图，作辅助线.
∵A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)，
∴BD＝3，CD＝1，CE＝3，AE＝1，
AF＝2，BF＝4，
∴S△ABC＝S长方形BDEF－S△BDC－S△CEA－S△BFA
＝BD·DE－1 DC·DB－ 1 CE·AE－ 1 AF·BF