平行线与三角形内角和的综合应用作业及答案
专题11.8 三角形内角和定理及其应用(拓展提高)(解析版)
专题11.8 三角形内角和定理及其应用（拓展提高）一、单选题1．若一个三角形的三个内角的度数之比为1:3:4，那么这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【答案】B【分析】设三个内角分别为k 、3k 、4k ，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求出k ，再求解即可．【详解】解：设三个内角分别为k 、3k 、4k ，由题意得，k +3k +4k =180°，解得k =22.5°，所以，三个内角分别为22.5°、67.5°、90°，所以，这个三角形是直角三角形．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的形状的判定，利用“设k 法”求解更简便． 2．如图，点A 和点B 恰好分别在GH 和EF 上，GH ∥EF 且BA 平分∠DBE ，若∠C ＝90°，∠CAD ＝32°，则∠BAD 的度数为（ ）A ．28°B ．29°C ．30°D ．31°【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理，平行线的性质以及角平分线的定义即可得到结论．【详解】解：90C ∠=︒，32CAD ∠=︒，903258ADC ∴∠=︒-︒=︒， //EF GH ，58DBE ADC ∴∠=∠=︒， BA 平分DBE ∠，1292ABE DBE ∴∠=∠=︒， 直线//EF 直线GH ，29BAD ABE ∴∠=∠=︒，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，解题时注意：两直线平行，内错角相等．3．如图，将一块含有45°角的直角三角板的直角顶点放在矩形板的一边上，若135∠=，那么2∠的度数是（ ）．A ．80°B ．90°C ．100°D ．110°【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得31∠=∠；结合题意，根据三角形内角和的性质，得4∠；再根据对顶角相等的性质计算，即可得到答案．【详解】如下图根据题意得：3135∠=∠=︒∴4180345100∠=︒-∠-︒=︒∵24∠∠=∴2100∠=︒故选：C ．【点睛】本题考查了对顶角、三角形内角和、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、三角形内角和的性质，从而完成求解．4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝80°，BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 平分线，则∠BOC 的度数是（ ）A ．130°B ．60°C ．80°D ．120°【答案】A 【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC +∠OCB 的度数，再根据三角形的内角和等于180°，即可求出∠BOC 的度数．【详解】解：∵∠BAC ＝80°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣∠BAC ＝180°﹣80°＝100°，∵BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 平分线，∴∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠ACB ， ∴∠OBC +∠OCB ＝12（∠ABC +∠ACB ）＝12×100°＝50°， ∴∠BOC ＝180°﹣（∠OBC +∠OCB ）＝180°﹣50°＝130°．故选：A ．【点睛】本题主要利用三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键． 5．如图，延长ABC ∆的边AC 到点E ，过点E 作//DE BC ，BG 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠交BG 的反向延长线于点F ，已知34A F ∠=∠，则A ∠的大小为（ ）A ．75︒B ．74︒C ．72︒D ．70︒【答案】C 【分析】过点F 作FM ∥BC ，结合平行线的判定和性质以及角平分线的定义可得11=2GBC ABC ∠∠=∠，112=3=22AED ACB ∠∠∠=∠，然后结合三角形内角和定理可得()11+2=1802A ∠∠︒-∠，然后根据题意列方程求解．【详解】解：过点F 作FM ∥BC∵//DE BC ，∴////FM DE BC又∵BG 平分ABC ∠，EF 平分AED ∠ ∴11=2GBC ABC ∠∠=∠，112=3=22AED ACB ∠∠∠=∠ ∴()1111+2=+180222ABC ACB A ∠∠∠∠=︒-∠ 由题意可得：()34412A GFE ∠=∠=∠+∠∴312=4A ∠+∠∠，()3118042A A ∠=︒-∠，解得：72A ∠=︒ 故选：C ．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理和角平分线的定义以及一元一次方程的应用，掌握相关的性质定理正确推理计算是解题关键．6．如图，,AB BC AE ⊥平分BAD ∠交BC 于点E ，AE DE ⊥，1290∠+∠=︒，M ，N 分别是,BA CD 延长线上的点，EAM ∠和EDN ∠的平分线交于点F ．下列结论：①//AB CD ；②180AEB ADC ∠+∠=︒；③DE 平分ADC ∠；④F ∠为定值．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】先根据AB ⊥BC ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，AE ⊥DE ，∠1+∠2=90°，∠EAM 和∠EDN 的平分线交于点F ，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论．【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°，∴∠1=∠DEC，又∵∠1+∠2=90°，∴∠DEC+∠2=90°，∴∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，故①正确；∴∠ADN=∠BAD，∵∠ADC+∠ADN=180°，∴∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误；∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1，∴∠2=∠4，∴ED平分∠ADC，故③正确；∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF+∠EDF=12×270°=135°．∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠F AD+∠FDA=135°-90°=45°，∴∠F=180°-（∠F AD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．二、填空题7．将一副三角板如图放置，若//AB CD ，则∠=CFE ________度．【答案】75【分析】根据两直线平行，同旁内角互补及三角板的特征进行做题．【详解】因为//AB CD ，∠B=60°，所以∠BCD=180°-60°=120°；因为两角重叠，则∠ACE=90°+45°-120°=15°，∠=CFE 90°-15°=75°．故CFE ∠的度数是75度．故答案为：75．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，是基础题，熟记性质是解题的关键．8．如图，已知//AB CD ，AC 与BD 交于点E ，BD CD ⊥于点D ，若150∠=︒，则2∠=______．【答案】140°【分析】首先根据对顶角相等即可求出∠CED 的度数，再根据三角形的内角和即可求得∠ECD 的度数，根据平行线的性质即可求出∠CAB 的度数，再根据补角的性质即可求解；【详解】∵ ∠1=50°，∴∠CED =50°，∵ 三角形内角和为180°，BD ⊥CD ，∴∠ECD =180°-90°-50°=40°，∵ AB ∥CD ，∴∠EAB =40°，∴∠2=180°-40°=140°，故答案为：140°．【点睛】本题考查了平行线的性质，以及三角形的内角和定理，正确掌握知识点是解题的关键； 9．如图，ABC 中30A ∠=︒，E 是AC 边上的点，先将 ABE △沿着BE 翻折，翻折后ABE △的AB 边交AC 于点 D ，又将BCD △沿着BD 翻折，C 点恰好落在BE 上，此时 84CDB ∠=︒，则ABC 中ABC ∠=_______ ．【答案】81．【分析】在图(1)的ABC 中，根据三角形内角和定理，可求得150B C ∠+∠=︒；结合折叠的性质和图(2)(3)可知： 3B CBD ∠=∠，即可在CBD 中，得到另一个关于 B C ∠∠、度数的等量关系式，联立两式即可求得 B 的度数．【详解】解：在ABC 中，30A ∠=︒，则150B C ∠+∠=︒①；根据折叠的性质知：3B CBD ∠=∠，BCD C ∠=∠；在CBD 中，则有：18084CBD BCD ∠+∠=︒-︒， 即：9136B C ∠+∠=︒ ②； ①-②，得：2543B ∠=︒，解得81B ∠=︒故答案为：81．【点睛】本题主要考查的是图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现∠B 和∠CBD 的倍数关系是解答此题的关键．10．如图，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，60A ∠=︒，将三角形沿EF 对折，使点C 与边AB 上的D 点重合．若2EFD AED ∠=∠，则AED ∠的度数为____________．【答案】40°【分析】设∠EFD =2∠AED =2x ，由折叠性质可知，∠EDF =∠C =90°-∠A =90°-60°=30°，∠DEF =∠CEF ，由三角形内角和定理得出∠CEF =150°-2x ，再由∠DEF +∠CEF +∠AED =180°，列出方程即可求出∠AED =40°．【详解】解：设∠EFD =2∠AED =2x ．由折叠性质可知，∠EDF =∠C =90°-∠A =90°-60°=30°，∠DEF =∠CEF ，在△DEF 中，∠DEF =180°-∠EDF -∠EFD =180°-30°-2x =150°-2x ， ∴∠CEF =150°-2x ，∵∠DEF +∠CEF +∠AED =180°，∴150°-2x +150°-2x +x =180°，解得x =40°，即∠AED =40°，故答案为40°．【点睛】本题考查了折叠问题，熟练利用三角形的内角和定理是解题的关键．11．如图，一位跑酷运动员准备以连续两次“跳跃”结束一次跑酷表演，即在水平面AB 上跑至B 点，向上跃起至最高点P ，然后落在点C 处，继续在水平面CD 上跃起落在点D ，若ABK ∠和KCD ∠的平分线的反向延长线刚好交于最高点P ，88BKC ∠=︒，则P ∠=_______度．【答案】46【分析】延长PB ，PC 交KM 于点E ，点F ，利用角平分线的定义及平行线的性质可得13=2ABE ABK ∠∠=∠，14=2DCF DCK ∠∠=∠，1+180ABK ∠∠=︒，2+180DCK ∠∠=︒，求得268ABK DCK ∠+∠=︒，从而得到()13+4=1342ABK DCK ∠∠∠+∠=︒，然后结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：延长PB ，PC 交KM 于点E ，点F由题意可得：AB ∥CD ∥KM ，PE 平分∠ABK ，PF 平分∠DCK∴13=2ABE ABK ∠∠=∠，14=2DCF DCK ∠∠=∠ 1+180ABK ∠∠=︒，2+180DCK ∠∠=︒又∵∠BKC =88°∴1+2+180BKC ∠∠∠=︒180180180ABK DCK BKC ︒-∠+︒-∠+∠=︒，即268ABK DCK ∠+∠=︒∴()13+4=1342ABK DCK ∠∠∠+∠=︒ ∴()1803446P ∠=︒-∠+∠=︒故答案为：46．【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质及角平分线的定义，理解相关性质定理正确推理计算是解题关键．12．如图，EFG 的三个顶点E ，G 和F 分别在平行线AB ，CD 上，FH 平分EFG ，交线段EG 于点H ，若36AEF ∠=︒，57BEG ∠=︒，则EHF ∠的大小为________．【答案】75°．【分析】首先根据∠AEF =36°，∠BEG =57°，求出∠FEH 的大小；然后根据AB ∥CD ，求出∠EFG 的大小，再根据FH 平分∠EFG ，求出∠EFH 的大小；最后根据三角形内角和定理，求出∠EHF 的大小为多少即可．【详解】解：∵∠AEF =36°，∠BEG =57°∴∠FEH =180°-∠AEF -∠BEG =87°∵ //AB CD∴∠EFG =∠AEF =36°∵FH 平分∠EFG∴∠EFH =12∠EFG =18° ∴∠EHF =180°-∠FEH -∠EFH =75°故答案为：75.︒【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的性质和应用，以及平行线的性质和应用，要熟练掌握．13．如图，BF 平分ABD ∠，CE 平分ACD ∠，BF 与CE 交于G ，若120BDC ∠=︒，90BGC ∠=︒，则A ∠的度数为________．【答案】60°【分析】根据三角形内角和定理可求得∠DBC +∠DCB 的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得∠ABC +∠ACB 的度数，从而求得∠A 的度数．【详解】解：连接BC ．∵∠BDC =120°，∴∠DBC +∠DCB =180°-120°=60°，∵∠BGC =90°，∴∠GBC +∠GCB =180°-90°=90°，∵BF 是∠ABD 的平分线，CE 是∠ACD 的平分线，∴∠GBD +∠GCD =12∠ABD +12∠ACD =30°， ∴∠ABD +∠ACD =60°，∴∠ABC +∠ACB =120°，∴∠A =180°-120°=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 14．如图，在ABC 中，30B ，90BAC ︒∠=，点P 是BC 的动点（不与点B ，C 重合），AI 、CI 分别是PAC ∠和PCA ∠的角平分线，AIC ∠的取值范围为m AIC n <∠<，则m =_______，n =________．【答案】105°150° 【分析】根据三角形内角和等于180°及角平分线定义即可表示出∠AIC ，从而得到m ，n 的值即可．【详解】解：设∠BAP=α，则∠APC=α+30°，∵∠BAC=90°，∴∠PCA=60°，∠PAC=90°-α， ∵AI 、CI 分别平分∠PAC ，∠PCA ，∴∠IAC=12∠PAC ，∠ICA=12∠PCA ，∴∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA ） =180°-12（∠PAC+∠PCA ） =180°-12（90°-α+60°） =12α+105°， ∵0＜α＜90°，∴105°＜12α+105°＜150°，即105°＜∠AIC ＜150°， ∴m=105°，n=150°．故答案为：105°，150°．【点睛】本题考查了角平分线的定义，不等式的性质，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．三、解答题15．如图，BD 是ABC ∠的平分线，//DE CB ，交AB 于点E ，150BED ∠=︒，60BDC ∠=︒，求A ∠的度数．【答案】∠A =45°【分析】首先根据平行线的性质求出∠ABC 的度数，再根据角平分线的性质求出∠CBD 的度数，最后利用三角形内角和定理求出∠A 的度数即可．【详解】解：∵DE ∥CB ，∴∠BED +∠ABC =180°，∵∠BED =150°，∴∠ABC =30°，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴1152CBD ABC ∠=∠=︒， ∵∠BDC =60°，∴∠C =105°，∴∠A =180°-∠ABC -∠C =45°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关定理，正确识图，求得∠C 的度数是解题关键．16．如图，在ABC 中，AE 平分∠BAC ，AD 是BC 边上的高．（1）在图中将图形补充完整；（2）当∠B ＝28°，∠C ＝72°时，求∠DAE 的度数；（3）∠DAE 与∠C ﹣∠B 有怎样的数量关系？写出结论并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）22°；（3）1()2DAE C B ∠=∠-∠，证明见解析 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）在ABC ∆中，利用三角形内角和定理可求出BAC ∠的度数，结合角平分线的定义可求出CAE ∠的度数，由AD 是BC 边上的高，可求出CAD ∠的度数，再结合DAE CAE CAD ∠=∠-∠即可求出结论； （3）根据题意可以用B 和C ∠表示出CAD ∠和CAE ∠，从而可以得到DAE ∠与C B ∠-∠的关系．【详解】解：（1）如图，（2）在ABC ∆中，28B ∠=︒，72C ∠=︒，18080BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒，AE ∵平分BAC ∠，1402CAE BAC ∴∠=∠=︒， AD 是BC 边上的高，AD BC ∴⊥，9018CAD C ∴∠=︒-∠=︒，401822DAE CAE CAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．（3）1()2DAE C B ∠=∠-∠， 理由：在ABC ∆中，AD ，AE 分别是ABC ∆的高和角平分线， 180CAB B C ∴∠=︒-∠-∠，90CAD C ∠=︒-∠，1(180)2CAE B C ∠=︒-∠-∠， 11(180)(90)()22DAE B C C C B ∴∠=︒-∠-∠-︒-∠=∠-∠． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟练掌握角的平分线的性质、直角三角形的性质是解题的关键． 17．如图，在ABC 中，BE 是ABC 角平分线，点D 是AB 上的一点，且满足DEB DBE ∠=∠．（1）DE 与BC 平行吗？请说明理由；（2）若50C ∠=︒，45A ∠=︒，求DEB ∠的度数．【答案】（1）//,DE BC 理由见解析；（2）42.5.︒【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE =∠EBC ，从而求出∠DEB =∠EBC ，再利用内错角相等，两直线平行即可证明；（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠ABC =∠ADE ，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得到答案．【详解】解：（1）DE ∥BC理由如下：∵BE 是△ABC 的角平分线∴∠DBE =∠EBC∵∠DEB =∠DBE∴∠DEB =∠EBC∴ DE ∥BC ；（2）在△ABC 中，∠A +∠ABC +∠C =180°∴∠ABC =180°-∠A-∠C =85°∵BE 是△ABC 的角平分线∴∠DBE =∠EBC =42.5°∴∠DEB =∠EBC =42.5°【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，准确识别图形是解题的关键．18．阅读下列材料，并完成相应任务． 三角形的内角和小学时候我们就知道三角形内角和是180度，学习了平行线之后，可以证明三角形内角和是180度，证明方法如下：如图1，已知：三角形ABC ．求证180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=︒证法一：如图2，过点A 作直线//DE BC ，∵//DE BC∴ABC DAB ∠=∠，ACB CAE ∠=∠∵180DAB BAC CAE ∠+∠+∠=︒∴180ABC ACB BAC ∠+∠+∠=︒，即三角形内角和是180︒证法二：如图3，延长BC 至M ，过点C 作//CN AB …证法一的思路是用平行线的性质得到ABC DAB ∠=∠，ACB CAE ∠=∠，将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是180︒，这种方法主要体现的数学思想是转化思想，请运用这一思想将证法二补充完整．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质得到∠A =∠ACN ，∠B =∠NCM ，由平角的定义得到∠ACB +∠ACN +∠NCM =180°，等量代换即可得到结论．【详解】解：证明：∵CN ∥AB∴∠A =∠ACN ，∠B =∠NCM ，∵∠ACB +∠ACN +∠NCM =180°，∴∠ACB +∠BAC+∠ABC =180°．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．19．如图，MN //PQ ，点A ，B 分别在直线MN ，PQ 上，若射线AN 绕点A 逆时针旋转至AM 后立即回转，射线BP 绕点B 顺时针旋转至BQ 后立即回转，两射线分别绕点A ，点B 不停地旋转，若射线AN 转动的速度是a ︒/秒，射线BP 转动的速度是b ︒/秒，且a ，b 满足方程组32527a b a b -=⎧⎨+=⎩．（1）求a ，b 的值；（2）若射线AN 和射线BP 同时旋转，至少旋转多少秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直？【答案】（1）3a =，2b =；（2）至少旋转18秒时，射线AN 与射线BP 互相垂直．【分析】（1）解二元一次方程组，即可求得a 和b 的值；（2）设至少旋转x 秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直，根据直角三角形两锐角互余和平行线的性质可得2x °+3x °=90°，求解即可．【详解】解：（1）32527a b a b -=⎧⎨+=⎩①②， ①+②得：412a =，解得3a =，将3a =代入②得327b +=，解得2b =，所以原方程组的解为：32a b =⎧⎨=⎩， 即3a =，2b =；（2）设至少旋转x 秒时，射线AN 和射线BP 互相垂直，记旋转后的两条射线交于点C ，连接AB ，如图，则∠BCA =90°，由已知得∠PBC=2x°，∠NAC=3x°，∵MN//PQ，∴∠PBA+∠BAN=180°，∵∠BCA=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∴∠PBC+∠NAC=90°，∴2x°+3x°=90°，x=，解得18答：至少旋转18秒时，射线AN与射线BP互相垂直．【点睛】本题考查平行线的性质，直角三角形两锐角互余，解二元一次方程组．（1）中掌握解二元一次方程组的方法并能灵活运用是解题关键；（2）能根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余列出方程是解题关键．∠交CD于20．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分AEF ∠=∠．点M，且FEM FME（1）猜想直线AB与直线CD有怎样的位置关系？说明你的理由；∠交CD于点H，过点H作（2）若点G为直线CD上一动点（不与点M，F重合），EH平分FEG∠=．∠=，EGFβ⊥于点N，设EHNαHN EMβ=︒，求α的度数；①如图2，当点G在射线FD上运动时，若56②当点G 在直线CD 上运动时，请直接写出α和β的数量关系．【答案】（1）AB ∥CD ，理由见解析过程；（2）28°；（3）α=12β或α=90°-12β 【分析】（1）结论：//AB CD ．只要证明AEM EM D ∠=∠即可．（2）①依据平行线的性质可得124AEG ∠=︒，再根据EH 平分FEG ∠，EM 平分AEF ∠，即可得到1622HEN AEG ∠=∠=︒，再根据HN ME ⊥，即可得到Rt EHN ∆中，906228EHN ∠=︒-︒=︒；②分两种情况进行讨论：当点G 在点F 的右侧时，12αβ=，当点G 在点F 的左侧时，1902βα︒=-．【详解】解：（1）结论：//AB CD ．理由：如图1中，EM 平分AEF ∠交CD 于点M ，AEM M EF ∴∠=∠，FEM FM E ∠=∠．AEM FM E ∴∠=∠，//AB CD ∴．（2）①如图2中，//AB CD ，56BEG EGF β∴∠=∠==︒，124AEG ∴∠=︒，AEM EM F ∠=∠，HEF HEG ∠=∠，1622HEN MEF HEF AEG ∴∠=∠+∠=∠=︒，HN EM ⊥，90HNE ∴∠=︒，9028EHN HEN α∴=∠=︒-∠=︒．②结论：12αβ=或1902βα︒=-．理由：①当点G 在F 的右侧时，可得12αβ=． //AB CD ，BEG EGF β∴∠=∠=，180AEG β∴∠=︒-，AEM EM F ∠=∠，HEF HEG ∠=∠，119022HEN MEF HEF AEG β∴∠=∠+∠=∠=︒-，HN EM ⊥，90HNE ∴∠=︒，1902EHN HEN αβ∴=∠=︒-∠=．②当点G 在F 的左侧时，可得1902βα︒=-．理由：//AB CD ，AEG EGF β∴∠=∠=，又EH 平分FEG ∠，EM 平分AEF ∠，12HEF FEG ∴∠=∠，12MEF AEF ∠=∠，M EH M EF H EF ∴∠=∠-∠1()2AEF FEG =∠-∠12AEG =∠1 2β=，又HN ME⊥，Rt EHN∴△中，90EHN MEH∠=︒-∠，即1902βα︒=-．【点睛】本题考查三角形的内角和定理，熟练掌握三角形内角和，平行线的性质，角平分线的定义等知识是解题的关键．。
平行线的判定与性质的综合应用 专题练习
平行线的判定与性质的综合应用专题练习平行线的判定与性质的综合运用专题一、推理填空题1.已知：如图，DE∥BC，∠ADE＝∠XXX，将说明∠1＝∠2成立的理由填写完整。
解：因为DE∥BC，所以∠ADE=∠XXX。
又因为DE∥BC，所以DB∥EF。
由平行线性质可知，∠1=∠ADE=∠XXX∠2.2.已知：如图所示，∠1＝∠2，∠A＝∠3.求证：XXX。
证明：因为∠1＝∠2，所以XXX。
又因为∠A＝∠3，所以AC∥BD。
由平行线性质可知，AC∥DE。
3.已知：如图，∠XXX∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC 与∠ADC，且∠1＝∠3.求证：AB∥DC。
证明：因为∠XXX∠ADC，所以∠XXX∠ADC。
又因为BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，所以∠1=∠ABC，∠3=∠ADC。
由∠1＝∠3可得，∠2=∠ADC。
由平行线性质可知，AB∥DC。
二、证明题4.如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37º，求∠D的度数。
证明：因为AB∥CD，所以∠A+∠D=180º。
又因为DE⊥AE，所以∠ADE=90º。
由∠A=37º可得，∠ADE=53º。
由三角形内角和定理可得，∠D=80º。
5.如图，已知AB∥CD，∠1=100°，∠2=120°，求∠α的度数。
证明：因为AB∥CD，所以∠1+∠α+∠2=180º。
由∠1=100º，∠2=120º可得，∠α= -40º。
由于∠α是角度，所以∠α=320º。
6.如图，XXX，AE平分∠BAD，求证：XXX与AE相交于F，∠XXX∠EAF。
证明：因为XXX，所以∠BAD=∠ACD。
又因为AE平分∠BAD，所以∠XXX∠DAF。
由相邻角的性质可得，∠EAF+∠DAF=∠BAD=∠ACD。
又因为CD与AE相交于F，所以∠CFE+∠EAF+∠ACD=180º。
初中数学三角形中的倒角模型-平行线-拐点模型及参考答案
三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题就平行线+拐点模型(猪蹄模型(M型)、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
拐点(平行线)模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。
通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。
模型1：猪蹄模型(M型)【模型解读】图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.1(2022·河南洛阳·统考二模)如图，AB∥CD，∠ABM=30°，∠CDM=45°，则∠BMD的度数为()A.105°B.90°C.75°D.70°2(2023春·安徽蚌埠·九年级校联考期中)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO =46°，∠OCD=88°，则∠BOC的度数为()A.116°B.124°C.134°D.135°3(2023春·四川泸州·七年级校考期末)如图所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为()A.α+β+γB.β+γ-αC.180°-α-γ+βD.180°+α+β-γ4(2023·广东深圳·校联考模拟预测)北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB ∥CD ，当人脚与地面的夹角∠CDE =60°时，求出此时上身AB 与水平线的夹角∠BAF 的度数为()A.60°B.45°C.50°D.55°5(2023春·河南驻马店·九年级专题练习)已知AB ∥CD ，∠EAF =13∠EAB ，∠ECF =13∠ECD ，若∠E =66°，则∠F 为()A.23°B.33°C.44°D.46°6(2022·浙江七年级期中)如图(1)所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”．(1)如图(2)所示，已知AB ⎳CD ，请问∠B ，∠D ，∠E 有何关系并说明理由；(2)如图(3)所示，已知AB ⎳CD ，请问∠B ，∠E ，∠D 又有何关系并说明理由；(3)如图(4)所示，已知AB ⎳CD ，请问∠E +∠G 与∠B +∠F +∠D 有何关系并说明理由．模型2：铅笔头模型图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+⋯+∠n=(n-1)180°.7(2023·广东·统考二模)如图所示，已知AB∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=()A.180°B.270°C.360°D.540°8(2023·山西吕梁·校联考模拟预测)如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若∠1=32°，∠2=62°，则∠3的度数为()A.118°B.148°C.150°D.162°9(2023·河南三门峡·校联考一模)如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知CD垂直地面上的直线DF于点D，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点C 缓慢向上抬高，AB段则一直保持水平状态上升(即AB始终平行于DF)．在该运动过程中，当∠ABC=112°时，∠BCD的度数是()A.112°B.138°C.158°D.128°10(2023春·新疆·七年级校考阶段练习)如图，如果AB∥CD，那么∠B+∠F+∠E+∠D=°．11(2022春·河北保定·七年级校考期中)如图，已知A1B∥A n C，则∠A1+∠A2+∠A3=，则∠A1+∠A2 +⋅⋅⋅+∠A n等于(用含n的式子表示)．模型3：牛角模型图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：α=β-γ.如图2，已知：AB∥DE，结论：α=β+γ-180°.12(2023·安徽滁州·校联考二模)如图，若AB∥CD，则()A.∠1=∠2+∠3B.∠1+∠3=∠2C.∠1+∠2+∠3=180°D.∠1-∠2+∠3=180°13(2023·江苏·七年级假期作业)如图，若AB ⎳CD ，则∠1+∠3-∠2的度数为14(2022·湖北洪山·七年级期中)如图，已知AB ∥CD ，P 为直线AB ，CD 外一点，BF 平分∠ABP ，DE 平分∠CDP ，BF 的反向延长线交DE 于点E ，若∠FED =a ，试用a 表示∠P 为．15(2023春·广东深圳·九年级校校考期中)已知直线AB ∥CD ，点P 为直线AB ，CD 所确定的平面内的一点，(1)问题提出：如图1，∠A =120°，∠C =130°．求∠APC 的度数：(2)问题迁移：如图2，写出∠APC ，∠A ，∠C 之间的数量关系，并说明理由：(3)问题应用：如图3，∠EAH :∠HAB =1:3，∠ECH =20°，∠DCH =60°，求∠H ∠E的值．16(2023·余干县八年级期末)已知直线AB ∥CD ，(1)如图1，直接写出∠BME 、∠E 、∠END 的数量关系为；(2)如图2，∠BME 与∠CNE 的角平分线所在的直线相交于点P ，试探究∠P 与∠E 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，∠ABM =1n ∠MBE ，∠CDN =1n∠NDE ，直线MB 、ND 交于点F ，则∠F=．∠E模型4：羊角模型图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：α=γ-β.如图2，已知：AB∥DE，结论：α+β+γ=180°.17(2023春·上海·七年级专题练习)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为．18(2022·江苏七年级期中)如图所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．则∠C等于()A.20°B.25°C.30°D.40°19(2023春·浙江·七年级专题练习)已知AB⎳CD，求证：∠B=∠E+∠D20(2023·河南·统考三模)如图，已知AB∥DE，∠ABC=150°，∠CDE=75°，则∠BCD的度数为()A.55°B.60°C.45°D.50°21(2023·河北沧州·校考模拟预测)如图，∠A=58°，∠D=122°，∠1=3∠2，∠2=25°，点P是BC上一点．(1)∠DFE的度数为；(2)若∠BFP=50°．则CE与PF(填“平行”或“不平行”)．模型5：蛇形模型(“5”字模型)基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°.图1图2如图1，已知：AB∥DE，结论：α=β+180°-γ.如图2，已知：AB∥DE，结论：α=γ+180°-β.22(2023·四川广元·统考三模)珠江流域某江段江水流向经过B、C、D三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若∠ABC=120°，∠BCD=80°，则∠CDE等于()A.50°B.40°C.30°D.20°23(2023·湖南长沙·九年级校联考期中)如图，若AB∥CD，∠α=65°，∠γ=25°，则∠β的度数是()A.115°B.130°C.140°D.150°24(2023·河南周口·校联考三模)如图，AB∥EF，∠B=100°，∠CDE=25°，则∠BCD的度数是()A.125°B.75°C.95°D.105°25(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图，AB∥CD，CD∥EF，CE平分∠BCD，若∠ABC=58°，则∠CEF 的度数为()A.131°B.141°C.151°D.161°26(2023·江西·九年级校考阶段练习)如图∠BAC=10°，∠ACD=125°，CD⊥EF于点D，将AB绕点A 逆时针旋转α，使AB∥EF，则α的最小值为．课后专项训练1(2023·山东临沂·统考二模)如图，a∥b,∠1=45°，则∠2的度数为()A.105°B.125°C.135°D.145°2(2023春·安徽·九年级专题练习)如图，已知：AB∥EF，∠B=∠E，求证：BC∥DE．在证明该结论时，需添加辅助线，则以下关于辅助线的作法不正确的是()A.延长BC交FE的延长线于点GB.连接BEC.分别作∠BCD，∠CDE的平分线CG，DHD.过点C作CG∥AB(点G在点C左侧)，过点D作DH∥EF(点H在点D左侧)3(2023·浙江台州·统考一模)如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1= 30°，∠2=50°，则∠3的度数为( )．A.130°B.140°C.150°D.160°4(2023·江苏·八年级假期作业)如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=( )．A.630°B.720°C.800°D.900°5(2023·辽宁抚顺·统考三模)如图，若AB∥CD∥EF，∠1=15°，∠2=60°，那么∠BCE=()A.120°B.125°C.130°D.135°6(2022·安徽芜湖·七年级期中)如图，AB ∥CD ，BF ,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE ，BF ∥DE ，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为A.30°B.35°C.36°D.45°7(2023·内蒙古呼伦贝尔·统考三模)如图是一款手推车的平面示意图，其中AB ∥CD ，∠1=24°，∠3=148°，则∠2的度数为()A.56B.66C.98D.1048(2023春·重庆江津·七年级校联考期中)如图，AB ⎳CD ，∠ABE =12∠EBF ，∠DCE =13∠ECF ，设∠ABE =α，∠E =β，∠F =γ，则α，β，γ的数量关系是()A.4β-α+γ=360°B.3β-α+γ=360°C.4β-α-γ=360°D.3β-2α-γ=360°9(2022·江苏七年级期末)如图，AB ∥CD ，则∠1+∠3-∠2的度数等于．10(2023·湖南长沙·校联考二模)如图所示，AB∥DE，∠1=130°，∠2=36°，则∠3=度．11(2022·四川成都·七年级期末)已知直线AB∥DE，射线BF、DG分别平分∠ABC，∠EDC，两射线反向延长线交于点H，请写出∠H，∠C之间的数量关系：．12(2022·黑龙江·七年级月考)如图，AB⎳CD，E是CD上的点，过点E作EF⎳DP，若∠PEF=∠PEH，EG平分∠DEH，∠B=152°，∠PEG=65°，则∠BPD=．13(2023·浙江·九年级专题练习)如图，已知AB∥DE，∠BCD=30°，∠CDE=138°，求∠ABC的度数．14(2023春·重庆南岸·九年级校考期中)在数学课上老师提出了如下问题：如图，∠B=160°，当∠A与∠D满足什么关系时，BC∥DE?小明认为∠D-∠A=20°时BC∥DE，他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作图与填空：15(2023春·河北廊坊·七年级校考阶段练习)(1)如图(1)AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．(2)观察图(2)，已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．(3)观察图(3)和(4)，已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．16(2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习)(1)如图①，如果AB∥CD，求证：∠APC=∠A+∠C．(2)如图②，AB∥CD，根据上面的推理方法，直接写出∠A+∠P+∠Q+∠C=．(3)如图③，AB∥CD，若∠ABP=x，∠BPQ=y，∠PQC=z，∠QCD=m，则m=(用x、y、z表示)．17(2023春·山东淄博·九年级校考期中)如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．(1)如图1，若∠BAE=30°，∠DCE=20°，则∠AEC=；如图1，若∠BAE=α，∠DCE=β，则∠AEC=；(2)如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；(3)如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由．18(2022·湖南株洲市八年级期末)已知直线a∥b，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点(不与点E，F重合)，设∠PAE=∠1，∠APB=∠2，∠PBF=∠3．(1)如图1，当点P在线段EF上运动时，试说明∠1+∠3=∠2；(提示：过点P作PM∥a)(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况，①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明．②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系(不要求证明)．19(2023·内蒙古鄂尔多斯·七年级校考期中)问题探究：如下面四个图形中，AB∥CD．(1)分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系．(2)请你从中任选一个加以说明理由．解决问题：(3)如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=°．20(2023春·湖北黄冈·七年级校考期中)如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，AD∥BE(1)求证：∠B+∠C-∠A=180°：(2)如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；(3)如图③，在(2)的前提下，且有AC∥QB，直线AQ、BC交于点P，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE=．21(2023春·广东·七年级专题练习)(1)如图1，AB∥CD，∠ABE=45°，∠CDE=21°，直接写出∠BED 的度数．(2)如图2，AB∥CD，点E为直线AB,CD间的一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，写出∠BED与∠F之间的关系并说明理由．(3)如图3，AB与CD相交于点G，点E为∠BGD内一点，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BGD=60°，∠BFD=95°，直接写出∠BED的度数．22(2023春·福建三明·七年级校考期中)探索：小明在研究数学问题：已知AB⎳CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A、∠C的数量关系．发现：在图1中，∠APC=∠A+∠C；如图5小明是这样证明的：过点Р作PQ⎳AB∴∠APQ=∠A∵PQ⎳AB，AB⎳CD．∴PQ⎳CD∴∠CPQ=∠C∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C(1)为小明的证明填上推理的依据；(2)理解：①在图2中，∠P与∠A、∠C的数量关系为；②在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为；(3)拓展：在图4中，探究∠P与∠A、∠C的数量关系，并说明理由．23(2023春·山东·七年级专题练习)如图1，直线AB⎳CD，点P在两平行线之间，点E在AB上，点F 在CD上，连接PE，PF．(1)若∠PEB=60°，∠PFD=50°，请求出∠EPF．(请写出必要的步骤，并说明理由)(2)如图2，若点P，Q在直线AB与CD之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4=．(不需说明理由，请直接写出答案)(3)如图3，在图1的基础上，作P1E平分∠PEB，P1F平分∠PFD，若设∠PEB=x°，∠PFD=y°，则∠P1= (用含x，y的式子表示)．若P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，可得∠P2；P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2 FD，可得∠P3⋯，依次平分下去，则∠Pn=．(用含x，y的式子表示)三角形中的倒角模型-平行线+拐点模型近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算(内角和定理、外角定理等)。
(完整版)平行线及其判定(证明应用题)
授课教案学员姓名：________________ 学员年级：________________ 授课教师：_________________ 所授科目：_________ 上课时间：______年____月____日（～）；共_____课时（以上信息请老师用正楷字手写）平行线及其判定（证明应用题）一．解答题（共11小题）1．已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．2．将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB；（2）求∠DFC的度数．3．如图，△ABC中，AB=AC，D是CA延长线上的一点，且∠B=∠DAM．求证：AM∥BC．4．如图，已知DF∥AC，∠C=∠D，你能否判断CE∥BD？试说明你的理由．5．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么．6．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C，求证：∠1=∠2．7．如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．8．已知：如图，AD是△ABC的平分线，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，且∠AFG=∠G．求证：GE∥AD．9．如图，CA⊥AD，垂足为A，∠C=50°，∠BAD=40°，求证：AB∥CD．10．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．求证：AB∥CD．11．如图所示，已知直线a、b、c、d、e，且∠1=∠2，∠3+∠4=180°，则a与c平行吗？为什么？2015年03月05日752444625的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共11小题）1．（2014•槐荫区二模）已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：由∠A=∠F，根据内错角相等，两直线平行，即可求得AC∥DF，即可得∠C=∠FEC，又由∠C=∠D，则可根据同位角相等，两直线平行，证得BD∥CE．解答：证明：∵∠A=∠F，∴AC∥DF，∴∠C=∠FEC，∵∠C=∠D，∴∠D=∠FEC，∴BD∥CE．点评：此题考查了平行线的判定与性质．注意内错角相等，两直线平行与同位角相等，两直线平行．2．（2013•邵阳）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB；（2）求∠DFC的度数．考点：平行线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理．专题：证明题．分析：（1）首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF；（2）利用三角形内角和定理进行计算即可．解答：（1）证明：∵CF平分∠DCE，∴∠1=∠2=∠DCE，∵∠DCE=90°，∴∠1=45°，∵∠3=45°，∴∠1=∠3，∴AB∥CF（内错角相等，两直线平行）；（2）∵∠D=30°，∠1=45°，∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°．点评：此题主要考查了平行线的判定，以及三角形内角和定理，关键是掌握内错角相等，两直线平行．3．（2010•江宁区一模）如图，△ABC中，AB=AC，D是CA延长线上的一点，且∠B=∠DAM．求证：AM∥BC．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：判别两条直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．要证明AM∥BC，只要转化为证明∠C=∠DAM即可．解答：证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=∠DAM，∴∠C=∠DAM，∴AM∥BC．点评：本题主要考查了平行线的判定，注意等量代换的应用．4．如图，已知DF∥AC，∠C=∠D，你能否判断CE∥BD？试说明你的理由．考点：平行线的判定．专题：探究型．分析：因为DF∥AC，由内错角相等证明∠C=∠FEC，又因为∠C=∠D，则∠D=∠FEC，故CE∥BD．解答：解：CE∥BD．理由：∵DF∥AC（已知），∴∠C=∠FEC（两直线平行，内错角相等），又∵∠C=∠D（已知），∴∠D=∠FEC（等量代换），∴CE∥BD（同位角相等，两直线平行）．点评：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题能有效地培养“执果索图”的思维方式与能力．5．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，试判断ED与FB的位置关系，并说明为什么．考点：平行线的判定．专题：探究型．分析：设AB与DE相交于H，若判断ED与FB的位置关系，首先要判断∠1和∠EHA的大小；由∠3=∠4可证得BD∥CF（内错角相等，两直线平行），可得到∠5=∠BAF；已知∠5=∠6，等量代换后发现AB∥CD，即∠2=∠EHA，由此可得到∠1=∠EHA，根据同位角相等，两直线平行即可判断出BF、DE的位置关系．解答：解：BF、DE互相平行；理由：如图；∵∠3=∠4，∴BD∥CF，∴∠5=∠BAF，又∵∠5=∠6，∴∠BAF=∠6，∴AB∥CD，∴∠2=∠EHA，又∵∠1=∠2，即∠1=∠EHA，∴BF∥DE．另解：BF、DE互相平行；理由：如图；∵∠3=∠4，∴BD∥CF，∴∠5=∠BAF，∵∠5=∠6，∴∠BAF=∠6，∵△BFA、△DEC的内角和都是180°∴△BFA=∠1+∠BFA+BAF；△DEC=∠2+∠4+∠6∵∠1=∠2；∠BAF=∠6∴∠BFA=∠4，∴BF∥DE．点评：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．6．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C，求证：∠1=∠2．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：先由已知证明AD∥EF，再证明1∠1=∠4，∠2=∠4，等量代换得出∠1=∠2．解答：证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），∴AD∥EF（垂直于同一条直线的两直线平行），∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等），又∵∠3=∠C（已知），∴AC∥DG（同位角相等，两直线平行），∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），∴∠1=∠2（等量代换）．点评：此题的关键是理解平行线的性质及判定．①两直线平行，同位角相等．②两直线平行，内错角相等．③同位角相等，两直线平行．④内错角相等，两直线平行．7．如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．考点：平行线的判定．专题：推理填空题．分析：由∠A=∠F，根据内错角相等，得两条直线平行，即AC∥DF；根据平行线的性质，得∠C=∠CEF，借助等量代换可以证明∠D=∠CEF，从而根据同位角相等，证明BD∥CE．解答：解：∵∠A=∠F（已知），∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行），∴∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等），∵∠C=∠D（已知），∴∠D=∠CEF（等量代换），∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）．点评：此题综合运用了平行线的判定及性质，比较简单．8．已知：如图，AD是△ABC的平分线，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，且∠AFG=∠G．求证：GE∥AD．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：首先根据角平分线的性质可得∠BAC=2∠DAC，再根据三角形外角与内角的关系可得∠G+∠GFA=∠BAC，又∠AFG=∠G．进而得到∠BAC=2∠G，从而得到∠DAC=∠G，即可判定出GE∥AD．解答：证明：∵AD是△ABC的平分线，∴∠BAC=2∠DAC，∵∠G+∠GFA=∠BAC，∠AFG=∠G．∴∠BAC=2∠G，∴∠DAC=∠G，∴AD∥GE．点评：此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握三角形内角与外角的关系，以及平行线的判定定理．9．如图，CA⊥AD，垂足为A，∠C=50°，∠BAD=40°，求证：AB∥CD．考点：平行线的判定．专题：证明题．分析：利用直角三角形中两锐角互余得出∠D=40°，再利用内错角相等，两直线平行的判定证明即可．解答：证明：∵CA⊥AD，∴∠C+∠D=90°，∴∠C=50°，∴∠D=40°，∵∠BAD=40°，∴∠D=∠BAD，∴AB∥CD．点评：本题主要考查了平行线的判定和直角三角形中两锐角互余，比较简单．10．如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．求证：AB∥CD．考点：平行线的判定；角平分线的定义．专题：证明题．分析：运用角平分线的定义，结合图形可知∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2，又已知∠1+∠2=90°，可得同旁内角∠ABD和∠BDC互补，从而证得AB∥CD．解答：证明：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC（已知），∴∠ABD=2∠1，∠BDC=2∠2（角平分线定义）．∵∠1+∠2=90°，∴∠ABD+∠BDC=2（∠1+∠2）=180°．∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．点评：灵活运用角平分线的定义和角的和差的关系是解决本题的关键，注意正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角．11．如图所示，已知直线a、b、c、d、e，且∠1=∠2，∠3+∠4=180°，则a与c平行吗？为什么？考点：平行线的判定；平行公理及推论．专题：探究型．分析：根据内错角相等，两直线平行可知a∥b，由同旁内角互补，两直线平行可知b∥c，根据如果两条直线都与第三条直线平行那么这两条直线平行得出结论．解答：解：平行．理由如下：∵∠1=∠2，∴a∥b（内错角相等，两直线平行），∵∠3+∠4=180°，∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行），∴a∥c（平行于同一直线的两直线平行）．点评：本题很简单，考查的是平行线的判定定理和平行公理的推论．内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行那么这两条直线平行．。
平行线与三角形内角和的综合应用(讲义)
平行线与三角形内角和的综合应用（讲义）➢ 课前预习1. 如图，在△ABC 中，如果∠C =90°，∠A =30°，那么∠B =_____，∠A +∠B =_______，也就是∠A 与∠B ________（填“互余”、“互补”）．ABC2. 如图，已知∠AOC =∠BOD =90°，求证：∠AOD =∠BOC ．DCB OA证明：如图，∵∠AOC =∠BOD =90° （_______________________） ∴∠AOD =∠BOC （_______________________）➢ 知识点睛1. 三角形的内角和等于__________．已知：如图，△ABC ．求证：∠BAC +∠B +∠C =180°．A MBC12N证明：_______，___________________________． ∵MN ∥BC （ 已作 ） ∴∠B =∠1，∠C =∠2（_______________________）∵∠BAC+∠1+∠2=180°（_______________________） ∴∠BAC +∠B +∠C =180°（_______________________）2. 直角三角形两锐角___________．➢ 精讲精练1. 如图，在△ABC 中，∠A =50°，∠C =72°，BD 是△ABC 的一条角平分线，则∠ABD=__________．DAC FED C BA第1题图 第2题图2. 如图，在△ABC 中，∠B =∠C ，E 是AC 上一点，ED ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别为D ，F ．若∠AED =140°，则∠C =_____，∠BDF =______，∠A =______．3. 如图，AE ∥BD ，∠1=110°，∠2=30°，则∠C =______．21EDCB A FDAEB第3题图 第4题图4. 如图，AD ∥BC ，AB ∥CD ，E 在CB 的延长线上，EF 经过点A ，∠C =50°，∠FAD =60°，则∠EAB =_______．5. 如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ．若∠A =75°，∠ADE =35°，则 ∠EDC =_________．6. 如图，在△ABC 中，∠B =40°，∠BAC =68°，AD ⊥BC 于点D ，求∠DAC 的度数．解：如图，在△ABC 中，∠B =40°，∠BAC =68°（已知） ∴∠C =180°-______-______ =180°-_____-_____=______（_______________________） ∵AD ⊥BC （已知）∴∠ADC =90°（垂直的定义） ∴∠C +_____=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠DAC =90°-______=90°-______=______（_______________________）7. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ．求证：∠A =∠BCD ．证明：如图， ∵∠ACB =90°（已知）∴∠A +_____=90°（直角三角形两锐角互余） ∵CD ⊥AB （已知）ABDABCDEDCBA∴∠CDB =90°（垂直的定义）∴_____+∠B =90°（______________________） ∴∠A =∠BCD （______________________）8. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 是边AC 上一点，DE ∥BC ，∠1=60°，求∠A 的度数．ADE1BC9. 如图，BD ∥AE 交△ABC 的边AC 于点F ，∠CAE =95°，∠CBD =30°，求∠C 的度数．AB CDEF10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交BC于点F．求证：∠1=∠2．【参考答案】➢课前预习1.60°，90°，互余2.已知，同角的余角相等➢知识点睛1.180°如图，过点A作MN∥BC两直线平行，内错角相等平角的定义等量代换2.互余➢精讲精练1.29°21FEDCB A2.50°，40°，80°3.40°4.70°5.35°6.解：如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=68°（已知）∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-68°=72°（三角形的内角和等于180°）∵AD⊥BC（已知）∴∠ADC=90°（垂直的定义）∴∠C+∠DAC=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠DAC=90°-∠C=90°-72°=18°（等式的性质）7.证明：如图，∵∠ACB=90°（已知）∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∵CD⊥AB（已知）∴∠CDB=90°（垂直的定义）∴∠BCD+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠A=∠BCD（同角的余角相等）8.解：如图，∵DE∥BC（已知）∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等）∵∠1=60°（已知）∴∠B=60°（等量代换）∵∠C=90°（已知）∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠A=90°-∠B=90°-60°=30°（等式的性质）9.解：如图，∵BD∥AE（已知）∴∠CFD=∠CAE（两直线平行，同位角相等）∵∠CAE=95°（已知）∴∠CFD=95°（等量代换）∴∠CFB =180°-∠CFD=180°-95°=85°（平角的定义）在△CBF 中，∠CBD =30°，∠CFB =85°（已知） ∴∠C =180°-∠CBD -∠CFB =180°-30°-85°=65°（三角形的内角和等于180°） 10. 证明：如图，∵∠ACB =90°（已知）∴∠CAF +∠2=90°（直角三角形两锐角互余） ∵CD ⊥AB （已知）∴∠EDA =90°（垂直的定义）∴∠DAE +∠AED =90°（直角三角形两锐角互余） ∵AF 平分∠CAB （已知）∴∠CAF =∠DAE （角平分线的定义） ∴∠2=∠AED （等角的余角相等） ∵∠1=∠AED （对顶角相等） ∴∠1=∠2（等量代换）平行线与三角形内角和的综合应用（随堂测试）1. 已知：如图，AB ∥CD ，∠ABF =120°，CE ⊥BF ，垂足为E ，则∠ECF =___________．ABC D EF2. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =40°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ∥BA 交AC 于点E ，∠ADE =40°，求∠C 的度数．EDC BA【参考答案】1.30°2.解：如图，∵DE∥BA（已知）∴∠BAD=∠ADE（两直线平行，内错角相等）∵∠ADE=40°（已知）∴∠BAD=40°（等量代换）∵AD平分∠BAC（已知）∴∠BAC=2∠BAD=2×40°=80°（角平分线的定义）在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=80°（已知）∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-80°=60°（三角形的内角和等于180°）。
人教版七年级上第五章相交线与平行线综合练习题(含解析)
人教版七年级上第五章相交线与平行线综合练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列说法错误的是（）A．两个互余的角都是锐角B．锐角的补角大于这个角本身C．互为补角的两个角不可能都是锐角D．锐角大于它的余角2．下列说法中，正确的有（）①两条射线组成的图形叫角；①两点之间，直线最短；①同角（或等角）的余角相等；①连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．A．1个B．2个C．3个D．4个3．直线AB∥CD，且AD①BC于点E，若①ABE＝32°，则①ADC的度数为（）A．68°B．58°C．48°D．68°⊥，OG平分①EOF，若4．如图，直线AB，CD交于点O，OE平分①AOC，OF AB∠=，则①AOG等于（）48BOCA．10B．12︒C．14D．165．下列说法中，正确的是（）A．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线B．P是直线l外一点，A，B，C分别是l上的三点，已知P A=1，PB=2，PC=3，则点P 到直线l的距离一定是1C．相等的角是对顶角D．钝角的补角一定是锐角6．如图所示，下列说法错误的是（）A．①1和①3是同位角B．①1和①5是同位角C．①1和①2是同旁内角D．①5和①6是内错角7．如图，在①ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若①B=40°，则①BDE的度数为（）A．40°B．50°C．140°D．150°8．如图，已知点B、D、C、F在同一条直线上，AB EF，AB＝EF，AC DE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的长等于（）A．1B．32C．2D．39．下列语句中，是命题的是（）A．两个相等的角是对顶角B．在直线AB上任取一点C C．用量角器量角的度数D．直角都相等吗？10．下列汽车标志中可以看作是由某图案平移得到的是（）A．B．C．D．二、填空题11．如图，直线AB和CD交于O点，OD平分①BOF，OE ①CD于点O，①AOC=40︒，则①EOF=_______．12．如图，直线a①b，直线c与直线a，b相交，若①1＝54°，则①3＝________度．13．如图，将一副直角三角尺的直角顶点C 叠放在一起，若CE、CD分别平分①ACD 与①ECB，则计算①ECD=___________度．14．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使C落在点C'处，且BC'平分①ABC，AC'平分①BAC的外角，若①1＝68°，①2＝112°，则①BC A'＝______15．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°.甲、乙两地同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西________度．16．如图，把长方形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若160∠=︒，则∠=AEF _______．17．下列说法中：（1）不相交的两条直线叫做平行线；（2）经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（3）垂直于同一条直线的两直线平行；（4）直线//a b ，//b c ，则//a c ；（5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等．其中正确的是________．18．命题“正数的平方根的和为零”，写成“如果……，那么……”是____．19．如图，在一块长为a 米、宽为b 米的长方形地上，有一条弯曲的柏油马路，马路的任何地方的水平宽度都是2米，其他部分都是草地，则草地的面积为__________平方米．20．将直角梯形ABCD 平移得梯形EFGH ，若10,2,4HG MC MG ===，则图中阴影部分的面积为_________平方单位．三、解答题21．如图，已知①D＝①B，DF①AC，BE①AC．(1)求证：AD①BC；(2)若AE＝CF，求证：①AFD①①CEB．22．请完成下面的推理过程：如图，已知①D＝108°，①BAD＝72°，AC①BC于C，EF①BC于F．求证：①1＝①2．证明：①①D＝108°，①BAD＝72°（已知）①①D+①BAD＝180°AB CD（）①//①①1＝（）又①AC①BC于C，EF①BC于F（已知）①EF//（）①①2＝（）①①1＝①2（）23．(1)【自主学习】填空：如图1，点C 是MON ∠的平分线OP 上一点，点A 在OM 上，用圆规在ON 上截取OB OA =，连接BC ，可得OAC ∆≅ ，其理由根据是 ；(2)【理解运用】如图2，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断BC 和AC 、AD 之间的数量关系并写出证明过程．(3)【拓展延伸】如图3，在ABC ∆中，60A ∠=︒，CD ，BE 分别是ACB ∠，ABC ∠的平分线，CD ，BE 交于点F ，若3CE =，2BD =，请直接写出BC 的长．24．将正方形的四个顶点用线段连接，什么样的连法最短？研究发现，并非对角线最短，而是如图的连法最短（即用线段AE ，DE ，EF ，BF ，CF 把四个顶点连接起来）已知图中30DAE ADE ∠=∠=︒，120AEF BFE ∠=∠=︒，你能证明此时AB EF ∥吗？25．已知：如图，在ABC 中，60A ∠=︒，70C ∠=︒，点D ，E 分别在AB 和AC 上，且DE BC ∥．求证：50ADE ∠=︒．参考答案：1．D【分析】根据补角、余角的定义逐个判断即可得出结论．【详解】解：A、两角互余，和为90°，两角均为锐角，故A不符合题意B、两角互补，和为180°，从而锐角的补角必为钝角，故B不符合题意C、两角互补，和为180°，两锐角的和必小于180°，故C不符合题意D、两角互余，和为90°，从而锐角不一定大于它的余角，也可以小于或者等于它的余角，故D不符合题意故选：D．【点睛】本题主要考查了互为补角、互为余角的定义，解题的关键是熟练掌握互为补角、互为余角的定义．2．B【分析】由角的概念判断①，由线段的性质判断①，由补角与余角的性质判断①，由两点间的距离概念判断①，从而可得答案．【详解】解：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，故①说法错误，不符合题意，两点之间，线段最短，故①说法错误，不符合题意；同角（或等角）的余角相等，故①说法正确，符合题意；连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离，故①说法正确，符合题意；故选：.B【点睛】本题考查的是角的概念，线段的性质，补角与余角的性质，两点间的距离，掌握以上知识是解题的关键．3．B【分析】根据AB∥CD，可得①ABE=①BCD，再由直角三角形两锐角互余，可求出答案．【详解】解：①AB∥CD，且①ABE＝32°，①①ABE=①BCD=32°；①AD①BC于点E，①①CED=90°，①①ECD＋①EDC=90°，①①ADC=58°，故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质，垂直的定义，熟练运用性质转化角度关系是解题的关键．4．B【分析】分别求出①AOE和①EOG，然后根据①AOG＝①EOG﹣①AOE计算即可得解．【详解】解：①①BOC＝48°，①①AOC＝180°﹣48°＝132°，①OE平分①AOC，①①AOE＝①EOC＝12①AOC＝1132662⨯︒=︒，①OF①AB，①①BOF＝90°，①①EOF＝360°﹣①EOC﹣①BOC﹣①BOF ＝360°﹣66°﹣48°﹣90°＝156°①OG平分①EOF，①①EOG＝①FOG＝12EOF∠＝11562⨯︒＝78°，①①AOG＝①EOG﹣①AOE＝78°﹣66°＝12°，故选：B．【点睛】本题考查了角的计算，主要利用了角平分线的定义，熟记概念并准确识图，理清图中各个角度之间的关系是解题的关键．5．D【分析】分别根据角平分线的定义，点到直线的距离，对顶角定义，钝角、锐角及补角的概念逐项判断即可．【详解】A.分成的两个角不一定相等，不符合题意；B.P A不一定与l垂直，不符合题意；C.相等的两个角不一定是对顶角，不符合题意；D.钝角的补角一定是锐角，符合题意．故选D．【点睛】本题考查了角平分线的定义，点到直线的距离，对顶角定义，钝角、锐角及补角的概念，熟悉概念是解题的关键．6．B【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截的两直线的同一侧的角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间的两个角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两条直线之内的两角叫做同旁内角，可得答案．【详解】解：A、①1和①3是同位角，故此选项不符合题意；B、①1和①5不存在直接联系，故此选项符合题意；C、①1和①2是同旁内角，故此选项不符合题意；D、①1和①6是内错角，故此选项不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了同位角、内错角、用旁内角，利用同位角、内错角、同旁内角的意义是解题关键．7．C【分析】由条件可知DE是①ABC的中位线，即DE①BC，根据平行线的性质即可求出①BDE 的度数为140°．【详解】解：①点D、E分别是AB、AC的中点，①DE是①ABC的中位线，①DE∥BC，即：①B+①BDE=180°，①①BDE=180°-①B=180°-40°=140°．故选：C．【点睛】本题主要考查的是三角形中位线的性质，以及平行线的性质的应用，掌握中位线的性质是解题的关键．8．B【分析】由AB EF得①B＝①F，由AC DE得①ACB＝①EDF，从而证明①ABC①①EFD得BC＝FD，即可求得BD的长．【详解】解：①AB EF，①①B＝①F，①AC DE，①①ACB＝①EDF，在①ABC和①EFD中，ACB EDF B FAB EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①ABC ①①EFD （AAS ），①BC ＝FD ，①BC ﹣DC ＝FD ﹣DC ，①BD ＝FC ，①BD ＝12（BF ﹣DC ）＝12（6﹣3）＝32． 故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形全的的判定及性质，熟练掌握三角形全的的判定方法是解题的关键．9．A【分析】根据命题的定义逐一判断即可．【详解】解：A ．“两个相等的角是对顶角”做出了判断，是命题；B ．“在直线AB 上任取一点C ”没有做出判断，不是命题；C ．“用量角器量角的度数”没有做出判断，不是命题；D ．“直角都相等吗？”没有做出判断，不是命题；故选：A ．【点睛】此题主要考查了命题的含义和应用，解答此题的关键是要明确：判断一件事情的语句叫命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成．10．D【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，结合图案，对选项一一分析，排除错误答案．【详解】解：A 、是一个旋转对称图形，不能由平移得到，故此选项不合题意；B 、是一个对称图形，不能由平移得到，故此选项不合题意；C 、是一个旋转对称图形，不能由平移得到，故此选项不合题意；D 、图案自身的一部分沿着直线运动而得到，是平移，故此选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，注意分清图形的平移与旋转或翻转．11．130°【分析】根据对顶角性质可得①BOD =①AOC=40°．根据OD 平分①BOF ，可得①DOF =①BOD =40°，根据OE ①CD ，得出①EOD =90°，利用两角和得出①EOF =①EOD +①DOF =130°即可．【详解】解：①AB 、CD 相交于点O ，①①BOD =①AOC=40°．①OD 平分①BOF ，①①DOF =①BOD =40°，①OE ①CD ，①①EOD =90°，①①EOF =①EOD +①DOF =130°．故答案为130°．【点睛】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键．12．54【分析】根据对顶角相等和平行线的性质“两直线平行同位角相等”，通过等量代换求解．【详解】因为a①b ，所以23∠=∠，因为12∠∠，是对顶角， 所以12∠=∠，所以31∠=∠，因为154∠=︒，所以354∠=︒，故答案为：54．【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等，两直线平行同位角相等、内错角相等，加以灵活运用求解相关角的度数是解题关键．13．45【分析】由题意可知90ACD ∠=︒，根据角平分线的性质即可求解．【详解】解：由题意可知90ACD ∠=︒，又①CE 平分ACD ∠ ①1=452ECD ACD ∠=∠︒ 故答案为45【点睛】此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的有关性质是解题的关键． 14．11°##11度【分析】连接CC '，先根据三角形外角的性质和折叠的性质可得①ACB ＝22°，由角平分线的定义和三角形外角的性质可得结论．【详解】解：如图，连接CC '，由折叠得：CE ＝C E '，DC ＝DC '，①DCE ＝①DC E '，①ECC EC C ''∠=∠，DCC DC C ''∠=∠，①①1＝DCC DC C ''∠+∠＝68°，①2＝ECC EC C ''∠+∠＝112°，①DCC '∠＝34°，ECC '∠＝56°，①①ACB ＝56°﹣34°＝22°，①BC '平分①ABC ，AC '平分①BAC 的外角，①①FAC '12=①F AC ，①ABC '12=①ABC ， ①①BC A '＝①FAC '﹣①ABC '12=①F AC 12-①ABC 12=①ACB ＝11°． 故答案为：11°．【点睛】本题主要考查角平分线的定义、图形折叠的性质、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解决本题的关键．15．48°【详解】先根据题意画出图形，利用平行线的性质解答即可．解：如图，①AC①BD ，①1=48°，①①2=①1=48°，根据方向角的概念可知，乙地所修公路的走向是南偏西48°．16．120︒【分析】如图，先求解120,BFB '∠=︒再利用轴对称的含义求解,BFE ∠ 再利用平行线的性质可得答案. 【详解】解：如图， 160∠=︒，则18060120,BFB '∠=︒-︒=︒由对折可得：160,2BFE BFB '∠=∠=︒ 长方形ABCD ,//,AD BC ∴=180120,AEF BFE ∴∠︒-∠=︒故答案为：120.︒【点睛】本题考查的是长方形的性质，邻补角的定义，轴对称的含义，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键.17．（4）【分析】根据平行线的定义，平行线的性质，平行公理的推论解答．【详解】（1）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故该项错误；（2）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故该项错误；（3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故该项错误；（4）直线//a b ，//b c ，则//a c ，故该项正确；（5）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该项错误．故选：（4）．【点睛】此题考查判断语句，熟记平行线的定义，平行线的性质，平行公理的推论是解题的关键．18．如果一个数为正数，那么它的平方根的和为0．【分析】根据命题都可以写成“如果”、“那么”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论，从而得出答案．【详解】如果一个数为正数，那么它的平方根的和为0．故答案为如果一个数为正数，那么它的平方根的和为0．【点睛】此题考查了命题与定理，解题的关键是了解“如果”后面是题设，“那么”后面是结论． 19．（ab ﹣2b ）【分析】根据图形的特点，可以把小路的面积看作是一个底是2米，高是b 米的平行四边形，根据平行四边形的面积＝底×高，长方形的面积＝长×宽，用长方形的面积减去小路的面积即可．【详解】解：由题可得，草地的面积是(ab ﹣2b )平方米．故答案为：(ab ﹣2b )．【点睛】本题考查了平移的实际应用．化曲为直是解题的关键．20．36【分析】根据图形可知图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的面积减去梯形EFMD 的面积，恰好等于梯形EFGH 的面积减去梯形EFMD 的面积．【详解】根据平移的性质得S 梯形ABCD =S 梯形EFGH ，DC = HG = 10，MC = 2，MG = 4，∴DM = DC - MC = 10 - 2 = 8，∴S 阴影= S 梯形ABCD -S 梯形EFMD=S 梯形EFGH -S 梯形EFMD=S 梯形HGMD =()12DM HG MG + =12×(8+10)×4= 36．故答案为：36．【点睛】主要考查了梯形的性质和平移的性质，要注意平移前后图形的形状和大小不变，本题的关键是能得到：图中阴影部分的面积等于梯形ABCD 的面积减去梯形EFMD 的面积，恰好等于梯形EFGH 的面积减去梯形EFMD 的面积．21．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）证明①A ＝①C ，根据内错角相等，两直线平行即可进行证明；（2）根据AAS 即可证明①AFD ①①CEB ．（1）证明：①DF ①AC ，BE ①AC ．①①AFD ＝90°，①BEC ＝90°，①①D ＝①B ，①①A ＝①C ，①AD BC ∥；（2）①AE ＝CF ，①AE ﹣EF ＝CF ﹣EF ，①AF ＝CE ，在①AFD 和①CEB 中，D B A C AF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①AFD ①①CEB （AAS ）．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和三角形全等的判定，熟练掌握平行线的性质和三角形的判定定理是解题的关键．22．见解析【分析】由直线相交及平行的相关定理性质即可得到答案．【详解】解：①①D ＝108°，①BAD ＝72°（已知）①①D +①BAD ＝180°①//AB CD （ 同旁内角互补，两直线平行）①①1＝3∠（两直线平行，内错角相等）又①AC ①BC 于C ，EF ①BC 于F （已知）①EF //AC （垂直于同一直线的两条直线平行）①①2＝3∠（两直线平行，同位角相等）①①1＝①2（等量代换）【点睛】本题考查直线相交及平行的相关定理性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 23．(1)OBC ∆，SAS(2)BC AC AD =+，证明见解析(3)5【分析】（1）由角平分线的定义得出AOC BOC ∠=∠，根据SAS 可证明OAC OBC ∆≅∆； （2）先截取CE CA =，连接DE ，根据SAS 判定CAD CED ∆≅∆，得出AD DE =，60A CED ∠=∠=︒，AC CE =，进而得出结论BC AC AD =+；（3）在BC 上取一点M ，使CM CE =，证明()CEF CMF SAS ∆≅∆，由全等三角形的性质得出60CFE CFM ∠=∠=︒，证明()FBM FBD ASA ∆≅∆，由全等三角形的性质得出BM BD =，则可求出答案．（1） 解：点C 是MON ∠的平分线OP 上一点，AOC BOC ∠=∠∴，在OAC ∆和OBC ∆中，OA OB AOC BOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OAC OBC SAS ∴∆≅∆，故答案为：OBC ∆；SAS ；（2）BC AC AD =+．证明：在CB 上截取CE CA =，CD 平分ACB ∠，ACD BCD ∴∠=∠，在ACD ∆和ECD ∆中，AC CE ACD ECD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD ECD SAS ∴∆≅∆，60CAD CED ∴∠=∠=︒，AD=DE ，90ACB ∠=︒，30B ∴∠=︒，30EDB ∴∠=︒，即EDB B ∠=∠，DE EB ∴=，BC CE BE =+，BC AC DE ∴=+，BC AC AD ∴=+．（3）在BC 上取一点M ，使CM CE =，在ABC ∆中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，60A ∠=︒，180120ABC ACB A ∴∠+∠=︒-∠=︒，1180()180()1202BFC BCF CBF ACB ABC ∴∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠=︒， 60CFE ∴∠=︒，60BFD CFE ∴∠=∠=︒， CD 平分ACB ∠，ECF MCF ∴∠=∠，在CEF ∆和CMF ∆中，CE CM ECF MCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CEF CMF SAS ∴∆≅∆，60CFE CFM ∴∠=∠=︒，60BFM BFC CFM ∴∠=∠-∠=︒，60BFM BFD ∴∠=∠=︒， BE 是ACB ∠的平分线，FBM FBD ∴∠=∠，在FBM ∆和FBD ∆中，BFM BFD BF BF FBM FBD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()FBM FBD ASA ∴∆≅∆，BM BD ∴=，325BC CM BM CE BD ∴=+=+=+=．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的性质以及等腰三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据线段的和差关系进行推导．24．见解析【分析】根据正方形的性质可得90DAB ∠=︒，结合已知条件可得60EAB ∠=︒， 由已知条件120AEF ∠=︒，进而根据同旁内角互补，两直线平行，即可证明AB EF ∥． 【详解】证明：四边形ABCD 是正方形，∴90DAB ∠=︒，30DAE ∠=︒，903060BAE ∴∠=︒-︒=︒，120AEF ∠=︒，180AEF BAE ∴∠+∠=︒，∴AB EF ∥．【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 25．见解析【分析】根据三角形内角和定理求得50B ∠=︒，根据平行线的性质求得ADE B ∠=∠，进而即可证明50ADE ∠=︒．【详解】在ABC 中，①60A ∠=︒，70C ∠=︒ （已知），①18050B A C ∠=︒-∠-∠=︒（三角形内角和定理）．又①DE BC ∥（已知），①ADE B ∠=∠（两直线平行，同位角相等）．①50ADE ∠=︒（等量代换）．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．。
初中几何43模型解题 模型【04】 笔尖型(附解析)
模型【04】笔尖型【模型分析】模型二“铅笔”模型点P 在EF 右侧，在AB 、CD 部“铅笔”模型结论1：若AB ∥CD ，则∠P +∠AEP +∠PFC =360°结论2：若∠P +∠AEP +∠PFC =360°，则AB ∥CD 【经典例题】例1．（2020·广西钦州市·七年级期末）如图，已知//AB DE ，则123∠+∠+∠的度数是（）A ．180︒B ．270︒C ．360︒D ．540︒【分析】由题意过点C 作CF //AB ，可得CF //ED ，进而利用平行线性质进行分析计算即可【解析】过点C 作CF //AB ，∵CF //AB ，//AB DE ，∴CF //ED ，∴∠1+∠ACF =180°，∠FCD +∠3=180°∵∠2=∠FCD +∠ACF ，∴123∠+∠+∠=∠1+∠ACF +∠FCD +∠3=180°+180°=360°，选C【小结】本题考查平行线的性质，注意掌握两直线平行时，巧妙构造辅助线，熟练运用平行线的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．例2．（2020·山西临汾市·七年级期末）如图，一环湖公路的AB段为东西方向，经过四次拐弯后，又变成了∠+∠+∠+∠的度数是______东西方向的FE段，则B C D E【分析】分别过点C，D作AB的平行线CG，DH，进而利用同旁内角互补可得∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E的大小【解析】如图，根据题意可知：AB∥EF分别过点C，D作AB的平行线CG，DH所以AB∥CG∥DH∥EF则∠B＋∠BCG＝180°，∠GCD＋∠HDC＝180°，∠HDE＋∠DEF＝180°∴∠B＋∠BCG＋∠GCD＋∠HDC＋∠HDE＋∠DEF＝180°×3＝540°∴∠B＋∠BCD＋∠CDE＋∠E＝540°【小结】考查了平行线的性质，解题的关键是作辅助线，利用平行线的性质计算角的大小．例3．（2020·河北邢台市·八年级月考）如图1，四边形MNBD 为一张长方形纸片．（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（BAE AEC ECD ∠∠∠、、），则BAE AEC ECD ∠+∠+∠=__________°．（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（BAE AEF EFC FCD ∠∠∠∠、、、），则BAE AEF EFC FCD ∠+∠+∠+∠=__________°．（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（BAE AEF EFG FGC GCD ∠∠∠∠∠、、、、），则BAE AEF EFG FGC GCD ∠+∠+∠+∠+∠=___________°．（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n 刀，剪出()1n +个角，那么这()1n +个角的和是____________°．【分析】（1）过点E 作EH ∥AB ，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍（2）分别过E 、F 分别作AB 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍（3）分别过E 、F 、G 分别作AB 的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍（4）根据前三问个的剪法，剪n 刀，剪出n +1个角，那么这n +1个角的和是180n 度【解析】（1）过E 作EH ∥AB （如图②）∵原四边形是长方形∴AB ∥CD又∵EH ∥AB∴CD ∥EH （平行于同一条直线的两条直线互相平行）∵EH ∥AB∴∠A +∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵CD ∥EH∴∠2+∠C =180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°又∵∠1+∠2=∠AEC∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度【小结】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．【巩固提升】1．（2020·重庆南开中学七年级期末）如图，直线//m n ，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，点A 落在直线m 上，BC 与直线n 交于点D ，若2130∠=︒，则1∠的度数为（）.A ．30°B ．40°C ．50°D ．65°【分析】过点B 作直线//l m ，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案．【解析】如图，过点B 作直线//l m ，∵直线m //n ，//l m ，∴//l n ，∴∠2+∠3=180°，∵∠2=130°，∴∠3=50°，∵∠B =90°，∴∠4=90°-50°=40°，∵//l m ，∴∠1=∠4=40°，选B【小结】本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键．2．（2016·浙江杭州市·七年级期中）如图所示，若AB ∥EF ，用含α、β、γ的式子表示x ，应为（）A ．αβγ++B ．βγα+-C ．180αγβ︒--+D ．180αβγ︒++-【分析】过C 作CD ∥AB ，过M 作MN ∥EF ，推出AB ∥CD ∥MN ∥EF ，根据平行线的性质得出α+∠BCD =180°，∠DCM =∠CMN ，∠NMF =γ，求出∠BCD =180°-α，∠DCM =∠CMN =β-γ，即可得出答案．【解析】过C 作CD ∥AB ，过M 作MN ∥EF ，∵AB ∥EF ，∴AB ∥CD ∥MN ∥EF ，∴α+∠BCD =180°，∠DCM =∠CMN ，∠NMF =γ，∴∠BCD =180°-α，∠DCM =∠CMN =β-γ，∴x =∠BCD +∠DCM =180αγβ︒--+，故选：C ．【小结】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．3．（2017·上海长宁区·七年级期末）如图，已知AB CD ∥，那么A E F C ∠+∠+∠+∠=_______度．【分析】分别过E 、F 作AB 的平行线，运用平行线的性质求解．【解析】作EM ∥AB ，FN ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EM ∥FN ∥CD ．∴∠A +∠AEM =180°，∠MEF +∠EFN =180°，∠NFC +∠C =180°，∴∠A +∠AEF +∠EFC +∠C =540°．故答案为540°．【小结】此题考查平行线的性质，解题关键在于作辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系．4．（2020·辽宁大连市·七年级期末）阅读下面材料，完成（1)～（3）题．数学课上，老师出示了这样—道题：如图1，已知//,AB CD 点,E F 分别在,AB CD 上，,160EP FP ⊥∠=︒．求2∠的度数．同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：小明：“如图2，通过作平行线，发现13,24∠=∠∠=∠，由,EP FP ⊥可求出2∠的度数．”小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得234,∠=∠=∠也能求出2∠的度数．”小华：∵如图4，也能求出2∠的度数．”(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出2∠的度数为_________°；老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：(3)如图，//AB CD ，点,E F 分别在AB CD ，上，FP 平分,,EFD PEF PDF ∠∠=∠若,EPD a ∠=请探究CFE ∠与PEF ∠的数量关系（(用含α的式子表示)，并验证你的结论．【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可；（2）过点Р作//PQ AC ，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP ⊥FP 可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，进而可得答案；（3）设,CFE x PEF PDF y ∠=∠=∠=，过点P 作//PQ AB ，根据平行线的性质可得180,BEP EPQ CFE FEB x ∠+∠=︒∠=∠=，PDF DPQ ∠=∠，进而根据角的和差关系即可得答案．（微信公众号：数学三剑客）【解析】（1）由图中虚线可知P Q//AC ，∴小明同学辅助线的做法为过点Р作//PQ AC ，（2）如图2，过点Р作//PQ AC ，∵AB //CD ，∴P Q//AB //CD ，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵EP ⊥FP ，∴∠EPF =∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=60°，∴∠2=30°，（3）如图，设,CFE x PEF PDF y ∠=∠=∠=，过点P 作//PQ AB ，180,BEP EPQ CFE FEB x∴∠+∠=︒∠=∠=//,AB CD //,PQ CD ∴PDF DPQ∴∠=∠DPQ EHF PDF y∴∠=∠=∠=∵CFE FEB x FEP BEP∠=∠==∠+∠()180x y a y ∴=+-+2180x y α∴-=-，即2180CFE PEF a ∠-∠=- ．【小结】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．5．（2020·山西吕梁市·七年级期末）综合探究：已知//AB CD ，点M 、N 分别是AB 、CD 上两点，点G 在AB 、CD 之间，连接MG 、NG ．（1）如图1，若GM GN ⊥，求AMG CNG +∠∠的度数；（2）如图2，若点P 是CD 下方一点，MG 平分BMP ∠，ND 平分GNP ∠，已知40BMG ∠=︒，求MGN MPN ∠+∠的度数．【分析】（1）过G 作//GH AB ，根据平行线的传递性、两直线平行内错角相等解题；（2）过G 作//GK AB ，过点P 作//PQ AB ，根据两直线平行，内错角相等性质解得40MGK BMG ∠=∠=︒，再根据角平分线性质，求得80BMP ∠=︒，最后再用平行线定理解题，证明QPN DNP ∠=∠，进而计算MGN MPN ∠+∠的值即可．【解析】（1）如图1，过G 作//GH AB ，//AB CD ，////GH AB CD∴AMG HGM ∴∠=∠，CNG HGN=∠∠MG NG⊥ 90MGN MGH NCH AMG CNG ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒图1（2）如图2，过G 作//GK AB ，过点P 作//PQ AB 设GND α∠=//GK AB ，//AB CD ，//GK CD∴KGN GND α∴∠=∠=，//GK AB ，40BMG ∠=︒，40MGK BMG ∴∠=∠=︒MG 平分BMP ∠，ND 平分GNP ∠，40GMP BMG ∴∠=∠=︒80BMP ∴∠=︒，//PQ AB ，80MPQ BMP ∴∠=∠=︒ND 平分CNP ∠，DNP GND α∴∠=∠=，//AB CD ，//PQ CD ∴，QPN DNP α∴∠=∠=，40MGN α∴∠=︒+，80MPN α∠=︒-，4080120MGN MPN αα∴∠+∠=︒++︒-=︒图2【小结】本题考查平行线的定理、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6．（2020·湖南岳阳市·七年级期末）（1）问题情境：如图1，AB //CD ，∠PAB =120°，∠PCD =130°，求∠APC 的度数．小辰的思路是：如图2，过点P 作PE //AB ，通过平行线性质，可求得∠APC 的度数，请写出具体求解过程．（2）问题迁移：①如图3，AD //BC ，点P 在射线OM 上运动，当点P 在A ，B 两点之间运动时，设∠CPD =∠α，∠ADP =β，∠BCP =∠γ，问：∠α、β、∠γ之间有何数量关系？请说明理由．②在①的条件下，如果点P 不在A ，B 两点之间运动（点P 与点A ，B ，O 三点不重合），请直接写出∠α、β、∠γ间的数量关系．【分析】（1）过点P 作PE //AB ，可得PE //CD ，所以由平行线的性质可以求得EPA ∠和EPC ∠的度数，进一步可以得到APC ∠的度数；（2）分别过P 作P Q//AD ，则可得P Q//BC ，再由平行线的性质和角的加减运算可以得解．【解析】（1）如图，过点P 作PE //AB ，则由平行线的性质可得PE //CD ，所以：180180PAB EPA PCD EPC ∠+∠=∠+∠= ，，所以180********EPA PAB ∠=-∠=-= ，180********EPC PCD ∠=-∠=-=所以，110APC EPA EPC ∠=∠+∠= ；（2）①αβγ∠=∠+∠，理由如下：如图，过P 作P Q//AD 交DC 于Q ，则由平行线的性质得P Q//BC ，所以：DPQ CPQ βγ∠=∠∠=∠，，∵DPQ CPQ α∠+∠=∠，∴αβγ∠=∠+∠；②分两种情况讨论：第一种情况，P 在射线AM 上，如图，过P 作P Q//AD 交射线DN 于Q ，则由平行线的性质得P Q//BC ，所以：QPD QPC QPC QPD βγαγβ∠=∠∠=∠∠=∠-∠=∠-∠，，；第二种情况，点P 在OB 之间，如图，过P 作P Q//AD 交射线OD 于Q ，则由平行线的性质得P Q//BC ，所以：DPQ CPQ DPC DPQ CPQ βγαβγ∠=∠∠=∠∠=∠=∠-∠=∠-∠，，【小结】本题考查平行线性质的综合应用，在添加辅助线的基础上灵活应用平行线的性质和角的加减运算是解题关键．7．（2020·江苏淮安市·七年级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC 度数．思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；（微信公众号：数学三剑客）小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为°；问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【分析】小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC＝110°．（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．【解析】小明的思路：如图2，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，∴∠APC＝50°+60°＝110°，故答案为：110；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β【小结】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．。
2021全国各地中考数学真题专项汇编： 平行线与三角形 (含答案解析)
专题11.平行线与三角形一、单选题1．（2021·山东临沂市）如图，在//AB CD 中，40AEC ∠=︒，CB 平分DCE ∠，则ABC ∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30D ．40︒【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到∠ABC =∠BCD ，再根据角平分线的定义得到∠ABC =∠BCD ，再利用三角形外角的性质计算即可．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴∠ABC =∠BCD ，∵CB 平分∠DCE ，∴∠BCE =∠BCD ，∴∠BCE =∠ABC ， ∵∠AEC =∠BCE +∠ABC =40°，∴∠ABC =20°，故选B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义和外角的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解题的关键．2．（2021·四川眉山市）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若148∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．42°B ．48°C ．52°D ．60°【答案】A 【分析】先通过作辅助线，将∠1转化到∠BAC ，再利用直角三角形两锐角互余即可求出∠2．【详解】解：如图，延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点A ，由矩形对边平行，可得∠1=∠BAC ，因为BC ⊥AB ，∴∠BAC +∠2=90°，∴∠1+∠2=90°，因为∠1=48°，∴∠2=42°；故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质等内容，要求学生能根据题意理解其中的隐含关系，解决本题的关键是对角进行的转化，因此需要牢记并能灵活应用相关性质等．3．（2021·四川乐山市）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆成的“叶问蹬”图．则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（）A．3 B．72C．2 D．52【答案】A【分析】根据由边长为4的正方形分割制作的七巧板，可得共5种图形，然后根据阴影部分的构成图形，计算阴影部分面积即可．【详解】解：如下图所示，由边长为4的正方形分割制作的七巧板，共有以下几种图形：○1腰长是2的等腰直角三角形，2，顶角分别是45和135的平行四边形，根据图2可知，图中抬起的“腿”的等腰直角三角形，和一个边长分别是2，顶角分别是45和135的平行四边形组成，如下图示，根据平行四边形的性质可知，顶角分别是45和135的平行四边形的高是DB，且DB=的等腰直角三角形的面积是：112=，顶角分别是45和1352=，∴阴影部分的面积为：123+=，故选：A．【点睛】本题考查了七巧板中的图形的构成和面积计算，熟悉七巧板中图形的分类是解题的关键．4．（2021·湖南岳阳市）下列命题是真命题的是（）A．五边形的内角和是720︒B．三角形的任意两边之和大于第三边C．内错角相等D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点【答案】B【分析】根据相关概念逐项分析即可．【详解】A、五边形的内角和是540︒，故原命题为假命题，不符合题意；B、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；C、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；D、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等，熟记基本性质和定理是解题关键．5．（2021·安徽）两个直角三角板如图摆放，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30C ∠=︒，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD ∠的大小为（ ）A ．60︒B ．67.5︒C ．75︒D ．82.5︒【答案】C 【分析】根据//BC EF ，可得45FDB F ∠=∠=︒，再根据三角形内角和即可得出答案．【详解】由图可得6045B F ∠=︒∠=︒，，∵//BC EF ，∴45FDB F ∠=∠=︒， ∴180180456075BMD FDB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键． 6．（2021·浙江金华市）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（ ）A ．两直线平行，内错角相等B ．内错角相等，两直线平行C ．两直线平行，同位角相等D ．两直线平行，同旁内角互补 【答案】C【分析】首先准确分析题目，已知12//l l ，结论是34∠=∠，所以应用的是平行线的性质定理，从图中得知∠3和∠4是同位角关系，即可选出答案．【详解】解：∵12//l l ，∴34∠=∠（两直线平行，同位角相等）．故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的应用，解题的关键是理解平行线之间内错角的位置，从而准确地选择出平行线的性质定理．7．（2021·云南）如图，直线c 与直线a 、b 都相交．若//a b ，155∠=︒，则2∠=（ ）A ．60︒B ．55︒C ．50︒D ．45︒【答案】B 【分析】直接利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可得出答案．【详解】解：如图，1=55∠︒，3=55,∴∠︒ ∵a ∥b ，∠3=55°，∴∠2=∠3=55°．故选B ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确掌握平行线的基本性质是解题关键．8．（2021·山东）如图，AB ∥CD ∥EF ，若∠ABC ＝130°，∠BCE ＝55°，则∠CEF 的度数为（ ）A ．95°B ．105°C ．110°D ．115°【答案】B 【分析】由//AB CD 平行的性质可知ABC DCB ∠=∠，再结合//EF CD 即可求解．【详解】解：//AB CD 130ABC DCB ∴∠=∠=︒1305575ECD DCB BCE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒//EF CD 180ECD CEF ∴∠+∠=︒18075105CEF ∴∠=︒-︒=︒故答案是：B ．【点睛】本题考查平行线的性质和角度求解，难度不大，属于基础题．解题的关键是掌握平行线的性质．9．（2021·山东泰安市）如图，直线//m n ，三角尺的直角顶点在直线m 上，且三角尺的直角被直线m 平分，若160∠=︒，则下列结论错误的是（ ）A ．275∠=︒B ．345∠=︒C ．4105∠=︒D ．5130∠=︒【答案】D 【分析】根据角平分线的定义求出∠6和∠7的度数，再利用平行线的性质以及三角形内角和求出∠3，∠8，∠2的度数，最后利用邻补角互补求出∠4和∠5的度数．【详解】首先根据三角尺的直角被直线m 平分，∴∠6=∠7=45°；A 、∵∠1=60°，∠6=45°，∴∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m ∥n ，∴∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意；B 、∵∠7=45°，m ∥n ，∴∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意；C 、∵∠8=75°，∴∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意；D 、∵∠7=45°，∴∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和，邻补角互补，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．10．（2021·四川资阳市）如图，已知直线//,140,230m n ∠=︒∠=︒，则3∠的度数为（ ）A ．80︒B ．70︒C ．60︒D ．50︒【答案】B 【分析】如图，由题意易得∠4=∠1=40°，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：如图，∵//,140m n ∠=︒，∴∠4=∠1=40°，∵230∠=︒，∴34270∠=∠+∠=︒；故选B ．【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．11．（2021·四川广元市）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 是BC 边的中点，点P 是AC 边上一个动点，连接PD ，以PD 为边在PD 的下方作等边三角形PDQ ，连接CQ ．则CQ 的最小值是（ ）A B ．1 C D ．32【答案】B【分析】以CD 为边作等边三角形CDE ，连接EQ ，由题意易得∠PDC =∠QDE ，PD =QD ，进而可得△PCD ≌△QED ，则有∠PCD =∠QED =90°，然后可得点Q 是在QE 所在直线上运动，所以CQ 的最小值为CQ ⊥QE 时，最后问题可求解．【详解】解：以CD 为边作等边三角形CDE ，连接EQ ，如图所示：∵PDQ 是等边三角形，∴60,,CED PDQ CDE PD QD CD ED ∠=∠=∠=︒==，∵∠CDQ 是公共角，∴∠PDC =∠QDE ，∴△PCD ≌△QED （SAS ），∵90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 是BC 边的中点，∴∠PCD =∠QED =90°，122CD DE CE BC ====，∴点Q 是在QE 所在直线上运动， ∴当CQ ⊥QE 时，CQ 取的最小值，∴9030QEC CED ∠=︒-∠=︒，∴112CQ CE ==；故选B ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．12．（2021·河北）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图，ACD ∠是ABC 的外角．求证：ACD A B ∠=∠+∠．下列说法正确的是（ ）A ．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B ．证法1用严谨的推理证明了该定理C ．证法2用特殊到一般法证明了该定理D ．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理【答案】B【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A 与B ，利用理论与实践相结合可判断C 与D ．【详解】解：A . 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A 不符合题意；B . 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B 符合题意；C . 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C 不符合题意；D . 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D 不符合题意．故选择：.B【点睛】本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形，锐角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨．13．（2021·四川凉山州）如图，ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，则CE 的长为（ ）A ．198B ．2C ．254D ．74【答案】D【分析】先在RtABC 中利用勾股定理计算出AB =10，再利用折叠的性质得到AE =BE ，AD =BD =5，设AE =x ，则CE =AC -AE =8-x ，BE =x ，在Rt △BCE 中根据勾股定理可得到x 2=62+（8-x ）2，解得x ，可得CE ．【详解】解：∵∠ACB =90°，AC =8，BC =6，∴AB ，∵△ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，∴AE =BE ，AD =BD =12AB =5， 设AE =x ，则CE =AC -AE =8-x ，BE =x ，在Rt △BCE 中∵BE 2=BC 2+CE 2，∴x 2=62+（8-x ）2，解得x =254，∴CE =2584-=74，故选：D ． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股定理． 14．（2021·陕西）如图，点D 、E 分别在线段BC 、AC 上，连接AD 、BE ．若35A ∠=︒，25B ∠=︒，50C ∠=︒，则1∠的大小为（ ）A ．60°B ．70°C ．75°D ．85°【答案】B 【分析】由题意易得105BEC ∠=︒，然后根据三角形外角的性质可进行求解．【详解】解：∵25B ∠=︒，50C ∠=︒，∴在Rt △BEC 中，由三角形内角和可得105BEC ∠=︒，∵35A ∠=︒，∴170BEC A ∠=∠-∠=︒；故选B ．【点睛】本题主要考查三角形内角和及外角的性质，熟练掌握三角形内角和及外角的性质是解题的关键． 15．（2021·安徽）在△ABC 中，90ACB ∠=︒，分别过点B ，C 作BAC ∠平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ，BC 的中点是M ，连接CD ，MD ，ME ．则下列结论错误的是（ ）A ．2CD ME =B ．//ME ABC ．BD CD = D ．ME MD = 【答案】A【分析】设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G ．由题意易证△CAE ≌△FAE ，从而证明ME 为△CBF 中位线，即//ME AB ，故判断B 正确；又易证△AGD ≌△ABD ，从而证明D 为BG 中点．即利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出CD BD =，故判断C 正确；由90HDM DHM ∠+∠=︒、90HCE CHE ∠+∠=︒和DHM CHE ∠=∠可证明HDM HCE ∠=∠．再由90HEM EHF ∠+∠=︒、EHC EHF ∠=∠和90EHC HCE ∠+∠=︒可推出 HCE HEM ∠=∠，即推出HDM HEM ∠=∠，即MD ME =，故判断D 正确；假设2CD ME =，可推出2CD MD =，即可推出30DCM ∠=︒．由于无法确定DCM ∠的大小，故2CD ME =不一定成立，故可判断A 错误．【详解】如图，设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G ．∵AD 是BAC ∠的平分线，HF AB ⊥，HC AC ⊥，∴HC =HF ，∴AF =AC ．∴在△CAE 和△FAE 中，AF AC CAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAE ≌△FAE ，∴CE FE =，∠AEC =∠AEF =90°，∴C 、E 、F 三点共线，∴点E 为CF 中点．∵M 为BC 中点，∴ME 为△CBF 中位线，∴//ME AB ，故B 正确，不符合题意；∵在AGD △和ABD △中，90GAD BAD AD AD ADG ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△AGD ≌△ABD ， ∴12GD BD BG ==，即D 为BG 中点．∵在BCG 中，90BCG ∠=︒，∴12CD BG =， ∴CD BD =，故C 正确，不符合题意；∵90HDM DHM ∠+∠=︒，90HCE CHE ∠+∠=︒，DHM CHE ∠=∠，∴HDM HCE ∠=∠． ∵HF AB ⊥，//ME AB ，∴HF ME ⊥，∴90HEM EHF ∠+∠=︒．∵AD 是BAC ∠的平分线，∴EHC EHF ∠=∠．∵90EHC HCE ∠+∠=︒， ∴HCE HEM ∠=∠， ∴HDM HEM ∠=∠，∴MD ME =，故D 正确，不符合题意；∵假设2CD ME =，∴2CD MD =，∴在Rt △CDM 中，30DCM ∠=︒．∵无法确定DCM ∠的大小，故原假设不一定成立，故A 错误，符合题意．故选A ．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的判定和性质以及含30角的直角三角形的性质等知识，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键． 16．（2021·重庆）如图，在△ABC 和△DCB 中，ACB DBC ∠=∠ ，添加一个条件，不能．．证明和△ABC 和△DCB 全等的是（ ）A ．ABC DCB ∠=∠ B ．AB DC = C ．AC DB =D ．A D ∠=∠【答案】B【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答．【详解】选项A ，添加ABC DCB ∠=∠，在△ABC 和△DCB 中，ABC DCB BC CB ACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△DCB （ASA ），选项B ，添加 AB DC =，在△ABC 和△DCB 中， AB DC =，BC CB =，ACB DBC ∠=∠，无法证明△ABC ≌△DCB ；选项C ，添加AC DB =，在ABC 和DCB 中，BC CB ACB DBC AC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DCB （SAS ）；选项D ，添加A D ∠=∠，在ABC 和DCB 中，A D ACB DBC BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DCB （AAS ）；综上，只有选项B 符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 17．（2021·浙江丽水市）如图，在Rt ABC △纸片中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，点,D E 分别在,AB AC 上，连结DE ，将△ADE 沿DE 翻折，使点A 的对应点F 落在BC 的延长线上，若FD 平分EFB ∠，则AD 的长为（ ）A ．259B ．258C ．157D ．207【答案】D【分析】先根据勾股定理求出AB ，再根据折叠性质得出∠DAE=∠DFE ，AD=DF ，然后根据角平分线的定义证得∠BFD=∠DFE =∠DAE ，进而证得∠BDF=90°，证明Rt △ABC ∽Rt △FBD ，可求得AD 的长．【详解】解：∵90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，∴AB ==，由折叠性质得：∠DAE=∠DFE ，AD=DF ，则BD =5﹣AD ，∵FD 平分EFB ∠，∴∠BFD =∠DFE=∠DAE ，∵∠DAE +∠B =90°，∴∠BDF +∠B =90°，即∠BDF =90°，∴Rt △ABC ∽Rt △FBD ，∴BD BC DF AC =即534AD AD -=，解得：AD =205，故选：D ． 【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．18．（2021·四川自贡市）如图，()8,0A，()2,0C -，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（ ）A ．()0,5B ．()5,0C ．()6,0D ．()0,6【答案】D 【分析】先根据题意得出OA =8，OC =2，再根据勾股定理计算即可【详解】解：由题意可知：AC =AB ∵()8,0A，()2,0C -∴OA =8，OC =2∴AC =AB =10在Rt △OAB 中，6OB ==∴B (0，6)故选：D【点睛】本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键 19．（2021·重庆）如图，点B ，F ，C ，E 共线，∠B =∠E ，BF =EC ，添加一个条件，不等判断△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．AB =DEB ．∠A =∠DC ．AC =DFD ．AC ∥FD【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题． 【详解】解：BF =EC ，BC EF ∴=A. 添加一个条件AB =DE ，又,BC EF B E =∠=∠()ABC DEF SAS ∴△≌△ 故A 不符合题意；B. 添加一个条件∠A =∠D ，又,BC EF B E =∠=∠，∴△ABC ≌△DEF （AAS ），故B 不符合题意；C. 添加一个条件AC =DF ，不能判断△ABC ≌△DEF ，故C 符合题意；D. 添加一个条件AC ∥FD ， ACB EFD ∴∠=∠，又,BC EF B E =∠=∠，△ABC ≌△DEF （ASA ），故D 不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．20．（2021·江苏扬州市）如图，在44⨯的正方形网格中有两个格点A 、B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C ，使得ABC 是等腰直角．．．．三角形，满足条件的格点C 的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB 为等腰直角△ABC 底边；②AB 为等腰直角△ABC 其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论：①AB 为等腰直角△ABC 底边时，符合条件的C 点有0个；②AB 为等腰直角△ABC 其中的一条腰时，符合条件的C 点有3个．故共有3个点，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．21．（2021·浙江宁波市）如图，在△ABC 中，45,60,B C AD BC ∠=︒∠=︒⊥于点D ，BD =．若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（ ）A B C ．1 D 【答案】C【分析】根据条件可知△ABD 为等腰直角三角形，则BD =AD ，△ADC 是30°、60°的直角三角形，可求出AC 长，再根据中位线定理可知EF =2AC . 【详解】解：因为AD 垂直BC ，则△ABD 和△ACD 都是直角三角形，又因为45,60,B C ∠=︒∠=︒所以AD =BD =，因为sin ∠C =2AD AC =，所以AC =2， 因为EF 为△ABC 的中位线，所以EF =2AC =1，故选：C ． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是解决问题的关键．22．（2021·青海）如图，在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD 平分∠ABC ，则△BCD 的面积为（ ）A ．7.5B ．8C ．15D ．无法确定【答案】A 【详解】如图，过点D 作DE ⊥BC 于点E ．∵∠A=90°，∴AD ⊥AB ．∴AD=DE=3．又∵BC=5，∴S △BCD =12BC•DE=12×5×3=7.5．故选A ． 考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．二、填空题 1．（2021·浙江）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB 的长应是______．1【分析】据裁剪和拼接的线段关系可知CD =，1BD CE ==，在Rt ACD △中应用勾股定理即可求解．【详解】解：∵地毯平均分成了3=CD =在Rt ACD △中，根据勾股定理可得AD =，根据裁剪可知1BD CE ==，∴1AB AD BD =-=1．【点睛】本题考查勾股定理，根据裁剪找出对应面积和线段的关系是解题的关键．2．（2021·河北）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE 与BD 的交点为C ，且A ∠，B ，E ∠保持不变．为了舒适，需调整D ∠的大小，使110EFD ∠=︒，则图中D ∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．【答案】减少 10【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF 与∠D 、∠E 、∠DCE 之间的关系，进行计算即可判断．【详解】解：∵∠A +∠B =50°+60°=110°，∴∠ACB =180°-110°=70°，∴∠DCE =70°，如图，连接CF 并延长，∴∠DFM =∠D +∠DCF =20°+∠DCF ，∠EFM =∠E +∠ECF =30°+∠ECF ， ∴∠EFD =∠DFM +∠EFM =20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD =110°，则∠EFD 减少了10°，若只调整∠D 的大小，由∠EFD =∠DFM +∠EFM =∠D +∠DCF +∠E +∠ECF =∠D +∠E +∠ECD =∠D +30°+70°=∠ D +100°，因此应将∠D 减少10度；故答案为：①减少；②10．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法．3．（2021·青海）如图，AB ∥CD ，FE ⊥DB ，垂足为E ，∠1＝50°，则∠2的度数是_____．【答案】40°【分析】由EF ⊥BD ，∠1=50°，结合三角形内角和为180°，即可求出∠D 的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．【详解】解：在△DEF 中，∠1=50°，∠DEF=90°，∴∠D=180°-∠DEF-∠1=40°．∵AB ∥CD ，∴∠2=∠D=40°．故答案为40°．【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形内角和为180°，解题关键是求出∠D=40°．解决该题型题目时，根据平行线的性质，找出相等或互补的角是解题技巧．4．（2021·山东聊城市）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D 和点E ，AD 与CE 交于点O ，连接BO 并延长交AC 于点F ，若AB ＝5，BC ＝4，AC ＝6，则CE ：AD ：BF 值为____________．【答案】12:15:10【分析】由题意得：BF ⊥AC ，再根据三角形的面积公式，可得5432ABC SAD CE BF ===，进而即可得到答案．【详解】解：∵在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D 和点E ，AD 与CE 交于点O ，∴BF ⊥AC ，∵AB ＝5，BC ＝4，AC ＝6，∴111222ABC SBC AD AB CE AC BF =⋅=⋅=⋅， ∴5432ABC S AD CE BF ===，∴CE ：AD ：BF =12:15:10，故答案是：12:15:10． 【点睛】本题主要考查三角形的高，掌握“三角形的三条高交于一点”是解题的关键．5．（2021·江苏南京市）如图，在四边形ABCD 中，AB BC BD ==．设ABC α∠=，则ADC ∠=______（用含α的代数式表示）．【答案】11802α︒- 【分析】由等腰的性质可得：∠ADB =1902ABD ︒-∠，∠BDC =1902CBD ︒-∠，两角相加即可得到结论． 【详解】解：在△ABD 中，AB =BD ∴∠A =∠ADB =11(180)9022ABD ABD ︒-∠=︒-∠ 在△BCD 中，BC =BD ∴∠C =∠BDC =11(180)9022CBD CBD ︒-∠=︒-∠ ∵ABC ABD CBD α∠=∠+∠= ∴ADC ADB CBD ∠=∠+∠ =11909022ABD CBD ︒-∠+︒-∠ =1180()2ABD CBD ︒-∠+∠=11802ABC ︒-∠=11802α︒-故答案为：11802α︒-． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分别求出∠ADB=1902ABD ︒-∠，∠BDC=1902CBD ︒-∠是解答本题的关键． 6．（2021·江苏连云港市）如图，BE 是ABC 的中线，点F 在BE 上，延长AF 交BC 于点D ．若3BF FE =，则BD DC=______．【答案】32【分析】连接ED ，由BE 是ABC 的中线，得到BE BCE S S =△A △，AED EDC S S =，由3BF FE =，得到3,3ABF BFD AFEFEDS S SS ==，设=,AEF EFDSx Sy =，由面积的等量关系解得53x y =，最后根据等高三角形的性质解得ABD ADCS BDSDC=，据此解题即可． 【详解】解：连接EDBE 是ABC 的中线，ABEBCESS∴=，AEDEDCSS=3BF FE =3,3ABF BFD AFEFEDS S SS∴==设=,AEFEFDSx Sy =，33ABFBFDSx Sy ∴==，4,4,4ABE BECBEDSx Sx Sy ∴===44EDCBECBEDSSSx y ∴=-=-ADEEDCSS=44x y x y ∴+=-53x y∴=ABD 与ADC 是等高三角形，53+33333833=516445325333ABD ADCy yS BD x y x y y SDC x y x y x y y y y ⨯++∴=====++--⨯-，故答案为：32． 【点睛】本题考查三角形的中线、三角形面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．7．（2021·浙江绍兴市）如图，在ABC 中，AB AC =，70B ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径作弧，交直线BC 于点P ，连结AP ，则BAP ∠的度数是_______．【答案】15︒或75︒【分析】分①点P 在BC 的延长线上，②点P 在CB 的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：①当点P 在BC 的延长线上时，如图∵AB AC =，70B ∠=︒，∴70B ACB ∠=∠=︒∴40CAB ∠=︒∵以点C 为圆心，CA 长为半径作弧，交直线BC 于点P ，∴AC =PC ∴∠=∠P CAP∵70∠=∠+∠=︒ACB B CAP ∴35∠=∠=P CAP ∴403575∠=∠+∠=+=BAP BAC CAP②当点P 在CB 的延长线上时，如图由①得70C ∠=︒，40CAB ∠=︒∵AC =PC ∴=55∠=∠P CAP ∴-55-4015∠=∠∠==BAP CAP BAC 故答案为：15︒或75︒【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论不重不漏是解题的关键．8．（2021·四川广安市）如图，将三角形纸片ABC 折叠，使点B 、C 都与点A 重合，折痕分别为DE 、FG .已知15ACB ∠=︒，AE EF =，DE =BC 的长为_______．【答案】4+【分析】由折叠的性质得出BE =AE ，AF =FC ，∠F AC =∠C =15°，得出∠AFE =30°，由等腰三角形的性质得出∠EAF =∠AFE =30°，证出△ABE 是等边三角形，得出∠BAE =60°，求出AE =BE =2，证出∠BAF =90°，利用勾股定理求出AF ，即CF ，可得BC ．【详解】解：∵把三角形纸片折叠，使点B 、点C 都与点A 重合，折痕分别为DE ，FG ， ∴BE =AE ，AF =FC ，∠F AC =∠C =15°，∴∠AFE =30°，又AE =EF ，∴∠EAF =∠AFE =30°，∴∠AEB =60°，∴△ABE 是等边三角形，∠AED =∠BED =30°，∴∠BAE =60°，∵DE AE =BE =AB =cos30DE︒=2，∴BF =BE +EF =4，∠BAF =60°+30°=90°，∴FC =AF =BC =BF +FC =4+，故答案为：4+．【点睛】此题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质；根据折叠的性质得出相等的边和角是解题关键．9．（2021·四川遂宁市）如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，直线DE 垂直平分BC ，垂足为E ，交AC 于点D ，则△ABD 的周长是 _____ ．【答案】12．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB DC =，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵直线DE 垂直平分BC ，∴DB DC =，∴△ABD 的周长5712AB AD BD AB AD DC AB AC =++=++=+=+=，故答案为：12．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．10．（2021·江苏宿迁市）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B '（示意图如图，则水深为__尺．【答案】12【分析】依题意画出图形，设芦苇长AB =AB '=x 尺，则水深AC =（x ﹣1）尺，因为B 'E =10尺，所以B 'C =5尺，利用勾股定理求出x 的值即可得到答案．．【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB =AB '=x 尺，则水深AC =（x ﹣1）尺， 因为B 'E =10尺，所以B 'C =5尺，在Rt △AB 'C 中，52+（x ﹣1）2=x 2，解之得x =13，即水深12尺，芦苇长13尺．故答案为：12．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键． 三、解答题1．（2021·湖北武汉市）如图，//AB CD ，B D ∠=∠，直线EF 与AD ，BC 的延长线分别交于点E ，F ．求证：DEF F ∠=∠．【答案】见解析【分析】根据已知条件//AB CD ，B D ∠=∠，得到DCF D ∠=∠，从而得到//AD BC ，即可证明DEF F ∠=∠．【详解】证明：∵//AB CD ，∴DCF B ∠=∠．∵B D ∠=∠，∴DCF D ∠=∠．∴//AD BC ．∴DEF F ∠=∠．【点睛】本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行．2．（2021·浙江温州市）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =． （1）求证：//DE BC ．（2）若65A ∠=︒，45AED ∠=︒，求EBC ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）35°【分析】（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出BED EBC ∠=∠，即可完成求证； （2）先求出∠ADE ，再利用平行线的性质求出∠ ABC ，最后利用角平分线的定义即可完成求解． 【详解】解：（1）BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠．DB DE =，∴ABE BED ∠=∠，∴BED EBC ∠=∠，∴//DE BC ．（2）65A ∠=︒，45AED ∠=︒，∴18070ADE A AED ∠=︒-∠-∠=︒．//DE BC ．∴70ABC ADE ∠=∠=︒．BE 平分ABC ∠，∴1352EBC ABC ∠=∠=︒，即35EBC ∠=︒． 【点睛】本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握．3．（2021·四川南充市）如图，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠内部一条射线，若AB AC =，BE AD ⊥于点E ，CF AD ⊥于点F ．求证：AF BE =．【答案】见详解【分析】根据AAS 证明△BAE ≌△ACF ，即可得AF BE =． 【详解】证明：∵90BAC ∠=︒，∴∠BAE ＋∠CAF ＝90°， ∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BEA ＝∠AFC ＝90°， ∴∠BAE ＋∠EBA ＝90°，∴∠CAF ＝∠EBA ， ∵AB ＝AC ，∴△BAE ≌△ACF ，∴AF BE =．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 4．（2021·浙江绍兴市）如图，在ABC 中，40A ∠=︒，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，BD BC CE ==，连结CD ，BE ．（1）若80ABC ∠=︒，求BDC ∠，ABE ∠的度数．（2）写出BEC ∠与BDC ∠之间的关系，并说明理由．【答案】（1）50BDC ∠=︒；20ABE ∠=︒；（2）110BEC BDC ∠+∠=︒，见解析【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出ACB ∠的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出BDC ∠，ABE ∠．（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含ABE ∠分别表示BEC ∠，BDC ∠，即可得到两角的关系．【详解】（1）80ABC ∠=︒，BD BC =，50BDC BCD ∴∠=∠=︒． 在ABC 中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，40A ∠=︒，60ACB ∠=︒∴，CE BC =，60EBC ∴∠=︒．20ABE ABC EBC ∴∠=∠-∠=︒．（2）BEC ∠，BDC ∠的关系：110BEC BDC ∠+∠=︒．理由如下：设BEC α∠=，BDC β∠=．在ABE △中，40A ABE ABE α=∠+∠=︒+∠，CE BC =，CBE BEC α∴∠=∠=．2402ABC ABE CBE A ABE ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒+∠，在BDC 中，BD BC =，2402180BDC BCD DBC ABE β∴∠+∠+∠=+︒+∠=︒．70ABE β︒∴=-∠．4070110ABE ABE αβ∴+=︒+∠+︒-∠=︒．110BEC BDC ∴∠+∠=︒．【点睛】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于180︒ ．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角．5．（2021·陕西中考真题）如图，//BD AC ，BD BC =，点E 在BC 上，且BE AC =．求证：D ABC ∠=∠．【答案】见解析【分析】由题意易得EBD C ∠=∠，进而可证EDB ABC ≌△△，然后问题可求证． 【详解】证明：∵//BD AC ，∴EBD C ∠=∠．∵BD BC =，BE AC =，∴()EDB ABC SAS ≌．∴D ABC ∠=∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 6．（2021·湖南衡阳市）如图，点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，,//,//AB DE AC DF BC EF =．求证：ABC DEF △≌△．【答案】见解析【分析】根据//,//AC DF BC EF ，可以得到,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠，然后根据题目中的条件，利用ASA 证明△ABC ≌△DEF 即可．【详解】证明：点A ，B ，C ，D ，E 在一条直线上 ∵//,//AC DF BC EF ∴,A FDE ABC DEF ∠=∠∠=∠在△ABC 与△DEF 中CAB FDEAB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABC DEF ASA △≌△【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS、SSS ，直角三角形可用HL 定理，但AAA 、SSA ，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目． 7．（2021·浙江）已知在ACD △中，Р是CD 的中点，B 是AD 延长线上的一点，连结,BC AP ．（1）如图1，若90,60,,ACB CAD BD AC AP ︒∠=︒∠===，求BC 的长．（2）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，如图2所示．若60,CAD BD AC ∠︒==，求证：2BC AP =． （3）如图3，若45CAD ∠=︒，是否存在实数m ，当BD mAC =时，2BC AP =？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）见解析；（3）存在，m =【分析】（1）先解直角三角形ABC 得出2AB AC =，从而得出△ADC 是等边三角形，再解直角三角形ACP 即可求出AC 的长，进而得出BC 的长；（2）连结BE ，先利用AAS 证出△CPA ≌△DPE ，得出AE =2PE ，AC =DE ，再得出△ADC 是等边三角形，然后由SAS 得出△CAB ≌△EBA ，得出AE =BC 即可得出结论； （3）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，连接BE ，过C 作CG ⊥AB 于G ，过E 作EN ⊥AB 于N ，由（2）得AE =2AP ，DE =AC ，再证明△AEN ≌△BCG ，从而得出△CAB ≌△EBA 得出DE =BE ，然后利用勾股定理即可得出m 的值． 【详解】（1）解90,60ACB CAD ∠=∠=︒︒，2cos60ACAB AC ︒==，BD AC =，AD AC =∴，∴△ADC 是等边三角形，60ACD ∴∠=︒Р是CD 的中点，AP CD ∴⊥，在Rt APC 中，AP =2sin 60APAC ∴==︒，tan 60BC AC =︒=∴（2）证明：连结BE ，//DE AC ，CAP DEP ∴∠=∠，,CP DP CPA DPE =∠=∠，∴△CPA ≌△DPE ， 1,2AP EP AE DE AC ∴===， BD AC =，BD DE ∴=，又//DE AC ，60BDE CAD ∴∠=∠=︒，∴△BDE 是等边三角形，,60BD BE EBD ∴=∠=︒BD AC =，AC BE ∴=，又60,CAB EBA AB BA ∠=∠=︒=，∴△CAB ≌△EBA ， AE BC ∴=，2BC AP ∴=．。
平行线与三角形内角和的综合应用学案,附练习题含答案
平行线与三角形内角和的综合应用学案知识梳理:1.三角形的内角和等于1800．已知：如图，△ABC ．求证：∠BAC +∠B +∠C =180°．证明：如图，过点A 作MN||BC ．∵MN ∥BC （已作）∴∠B =∠1，∠C =∠2（两直线平行，内错角相等）∵∠BAC+∠1+∠2=180°（平角的定义）∴∠BAC +∠B +∠C =180°（等量代换）2.直角三角形两锐角互余．例：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 为线段AD上一点，PE ⊥AD 交BC 的延长线于点E ．若∠BAC =60°，∠ACB =85°，则∠E 的度数为_____________．解：如图，∵AD 平分∠BAC ()∴112BAC ∠=∠()∵∠BAC =60°()∴∠1=30°(等式性质)在△ACD 中，∠1=30°，∠ACB =85°∴∠EDP =180°-∠1-∠ACB=180°-30°-85°=65°()∵PE ⊥AD ()∴∠EPD =90°()∴90E EDP ∠=︒-∠9065=︒-︒25=︒()①读题标注②梳理思路要求∠E 的度数，可以将∠E 放在Rt △PDE 中，利用直角三角形两锐角互余求解，由PE ⊥AD ，则∠EPD =90°，所以需要求出∠ADC 的度数．结合已知条件，把∠ADC 放在△ADC 中利用三角形内角和定理求出．③过程书写解：如图，∵AD 平分∠BAC （已知）∴112BAC ∠=∠（角平分线的定义）∵∠BAC =60°（已知）∴∠1=30°（等式性质）在△ACD 中，∠1=30°，∠ACB =85°∴∠EDP =180°-∠1-∠ACB=180°-30°-85°=65°（三角形内角和等于180°）∵PE ⊥AD（已知）∴∠EPD =90°（垂直的定义）∴90E EDP ∠=︒-∠9065=︒-︒25=︒（直角三角形两锐角互余）练习题1.如图，在△ABC 中，∠A =50°，∠C =72°，BD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ABD 的度数．解：如图，在△ABC 中，∠A =50°，∠C =72°（已知）∴∠ABC =180°-____-____=180°-____-____=____（_______________________）∵BD 平分∠ABC （已知）∴∠ABD =12∠ABC =12×58°=29°（_______________________）2.如图，在△ABC 中，∠B =∠C ，E 是AC 上一点，ED ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别为D ，F．若∠AED=140°，则∠C=_____，∠BDF=__________，∠A=__________．3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则∠A的余角是__________和__________，∠ACD=_________，∠BCD=__________．4.已知：如图，AE∥BD，∠1=110°，∠2=30°，则∠C=______．5.已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=75°，∠ADE=35°，则∠EDC=_________．6.已知：如图，BD∥AE交△ABC的边AC于点F，∠CAE=95°，∠CBD=30°，求∠C的度数．解：如图，∵BD∥AE（___________________________）∴∠DFC=∠CAE（___________________________）∵∠CAE=95°（___________________________）∴∠DFC=95°（___________________________）∴∠CFB=180°-∠DFC=180°-95°=85°（平角的定义）在△CBF中，∠CBD=30°，∠CFB=85°（已知）∴∠C=__________________=______________=________（___________________________）7.已知：如图，∠BAC与∠GCA互补，∠1=∠2．求证：∠E=∠F．8.已知：如图，AB⊥BC，BC⊥CD，垂足分别为B，C，∠1=∠2．求证：BE∥CF．证明：如图，∵AB⊥BC，BC⊥CD(__________________________)∴_______=______=90°(垂直的定义)∵∠1=∠2(__________________________)∴∠EBC=∠BCF(__________________________)∴______∥______(__________________________)9.已知：如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B．求证：∠AED=∠C．证明：如图，∵∠1+∠2=180°（_____________________________）∠1+∠DFE=180°（_____________________________）∴______=______（_____________________________）∴______∥______（_____________________________）∴∠3=∠ADE（_____________________________）∵∠3=∠B（_____________________________）∴∠ADE=∠B（_____________________________）∴______∥______（_____________________________）∴∠AED=∠C（_____________________________）10.已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：∠F=∠A．∵∠1=∠2（________________________________）∠1=∠DGF（________________________________）∴∠2=_______（________________________________）∴____∥____（________________________________）∴∠D=_______（________________________________）∵∠C=∠D（________________________________）∴______=∠C（________________________________）∴____∥____（________________________________）∴∠F=∠A（________________________________）11.已知：如图，AB∥CD，∠ABF=120°，CE⊥BF，垂足为E，则∠ECF=___________．∥BA交AC于点E，则∠C=_______．13.已知：如图，点E，F分别在AB，CD上，AD交CE于点G，交BF于点H，且∠1=∠2，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．证明：∵∠1=∠2（______________________________）∠CGD=∠1（______________________________）∴______=______（______________________________）∴CE∥BF（______________________________）∴_____=∠3（______________________________）∵∠B=∠C（______________________________）∴∠3=_________（______________________________）∴_____∥_____（______________________________）∴∠A=∠D（______________________________）14.在△ABC 中，123A B C =∠:∠:∠::，则A =∠___，B =∠___．15.将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则图中∠1的度数为___________．16.如图，直线m ∥n ，在△ABC 中，∠C =90°．若∠1=25°，∠2=70°，则∠B =____________．17.已知：如图，△ABC ．求证：∠A +∠B +∠ACB =180°．证明：如图，延长BC 到点D ，过点C 作射线CE ∥AB ．∵CE ∥AB∴∠A =_____（________________________）∠B =_____（________________________）∵∠1+∠2+∠ACB =180°（________________________）∴∠A +∠B +∠ACB =180°（________________________）18.已知：如图，AB ∥CD ，∠BAE =∠DCE =45°．求证：∠E =90°．证明：如图，∵AB ∥CD （___________________________）∴∠BAC +______=180°（___________________________）∵∠BAE=∠DCE=45°（___________________________）∴∠1+∠2=180°-∠BAE-∠DCE=180°-45°-45°=______（等式性质）∴∠E=180°-(∠1+∠2)=180°-90°=90°（）19.已知：如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3．求证：CD∥HF．证明：如图，∵∠1=∠ACB（_______________________________）∴______∥______（_______________________________）∴∠2=______（_______________________________）∵∠2=∠3（_______________________________）∴∠3=______（_______________________________）∴______∥______（_______________________________）20.已知：如图，EF⊥BC，DE⊥AB，∠B=∠ADE．求证：AD∥EF．证明：如图，∵EF⊥BC（___________________________）∴∠EFB=90°（垂直的定义）∴∠BEF+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）∵DE⊥AB（___________________________）∴∠AED=90°（___________________________）∴∠BAD+∠ADE=90°（___________________________）∵∠B=∠ADE（___________________________）∴∠BEF=∠BAD（___________________________）∴______∥______（___________________________）【参考答案】1.∠A，∠C50°，72°58°，三角形的内角和等于180°角平分线的定义2.50°，40°，80°3.∠ACD，∠B，∠B，∠A4.40°5.35°6.已知两直线平行，同位角相等已知等量代换∴∠C=180°-∠CBF-∠CFB=180°-30°-85°=65°（三角形的内角和等于180°）7.∵∠BAC+∠GCA=180°（已知）∴AB∥DG（同旁内角互补，两直线平行）∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2（已知）∴∠BAC-∠1=∠DCA-∠2（等式性质）即∠CAE=∠ACF∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行）∴∠E=∠F（两直线平行，内错角相等）8.已知∠ABC，∠BCD已知等角的余角相等BE，CF；内错角相等，两直线平行9.已知平角的定义∠2，∠DFE；同角的补角相等AB，EF；内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等已知等量代换DE，BC；同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等10.已知对顶角相等∠DGF，等量代换CE，BD；同位角相等，两直线平行∠FEH，两直线平行，同位角相等已知∠FEH，等量代换DF，AC；内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等11.30°12.60°13.已知对顶角相等∠CGD，∠2；等量代换同位角相等，两直线平行∠C；两直线平行，同位角相等已知∠B；等量代换AB，CD；内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等14.30°，60°15.105°16.45°17.∠1；两直线平行，内错角相等∠2；两直线平行，同位角相等平角的定义等量代换18.已知∠ACD；两直线平行，同旁内角互补已知90°三角形的内角和等于180°19.已知DE，BC；同位角相等，两直线平行∠BCD；两直线平行，内错角相等已知∠BCD，等量代换CD，HF；同位角相等，两直线平行20.已知已知垂直的定义直角三角形两锐角互余已知等角的余角相等AD，EF；同位角相等，两直线平行。
平行线与三角形 试题及答案
平行线与三角形一、单选题1．如图（1），在//AB CD 中，40AEC ∠=︒，CB 平分DCE ∠，则ABC ∠的度数为（）A ．10︒B ．20︒C ．30°D ．40︒2．如图（2），将直角三角板放置在矩形纸片上，若148∠=︒，则2∠的度数为（）A ．42°B ．48°C ．52°D ．60°3．七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示．19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆成的“叶问蹬”图．则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（）A ．3B ．72C ．2D ．524．下列命题是真命题的是（）A ．五边形的内角和是720︒B ．三角形的任意两边之和大于第三边C ．内错角相等D ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点5．两个直角三角板如图（5）摆放，其中90BAC EDF ∠=∠=︒，45E ∠=︒，30C ∠=︒，AB 与DF 交于点M ．若//BC EF ，则BMD ∠的大小为（）（1）A ．60︒B ．67.5︒C ．75︒D ．82.5︒6．某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（）如图，已知直线1234,,,l l l l ．若12∠=∠，则34∠=∠．请完成下面的说理过程．解：已知12∠=∠，根据（内错角相等，两直线平行），得12//l l ．再根据（※），得34∠=∠．A ．两直线平行，内错角相等B ．内错角相等，两直线平行C ．两直线平行，同位角相等D ．两直线平行，同旁内角互补7．如图（7），直线c 与直线a 、b 都相交．若//a b ，155∠=︒，则2∠=（）A ．60︒B ．55︒C ．50︒D ．45︒8．如图（8），AB ∥CD ∥EF ，若∠ABC ＝130°，∠BCE ＝55°，则∠CEF 的度数为（）A ．95°B ．105°C ．110°D ．115°9．如图（9），直线//m n ，三角尺的直角顶点在直线m 上，且三角尺的直角被直线m 平分，若160∠=︒，则下列结论错误的是（）A ．275∠=︒B ．345∠=︒C ．4105∠=︒D ．5130∠=︒10．如图（10），已知直线//,140,230m n ∠=︒∠=︒，则3∠的度数为（）A ．80︒B ．70︒C ．60︒D ．50︒11．如图（11），在ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 是BC 边的中点，点P 是AC 边上一个动点，连接PD ，以PD 为边在PD 的下方作等边三角形PDQ ，连接CQ ．则CQ 的最小值是（）A ．2B ．1C D ．3212．定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：如图（12），ACD ∠是ABC 的外角．求证：ACD A B ∠=∠+∠．下列说法正确的是（）A ．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整B ．证法1用严谨的推理证明了该定理C ．证法2用特殊到一般法证明了该定理D ．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理13．如图（13），ABC 中，90,8,6ACB AC BC ∠=︒==，将ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，则CE 的长为（）A ．198B ．2C ．254D ．7414．如图（14），点D 、E 分别在线段BC 、AC 上，连接AD 、BE ．若35A ∠=︒，25B ∠=︒，50C ∠=︒，则1∠的大小为（）A ．60°B ．70°C ．75°D ．85°15．在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别过点B ，C 作BAC ∠平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ，BC 的中点是M ，连接CD ，MD ，ME ．则下列结论错误的是（）A ．2CD ME=B ．//ME ABC ．BD CD=D ．ME MD=16．如图（16），在ABC 和DCB 中，ACB DBC ∠=∠，添加一个条件，不能．．证明ABC 和DCB 全等的是（）A ．ABC DCB∠=∠B ．AB DC=C ．AC DB=D ．A D∠=∠17．如图（17），在Rt ABC △纸片中，90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，点,D E 分别在,AB AC 上，连结DE ，将ADE 沿DE 翻折，使点A 的对应点F 落在BC 的延长线上，若FD 平分EFB ∠，则AD 的长为（）A ．259B ．258C ．157D ．20718．如图（18），()8,0A ，()2,0C -，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（）A ．()0,5B ．()5,0C ．()6,0D ．()0,6（16）（17）19．如图（19），点B ，F ，C ，E 共线，∠B =∠E ，BF =EC，添加一个条件，不等判断△ABC ≌△DEF 的是（）A ．AB =DEB ．∠A =∠DC ．AC =DFD ．AC ∥FD20．如图（20），在44⨯的正方形网格中有两个格点A 、B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C ，使得ABC 是等腰直角．．．．三角形，满足条件的格点C 的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．521．如图（21），在ABC 中，45,60,B C AD BC ∠=︒∠=︒⊥于点D ，3BD =．若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（）A ．33B ．32C ．1D ．6222．如图（22），在四边形ABCD 中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD 平分∠ABC ，则△BCD 的面积为（）A ．7.5B ．8C ．15D ．无法确定23．如图（23）所示，直线EF //GH ，射线AC 分别交直线EF 、GH 于点B 和点C ，AD ⊥EF 于点D ，如果∠A ＝20°，则∠ACG ＝（）A ．160°B ．110°C ．100°D ．70°（18）（19）（20）（21）（22）24．如图（24），直线a ，b 被直线c 所截，则∠1与∠2的位置关系是（）A ．同位角B ．内错角C ．同旁内角D ．邻补角25．将一副三角尺如图（25）摆放，点E 在AC 上，点D 在BC 的延长线上，//,90,45,60EF BC B EDF A F ∠=∠=︒∠=︒∠=︒，则CED ∠的度数是（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°26．有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A 顺时针旋转，使BC ∥DE ，如图②所示，则旋转角∠BAD 的度数为（）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°27．如图（27），在ABC 中，AB ＝AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E ，F ，作直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点．若BC ＝4，ABC 面积为10，则BM +MD 长度的最小值为（）A ．52B ．3C ．4D ．5（23）（24）（25）（27）28．如图（28），ABC 中，90,40ACB ABC ︒︒∠=∠=．将ABC 绕点B 逆时针旋转得到A BC ''△，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，则CAA '∠的度数是（）A ．50︒B ．70︒C ．110︒D ．120︒29．如图（29），在△ABC 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，∠ACB ＝45°，D 是BC 的中点，直线l 经过点D ，AE ⊥l ，BF ⊥l ，垂足分别为E ，F ，则AE +BF 的最大值为（）A 6B ．2C ．3D ．230．如图（30），在四边形ABCD 中，//AD BC ，90D ∠= ，8AD =，6BC =，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（）A ．42B ．6C ．210D ．831．如图（31），在一个宽度为AB 长的小巷内，一个梯子的长为a ，梯子的底端位于AB 上的点P ，将该梯子的顶端放于巷子一侧墙上的点C 处，点C 到AB 的距离BC 为b ，梯子的倾斜角BPC ∠为45︒；将该梯子的顶端放于另一侧墙上的点D 处，点D 到AB 的距离AD 为c ，且此时梯子的倾斜角APD ∠为75︒，则AB 的长等于（）（28）（29）（30）（31）（33）A ．aB ．bC ．2bc +D ．c32．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A ．55°，55°B ．70°，40°或70°，55°C ．70°，40°D ．55°，55°或70°，40°33．如图（33），已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，,BD CE 交于点F ，连接AF ，下列结论：①BD CE =；②BF CF ⊥；③AF 平分CAD ∠；④45AFE ∠=︒．其中正确结论的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个34．如图（34），,ABC ECD ∆∆都是等边三角形，且B ，C ，D 在一条直线上，连结,BE AD ，点M ，N 分别是线段BE ，AD 上的两点，且11,33BM BE AN AD ==，则CMN ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不等边三角形35．如图（35）所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 在小正方形的顶点上，则ABC ∆的重心是（）A ．点DB ．点EC ．点FD ．点G36．如图（36），在CEF △中，80E ∠=︒，50F ∠=︒，AB CF ，AD CE ，连接BC ，CD ，则A ∠的度数是（）A ．45°B ．50°C ．55°D ．80°二、填空题（34）（35）（36）37．由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图（37），三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是______．38．下图（38）是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且A∠，BÐ，E∠保持不变．为了舒适，需调整D∠的大小，使110EFD∠=︒，则图中D∠应___________（填“增加”或“减少”）___________度．39．如图（39），AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是_____．40．如图（40），在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，AD与CE交于点O，连接BO 并延长交AC于点F，若AB＝5，BC＝4，AC＝6，则CE：AD：BF值为____________．41．如图（41），在四边形ABCD中，AB BC BD==．设ABCα∠=，则ADC∠=______（用含α的代数式表示）．42．如图（42），BE是ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若3BF FE=，则BDDC=______．（37）（38）（39）（40）（41）43．如图（43），在ABC 中，AB AC =，70B ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径作弧，交直线BC 于点P ，连结AP ，则BAP ∠的度数是_______．44．如图（44），将三角形纸片ABC 折叠，使点B 、C 都与点A 重合，折痕分别为DE 、FG .已知15ACB ∠=︒，AE EF =，DE =，则BC 的长为_______．45．如图（45），在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，直线DE 垂直平分BC ，垂足为E ，交AC 于点D ，则△ABD 的周长是_____．46．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B '（示意图如图（46），则水深为__尺．47．如图（47），四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝60°，AD ＝BC ＝CD ＝4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD ＝90°，则点M 到直线BC 的距离的最小值为_____．48．如图（48），在ABC 中，5,8,9===AB AC BC ，以A 为圆心，以适当的长为半径作弧，交AB（42）（44）（45）（46）（47）（48）（43）于点M ，交AC 于点N ，分别以,M N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点G ，作射线AG ，交BC 于点D ，点F 在AC 边上，AFAB =，连接DF ，则CDF 的周长为___________．49．如图（49），在ABC 中，9,4BC AC ==，分别以点A B 、为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点,M N 、作直线MN ，交BC 边于点D ，连接AD ，则ACD △的周长为________．50．如图（50），△ABC 为等边三角形，边长为6，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 和点F 分别是线段AD 和AB 上的两个动点，连接CE ，EF ，则CE +EF 的最小值为_____．51．如图（51），在ABC 中，84C ∠=︒，分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M 、N ，作直线MN 交AC 点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA 、BC 于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP ，此时射线BP 恰好经过点D ，则A ∠=_____度．52．由4个直角边长分别为a ，b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图（52）所示，根据大正方形的面积2c 等于小正方形的面积2()a b -与4个直角三角形的面积2ab 的和证明了勾股定理222+=a b c ，还可以用来证明结论：若0a >、0b >且22a b +为定值，则当a _______b 时，ab 取得最大值．53．如图（53），在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P 在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，90PCQ ∠=︒，则222,,PA PB PC 三者之间的数量关系是_____．54．如图（54），D 是等边三角形ABC 外一点．若8,6BD CD ==，连接AD ，则AD 的最大值与最小值（49）（50）（51）（53）的差为_____．55．勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A ，B ，C 三地的坐标，数据如图（55）（单位：km ）．笔直铁路经过A ，B 两地．（1）A ，B 间的距离为______km ；（2）计划修一条从C 到铁路AB 的最短公路l ，并在l 上建一个维修站D ，使D 到A ，C 的距离相等，则C ，D 间的距离为______km ．三、解答题56．如图（56），//AB CD ，B D ∠=∠，直线EF 与AD ，BC 的延长线分别交于点E ，F ．求证：DEF F ∠=∠．57．如图（57），BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．（1）求证：//DE BC ．（2）若65A ∠=︒，45AED ∠=︒，求EBC ∠的度数．58．如图（58），90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠内部一条射线，若AB AC =，BE AD ⊥于点E ，CF AD ⊥于点F ．求证：AF BE =．（54）（55）（56）（57）59．如图（59），在ABC 中，40A ∠=︒，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，BD BC CE ==，连结CD ，BE ．（1）若80ABC ∠=︒，求BDC ∠，ABE ∠的度数．（2）写出BEC ∠与BDC ∠之间的关系，并说明理由．60．如图（60），//BD AC ，BD BC =，点E 在BC 上，且BE AC =．求证：D ABC ∠=∠．61．如图（61），点A 、B 、D 、E 在同一条直线上，,//,//AB DE AC DF BC EF =．求证：ABC DEF △≌△．（58）（59）（60）62．已知在ACD △中，Р是CD 的中点，B 是AD 延长线上的一点，连结,BC AP ．（1）如图1，若90,60,,ACB CAD BD AC AP ︒∠=︒∠===BC 的长．（2）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，如图2所示．若60,CAD BD AC ∠︒==，求证：2BC AP =．（3）如图3，若45CAD ∠=︒，是否存在实数m ，当BD mAC =时，2BC AP =？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．63．如图（63），AC 是四边形ABCD 的对角线，∠1＝∠B ，点E 、F 分别在AB 、BC 上，BE ＝CD ，BF ＝CA ，连接EF ．（1）求证：∠D ＝∠2；（2）若EF ∥AC ，∠D ＝78°，求∠BAC的度数．64．阅读与思考（61）（63）下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．×年×月×日星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB ，现根据木板的情况，要过AB 上的一点C ，作出AB 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB 上量出30CD cm =，然后分别以D ，C 为圆心，以50cm 与40cm 为半径画圆弧，两弧相交于点E ，作直线CE ，则DCE ∠必为90︒．办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M ，N 两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M 与点C 重合，用铅笔在木板上将点N 对应的位置标记为点Q ，保持点N 不动，将木棒绕点N 旋转，使点M 落在AB 上，在木板上将点M 对应的位置标记为点R ．然后将RQ 延长，在延长线上截取线段QS MN =，得到点S ，作直线SC ，则90RCS ∠=︒．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……任务：（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；（2）根据“办法二”的操作过程，证明90RCS ∠=︒；（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C 作出AB 的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）65．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射，如图（65），水面AB与水杯下沿CD平行，光线EF从水中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知20,45HFB FED∠=︒∠=︒，求GFH∠的度数．66．已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF 交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．（65）67．已知AOB 和MON △都是等腰直角三角形22OM ON ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，90AOB MON ︒∠=∠=．（1）如图1：连,AM BN ，求证：AOM BON ≌；（2）若将MON △绕点O 顺时针旋转，①如图2，当点N 恰好在AB 边上时，求证：2222BN AN ON =+；②当点,,A M N 在同一条直线上时，若4,3OB ON ==，请直接写出线段BN 的长．68．如图1，在等边三角形ABC 中，点E 是边AC 上一定点，点D 是直线BC 上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF ，连接CF ．（问题解决）（1）如图1，若点D 在边BC 上，求证：CE+CF ＝CD ；（类比探究）（2）如图2，若点D 在边BC 的延长线上，请探究线段CE ，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．69．（1）如图①，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试判断AB ，AD ，DC 之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE 交DC 的延长线于点F ，易证AEB FEC ∆∆≌得到AB FC =，从而把AB ，AD ，DC 转化在一个三角形中即可判断．AB ，AD ，DC 之间的等量关系________；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，AF 与DC 的延长线交于点F ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的平分线，试探究AB ，AF ，CF 之间的等量关系，并证明你的结论．70．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.（一）猜测探究:在ABC ∆中，AB AC =，M 是平面内任意一点，将线段AM 绕点A 按顺时针方向旋转与BAC ∠相等的角度，得到线段AN ，连接NB ．（1）如图1，若M 是线段BC 上的任意一点，请直接写出NAB ∠与MAC ∠的数量关系是，NB 与MC 的数量关系是；（2）如图2，点E 是AB 延长线上点，若M 是CBE ∠内部射线BD 上任意一点，连接MC ，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用:如图3，在111A B C ∆中，118A B =，11160A B C ∠= ，11175B A C ∠= ，P 是11B C 上的任意点，连接1A P ，将1A P 绕点1A按顺时针方向旋转75 ，得到线段1AQ ，连接1B Q ．求线段1B Q 长度的最小值．答案1、【答案】B解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD，∵CB平分∠DCE，∴∠BCE=∠BCD，∴∠BCE=∠ABC，∵∠AEC=∠BCE+∠ABC=40°，∴∠ABC=20°，故选B．2、【答案】A解：如图，延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点A，由矩形对边平行，可得∠1=∠BAC，因为BC⊥AB，∴∠BAC+∠2=90°，∴∠1+∠2=90°，因为∠1=48°，∴∠2=42°；故选：A．3、【答案】A解：如下图所示，由边长为4的正方形分割制作的七巧板，共有以下几种图形：○1腰长是的等腰直角三角形，②腰长是2的等腰直角三角形，的正方形，⑤边长分别是2，顶角分别是45 和135 的平行四边形，根据图2可知，图中抬起的“腿”的等腰直角三角形，和一个边长分别是2，顶角分别是45 和135 的平行四边形组成，如下图示，根据平行四边形的性质可知，顶角分别是45 和135 的平行四边形的高是DB ，且DB =，的等腰直角三角形的面积是：112=，顶角分别是45 和135 2=，∴阴影部分的面积为：123+=，故选：A．4、【答案】BA、五边形的内角和是540︒，故原命题为假命题，不符合题意；B、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；C、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；D、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；故选：B．5、【答案】C由图可得6045B F ∠=︒∠=︒，，∵//BC EF ，∴45FDB F ∠=∠=︒，∴180180456075BMD FDB B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选：C．6、【答案】C解：∵12//l l ，∴34∠=∠（两直线平行，同位角相等）．故选C ．7、【答案】B解：如图，1=55∠︒ ，3=55,∴∠︒∵a ∥b ，∠3=55°，∴∠2=∠3=55°．故选B．8、【答案】B解：//AB CD 130ABC DCB ∴∠=∠=︒1305575ECD DCB BCE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒//EF CD 180ECD CEF ∴∠+∠=︒18075105CEF ∴∠=︒-︒=︒故答案是：B．9、【答案】D首先根据三角尺的直角被直线m 平分，∴∠6=∠7=45°；A 、∵∠1=60°，∠6=45°，∴∠8=180°-∠1-∠6=180-60°-45°=75°，m∥n ，∴∠2=∠8=75°结论正确，选项不合题意；B 、∵∠7=45°，m ∥n ，∴∠3=∠7=45°，结论正确，选项不合题意；C 、∵∠8=75°，∴∠4=180-∠8=180-75°=105°，结论正确，选项不合题意；D 、∵∠7=45°，∴∠5=180-∠7=180-45°=135°，结论错误，选项符合题意．故选：D．10、【答案】B 解：如图，∵//,140m n ∠=︒，∴∠4=∠1=40°，∵230∠=︒，∴34270∠=∠+∠=︒；故选B．11．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 是BC 边的中点，点P 是AC 边上一个动点，连接PD ，以PD 为边在PD 的下方作等边三角形PDQ ，连接CQ ．则CQ 的最小值是（）A．2B．1D．3211、【答案】B解：以CD 为边作等边三角形CDE ，连接EQ ，如图所示：∵PDQ 是等边三角形，∴60,,CED PDQ CDE PD QD CD ED ∠=∠=∠=︒==，∵∠CDQ 是公共角，∴∠PDC =∠QDE ，∴△PCD ≌△QED （SAS ），∵90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 是BC 边的中点，∴∠PCD =∠QED =90°，122CD DE CE BC ====，∴点Q 是在QE 所在直线上运动，∴当CQ ⊥QE 时，CQ 取的最小值，∴9030QEC CED ∠=︒-∠=︒，∴112CQ CE ==；故选B．12、【答案】BA .证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A 不符合题意；B .证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B 符合题意；C .证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C 不符合题意；D .证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D 不符合题意．故选择：.B 13、【答案】D解：∵∠ACB =90°，AC =8，BC =6，∴AB∵△ADE 沿DE 翻折，使点A 与点B 重合，∴AE =BE ，AD =BD =12AB =5，设AE =x ，则CE =AC -AE =8-x ，BE =x ，在Rt △BCE 中∵BE 2=BC 2+CE 2，∴x 2=62+（8-x ）2，解得x =254，∴CE =2584-=74，故选：D．14、【答案】B解：∵25B ∠=︒，50C ∠=︒，∴在Rt △BEC 中，由三角形内角和可得105BEC ∠=︒，∵35A ∠=︒，∴170BEC A ∠=∠-∠=︒；故选B．15、【答案】A如图，设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G．∵AD 是BAC ∠的平分线，HF AB ⊥，HC AC ⊥，∴HC =HF ，∴AF =AC ．∴在CAE V 和FAE 中，AF AC CAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CAE FAE SAS ≅ ，∴CE FE =，∠AEC =∠AEF =90°，∴C、E、F 三点共线，∴点E 为CF 中点．∵M 为BC 中点，∴ME 为CBF V 中位线，∴//ME AB ，故B 正确，不符合题意；∵在AGD △和ABD △中，90GAD BAD AD AD ADG ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴()AGD ABD ASA ≅ ，∴12GD BD BG ==，即D 为BG 中点．∵在BCG 中，90BCG ∠=︒，∴12CD BG =，∴CD BD =，故C 正确，不符合题意；∵90HDM DHM ∠+∠=︒，90HCE CHE ∠+∠=︒，DHM CHE ∠=∠，∴HDM HCE ∠=∠．∵HF AB ⊥，//ME AB ，∴HF ME ⊥，∴90HEM EHF ∠+∠=︒．∵AD 是BAC ∠的平分线，∴EHC EHF ∠=∠．∵90EHC HCE ∠+∠=︒，∴HCE HEM ∠=∠，∴HDM HEM ∠=∠，∴MD ME =，故D 正确，不符合题意；∵假设2CD ME =，∴2CD MD =，∴在Rt CDM 中，30DCM ∠=︒．∵无法确定DCM ∠的大小，故原假设不一定成立，故A 错误，符合题意．故选A．16、【答案】B选项A，添加ABC DCB ∠=∠，在ABC 和DCB 中，ABC DCB BC CB ACB DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ABC ≌DCB （ASA），选项B，添加 AB DC =，在ABC 和DCB 中， AB DC =，BC CB =，ACB DBC ∠=∠，无法证明ABC ≌DCB ；选项C，添加AC DB =，在ABC 和DCB 中，BC CB ACB DBC AC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC ≌DCB （SAS）；选项D，添加A D ∠=∠，在ABC 和DCB 中，A D ACB DBC BC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC ≌DCB （AAS）；综上，只有选项B 符合题意．故选B．17、【答案】D解：∵90,4,3ACB AC BC ∠=︒==，∴AB ==由折叠性质得：∠DAE=∠DFE ，AD=DF ，则BD =5﹣AD ，∵FD 平分EFB ∠，∴∠BFD =∠DFE=∠DAE ，∵∠DAE +∠B =90°，∴∠BDF +∠B =90°，即∠BDF =90°，∴Rt△ABC ∽Rt△FBD ，∴BD BC DF AC =即534AD AD -=，解得：AD =205，故选：D．18、【答案】D解：由题意可知：AC =AB ∵()8,0A，()2,0C -∴OA =8，OC =2∴AC =AB =10在Rt △OAB 中，6OB ===∴B (0，6)故选：D19、【答案】C解： BF =EC ，BC EF∴=A.添加一个条件AB =DE ，又,BC EF B E =∠=∠ ()ABC DEF SAS ∴△≌△故A 不符合题意；B.添加一个条件∠A =∠D 又,BC EF B E =∠=∠ ()ABC DEF AAS ∴≌故B 不符合题意；C.添加一个条件AC =DF ，不能判断△ABC ≌△DEF ，故C 符合题意；D.添加一个条件AC ∥FD ACB EFD ∴∠=∠又,BC EF B E =∠=∠ ()ABC DEF ASA ∴≌故D 不符合题意，故选：C．20、【答案】B解：如图：分情况讨论：①AB 为等腰直角△ABC 底边时，符合条件的C 点有0个；②AB 为等腰直角△ABC 其中的一条腰时，符合条件的C 点有3个．故共有3个点，故选：B．21、【答案】C解：因为AD 垂直BC ，则△ABD 和△ACD 都是直角三角形，又因为45,60,B C ∠=︒∠=︒所以AD =BD =，因为sin∠C =32AD AC =，所以AC =2，因为EF 为△ABC 的中位线，所以EF =2AC =1，故选：C．22、【答案】A如图，过点D 作DE⊥BC 于点E．∵∠A=90°，∴AD⊥AB．∴AD=DE=3．又∵BC=5，∴S △BCD =12BC•DE=12×5×3=7.5．故选A．23、【答案】B 解：∵AD ⊥EF ，∠A ＝20°，∴∠ABD ＝180°﹣∠A ﹣∠ABD ＝180°﹣20°﹣90°＝70°，∵EF ∥GH ，∴∠ACH ＝∠ABD ＝70°，∴∠ACG ＝180°﹣∠ACH ＝180°﹣70°＝110°，故选：B ．24、【答案】A解：如图所示，∠1和∠2两个角都在两被截直线直线b 和a 同侧，并且在第三条直线c（截线）的同旁，故∠1和∠2是直线b、a 被c 所截而成的同位角．故选：A．25、【答案】A解：由三角板的特点可知∠ACB=45°、∠DEF=30°∵//EF BC ∴∠CEF=∠ACB=45°，∴∠CED=∠CEF-∠DEF=45°-30°=15°．故答案为A．26、【答案】B解：如图，设AD 与BC 交于点F ，∵BC ∥DE ，∴∠CFA ＝∠D ＝90°，∵∠CFA ＝∠B +∠BAD ＝60°+∠BAD ，∴∠BAD ＝30°故选：B ．27、【答案】D解：由作法得EF 垂直平分AB ，∴MB ＝MA ，∴BM +MD ＝MA +MD ，连接MA 、DA ，如图，∵MA +MD ≥AD （当且仅当M 点在AD 上时取等号），∴MA +MD 的最小值为AD ，∵AB ＝AC ，D 点为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∵110,2ABC S BC AD == ∴1025,4AD ⨯==∴BM +MD 长度的最小值为5．故选：D ．28、【答案】D解：在ABC 中，90,40ACB ABC ︒︒∠=∠=，∴∠CAB=50°，由旋转的性质，则40ABA '∠=︒，AB A B '=，∴1(18040)702BAA '∠=⨯︒-︒=︒，∴''50+70=120CAA CAB BAA ∠=∠+∠=︒︒︒；故选：D．29、【答案】A解：如图，过点C 作CK⊥l 于点K，过点A 作AH⊥BC 于点H，在Rt△AHB在Rt△AHC==，∵点D 为BC 中点，∴BD＝CD，在△BFD 与△CKD 中，90BFD CKD BDF CDK BD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C 作CN⊥AE 于点N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN 中，AN＜AC，当直线l⊥AC，综上所述，AE+BF．故选：A．30、【答案】A解：如图，连接FC ，∵点O 是AC 的中点，由作法可知，OE 垂直平分AC ，∴AF =FC．∵AD ∥BC ，∴∠FAO =∠BCO ．在△FOA 与△BOC 中，FAO BCO OA OC AOF COB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△FOA ≌△BOC （ASA ），∴AF =BC =6，∴FC =AF =6，FD =AD -AF =8-6=2．在△FDC 中，∵∠D =90°，∴CD 2+DF 2=FC 2，∴CD 2+22=62，∴CD =42．故选：A ．31、【答案】D过点C 作CE⊥AD 于点E，则CE//AB，45PCE BPC ∴∠=∠=︒180754560DPC ∠=︒-︒-︒=︒ ，且PD=PC，PCD ∴ 为等边三角形，CD PD a ∴==，60PCD CDP ∠=∠=︒，45PCE ∠=︒ ，604515DCE DCP PCE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，75APD =︒∠ ，90DAP ∠=︒，∴907515PDA ∠=︒-︒=︒，∴15DCE PDA ∠=∠=︒，∴601575CDE PDC PDA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，APD CDE ∴∠=∠，在Rt APD 和Rt CDE △中，DCE PDA CD PD CDE DPA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴Rt APD ≌Rt CDE △，CE DA c ==，故选：D．32、【答案】D（1）当70︒的内角为这个等腰三角形的顶角则另外两个内角均为底角，它们的度数为18070552︒-︒=︒（2）当70︒的内角为这个等腰三角形的底角,则另两个内角一个为底角，一个为顶角底角为70︒，顶角为180707040︒-︒-︒=︒综上，另外两个内角的度数分别是55,55︒︒或70,40︒︒故选：D．33、【答案】C解：∵∠BAC=∠EAD∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE在△BAD 和△CAE 中AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE∴△BAD≌△CAE∴BD=CE 故①正确；∵△BAD≌△CAE∴∠ABF=∠ACF∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF∴∠ACF+∠BGA=90°,∴∠BFC=90°故②正确；分别过A 作AM⊥BD、AN⊥CE 垂足分别为M、N∵△BAD≌△CAE∴S △BAD =S △CAE ,∴1122BD AM CE AN ⋅=⋅∵BD=CE∴AM=AN∴AF 平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．故③错误；∵AF 平分∠BFE，BF CF ⊥∴45AFE ∠=︒故④正确．故答案为C．34、【答案】C∵,ABC ECD ∆∆都是等边三角形，∴BC AC =，CE CD =，60BCA DCE ∠=∠=︒，∴+BCA ACE DCE ACE ∠∠=∠+∠，∴BCE ACD ∠=∠，在BCE 和ACD △中，BC AC BCE ACD CE CD ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△BCE ACD SAS ≅，∴BE AD =，CBM ACN ∠=∠，又∵11,33BM BE AN AD ==，∴BM AN =，在BCM 和ACN △中，BM AN CBM ACN BC AC ⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△BCM ACN SAS ≅，∴BCM ACN ∠=∠，MC NC =，∴+60BCM ACM ACN ACM ∠∠=∠+∠=︒，∴CMN ∆是等边三角形．故答案选C．35、【答案】A根据题意可知，直线CD 经过ABC ∆的AB 边上的中点，直线AD 经过ABC ∆的BC 边上的中点，∴点D 是ABC ∆重心．故选A．36、【答案】B解：连接AC 并延长交EF 于点M．AB CF ，31∴∠=∠，AD CE ，24∴∠=∠，3412BAD FCE ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠，180180805050FCE E F ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ，50BAD FCE ∴∠=∠=︒，故选B．37、1解：∵地毯平均分成了33=，∴CD =在Rt ACD △中，根据勾股定理可得AD ==，根据裁剪可知1BD CE ==，∴1AB AD BD =-=-1-．38、【答案】减少10解：∵∠A +∠B =50°+60°=110°，∴∠ACB =180°-110°=70°，∴∠DCE =70°，如图，连接CF 并延长，∴∠DFM =∠D +∠DCF =20°+∠DCF ，∠EFM =∠E +∠ECF =30°+∠ECF ，∴∠EFD =∠DFM +∠EFM =20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD =110°，则∠EFD 减少了10°，若只调整∠D 的大小，由∠EFD =∠DFM +∠EFM =∠D +∠DCF +∠E +∠ECF =∠D +∠E +∠ECD =∠D +30°+70°=∠D +100°，因此应将∠D 减少10度；故答案为：①减少；②10．39、【答案】40°解：在△DEF 中，∠1=50°，∠DEF=90°，∴∠D=180°-∠DEF-∠1=40°．∵AB∥CD，∴∠2=∠D=40°．故答案为40°．40、【答案】12:15:10解：∵在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为点D 和点E ，AD 与CE 交于点O ，∴BF ⊥AC ，∵AB ＝5，BC ＝4，AC ＝6，∴111222ABC S BC AD AB CE AC BF =⋅=⋅=⋅ ，∴5432ABC S AD CE BF === ，∴CE ：AD ：BF =12:15:10，故答案是：12:15:10．41、【答案】11802α︒-解：在△ABD 中，AB =BD ∴∠A =∠ADB =11(180)9022ABD ABD ︒-∠=︒-∠在△BCD 中，BC =BD ∴∠C =∠BDC =11(180)9022CBD CBD ︒-∠=︒-∠∵ABC ABD CBD α∠=∠+∠=∴ADC ADB CBD ∠=∠+∠=11909022ABD CBD ︒-∠+︒-∠=1180()2ABD CBD ︒-∠+∠=11802ABC ︒-∠=11802α︒-故答案为：11802α︒-．42、【答案】32解：连接ED BE 是ABC 的中线，ABE BCE S S ∴= ，AED EDCS S = 3BF FE = 3,3ABF BFD AFE FEDS S S S ∴== 设=,AEF EFD S x S y = ，33ABF BFD S x S y ∴== ，4,4,4ABE BEC BED S x S x S y ∴=== 44EDC BEC BED S S S x y∴=-=- ADE EDC S S = 44x y x y ∴+=-53x y ∴= ABD 与ADC 是等高三角形，53+33333833=516445325333ABD ADC y y S BD x y x y y S DC x y x y x y y y y ⨯++∴=====++--⨯- ，故答案为：32．43、【答案】15︒或75︒解：①当点P 在BC 的延长线上时，如图∵AB AC =，70B ∠=︒，∴70B ACB ∠=∠=︒∴40CAB ∠=︒∵以点C 为圆心，CA 长为半径作弧，交直线BC 于点P ，∴AC =PC ∴∠=∠P CAP∵70∠=∠+∠=︒ACB B CAP ∴35∠=∠= P CAP ∴403575∠=∠+∠=+= BAP BAC CAP ②当点P 在CB 的延长线上时，如图由①得70C ∠=︒，40CAB ∠=︒∵AC =PC ∴=55∠=∠P CAP ∴-55-4015∠=∠∠== BAP CAP BAC 故答案为：15︒或75︒44、【答案】4+解：∵把三角形纸片折叠，使点B 、点C 都与点A 重合，折痕分别为DE ，FG ，∴BE =AE ，AF =FC ，∠FAC =∠C =15°，∴∠AFE =30°，又AE =EF ，∴∠EAF =∠AFE =30°，∴∠AEB =60°，∴△ABE 是等边三角形，∠AED =∠BED =30°，∴∠BAE =60°，∵DE ，∴AE =BE =AB =cos30DE ︒=2，∴BF =BE +EF =4，∠BAF =60°+30°=90°，∴FC =AF =BC =BF +FC =4+4+．45、【答案】12．解：∵直线DE 垂直平分BC ，∴DB DC =，∴△ABD 的周长5712AB AD BD AB AD DC AB AC =++=++=+=+=，故答案为：12．46、【答案】12解：依题意画出图形，设芦苇长AB =AB '=x 尺，则水深AC =（x ﹣1）尺，因为B 'E =10尺，所以B 'C =5尺，在Rt△AB 'C 中，52+（x ﹣1）2=x 2，解之得x =13，即水深12尺，芦苇长13尺．故答案为：12．47、【答案】2解：取AD 的中点O，连接OM，过点M 作ME⊥BC 交BC 的延长线于E，点点O 作OF⊥BC 于F，交CD 于G，则OM+ME≥OF．∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，∴OM＝12AD＝2，∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGE＝30°，∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴CG＝2，﹣2，∴当O，M，E 共线时，ME 的值最小，最小值为﹣2．48、【答案】12解：根据题意可知，AD 是∠BAC 的角平分线，∴∠BAD=∠FAD，∵AB=AF=5，AD=AD，∴△ABD≌△AFD，∴BD=FD，∴FD+DC=BD+DC=BC=9，∵FC=AC -AF=8-5=3，∴CDF ∆的周长为：FD+DC+FC=9+3=12；故答案为：12．49、【答案】13∵在ABC 中，分别以A、B 为圆心，大于1AB 2的长为半径画弧，两弧交于M，N，作直线MN，交BC 边于D，连接AD；∴MN 为AB 的垂直平分线，∴AD=BD，∴ACD 的周长为：AD+DC+AC=BC+AC=13；故答案为13.50、【答案】解：过C 作CF ⊥AB 交AD 于E ，则此时，CE +EF 的值最小，且CE +EF 的最小值为CF ，∵△ABC 为等边三角形，边长为6，∴BF ＝12AB ＝12⨯6＝3，∴CF ，∴CE +EF 的最小值为．51、【答案】32由作图可得，MN 是线段AB 的垂直平分线，BD 是∠ABC 的平分线，∴AD=BD，1=2ABD CBD ABC ∠=∠∠∴A ABD ∠=∠∴A ABD CBD ∠=∠=∠∵+180A ABC C ∠∠+∠=︒，且84C ∠=︒，∴+2180A ABD C ∠∠=︒-∠，即318084A ∠=︒-︒，∴32A ∠=︒．故答案为：32．52、【答案】=设22a b +为定值k ，则222kc a b +==由“张爽弦图”可知，2222()()ab c a b k a b =--=--即2()2k a b ab --=要使ab 的值最大，则2()a b -需最小又2()0a b -≥ ∴当a b =时，2()a b -取得最小值，最小值为0则当a b =时，ab 取得最大值，最大值为2k 故答案为：=．53、【答案】PA 2+PB 2=2PC 2解：过点C 作CD⊥AB，交AB 于点D ∵△ACB 为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD=AD=DB，∵PA 2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD 2-2CD•PD+PD 2，PB 2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD 2-2CD•PD+PD 2，∴PA 2+PB 2=2CD 2+2PD 2=2（CD 2+PD 2），在Rt△PCD 中，由勾股定理可得PC 2=CD 2+PD 2，∴PA 2+PB 2=2PC 2，故答案为PA 2+PB 2=2PC 2.54、【答案】12解：如图1，以CD 为边向外作等边三角形CDE，连接BE，∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE=AD，∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．∴则AD 的最大值与最小值的差为12．故答案为：1255、【答案】2013（1）由A 、B 两点的纵坐标相同可知：AB ∥x 轴，∴AB =12﹣（﹣8）=20；（2）过点C 作l ⊥AB 于点E ，连接AC ，作AC 的垂直平分线交直线l 于点D ，由（1）可知：CE =1﹣（﹣17）=18，AE =12，设CD =x ，∴AD =CD =x ，由勾股定理可知：x 2=（18﹣x ）2+122，∴解得：x =13，∴CD =13．故答案为（1）20；（2）13．56、【答案】见解析证明：∵//AB CD ，∴DCF B ∠=∠．∵B D ∠=∠，∴DCF D ∠=∠．∴//AD BC ．∴DEF F ∠=∠．57、【答案】（1）见解析；（2）35°解：（1） BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠．DB DE =，∴ABE BED ∠=∠，∴BED EBC ∠=∠，∴//DE BC ．（2） 65A ∠=︒，45AED ∠=︒，∴18070ADE A AED ∠=︒-∠-∠=︒．//DE BC ．∴70ABC ADE ∠=∠=︒．BE 平分ABC ∠，∴1352EBC ABC ∠=∠=︒，即35EBC ∠=︒．58、【答案】见详解证明：∵90BAC ∠=︒，∴∠BAE ＋∠CAF ＝90°，∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BEA ＝∠AFC ＝90°，∴∠BAE ＋∠EBA ＝90°，∴∠CAF ＝∠EBA ，∵AB ＝AC ，∴△BAE ≌△ACF ，∴AF BE =．59、【答案】（1）50BDC ∠=︒；20ABE ∠=︒；（2）110BEC BDC ∠+∠=︒，见解析（1）80ABC ∠=︒ ，BD BC =，50BDC BCD ∴∠=∠=︒．在ABC 中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，40A ∠=︒ ，60ACB ∠=︒∴，CE BC = ，60EBC ∴∠=︒．20ABE ABC EBC ∴∠=∠-∠=︒．（2）BEC ∠，BDC ∠的关系：110BEC BDC ∠+∠=︒．理由如下：设BEC α∠=，BDC β∠=．在ABE △中，40A ABE ABE α=∠+∠=︒+∠，CE BC = ，CBE BEC α∴∠=∠=．2402ABC ABE CBE A ABE ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒+∠， 在BDC 中，BD BC =，2402180BDC BCD DBC ABE β∴∠+∠+∠=+︒+∠=︒．70ABE β︒∴=-∠．4070110ABE ABE αβ∴+=︒+∠+︒-∠=︒．110BEC BDC ∴∠+∠=︒．60、【答案】见解析证明：∵//BD AC ，∴EBD C ∠=∠．∵BD BC =，BE AC =，∴()EDB ABC SAS ≌．∴D ABC ∠=∠．61、【答案】见解析证明：点A ，B ，C ，D ，E 在一条直线上∵//,//AC DF BC EF ∴,A FDE ABC DEF∠=∠∠=∠在ABC 与DEF 中CAB FDE AB DE ABC DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABC DEF ASA △≌△62、【答案】（1）；（2）见解析；（3）存在，m =（1）解90,60ACB CAD ∠=∠=︒︒ ，2cos60AC AB AC ︒==，BD AC = ，AD AC =∴，ADC ∴ 是等边三角形，60ACD ∴∠=︒Р 是CD 的中点，AP CD ∴⊥，在Rt APC 中，3AP =，2sin 60AP AC ∴==︒，tan 6023BC AC =︒=∴．（2）证明：连结BE ，//DE AC ，CAP DEP ∴∠=∠，,CP DP CPA DPE =∠=∠ ，()CPA DPE AAS ∴ ≌，1,2AP EP AE DE AC ∴===，BD AC = ，BD DE ∴=，又//DE AC ，60BDE CAD ∴∠=∠=︒，BDE ∴ 是等边三角形，,60BD BE EBD ∴=∠=︒BD AC = ，AC BE ∴=，又60,CAB EBA AB BA ∠=∠=︒= ，()CAB EBA SAS ∴≌，AE BC ∴=，2BC AP ∴=．（3）存在这样的,2m m =．过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，连接BE ，过C 作CG ⊥AB 于G ，过E 作EN ⊥AB 于N ，则45∠=∠=︒BDE CAD ，sin 45∴=⨯ CG AC ，sin 45=⨯ EN DE 由（2）得AE =2AP ，DE =AC ，∴CG =EN ，∵2BC AP =，∴AE =BC ，∵∠ANE =∠BGC =90°，≌∴ AEN BCG ，∴∠EAN =∠CBG∵AE =BC ，AB =BA ，∴≌ CAB EBA ∴AC =BE ，∴DE =BE ，∴∠EDB =∠EBD =45°，∴∠DEB =90°，∴2=BD AC ，∵BD mAC =∴2m =63、【答案】（1）证明见解析；（2）78°．证明：（1）在△BEF 和△CDA 中，1BE CD B BF CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEF ≌△CDA （SAS ），∴∠D ＝∠2；（2）∵∠D ＝∠2，∠D ＝78°，∴∠D ＝∠2＝78°，。
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题(含答案) (48)
人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题（含答案)已知,如图△ABC中,∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F. 求证：BF=AC；【答案】见解析【解析】【分析】根据三角形的内角和定理求出∠A=∠DFB，推出BD=DC，根据AAS证出△BDF≌△CDA即可.【详解】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，∴∠A+∠ABE=90°,∠ABE+∠DFB=90°，∴∠A=∠DFB，∵∠ABC=45°,∠BDC=90°，∴∠DCB=90°−45°=45°=∠DBC，∴BD=DC，在△BDF和△CDA中∵BDF CDAA DFBBD DC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDF≌△CDA(AAS)，∴BF=AC；【点睛】此题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.72．如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB=CB，BE=BD，∠1=∠2．求证：△ABE≌△CBD；【答案】见解析【解析】【分析】由已知角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证.【详解】∵∠1=∠2，∴∠1+∠CBE=∠2+∠CBE，即∠ABE=∠CBD，在△ABE和△CBD中，AB CB ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CBD(SAS)；【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.73．如图，已知点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AC ∥DE ，BE=FC ，∠A=∠D ，(1) 求证：AB=DF ；(2)求证：AB ∥DF ；(3)若BC=9,EC=5，求BF 的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）13.【解析】【分析】（1）由条件证明△ABC ≌△DFE 即可求得AB=DF ；（2）由(1)可知，∠ABC=∠DFE ，即可判定平行.（3）由全等三角形的性质可得BC=FE ，再利用线段的长和差可求得BF ．【详解】证明：(1)∵AC ∥DE∴∠ACB=∠DEF∵BE=FC∴BE+EC=FC+EC∴BC=FE在△ABC 和△DFE 中，A D ACB DEF BC FE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DFE （AAS ）∴AB DF =AB=DF(2)由(1)可知，△ABC ≌△DFE∴∠ABC=∠DFE∴AB ∥DF(3) 由(1)可知，△ABC ≌△DFE∴BC=FE又∵BC=9，EC=5∴CF=EF-EC=4∴BF=BC+CF=9+4=13.答：BF 的长为13.【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，解题关键在于掌握判定定理.74．如图，在四边形ABCD 中，AD =DC ，DF 是∠ADC 的平分线，AF ∥BC ，连接AC ，CF ．求证：CA 是∠BCF 的平分线．【答案】见解析【解析】【分析】根据SAS 证明△ADF ≌△CDF ，再根据全等三角形的性质证明即可．【详解】证明：∵DF 是∠ADC 的平分线，∴∠CDF ＝∠ADF ．又∵AD ＝DC ，DF ＝DF ，在△ADF 与△CDF 中，AD DC CDF ADF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADF ≌△CDF ，∴AF ＝CF ，∴∠ACF ＝∠CAF ．∵AF ∥CB ，∴∠CAF ＝∠ACB ，∴∠ACF ＝∠ACB ，即CA 平分∠BCF【点睛】本题考查三角形全等的证明以及平行线的性质定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键.75．如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，BC ＝12厘米，点D 为AB 上一点且BD ＝8厘米，点P 在线段BC 上以2厘米/秒的速度由B 点向C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）用含t的式子表示PC的长为；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使△BPD与△CQP全等？【答案】（1）（12﹣2t）cm；（2）全等，理由详见解析；（3）点Q的运动厘米/秒时，能够使三角形BPD与三角形CQP全等．速度是83【解析】【分析】（1）先表示出BP，然后利用PC＝BC﹣BP即可得到答案；（2）利用速度时间与路程的关系，分别求出两个三角形中的边的长度，再利用SAS判定两个三角形全等；（3）根据全等三角形应满足的条件探究边之间的关系，再根据路程公式，先求得P点的运动时间，再求Q得运动速度.【详解】解：（1）BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝12﹣2t；故答案为（12﹣2t）cm．（2）当t＝2时，BP＝CQ＝2×2＝4厘米，∵BD＝8厘米．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝12厘米，∴PC＝12﹣4＝8厘米，∴PC＝BD，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD和△CQP中，BD PCB C BP CQ=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BPD≌△CQP（SAS）；③∵v P≠v Q，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，∴BP＝PC＝6cm，CQ＝BD＝8cm，∴点P，点Q运动的时间t＝PB2＝62＝3秒，∴V Q＝CQt ＝83厘米/秒．即点Q的运动速度是83厘米/秒时，能够使三角形BPD与三角形CQP全等．【点睛】本题考查全等三角形的的判定，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键.76．已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，若AC＝BC，CE：AE＝1:3，△FBQ的面积等于3，求△AQE的面积；（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，请画出符合条件的图形．若AC＝BC，AE：CE＝1:3，△FEQ的面积等于3，求△AQE的面积．【答案】（1）AE∥BF，QE=QF；（2）9；（3）3.4【解析】【分析】（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；（2）延长EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根据全等三角形的性质得出EA=BD，再证明△AEQ≌△BDQ，所以AE=BD，CE=BF，又因为CE：AE＝1:3，从而得BF:BD=1:3,即△FBQ的面积：△DBQ的面积=1:3，计算△DBQ的面积=9,从而求解；(3)方法同（2）证出Rt△AEC≌Rt△CFB，连接CQ, 由AE：CE＝1:3，得CF：CE＝1:3，再根据高相等的三角形面积比等于底的比得出△CFQ 的面积与△EFQ 的面积面积比，从而求出△CFQ 的面积，然后根据SAS 证明 △QAE ≌△QCF ，从而求解.【详解】解：（1）当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是AE ∥BF ，QE 与QF 的数量关系是AE=BF ，理由是：∵Q 为AB 的中点，∴AQ=BQ ，∵AE ⊥CQ ，BF ⊥CQ ，∴AE ∥BF ，∠AEQ=∠BFQ=90°，在△AEQ 和△BFQ 中，AQE BQF AEQ BFQAQ BQ ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△AEQ ≌△BFQ ，∴QE=QF ， 故答案为：AE ∥BF ，QE=QF ；(2) 延长EQ 交BF 于D ，如图2：∵由（1）知：AE ∥BF ，∴∠AEQ=∠BDQ ，在△AEQ 和△BDQ 中，AQE BQD AEQ BDQ AQ BQ ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△AEQ ≌△BDQ ，∴AE=BD,∵∠ACE+∠FCB=∠FCB+∠CBF=90°∴∠ACE =∠CBF又∵∠AEC=∠CFB=90°，AC=CB,∴△AEQ ≌△BDQ∴AE=BD ，CE=BF又∵CE ：AE ＝1:3，∴BF:BD=1:3,即△FBQ 的面积：△DBQ 的面积=1:3 又∵△FBQ 的面积等于3，∴△DBQ 的面积=9,∵△AEQ ≌△BDQ ，∴△AEQ 的面积=9；（3）图形如下：连接CQ,方法同（2）可得：Rt △AEC ≌Rt △CFB(一线三等角)，∴AE=CF，EC=FB，∠EAC=∠FCB,∵AE：CE＝1:3，∴CF：CE＝1:3，∴△CFQ的面积：△ECQ的面积=1:3，△CFQ的面积：△EFQ的面积=1:4，△FEQ的面积等于3，即：△CFQ的面积=34，∵Q为斜边AB的中点，AC=BC,∴CQ=AQ，∠QAC=∠QCB=45°，∴∠EAC+∠QAC =∠FCB+∠QCB，即∠QAE=∠QCF∴△QAE≌△QCF (SAS)∴△AQE的面积=△CFQ的面积=34，【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，对应角相等．77．如图，在△ABC中，AB=CB，∠BAC＝∠BCA＝45°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE=BF．∠CAE=30°，求∠ACF的度数．【答案】答案见解析.【解析】【分析】由∠BAC=∠BCA=45°，可得△ABC 为等腰直角三角形，则可得到∠BAE=15°，再根据Rt △ABE ≌Rt △CBF 得到∠BCF=∠BAE=15°，然后根据∠ACF=∠BCF+∠BCA 进行计算．【详解】解：∵∠BAC ＝∠BCA ＝45°，∴∠ABC=∠FBC=90°，∴在Rt △ABE 和Rt △CBF 中90AB CB EBA FBC BE BF ⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪⎩＝，＝∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∵∠CAE=30°，∴∠BAE=45°-30°=15°，∵Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF=∠BAE=15°， ∴∠ACF=∠BCF+∠BCA=15°+45°=60°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．78．在ABC ∆中，AB AC =，60A ∠=，点D 在边AB 上，点E 在边AC 上（点D 、点E 不与所在线段端点重合），BD CE =，连接BE ，CD .射线CF AB ∥，延长BE 交射线CF 于点M ，点N 在直线CD 上，且MN CN =.（1）如图1所示，点N 在DC 的延长线上，求BMN ∠的度数.（2）若()090A αα∠=<≤，其它条件不变，当点N 在DC 的延长线上时，BMN ∠=______；当点N 在CD 的延长线上时，BMN ∠=______.（用含α的代数式表示）【答案】(1)120o ;(2)180o -α,α【解析】【分析】(1)先证明△ABE ≌△ACD 得到∠AEB ＝∠ADC ，再由平行线的性质得到∠A=∠ECM,∠ADC+∠ACD+∠ECM=180o ，∠ADC ＝∠MCN ，综合可得∠EMN ＝∠ACD+∠ADC ，再根据三角形内角和即可求得;(2) 当点N 在DC 的延长线上时，求解方法与（1）相同；当点N 在CD 的延长线上时，与（1）方法相同先证明∠ACD ＝∠EMC ，再由MN CN =可得∠ACD+∠ECM ＝∠NME+∠EMC ，再代相等的量代入即可得到∠NME ＝∠A ，即可求得.【详解】（1）∵BD CE =，AB AC =，∴AD ＝AE ，在△ABE 和△ACD 中AB AC A A AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴∠AEB ＝∠ADC ，又∵∠AEB ＝∠MEC(对顶角相等),∴∠ADC ＝∠MEC,∵CF//AB,∠ADC ＝∠MCN ，∴∠A=∠ECM,∠ADC+∠ACD+∠ECM=180o , ∠ADC ＝∠MCN ， 又∵∠EMC+∠ECM+∠MEC ＝180o （三角形内角和为180o ）, ∴∠ADC+∠ACD ＝∠EMC+∠MEC ，又∵∠ADC ＝∠MEC （已证）,∴∠ACD ＝∠EMC ，又∵MN ＝CN ，∴∠NCM ＝∠NMC ，又∵∠ADC ＝∠MCN （已证），∴∠ADC ＝∠NMC ，又∵∠ACD ＝∠EMC ，∠EMN ＝∠ECM+∠NMC ，∴∠EMN＝∠ACD+∠ADC，在△ACD中，∠ACD+∠ADC+∠A＝180o,∴∠EMN＝∠ACD+∠ADC=180o-∠A,又∵∠A＝60o,∴∠EMN＝180o-60o=120o.即∠BMN＝120o;(2) 当点N在DC的延长线上时，如图1所示：由（1）得∠EMN＝180o-∠A，又∵()Aαα∠=<≤，090∴∠EMN＝180o-α,即∠BMN＝180o-α；当点N在CD的延长线上时，如图所示：由（1）可得∠ACD＝∠EMC，∵CF//AB,∴∠A=∠ECM,∵NC＝MN，∴∠NCM＝∠NMC，又∵∠NCM＝∠ACD+∠ECM，∠NMC＝∠NME+∠EMC，∴∠ACD+∠ECM ＝∠NME+∠EMC ，∴∠ECM ＝∠NME ，又∵∠A=∠ECM,∴∠NME ＝∠A ，又∵∠A ＝a ,∴∠NME ＝a,即∠BMN ＝a.【点睛】考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形性质等知识，解题的关键是灵活运用相关性质求证到∠ACD ＝∠EMC ．79．如图所示，在Rt ABC ∆中，AC BC <，90ACB ∠=，点D 在BC 上，CD CA =，点E 在AB 上，连接CE ，DE ，过点C 作CF CE ⊥交BA 的延长线于点F .若180CAB CDE ∠+∠=，DE 与AF 相等吗？请说明理由.【答案】DE=AF,理由见解析【解析】【分析】先证明∠DCE ＝∠ACF 、∠CDE ＝∠CAF ，再根据AAS 证明△CDE ≌△CAF ，从而得到DE ＝AF.【详解】∵90ACB ∠=，CF CE ⊥,∴∠DCE+∠ECA=90o ,∠ACF+∠ECA=90o ,∴∠DCE=∠ACF,∵180CAB CDE ∠+∠=,∠CAE+∠CAF=180o ,∴∠CAF=∠CDE,在△CDE 和△CAF 中，CAF CDE DCE ACF CD CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CDE ≌△CAF （AAS ），∴DE ＝AF.【点睛】考查了全等三角形的判定和性质，解题关键利用同角的补角相等和同角的余角相等证明∠DCE=∠ACF 、∠CAF=∠CDE.三、填空题80．如图，已知BD=DC,∠1=∠2，则，AB=___________,∠B=________________。
七年级上册平行线经典题型及答案解析(经典)
七年级上册平行线经典题型及答案解析(经典)1、已知∠1＝∠2，∠3＝110°，求∠4的度数。
2、已知AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，且∠A=37°，求∠D的度数。
3、在图中，AB，CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A，C两点，点E是橡皮筋上的一点，拽动E点将橡皮筋拉紧后，探索∠A，∠AEC，∠C之间具有的关系并说明理由。
根据提示，可分类讨论E点在AB，CD之间或之外。
结论：①∠AEC＝∠A＋∠C②∠AEC＋∠A＋∠C＝360°③∠AEC＝∠C－∠A④∠AEC＝∠A－∠C⑤∠AEC＝∠A－∠C⑥∠AEC＝∠C－∠A．4、在图中，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，已知∠1=30°，∠2=50°，求∠3的度数。
5、在图中，将一个直角三角板和一把直尺放置，已知∠α=43°，求∠β的度数。
6、在图中，点A、B分别在直线CM、DN上，且CM∥DN。
1）连接AB，则∠CAB+∠ABD=180°；2）连接AC、BD，则∠CAD=∠BDA，即∠CAB+∠CAD+∠ABD+∠BDA=360°；3）连接AC、BD、AD，则∠CAB+∠CAD+∠ABD+∠BDA+∠CDA=540°，又∠CDA=180°，故∠CAB+∠CAD+∠ABD+∠BDA=360°；4）根据（2）和（3）的结果，猜想∠CAB+∠CAD+∠ABD+∠BDA+∠EDA=720°。
2、当点P在A、B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化。
3、当点P在A、B两点外侧运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系取决于点P的具体位置。
如果P在AB的延长线上，则∠1、∠2、∠3之和为180度；如果P在AC和BD的交点之外，则∠1=∠PAC，∠2=∠APB，∠3=∠PBD，且∠1+∠2+∠3=180度。
三角形及平行线+综合训练课件2024-2025学年北师大版数学八年级上册
1 ×54°＝117°.
2
3．△ABC 中，∠C＝80°，点D，E分别是△ABC 边AC，BC上的点，点P是一 动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠ɑ.
(1)若点P在边AB上，且∠ɑ＝50°，如图①，则∠1＋∠2＝________． (2)若点P在边AB上运动，如图②，则∠ɑ，∠1，∠2之间的关系为
(2)∠1＋∠2＝80°＋∠α 点拨：如图②，连接CP， ∵∠1是△CDP的外角， ∴∠1＝∠DCP＋∠DPC， 同理可得，∠2＝∠ECP＋∠EPC，∴∠1＋∠2＝∠ACB＋∠DPE＝80°＋∠α. (3)∠1＝80°＋∠2＋∠α，理由如下： 如图③，∵在△CDM中，∠1＝∠C＋∠CMD，在△EMP中，∠CMD＝∠2＋∠α， ∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α， 即∠1＝80°＋∠2＋∠α.
则∠ADC=____°，∠DAC=____°； ②如图1,若∠B=∠BAD,∠ADC=∠C, 则∠B=____°，∠C=_____°，∠DAC=______°；
图1
一题多设问
如图，在△ABC中，∠C>∠B,点D是BC上一点(点D不与点B,C重合)， 连接AD.（1）若AD平分∠BAC.
③如图2，过点A作AE⊥BC于点E， 若∠B=40°,∠C=60°，则∠DAE=__ °.
C
E
DP
B
图1
链接真题
拓展探究：（3）如图2，敏学小组画出了点P，E分别在线段DB，
AB延长线上时的情形，其余条件不变，提出如下问题． A
请从下面A，B两题中任选一题作源自答．我选择题．A．画
∠DPE的角平分线，交AD的延长线
于点F．请在图2中补全图形，并直 接写出∠AFP的度数．B．请直接写
CA
D
初中数学八年级数学《三角形》综合题难题附答案
八年级三角形综合题难题附答案第1节与三角形有关的线段一、三角形的边1、如图，点P是△ABC内部的一点．（1）度量线段AB，AC，PB，PC的长度，根据度量结果比较AB+AC与PB+PC的大小；（2）改变点P的位置，上述结论还成立吗？（3）你能说明上述结论为什么正确吗？【答案】（1）如图有：AB+AC＞PB+PC；（2）改变点P的位置，上述结论还成立；（3）如图，连接AP，BP，CP，延长BP交于AC于点E，在△ABE中有，AB+AE＞BE＝BP+PE △在△CEP中有，PE+CE＞PC △△+△得，AB+AE+PE+CE＞BP+PE+PC，AB+AC+PE＞BP+PE+PC，△AB+AC＞BP+PC．二、三角形的高、中线与角平分线1、如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是腰AC上的中线。
（1）若AB>BC，填空：△AD＝_____________；△△ABD的周长与△BEC的周长之差为_________。
（2）若△ABC的周长为20cm，BD将△ABC的周长分成差为4cm的两部分，求△ABC的边长。
【答案】（1）△EC；△AB-BC（2）8cm，8cm，4cm；或16/3cm，16/3cm，28/3cm2、如图，△ABC中，△C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm．若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒．（1）当t＝6秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？（2）当t＝6.5秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？（3）当t为何值时，△BCP的面积为12cm2？【答案】（1）6；（2）6.5；（3）2或6.53、如图，已知在Rt△ABC中，△ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B、C不重合），作BE△AD 于E，CF△AD于F，则BE+CF的值（）A．不变B．增大C．减小D．先变大再变小【答案】C第2节与三角形有关的角一、三角形的内角和1、△ABC中，∠A＝50°，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内）使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和C（如图）（1）填空：∠ABC+∠ACB＝______°，∠PBC+∠PCB ＝______°；（2）试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系，写出你的结论．【答案】（1）130；90；（2）∠ABP+∠ACP＝40°2、如图①，在△ABC中，∠A＝50°，有一块直角三角尺PMN放置在△ABC上（点P在△ABC内），使三角尺PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B、C．（1）填空：∠ABC+∠ACB＝___，∠PBC+∠PCB＝___；（2）试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系，请写出你的结论；（3）如图②，改变直角三角尺PMN的位置（点P在△ABC外），三角尺PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B、C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）130；90；（2）∠ABP+∠ACP＝40°；（3）发生变化；∠ACP -∠ABP＝40°．3、问题情景：如图①，将一块直角三角板PMN放置在△ABC上（点P在△ABC内），使三角尺PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B、C．试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系？（1）特殊探究：若∠A＝50°，则∠ABC+∠ACB＝___，∠PBC+∠PCB＝_____，∠ABP+∠ACP＝_____；（2）类比探究：请探究∠ABP+∠ACP与∠A的数量关系．（3）类比延伸：如图②如图②，改变直角三角尺PMN 的位置（点P在△ABC外），三角尺PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B、C，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请写出你的结论，并说明理由．【答案】（1）130°；90°；40°（2）∠ABP+∠ACP＝90°-∠A；（3）不成立；∠ACP -∠ABP＝90°-∠A．4、动手操作：（1）如图1，将一块直角三角板DEF放置在直角三角板ABC上，使三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C，且BC△EF，已知△A＝30°，则△ABD +△ACD＝______°；（2）如图2，△BDC与△A、△B、△C之间存在着什么关系，并说明理由；（3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决以下列问题：如图3，BE平分△ABD，CE平分△ACD，若△BAC ＝40°，△BDC＝120°，求△BEC的度数。
2020-2021学年人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》易错题(解析版)
2020-2021学年人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》易错题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一，单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）∠=︒，1．如图，直线l与直线AB相交，将直线1l沿AB的方向平移得到直线2l，若160则2∠的度数为（）A．100︒B．110︒C．120︒D．130︒【答案】C【解析】【分析】先利用平移的性质得到l1∥l2，则根据平行线的性质得到∥3＝120°，然后根据对顶角的性质得到∥2的度数．【详解】解：∥直线l1沿AB的方向平移得到直线l2，∥l1∥l2，∥∥1＋∥3＝180°，∥∥3＝180°−60°＝120°，∥∥2＝∥3＝120°．故选C．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等，同时也考查了平行线的性质．2．如图，2∠的同旁内角是（ ）A ．3∠B ．4∠C ．5∠D ．1∠【答案】B【解析】【分析】 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．【详解】解：由图可得，∥2与∥4是BD 与EF 被AB 所截而成的同旁内角，∥∥2的同旁内角是∥4，故选B ．【点睛】此题主要考查了同旁内角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．3．如图，CD⊥AB，BC⊥AC，垂足分别是D，C，则表示点C 到线段AB 的距离的是（）A．线段AC的长度B．线段BC的长度C．线段CD的长度D．线段BD的长度【答案】C【解析】【分析】直接根据点到直线距离的定义即可得出结论．【详解】解：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，∴点C到线段AB的距离是线段CD的长度．故选C．【点睛】本题考查的是点到直线距离，熟知点到直线距离的定义是解答此题的关键．4．如图，将一块含有45角的直角三角板的两个顶点放在一把直尺的对边上，如果125∠，那么2=∠的度数是（）A．30B．25C．20D．15【答案】C【分析】根据平行线的性质求出∥3，再根据直角三角板的性质得出∥2的度数即可．【详解】根据题意，标注如下图所示∥直尺两边平行，∥∥3＝∥1=25°，∥∥2+∥3＝45°，∥∥2＝20°，故选C．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，能求出∥3的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．5．如图，不能说明AB//CD的有（）⊥⊥DAC=⊥BCA；⊥⊥BAD=⊥CDE；⊥⊥DAB+⊥ABC=180°；⊥⊥DAB=⊥DCBA．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】选项∥∥DAC 和∥BCA 属于内错角，选项∥∥BAD 和∥CDE 属于同位角，选项∥∥DAB 和∥ABC 属于同旁内角，根据两直线平行的三大定理进行判断，选项∥不符合两直线平行的判定定理，不能判定哪两条直线平行．【详解】选项∥∥∥DAC=∥BCA ∥AD∥BC （内错角相等，两直线平行）；选项∥∥∥BAD=∥CDE∥AB∥CD （同位角相等，两直线平行）；选项∥∥∥DAB+∥ABC=180°∥AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行）；选项∥不符合两直线平行的判定定理，不能判定哪两条直线平行．故选C ．【点睛】本题考查了两直线平行的判定定理：（一）同位角相等，两直线平行；（二）内错角相等，两直线平行；（三）同旁内角互补，两直线平行．找准两个角是同位角，内错角还是同旁内角，然后再进行判断．6．如图，,,AB BC BC CD EBC BCF ⊥⊥∠=∠，则ABE ∠和FCD ∠的关系是（ ）A ．不是同位角但相等B ．是同位角且相等C ．是同位角但不相等D ．不是同位角也不相等【答案】A【分析】首先根据垂直可得∥ABC=∥DCB=90°，再根据等角的余角相等可得∥ABE=∥FCD．【详解】解：∥AB∥BC，BC∥CD，∥∥ABC=∥DCB=90°，∥∥EBC=∥BCF，∥∥ABE=∥FCD．故选A．【点睛】此题主要考查了垂直定义，以及余角的性质，关键是掌握等角的余角相等．7．如图，如果AB⊥EF，EF⊥CD，下列各式正确的是（）A．⊥1+⊥2−⊥3=90°B．⊥1−⊥2+⊥3=90°C．⊥1+⊥2+⊥3=90°D．⊥2+⊥3−⊥1=180°【答案】D【分析】根据平行线的性质，即可得到∥3=∥COE，∥2+∥BOE=180°，进而得出∥2+∥3-∥1=180°．【详解】∥EF∥CD∥∥3=∥COE∥∥3−∥1=∥COE−∥1=∥BOE∥AB∥EF∥∥2+∥BOE=180°，即∥2+∥3−∥1=180°故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，两条直线平行：内错角相等；两直线平行：同旁内角互补．8．如图，图⊥是一个四边形纸条ABCD，其中AB⊥CD，E，F 分别为边AB，CD 上的两个点，将纸条ABCD 沿EF 折叠得到图⊥，再将图⊥沿DF 折叠得到图⊥，若在图⊥中，⊥FEM=26°，则⊥EFC 的度数为（）A．52°B．64°C．102°D．128°【答案】C【解析】【分析】先由折叠得：∥BEF=2∥FEM=52°，由平行线的性质得∥EFM=26°，如图∥中，根据折叠和平行线的性质得，∥MFC=128°，根据角的差可得结论．【详解】如图∥，由折叠得：∥BEF=2×26°=52°，如图∥，∥AE∥DF，∥∥EFM=26°，∥BMF=∥DME=52°，∥BM∥CF，∥∥CFM+∥BMF=180°，∥∥CFM=180°-52°=128°，由折叠得：如图∥，∥MFC=128°，∥∥EFC=∥MFC-∥EFM=128°-26°=102°，故选C．【点睛】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质等知识；熟练掌握平行线和翻折变换的性质得出相等的角是解决问题的关键．9．已知命题A：“若a a=”．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（）A．a＝1B．a＝0C．a＝﹣1﹣k（k为实数）D．a＝﹣1﹣k2（k为实数）【答案】D【解析】【分析】a=可确定a的范围，排除掉在范围内的选项即可.【详解】解：当a≥0a=，当a＜0a=-，∥a＝1＞0，故选项A不符合题意，∥a＝0，故选项B不符合题意，∥a＝﹣1﹣k，当k＜﹣1时，a＞0，故选项C不符合题意，∥a＝﹣1﹣k2（k为实数）＜0，故选项D符合题意，故选：D．【点睛】a aaa a≥⎧==⎨-≤⎩，正确理解该性质是解题的关键.10．如图,AB⊥DC,ED⊥BC,AE⊥BD,那么图中与⊥ABD面积相等的三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据等高模型，同底等高的三角形的面积相等即可判断；【详解】解：∥AE∥BD，∥S∥ABD=S∥BDE，∥DE∥BC，∥S∥BDE=S∥EDC，∥AB∥CD，∥S∥ABD=S∥ABC，∥与∥ABD面积相等的三角形有3个，故选C．【点睛】本题考查平行线的性质、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．若//a b，//l a，则l与b的位置关系是__________________．【答案】//l b【分析】由平行线的传递性，两条直线都与a平行，则这两条直线也平行，即可解答；【详解】解：由平行线的传递性可知：∥//a b，//l a，∥//l b.故答案为//l b.【点睛】本题考查了平行线的传递性，掌握两条直线都与同一条直线平行，则这两条直线也平行是解题的关键.12．下列各种说法中错误的是______（填序号）⊥过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⊥在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；⊥两条直线没有交点，则这两条直线平行；⊥在同一平面内，若直线AB⊥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．【答案】∥∥∥．【解析】【分析】根据平行线的定义，结合各项进行判断即可．【详解】解：∥经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，故该项错误；∥在同一平面内，两条不相交的线段不一定是平行线段，原说法错误，故该项错误；∥没有说明在同一平面内，故本项错误；∥在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，说法正确，故本项正确；故答案为∥∥∥．【点睛】本题考查了平行线的知识，平行一般指的是直线平行，在同一平面内，两条线段即使不相交，也不一定是平行线段．13．如图，已知AB⊥CD，⊥A＝70°，则⊥1的度数是_____度．【答案】110【分析】首先根据平行线的性质，得∥A的内错角是70°，再根据邻补角的定义，得∥1的度数是180°﹣70°＝110°．【详解】解：∥AB∥CD，∥A＝70°，∥∥2＝∥A＝70°，∥∥1＝180°﹣70°＝110°．【点睛】此题考查平行线的性质，邻补角，解题关键在于得到∥A 的度数.14．如图，AEFC 是折线，AB//CD ，那么⊥1，⊥2，⊥3，⊥4的大小所满足的关系式为_______________；【答案】2314180∠+∠=∠+∠+︒或2314180∠+∠-∠-∠=︒【分析】首先过点E 作//EM AB ，过点F 作//FN CD ，由//AB CD ，即可得//////AB EM FN CD ，根据两直线平行，内错角相等与两直线平行，同旁内角互补即可求得1AEM ∠=∠，180MEF NFE ∠+∠=︒，2NFC ∠=∠，则可求得1∠、2∠、3∠、4∠的大小所满足的关系式．【详解】解：过点E 作//EM AB ，过点F 作//FN CD ，//AB CD ，//////AB EM FN CD ∴，1AEM ∴∠=∠，180MEF NFE ∠+∠=︒，4NFC ∠=∠，2MEF AEM ∠=∠-∠，3NFE NFC ∠=∠-∠，2314180∴∠+∠=∠+∠+︒或2314180∠+∠-∠-∠=︒．故答案为：2314180∠+∠=∠+∠+︒或2314180∠+∠-∠-∠=︒．【点睛】此题考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等与两直线平行，同旁内角互补定理的应用与辅助线的作法．15．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知1130∠=︒，则2∠=_________︒．【答案】65【分析】如下图，利用∥1的大小和平行，先求解出∥3的大小，再利用∥3和∥2以及∥2折叠部分的大小总共为平角来求解∥2的大小．【详解】如下图∥∥1=130°，∥∥3=50°∥图形是折叠而来，∥∥2=∥4∥∥3+∥2+∥4=180°∥∥2+∥4=130°∥∥2=65°故答案为：65．【点睛】本题考查了折叠问题及平行线的性质，折叠部分是完全相同的，即折叠部分的角度是相等的，这是一个隐含条件，解题过程中不可遗漏．16．如果4条直线两两相交，最多有_________个交点，最少有_________个交点.【答案】6， 1【分析】根据相交线的特点，可得答案．【详解】解：最多交点个数为(1)2n n-=44-1=62⨯（），最少有1个交点.故答案为6,1.．【点睛】本题考查了相交线，关键是考虑全面，不要漏解．17．一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点,B D重合，若固定三角形AOB，将三角形ACD绕点A顺时针旋转一周，共有_________次出现三角形ACD的一边与三角形AOB的某一边平行．【答案】8【分析】要分类讨论，不要漏掉任何一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系，再计算．【详解】解：分8种情况讨论：（1）如图1，AD边与OB边平行时，∥BAD＝45°；（2）如图2，当AC边与OB平行时，∥BAD＝90°+45°＝135°；（3）如图3，DC边与AB边平行时，∥BAD＝60°+90°＝150°，（4）如图4，DC边与OB边平行时，∥BAD＝135°+30°＝165°，（5）如图5，DC边与OB边平行时，∥BAD＝45°﹣30°＝15°；（6）如图6，DC边与AO边平行时，∥BAD＝15°+90°＝105°（7）如图7，DC边与AB边平行时，∥BAD＝30°，（8）如图8，DC边与AO边平行时，∥BAD＝30°+45°＝75°；综上所述：∥BAD的所有可能的值为：15°，30°，45°，75°，105°，135°，150°，165°．故答案为：8．【点睛】本题考查了平行线的性质及判定，画出所有符合题意的示意图是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题,共49分）18．如图，在ABC 中，40B ∠=︒，70C ∠=︒，AD 是⊥ABC 的角平分线，点E 在BD 上，点F 在CA 的延长线上，EF AD ∥，求F ∠的度数.【答案】35°【分析】由三角形内角和定理可知BAC ∠的度数，由角平分线的性质可知DAC ∠的度数，根据两直线平行同位角相等可求解.【详解】解：（1）∥40B ∠=︒，70C ∠=︒，∥70BAC ∠=︒，∥AD 是ABC 的角平分线，∥1352DAC BAC ∠=∠=︒，∥EF AD ∥，∥35F DAC ∠=∠=︒.【点睛】本题考查了平行线的性质，综合运用三角形内角和定理，角平分线的性质，平行线的性质是解题的关键.19．如图所示：（1）若//DE BC ，13∠=∠，90CDF ∠=︒，求证：FG AB ⊥.（2）若把（1）中的题设“//DE BC ”与结论“FG AB ⊥”对调，所得命题是否是真命题？说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）是真命题.【分析】（1）利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案；（2）利用平行线的性质以及结合平行线的判定方法分析得出答案．【详解】解：（1）证明：//DE BC （已知）， 12∠∠∴=.（两直线平行，内错角相等）， 13∠=∠（已知）， 23∴∠=∠（等量代换）， //DC FG ∴.（同位角相等，两直线平行）， 90BFG FDC ∴∠=∠=︒.（两直线平行，同位角相等）， FG AB ∴⊥.（垂直的定义）；（2）是真命题，理由如下：FG AB ⊥（已知）， 90BFG FDC ∴∠=︒=∠，//DC FG ∴.（同位角相等，两直线平行）， 23∴∠=∠.（两直线平行，同位角相等）， 13∠=∠（已知）， 12∠∠∴=.（等量代换）， //DE BC ∴.（内错角相等，两直线平行）.【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确掌握相关判定与性质是解题关键． 20．已知，如图，⊥1＝⊥ACB ，⊥2＝⊥3，FH⊥AB 于H ，求证：CD⊥AB ．证明：⊥⊥1＝⊥ACB （已知）⊥DE⊥BC （ ）⊥⊥2＝ （ ）⊥⊥2＝⊥3（已知）⊥⊥3＝⊥CD⊥FH （ ）⊥⊥BDC ＝⊥BHF （ ）又⊥FH⊥AB（已知）⊥ （）⊥CD⊥FH⊥⊥BHF＝⊥BDC＝90°（）即CD⊥AB（）【答案】同位角相等，两直线平行；∥BCD，两直线平行，内错角相等；∥BCD；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∥BHF=90°，垂直的定义；两直线平行，同位角相等；垂直的定义．【解析】【分析】先根据，∥1=∥ACB得出DE∥BC，故可得出∥2=∥BCD，根据∥2=∥3得出∥3=∥BCD，所以CD∥FH，再由垂直的定义得出∥BHF=90°由平行线的性质即可得出结论．【详解】∥∥1=∥ACB（已知），∥DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∥∥2=∥BCD．（两直线平行，内错角相等）．∥∥2=∥3（已知），∥∥3=∥BCD∥CD∥FH（同位角相等，两直线平行），∥∥BDC=∥BHF（两直线平行，同位角相等）又∥FH∥AB（已知），∥∥BHF=90°（垂直的定义）．∥CD∥FH∥∥BDC=∥BHF=90°，（两直线平行，同位角相等）∥CD∥AB（垂直的定义）．故答案为：同位角相等，两直线平行；∥BCD，两直线平行，内错角相等；∥BCD；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∥BHF=90°；垂直的定义；两直线平行，同位角相等；垂直的定义．【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．21．如图：AD 是BAC ∠的角平分线，点E 是射线AC 上一点，延长ED 至点F ，180CAD ADF ︒∠+∠=．求证：（1）//AB EF ；（2）2ADE CEF ∠=∠【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据角平分线和同旁内角互补两直线平行即可证得；（2）由（1）得2CEF EAB DAB ∠=∠=∠，又因为DAB ADE ∠=∠，即可证得．【详解】（1）AD 是BAC ∠的角平分线．CAD DAB ∴∠=∠又180CAD ADF ︒∠+∠=180DAB ADF ︒∠+∠=//AB EF ∴（2）//AB EF2CEF EAB DAB ∴∠=∠=∠又DAB ADE ∠=∠2ADE CEF∴∠=∠【点睛】本题考查角平分线和平行线的证明与性质，掌握平行线证明方法是解题的关键．22．问题情境1：如图1，AB⊥CD，P是ABCD内部一点，P在BD的右侧，探究⊥B，⊥P，⊥D之间的关系？小明的思路是：如图2，过P作PE⊥AB，通过平行线性质，可得⊥B，⊥P，⊥D之间满足关系．（直接写出结论）问题情境2如图3，AB⊥CD，P是AB，CD内部一点，P在BD的左侧，可得⊥B，⊥P，⊥D之间满足关系．（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB⊥CD，⊥ABE与⊥CDE两个角的角平分线相交于点F（1）如图4，若⊥E＝80°，求⊥BFD的度数；（2）如图5中，⊥ABM＝13⊥ABF，⊥CDM＝13⊥CDF，写出⊥M与⊥E之间的数量关系并证明你的结论．（3）若⊥ABM＝1n⊥ABF，⊥CDM＝1n⊥CDF，设⊥E＝m°，用含有n，m°的代数式直接写出⊥M＝．【答案】问题情境1：∥B+∥BPD+∥D＝360°，∥P＝∥B+∥D；（1）140°；（2）16∥E+∥M＝60°（3）360m2nM︒︒-∠=【分析】问题情境1：过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，得到∥B+∥BPE=180°，∥D+∥DPE=180°，进而得出：∥B+∥P+∥D=360°；问题情境2：过点P作EP∥AB，再由平行线的性质即可得出结论；∥，∥根据∥中的方法可得出结论；问题迁移：（1）如图4，根据角平分线定义得：∥EBF=12∥ABE，∥EDF=12∥CDE，由问题情境1得：∥ABE+∥E+∥CDE=360°，再根据四边形的内角和可得结论；（2）设∥ABM=x，∥CDM=y，则∥FBM=2x，∥EBF=3x，∥FDM=2y，∥EDF=3y，根据问题情境和四边形内角和得等式可得结论；（3）同（2）将3倍换为n倍，同理可得结论．【详解】问题情境1：如图2，∥B+∥BPD+∥D＝360°，理由是：过P作PE∥AB，∥AB∥CD，PE∥AB，∥AB∥PE∥CD，∥∥B+∥BPE＝180°，∥D+∥DPE＝180°，∥∥B+∥BPE+∥D+∥DPE＝360°，即∥B+∥BPD+∥D＝360°，故答案为∥B+∥P+∥D＝360°；问题情境2如图3，∥P＝∥B+∥D，理由是：过点P作EP∥AB，∥AB∥CD，∥AB∥CD∥EP，∥∥B＝∥BPE，∥D＝∥DPE，∥∥BPD＝∥B+∥D，即∥P＝∥B+∥D；故答案为∥P＝∥B+∥D；问题迁移：（1）如图4，∥BF、DF分别是∥ABE和∥CDE的平分线，∥∥EBF＝12∥ABE，∥EDF＝12∥CDE，由问题情境1得：∥ABE+∥E+∥CDE＝360°，∥∥E＝80°，∥∥ABE+∥CDE＝280°，∥∥EBF+∥EDF＝140°，∥∥BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；（2）如图5，16∥E+∥M＝60°，理由是：∥设∥ABM＝x，∥CDM＝y，则∥FBM＝2x，∥EBF＝3x，∥FDM＝2y，∥EDF＝3y，由问题情境1得：∥ABE+∥E+∥CDE＝360°，∥6x+6y+∥E＝360°，16∥E＝60﹣x﹣y，∥∥M+∥EBM+∥E+∥EDM＝360°，∥6x+6y+∥E＝∥M+5x+5y+∥E，∥∥M＝x+y，∥16∥E+∥M＝60°；（3）如图5，∥设∥ABM＝x，∥CDM＝y，则∥FBM＝（n﹣1）x，∥EBF＝nx，∥FDM ＝（n﹣1）y，∥EDF＝ny，由问题情境1得：∥ABE+∥E+∥CDE＝360°，∥2nx+2ny+∥E＝360°，∥x+y＝360m2n︒︒-，∥∥M+∥EBM+∥E+∥EDM＝360°，∥2nx+2ny+∥E＝∥M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∥E，∥∥M＝360m2n︒︒-；故答案为∥M＝360m2n︒︒-．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、n等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用．23．如图1，已知直线PQ⊥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，⊥PAC=50°，⊥ADC=30°，AE平分⊥PAD，CE平分⊥ACD，AE与CE相交于点E.（1）若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分⊥AA1D1，CE平分⊥ACD1，A1E与CE相交于E，⊥PAC=50°，⊥A1D1C=30°，求⊥A1EC 的度数.（2）若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（1）相同，求此时⊥A1EC的度数.【答案】（1）130°；（2）40°.【分析】（1）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∥CAE以及∥ECA的度数，进而得出答案；（2）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∥1和∥2的度数，进而得出答案．【详解】解：（1）如图所示：∥∥A1D1C=30°，线段AD沿MN向右平移到A1D1，PQ∥MN，∥∥QA1D1=30°，∥∥PA1D1=150°，∥A1E平分∥AA1D1，∥∥PA1E=∥EA1D1=75°，∥∥PAC=50°，PQ∥MN，∥∥CAQ=130°，∥ACN=50°，∥CE平分∥ACD1，∥∥ACE=25°，∥∥A1EC =360°-25°-130°-75°=130°；（2）如图所示：过点E作FE∥PQ，∥∥A1D1C=30°，线段AD沿MN向左平移到A1D1，PQ∥MN，∥∥QA1D1=30°，∥A1E平分∥AA1D1，∥∥QA1E=∥2=15°，∥∥PAC=50°，PQ∥MN，∥∥ACN=50°，∥CE平分∥ACD1，∥∥ACE=∥ECN=∥1=25°，∥∥A1EC =∥1+∥2=15°+25°=40°．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质是解题关键．。
(典型题)初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》测试题(含答案解析)
一、选择题1．如图，BE ，CF 都是△ABC 的角平分线，且∠BDC =110°，则∠A 的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°2．下列命题是真命题的是（ ）A ．平行于同一直线的两条直线平行B ．两直线平行，同旁内角相等C ．同旁内角互补D ．同位角相等 3．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）．A ．3的平方根是3B ．5是无理数C ．1的立方根是1D ．全等三角形的周长相等 4．一个三角形的三个内角中（ ）A ．至少有一个等于90°B ．至少有一个大于90°C ．不可能有两个大于89°D ．不可能都小于60° 5．如图，AD ，AE 分别为△ABC 的高线和角平分线，DF ⊥AE 于点F ，当∠ADF ＝69°，∠C＝65°时，∠B 的度数为（ ）A ．21°B ．23°C ．25°D ．30° 6．如图，△CEF 中，∠E=70°，∠F=50°，且AB ∥CF ，AD ∥CE ，连接BC ，CD ，则∠A 的度数是（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°7．如图，//AB CD ，一副三角尺按如图所示放置，18AEG ∠=︒，则HFD ∠为（ ）A ．23B ．33C ．36D ．38 8．在△ABC 中，∠A ＝80°，∠B ＝50°，则∠C =（ ） A ．130°B ．50°C ．40°D ．20° 9．如图，在四边形ABCD 中，要得到AB CD ∥，只需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A ．13∠=∠B ．24∠∠=C ．BD ∠=∠D ．12180B ∠+∠+∠=︒ 10．如图，//AB CD ，BE 交CD 于点F ，48B ∠=︒，20E ∠=︒，则D ∠的度数为（ ）．A ．28B ．20C ．48D ．6811．如图，现给出下列条件：①1B ∠=∠，②25∠=∠，③34∠=∠，④180BCD D ︒∠+∠=．⑤180B BCD ︒∠+∠=，其中能够得到//AB CD 的条件有（ ）A ．①②④B ．①③⑤C ．①②⑤D ．①②④⑤ 12．如图，在ABC ∆中，CD 是ACB ∠的平分线，80A ∠=︒，40ABC ∠=︒，那么BDC ∠=（ ）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒二、填空题13．如图，在△ABC 中，∠A ＝50°，BE 平分∠ABC ，CE 平分外角∠ACD ，则∠E 的度数为________．14．如图，65A ∠=︒，75B ∠=︒，将纸片的一角折叠，使点C 落在ABC 外，若218∠=︒，则1∠的度数为________________．15．若一个三角形三个内角度数的比为1:3:6，则其最大内角的度数是________． 16．如图所示，在ABC 中，80A ∠=︒，延长BC 到D ，ABC ∠与ACD ∠的平分线相交于1A 点，1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于A 点，依此类推，4A BC ∠与4A CD ∠的平分线相交于5A 点，则5A ∠的度数是_________．17．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A 落在F 处，折痕为BC ，FBD ∠的角平分线为BE ，将FBD ∠沿BF 折叠使BE ，BD 均落在FBC ∠的内部，且BE 交CF 于点M ，BD 交CF 于点N ，若BN 平分CBM ∠，则ABC ∠的度数为_________．18．已知直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为___________．19．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点B落在图中的B'处，设∠B'EC＝∠1，∠B'DA ＝∠2．若∠B＝25°，则∠2﹣∠1＝_____°．20．三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的3倍，我们把这个三角形叫做“三倍角三角形”．在一个“三倍角三角形”中有一个内角为60°，则另外两个角分别为_____．三、解答题21．阅读感悟：如下是小明在学习完“证明三角形内角和定理”后对所学知识的整理和总结，请仔细阅读，并完成相应的任务．三角形内角和定理的证明今天，在老师的带领下学习了三角形内角和定理证明的多种方法，我对这些方法进行了梳理，主要分为两大类：动手实践操作类①量角器测量法：通过引导同学们画出任意三角形，每人都用量角器测量并将所测得的角度相加，得到结论；②折叠法：如图1，将①所画的三角形剪下并折叠，使每个角都落到三角形一边的同一点处，发现三个角正好可拼为一个平角，进而得到相关结论；③剪拼法：如图2，将方法②用过的三角形展开之后，随意的将某两个角撕下之后，拼到第三个角处，发现三个角正好可拼为一个平角，故而得到相应的结论．证明类（思路：由实际操作的后两种方法得到的启发，我们可以通过构造辅助线，将所证明的三个角通过某些特殊的方法转化到一条直线上，利用所学相关数学知识来证明三角形内角和）：①如图3，过三角形的某个顶点作对边的平行线，利用平行线性质来证明；②如图4，延长三角形的某一条边，并过相应的点做一条平行线，进而利用平行线性质来证明；……任务：（1）“折叠法”和“剪拼法”中得到相应结论的根据是：_________．（2）“证明类”的方法中主要体现了_______的数学思想；A ．方程B ．类比C ．转化D ．分类（3）结合以上数学思想，请在图5中画出一种不同于以上思路的证明方法，并证明三角形内角和定理．22．已知，//AB CD ，点P 在AB 、CD 之间，连结AP 、CP ．（1）如图1，求A C P ∠+∠+∠的度数（提供两种作辅助线的方法：方法一：过点P 作AB 的平行线；方法二：连结AC ）；（2）已知100APC ∠=︒，PAB ∠和PCD ∠的角平分线AO 、CO 交于点0，请你画出草图，并直接写出AOC ∠的度数．23．已知，如图，ADE B ∠=∠，12∠=∠，GF AB ⊥．求证：CD AB ⊥；下面是证明过，请你将它补充完整证明：∵ADE B ∠=∠ ∴ // （ ）∴13∠=∠又∵12∠=∠∴23∠∠=∴ // （ ）∴FGB ∠=∵FG AB ⊥∴FGB ∠=∴CDB ∠=∴CD AB ⊥24．如图1，AD //BC ，BAD ∠的平分线交BC 于点G ，90BCD ∠=︒．（1）求证：BAG BGA ∠=∠（2）如图2，若50ABC ∠=︒，BCD ∠的平分线交AD 于点E ，交射线GA 于点F ，AFC ∠的度数．（3）如图3，线段AG 上有一点P ，满足2ABP PBG ∠=∠，过点C 作CH //AG ． 若在直线AG 上取一点M ，使PBM DCH ∠=∠，请求:ABM GBM ∠∠的值．25．综合与实践问题情境：在数学活动课上，全班同学分组进行了一副三角尺上角的探究活动，如图所示，放置一副三角尺，两个三角尺的顶点O 重合，边CD 与边AB 重合，试求AOC ∠的度数．（1）探究展示勤奋小组展示了如下的解决方法（请结合图形1，完成填空）解：∵45OCD ∠=︒，60OBC ∠=︒∴BOC ∠=__________（___________________）又∵90AOB ∠=︒，∴AOC ∠=__________．（2）反思交流：创新小组受勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2所示，绕顶点O 逆时针旋转DOC △，当DC AO //时，求得AEO ∠的度数．（请你写出解答过程）（3）探索发现：小明受到旋转的启发，继续进行探究（如图3），继续绕顶点O 逆时针旋转DOC △，使点B 落在边DC 上，此时发现1∠与2∠之间的数量关系．以下是他的解答过程，请补充完整解：在AOE △与BCE 中，∵12AEO A CEB C ∠+∠+∠=∠+∠+∠又∵AEO CEB ∠=∠（___________________）A ∠=__________，C ∠=__________，∴12A C ∠+∠=∠+∠12∠-∠=__________．26．已知在DEF ∆中，70E F ∠+∠=︒，现将DEF ∆放置在ABC ∆上，使得D ∠的两条边DE ，DF 分别经过点B 、C ．（1）如图①所示，若50A ∠=︒，且//BC EF 时，ABC ACB ∠+∠= 度，DBC DCB ∠+∠= 度，ABD ACD +=∠∠ 度；（2）如图②，改变ABC ∆的位置，使得点D 在ABC ∆内，且BC 与EF 不平行时，请探究ABD ACD ∠+∠与A ∠之间存在怎样的数量关系，并验证你的结论；（3）如图③，改变ABC ∆的位置，使得点D 在ABC ∆外，且BC 与EF 不平行时，请探究ABE ∠、ACF ∠、A ∠之间存在怎样的数量关系，请直接写出你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可．【详解】解：∵BE 、CF 都是△ABC 的角平分线，∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)，=180°-2(∠DBC+∠BCD)∵∠BDC=180°-(∠DBC+∠BCD)，∴∠A=180°-2(180°-∠BDC)∴∠BDC=90°+12∠A ， ∴∠A=2(110°-90°)=40°．故答案为：A ．本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键．2．A解析：A【分析】对照平行线的性质和定理，逐一判断即可.【详解】∵平行于同一直线的两条直线平行，∴选项A正确；∵两直线平行，同旁内角互补，∴选项B错误；∵两直线平行，同旁内角互补，∴选项C错误；∵两直线平行，同位角相等，∴选项D错误；故选A.【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，熟记性质和判定的条件和结论是解题的关键.3．C解析：C【分析】根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．【详解】A3的逆命题是：3的平方根，是假命题；BC、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；D、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题；故选：C．【点睛】此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．4．D解析：D【分析】根据三角形的内角性质、三角形的内角和定理逐项判断即可得．A 、反例：锐角三角形的三个内角均小于90︒，此项错误；B 、反例：锐角三角形的三个内角均小于90︒，此项错误；C 、反例：一个三角形的三个内角分别为89.5,89.5,1︒︒︒，此项错误；D 、因为三角形的内角和等于180︒，所以不可能都小于60︒，此项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．5．B解析：B【分析】依据三角形内角和定理即可得到∠DAF 和∠CAD 的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠BAC 的度数，最后依据三角形内角和定理即可得到∠B 的度数．【详解】解：∵DF ⊥AE ，∠ADF ＝69°∴∠DAF ＝21°，∵AD ⊥BC ，∠C ＝65°，∴∠CAD ＝25°，∴∠CAE ＝∠DAF+∠CAD ＝21°+25°＝46°，又∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAC ＝2∠CAE ＝92°，∴∠B ＝180°﹣∠BAC ﹣∠C ＝180°﹣92°﹣65°＝23°，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理：三角形内角和是180°．6．D解析：D【分析】连接AC 并延长交EF 于点M ．由平行线的性质得31∠=∠，24∠∠=，再由等量代换得3412BAD FCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠，先求出FCE ∠即可求出A ∠．【详解】连接AC 并延长交EF 于点M ．∵AB CF ， ∴31∠=∠， ∵AD CE ， ∴24∠∠=，∴3412BAD FCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠，∵180180705060FCE E F ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴60BAD FCE ∠=∠=︒，故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．7．B解析：B【分析】过点G 作AB 平行线交EF 于P ，根据平行线的性质求出∠EGP ，求出∠PGF ，根据平行线的性质、平角的概念计算即可．【详解】解：过点G 作AB 平行线交EF 于P ，由题意易知，AB ∥GP ∥CD ，∴∠EGP=∠AEG=18°，∴∠PGF=72°，∴∠GFC=∠PGF=72°，∴∠HFD=180°-∠GFC-∠GFP-∠EFH=33°．故选：B ．【点睛】本题考查的是平行线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握两直线平行、内错角相等是解题的关键．8．B解析：B【分析】直接利用三角形内角和定理得到∠C 的度数即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠A=80°，∠B=50°，∴∠C=180°-80°-50°=50°，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，正确把握定义是解题的关键．9．B解析：B【解析】A 不可以；∵∠1=∠3，∴AD ∥BC(内错角相等,两直线平行)，不能得出AB ∥CD ，∴A 不可以；B 可以；∵∠2=∠4，∴AB ∥CD(内错角相等,两直线平行)；∴B 可以；C 、D 不可以；∵∠B=∠D,不能得出AB ∥CD ；∵∠1+∠2+∠B=180°，∴AD ∥BC(同旁内角互补,两直线平行)，不能得出AB ∥BC ；∴C 、D 不可以；故选B.10．A解析：A【分析】由//AB CD 和48B ∠=︒，可得到CFB ∠；再由对顶角相等和三角形内角和性质，从而完成求解．【详解】∵//AB CD∴180********CFB B ∠=-∠=-=∴132EFD CFB ∠=∠=∴1801801322028D EFD E ∠=-∠-∠=--=故选：A ．【点睛】本题考察了平行线和三角形内角和的知识；求解的关键是熟练掌握三角形内角和、平行线的性质，从而完成求解．11．C解析：C【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．【详解】①∵∠1=∠B，∴AB∥CD，故本小题正确；②∵∠2=∠5，∴AB∥CD，故本小题正确；③∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故本小题错误；④∵∠BCD+∠D=180°，∴AD∥CB，故本小题错误；⑤∵∠B+∠BCD=180°，∴AB∥CD，故本小题正确．综上，正确的有①②⑤．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答此题的关键．12．D解析：D【分析】根据三角形的内角和得出∠ACB的度数，再根据角平分线的性质求出∠DCA的度数，再根据三角形内角与外角的关系求出∠BDC的度数．【详解】解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-80°-40°=60°，∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB=30°（角平分线的性质），∴∠ACD＝12∴∠BDC=∠ACD+∠A=30°+80°=110°（三角形外角的性质）．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三角形外角的知识，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，难度适中．二、填空题13．25°【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠EBC∠ACD＝2∠DCE根据三角形外角性质得出2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC求出∠A＝2∠E即可求出答案【详解】解：∵BE平分∠ABCCE平分∠A解析：25°【分析】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，根据三角形外角性质得出2∠E ＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，求出∠A＝2∠E，即可求出答案．【详解】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ABC＝2∠EBC，∠ACD＝2∠DCE，∵∠ACD＝2∠DCE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠E＋∠EBC，∴2∠DCE＝2∠E＋2∠EBC，∴2∠E＋∠ABC＝∠A＋∠ABC，∴∠A＝2∠E，∵∠A＝50°，∴∠E＝25°，故答案为：25°．【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．14．98°【分析】先根据三角形的内角和定理得出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5解析：98°【分析】先根据三角形的内角和定理得出∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；再根据折叠的性质得到∠C′=∠C=40°，再利用三角形的内角和定理以及外角性质得∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，即可得到∠3+∠4=82°，然后利用平角的定义即可求出∠1．【详解】∵∠A=65°，∠B=75°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-65°-75°=40°；又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，∴∠C′=∠C=40°，而∠3+∠2+∠5+∠C′=180°，∠5=∠4+∠C=∠4+40°，∠2=18°，∴∠3+18°+∠4+40°+40°=180°，∴∠3+∠4=82°，∴∠1=180°-82°=98°．【点睛】本题综合考查了三角形内角和定理、外角定理以及翻折变换的问题，而翻折变换实际上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，明确各个角之间的等量关系，是解决本题的关键．15．108°【分析】已知三角形三个内角的度数之比可以设一份为x°根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数确定最大的内角的度数【详解】解：设一份为x°则三个内角的度数分别为x°3x°6x°根据解析：108°【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为x°，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，确定最大的内角的度数．【详解】解：设一份为x°，则三个内角的度数分别为x°，3x°，6x°，根据三角形内角和定理，可知x+3x+6x＝180，解得x＝18．所以6x°＝108°，即最大的内角是108°．故答案为108°【点睛】此题考查三角形的内角和定理，利用三角形内角和定理和列方程求解可简化计算．16．5度【分析】由∠A1CD=∠A1+∠A1BC∠ACD=∠ABC+∠A而A1BA1C分别平分∠ABC和∠ACD得到∠ACD=2∠A1CD∠ABC=2∠A1BC于是有∠A=2∠A1同理可得∠A1=2∠A解析：5度【分析】由∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，于是有∠A=2∠A1，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，因此推出∠A=25∠A5，而∠A=80°，即可求出∠A5．【详解】解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2，…，∴∠A=25∠A 5，∵∠A=80°，∴∠A 5=80°÷32=2.5°．故答案为：2.5°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质．17．5°【分析】根据角平分线的定义可得再根据折叠的性质可得再根据平分可得进而可得【详解】解：∵的角平分线为∴又∵与关于对称∴∵与关于对称∴又∵平分∴又∵为折痕∴∵∴又∵∴∴又∵∴故答案为：675°【点睛 解析：5°．【分析】根据角平分线的定义可得1FBE ∠=∠，再根据折叠的性质可得1MBF FBE ∠=∠=∠，NBF FBD ∠=∠，CBA CBF ∠=∠， 再根据BN 平分CBM ∠可得CBN NBM ∠=∠，进而可得318067.58ABC ∠=⨯=． 【详解】解：∵FBD ∠的角平分线为BE ，∴1FBE ∠=∠， 又∵BM 与BE 关于BF 对称，∴1MBF FBE ∠=∠=∠， ∵BN 与BD 关于BF 对称，∴NBF FBD ∠=∠FBE EBD =∠+∠11=∠+∠21=∠，又∵BN 平分CBM ∠，∴CBN NBM ∠=∠，又∵BC 为折痕，∴CBA CBF ∠=∠CBN NBF =∠+∠21NBM =∠+∠，∵NBM NBF MBF ∠=∠-∠211=∠=∠1=∠，∴31CBA ∠=∠，又∵180CBA CBF FBD ∠+∠+∠=，∴3112121180∠+∠+∠+∠=，∴81180∠=，又∵31ABC ∠=∠， ∴318067.58ABC ∠=⨯=， 故答案为：67.5°．【点睛】 本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，平角的定义，解题的关键是理解题意，找到31808ABC ∠=⨯． 18．40°【分析】如图过E 作EF ∥AB 则AB ∥EF ∥CD 根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可求得答案【详解】解：如图过E 作EF ∥AB 则AB ∥EF ∥CD ∴∠1＝∠3∠2＝∠4∵∠3+∠4＝180°－9解析：40°【分析】如图，过E 作EF ∥AB ，则AB ∥EF ∥CD ，根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可求得答案．【详解】解：如图，过E 作EF ∥AB ，则AB ∥EF ∥CD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠3+∠4＝180°－90°－30°=60°，∴∠1+∠2＝60°，∵∠1＝20°，∴∠2＝40°．故答案为：40°．【点睛】本题以三角板为载体，主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，正确添加辅助线、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．19．50【分析】由折叠性质求得∠B′由三角的外角性质用∠1表示∠2进而求得∠2﹣∠1【详解】如图：∵∠B＝25°∴∠B′＝∠B＝25°∵∠3＝∠1+∠B′＝∠1+25°∵∠2＝∠3+∠B＝∠1+25°+解析：50【分析】由折叠性质求得∠B′，由三角的外角性质，用∠1表示∠2，进而求得∠2﹣∠1．【详解】如图：∵∠B＝25°，∴∠B′＝∠B＝25°，∵∠3＝∠1+∠B′＝∠1+25°，∵∠2＝∠3+∠B＝∠1+25°+25°，∴∠2﹣∠1＝50°，故答案为：50．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，折叠的性质，关键是根据三角形的外角性质表示出∠1与∠2的关系式．20．100°20°或90°30°【分析】分三种情形讨论求解即可解决问题【详解】解：在△ABC中不妨设∠A＝60°①若∠A＝3∠C则∠C＝20°∠B＝100°②若∠C＝3∠A则∠C＝180°（不合题意）③解析：100°，20°或90°，30°【分析】分三种情形讨论求解即可解决问题．【详解】解：在△ABC中，不妨设∠A＝60°．①若∠A＝3∠C，则∠C＝20°，∠B＝100°．②若∠C＝3∠A，则∠C＝180°（不合题意）．③若∠B＝3∠C，则∠B＝90°，∠C＝30°，综上所述，另外两个角的度数为100°，20°或90°，30°．故答案为：100°，20°或90°，30°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的运用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．三、解答题21．（1）平角为180︒；（2）C ；（3）见解析【分析】（1）分析题意，即可得到“折叠法”和“剪拼法”都是根据平角为180︒进行证明； （2）由题意，证明类主要是通过角度的转化，从而进行证明；（3）过点D 作//DE AC 交AB 于,//E DF AB 交AC 于F ，由角度的关系，得到A EDF ∠=∠，然后根据平角的定义，即可得到结论成立．【详解】解：（1）根据题意，“折叠法”和“剪拼法”都是根据平角为180︒进行证明；故答案为：平角为180︒；（2）根据题意，“证明类”的方法中主要体现了角度的转化，从而进行证明结论成立； 故选：C ；（3）证明：如图，过点D 作//DE AC 交AB 于,//E DF AB 交AC 于F ，,,180,180FDC B EDB C A AED EDF AED ∴∠=∠∠=∠∠+∠=︒∠+∠=︒． A EDF ∴∠=∠，180A B C EDF FDC EDB CDB ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠=︒．∴三角形的内角和为180︒．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的证明，解题的关键是掌握证明三角形内角和等于180°的方法．22．（1）360︒；（2）130AOC ∠=︒或50︒【分析】(1)连结AC ，根据三角形的内角和定理可得∠P+∠PAC+∠PCA=180°，再根据AB//CD 得到∠BAC+∠DCA=180°即可求得．(2)分两种情况，点P 在AC 的左侧，点P 在AC 的右侧，由（1）中的得到的结论，∠P+∠PAB+∠PCD=360°，再由平行线的性质和角平分线的定理，可以得到∠AOC 的度数．【详解】（1）连结AC∴180P PAC PCA ∠+∠+∠=︒，∵//AB CD∴180BAC DCA ∠+∠=︒，∴360PAB PCD P ∠+∠+∠=︒，（2）如图a ，点P 在AC 的左侧，130AOC ∠=︒，∵∠P+∠PAB+∠PCD=360° ，又∠APC=100° ，∴∠PAB+∠PAC=260° ，又AO 、CO 是∠PAB 和 ∠PCD 的角平分线，∴∠PAO+∠PCO=12×260° =130° ， ∴∠AOC=360° -100° -130° =130° ， 如图b ，点P 在AC 的右侧，50AOC ∠=︒，过点P 作MN ∥AB ，∵MN ∥AB ，CD ∥AB ，∴MN ∥CD ，∵MN ∥AB ，∴∠APM=∠BAP ，∵MN ∥CD ，∴∠CPM=∠PCD ， ∴∠BAP+∠PCD=∠APM+∠CPM=∠APC=100°， 又AO 、CO 是∠PAB 和 ∠PCD 的角平分线，∴∠BAO+∠DCO= 12×100° =50°， ∴∠AOC=∠BAO+∠DCO=50° ，∴∠AOC=130° 或50°．【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，以及角平分线定理，三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用平行线的性质和角的平分线的定理求角的度数．23．DE ，BC ，同位角相等，两直线平行 ；GF ，CD ，同位角相等，两直线平行；CDB ∠，90，90【分析】根据平行线、垂线的性质分析，即可将证明过程补充完整．【详解】证明：∵ADE B ∠=∠∴//DE BC （同位角相等，两直线平行）∴13∠=∠（两直线平行 ，内错角相等）又∵12∠=∠∴23∠∠=∴//GF CD （同位角相等，两直线平行）∴FGB CDB ∠=∠∵FG AB ⊥∴ 90FGB ∠=∴90CDB =∠∴CD AB ⊥故答案为：DE ，BC ，同位角相等，两直线平行 ；GF ，CD ，同位角相等，两直线平行；CDB ∠，90，90．【点睛】本题考查了平行线、垂线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质定理，从而完成求解．24．（1）见解析；（2）20︒；（3）1:5或7:5．【分析】（1）由两直线平行，内错角相等证得DAG AGB ∠=∠，再由角平分线的性质得到12BAG DAG BAD ∠=∠=∠，据此解题； （2）由等腰三角形的性质结合三角形内角和解得65BGA ∠=︒，再由补角的定义解得115AGC ∠=︒，接着由角平分线的性质解得ECB ∠的度数，最后根据三角形内角和180°解题；（3）设,1802AGB BAG ABG αα∠=∠=∠=︒-，根据题意，解得ABP PBG ∠∠、的度数，再根据两直线平行，同位角相等解得HCB AGB α∠=∠=，继而解得DCH PBM ∠∠、的度数，接着分两种情况讨论：当M 在BP 上方时，或当M 在BP 下方时，分别解得ABM GBM ∠∠、的度数，即可解题．【详解】解：（1）//AD BCDAG AGB ∴∠=∠AC 平分BAD ∠ 12BAG DAG BAD ∴∠=∠=∠ ∴∠=∠BAG BGA ；（2）50ABC ∠=︒1(180)652BGA ABG ∴∠=︒-∠=︒ 180115AGC AGB ∴∠=︒-∠=︒CE 平分DCB ∠1452ECB DCB ∴∠=∠=︒ 18020AFC AGC ECB ∴∠=︒-∠-∠=︒；（3）设,1802AGB BAG ABG αα∠=∠=∠=︒-2ABP PBG ∠=∠2412033ABP ABG α∴∠=∠=︒- 126033PBG ABG α∠=∠=︒- //CH AGHCB AGB α∴∠=∠=90DCH α∴∠=︒-PBM DCH ∴∠=∠90PBM α∴∠=︒-90α<︒160902αα∴︒-<︒- 4120903αα∴︒->︒- PBG PBM ABP ∴∠<∠<∠当M 在BP 上方时，1303ABM ABP PBM α∠=∠-∠=︒-51503GBM PBG PBM α∠=∠+∠=︒- :1:5ABM GBM ∠∠=当M 在BP 下方时，72103ABM ABP PBM α∠=∠+∠=︒- 51503GBM PBG PBM α∠=∠+∠=︒- 7:5ABM GBM ∠∠=:综上所述，:1:5ABM GBM ∠∠=或7:5ABM GBM ∠∠=:．【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和180°等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．25．（1）75︒；三角形内角和是180︒；15︒；（2）105︒；见解析；（3）对顶角相等；30；45︒；15︒【分析】（1）利用三角形内角和定理求解即可；（2）利用平行线的性质求得∠AOC=45°，再利用三角形内角和定理求解即可；（3）在△AOE 与△BCE 中，利用三角形内角和定理得到∠1+∠A=∠2+∠C ，计算即可求解．【详解】解：∵∠OCD=45°，∠OBC=60°，∴∠BOC=75°（三角形内角和是180°），又∵∠AOB=90°，∴∠AOC=15°；（2）解：∵DC ∥AO ，∠OCD=45°，∴∠AOC=45°（两直线平行，内错角相等），又∵∠BAO=30°，∴∠AEO=180°−∠AOC−∠BAO=180°−45°−30°=105°（三角形内角和是180°）；（3）在△AOE 与△BCE 中，∵∠AEO+∠1+∠A=∠CEB+∠2+∠C ，又∵∠AEO=∠CEB （对顶角相等），∠A=30°，∠C=45°，∴∠1+∠A=∠2+∠C ，∠1−∠2=15°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 26．（1）130；70；60；（2）110ABD ACD A ∠+∠=︒-∠，见解析；（3）110ABE ACF A ∠+∠=︒+∠【分析】（1）根据三角形的内角和即可求出ABC ACB ∠+∠的度数，根据平行线的性质可得到DBC DCB ∠+∠的度数，利用角度的和差关系即可求出ABD ACD ∠+∠的度数；（2）同（1）分别求出ABC ACB ∠+∠，DBC DCB ∠+∠和ABD ACD ∠+∠的度数，故可求解；（3）先求出ABC ACB ∠+∠，DBC DCB ∠+∠，再根据平角的性质即可计算求解．【详解】（1）∵50A ∠=︒，在△ABC 中，ABC ACB ∠+∠=180°-50°=130°，∵//BC EF∴DBC E ∠=∠,DCB F ∠=∠∴DBC DCB ∠+∠=70E F ∠+∠=︒∴ABD ACD +=∠∠（ABC ACB ∠+∠）-()DBC DCB ∠+∠=60°故答案为：130；70；60；（2）由题意，得()180110D E F ∠=︒-∠+∠=︒所以18070DBC DCB D ∠+∠=︒-∠=︒∵180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠∴()()18070110ABD ACD ABC ACB DBC DCB A A ∠+∠=∠+∠-∠+∠=︒-∠-︒=︒-∠即110ABD ACD A ∠+∠=︒-∠（3）由题意，得()180110D E F ∠=︒-∠+∠=︒∴18070DBC DCB D ∠+∠=︒-∠=︒∵180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠∴360ABE ACF ∠+∠=︒-（DBC DCB ∠+∠）-（ABC ACB ∠+∠）=110A ︒+∠ 即110ABE ACF A ∠+∠=︒+∠．【点睛】此题主要考查三角形的内角和及平行线的性质，解题的关键是熟知三角形的内角和为180°．。
专练09(几何题)-2019~2020学年下学期七年级期末考点必杀200题(人教版)(解析版)
专练09（几何题）（20道）1．问题情境：如图1，AB CD ，130PAB ∠=，120PCD ∠=．求 APC ∠ 度数．小明的思路是：如图2，过 P 作 PE AB ，通过平行线性质，可得 5060110APC ∠=+=．问题迁移：（1）如图3，AD BC ，点 P 在射线 OM 上运动，当点 P 在 A 、 B 两点之间运动时，ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．CPD ∠ 、 α∠ 、 β∠ 之间有何数量关系?请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点 P 在 A 、 B 两点外侧运动时（点 P 与点 A 、 B 、 O 三点不重合），请你直接写出 CPD ∠ 、 α∠ 、 β∠ 间的数量关系．【来源】北京市朝阳外国语学校2019-2020学年七年级下学期5月阶段性测试数学试题【答案】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）①当点P 在A 、M 两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；②当点P 在B 、O 两点之间时，∠CPD=∠α−∠β【解析】（1）∠CPD=αβ∠+∠，理由如下：如图3，过点P 作PE ∥AD 交CD 于点E ，∵AD ∥BC ，PE ∥AD ，∴AD ∥PE ∥BC ，∴α∠=∠DPE ，β∠=∠CPE ，∴∠CPD=∠DPE +∠CPE=αβ∠+∠；（2）①当点P 在A 、M 两点之间时，∠CPD=βα∠-∠，理由如下：如图4，过点P 作PE ∥AD 交CD 于点E ，∵AD ∥BC ，PE ∥AD ，∴AD ∥PE ∥BC ，∴α∠=∠EPD ，β∠=∠CPE ，∴∠CPD=∠CPE −∠EPD=βα∠-∠；②当点P 在B 、O 两点之间时，∠CPD=αβ∠-∠，理由如下：如图5，过点P 作PE ∥AD 交CD 于点E ，∵AD ∥BC ，PE ∥AD ，∴AD ∥PE ∥BC ，∴α∠=∠DPE ，β∠=∠CPE ，∴∠CPD=∠DPE −∠CPE=αβ∠-∠，综上所述，当点P 在A 、M 两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；当点P 在B 、O 两点之间时，∠CPD=∠α−∠β.【点睛】本题主要考查了在平行线性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.2．（1）如图1，AB ∥CD ，点M 为直线AB ，CD 所确定的平面内的一点，若∠A =105︒+α，∠M =108︒-α，请直接写出∠C 的度数 ；（2）如图2，AB ∥CD ，点P 为直线AB ，CD 所确定的平面内的一点，点E 在直线CD 上，AN 平分∠PAB ，射线AN 的反向延长线交∠PCE 的平分线于M ，若∠P =30︒，求∠AMC 的度数；（3）如图3，点P 与直线AB ，CD 在同一平面内，AN 平分∠PAB ，射线AN 的反向延长线交∠PCD 的平分线于M ，若∠AMC =180︒-12∠P ，求证：AB ∥CD ．【来源】湖北省武汉市外国语学校2019-2020学年七年级下学期期中数学试题【答案】（1）147C ∠=︒；（2）105AMC ∠=︒；（3）证明过程见解析【解析】解：（1）如图，连接AC ，在AMC 中，180MAC MAC MCA ∠+∠+∠=︒，∵AB ∥CD ，180BAC ACD ∴∠+∠=︒，180180360BAM M MCD ∴∠+∠+∠=︒+︒=︒，∵∠A =105︒+α，∠M =108︒-α，∴105(108367)014a a MCD ︒++︒⎡⎤∠=︒-=︒⎣⎦-；（2）如图，延长BA 与CP 交于Q ，记CQ 和AM 交于点H ，∵AN 平分∠PAB ，BAN PAN ∴∠=∠，1802QAP BAN ∴∠=︒-∠，∵∠P =30︒，∴3018022102CQA P QAP BAN BAN ∠=∠+∠=︒+︒-∠=︒-∠，30MHC NHP NAP P BAN ∠=∠=∠-∠=∠-︒，∵AB ∥CD ，2102ECQ CQA BAN ∴∠=∠=︒-∠，∵CM 平分∠PCE ，()11210210522MCH ECP BAN BAN ∴∠=∠=⨯︒-∠=︒-∠，180AMC MHC MCH ∠=︒-∠-∠，()18030(105)105AMC BAN BAN ∴∠=︒-∠-︒-︒-∠=︒； （3）如图，连接AC ，则180PAC PCA P ∠+∠=︒-∠，180MAC MCA M ∠+∠=︒-∠，∵∠AMC =180︒-12∠P ， 12MAC MCA P ∴∠+∠=∠， 11802MAC MCA PAC PCA P ∴∠+∠+∠+∠=︒-∠， 即11802PAM PCM P ∠+∠=︒-∠， ∵AN 平分∠PAB ，MC 平分∠PCD ，,BAM PAM DCM PCM ∴∠=∠∠=∠，11802BAM DCM P ∴∠+=︒-∠， 1118018022BCA DCA P P ∴∠+∠=︒-∠+∠=︒， ∴AB ∥CD ．【点睛】本题考查的平行线及三角形的综合知识，在这里要注意添加根据题意添加合适的辅助线，这里需要用到三角形的内角和、平行四边形的性质、角平分线的性质以及对顶角等综合性质，难度稍大．3．如图，已知：点A C 、、B 不在同一条直线，AD BE ．（1）求证：180B C A ∠+∠-∠=︒． （2）如图②，AQ BQ 、分别为DAC EBC ∠∠、的平分线所在直线，试探究C ∠与AQB ∠的数量关系； （3）如图③，在（2）的前提下，且有AC QB ，直线AQ BC 、交于点P ，QP PB ⊥，请直接写出::DAC ACB CBE ∠∠∠=______________．【来源】湖北省武汉市青山区武钢实验学校2019-2020学年七年级下学期期中数学试题【答案】（1）见详解；（2）2180C AQB ∠+∠=︒；（3）1:2:2【解析】解：（1）过点C 作CF AD ，则//BE CF ，∵//CF AD BE∴,180,ACF A BCF B ACF BCF C ∠=∠∠=︒-∠∠+∠=∠∴180180180B C A BCF C ACF C C ∠+∠-∠=︒-∠+∠-∠=-∠+∠=︒（2）过点Q 作QM AD ，则//BE QM ，∵QM AD ，//BE QM∴,AQM NAD BQM EBQ ∠=∠∠=∠∵AQ BQ 、分别为DAC EBC ∠∠、的平分线所在直线 ∴11,22NAD CAD EBQ CBE ∠=∠∠=∠ ∴1()2ABQ BQM AQM CBE CAD ∠=∠-∠=∠-∠ ∵180()1802C CBE AD AQB ∠=︒-∠-∠=︒-∠∴2180C AQB ∠+∠=︒（3）∵//AC QB ∴11,22AQB CAP CAD ACP PBQ CBE ∠=∠=∠∠=∠=∠ ∴11801802ACB ACP CBE ∠=︒-∠=︒-∠ ∵2180C AQB ∠+∠=︒ ∴12CAD CBE ∠=∠ ∵QP PB ⊥∴180CBE CAD ∠+∠=︒∴60,120CAD CBE ∠=︒∠=︒ ∴11801202ACB CBE ∠=︒-∠=︒ ∴::60:120:1201:2:2DAC ACB CBE ∠∠∠=︒︒︒=．故答案为：1:2:2．【点睛】本题考查的知识点有平行线的性质、角平分线的性质．解此题的关键是作出合适的辅助线，找准角与角之间的关系．4．如图1，//,AB CD 直线MN 分别交AB CD 、于点,E F BEF ∠、与EFD ∠的角平分线交于点P EP ，与CD 交于点G GH EG ⊥,交MN 于H ．（1）求证：// ;PF GH （2）如图2，连接PH K ,为GH 上一动点，PHK HPK PO ∠=∠,平分EPK ∠交MN 于,Q 则HPQ ∠的大小是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．【来源】重庆市西南大学附属中学校2018-2019学年七年级下学期期中数学试题【答案】（1）详见解析；（2）HPQ ∠的大小不发生变化，一直是45︒．【解析】解：（1）证明：如图1，//AB CD ，180BEF EFD ∴∠+∠=︒．又BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，1()902FEP EFP BEF EFD ∴∠+∠=∠+∠=︒， 90EPF ∴∠=︒，即EG PF ⊥．GH EG ⊥，//PF GH ∴；（2）HPQ ∠的大小不发生变化，理由如下：如图2，12∠=∠，322∠=∠∴．又GH EG ⊥，49039022∠=︒-∠=︒-∠∴．18049022EPK ∠=︒-∠=︒+∠∴．PQ ∵平分EPK ∠，14522QPK EPK ∴∠=∠=︒+∠． ∴245HPQ QPK ∠=∠-∠=︒，∴HPQ ∠的大小不发生变化，一直是45︒．【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④//a b ，////b c a c ⇒． 5．已知//AB CD ，点M 为平面内一点.（1）如图1，ABM ∠和DCM ∠互余，小明说过M 作//MP AB ，很容易说明BM CM ⊥。
平行线的性质(知识讲解)-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题5.12平行线的性质（知识讲解）【学习目标】1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；【要点梳理】要点一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.特别说明：（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提“两直线平行”．(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．要点二、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．特别说明：（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．（2）两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．【典型例题】类型一、平行线的性质➽➼同位（内错）相等✮✮同旁内角互补➻➸两直线平行1．阅读下列推理过程，在括号中填写理由．如图，已知AD BC ⊥，EF BC ⊥，12∠=∠，试证明：∥DG BA ．解：AD BC ⊥ ，EF BC ⊥（已知），90EFB ADB ∴∠=∠=︒（______）∴______∥______（______）1BAD ∴∠=∠（______）又12∠=∠ （已知），∴______（______）∴∥DG BA （______）【答案】垂直的定义；EF AD ；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；2BAD ∠=∠；等量代换；内错角相等，两直线平行【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．解：AD BC ⊥ ，EF BC ⊥（已知），∴90EFB ADB ∠=∠=︒（垂直的定义），∴EF AD ∥（同位角相等，两直线平行），∴1BAD ∠=∠（两直线平行，同位角相等），又12∠=∠ （已知），∴2BAD ∠=∠（等量代换），∴∥DG BA （内错角相等，两直线平行），故答案为：垂直的定义；EF ；AD ；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；2BAD ∠=∠；等量代换；内错角相等，两直线平行．【点拨】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．举一反三：【变式1】将下列证明过程及依据补充完整．如图，在ABC 中，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，E ，F 分别为BC ，AB 上的点，且AC DE ∥，CD EF ∥，求证：EF 平分DEB∠证明：∵CD 平分ACB ∠（已知），∴DCA DCE ∠=∠（角平分线的定义）．∵AC DE ∥（已知），∴DCA CDE ∠=∠（）∴DCE CDE ∠=∠（等量代换），∵CD EF ∥（已知），∠=∠（）∴DEF CDE∠=∠（）DCE BEF∴_____=______（等量代换），∴EF平分DEB∠（）【答案】两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；DEF∠；BEF∠；角平分线的定义．【分析】根据平行线的性质和角平分线的概念求解即可．∠（已知），证明：∵CD平分ACB∠=∠（角平分线的定义）．∴DCA DCE∥（已知），∵AC DE∴DCA CDE∠=∠（两直线平行，内错角相等）∠=∠（等量代换），∴DCE CDE∵CD EF∥（已知），∠=∠（两直线平行，内错角相等）∴DEF CDEDCE BEF∠=∠（两直线平行，同位角相等）∴DEF∠=BEF∠（等量代换），∴EF平分DEB∠（角平分线的定义）故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；DEF∠；BEF∠；角平分线的定义．【点拨】本题考查了平行线的性质和平行线的判定在几何证明中的应用，明确相关性质及定理是解题的关键．【变式2】填空，将本题补充完整．如图，已知EF AD，∠1＝∠2，∠BAC＝65°．将求∠AGD的过程填写完整．解：∵EF AD （已知）∴∠2＝（）又∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＝（等量代换）∴AB GD （）∴∠BAC +＝180°（）∵∠BAC ＝65°（已知）∴∠AGD ＝°【答案】∠3；两直线平行，同位角相等；∠3；内错角相等，两直线平行；∠AGD ；两直线平行，同旁内角互补；115°【分析】由EF AD ，可得∠2＝∠3，由等量代换可得∠1＝∠3，从而得到DG BA ，根据平行线的性质可得∠BAC ＋∠AGD ＝180°，即可求解．解：∵EF AD （已知）∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）又∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＝∠3（等量代换）∴AB GD （内错角相等，两直线平行）∴∠BAC ＋∠AGD ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BAC ＝65°（已知）∴∠AGD ＝115°．【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补定理；内错角相等，两直线平行的应用．2．如图，已知AD BC ⊥，EF BC ⊥，12∠=∠．(1)求证：EF AD ∥；(2)求证：180BAC AGD ∠+∠=︒．【分析】（1）根据垂直得出90EFB ADB ∠=∠=︒，根据平行线的判定得出EF AD ∥；（2）根据平行线的性质得出1BAD ∠=∠，由12∠=∠得出2BAD ∠=∠，根据平行线的判定得出DG BA ∥，再根据平行线的性质即可得解．（1）证明：∵AD BC ⊥，EF BC ⊥，∴90EFB ∠=︒，90ADB ∠=︒（垂直的定义），∴∠=∠EFB ADB （等量代换），∴EF AD ∥（同位角相等，两直线平行）；（2）证明：∵EF AD ∥，∴1BAD ∠=∠（两直线平行，同位角相等），又12∠=∠ （已知），∴2BAD ∠=∠（等量代换），∴DG BA ∥（内错角相等，两直线平行），∴180BAC AGD ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）．【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，已知AB ∥CD ，BC 平分∠ABD 交AD 于点E ．(1)证明：∠1=∠3；(2)若AD ⊥BD 于点D ，∠CDA =34°，求∠3的度数．【答案】(1)见解析；(2)∠3=28°．，根据等量代【变式2】P是∠BAC内一点，射线PD//AB，射线PE//AC，连接BC，当点D在线段BC上，点E在射线AB上时，(1)补全图形；(2)猜想∠DPE与∠A的数量关系，并证明．【答案】(1)补全图形见解析；(2)∠DPE +∠A =180°，证明见解析【分析】（1）根据题中的要求直接补全图形即可；（2）根据平行线的性质得到BEP A ∠=∠，180BEP DPE ∠+∠=︒，等量代换即可证得结论．（1）解：补全图形，如下图所示：（2）解：180DPE A ∠+∠=︒．理由如下：PE AC ∥ ，BEP A ∴∠=∠，PD AB ∥ ,180BEP DPE ∴∠+∠=︒，即180DPE A ∠+∠=︒．【点拨】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．类型二、平行线的性质➽➼由平行线性质探索角的关系3．如图：(1)若AB EF ∥，猜想图①中，B ∠、BDF ∠与F ∠之间的数量关系并加以证明；(2)若AB EF ∥，如图②，直接写出B ∠、BDF ∠与F ∠之间的数量关系：．(3)学以致用：一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，BA 垂直地面AE 于A ，CD 平行于地面AE ，若150BCD ∠=︒，则ABC ∠=．【答案】(1)BDF B F ∠=∠+∠，证明见解析；(2)360B BDF F ∠+∠+∠=︒；(3)120︒【分析】（1）过点D 作CD AB ∥；通过平行线的性质倒角即可；（2）过点D 作CD AB ∥；根据两直线平行同旁内角互补列出等式求解；（3）由（2）中的结论计算即可；（1）解：BDF B F ∠=∠+∠；理由如下：如图，过点D 作CD AB ∥；∴B BDC∠=∠∵AB EF∥∴CD EF∥∴CDF F∠=∠∵BDF BDC CDF∠=∠+∠∴BDF B F∠=∠+∠（2）解：360B BDF F ∠+∠+∠=︒；理由如下：如图，过点D 作CD AB ∥；∵AB EF∥∴AB CD EF∥∥∴180B BDC =∠+∠︒，180CDF F ∠+∠=︒∴360B BDF F B BDC CDF F ∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=︒（3）解：由（2）可知：BCD ABC BAE ∠+∠+∠=︒360∴90BAE ∠=︒∴ABC BAE BCD ∠=︒-∠-∠=︒360120【点拨】本题考查了平行线的性质以及传递性；熟练运用平行线的性质转化角是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，已知三角形EFG 的顶点E ，F 分别在直线AB 和CD 上，且AB CD ．若90EFG ∠=︒，30FEG ∠=︒．(1)当221∠=∠时，求1∠的度数．(2)设AEG α∠=，CFG β∠=，求α和β的数量关系（用含α，β的等式表示）．∴180AEG EGM ∠+∠=︒，∴∥GM CD ，∴180MGF CFG ∠+∠=︒，∴360AEG EGM MGF CFG ∠+∠+∠+∠=︒，即360AEG EGF CFG ∠+∠+∠=︒，∵在Rt EGF 中，90EFG ∠=︒，30FEG ∠=︒，∴60EGF ∠=︒，∴36036060300AEG CFG EGF ∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵AEG α∠=，CFG β∠=，∴300αβ+=︒．【点拨】本题主要考查平行线与三角形的综合运用，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键．【变式2】请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”．即已知：如图1，AB CD ∥，E 为AB 、CD 之间一点，连接AE ，CE 得到AEC ∠．求证：AEC A C ∠=∠+∠，小明笔记上写出的证明过程如下：证明：过点E 作EF AB ∥，∴1B ∠=∠，∵AB CD ∥，EF AB ∥，∴EF CD∥∴2C ∠=∠，∵12AEC ∠=∠+∠，∴AEC A C ∠=∠+∠，请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．(1)如图2，若AB CD ∥，60E ∠=︒，求B C F ∠+∠+∠的度数；(2)灵活应用：如图3，一条河流的两岸AB CD ∥当小船行驶到河中E 点时，与两岸码头B 、D 所形成的夹角为64︒（即64BED ∠=︒），当小船行驶到河中点F 时，恰好满足ABF EBF =∠∠，EDF CDF ∠=∠，请你直接写出此时点F 与码头B 、D 所形成的夹角BFD ∠＝_________．∵EN AB ∥，FM AB ∥，DC ∥∴EN CD ∥，FM CD ∥，EN ∴∠B =∠BEN ，∠NEF =∠EFM ∵∠BEN +∠NEF =∠BEF ，∠EFM类型三、平行线的性质➽➼由平行线性质求角度4．（1）如图AD 平分CAB ∠，DE AC ∥，28CAD ∠=︒．求1∠的度数．（2）如图已知1180C ∠+∠=︒，CF BE ∥．求证：B C ∠=∠．【答案】（1）1∠的度数为56︒；（2）见解析【分析】（1）根据角平分线的定义得到256CAB CAD ∠=∠=︒，由平行线的性质即可得到结论．（2）先证明AB CD ∥，再利用平行线的性质证明B CHE ∠=∠，C CHE ∠=∠，即可证明B C ∠=∠．解：（1）∵AD 平分CAB ∠，28CAD ∠=︒，∴256CAB CAD ∠=∠=︒，∵DE AC ∥，∴156CAB ∠=∠=︒；（2）证明：∵1180C ∠+∠=︒，1180AGC ∠+∠=︒，∴AGC C ∠=∠，∴AB CD ∥，∴B CHE ∠=∠，∵CF BE ∥，∴C CHE ∠=∠，∴B C ∠=∠．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握“同旁内角互补，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”是解答此题的关键．举一反三：【变式1】如图，已知点B 、C 在线段AD 的异侧，连接、AB CD ，点E 、F 分别是线段、AB CD 上的点，连接CE BF 、，分别与AD 交于点G ，H ，且AEG AGE ∠=∠，C DGC ∠=∠．(1)求证：AB CD ∥；(2)若180AGE AHF ︒∠+∠=，求证：B C ∠=∠；(3)在（2）的条件下，若117BFC C ∠=∠，求AHB ∠的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)70︒【分析】（1）只需要证明AEG C ∠=∠即可证明AB CD ∥；（2）先证明HGE AHF =∠∠得到BF CE 则B AEG =∠∠，再由AEG C ∠=∠即可证明B C ∠=∠；（3）根据平行线的性质得到180BFC C ∠+∠=︒，AHB DGC ∠=∠，再结合已知条件求出C ∠的度数即可得到答案．（1）证明：∵AEG AGE ∠=∠，C DGC ∠=∠，AGE DGC ∠=∠，∴AEG C ∠=∠，【变式2】类型四、平行线的性质➽➼平行线性质的应用5．如图，一条公路修在湖边，需拐弯绕道而过，如果第一次向右拐75°，第二次拐弯形成的拐角∠B ＝135°，第三次拐弯后道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，那么第三次是如何拐弯的？【答案】向左拐30°【分析】过点B 作BM OA ∥，延长BC 到点P ．可得BM CN ∥．从而得到∠ABM ＝∠A ＝105°．再由∠ABC ＝135°，可得∠MBC ＝30°即可求解．解：过点B 作BM OA ∥，延长BC 到点P ．∵BM OA ∥，OA CN ∥，∴BM CN ∥．∵第一次向右拐75°，即∠A ＝105°，∴∠ABM ＝∠A ＝105°．∵∠ABC ＝135°，∴∠MBC ＝30°又∵BM CN ∥，∴∠NCP ＝∠MBC ＝30°．答：第三次应向左拐30°．【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．举一反三：【变式1】ABC ∠和BCD ∠，量得63ABC ∠=︒，要保持两次拐弯前后的路线平行，BCD ∠的度数应为多少？为什么？【答案】117°，理由：同旁内角互补，两直线平行【分析】根据两直线平行同旁内角互补即可得出∠BCD 的度数．【详解】解：根据题意得，AB ∥CD ，∠ABC =63°∴∠BCD =180°-∠ABC =117°，∴要保持两次拐弯前后的路线平行，∠BCD 为117°，理由是同旁内角互补，两直线平行．【点拨】题目主要考查平行线的性质，理解题意是解题的关键．【变式2】潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，如图1，光线经过镜子反射时，12∠=∠，3=4∠∠，那么2∠和3∠有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？先画几何图形，如图2，再写已知未知．如图，//,12,34AB CD ∠=∠∠=∠，（1）猜想2∠和3∠有什么关系，并进行证明；（2）求证：//PM NQ ．【答案】（1）23∠∠=，证明见解析；（2）见解析【分析】（1）根据两面镜子是互相平行放置的可知//AB CD ，再根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可直接证明23∠∠=．（2）结合题意可证明1234∠=∠=∠=∠，再由125180∠+∠+∠=︒，346180∠+∠+∠=︒，即可证明56∠=∠，最后由平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行），即可证明//P M N Q ．解：（1）根据题意可知//AB CD ，∴23∠∠=（两直线平行，内错角相等）.（2）∵23∠∠=，∴1234∠=∠=∠=∠；∵125180∠+∠+∠=︒，346180∠+∠+∠=︒，∴56∠=∠，∴//P M N Q （内错角相等，两直线平行）．【点拨】本题考查平行线的判定与性质在生活中的应用．掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键．类型五、平行线的性质➽➼平行线间的距离✮✮应用6．探究规律：我们有可以直接应用的结论：若两条直线平行，那么在一条直线上任取一点，无论这点在直线的什么位置，这点到另一条直线的距离均相等．例如：如图1，两直线//m n ，两点H 、T 在m 上，HE n ⊥于E ，TF n ⊥于F ，则HE TF =．如图2，已知直线//m n ，A 、B 为直线n 上的两点，C 、D 为直线m 上的两点．（1）请写出图中面积相等的各对三角形：__________．（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点D 在m 上移动，那么无论D 点移动到任何位置总有：_______与ABC 的面积相等；理由是：___________．【答案】（1）ABC 和ABD △，DCA △和DCB △，ACO △和DBO ；（2）ABD △，同底等高的两个三角形的面积相等【分析】（1）写出面积相等的各对三角形，我们拿ABC 与ABD △为例：两个三角形用公共边AB 为底，再由图1的结论知道高相等，由三角形面积公式知两个三角形面积相等，其它对分析类似；（2）根据同底等高的两个三角形的面积相等，可以得出结论．解：（1）有三对分别是：ABC 和ABD △，DCA △和DCB △，ACO △和DBO ，分析如下：ABC 和ABD △，两个三角形用公共边AB 为底，再由图1的结论知道高相等，由三角形面积公式知两个三角形面积相等；DCA △和DCB △，两个三角形以CD 为底，高相等，即面积相等；ACO △和DBO ，根据DCA △和DCB △面积相等，两个三角形同时减去CDO ，得ACO △和DBO 面积相等．故答案为：ABC 和ABD △，DCA △和DCB △，ACO △和DBO ，（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点D 在m 上移动，那么无论D 点移动到任何位置总有：ABD △与ABC 的面积相等，分析如下：ABD △与ABC 同底，点D 在m 上移动，那么无论D 点移动到任何位置，点D 到另一条直线的距离相等，使得这两个三角形是：同底等高的两个三角形，即面积相等．故答案为：同底等高的两个三角形的面积相等【点拨】本题考查了两条平行直线间的距离和两个三角形面积相等问题，解题的关键是：理解两直线平行距离为定值及同底等高的两个三角形面积相等．举一反三：【变式1】如图，已知直线m//n ，A ，B 为直线m 上的两点，C ，P 为直线n 上的两点．（1）请写出图中面积相等的各对三角形：；（2）如果A ，B ，C 为三个定点，点P 在直线n 上移动，那么，无论P 点移动到任何位置，总有．理由是：．【答案】（1）ACP △与BCP 、ABC 与ABP 、AOC 与BOP △；（2）题（1）中三对面积相等的三角形，理由见解析．【分析】（1）根据两平行线之间的距离处处相等、三角形的面积公式即可得；（2）根据两平行线之间的距离处处相等即可得．【详解】（1）设平行线m 与n 之间的距离为h则ACP △和BCP 的边CP 上高均为h ，ABC 和ABP 的边AB 上高均为h由同底等高得：ACP △与BCP 的面积相等，ABC 与ABP 的面积相等又AOC ACP COP S S S =- ，BOP BCP COPS S S =- AOC BOPS S ∴= 即AOC 与BOP △的面积相等故答案为：ACP △与BCP 、ABC 与ABP 、AOC 与BOP △；（2）总有题（1）中三对面积相等的三角形理由：两平行线之间的距离相等、同底等高的三角形的面积相等、面积相等两个三角形都减去公共部分得到的两个三角形的面积也相等．【点拨】本题考查了平行线之间的距离，掌握平行线之间的距离是解题关键．【变式2】作图并写出结论：如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图.(1)过点P作PR⊥CD，垂足为R.(2)过点P作PQ∥CD，交AB于点Q.(3)若∠DCB=135°，则∠PQC度．(4)点Q到直线PR的距离是线段的长度．）∵PQ∥CD（已作），）∴∠DCB+∠PQC=180°，∵∠DCB=135）因为PR⊥CD，所以点Q到直线【点拨】本题的关键是掌握基本作图，并能运用平行线的性质知识解决问题类型六、平行线的性质➽➼平行线性质与判定综合➽➼证明✮✮计算7．如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，∠=∠．已知12∠=∠，3C(1)求证：AB CD ∥；(2)若24180∠+∠=︒，求证：180BFC C ∠+∠=︒；(3)在（2）的条件下，若3021BFC ∠-︒=∠，求B ∠的度数．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)50B ∠=︒【分析】（1）已知12∠=∠，所以32∠=∠，又因为3C ∠=∠，可以得出1C ∠=∠即可判定AB CD ∥；（2）已知23∠∠=，24180∠+∠=︒，可以得出//BF EC ，即可得出180BFC C ∠+∠=︒；（3）由（1）（2）可知AB CD ∥，//BF EC ，可以得出1C ∠=∠，180BFC C ∠+∠=︒；可以得出30212BFC C ∠-︒=∠=∠，可以得出C ∠，又因为1C B ∠=∠=∠，即可求出B ∠的度数．（1）证明：12∠=∠ ，3C ∠=∠，23∠∠=，1C ∴∠=∠，//AB CD ∴；（2）证明：24180∠+∠=︒ ，23∠∠=，34180∴∠+∠=︒，//BF EC ∴，180BFC C ∴∠+∠=︒；（3）180BFC C ∠+∠=︒ ，30212BFC C ∠-︒=∠=∠ ，230BFC C ∴∠=∠+︒，230180C C ∴∠+︒+∠=︒，50C ∴∠=︒，130BFC ∴∠=︒，//AB CD ，180B BFC ∴∠+∠=︒，50B ∴∠=︒．【点拨】本题考查了对顶角相等，平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，已知点E ，F 在直线上AB 上，点G 在线段CD 上，ED 与FG 交于点H ，180C EFG CED GHE ︒∠=∠∠+∠=，．(1)试判断AED ∠与D ∠之间的数量关系，并说明理由．(2)若7030EHF D ∠︒=︒∠=，，求AEM ∠的度数．【答案】(1)180AED D ∠+∠=︒，理由见解析；(2)100︒．【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行可得CE ∥GF ，根据平行线的性质等量代换可得∠FGD ＝∠EFG ，进而判定AB ∥CD ，即可得出∠AED ＋∠D ＝180°；（2）根据平行线的性质可得∠CED ＝70EHF ∠=︒，∠DEF ＝∠D ＝30°，求出∠CEF ，依据对顶角相等即可得到∠AEM 的度数．（1）解：∠AED ＋∠D ＝180°；理由：∵180CED GHE ∠+∠=︒，∴CE ∥GF ，∴∠C ＝∠FGD ，∵∠C ＝∠EFG ，∴∠FGD ＝∠EFG ，∴AB ∥CD ，∴∠AED ＋∠D ＝180°；（2）解：∵CE ∥GF ，70EHF ∠=︒，∴∠CED ＝70EHF ∠=︒，∵∠D ＝30°，AB ∥CD ，∴∠DEF ＝∠D ＝30°，∴∠CEF ＝∠CED ＋∠DEF ＝70°＋30°＝100°，∴∠AEM ＝∠CEF ＝100°．【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．如图，1245EF BD BAC ∠=∠∠=︒，，∥．求ADG ∠的度数．【答案】135ADG ∠=︒【分析】根据两直线平行，同位角相等，得出23∠∠=，，再根据等量代换，得出13∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行，得到DG AB ∥，最后再根据两直线平行，同旁内角互补，计算即可得出答案．解：∵EF BD ∥，∴23∠∠=，∵12∠=∠，∴13∠=∠，∴DG AB ∥，∴180ADG BAC ∠+∠=︒，∵45BAC ∠=︒，∴18045135AGD ∠=︒-︒=︒．【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．【变式2】完成下面的证明：如图，点B 在AG 上，AG CD ∥，连接BC ，CF 平分BCD ∠，ABE FCB ∠=∠，BE AF ⊥于点E ．求证：90F ∠=︒．证明：∵AG CD ∥，∴ABC BCD ∠=∠（_____________________）．∵ABE FCB ∠=∠，∴ABC ABE BCD FCB ∠-∠=∠-∠，即EBC FCD ∠=∠．∵CF 平分BCD ∠，∴FCB ∠=______（__________________）．∴EBC FCB ∠=∠，∴BE CF ∥（________________________）∴__________________F =∠（________________________）．∵BE AF ⊥，∴BEF ∠=______︒（______________________）．∴90F ∠=︒．∴90BEF ∠=︒（垂直的定义）．∴90F ∠=︒．故答案为：两直线平行，内错角相等；FCD ∠；角平分线的定义；内错角相等，两直线平行；BEF ∠；两直线平行，内错角相等；90；垂直的定义．【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，熟知相关知识是解题的关键．中考真题专练一、单选题1．（2022·山东东营·中考真题）如图，直线a b ，一个三角板的直角顶点在直线a 上，两直角边均与直线b 相交，140∠=︒，则2∠=（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．65︒【点拨】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知平行线的性质是解题的关键．2．（2022·湖北襄阳·中考真题）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC ＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．60°D．70°故选：B．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．∥，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若3．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，a b∠=︒，则2∠的大小是（）115A．20︒B．25︒C．30︒D．45︒【答案】C∥，根据平行线的性质，可得【分析】如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线c a23,14∠=∠∠=∠，根据三角板可知3445∠+∠=︒，进而等量代换结合已知条件即可求解．∥解：如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线c a∵a∥b，∴∥∥，a b c∴∠=∠∠=∠，23,14，∠+∠=︒3445\Ð+Ð=°，1245Q，Ð=°115∴∠=︒．230故选：C．【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键．二、填空题，则α∠的度数是______．4．（2022·辽宁阜新·中考真题）一副三角板如图摆放，直线AB CD【答案】15︒##15度【分析】根据题意可得：90EBD ∠=︒，45BDE ∠=︒，30EDC ∠=︒，然后利用平行线的性质可得180ABD BDC ∠∠+=︒，从而进行计算即可解答．解：如图：由题意得：90EBD ∠=︒，45BDE ∠=︒，30EDC ∠=︒，//AB CD ，180ABD BDC ∠∠∴+=︒，180EBD BDE EDC∠α∠∠∠∴=︒---180904530=︒-︒-︒-︒15=︒，故答案为：15︒．【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，C 岛在A 岛的北偏东50︒方向，C 岛在B 岛的北偏西35︒方向，则ACB ∠的大小是_____．【答案】85︒##85度【分析】过C 作CF DA ∥交AB 于F ，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．解： C 岛在A 岛的北偏东50︒方向，50DAC ∴∠=︒，C 岛在B 岛的北偏西35︒方向，35CBE ∴∠=︒，过C 作CF DA ∥交AB 于F ，如图所示：DA CF EB ∴∥∥，50,35FCA DAC FCB CBE ∴∠=∠=︒∠=∠=︒，85ACB FCA FCB ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：85︒．【点拨】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．三、解答题6．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，80B ∠=︒．(1)求BAD ∠的度数；(2)AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，50BCD ∠=︒．求证：AE DC ∥．【答案】(1)100BAD ∠=︒；(2)详见解析【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解；（2）根据AE 平分BAD ∠，可得50DAE ∠=︒．再由AD BC ∥，可得50AEB DAE ∠=∠=︒．即可求证．（1）解：∵AD BC ∥，∴180B BAD ∠+∠=°，∵80B ∠=︒，∴100BAD ∠=︒．（2）证明：∵AE 平分BAD ∠，∴50DAE ∠=︒．∵AD BC ∥，∴50AEB DAE ∠=∠=︒．∵50BCD ∠=︒，∴BCD AEB ∠=∠．∴AE DC ∥．【点拨】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键。
(压轴题)初中数学八年级数学上册第七单元《平行线的证明》检测卷(有答案解析)(1)
（3）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等，是真命题，
逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段垂直平分线上，是真命题；
（4）底角相等的两个等腰三角形不一定全等，本说法是假命题，
逆命题为：两个全等的等腰三角形的底角相等，是真命题；
连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，得到∠FAB=4x，∠FCD=4x，根据平行线性质得出∠CAB+∠ACD=180°，从而得到x+y=30°，再根据∠AEC=180°-（∠EAF+∠ECF+∠FCA+∠FAC）得到结果．
【详解】
解：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，
∴∠EAB=3x，∠ECD=3x，
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠D=28°，
又∵∠D+∠E+∠DAE=180°，∠E=95°，
∴∠DAE=180°-28°-95°=57°，
∵∠EAB=20°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=77°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，比较简单．由全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．
【详解】
A、 的平方根是3的逆命题是：3是 的平方根，是假命题；
B、 是无理数的逆命题是：无理数是 ，是假命题；
C、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；
D、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题；
2022年最新沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形综合训练试题(含答案解析)
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A ．3 4 8B ．4 4 10C ．5 6 10D ．5 6 112、如图，AB DF ∥，AC CE ⊥于点C ，BC 与DF 交于点E ，若20A ∠=︒，则CED ∠等于（ ）A ．20°B ．50°C ．70°D ．110°3、如图，等边ABC 中，D 为AC 中点，点P 、Q 分别为AB 、AD 上的点，4BP AQ ==，3QD =，在BD 上有一动点E ，则PE QE +的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．124、已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的值可能分别是（ ） A ．1，2，3 B ．3，4，7 C ．2，3，4D ．4，5，105、已知三角形的两边长分别是3cm 和7cm ，则下列长度的线段中能作为第三边的是（ ） A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．10cm6、如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE ≌△ACD 的是（ ）A ．∠B ＝∠C B ．AD ＝AE C ．BE ＝CD D ．∠AEB ＝∠ADC7、如图，∠BAD ＝90°，AC 平分∠BAD ，CB ＝CD ，则∠B 与∠ADC 满足的数量关系为（ ）A ．∠B ＝∠ADC B ．2∠B ＝∠ADC C ．∠B +∠ADC ＝180°D ．∠B +∠ADC ＝90°8、如图，等腰ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD DC ⊥于D ，点O 是线段AD 上一点，点P 是BA 延长线上一点，若OP OC =，则下列结论：①30APO DCO ∠+∠=︒；②APO DCO ∠=∠；③POC △是等边三角形；④AB OA AP =+．其中正确的是（ ）A ．①③④B ．①②③C ．②③④D ．①②③④9、在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，2)，B (a ，0)，C (m ，n )（0m >）．若ABC 是等腰直角三角形，且AB BC =，当01a <<时，点C 的横坐标m 的取值范围是（ ） A ．02m <<B ．23m <<C ．3m <D ．3m >10、△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC 内．若BC ＝5，则五边形DECHF 的周长为（ ）A ．8B ．10C ．11D ．12第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A ，()0,4C -，AB AC =，90BAC ∠=︒，则点B 的坐标为__________．2、如图，在ABC 中，BD 和CD 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，EF 过点D ，且EF BC ∥，若3BE =，4CF =，则EF 的长为______．3、如图，ABC ADC ∠=∠，AB CD ∥，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，连接CE ，AF 交CD 的延长线于点F ，180BCD AEB DAF ∠+∠+∠=︒，若3ECD F ∠=∠，80BEC ∠=︒，则CED ∠的度数为______．4、如图，在△AB 1C 1中，AC 1＝B 1C 1，∠C 1＝20°，在B 1C 1上取一点C 2，延长AB 1到点B 2，使得B 1B 2＝B 1C 2，在B 2C 2上取一点C 3，延长AB 2到点B 3，使得B 2B 3＝B 2C 3，在B 3C 3上取一点C 4，延长AB 3到点B 4，使得B 3B 4＝B 3C 4，……，按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角∠AB 2C 2＝________°；第n 个三角形的内角∠AB n C n ＝________°．5、如图，点C 是线段AB 的中点，DA EC ∥．请你只添加一个条件，使得DAC △≌ECB ．（1）你添加的条件是______；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）△与ECB全等的理由是______．（2）依据所添条件，判定DAC三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC 的延长线于点F．（1）求证：CE＝CF；（2）若CD＝2，求DF的长．2、如图，在四边形ABCD中，点E在BC上，连接DE、AC相交于点F，∠BAE＝∠CAD，AB＝AE，AD＝AC．（1）求证：∠DEC＝∠BAE；（2）如图2，当∠BAE＝∠CAD＝30°，AD⊥AB时，延长DE、AB交于点G，请直接写出图中除△ABE、△ADC以外的等腰三角形．3、已知，在△ABC中，∠BAC＝30°，点D在射线BC上，连接AD，∠CAD＝α，点D关于直线AC的对称点为E，点E关于直线AB的对称点为F，直线EF分别交直线AC，AB于点M，N，连接AF，AE，CE．（1）如图1，点D在线段BC上．①根据题意补全图1；②∠AEF＝（用含有α的代数式表示），∠AMF＝°；③用等式表示线段MA ，ME ，MF 之间的数量关系，并证明．（2）点D 在线段BC 的延长线上，且∠CAD ＜60°，直接用等式表示线段MA ，ME ，MF 之间的数量关系，不证明．4、如图，ABC 是等边三角形，∥DE BC ，分别交AB ，AC 于点D ，E ．（1）求证：ADE 是等边三角形；（2）点F 在线段DE 上，点G 在ABC 外，BF CG =，ABF ACG ∠=∠，求证：AF FG =．5、 “三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA ，PB 组成，两根棒在P 点相连并可绕点P 旋转，C 点是棒PA 上的一个固定点，点A ，O 可在棒PA ，PB 内的槽中滑动，且始终保持OA ＝OC ＝PC ．∠AOB 为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到∠APB ＝13∠AOB ．我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明． 已知：如图2，点O ，C 分别在∠APB 的边PB ，PA 上，且OA ＝OC ＝PC ．求证：∠APB＝13∠AOB．6、已知：如图，AD，BE相交于点O，AB⊥BE，DE⊥AD，垂足分别为B，D，OA=OE．求证：△ABO≌△EDO．7、已知，如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2＝60°．（1）求证：△ADE≌△ABC；（2）求证：AE＝CE．8、如图，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BD＝CD．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）求证：AE＝AF．9、如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB AC ，∠B =∠C ．求证：=AD AE ．10、已知：如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5． （1）直接写出BC 的取值范围是 ．（2）若点D 是BC 边上的一点，∠BAC ＝85°，∠ADC ＝140°，∠BAD ＝∠B ，求∠C ．-参考答案-一、单选题 1、C 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断求解即可． 【详解】解：A ．∵3+4＜8，∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；B ．∵4+4＜10，∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；C ．∵5+6＞10，∴能组成三角形，故本选项符合题意；D ．∵5+6=11，∴不能组成三角形，故本选项不符合题意； 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边是解决问题的关键． 2、C 【分析】由AC CE ⊥与20A ∠=︒，即可求得ABC ∠的度数，又由AB DF ∥，根据两直线平行，同位角相等，即可求得CED ∠的度数． 【详解】 解：∵AC CE ⊥， ∴90C ∠=︒， ∵20A ∠=︒， ∴70ABC ∠=︒， ∵AB DF ∥，∴70CED ABC ∠=∠=︒． 故选：C ．【点睛】题目主要考查了平行线的性质与垂直的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 3、C 【分析】作点Q 关于BD 的对称点Q '，连接PQ '交BD 于E ，连接QE ，此时PE EQ +的值最小，最小值PE PQ PE EQ PQ +=+'='，据此求解即可．【详解】 解：如图，ABC ∆是等边三角形，BA BC ∴=，∵D 为AC 中点，∴BD AC ⊥，4AQ =，3QD =，7AD DC AQ QD ∴==+=，作点Q 关于BD 的对称点Q '，连接PQ '交BD 于E ，连接QE ，此时PE EQ +的值最小．最小值PE QE PE EQ PQ +=+'='，4AQ =，7AD DC ==，3QD DQ ∴='=， 4CQ BP ∴'==，10AP AQ ∴='=，60A ∠=︒，APQ ∴∆'是等边三角形，10PQ PA ∴'==，PE QE ∴+的最小值为10．故选：C ．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．4、C【分析】三角形的三边应满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此求解．【详解】解：A 、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；B 、3+4＝7，不能组成三角形，不符合题意；C 、2+3＞4，能组成三角形，符合题意；D 、4+5＜10，不能组成三角形，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，满足两条较小边的和大于最大边即可．5、C【分析】设三角形第三边的长为x cm ，再根据三角形的三边关系求出x 的取值范围，找出符合条件的x 的值【详解】解：设三角形的第三边是xcm ．则7-3＜x ＜7+3．即4＜x ＜10，四个选项中，只有选项C 符合题意，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的应用．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．6、C【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断即可．【详解】解：根据题意可知：AB ＝AC ，A A ∠=∠，若B C ∠=∠，则根据()ASA 可以证明△ABE ≌△ACD ，故A 不符合题意；若AD ＝AE ，则根据(SAS)可以证明△ABE ≌△ACD ，故B 不符合题意；若BE ＝CD ，则根据()SSA 不可以证明△ABE ≌△ACD ，故C 符合题意；若∠AEB ＝∠ADC ，则根据()AAS 可以证明△ABE ≌△ACD ，故D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键．7、C由题意在射线AD 上截取AE =AB ，连接CE ，根据SAS 不难证得△ABC ≌△AEC ，从而得BC =EC ，∠B =∠AEC ，可求得CD =CE ，得∠CDE =∠CED ，证得∠B =∠CDE ，即可得出结果．【详解】解：在射线AD 上截取AE ＝AB ，连接CE ，如图所示：∵∠BAD ＝90°，AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠EAC ，在△ABC 与△AEC 中，AC AC BAC EAC AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△AEC （SAS ），∴BC ＝EC ，∠B ＝∠AEC ，∵CB ＝CD ，∴CD ＝CE ，∴∠CDE ＝∠CED ，∴∠B ＝∠CDE ，∵∠ADC +∠CDE ＝180°，∴∠ADC +∠B ＝180°．故选：C ．本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是作出适当的辅助线AE，CE．8、A【分析】①利用等边对等角得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；④证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，得AC＝AE+CE＝AO+AP．【详解】解：①如图1，连接OB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝12∠BAC＝12×120°＝60°，∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正确；②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，∴∠APC+∠DCP＝150°，∵∠APO+∠DCO＝30°，∴∠OPC+∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形，故③正确；④如图2，在AC上截取AE＝PA，∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，PA PE APO CPE OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OPA ≌△CPE （SAS ），∴AO ＝CE ，∴AC ＝AE +CE ＝AO +AP ，∴AB ＝AO +AP ，故④正确；正确的结论有：①③④，故选：A ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．9、B【分析】过点C 作CD x ⊥轴于D ，由“AAS ”可证AOB BDC ∆≅∆，可得2AO BD ==，BO CD n a ===，即可求解．【详解】解：如图，过点C 作CD x ⊥轴于D ，点(0,2)A ，2AO ∴=，ABC ∆是等腰直角三角形，且AB BC =，90ABC AOB BDC ∴∠=︒=∠=∠，90ABO CBD ABO BAO ∴∠+∠=︒=∠+∠，BAO CBD ∴∠=∠，在AOB ∆和BDC ∆中，AOB BDC BAO CBD AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AOB BDC AAS ∴∆≅∆，2AO BD ∴==，BO CD n a ===，01a ∴<<，2OD OB BD a m =+=+=，23m ∴<<，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是画图及添加恰当辅助线构造全等三角形．10、B【分析】证明△AFH ≌△CHG （AAS ），得出AF =CH ．由题意可知BE =FH ，则得出五边形DECHF 的周长=AB +BC ，则可得出答案．【详解】解：∵△GFH 为等边三角形，∴FH =GH ，∠FHG =60°，∴∠AHF +∠GHC =120°，∵△ABC 为等边三角形，∴AB =BC =AC =5，∠ACB =∠A =60°，∵∠AHF =180°-∠FHG -∠GHC =120°-∠GHC ，∠HGC =180°-∠C -∠GHC =120°-∠GHC ，∴∠AHF =∠HGC ，在△AFH 和△CHG 中A C AHF HGC FH GH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AFH ≌△CHG （AAS ），∴AF =CH ．∵△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，∴BE =FH ，∴五边形DECHF 的周长=DE +CE +CH +FH +DF =BD +CE +AF +BE +DF ，=(BD +DF +AF )+(CE +BE )，=AB +BC =10．故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．二、填空题1、(6)，-2【分析】按照在x 轴的上下方，分成两类情况讨论，如解析中的图像所示，分别利用边和角证明1Rt OAC Rt EB A ∆∆≌和2Rt OAC DB A ∆∆≌成立，然后根据对应边相等，即可求出两种情况对应的点B 的坐标．【详解】解：如下图所示：由()2,0A ，()0,4C -可知：2OA =，4OC =．当B 点在x 轴下方时，过点B 1向x 轴作垂线，垂足为E ．90BAC ∠=︒，190OAC EAB ∴∠+∠=︒90OAC OCA ∠+∠=︒1OCA EAB ∴∠=∠在Rt OAC ∆与1Rt EB A ∆中：111AOC B EA OCA EAB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩1()Rt OAC Rt EB A AAS ∴∆∆≌ 12EB OA ∴==，4EA OC == 6OE OA EA ∴=+= 1B ∴点坐标为(6)，-2当B 点在x 轴上方时，过点B 2向x 轴作垂线，垂足为D ． 由题意可知：2290B AC B AD OAC ∠=∠+∠=︒ 90OAC OCA ∠+∠=︒ 2B AD OAC ∴∠=∠在Rt OAC ∆与2Rt DB A ∆中 222OAC B AD AOC B DA AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩2()Rt OAC DB A AAS ∴∆∆≌ 22DB OA ∴==，4AD OC == 2OD AD OA ∴=-= ∴点2B 坐标为(22)-，故答案为：(6)，-2或(22)-，．【点睛】本题主要是考查了全等三角形的判定和性质以及坐标点的求解，熟练利用全等三角形证明边相等，进而利用边长求解点的坐标，这是解决该题的关键．2、7【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质证明∠EBD =∠EDB ，∠FDC =∠FCD ，得到BE =DE ，CF =DF ，即可求解．【详解】解：∵EF∥BC ，∴∠EDB =∠DBC ，∠FDC =∠DCB ，又∵BD 和CD 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，∴∠EBD =∠DBC ，∠FCD =∠DCB ，∴∠EBD =∠EDB ，∠FDC =∠FCD ，∴BE =DE ，CF =DF ，又∵BE =3，CF =4，∴EF =DE +DF =BE +CF =7．故答案为：7．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．3、80°【分析】先根据AB CD ∥，ABC ADC ∠=∠，得出180ADC BCD ABC BCD ∠+∠=∠+∠=︒，可证AD∥BC ，再证∠BAD =∠BCD ，得出∠AEB =∠F ，然后证∠ABC =2∠CBE =2∠F ，得出∠ADC =2∠F ，利用三角形内角和得出∠CED =180°-∠EDC -∠ECD =180°-2∠F -3∠F =180°-5∠F ，根据平角得出∠AEB +∠CED =180°-∠BEC =180°-80°=100°，列方程∠F +180°-5∠F =100°求出∠F =20°即可．【详解】解：∵AB CD ∥，∴∠ABC +∠BCD =180°，∵ABC ADC ∠=∠∴180ADC BCD ABC BCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴AD∥BC ，∵AB CD ∥，∴∠BAD +∠ADC =180°，∠BAF +∠F =180°，∵∠ADC +∠BCD =180°，∴∠BAD =∠BCD ，∵180BCD AEB DAF ∠+∠+∠=︒，∴180BAD AEB DAF ∠+∠+∠=︒，∵∠BAF =∠BAD +∠DAF ，∴∠BAF +∠AEB =180°，∴∠AEB =∠F ，∵AD∥BC ，∴∠CBE =∠AEB ，∵BE 平分ABC ∠，∴∠ABC =2∠CBE =2∠F ，∴∠ADC =2∠F ，∵3ECD F ∠=∠，在△CED 中，∠CED =180°-∠EDC -∠ECD =180°-2∠F -3∠F =180°-5∠F ，∵80BEC ∠=︒，∴∠AEB +∠CED =180°-∠BEC =180°-80°=100°，∴∠F +180°-5∠F =100°，解得∠F =20°，∴18052018010080CED ∠=︒-⨯︒=︒-︒=︒，故答案为80°．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和，角平分线定义，平角，解一元一次方程，掌握平行线的判定与性质，三角形内角和，角平分线定义，平角，解一元一次方程，关键是证出∠ADC =2∠F ． 4、401802n - 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠C 1B 1A 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B 1B 2C 2，∠C 3B 3B 2及∠C 4B 3B 2的度数，找出规律即可得出∠AB n C n 的度数．【详解】解：△AB 1C 1中，AC 1＝B 1C 1，∠C 1＝20°，∴∠C 1B 1A ＝180180208022C ︒-∠︒-︒==︒ ， ∵B 1B 2＝B 1C 2，，∠C 1B 1A 是△B 1B 2C 2的外角，∴∠B 1B 2C 2＝11804022C B A ∠︒==︒ ； 同理可得，∠C 3B 3B 2＝20°，∠C 4B 3B 2＝10°，∴∠AB n C n ＝1802n -︒． 故答案为：40，1802n -． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠B 1B 2C 2，∠C 3B 3B 2及∠C 4B 3B 2的度数，找出规律是解答此题的关键．5、AD =CE （或∠D =∠E 或∠ACD =∠B ）（答案不唯一） SAS【分析】（1）由已知条件可得两个三角形有一组对应边相等，一组对应角相等，根据三角形全等的判定方法添加条件即可；（2）根据添加的条件，写出判断的理由即可．【详解】解：（1）添加的条件是：AD =CE （或∠D =∠E 或∠ACD =∠B ）故答案为：AD =CE （或∠D =∠E 或∠ACD =∠B ）（2）若添加：AD =CE∵点C 是线段AB 的中点，∴AC =BC∵DA EC ∥∴A BCE ∠=∠∴DAC △≌ECB (SAS )故答案为：SAS【点睛】本题主要考查了添加条件判断三角形全等，熟练掌握全等三角形的判断方法是解答本题的关键．三、解答题1、（1）证明见解析；（2）4【分析】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质可证得∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，再根据直角定义和三角形的外角性质证得∠F＝∠FEC＝30°，利用等角对等边即可证得结论；（2）由等角对等边可知CE=DC=2，结合（1）中结论即可求解．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∵EF⊥ED，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝30°∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，∴∠F＝∠FEC＝30°，∴CE＝CF．（2）解：由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，∴CE＝DC＝2．又∵CE ＝CF ，∴CF ＝2．∴DF ＝DC +CF ＝2+2＝4．【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、三角形的外角性质、线段的和与差，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．2、（1）见解析；（2）△AEF 、△ADG 、△DCF 、△ECD【分析】（1）根据已知条件得到∠BAE ＝∠CAD ，根据全等三角形的性质得到∠AED ＝∠ABC ，根据等腰三角形的性质得到∠ABC ＝∠AEB ，于是得到结论；（2）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【详解】证明：（1）如图1，∵∠BAE ＝∠CAD ，∴∠BAE ＋∠CAE ＝∠CAD ＋∠CAE ，即∠BAC ＝∠EAD ，在△AED 与△ABC 中，AB AE BAC EAD AD AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△AED ≌△ABC ，∴∠AED ＝∠ABC ，∵∠BAE ＋∠ABC ＋∠AEB ＝180°，∠CED ＋∠AED ＋∠AEB ＝180°，∵AB ＝AE ，∴∠ABC＝∠AEB，∴∠BAE＋2∠AEB＝180°，∠CED＋2∠AEB＝180°，∴∠DEC＝∠BAE；（2）解：如图2，①∵∠BAE＝∠CAD＝30°，∴∠ABC＝∠AEB＝∠ACD＝∠ADC＝75°，由（1）得：∠AED＝∠ABC＝75°，∠DEC＝∠BAE＝30°，∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，∴∠CAE＝30°，∴∠AFE＝180°−30°−75°＝75°，∴∠AEF＝∠AFE，∴△AEF是等腰三角形，②∵∠BEG＝∠DEC＝30°，∠ABC＝75°，∴∠G＝45°，在Rt△AGD中，∠ADG＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，③∠CDF＝75°−45°＝30°，∴∠DCF＝∠DFC＝75°，∴△DCF是等腰直角三角形；④∵∠CED＝∠EDC＝30°，∴△ECD是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．3、（1）①见解析；②60α︒-，60；③MF＝MA＋ME，证明见解析；（2）MF MA ME=-【分析】（1）①按照要求旋转作图即可；②由旋转和等腰三角形性质解出∠AEF；再由三角形外角定理求出∠AMF；③在FE上截取GF＝ME，连接AG，证明△AFG≌△AEM且△AGM为等边三角形后即可证得MF ＝MA＋ME；（2）根据题意画出图形，根据含30°的直角三角形的性质，即可得到结论．【详解】解：（1）①补全图形如下图：②∵∠CAE=∠DAC=α，∴∠BAE=30°+α∴∠FAE=2×（30°+α）∴∠AEF =()180-2+302α︒⨯︒=60°-α； ∵∠AMF =∠CAE +∠AEF =α+60°-α=60°， 故答案是：60°-α，60°；③MF ＝MA ＋ME ．证明：在FE 上截取GF ＝ME ，连接AG ．∵点D 关于直线AC 的对称点为E ， ∴△ADC ≌△AEC ．∴∠CAE ＝∠CAD ＝α．∵∠BAC ＝30°，∴∠EAN ＝30°＋α．又∵点E 关于直线AB 的对称点为F ， ∴AB 垂直平分EF ．∴AF ＝AE ，∠FAN ＝∠EAN ＝30°＋α， ∴∠F ＝∠AEF ＝()180230602αα︒-︒+=︒-．∴∠AMG ＝6060αα︒-+=︒．∵AF ＝AE ，∠F ＝∠AEF ， GF ＝ME ，∴△AFG≌△AEM．∴AG＝AM．又∵∠AMG＝60︒，∴△AGM为等边三角形．∴MA＝MG．∴MF＝MG＋GF＝MA＋ME．（2）MF MA ME=-，理由如下：如图1所示，∵点E与点F关于直线AB对称，∴∠ANM=90°，NE=NF，又∵∠NAM=30°，∴AM=2MN，∴AM=2NE+2EM =MF+ME，∴MF=AM-ME；如图2所示，∵点E与点F关于直线AB对称，∴∠ANM =90°，NE =NF ，∵∠NAM =30°，∴AM =2NM ，∴AM =2MF +2NF =2MF +NE +NF =ME +MF ，∴MF =MA -ME ；综上所述：MF =MA -ME ．【点睛】本题考查轴对称、三角形全等判定与性质、等边三角形判定与性质，掌握这些是本题关键．4、（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，然后根据平行线的性质可得60ADE AED ∠=∠=︒，进而问题可求证；（2）连接AG ，由题意易得AB =AC ，然后可知△ABF ≌△ACG ，则有AF =AG ，进而可得∠FAG =60°，最后问题可求证．【详解】证明：（1）∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，∵DE ∥BC ，∴60,60ADE ABC AED ACB ∠=∠=︒∠=∠=︒，∴60ADE AED ∠=∠=︒，∴ADE 是等边三角形；（2）连接AG ，如图所示：∵ABC 是等边三角形，∴60BAC ∠=︒，AB =AC ，∵BF CG =，ABF ACG ∠=∠，∴△ABF ≌△ACG （SAS ），∴,AF AG BAF CAG =∠=∠，∵60BAF FAC BAC ∠+∠=∠=︒，∴60CAG FAC FAG ∠+∠=∠=︒，∴AFG 是等边三角形，∴AF FG =．【点睛】本题主要考查全等三角形及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形及等边三角形的性质与判定是解题的关键．5、见解析【分析】由OA OC PC ==，得出,POC AOC 为等腰三角形，由外角的性质及等量代换得2CAO APB ∠=∠，再次利用外角的性质及等量代换得3AOB APB ∠=∠，即可证明．【详解】解：OA OC PC ==，,POC AOC ∴为等腰三角形，,APB COP ACO CAO ∴∠=∠∠=∠，由外角的性质得：2ACO APB COP APB ∠=∠+∠=∠，2CAO APB ∠=∠，再由外角的性质得：AOB APB CAO ∠=∠+∠，3AOB APB ∴∠=∠，13APB AOB ∴∠=∠． 【点睛】本题考查了等腰三角形、外角的性质、解题的关键是掌握外角的性质及等量代换的思想进行求解．6、见解析【分析】利用AAS 即可证明△ABO ≌△EDO ．【详解】证明：∵AB ⊥BE ，DE ⊥AD ，∴∠B =∠D =90°．在△ABO 和△EDO 中,,B D AOB EOD OA OE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABO ≌△EDO ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．7、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据∠1＝∠2可推出∠DAE =∠BAC ，然后结合全等三角形的判定定理进行证明；（2）由全等三角形的性质可得AE ＝AC ，结合∠2＝60°可推出△AEC 为等边三角形，据此证明．【详解】（1）证明：∵∠1＝∠2∴∠1+BAE ∠＝∠2+BAE ∠即∠DAE =∠BAC在△ADE 和△ABC 中DAE BAC AD ABD B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△ABC （ASA ）（2）证明：∵△ADE ≌△ABC∴AE ＝AC又∵∠2＝60°∴△AEC 为等边三角形∴AE ＝CE【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定方法，等边三角形的性质和判定方法．8、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据CE ⊥AB ，BF ⊥AC 就可以得出∠BED =∠CFD =90°，就可以由AAS 得出结论；（2）由（1）得DE =DF ，就可以得出BF =CE ，由AAS 就可以得出△AFB ≌△AEC 就可以得出结论．【详解】证明：（1）∵CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，在△BED 和△CFD 中，BED CFD BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BED ≌△CFD （AAS ）；（2）∵△BED ≌△CFD ，∴DE ＝DF ，∴BD +DF ＝CD +DE ，∴BF ＝CE ，在△ABF 和△ACE 中，B C A A BF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABF ≌△ACE （AAS ），∴AE ＝AF ．【点睛】本题考查了垂直的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．9、见解析【分析】根据已知条件和公共角A ∠A =∠，直接根据角边角证明ABE △≌ACD ，进而即可证明=AD AE【详解】在ABE △与ADC 中，==A A AB AC B C ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴ABE △≌ACD ．∴=AD AE ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．10、（1）2＜BC ＜8；（2）25°【分析】（1）根据三角形三边关系解答即可；（2）根据三角形外角性质和三角形内角和解答即可．【详解】解：（1）∵AC-AB＜BC＜AC+AB，AB＝3，AC＝5．∴2＜BC＜8，故答案为：2＜BC＜8（2）∵∠ADC是△ABD的外角∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝140︒∵∠B＝∠BAD∴∠B＝114070 2⨯︒=︒∵∠B+∠BAC+∠C＝180︒∴∠C＝180︒﹣∠B﹣∠BAC即∠C＝180︒﹣70︒﹣85︒＝25︒【点睛】本题考查了三角形第三边的取值范围，三角形内角和定理和三角形外角的性质，能根据三角形的外角的性质求出∠B的度数是解此题的关键．。
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平行线与三角形内角和地综合应用（作业）
1. 如图，三条直线 AB , CD , EF 相交于点 O ,/ A0F=3 / FOB ,
/ AOC=90，则/ EOC= .
2. 如图，在△ ABC 中，DE // BC ，/ ADE=55°，/ 1=25 °
贝DBE= __________ .
3. 如图，/ 1 + / 2=180 ° / 3=90 ° 则/ 4= ____ .
5.已知：如图，△ ABC .
求证：/ A+ / B+ / ACB=180
C 第2题图
4.如图， D 是厶ABC 边BC 上地一点，/ J 1 = / B ，若/ ADC=60°，贝
U / BAC= .
解：•• •/ B+ / C +/ BAC=180 (
)
/ 1 + / C +/ ADC=180 (
)
■/ 1 = / B ( )
• / BAC= / ADC ( 等式地性质 )
/ ADC=60 ( )
• / BAC= ( )
第1题图
证明：作 BC 地延长线 CE ,过点C 作CD // AB ,
•/ CD // AB
•••/ A= / 1 / B= / 2 •••/ 1 + Z 2+ / 3=180° •••/ A+ / B+ / ACB=180 ( ( )
(
( )
)
) 第5题6.已知 如图， AB // CD ，/ BAE= / DCE=45° .
/ E=90° . •/ AB // CD ( )
+ =180 ( )
•••/ BAE= 7 D C E=45 ( )
• 7 1+45°+ 7 2+45° =
即7 1 + 7 2= ( )
•••/ E=180° - (/ 1+ / 2)
=180 °-90 °
=90 ° ( )
7.已知：如图，/ 1 = / ACB ，/ 2=7 3.
求证：CD // HF.
证明：
•••7 1= 7 ACB ( )
• // ( )
• 7 2=
• 7 2=7 3 ( )
'• 7 3= ( )
•• // ( )
【参考答案】
1. 45°
2. 30°
3. 90°
4. 60 °三角形三个内角地和是 180。
三角形三个内角地和是 180
°已 知；已知；60°等量代换.
5.两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等;
1平角=180 °等量代换. 求证 证明
A
6.已知；/ BAC，/ ACD，两直线平行，同旁内角互补；已知；180 °90°，等式地性质；三角形三个内错地和等于180°；
7.已知；DE , BC;同位角相等，两直线平行；/ DCB，两直线平行，
内错角相等；已知；/ DCB，等量代换；CD , HF，同位角相等，两直线平行.。