第2章_1节-命题逻辑基本概念
普通逻辑学 第二章 简单命题
谓项——性质命题中用以表示对象性质的概念， 通常用“P”表示。
联项——联接主项和谓项的概念，也称为命题
的“质”。
联项有两种：肯定联项和否定联项
量项——性质命题中表示主项数量的概念，也
称为命题的“量”。
注意：联项决定命题的质，量项决定命题的量。
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传统直言命题又简称为直言命题。它是一种简单命题。
1、性质命题及其结构 1）性质命题
简单命题——是指结构最简单的命题，从其表达的形式 结构上分析，它是不能再分解为其它命题的命题。 例：‚所有金属是导电的。‛ 简单命题分类： 一类是性质命题 一类是关系命题
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逻辑常项——逻辑涵义确定的概念被称作逻辑 常项。 说明：量项和联项的逻辑涵义是确定的。量项 和联项是逻辑常项。
逻辑常项决定性质命题的逻辑性质，
如果一个性质命题的量项是全称的，说明命题表达了主项 全部外延； 如果量词是特称的，命题则只表达了主项的部分外延。 如果命题的联项肯定则说明命题的主项和谓项之间是相 容关系，就是说主项所指称的对象与具有谓项指称属性的对象 至少有部分是相同的，即主项指称的对象具有谓项表达的属性； 如果命题的联项是否定的，说明主项和谓项之间具有不 相容关系，即主项指称的对象不具有谓项指称的性质。
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第二节 性质命题
一、性质命题的结构和种类 二、性质命题之间的真假关系 三、性质命题主、谓项的周延性 四、性质命题的负命题及其等值命 题
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第二节 性质命题
命题逻辑_ls第2章_2.1
2.1.2 命题公式及分类
本节主要讨论：
命题公式的定义 命题公式的层次 命题公式的真值表 命题公式的分类
一、命题公式的概念
命题常项：简单命题。 命题变项：真值可以变化的陈述句。
p∧q 的逻辑关系是 p与q同时为真
p∧q真值表如图所示：
P
Q
P∧ Q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
(2) 合取联结词“∧” －－且
例如，p: 李军聪明 q: 李军用功 则命题 “李军既聪明又用功” 可描述为： p∧q
以下自然语言中的联结词等都可以抽象为“∧” 。 “并且”、“既…又…”、 “与”、“和”、“以及”、
一、命题公式的概念
例: (1) A = p ∨q，
则 A是2层公式。
(2) A = p ∧ q ∧ r ， 则 A是2层公式。
(3) A =(p ∧q) (r ∨s)， 则A为4层公式。
二、公式的赋值或解释
定义2.8 (P.44) －－公式的赋值或解释
设A 为含有命题变项 p1, p2,…, pn的命题公式, 给 p1, p2, …, pn 一组确定的真值, 称作对公式 A
举例：
令：p：天气好。
q：我去公园。
如果天气好，我就去公园。符号化为：pq
只要天气好，我就去公园。
pq
仅当天气好，我才去公园。
qp
只有天气好，我才去公园。
qp
我去公园玩，除非天气好。
qp
例2.5 将下列命题符号化，并求其真值。
离散数学知识点总结
总结离散数学知识点第二章命题逻辑1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；第三章谓词逻辑1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；2.基：集合A中不同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；5.集合的分划：(等价关系)①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为2种不同的关系；mn，A到B上可以定义mn2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUI;x对称闭包：s(R)=RU1-R;传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；8.covA={<x,y>|x,y属于A，y盖住x}；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数2种不同的关系，有m n种不同的函1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn数；2.在一个有n个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有n n种不同的函数，有n!种不同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有A m n种不同的单射；4.单射：f:X-Y，对任意x,2x属于X,且1x≠2x，若f(1x)≠f(2x)；1满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；5.复合函数：fºg=g(f(x));6.设函数f:A-B，g:B-C，那么①如果f,g都是单射，则fºg也是单射；②如果f,g都是满射，则fºg也是满射；③如果f,g都是双射，则fºg也是双射；④如果fºg是双射，则f是单射，g是满射；第七章代数系统1.二元运算：集合A上的二元运算就是2A到A的映射；2.集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为2*22=42=16种；3.判断二元运算的性质方法：①封闭性：运算表内只有所给元素；②交换律：主对角线两边元素对称相等；③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4.同态映射：<A,*>,<B,^>,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由<A,*>到<B,^>的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元不能是生成元；5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1) 自反性a≤a 对偶: a≥a2) 反对称性a≤b ^ b≥a => a=b对偶:a≥b ^ b≤a => a=b3) 传递性a≤b ^ b≤c => a≤c对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c4) 最大下界描述之一a^b≤a 对偶 avb≥aA^b≤b 对偶 avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b => c≤a^b对偶c≥a,c≥b =>c≥avb6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c对偶 av(bvc)=(avb)vc7)等幂律a^a=a 对偶 ava=a8) 吸收律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a9) a≤b <=> a^b=a avb=b10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd11) 保序性b≤c => a^b≤a^c avb≤avc12）分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc)对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模不等式a≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格<A,<=>的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格<A,<=>的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平凡图：只有一个孤立点构成的图；4.简单图：不含平行边和环的图；5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；12.可达：对于图中的两个节点v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称i vi与v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v的j路，则称v到j v可达；i13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；ij无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为列；ij17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列； P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；4A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为列；i19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点v；②选择一个与v邻接且未被访问过的节点1v；③从v出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所1有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先：①选定起始点v；②访问与v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一个节点v为起点；1④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种方法：克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔方法①将所有权值按从小到大排列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被访问过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被访问过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点v，连接边值最小的邻接点2v；1②以邻接点v为起点，找到2v邻接的最小边值，如果最小边值2比v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v，1连接v现在的最小边值(除已连接的边值)；1③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；24.关键路径例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径.解：最早完成时间TE(v1)=0TE(v2)=max{0+1}=1TE(v3)=max{0+2,1+0}=2TE(v4)=max{0+3,2+2}=4TE(v5)=max{1+3,4+4}=8TE(v6)=max{2+4,8+1}=9TE(v7)=max{1+4,2+4}=6TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间TL(v8)=12TL(v7)=min{12-6}=6TL(v6)=min{12-1}=11TL(v5)=min{11-1}=10TL(v4)=min{10-4}=6TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2 TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-1=1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)=6-6=0TS(v8)=12-12=0关键路径: v1-v3-v7-v825.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；欧拉图：具有欧拉回路的图；单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：①连通图；②有0个或2个奇数度节点；（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：①连通图；②所有节点度数均为偶数；（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：①除两个节点外，每个节点入度=出度；②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1；（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：图中每个节点的出度=入度；27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；哈密顿图：具有哈密顿回路的图；28.判定哈密顿图（没有充要条件）必要条件：任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；充分条件：图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议；方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可；30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；31.面次：面的边界回路长度称为该面的次；32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；33.欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则 v-e+r=2；34.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图)设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6；35.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；36.判断G是平面图的充要条件：图G不含同胚于K3.3或K5的子图；37.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；判定无向图G为二部图的充要条件：图中每条回路经过边的条数均为偶数；38.树：具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；39.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数；40.树高：层数最大的顶点的层数；41.二叉树：①二叉树额基本结构状态有5种；②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1；④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1；⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有12 k个(k>=1)；⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为k2-1个，最少k个(k>=1)；⑧如果有n个叶子，2n个2度节点，则0n=2n+1；42.二叉树的节点遍历方法：先根顺序（DLR）；中根顺序（LDR）；后根顺序（LRD）；43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；44.最优二叉树的构造方法：①将给定的权值按从小到大排序；②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；③重复②，直达所有权值构造完毕；45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
二章命题逻辑的等值和推理演算
定理2.5.5 若AB永真, 必有B*A*永真 定理2.5.6 A与A－同永真, 同可满足
A与A*同永真, 同可满足 注意： “A与B同永真, 同可满足”的意思
是： A永真可推出B永真,反之亦然。
2.6 范式(命题的统一形式)
n 个命题变项所能组成的具有不同真值表的命题公式仅有
2 个, 2n
然而与任何一个命题公式等值而形式不同的命题公式可以
2.2 等值公式 (真值表验证，Venn图理解)
2.2.1 基本的等值公式(特别注意蓝色字) 1. 双重否定律 P = P 2. 结合律 (P∨Q) ∨R = P∨(Q∨R) (P∧Q) ∧R = P∧(Q∧R) (P Q) R = P (Q R)
3. 交换律 P∨Q = Q∨P P∧Q = Q∧P
2.4.1 命题联结词的个数
要解决本节提出的第一个问题，首先要把n 个命题变项构造出的无限多个合式公式分 类。
将等值的公式视为同一类，从中选一个作 代表称之为真值函项。对一个真值函项， 或者说对于该类合式公式，就可定义一个 联结词与之对应。
例：一元联结词是联结一个命题变项(如 P)的。P有真假2种值，因此P(自变量)上 可定义4种一元联结词(真值函项、函数)： 真值表见图。
2.1.2 等值定理
定理2.1.1 对公式A和B, A = B的充分必要 条件是A B是重言式。 即任意解释下，A和B都有相同的真值。
证明：定理中的两部分都与上一行等同。
❖ “＝”作为逻辑关系符是一种 等价关系
A = B是表示公式A与B的一种关系。这种关 系具有三个性质: 1. 自反性 A = A。 2. 对称性 若A = B则B = A。 3. 传递性 若A = B, B = C则A = C。 这三条性质体现了“＝”的实质含义。
逻辑学
传统逻辑
现代逻辑
2016年6月2日星期四
第一章 绪论
第二节 逻辑学的性质及作用
逻辑学的性质
全人类性 各民族的语言所表达的思维形式，特别是推理形式是 相同的，推出关系遵循的规律是相同的。这种性质决 定了逻辑学具有全人类性。
任何学科都必须使用逻辑学，逻辑学是一门基础性学 科。二十世纪八十年代，联合国教科文组织把逻辑学 列为七大基础学科之一。 逻辑学提供的关于词项、命题、推理、论辩、逻辑方 法的理论，为人们学习、理解、掌握和研究其他科学 提供了有力工具。 逻辑学研究思维的形式结构，具有很强的规范性。逻 辑规律或规则，是人们进行正确思维和成功交际必须 遵循的规范。
2016年6月2日星期四 11
逻辑的发展阶段
按逻辑学发展的历程，逻辑可分为传统逻辑和现代逻辑两大阶段。 传统逻辑包括传统演绎逻辑和传统归纳逻辑。其中传 统演绎逻辑主要指古希腊亚里士多德创立的词项逻辑 和斯多葛派奠定的命题逻辑；而传统归纳逻辑是英国 培根创建的，主要研究了实验科学中运用的一些推理 和方法。 现代逻辑指从布尔开始到如今以数理逻辑为主的逻辑 理论,也分为现代演绎逻辑和现代归纳逻辑。 现代演绎逻辑以命题逻辑、谓词逻辑为基础内容，包 括集合论、证明论、递归论、模型论，也包括多值逻 辑、模态逻辑等非标准逻辑，还包括问题逻辑、规范 逻辑等应用逻辑。 现代归纳逻辑以两个演算和概率论为工具，进行形式 化的处理，对归纳结论的概然性作出精确计算，求得 前提对结论的支持强度的概率。
莎士比亚在《威尼斯商人》里说，有一位品貌出众的富家姑娘叫鲍西 霞，许多王孙公子为之倾倒，但她遵循已故父亲的遗嘱，必须猜匣为婚。 鲍西霞身边有金、银、铅三只匣子，其中只有一只匣子里放着她的肖像， 这三只匣上面各刻着一句话：
命题逻辑-
4.2有效推理得形式证明
• 自然演绎系统形式证明就是建立在 推理规则基础之上得。这些规则大 约可分为四部分:一就是基本推导 规则,二就是等值替换规则,三就是 条件证明规则,四就是间接证明规 则。
一、基本推导规则:
根据合取式得逻辑特征:
组合式 简记为∧+
根据析取式得逻辑特征:
选言三段论
简记∨-
根据蕴涵式得逻辑特征:
• 例2.判定命题公式“(p∧q) →r”与“p∨(q →r)”就是否逻辑等值。
2.1命题公式之间得逻辑等值
• 如果两个公式就是等值得,那么以这两个公 式为子公式构造一个等值式:
• (﹁p∨ ﹁ q )(﹁ (p∧q))。 • 这个等值式就是恒真得,由此可推知,一个等
值式就是重言式,那么她得两个子公式逻辑 等值。
• 证:① (A∨B)→C
P \A→C
• ② (A∨B) ∨ C
①Impl
• ③ ( A ∧ B) ∨ C
②DeM
• ④ ( A ∨C) ∧( B ∨ C ) ③Dist
• ⑤ A ∨C
④∧-
• ⑥A →C
⑤Impl
作业
• 一、运用真值表方法,判定下列命题就是不 就是等值命题。
• l、如果这匹马儿不吃饱草,那么这匹马儿不 能跑。
• 3.德摩根律 ¬(p∧q) ¬p∨¬q;
•
¬(p∨q) ¬p∧¬q。
• 4、分配律 p∧(q∨r) (p∧q)∨(p∧r)
•
p∨(q∧r) (p∨q) →(p∨r)
• 5、实质蕴涵(p→q) ( p ∨ q)
• 6.假言易位 (p→q) ( q → p )
• 7、移出律 (p∧q) →r p→(q →r)
02-面向计算机的数理逻辑(ch2-1)
2022/3/22
10
定义：“→”如果……则…… （条件） 利用真值联结词→将原子命题a，b组成复合命题“如果a
则b”记作a→b，它们的真假值之间的关系 定义如下：
a→b 假 当且仅当 a真且b假 即：a b a→b
TT T
TF F
FT T
FF T 其中a→b称为a与b蕴涵式，a称为该蕴涵式的前件，b 称为该蕴涵式的后件。（也可以称a为前提，b为结论） 基本逻辑关系：b是a的必要条件，或a是b的充分条件。 Note：从逻辑学角度讲，与自然语言的“如果a则b”， “只要a就b”，“a仅当b”， “只有b才a” 等词汇相当。
即： a b a∨b TT T
TF T
FT T
FF F a∨b称为a与b的析取式，a，b为析取项。
2022/3/22
若 有来生╰只为你动心回忆丶回忆里的微笑。轻描丶淡写的幸福。爱琴海边的独唱，只属于你一切不再遥远。如果还囿下辈子心
、似命顾惜- 遥望法国浪漫都市≈谁惊艳了岁月俄为迩暖手“〕、╰聆听世界每个角度寻找、那份专属的幸福┛墨尔本街道旳第三 道阳光ヾ█我们会思念很久很久∞巴黎铁塔下の那抹阳光零纪年〃微蓝一抹淡笑那一抹笑.释怀了所有最美的痕迹叫回忆那年樱花赏 那 抹斜阳.我们的记忆今世、我陪你白发苍苍那一年、我们一起爱过谁把阳光剪成窗纸贴在心口你是我沿途最美的风景﹌你的温柔 颠覆我的灵魂︶ㄣ巴黎铁塔下的仰望、一抹夏凉、卡农的旋律ろ我们一起背靠背看星星-七月丶我在繁花中想你飘落的黄叶、柠檬 树 下的阳光。记住、你永远是我的唯一下一站思念还想念那年你的温柔ミ小世界里存在你的身影▲尽一生思念、想你从今、以后 浅怀感伤。流年乱了浮生穿过眼瞳的那明媚阳光ゝ路灯下↘你清澈的眼眸~樱花树下那属于我们的回忆想你//只因为你是我的全部朝 朝暮暮、只记得你的暖戒不掉丶对你的依赖没有你的世界/我不要眼泪告诉我你很幸福、你是我左心房的风景。゜漠颜╮你，我从
第二章 命题逻辑[2010](1)
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（二）不相容选言命题
• 不相容选言命题是断定两种事物情况中有且只 有一种情况成立的选言命题。 有一种情况成立的选言命题。 • 或为玉碎，或为瓦全。 或为玉碎，或为瓦全。 • 今天不是星期一，就是星期二。 今天不是星期一，就是星期二。 • 任一个自然数或者是偶数，或者是奇数。 任一个自然数或者是偶数，或者是奇数。
• • • • • • •
并非：并不是，…不成立，…是假的，…不符 并不是， 不成立， 是假的， 并不是 合事实，等等。 合事实，等等。 并且：和；然后；不但，而且；虽然，但是； 和 然后；不但，而且；虽然，但是； 不仅， 等等。 不仅，还；等等。 或者：要么，要么；二者必居其一；等。 要么，要么；二者必居其一； 要么 要么：或者；要么，要么；二者必居其一；等。 或者；要么，要么；二者必居其一； 或者 如果，则：假如，就；倘若，便；只要，就； 假如， 假如 倘若， 只要， 哪怕， 就算， 哪怕，也；就算，也；当…时；等。 只有，才：除非，才；除非，不；不，就不； 除非， 除非 除非， 就不； 仅当， 等等。 仅当，才；等等。 当且仅当：如果…则…并且只有…才…，如 如果… 如果 并且只有… 并且如果非…则非… 等等。 果…则…并且如果非…则非…，等等。
约定： 约定：
• 整个公式外面的括号可以省略； 整个公式外面的括号可以省略； • 各联结词的结合力依下列次序递减： 各联结词的结合力依下列次序递减：
¬；∧；∨；→；↔
• 连续的“→”从后向前结合。 连续的“→”从后向前结合。 从后向前结合
（一）逻辑性质
• 联言命题是判定几种事物同时存在的复合命题 • 只有他的各个联言支都是真的，它本身才是真的 只有他的各个联言支都是真的， 如果由一个支命题为假，则联言命题为假。 ；如果由一个支命题为假，则联言命题为假。 • p∧q
命题的基本概念
真值只有“真”和“假”两种，分别记为True （真）和False （假），用1和。表示。
士
真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。
I+ Z G ： ?）xVT553 - • ■ x 97
、' 111
/V 41
命题
判断给定的句子是否为命题的基本步骤
首先应是陈述句； 其次要有唯一的真值
案例
公式间关系
1. 3命题公式
1. 2联结词
1. 1命题的基本概念
^1.1.
命题：具有真假意义的陈述句
M 1.1.1命题
什么是命题
推理是数理逻辑研究的中心问题，推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断 的 陈述句构成了推理的基本单位，称具有真假意义的陈述句为命题。
真值
命题总是具有一个确定真或假的“值”，称为真值。
表示命题的符号称为命题标识符，P和［12］就是命题标识符。
M 1.1.3命题标识符
命题常元
—个命题标识符如果表示确定的简单命题，就称为命题常元
命题变元
如果一个命题标识符只表示任意简单命题的位置标志，就称它为命题变元 因为命题变元可以表示任意简单命题，所以它不能确定真值，故命题变元不是命题。
指派 J + 2 6 3)XVT<93
5) x-y > 2。 不是命题。因为x, y的值不确定，某些x, y使x-y > 2为真，某些x, y使x-y > 2为假， 即 x-y > 2的真假随x, y的值的变化而变化。因此x-y > 2的真假无法确定，所以x-y > 2 不是命 题。
案例
6） 不在同一直线上的三点确定一个平面。 是命题。 7） 郑州是河南省的省会。 是命题。 8） 下一个星期天会下雪。 是命题。因为它的真值虽然目前无法确定，但它是有唯一真值的
离散数学讲义 第二章命题逻辑PPT课件
解 令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
于是上述命题可表示为P→Q。
7
5．等值“”
定义2.2.5 设P和Q是两个命题，则它们的等值命
题是一个复合命题，称为等值式复合命题，记作“P Q” （读作“P当且仅当Q”）。
当P和Q的真值相同时,PQ取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
德.摩根定律
E11
PQP∨Q
E12
P Q (P∧Q)∨(P∧Q)
E13
P (QR) (P∧Q) R
E14
P Q (PQ)∧(QP)
E15
PQQP
23
三、等价式的判别
有两种方法：真值表方法，命题演算方法
1、真值表方法
例1 用真值表方法证明 E10： (PQ) PQ
解 令：A= (PQ)，B= PQ，构造A，B
一个复合命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起；
R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.
例9 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜
就读完它。”符号化。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
9
命题符号化
利用联结词可以把许多日常语句符号化。基本步骤如下：
离散数学第二章
(5) 只有有限次地应用(1)－(4)构成的符号串
才是合式公式(也称谓词公式)，简称公式。
(1) x( P( x) Q( y)) (2) x(G( x) xH ( x, y)) (3) x(y(R( x, y)) F ( x)) (4), x2 , xn )是任意 n 元谓词，
t1 , t2 ,, tn 是项，则称 R(t1 , t2 ,, tn ) 为原子公式。
4、合式公式的递归定义。
(1) 原子公式是合式公式；
(2) 若 A 是合式公式，则(A)也是合式公式；
(3)若 A, B 是合式公式，则( A B),( A B),
个体常项
用 a, b, c 表示
个体词 个体变项
用 x, y , z 表示
个体域(或称论域)——个体变项取值的范围。 2、 谓词——刻画个体词的性质或 个体词之间关系的词。
谓词常项
谓词 谓词变项
都用 F , G, H 表示
n元谓词(用 F ( x1 , x2 ,, xn ) 表示) 如 F ( x, y)：x 比 y 高。
构成了公式的一个解释。
1、解释 I 由以下4部分组成： (3) D 上一些特定的函数； (4) D 上一些特定的谓词；
例1 A x( P( x) Q( x))
I : D {2,3}, P( x) : x 2, Q( x) : x 3
A x( P( x) Q( x))
性质F 1 D中至少有一个元素满足 xF ( x) : D中所有元素不满足性质 F 0
D {a1, a1,, an }
xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an ) xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an )
离散数学--第二章 命题逻辑的推理理论
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
离散数学(第二版)第2章一阶逻辑
F表示“……是学生”； G表示“……整除……”； H表示“……位于……与……之间”。
第二章 一 阶 逻 辑
这时F、G、H表示的是具体的谓词，称为谓词常元， 否则，称为谓词变元。显然，单独的一个谓词(即使是谓词 常元)并不能构成一个完整的句子，必须以个体词取代 “……”方能构成一个句子。通常我们用小写的英文字母a、 b、c(可加下标)等表示个体。这样，“小王是学生”可符号 化为F(a)，其中a表示小王。若用b表示小李，则F(b)就表示 “小李是学生”。若用c1表示2，用c2表示6，则G(c1，c2)就 表示“2整除6”。
第二章 一 阶 逻 辑
事实上，在一般的简单命题中，常有一些表示数量的词 语，诸如“所有的”、“有一些”等等，用来表示谓词中 的变量取自论域中的全体或部分个体，例如下面的两个陈 述句：
“对所有的x∈D，论断F(x)为真。” “对某些x∈D，论断F(x)为真。” 在谓词逻辑中，我们用量词把它们形式化。
x y(F(x)∧G(y)∧ H(x，y)) x(F(x)∧ y (G(y)∧ H(x，y)))
第二章 一 阶 逻 辑
(4) 本命题的意思是：对于每个x，如果x是病人，就存 在着医生y，使得x相信y。因此，本命题符号化为：
x(F(x)→ y(G(y)∧H(x，y))) 【例2.1.5】将下列命题形式化为一阶逻辑中的命题： (1) 任意一个整数x，均有另一个整数y，使得x+y等于0。 (2) 存在这样的实数x，它与任何实数y的乘积均为y。
逻辑学笔记整理
《逻辑学》笔记整理2012300160016马院12级思政杨郑伟第一章绪论第一节“逻辑”和逻辑学一、“逻辑”一词的含义“逻辑”这个语词由英语Logic音译而来，导源于希腊文，原意是思想、理性、言词、规律等。
在现代汉语中，“逻辑”是个多义词，其含义主要有：1、客观规律性。
例如：“谦虚使人进步，骄傲使人落后，这是生活的逻辑”。
这里的“逻辑”是指生活的规律性。
2、思维的规律性。
例如：“应该合乎逻辑地思维，明确地表达思想”。
这里的“逻辑”是指思维要合乎思维的规律。
3、某种理论观点。
例如：“明明是侵略，却说成是友谊，这是强盗的逻辑”。
这里的“逻辑”是指一种荒谬的理论。
4、与“逻辑学”同义，指研究思维形式及其规律的科学。
例如：“认真学习逻辑知识，熟炼运用逻辑知识，对思考问题、写文章、说话、办事以及进一步发展智力都大有好处”。
这里的“逻辑”便是指逻辑学。
二、逻辑学的研究对象逻辑学是一门古老的科学，它的研究对象主要是思维的形式结构及其规律的简单的逻辑方法。
思维的形式结构也叫思维的逻辑形式，它是由逻辑常项和变项组成的。
综上所述，逻辑学是研究思维的形式结构及其规律和简单的逻辑方法的学说。
推理形式及其有效性的判定是它的核心内容。
第二节逻辑学的性质与意义一、逻辑学的性质从逻辑学的研究对象可知，这门科学提供给人们的是认识事物、表达论证思想时必须运用的一种思维工具，所以，它是一门工具性质的科学。
二、学习逻辑学的意义学习逻辑学的根本意义，是训练和提高人们的逻辑思维能力，促进其自觉地运用逻辑知识，提高学习和工作的质量。
具体来说，学习逻辑学的意义主要有：第一，有助于正确认识事物，从已知进到未知。
第二，有助于准确、严密地表达和论证思想。
第三，有助于揭露谬误，驳斥诡辩。
第四，有助于培养分析理性精神和创新意识。
第二章概念一、什么是概念？对同一类事物共同本质的概括概念与语汇、语词：通常说，语句是一组表示事物情况的声音或笔画，是概念的物质载体。
《逻辑学》完整版笔记整理
第一章绪言第一节“逻辑”的含义一、逻辑的词源1. 逻辑一词源出于希腊文的“逻各斯”（logos.复数形式是logoi）。
·古希腊的哲学家赫拉克利特据说有专论逻各斯的著作《逻各斯》。
·逻各斯的基本词义是言辞、秩序和规律。
言语是这一语词的原创义.然后在此基本词义基础上派生出理性、理想、推理论证等词义。
2. 逻各斯演变为“逻辑”一词·最先是由斯多葛学派使用 ;看作是由论辩术和修辞学两部分构成的理论。
·古罗马和欧洲中世纪的逻辑学家也在这种意义上来看待“逻辑”一词。
·其后.逻辑一词的含义就一直和推理与论辩的方法和原则相关。
3. 逻辑一词传入中国·严复开始.“按逻辑此翻名学。
其名义始于希腊.为逻各斯一根之转”.·严复翻译的时间大约在19世纪末 ;·再过十多年后.由章士钊正式在汉语中定名.作为讨论思维、讨论推理的规范和秩序的学问4. 为什么logic要翻译为逻辑？逻辑学是有点特殊的学科。
特殊在什么地方？学科名的特殊和学科内容的特殊。
中国历史上和逻辑对应的学科?逻辑究竟研究什么？二、什么是逻辑？1. 逻辑是一门和方法、原则、规范紧密相关的人文学科。
她探索和研究的是我们进行推理（reasoning.inference）时应该使用的方法、技巧、标准和原则。
逻辑是一门讲道理的学科。
逻辑总是和语言相关。
逻辑总是和论证证明推理相关。
p2 2. 三个方向的推理追寻历史：一个事件出现了.我们寻求其产生的原因.案件、历史、文物等.向后的推导。
确定目标：未来可能出现的事件.这是向前的推理。
演绎推理：没有时空条件的推理.数学和逻辑。
几何证明和数学计算。
第二节逻辑历史简述一、古典逻辑1. 古希腊哲学家亚里士多德公认为是逻辑学之父。
2. 亚里士多德创立逻辑学科的标志是他所撰写的逻辑专著.这些讨论逻辑问题的专著有《范畴篇》、《解释篇》、《分析前篇》、《分析后篇》、《论辩篇》和《辩谬篇》.这些篇章后来合编为《工具论》一书。
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定义2.4 设p，q为两个 命题“如果p，则q” 称作p与q的蕴涵式， 记作 pq，并称p是 蕴涵式的前件，q为蕴 涵式的后件，称蕴 涵联接词.其真值表为 ： p q pq 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
pq也可表示为： （1）只要p，就q； （2）因为p，所以q （3）p仅当q； （4）只有q，才p； （5）除非q，才平； （6）除q，否则非p； （7）假如没有q，就没有p.
离散数学
主讲教师：易静
1
2.1 命题逻辑基本概念
关键知识点： • 命题与真值 •联结词(¬ , , , , , ) •命题公式(重言式,矛盾式,可满足式) •重要等值式 •重要推理规则 •个体,个体域与谓词 •全称量词与存在量词
2
命题与真值
命题:所表达的判断是真（正确）或假（错误）但不能可 真可假的陈述句。通常用p,q,r等表示（即命题符号化） 命题的真值:作为命题所表达的判断只有两个结果：正确 和错误，此结果称为命题的真值。 命题是正确的，称此命题的真值为真；命题是错误 的，称此命题的真值为假。 在数理逻辑中，命题的真值的真和假，有时分别用 1和0来表达，也有时分别用T(True)和F(False)来表 达。本书用1和0来表达。（即真值的符号化） 真命题:真值为真的命题 假命题:真值为假的命题 例如, p:2+2=4, q:3是偶数 它们都是命题, p是真命题, q是假命题.
定义2.2 设p，q为二 命题，复合命题“p并 且q”（或“p与q”） 称为p与q的合取式， 记作pq，称作合取 联接词. 其真值表为：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 0 0 0 1
也可表示联接词： “既......,又.......”， “不但......而 且......”, “虽然......但 是.......”, “一面......一 面.......”等
解（1）令p：王冬梅学过日语. q：王冬梅学过俄语. 相容或 符号化为 pq （2）令r：张晓燕生于1977年. s：张晓燕生于1978年. 排斥或 符号化为 rs （3）令t：小元元拿一个苹果. u：小元元拿一个梨. 排斥或 符号化为 （t¬ u） （ ¬ tu）
以下命题a为给定的一个正整数. （5）只要a能被4整除，则a一定能被2整除. （6）a能被4整除，仅当a能被2整除. （7）除非a能被2整除，a才能被4整除. （8）除非a能被2整除，否则a不能被4整除. （9）只有a能被2整除，a才能被4整除. （10）只有a能被4整除，a才能被2整除. 令r：a能被4整除. s：a能被2整除. （ 5） r s （ 6） r s （ 7） r s 1 1 1 （ 8 ） r s 1 （ 9） r s 1 （10）sr 不确定
复合命题：简单命题通过连接词的联接而成的 陈述句. 联接词：不是（非）、并且、或、如果，则、 当且仅当.
定义2.1 设p为命题，复合命题“非p”（或 “p的否定”）称为p的否定式，记作p，符号 称作否定联接词. 例 p：上海是个大城市。 其真值表为： p：上海不是一个 p p 大城市。 0 1 1 0
例2.5 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值. （1）如果3+3=6，则雪是白色的. （2）如果3+3=6，则雪是白色的. （3）如果3+3=6，则雪是不是白色的. （4）如果3+3=6，则雪是不是白色的. 在上面四个命题中令p：3+3=6，真值为1. q：雪是白色的，真值也为1 （ 1 ） p q （ 2 ） p q （3）pq （4）pq 1 1 0 1
命题符号化：将命题和它的真值用抽象的符号表示.
例如，通常用p,q,r等表示命题，用0表示假，用1表
示真.
在例2.1中，用p，q，r，s分别表示（1）（2） （4）（5）. p:多伦多是加拿大的首都. q： 2 是无理数. r：火星上有生命. s：2050年元旦北京是晴天. p真值为0，q真值为1，r，s现在不知道. p、q、r、s均为原子命题或简单命题.
例2.3 将下列命题符号化. （1）2既是偶数又是素数. （2）6不仅能被2整除，而且能被3 整除. （3）8能被2整除，但不能被6 整 除. （4）5是奇数，6是偶数. （5）2与3的最小公倍数是6. （6）王丽和王娟是亲姐妹.
（1）pq，其中，p：2是偶数， q：2是素数. （2）pq，其中，p：2|6，q,3|6. （3）pq，其中，p：2|8，q,6|8. （4）pq，其中，p：5是奇数，q：）p：王丽和王娟是亲姐妹.
定义2.3 设p，q为两 个命题，复合命题 “p或q”称作p与q 的析取式，记作pq ，称作析取联接词. 其真值表为： p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 0 1 1 1
例2.4 将下面命题符号化 （1）王冬梅学过日语或 俄语. （2）张晓燕生于1977年 或1978年. （3）小元元只能拿一个 苹果或一个梨.
（3 ） 、（9）无确定的真值， （6）（7）（8）分别是疑问句、祈使句和感叹句，不是陈述 句.
悖论：像例2.1中（9）这样的由真推出假，又由 假推出真来的陈述句称为悖论. 注意：凡是悖论都不是命题. 理发师悖论
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的： “本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不 给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表 示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不 给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看 见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不 能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给 自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸 呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
3
例2.1 判断下列句子是否为命题.
（1）多伦多是加拿大的首都. （2） 2 是无理数. （3） x 2 5 （4）火星上有生命. （5）2050年元旦北京是晴天. （6）你会开车吗？ （7）请关上门！ （8）这个操场真大啊！ （9）我正在说谎话.
（1）（2）（4）（5）是命题。
例2.7 令p：北京比天津人口多. q：2+2=4. r:乌鸦是白色的. 求下列复合命题的真值. （1）（（ pq）（ qp））r. （2）（ qr）（ pr）. （3）（ pr）（ pr）. 真值分别是 1 1 0
解 （1）令p：雪是白色的. q：法国首都是里昂. 符号化为 pq ，p真值为 1，q真值为 0 p q 真值为 0 （2）令 p：n是奇数. q： n 2 是奇数.符号化 为（ pq）（ qp）或pq， p、q同真同假， 所以pq为 1 （ 3） 令 p： 面积相等. q： 半径相等 O1 ,O2 O1 , O2 符号化为 pq ， p、q同真同假，所以pq为 1 （4）令 p：角1与角2是对顶角.q：角1等于角2. 符号化为（ pq）（ qp）或pq，pq为真 ， qp不一定为真，所以pq为假。
定义2.5 设p，q为两命题，复合命题“p当且 仅当q”称作p与q的等价式，记作 pq ，称作等价联接词. 其真值表为：
p q pq
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 0 1
pq与（ pq）（ qp） 逻辑关系完全一致
例2.6 将下列命题符号化，并讨论它们的真值. （1）雪是白色的当且仅当法国的首都是里昂. （2）n是奇数的必要且充分条件是 n 2 是奇数. （3）若两圆 O1 , O2 的两面积相等，则它们的半径 相等.反之，若 O1 , O2 的半径相等，则它们的面积 相等. （4）设角1与角2是对顶角，则角1等于角2.反之 ，若角1等于角2，则它们是对顶角.
联接词集 ，，，， 注意：1、由联接词集中的一个联结词联结 一个或两个原子命题组成的复合命题是最 简单的复合命题，可以称为基本的复合命 题. 2、多次使用联接词集中的联结词， 可以组成更为复杂的复合命题. 本书规定的联结词优先顺序为：（）， ，，，，