数学分析15.3傅里叶级数收敛定理的证明

第十五章 傅里叶级数 3收敛定理的证明

预备定理1：(贝塞尔不等式)若函数f 在[-π,π]上可积，则

2a 20+∑∞=1n 2

n 2n )b +(a ≤⎰ππ-2(x)f π1dx ，其中a n , b n 为f 的傅里叶系数.

证：令S m (x)=2a 0+∑=+m

1

n n n sinnx )b cosnx (a ，则

⎰

π

π-2m (x )]S -[f(x )dx=⎰ππ

-2(x )f dx-2⎰ππ

-m (x )f(x )S dx+⎰π

π

-2m (x

)S dx. 其中 ⎰π

π

-m (x )f(x )S dx=⎰π

π-0

f(x)2

a dx+dx cosnx f(x )a m

1

n π

π-n ∑⎰= ⎝⎛+⎪⎭⎫⎰sinnxdx f(x)b ππ-n =20a 2π+π∑=m

1

n 2n 2n )b +(a . 由三角函数的正交性，有 ⎰π

π-2

m (x )S dx=⎰∑⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++=π

π-2

m 1n n n 0sinnx)b cosnx (a 2a dx =⎰⎪⎭

⎫ ⎝⎛π

π-2

02a dx+⎰∑⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ππ-m 1n ππ-22n ππ-22n nx dx sin b nx dx cos a dx=20a 2π+π∑=m 1n 2n 2n )b +(a . ∴⎰π

π-2

m (x )]S -[f(x )dx=⎰π

π-2

(x )f dx-2

πa -2π∑∞

=1n 2n

2n )b +(a +20a 2π+π∑=m

1n 2

n 2n )

b +(a

=⎰π

π-2

(x )f dx-⎢⎣⎡20a 2π+π⎥⎦⎤∑=m

1n 2n 2n )b +(a ≥0. ∴2a 20+∑=m

1n 2

n 2n )b +(a ≤⎰ππ-2(x)f π

1dx 对任何正整数m 都成立. 又 ⎰ππ-2(x)f π

1dx 为有限值，∴正项级数2a 20+∑∞

=1n 2

n 2n )b +(a 的部分和数列有界， ∴2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a 收敛且有2a 20+∑∞=1n 2

n 2n )b +(a ≤⎰ππ-2(x)f π

1dx.

推论1：(黎曼-勒贝格定理)若f 为可积函数，则

cosnx f(x )lim

π

π

-n ⎰

∞→dx=sinnx f(x )lim π

π

-n ⎰∞→=0.

证：由2a 20+∑∞=1

n 2

n 2n )b +(a 收敛知，2n 2n b +a →0 (n →∞)，∴a n →0, b n →0, (n →∞)， ∴cosnx f(x )lim ππ-n

⎰∞→dx=sinnx f(x )lim π

π

-n ⎰∞→dx=0.

推论2：若f 为可积函数，则

x 21n sin f(x )lim π

n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰

∞→dx=x 21n sin f(x )lim 0π-n ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+⎰∞→dx =0. 证：∵x 21n sin ⎪

⎭

⎫ ⎝

⎛+=cos 2x sinnx+sin 2

x

cosnx ， ∴x 21n sin f(x )π

⎪⎭⎫ ⎝⎛

+⎰dx =sinnx 2x f(x )cos π0⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡dx+cosnx 2x f(x )sin π0⎰⎥⎦⎤⎢⎣

⎡dx =sinnx (x )F π

π-1⎰dx+cosnx (x )F π

π-2⎰dx ，其中

F 1(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-πx 02x cos )x (f 0x π0，，；F 2(x)=⎪⎩

⎪

⎨⎧≤≤<≤-πx 02x sin )x (f 0x π0，，.

可知F 1与F 2在[-π,π]上可积. 由推论1可知

sinnx (x )F lim ππ-1n ⎰∞→dx=cosnx (x )F lim ππ-2n ⎰∞→=0. ∴x 21n sin f(x )lim π0n ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+⎰∞→dx=0. 同理可证：x 21n sin f(x )lim 0

π

-n

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎰∞→dx =0.

预备定理2：若f 是以2π为周期的函数，且在[-π,π]上可积，则它的

傅里叶级数部分和S n (x)可写成S n (x)=⎰⎪⎭

⎫ ⎝⎛

++ππ-2

t 2sin

t

21n sin t)f(x π

1dt ，

当t=0时，被积函数中的不定式由极限 2

t 2sin

t

21n sin lim

0t ⎪⎭⎫ ⎝⎛

+→=n+21确定. 证：在傅里叶级数部分和S n (x)=2a 0+sinkx )b +coskx (a n

1

k k k ∑=中

代入傅里叶系数公式，可得：

S n (x)=⎰ππ-f(u)2π

1du +∑⎰⎰=⎥

⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1k ππ-ππ-sinkx sinkudu f(u)+coskx coskudu f(u)π1 =⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-n 1k )sinkusinkx +kx coskuducos (21f(u)π1du=⎰∑⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+=ππ-n 1k x)-cosk(u 21f(u)π1du. 令u=x+t ，得S n (x)=⎰∑⎪⎭

⎫

⎝⎛++=x -πx -π-n 1k coskt 21t)f(x π1dt ，

又被积函数周期为2π，且∑=+n 1

k coskt 21=2

t 2sin

t

21n sin ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+， ∴S n (x)=⎰⎪⎭

⎫ ⎝⎛

++ππ-2

t 2sin

t

21n sin t)f(x π

1dt. (f 的傅里叶级数部分和积分表示式).

收敛定理15.3证明：若周期为2π的函数f 在[-π, π]上按段光滑，则

在每一点x ∈[-π, π]，f 的傅里叶级数2a 0+∑∞

=1

n n n sinnx )b +cosnx (a 收敛于f

在点x 的左右极限的算术平均值，即

2

0)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞

=1n n n sinnx )b +cosnx (a ，其中a n , b n 为傅里叶系数.