第02章 数学模型的建立

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常用函数的拉氏变换
拉氏反变换
利用公式由X(s)求其反变换x(t)是很困难的。工程上 常用的函数，其拉氏变换一般是 s的有理分式所以常用 部分分式法求反变换： 3、部分分式法 例1 求F(s)的反变换。
S 5 F ( s) 2 S 4S 3
※解：将F（s）分解为部分分式：
S 5 F ( s) S 2 4S 3 S 5 ( S 3)(S 1) K1 K2 S 3 S 1
例2 求的反变换
S 3 F ( s) 2 S 2S 2
F ( s) S 3 ( S 1 j )(S 1 j ) S 3 ( S 1) 2 1 S 1 2 2 ( S 1) 1 ( S 1) 2 1
※解：
查拉普拉斯变换对照表，得： f(t)=e-tcost + 2e-tsint
1

j j
F ( s )e st ds
拉普拉斯变换存在的条件为：

2、基本定理 (1)线性定理

0
f (t )e t dt
L[af (t ) bf (t ) aF ( s) bF ( s) 1 2 1 2
(2)微分定理
d f (t )] SF ( s ) f (0) dt d2 L[ 2 f (t )] S 2 F ( s ) S f (0) f (1) (0) dt L[ n d L[ n f (t )] S n F ( s ) S n 1 f (0) S n 2 f (1) (0) f ( n 1) (0) dt
(3)位移定理 设F(s)=L[f(t)]则L[eatf(t)]=F(s-a)
(4)迟延定理 (5)初值定理
设F(s)=L[f(t)]则L[f(t-T)]=e-TSF(s)
设F（s）=L[f(t)]，如果下列极限存在的话，则有
lim f (t ) lim SF ( s )
t 0 s
(6)终值定理 设 F （ s ） =L[f(t)] ，并且 SF （ s ）在虚轴上及右半平面内 没有极点，则有：
几种典型的物理系统微分方程的建立： 1、机械系统
2、电气系统
对比机械系统：
VS
3、热力系统
基本定律：
其中热容量： 对比 热阻：单位热流量变化引起的温度变化。
注：
对于尺寸较小的物体或很好混合的液体、气体，可 以认为物体的温度处处相等，属集中参数的对象，动态 特性可以用线性微分方程描述。 对于象锅炉过热器、省煤器这类有着很长蛇形管的对 象，属于分布参数对象，动态特性的数学描述就不能简 单地用线性微分方程来表示。
输出量的拉氏变换式：
写成如下形式：
G(s)就是热电偶的传递函数。
传递函数：线性定常系统在零初始条件下，输出 量的拉普拉斯变换式与输入量的拉普拉斯变换式之比 。
传递函数反映了系统自身的动态本质。对热电偶 来说，热电偶的传递函数仅决定于热电偶及其保护套 管的材料和结构，它反映了热电偶自身的动态本质。
设线性定常系统（或环节）的微分方程是：
归纳：
五、比较上述系统，可以发现其特性参数有着一定 的相似性
相似系统：具有相同的数学模型，而物理性质不同 的系统
第二节 传递函数
一、拉普拉斯变换简介
1、定义： L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
0
1 f (t ) L [ F ( s )] 2j
利用拉氏变换解微分方程： 例：利用拉氏变换解微分方程
解法一：二阶常系数（非齐次）线性微分方程，形式如下：
对应的二阶齐次线性微分方程为：
特征方程是：
求解程序：
1 、先求齐次方程的通解 yc：由特征方程的根的形式写出通 解
2、再求非齐次方程的一个特解y*： 用代参系数法，根据自由项f(x)的形式设出特解的形式
一、静态特性
.静态 ——运动中的自动调节系统（或环节），其 输入信号和输出信号都不随时间变化时，也称系统 （或环节）处于平衡状态。 .静态特性——在平衡状态时，输出信号和引起它 变化的输入信号之间的关系。 例：
R U1 Uc P1 Q(流量) U1 Uc U1 = Uc U1 (b) 阻容元件 Uc P1 Q 阀门 p f
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) an a n 1 a1 a 0 c(t ) n n 1 dt dt dt （n≥m） d m r (t ) d m 1r (t ) dr(t ) bm bm1 b b0 r (t ) S 1 的阶次、系数与微分 m m 1 dt dt dt
系统的数学模型可以从两个方面来描述： • 稳态（静态）工况下，系统的参数与时间无关，确定系 统各参数之间关系的数学方程是代数方程。 • 动态特性下，系统输出总是随着输入的变化而变化，并 且系统还会受到随时间而变化的各种干扰，系统的各个 变量都是随时间而变化的，所以，描绘系统动态特性的 数学方程不仅包含变量本身，而且也包含了这些变量的 变化率或导数，这样的数学方程就是微分方程，微分方 程是表征系统动态特性的一种最基本的数学方程。 实际的生产过程是很复杂的，因此在建立数学模型 时，必须确定哪些变量是可以忽略的，而哪些对模型的 准确性具有决定性作用的变量是不可忽略的。针对不同 的自动调节系统，必须在模型的简化程度与分析结果的 精确性方面提出适当的要求。
求待定常数K1，K2，由式（2-16），得：
S 5 ( S 3)]S 3 1 ( S 3)(S 1) S 5 K2 [ ( S 1)]S 1 2 ( S 3)(S 1) K1 [
所以
1 2 F ( s) S 3 S 1
进行反变换，求得原函数 f(t)=-e-3t + 2e-t
取s=0，则：
Lc(t ) C ( s) bm S m bm1S m1 b1S b0 G( s ) Lr(t ) R( s) an S n an 1S n 1 a1S a0
可改写为：
式中：K为常数； Z1,，Z2，…，Zm为传递函数分子多项式方程的根， 称为传递函数的零点； P1，P2，…，Pm为分母多项式方程的根，称为传递 函数的极点。 传递函数的分母式就是微分方程的特征方程式，故 P1 ， P2，…，Pm又称为特征方程的根。
方程的阶次、系数一一 对应，传递函数中各项 在初始条件为零的情况下，对上式进行拉普拉斯变换， 系数的数值完全取决与 得： n n 1 an S C ( s) an1S C ( s) a1SC( s) a0C ( s ) 系统的结构参数，与输 bm S m R( s) bm1S m1R( s )入信号无关。 b1SR( s) b0 R( s ) 所以，该系统(或环节)的传递函数为：
p p
P1 P2 M Q Q(流量)
P2
P2
阀门
Q
Q=f(m) (c) M
(a)
(1)
RC电路
输入量-----电压u1 输出量-----电容两端的电压uc。
静态特性方程：
uc= u1 (2) 阀门
输入量---阀门前后的差压△P
输出量---流量Q 静态特性方程：
Q p fr
fr—阀门局部阻力系数。
为了简化调节系统的分析，在研究系统特性时，通 常总是把非线性系统近似线性化。在某个一定的工况 下，当系统参数在小范围内变化时，可以应用“小偏 差法”将某些非线性系统予以线性化。
计算机的运算速度快、精度高，必要时可以用多 达几百个方程来描述一个完整的系统，这为建立精确 的数学模型开辟了新的途径。但在大多数场合下，人 们往往用一个低阶的线性数学模型来描述生产过程的 动态特性，因为低阶的近似模型在分析控制系统时已 具有足够的精确度，而且明显地减少了计算工作量。
Ui I C Uc
图2-3 RCБайду номын сангаас路
解： 1、写出输入电压u1与输出电压uc的差值变化引起电
流i变化的关系式。 u1 uc i R
1 uc C
2、写出输出信号uc与i的关系式

t 0
idt
3、消去中间变量i，整理得RC电路的动态特性方程式：
RC duc u c u1 dt
环节的静态特性方程式：
3、y=yc+y*就是方程的解
解法二：利用拉氏变换
二、传递函数
在自动控制理论中，动态特性的描述一般不是直接 采用微分方程，而是采用便于系统分析综合的其他一 些方法，传递函数就是其中一种最重要的描述系统动 态特性的数学工具。
例：热电偶测温的动态特性的数学模型：
输出量取决于输入量（介 质温度的变化）和热电偶 在初始值为零的条件下，进行拉氏变换： 的结构。
第二章 线性自动调节系统的数学模型
第一节 第二节 第三节 第四节 数学模型的建立 传递函数 脉冲响应和阶跃响应 环节的联接方式
第一节 数学模型的建立
要了解系统的性能，就必须掌握系统中各变量 之间的相互关系。这些相互关系是用数学方程来描 述的，称之为系统的数学模型。 分析和设计自动控制系统的一个首要任务就是建 立系统的数学模型。
热电偶：冷端温度为0，热端为θ 平衡时：θ =被测介质温度θ 此时，介质温度升高，则：
w
热流量
热端温度升高 热电偶的输出
一阶常系数线性 微分方程
液体加热器
设热容
，热阻 一阶常系数线性 微分方程
小增量范围线性化，得：
4、液力系统
流阻： •层流： •紊流（伯努利）： 系统的指定工作点为h=h0,q2=q20，则其近似线性方程：
u c u1
例：试列出图示系统的微分方程式，并比较得到的结果： (a)中系统的输入信号为FA,输出信号为质量m的位移x; (b)中系统的输入信号为流经电路的电量q,输出信号为ur。