第02章 数学模型的建立

3、y=yc+y*就是方程的解
解法二：利用拉氏变换
二、传递函数
在自动控制理论中，动态特性的描述一般不是直接 采用微分方程，而是采用便于系统分析综合的其他一 些方法，传递函数就是其中一种最重要的描述系统动 态特性的数学工具。
例：热电偶测温的动态特性的数学模型：
输出量取决于输入量（介 质温度的变化）和热电偶 在初始值为零的条件下，进行拉氏变换： 的结构。
1

j j
F ( s )e st ds
拉普拉斯变换存在的条件为：

2、基本定理 (1)线性定理

0
f (t )e t dt
L[af (t ) bf (t ) aF ( s) bF ( s) 1 2 1 2
(2)微分定理
d f (t )] SF ( s ) f (0) dt d2 L[ 2 f (t )] S 2 F ( s ) S f (0) f (1) (0) dt L[ n d L[ n f (t )] S n F ( s ) S n 1 f (0) S n 2 f (1) (0) f ( n 1) (0) dt
为了简化调节系统的分析，在研究系统特性时，通 常总是把非线性系统近似线性化。在某个一定的工况 下，当系统参数在小范围内变化时，可以应用“小偏 差法”将某些非线性系统予以线性化。
计算机的运算速度快、精度高，必要时可以用多 达几百个方程来描述一个完整的系统，这为建立精确 的数学模型开辟了新的途径。但在大多数场合下，人 们往往用一个低阶的线性数学模型来描述生产过程的 动态特性，因为低阶的近似模型在分析控制系统时已 具有足够的精确度，而且明显地减少了计算工作量。
第二章 线性自动调节系统的数学模型
第一节 第二节 第三节 第四节 数学模型的建立 传递函数 脉冲响应和阶跃响应 环节的联接方式
第一节 数学模型的建立
要了解系统的性能，就必须掌握系统中各变量 之间的相互关系。这些相互关系是用数学方程来描 述的，称之为系统的数学模型。 分析和设计自动控制系统的一个首要任务就是建 立系统的数学模型。
求待定常数K1，K2，由式（2-16），得：
S 5 ( S 3)]S 3 1 ( S 3)(S 1) S 5 K2 [ ( S 1)]S 1 2 ( S 3)(S 1) K1 [
所以
1 2 F ( s) S 3 S 1
进行反变换，求得原函数 f(t)=-e-3t + 2e-t
归纳：
五、比较上述系统，可以发现其特性参数有着一定 的相似性
相似系统：具有相同的数学模型，而物理性质不同 的系统
第二节 传递函数
一、拉普拉斯变换简介
1、定义： L[ f (t )] F ( s) f (t )e st dt
0
1 f (t ) L [ F ( s )] 2j
p p
P1 P2 M Q Q(流量)
P2
P2
阀门
Q
Q=f(m) (c) M
(a)
(1)
RC电路
输入量-----电压u1 输出量-----电容两端的电压uc。
静态特性方程：
uc= u1 (2) 阀门
输入量---阀门前后的差压△P
输出量---流量Q 静态特性方程：
Q p fr
fr—阀门局部阻力系数。
几种典型的物理系统微分方程的建立： 1、机械系统
2、电气系统
对比机械系统：
VS
3、热力系统
基本定律：
其中热容量： 对比 热阻：单位热流量变化引起的温度变化。
注：
对于尺寸较小的物体或很好混合的液体、气体，可 以认为物体的温度处处相等，属集中参数的对象，动态 特性可以用线性微分方程描述。 对于象锅炉过热器、省煤器这类有着很长蛇形管的对 象，属于分布参数对象，动态特性的数学描述就不能简 单地用线性微分方程来表示。
输出量的拉氏变换式：
写成如下形式：
G(s)就是热电偶的传递函数。
传递函数：线性定常系统在零初始条件下，输出 量的拉普拉斯变换式与输入量的拉普拉斯变换式之比 。
传递函数反映了系统自身的动态本质。对热电偶 来说，热电偶的传递函数仅决定于热电偶及其保护套 管的材料和结构，它反映了热电偶自身的动态本质。
设线性定常系统（或环节）的微分方程是：
取s=0，则：
(3)位移定理 设F(s)=L[f(t)]则L[eatf(t)]=F(s-a)
(4)迟延定理 (5)初值定理
设F(s)=L[f(t)]则L[f(t-T)]=e-TSF(s)
设F（s）=L[f(t)]，如果下列极限存在的话，则有
lim f (t ) lim SF ( s )
t 0 s
(6)终值定理 设 F （ s ） =L[f(t)] ，并且 SF （ s ）在虚轴上及右半平面内 没有极点，则有：
例2 求的反变换
S 3 F ( s) 2 S 2S 2
F ( s) S 3 ( S 1 j )(S 1 j ) S 3 ( S 1) 2 1 S 1 2 2 ( S 1) 1 ( S 1) 2 1
※解：
查拉普拉斯变换对照表，得： f(t)=e-tcost + 2e-tsint
lim f (t ) lim SF ( s )
t s 0
(7)卷积定理 设 则
t
F1(s)=L[f1(t)]，F2(s)=L[f2(t)]
L[ f1( ) f 2 ( t )d ] F1( s )F2 ( s )
0 t
式中, f1 ( ) f 2 (t )d称为卷积积分 , 可简写为f1 (t) f 2 (t)
热电偶：冷端温度为0，热端为θ 平衡时：θ =被测介质温度θ 此时，介质温度升高，则：
w
热流量
热端温度升高 热电偶的输出
一阶常系数线性 微分方程
液体加热器
设热容
，热阻 一阶常系数线性 微分方程
小增量范围线性化，得：
4、液力系统
流阻： •层流： •紊流（伯努利）： 系统的指定工作点为h=h0,q2=q20，则其近似线性方程：
u c u1
例：试列出图示系统的微分方程式，并比较得到的结果： (a)中系统的输入信号为FA,输出信号为质量m的位移x; (b)中系统的输入信号为流经电路的电量q,输出信号为ur。
※解：(a)根据牛顿第二定律
d 2x dx m 2 f Kx FA dt dt
d 2x F m 2 dt
Ui I C Uc
图2-3 RC电路
解： 1、写出输入电压u1与输出电压uc的差值变化引起电
流i变化的关系式。 u1 uc i R
1 uc C
2、写出输出信号uc与i的关系式

t 0
idt
3、消去中间变量i，整理得RC电路的动态特性方程式：
RC duc u c u1 dt
环节的静态特性方程式：
百度文库
一、静态特性
.静态 ——运动中的自动调节系统（或环节），其 输入信号和输出信号都不随时间变化时，也称系统 （或环节）处于平衡状态。 .静态特性——在平衡状态时，输出信号和引起它 变化的输入信号之间的关系。 例：
R U1 Uc P1 Q(流量) U1 Uc U1 = Uc U1 (b) 阻容元件 Uc P1 Q 阀门 p f
利用拉氏变换解微分方程： 例：利用拉氏变换解微分方程
解法一：二阶常系数（非齐次）线性微分方程，形式如下：
对应的二阶齐次线性微分方程为：
特征方程是：
求解程序：
1 、先求齐次方程的通解 yc：由特征方程的根的形式写出通 解
2、再求非齐次方程的一个特解y*： 用代参系数法，根据自由项f(x)的形式设出特解的形式
方程的阶次、系数一一 对应，传递函数中各项 在初始条件为零的情况下，对上式进行拉普拉斯变换， 系数的数值完全取决与 得： n n 1 an S C ( s) an1S C ( s) a1SC( s) a0C ( s ) 系统的结构参数，与输 bm S m R( s) bm1S m1R( s )入信号无关。 b1SR( s) b0 R( s ) 所以，该系统(或环节)的传递函数为：
式中： 流阻：
工作点附近的小范围内，可把流阻看作常数
假设输入增加了Δ q1,则： 小偏差情况,R可视作常数： 则：
为方便表示，省略符号“Δ ”：
归纳：
一、建立物理微分方程的基本步骤： 1. 分析系统的工作原理，确定输入输出变量的相互关系； 2. 根据支配系统运动的物理规律，写出各变量之间的运动方 程； 3. 消去中间变量，得出输入、输出变量之间的微分方程。 二、不同的环节虽然物理结构不同，但是表示动态特性的微分 方程形式相同时，可以抽象地认为是同类环节(相似系统)。 三、对一个具体环节来说，微分方程的阶次和各系数值由环节 内部的结构和物理参数而决定。 四、静态特性包含在动态特性之中。
系统的数学模型可以从两个方面来描述： • 稳态（静态）工况下，系统的参数与时间无关，确定系 统各参数之间关系的数学方程是代数方程。 • 动态特性下，系统输出总是随着输入的变化而变化，并 且系统还会受到随时间而变化的各种干扰，系统的各个 变量都是随时间而变化的，所以，描绘系统动态特性的 数学方程不仅包含变量本身，而且也包含了这些变量的 变化率或导数，这样的数学方程就是微分方程，微分方 程是表征系统动态特性的一种最基本的数学方程。 实际的生产过程是很复杂的，因此在建立数学模型 时，必须确定哪些变量是可以忽略的，而哪些对模型的 准确性具有决定性作用的变量是不可忽略的。针对不同 的自动调节系统，必须在模型的简化程度与分析结果的 精确性方面提出适当的要求。
dx d 2x FA Kx f m 2 dt dt
（b）假定回路电流为i，则：
u R iR
di uL L dt 1 t uc idt C 0
因此：
di 1 L Ri dt C

idt u r
电流
i
dq ,q为电量，上式可写成 dt
d 2q dq 1 L 2 R q ur dt C dt
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) an a n 1 a1 a 0 c(t ) n n 1 dt dt dt （n≥m） d m r (t ) d m 1r (t ) dr(t ) bm bm1 b b0 r (t ) S 1 的阶次、系数与微分 m m 1 dt dt dt
Lc(t ) C ( s) bm S m bm1S m1 b1S b0 G( s ) Lr(t ) R( s) an S n an 1S n 1 a1S a0
可改写为：
式中：K为常数； Z1,，Z2，…，Zm为传递函数分子多项式方程的根， 称为传递函数的零点； P1，P2，…，Pm为分母多项式方程的根，称为传递 函数的极点。 传递函数的分母式就是微分方程的特征方程式，故 P1 ， P2，…，Pm又称为特征方程的根。
0
常用函数的拉氏变换
拉氏反变换
利用公式由X(s)求其反变换x(t)是很困难的。工程上 常用的函数，其拉氏变换一般是 s的有理分式所以常用 部分分式法求反变换： 3、部分分式法 例1 求F(s)的反变换。
S 5 F ( s) 2 S 4S 3
※解：将F（s）分解为部分分式：
S 5 F ( s) S 2 4S 3 S 5 ( S 3)(S 1) K1 K2 S 3 S 1
(3)
阀门
输入量---阀门开度m 输出量---流量Q
二、动态特性
• 动态 ----运动中的自动调节系统（或环节），当输 入信号和输出信号随时间变化时，称系统（或环节） 处于不平衡状态或动态。 • 动态特性---在不平衡状态时，输出信号和引起它变化 的输入信号之间的关系。 例: RC电路，已知电阻阻值为R，电容为C ,当输入信 号为u1，输出信号为uc时，试写出该电路的动态特 性方程。 R