长郡中学2018-2019学年度高二第一学期期末考试数学(理科)答案
湖南省2018-2019年高二上学期期末考试数学(理)试题 (2)
第一学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，,所以.故选C.2. “”是“”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由解得x>2，或x<−4.∴“x>2“是““成立的充分不必要条件。
故选：B.3. 函数的最大值是（）A. -1B. 1C. 6D. 7【答案】B【解析】根据题意得：，所以.又，为减函数，为增函数，所以函数为减函数，当时取得最大值1.故选B.4. 已知双曲线的中心为原点，是双曲线的一个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵双曲线的中心为原点，F(3,0)是双曲线的−个焦点，∴设双曲线方程为，a>0，∵是双曲线的一条渐近线，∴，解得a2=4，∴双曲线方程为.故选D.5. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】直线的方向向量为，平面的法向量为，则使，只需即可. 四个选项中，只有D，满足.故选D.6. 已知为抛物线上一点，则到其焦点的距离为（）A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】把代入抛物线方程得：2=2p，∴p=1.∴抛物线的焦点为F(0,).∴抛物线的准线方程为y=−.∴A到准线的距离为1+=.∴AF=.故选：A.7. 执行如图所示的程序框图，如果输出的值为3，则输入的值可以是（）A. 20B. 21C. 22D. 23【答案】A【解析】由题意，模拟执行程序，可得k=0，S=0，满足条件S⩽a，S=2×0+3=3，k=0+1=1满足条件S⩽a，S=2×3+3=9，k=1+1=2满足条件S⩽a，S=2×9+3=21，k=2+1=3由题意，此时，应该不满足条件21⩽a，退出循环，输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值为20.故选：A.8. 为得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】因为所以只需要将函数的图象向右平移个单位长度即可.故选C.点睛：本题考查三角函数的图象变换和三角函数的性质；本题的易错点是“向右平移时，平移单位错误”，要注意左右平移时，平移的单位仅对于自变量而言，如：将的图象将左平移个单位时得到函数的图象，而不是的图象.9. 若，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.即.又，所以，所以，于是，所以，故选A.10. 若满足约束条件，则的最大值是（）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】做出不等式组表示的可行域，如图所示：设,则.据图分析知当直线经过直线和的交点A(1,2)时，取得最大值2，故选C.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.11. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体。
2019-2020年湖南省长沙市长郡中学高二上学期数学期末试卷(理科)【答案版】
25．（ 8 分）已知函数
．
（ 1）若 f （1）=0，求函数 f（x）的单调递减区间； （ 2）若关于 x 的不等式 f（x）≤ ax﹣ 1 恒成立，求整数 a 的最小值．
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2016-2017 学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期数学期末试卷（理 科）
参考答案与试题解析
A．2
B．4
C．﹣ 2
D．﹣ 4
【解答】 解：∵平面 α的法向量为（ 1，﹣ 2， 2），
平面 β的法向量为（ 2，λ，4）， α∥ β，
∴
，
解得 λ＝﹣ 4． 故选： D． 4．（3 分）下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=± 2x 的是（ ）
A．x2﹣ =1
B． ﹣y2=1
C． ﹣x2=1
的最大值为
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 40 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程 .
21．（ 8 分）在数列 { an} 中， a1=1，当 n≥2 时，
．
（ 1）求 a2， a3，a4； （ 2）猜想数列 { an} 的通项 an，并证明你的结论． 22．（ 8 分）已知 m＞0，p：（x+2）（x﹣6）≤ 0，q： 2﹣m≤x≤2+m． （ 1）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数的取值范围； （ 2）若 m=5，“ｐ∧q”为真命题， “ｐ∨ q”为假命题，求实数 x 的取值范围． 23．（8 分）在如图所示的多面体中， EF⊥平面 AEB，AE⊥ EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，
A．x2﹣ =1
B． ﹣y2=1
C． ﹣x2=1
D．y2﹣ =1
5．（3 分） “α＝”是“ sin α”＝的（ A．充分必要条件 C．必要而不充分条件
2018-2019学年高二(上)期末数学试卷(理科)(含答案解析)(3)
2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（理科）（含答案解析） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.（5分）向量十：二鼻"二：二,-，若」 '则x 的值为（） A. - 3 B. 1 C. - 1 D . 32. （5分）已知函数f （x ） =x+lnx ,则f'（1）的值为（）A. 1B. 2C. - 1 D .- 2 3. （5分）某学校高一、高二、高三共有学生 3500人，其中高三学生数是高一 学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多 300人，现在按丁的抽样比用分层 抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）A. 8B. 11C. 16 D . 104. （5分）某公司在2014年上半年的收入x （单位：万元）与月支出万元）的统计资料如下表所示:5. （5分）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等 马，田忌的中等马优于齐王的下等马， 劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐 王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,为（ y （单位: 根据统计资料，则（ ） A. 月收入的中位数是15, B. 月收入的中位数是17, C. 月收入的中位数是16, D. 月收入的中位数是16， x 与y 有正线性相关关系x 与y 有负线性相关关系 x与y 有正线性相关关系 x与y 有负线性相关关系 则田忌获胜的概率6 . (5 分)点集Q= (x, y) | 0<x<e, 0<y<e}, A={ (x, y) | y>e x, (x, y) €內，在点集Q中任取一个元素a,贝U a€ A的概率为( )7. （5分）下列说法错误的是（ ）A .函数f （x ）的奇函数”是“f （0） =0”的充分不必要条件.B. 已知A , B , C 不共线，若-： = |,则P >△ ABC 的重心.C. 命题？ x o € R , sinx o 》T 的否定是：? x € R, sinx v 1”.D.命题若a=，则cos 的逆否命题是： 若cosy • —，则，——”. 322 3 2 28. （5分）过双曲线21 - :.的右焦点且垂直于x 轴的直线与双a 2b 2 曲线交于A , B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且△ ABD 为直角三角形，则此双 曲线离心率的值为（ ）A . 「B.门.：C. Y ：或 门.：D. 「或：：'.:9. （5分）若双曲线x 2+my 2=m （m € R ）的焦距4，则该双曲线的渐近线方程为 （ ）A. ： :B. ： :■-C. , _ I :,D.，-，—10. （5分）已知正三棱柱ABC- A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则 ABi 与侧面2=x 2 - 9lnx 在区间［a - 1, a+1］上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A . (1, 2] B . [4, +x)C . (-X, 2] D. (0, 3] 12. (5分)设函数f (x )=二sin 丄三,若存在f (x )的极值点X 。
2018-2019学年吉林省高二第一学期期末考试理科数学试题 解析版
绝密★启用前吉林省“五地六校”合作2018-2019学年高二第一学期期末考试理科数学试题评卷人得分一、单选题1．已知命题p：，，则是A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：，，则是：，．故选：B．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．2．若直线过点，，则此直线的倾斜角是A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，从而求出直线的倾斜角即可．【详解】由题意得：直线的斜率，故倾斜角是，故选：C．【点睛】本题考查了直线斜率，倾斜角问题，考查转化思想，是一道基础题．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：由三视图易知该几何体为一个圆柱和半个圆锥组合而成，故其体积为考点：三视图，空间几何体体积4．已知命题p：，使得，命题q：，使得，则下列命题是真命题的是A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由配方法得：，即命题p为真命题，，即命题q为假命题，得解.【详解】由，，即命题p为真命题，由，即无解，即命题q为假命题，故选：D．【点睛】本题考查了二次不等式及二次方程的问题及命题的真假，属简单题.5．“”是“方程表示椭圆”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由椭圆的性质得：，解得m范围，又“”范围小，“或”范围大，根据小范围推大范围，故得解。
【详解】“方程表示椭圆”，解得：或，又“”是“或”的充分不必要条件，即“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件，故选：A．【点睛】本题考查了椭圆的性质、充分条件，必要条件，充要条件，属简单题6．方程表示的曲线是A．一个圆B．两个半圆C．两个圆D．半圆【答案】D【解析】【分析】方程等价于，即可得出结论．方程等价于，表示的曲线是半个圆．故选：D．【点睛】本题考查曲线与方程，考查圆的知识，属于基础题．7．以为圆心，4为半径的圆的方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】利用圆的标准方程的性质求解．【详解】以为圆心，4为半径的圆的方程为：．故选：C．【点睛】本题考查圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．8．用a，b，c表示空间中三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则．其中真命题的序号是A．B．C．D．【答案】D【分析】与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形，充分利用相关的公理、定理解答判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行垂直的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．【详解】因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是，所以错误；若，，则，满足平行线公理，所以正确；平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以错误；垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断正确；故选：D．【点睛】本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法，线面平行的判定，解决时要紧紧抓住空间两条直线的位置关系的三种情况，牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理．9．已知在三棱锥中，，，，，，且平面平面，那么三棱锥外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：取中点，连接，由知，则，又平面平面，所以平面，设，则，又，则，，，，显然是其外接球球心，因此．故选D．考点：棱锥与外接球，体积．10．在平面内两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，则点M 的轨迹是A．圆B．椭圆C．双曲线D．线段【答案】A【解析】【分析】以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设出动点M的坐标，由M到这两定点的距离的平方和为26列等式，整理后得答案．【详解】设两定点分别为A，B，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系如图：，则，，设，则，即．整理得：．的轨迹方程是．故选：A．【点睛】本题考查了轨迹方程的求法，解答的关键是建立恰当的平面直角坐标系，是中档题．11．已知双曲线C：的左右焦点分别是，，过的直线l与C的左右两支分别交于A，B两点，且，则A．B．3 C．4 D．【答案】C【解析】设双曲线的实半轴长为a，依题意可得a＝1，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2.又|AF1|＝|BF1|，故|AF2|－|BF2|＝4，又|AB|＝|AF2|－|BF2|，故|AB|＝4. 选C12．如图，已知，是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段与圆相切于点Q，且点Q为线段的中点，则椭圆C的离心率为A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】连接OQ，，先利用三角形中位线定理证明，，而OQ即为圆的半径b，从而得焦半径，再利用椭圆的定义，得，最后利用直线与圆相切的几何性质，证明，从而在三角形中利用勾股定理得到a、b、c间的等式，进而计算离心率即可【详解】如图：连接OQ，，点Q为线段的中点，，，，由椭圆定义，，线段与圆相切于点Q，，，且，即，，故选：B．【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及其运用，直线与圆的位置关系，椭圆的几何性质及其离心率的求法，属基础题第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分二、填空题13．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为 . 【答案】π33 【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为r ，22⨯=ππr ，解得1=r ，根据勾股定理，圆锥的高等于31222=-，所以圆锥的体积ππ3331312=⨯⨯⨯=V . 考点：旋转体的体积 14．抛物线的焦点到准线的距离是______．【答案】 【解析】 【分析】化抛物线方程为标准方程，即可求得焦点到准线的距离． 【详解】抛物线的标准方程为，则，即抛物线的焦点到准线的距离是故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线的标准方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 15．如图，在长方形ABCD 中，，，E 是CD 的中点，沿AE 将向上折起，使D 为，且平面平面则直线与平面ABC 所成角的正弦值为______．【答案】【解析】【分析】由面面垂直，易得斜线在平面的射影，进而得角．【详解】由题意，为等腰直角三角形，平面平面ABCE，在底面的射影为AE，为直线与平面ABC所成角，且，其正弦值为，故答案为：．【点睛】此题考查了斜线与平面所成角，难度不大．求线面角，可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。
2018-2019高二数学上学期期末考试理科试卷(2021年整理)
(完整)2018-2019高二数学上学期期末考试理科试卷(word 版可编辑修改)1 (完整)2018-2019高二数学上学期期末考试理科试卷(word 版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整)2018-2019高二数学上学期期末考试理科试卷(word 版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2 商南县鹿城中学2018-2019学年度第一学期期末模拟考试高二 年级 数学 试题（理卷）总分：150 时间：120分钟 出题人：沈桃桃一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在等差数列}{n a 中，1a =3,93=a 则5a 的值为（ ）A 。
15B . 6C 。
81 D. 9 2.在ABC ∆中，︒=60B ，ac b =2，则ABC ∆一定是A ．直角三角形B 。
等边三角形C 。
锐角三角形D 。
钝角三角形3。
椭圆2241x y +=的离心率为 （ ）A.22 B 。
43 C 。
23 D.324.若不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则a －b 的值是（ )A.－10 B 。
－14 C 。
10 D 。
14 5。
下列函数中，当x 取正数时，最小值为2的是（ ） A.xx y 4+= B.x x y lg 1lg += C.11122+++=x x yD.322+-=x x y6.抛物线22x y =上有一点P ，点P 到()3,1A 的距离与它到焦点的距离之和最小,则点P 的坐标是（ ）A 。
【期末试卷】2018-2019学年高二(上)期末数学试卷(理科)含答案解析
2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线y 2=4x 的准线方程是（ ） A.x=﹣1 B.x=1 C.x=﹣2 D.x=2 2.数列{a n }满足a n =4a n ﹣1+3（n ≥2且n ∈N*），a 1=1，则此数列的第3项是（ ） A.15 B.255 C.20 D.31 3.命题“∃x 0∈R ，f （x 0）＜0”的否定是（ ） A.∃x 0∉R ，f （x 0）≥0 B.∀x ∉R ，f （x ）≥0 C.∀x ∈R ，f （x ）≥0 D.∀x ∈R ，f （x ）＜0 4.在等差数列{a n }中，a 2=5，a 6=17，则a 14=（ ） A.45 B.41 C.39 D.375.实数a ，b 满足a+b=2，则3a +3b的最小值是（ ）A.18B.6C.2D.26.设，是非零向量，“=||||”是“”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.F 1，F 2为椭圆的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程是（ ）A. B.C.D.8.设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y 的最小值为（ ）A.2B.3C.4D.59.椭圆中，以点M （﹣2，1）为中点的弦所在的直线斜率为（ ）A. B. C. D.10.O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|=4，则△POF 的面积为（ ）A.2B.2C.2D.411.与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（ ）A.=1 B. =1 C. =1 D. =112.当|m|≤1时，不等式1﹣2x＜m（x2﹣1）恒成立，则x的取值范围是（）A.（﹣1，3）B.C.（﹣3，1）D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.不等式的解集是.14.若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则数列{a n}的前n项和S n= .15.方程表示焦点在x轴上椭圆，则实数k的取值范围是.16.已知数列{a n}中，a1=1，a n=3a n﹣1+4（n∈N*且n≥2），则数列{a n}的通项公式为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.命题p：关于x的方程x2+ax+2=0无实数根，命题q：函数f（x）=log a x在（0，+∞）上单调递增，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围.18.解关于x的不等式 2ax2﹣（2a+1）x+1＞0（a＞0）.19.已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy=0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值.20.已知点P为曲线C：x2+y2=4上的任意一点，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在曲线C上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程，并说明点M轨迹是什么？21.已知各项都为整数的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=35，且a2，a3+1，a6成等比数列.（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n.22.如图，椭圆的两顶点A（﹣1，0），B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.（1）当|CD|=时，求直线l的方程；（2）当点P异于A，B两点时，求证：点P与点Q横坐标之积为定值.参考答案1.A.2.D.解析：数列{a n}满足a n=4a n﹣1+3（n≥2且n∈N*），a1=1，a2=4a1+3=7，a3=4a2+3=31.3.C.解析：∵命题“∃x0∈R，f（x0）＜0”是特称命题.∴否定命题为：∀x∈R，f（x）≥0.4.B.解析：设等差数列{a n}的公差为d，由a2=5，a6=17得， =3，则a14=a6+（14﹣6）×3=17+24=41，5.B.解析：实数a，b满足a+b=2，则3a+3b≥2=2=2=6，当且仅当a=b=1时，取得等号，即3a+3b的最小值是6.6.A.7.D.8.B.9.D.10.C.11.A.12.B.13.答案为：（0,0.5）；14.答案为：2n+1﹣2.解析：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+a4=20，a3+a5=40，∴a3+a5=40=q（a2+a4）=20q，解得q=2，∴20=a2+a4=a1（2+23），解得a1=2.则数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2.15.答案为：（0.5，1）.16答案为：a n=3n﹣2.解析：数列{a n}中，a1=1，a n=3a n﹣1+4（n∈N*且n≥2），可得a n+2=3（a n﹣1+2），则数列{a n+2}为首项为3，公比为3的等比数列，可得a n+2=33n﹣1=3n，即有a n=3n﹣2.17.解：18.解：19.解：20.解：21.22.解：。
2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题 (答案+解析)
2018-2019学年高二上学期期末考试一、单选题1．与圆224630x y x y +-++=同圆心，且过()1,1-的圆的方程是（ ）A ．224680x y x y +-+-=B ．224680x y x y +-++= C ．224680x y x y ++--= D ．224680x y x y ++-+= 2．下列说法中正确的是（ ） A ．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实数根，则” B ．命题“，”的否定“，”C ．若为假命题，则，均为假命题D ．“”是“直线：与直线：平行”的充要条件 3．已知双曲线的一个焦点坐标为，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是( )A ．B ．C ．D ．4．如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”．图中的“”表示除以的余数，若输入的值分别为和，则执行该程序输出的结果为( )A ．B ．C ．D ．5．已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离等于，则直线的斜率为( )A ．B ．C ．D ．6．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知12,F F 是椭圆221169x y +=的两焦点，过点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，在1AF B ∆中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 8．在直三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ． 9．在棱长为的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( )A ．B ．C ．D ．10．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ） A ．254+ B ．9 C ．7 D ．252+点，若，则实数的值为（）A．B．C．2 D．312．已知双曲线22221x ya b-=的左、右顶点分别为,A B，P为双曲线左支上一点，ABP∆为等腰三角形且外接圆的半径为5a，则双曲线的离心率为（）A．155B．154C．153D．152二、填空题13．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，…，后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在内的人数是__________．14．过点作斜率为的直线与椭圆C：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆C的离心率等于______．15．三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，为的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则的长为_____.三、解答题16．设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切均成立．（1）如果是真命题，求实数的取值范围；17．为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，某校课外兴趣小组记录了组昼夜温差与颗种子发芽数，得到如下资料：组号 1 2 3 4 5温差（）10 11 13 12 8发芽数（颗）23 25 30 26 16经分析，这组数据具有较强的线性相关关系，因此该小组确定的研究方案是：先从这五组数据中选取组数据求出线性回归方程，再用没选取的组数据进行检验.（1）若选取的是第组的数据，求出关于的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：，）18．在一次商贸交易会上,某商家在柜台前开展促销抽奖活动,甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖. 抽奖规则是:从一个装有个红球和个白球的袋中无放回地取出个球,当三个球同色时则中奖.每人只能抽奖一次.(1)求甲乙恰有一人中奖的概率;(2)若甲计划在之间赶到,乙计划在之间赶到,求甲比乙提前到达的概率.19．已知圆与圆关于直线+1对称．（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交与两点，若，求直线的方程.20．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．(1)求证：FC∥平面EAD；(2)求二面角A－FC－B的余弦值．21．已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程； （2）是否存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题1．与圆224630x y x y +-++=同圆心，且过()1,1-的圆的方程是（ ）A ．224680x y x y +-+-=B ．224680x y x y +-++= C ．224680x y x y ++--= D ．224680x y x y ++-+= 【答案】B【解析】试题分析：把原圆的方程写成标准方程为()()222310x y -++=，由于两圆共圆心，可设另一个圆方程为：()()22223x y r -++=，把1,1x y ==-代入所设方程，得：()()22221213,5r r -+-+=∴=，所以所求的圆的方程为()()22235x y -++=，化简为：22-4680x y x y +++=，故选B.【考点】1、圆的一般式方程；2、圆的标准方程的. 2．下列说法中正确的是（ ） A ．命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实B．命题“，”的否定“，”C．若为假命题，则，均为假命题D．“”是“直线：与直线：平行”的充要条件【答案】A【解析】根据命题的条件、结论及逆否命题的定义判断；根据特称命题的否定是全称命题判断，根据复合命题的真值表判断；根据平行线的性质判断.【详解】否定“若，则方程有实数根”条件与结论，再将否定后的条件与结论互换可得其逆否命题为“若方程无实数根，则”，正确；命题“，”的否定“，”，不正确；若为假命题，则至少有一个是假命题，不正确；“直线：与直线：平行”的充要条件是“或”,不正确，故选A.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查逆否命题的定义、特称命题的否定、复合命题的真值表、平行线的性质，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.3．已知双曲线的一个焦点坐标为，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】根据焦点坐标求得、双曲线的渐近线方程，结合，利用待定系数法进行求解即可.【详解】对应的双曲线方程为，双曲线的一个焦点是，且，则，则，则，则，即双曲线的方程为，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，属于基础题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.4．如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”．图中的“”表示除以的余数，若输入的值分别为和，则执行该程序输出的结果为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输.【详解】若输入的值分别为,则,不满足条件，循环；，余数为13 ,即，不满足条件，循环；，余数为0 ,即，满足条件，输出，故选A.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 5．已知抛物线上一点到抛物线焦点的距离等于，则直线的斜率为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】根据抛物线的定义可求出的横坐标，代入抛物线方程解出的纵坐标，代入斜率公式计算斜率.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，点到焦点的距离等于到准线的距离，所以，代入抛物线方程解得，，故选A.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，斜率公式的应用，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决..6．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，利用对立事件概率计算公式，结合古典概型概率公式能求出向上的点数之和小于10的概率.【详解】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点的正方体玩具）先后抛掷2次，基本事件总数为，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有：共6个,出现向上的点数之和小于10的概率为，故选D.【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用以及对立事件概率计算公式的应用，属于中档题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.1AF B ∆中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】D【解析】由椭圆的定义得12128{8AF AF BF BF +=+=两式相加得|AB|+|AF 2|+|BF 2|=16，又因为在△AF 1B 中，有两边之和是10， 所以第三边的长度为：16-10=6 故选D ． 8．在直三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【详解】延长到点,使得,连接,则是平行四边形，可得,根据异面直线所成角的概念可知，所成的锐角即为所求的异面直线所成的角， 设三棱柱的棱长为1，则，在中，根据余弦定理可得，所以异面直线与所成角的余弦值为,故选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.9．在棱长为的正方体中，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离 .【详解】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量，则，取，得，点到平面的距离为，故选D.【点睛】本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.10．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则||||PN PM -的最大值是（ ） A ．254+ B ．9 C ．7 D ．252+ 【答案】B【解析】试题分析：圆()()221111C x y -++=：的圆心1(1)E -，，半径为1，圆()()222459C x y -+-=：的圆心5(4)F ，，半径是3．要使PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()()314PF PE PF PE +--=-+;5(4)F ，关于x 轴的对称点)5(4F '-，，2241515()()PF PE PF PE EF -='-≤'=-+-+=，故4PF PE -+ 的最大值为549+= ，故选：B ．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN PM -最大，需PN 最大，且PM 最小，PN 最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM -最大值是()()314PF PE PF PE +--=-+，再利用对称性，求出所求式子的最大值． 11．已知抛物线的焦点为，直线与C 交于A 、B （A 在轴上方）两点，若，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．2D ．3【答案】D【解析】试题分析：由得或，即，，又，所以，，显然，即．故选D ．【考点】直线与抛物线的位置关系，向量的数乘．【名师点睛】（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． （3）直线与抛物线相交问题，如果含有参数，一般采用“设而不求”方法，但象本题则是直接把直线方程与抛物线方程联立方程组解得交点坐标，再进行相减的运算．12．已知双曲线22221x y a b-=的左、右顶点分别为,A B ， P 为双曲线左支上一点，ABP ∆为等腰三角形且外接圆的半径为5a ，则双曲线的离心率为（ ）A ．155 B ．154 C ．153 D ．152【答案】C【解析】由题意知等腰ABP ∆中， ||2AB AP a ==，设ABP APB θ∠=∠=，则12F AP θ∠=，其中θ必为锐角．∵ABP ∆外接圆的半径为5a ， ∴225sin aa θ=， ∴5sin 5θ=， 25cos 5θ=， ∴25254253sin22,cos22155555θθ⎛⎫=⨯⨯==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭． 设点P 的坐标为(),x y ，则118cos2,sin255a ax a AP y AP θθ=+===， 故点P 的坐标为118,55a a ⎛⎫⎪⎝⎭．由点P在椭圆上得2222118551a aa b⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，整理得2223ba=，∴221513c bea a==+=．选C ．点睛：本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中,a c之间的数量关系，其中通过解三角形得到点P的坐标是解题的突破口．在得到点P的坐标后根据点在椭圆上可得,a b间的关系，最后根据离心率的定义可得所求．二、填空题13．某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：，，…，后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在内的人数是__________．【答案】30【解析】由频率分布直方图得,分数在内的频率为：，分数在内的人数为：，故答案为.14．过点作斜率为的直线与椭圆C：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆C的离心率等于______．【答案】【解析】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为,可得，结合即可求出椭圆的离心率.【详解】设，则①，②，是线段的中点，，直线的斜率是，所以，①②两式相减可得，即，，，故答案为.【点睛】本题考查椭圆的离心率，以及“点差法”的应用，属于中档题. 对于有关弦中点问题常用“ 点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.15．三棱锥中，已知平面，是边长为的正三角形，为的中点，若直线与平面所成角的正弦值为，则的长为_____.【答案】2或【解析】设是的中点，连接，在平面内作，则，可证明平面，连接，则是与平面所成的角，设，利用平面所成的角的正弦值为，列方程求解即可.【详解】设是的中点，连接，平面，，为正三角形，，平面，在平面内作，则，平面，连接，则是与平面所成的角，设，在直角三角形中，，求得，，平面所成的角的正弦值为，,解得或，即的长为2或，故答案为2或.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，以及直线与平面所成的角，属于难题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.三、解答题16．设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切均成立．（1）如果是真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】（1）利用的判别式小于零即可得结果；（2）化简命题可得，化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.【详解】（1）命题是真命题，则若，，的取值范．（2）若命题是真命题，设，令，，当时取最大值，，又因为“”为真命题，“”为假命题，所以一真一假.①若真假，，且，则得；②若假真，则得，且，得．综上，实数的取值范围为或.【点睛】本题通过判断或命题、且命题的真假，综合考查函数的定义域、值域以及不等式恒成立问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.17．为研究冬季昼夜温差大小对某反季节大豆新品种发芽率的影响，某校课外兴趣小组记录了组昼夜温差与颗种子发芽数，得到如下资料：组号 1 2 3 4 5温差（）10 11 13 12 8发芽数（颗）23 25 30 26 16经分析，这组数据具有较强的线性相关关系，因此该小组确定的研究方案是：先从这五组数据中选取组数据求出线性回归方程，再用没选取的组数据进行检验.（1）若选取的是第组的数据，求出关于的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：，）【答案】（1）（2）可靠【解析】(1)根据所给的数据,先做出的平均数，即做出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数,写出线性回归方程；(2)根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的.【详解】（1）由题意：，,．，故回归直线方程为：．(2)当时，，当时，，所以（1）中所得的回归直线方程是可靠的. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.18．在一次商贸交易会上,某商家在柜台前开展促销抽奖活动,甲、乙两人相约同一天上午去该柜台参与抽奖. 抽奖规则是:从一个装有个红球和个白球的袋中无放回地取出个球,当三个球同色时则中奖.每人只能抽奖一次.(1)求甲乙恰有一人中奖的概率;(2)若甲计划在之间赶到,乙计划在之间赶到,求甲比乙提前到达的概率.【答案】（1）（2）【解析】(1)利用古典概型概率公式分别求出甲中奖与乙中奖的概率，利用对立事件的概率公式求出甲不中奖与乙不中奖的概率，然后利用独立事件概率公式、互斥事件的概率公式求解即可；(2)设甲乙到达时间分别为9:00起第小时,则.甲乙到达时间为正方形区域,甲比乙先到则需满足，利用线性规划以及几何概型概率公式可得结果.【详解】(1)记“甲取得三个球同色”为事件A,“乙取得三个球同色”为事件B,“甲乙恰有一人中奖”为事件C.所以A与B相互独立，记两红球为1,2号,四个白球分别为3,4,5,6号,从6个球中抽取3个的所有可能情况有个基本事件.其中事件A包括个基本事件故，所以所以.(2)设甲乙到达时间分别为9:00起第x,y小时,则0≤x≤,≤y≤1.甲乙到达时间(x,y)为图中正方形区域,甲比乙先到则需满足x<y,为图中阴影部分区域.设甲比乙先到为事件B,则P(B)=1-=.【点睛】本题主要考查古典概型、“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.19．已知圆与圆关于直线+1对称．（1）求圆的方程；（2）过点的直线与圆交与两点，若，求直线的方程.【答案】（1）;（2）或.【解析】（1）将圆化为标准方程，求出其圆心和半径，并求出圆心关于直线+1对称点的坐标，从而可得结果；（2）先验证斜率不存在时，直线符合题意；斜率存在时，由可求得的夹角，可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式列方程可得到直线的斜率，由点斜式可得结果.【详解】（1）圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，圆心C1（2，0），半径r1=2，设圆的标准方程为，∵圆C1与圆C2关于直线y=x+1对称，所以，解得．故圆的方程为.（2），所以易得点到直线的距离为,当的斜率不存在时，的方程为，符合要求；当的斜率存在时，设的方程为，由得,故的方程为；综上，的方程为或.【点睛】本题主要圆的方程，直线的点斜式方程的应用，属于中档题.在解题过程中需要用“点斜式”、“斜截式”设直线方程时，一定不要忘记讨论直线斜率不存在的情况，这是解析几何解题过程中容易出错的地方.20．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．(1)求证：FC∥平面EAD；(2)求二面角A－FC－B的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】(1)先证明平面FBC∥平面EAD，即证明FC∥平面EAD.(2)利用向量法求二面角A－FC－B的余弦值．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD与BDEF均为菱形，∴AD∥BC，DE∥BF．∵AD⊄平面FBC，DE⊄平面FBC，∴AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，又AD∩DE＝D，AD⊂平面EAD，DE⊂平面EAD，∴平面FBC∥平面EAD，又FC⊂平面FBC，∴FC∥平面EAD．(2)连接FO、FD，∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF＝60°，∴△DBF为等边三角形，∵O为BD中点．所以FO⊥BD，O为AC中点，且F A＝FC，∴AC⊥FO，又AC∩BD＝O，∴FO⊥平面ABCD，∴OA、OB、OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，设AB＝2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，则BD＝2，OB＝1，OA＝OF＝，∴O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(－，0,0)，F(0,0，)，∴＝(，0，)，＝(，1,0)，设平面BFC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有∴令x＝1，则n＝(1，－，－1)，∵BD⊥平面AFC，∴平面AFC的一个法向量为＝(0,1,0)．∵二面角A－FC－B为锐二面角，设二面角的平面角为θ，∴cosθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，∴二面角A－FC－B的余弦值为．【点睛】（1）本题主要考查空间位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理计算能力.(2) 二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）21．已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)由题意可求得b=1，a =，则椭圆方程为；(2)假设直线存在，设出直线的斜截式方程，联立直线与椭圆的方程，结合题意和韦达定理可得满足题意的直线存在，直线方程为.试题解析：（1）由△OMF是等腰直角三角形得b=1，a =故椭圆方程为（2）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且使F为△PQM的垂心设P（,）,Q（,）因为M（0,1），F（1,0），故，故直线l的斜率于是设直线l的方程为由得由题意知△＞0，即＜3，且由题意应有，又故解得或经检验，当时，△PQM不存在，故舍去；当时，所求直线满足题意综上，存在直线l，且直线l的方程为点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高二(上)入学数学试卷
2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）入学数学试卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分. 1.（3分）已知集合{}1,1A =-，{}1B x mx ==，且A B A =，则m 的值为（ ）A.1B.1-C.1或1-D.1或1-或02.（3分）下列命题中正确的是（ ） A.第一象限角必是锐角 B.终边相同的角相等C.相等的角终边必相同D.不相等的角其终边必不相同3.（3分）已知函数()3xg x t =+的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为（ ） A.–1t ≤B.1t <-C.3t ≤-D.3t ≥-4.（3分）等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项的和9S 等于（ ） A.99B.66C.144D.2975.（3分）如图，该程序运行后输出的结果为（ ）A.7B.15C.31D.636.（3分）下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行； （2）平行于同一平面的两个平面平行； （3）垂直于同一直线的两直线平行； （4）垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有（ ） A.1B.2C.3D.47.（3分）如图所示，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC 与BD 的中点，若6CD =，3AB =，EF BA ⊥，则EF 与CD 所成的角为（ ）A.90︒B.45︒C.60︒D.30︒8.（3分）函数tan 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A.242,233k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B.52,233k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C.244,433k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D.5,33k Z k k ππππ⎛⎫+⎪⎭-∈⎝9.（3分）若仅存在一个实数0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得曲线():sin 06C y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭关于直线x t =对称，则ω的取值范围是（ ） A.17,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D.410,33⎛⎤⎥⎝⎦ 10.（3分）直线:20l ax y a +--=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是（ ） A.1B.1-C.2-或1-D.2-或111.（3分）在ABC △中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知()22b c b c =+，若a =7cos 8A =，则ABC △的面积等于（ ）D.3 12.（3分）若函数()2lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A.()0,1B.()–1,0C.(),0-∞D.()(),01,-∞+∞13.（3分）已知圆()()22:4325T x y -+-=，过圆T 内定点()2,1P 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 面积最大值为（ ）A.21B. C.212D.4214.（3分）设a ，b ，c 分别是ABC △内角A ，B ，C 的对边，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成公差不为0的等差数列，则（ ） A.a ，b ，c 依次成等差数列 B.2a ，2b ，2c 依次成等差数列D.2a ，2b ，2c 依次成等比数列15.（3分）已知函数()ln 1f x x =-，()223g x x x =-++，用{},min m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()()(){}min ,h x f x g x =，则函数()h x 的零点个数为（ ） A.1B.2C.3D.416.（理科选做）已知函数()1f x x =-，关于x 的方程()()20f x f x k -+=，下列四个结论中正确的有（ ）①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分. 17.（3分）sin15cos15︒+︒=________.18.（3分）已知()12log 11x +≥，则实数x 的取值范围是________.19.（3分）已知圆内接四边形ABCD 的边1AB =，3BC =，2CD DA ==，则BD 的长为________.20.（3分）已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________.21.（3分）（文科选做）已知动直线l 与圆22:4O x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，若M 是线段AB 的中点，则OM OC ⋅=________.22.（理科选做）如图，在Rt ABC △中，2AB =，60BAC ∠=︒，90B ∠=︒，G 是ABC △的重心.则GB GC ⋅=________.三、解答题：本大题共5个小题，每小题8分，共40分.23.（8分）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，1CC 的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；（Ⅱ）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45︒，求三棱锥F AEC -的体积.24.（8分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25.（8分）过点(Q -作圆()222:0C x y r r +=>的切线，切点为D ，且4QD =.（1）求γ的值；（2）设P 是圆C 上位于第一象限内的任意一点，过点P 作圆C 的切线l ，且l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，设OM OA OB =+求OM 的最小值（O 为坐标原点）26.（8分）如图，1l ，2l ，3l 是同一平面内的三条平行直线， 1l 与2l 之间的距离是1，2l 与3l 之间的距离是2，三角形ABC 的三个顶点分别在1l ，2l ，3l 上.（1）若ABC △为正三角形，求其边长；（2）若ABC △是以B 为直角顶点的直角三角形，求其面积的最小值. 27.（8分）已知函数()3xf x =，()3g x x a =+-，其中a R ∈.（Ⅰ）若函数()()h x f g x =⎡⎤⎣⎦的图象关于直线2x =对称，求a 的值； （Ⅱ）给出函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数，并说明理由.参考答案1.【分析】利用A B A B A =⇒⊆，写出A 的子集，求出各个子集对应的m 的值.【解答】解：∵AB A =∴B A ⊆∴B =∅；{}1B =-；{}1B = 当B =∅时，0m = 当{}1B =-时，1m =- 当{}1B =时，1m = 故m 的值是0；1；1- 故选：D.【点评】本题考查等价转化的数学思想方法、分类讨论的数学思想方法、写出集合的子集. 2.【分析】根据终边相同的角应相差周角的整数倍，举反例或直接进行判断.【解答】解：A 、如角390︒与30︒的终边相同，都是第一象限角，而390︒不是锐角，故A 不对； B 、终边相同的角应相差周角的整数倍，而不是相等，故B 不对；C 、因为角的始边放在x 轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故C 正确；D 、如角390︒和30︒不相等，但是它们的终边相同，故D 不对. 故选：C.【点评】本题考查了终边相同的角和象限角的定义，利用定义进行举出反例进行判断. 3.【分析】根据指数函数的性质，求出恒过坐标，即可得出t 的取值范围.【解答】解：由指数函数的性质，可得函数()3xg x t =+恒过点坐标为()0,1t +，函数()g x 是增函数，图象不经过第二象限，∴10t +≤，解得：1t ≤-. 故选：A.【点评】本题考查了指数函数的性质，求图象恒过坐标的问题.属于基础题.4.【分析】由等差数列的性质可得413a =，69a =，可得4622a a +=，再由等差数列的求和公式和性质可得()46992a a S +=，代值计算可得. 【解答】解：由等差数列的性质可得1742a a a +=，3962a a a +=， 又∵14739a a a ++=，36927a a a ++=，， ∴1474339a a a a ++==，3696327a a a a ++==， ∴413a =，69a =，∴4622a a +=， ∴数列{}n a 前9项的()()194699992299222a a a a S ++⨯==== 故选：A.【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题.5.【分析】赋值框内的循环变量的赋值1A =，符合条件，进行运算，累加变量同时加1替换，判断是否符合条件，符合条件再进入循环，否则算法结束，输出S. 【解答】解：因为1A =，1s =判断框内的条件15≤成立，执行2113s =⨯+=，112i =+=； 判断框内的条件25≤成立，执行2317s =⨯+=，213i =+=； 判断框内的条件35≤成立，执行27115s =⨯+=，314i =+=； 判断框内的条件45≤成立，执行215131s =⨯+=，415i =+=； 判断框内的条件55≤成立，执行231163s =⨯+=，516i =+=；此时65>，判断框内的条件不成立，应执行否路径输出63，所以输入的m 值应是5. 故选：D.【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件进入循环，不满足条件，算法结束.6.【分析】（1）平行于同一直线的两个平面，或平行，或相交；（2）由平行公理知，平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两条直线或平行，或相交，或异面；（4）由线面垂直的性质知，垂直于同一平面的两直线平行.【解答】解：（1）平行于同一直线的两个平面平行，是错误的； （2）平行于同一平面的两个平面平行，是正确的； （3）垂直于同一直线的两直线平行，是错误的； （4）垂直于同一平面的两直线平行，是正确的.故选：B.【点评】本题考查了用文字语言叙述的空间中平行和垂直关系的判定，是基础题；空间中的垂直和平行，是立体几何的重要内容.7.【分析】取AD 中点G ，连结EG ，FG ，则//EG CD ，//GF AB ，FEG ∠是EF 与CD 所成的角（或所成角的补角），132EG CD ==，1322GF AB ==，GF EF ⊥，由此能求出EF 与CD 所成的角. 【解答】解：取AD 中点G ，连结EG ，FG ， ∵在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC 与BD 的中点， ∴//EG CD ，//GF AB ，∴FEG ∠是EF 与CD 所成的角（或所成角的补角）， ∵6CD =，3AB =，EF BA ⊥， ∴132EG CD ==，1322GF AB ==，GF EF ⊥， ∴30FEG ∠=︒，∴EF 与CD 所成的角为30︒. 故选：D.【点评】本题考查直线EG 与直线BC 所成角的余弦值的求法，考查异面直角所成角的等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【分析】根据正切函数的单调性，解不等式2232x k k πππππ-+<+<+，k Z ∈，将所得的解集化为等价的开区间，即为所求函数的单调增区间. 【解答】解：令,2322x k k πππππ⎛⎫+∈-++ ⎪⎝⎭，k Z ∈ 即2232x k k πππππ-+<+<+，k Z ∈可解得：52233k x k ππππ-<<+，k Z ∈∴函数tan 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间是52,233k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈故选：B.【点评】本题给出含有正切的三角函数式，求函数的增区间，着重考查了正切函数的单调性和复合三角函数的单调区间求法等知识，属于基础题.9.【分析】根据三角函数的性质求解对称的，令0k =，和1k =，求解对称轴，根据存在一个实数0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭建立不等式即可求解.【解答】解：函数，可得()sin 06y x πωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭，其对称方程为62x k ππωπ-=+，可得23k x ππω+=.∵对称轴0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 则当0k =时，可得对称性：232k πππω+<，解得：43ω>.当1k =时，可得对称性：232k πππω+≥，解得103ω≤故得ω的取值范围是410,33⎛⎤⎥⎝⎦ 故选：D.【点评】本题考查了函数对称轴问题，根据0ω>，只需求解相邻对称轴分别位于2π两边即可满足题意. 10.【分析】先求出直线在两个坐标轴上的截距，由在两个坐标轴上的截距相等解方程求得a 的值. 【解答】解：由直线的方程：20ax y a +--=得， 此直线在x 轴和y 轴上的截距分别为2a a+和2a +， 由22a a a+=+， 得1a =或2a =-， 故选：D.【点评】本题考查直线在两坐标轴上的截距的定义，待定系数法求参数的值.11.【分析】根据条件求出2b c =，结合余弦定理求出b ，c 的值，然后利用三角形的面积公式进行求解即可.【解答】解：∵()22b c b c =+∴2220b bc c --= 即()()20b c b c +-=∵b 、c 均为三角形的边，0b c +≠， ∴20b c -=， 即2b c =，由三角形的余弦定理2222cos a b c bc A =+- 得：22764b c bc +-= （*） 再将2b c =带入（*）式可得：227562c c -=，即24c =， 得2c =，4b = ， 又由cos 78A =，可得sin 8A =所以，三角形ABC的面积是：112422si n S bc A ==⨯⨯= 故选：C.【点评】本题主要考查三角形面积的计算，利用余弦定理以及方程关系求出b ，c 的值是解决本题的关键.12.【分析】根据条件容易判断0a ≠，从而可得出()2lg 1a a x a f x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，根据()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，从而讨论a 的符号解不等式201a a x a x +⎛⎫- ⎪⎝⎭>-，并满足该不等式的解集关于原点对称，这样便可求出1a =-，从而得出()()1lg1x f x x -+=-，这样解不等式()1lg01x x -+<-便可得出x 的取值范围. 【解答】解：0a =时，显然()f x 不是奇函数； ∴0a ≠；∴()2lg 1a a x a f x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-； ∵()f x 的定义域关于原点对称；∴（1）若0a >，则20a a +>，∴不等式201a x a ax +⎛⎫- ⎪⎝⎭>-的解集不关于原点对称；即这种情况不存在； （2）若0a <，则解得201a a x a x +⎛⎫- ⎪⎝⎭>-得，21a x a+<<；∴21a a+=-； 解得1a =-，满足条件； ∴()()1lg1x f x x -+=-； ∴解()1lg01x x -+<-得：()1011x x -+<<-；解得10x -<<；∴使()0f x <的x 的取值范围是()1,0-. 故选：B.【点评】考查奇函数的定义，奇函数定义域关于原点对称的特点，以及分式不等式的解法，对数函数的单调性．13.【分析】设圆心到AC 、BD 的距离分别为1d ，2d ，则22128d d +=，代入面积公式12S AC BD =⨯⨯，使用基本不等式求出四边形ABCD 的面积的最大值.【解答】解：设圆心()T O 到AC 、BD 的距离分别为1d ，2d .则2222128d d TP OP +===.四边形ABCD 的面积为：()22125042dd =-+=.当且仅当2212d d =时取等号，故选：D.【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半． 14.【分析】由等差数列的性质得tan ta t 221n an B A C=+，利用正弦定理、余弦定理推导出2222a c b +=，从而2a ，2b ，2c 依次成等差数列.【解答】解：∵a ，b ，c 分别是ABC △内角A ，B ，C 的对边，1tan A ，1tan B ，1tan C依次成公差不为0的等差数列， ∴tan ta t 211n an B A C=+， 根据正弦定理可得cos cos cos 2b a CcB A =+， ∴2cos cos ac B bc A abcsC =+，∴22222222222b c a a b c a c b +-+-+-=+，∴2222a c b +=，∴2a ，2b ，2c 依次成等差数列. 故选：B.【点评】本题考查三个数成等差数列或等比数列的判断，考查等差数列、等比数列的性质、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.15.【分析】根据{}min ,m n 的定义，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可. 【解答】解：作出函数()f x 和()g x 的图象如图，两个图象的下面部分图象， 由()2230g x x x =-++=，得1x =-，或3x =，由()ln 10f x x =-=，得x e =或1x e=，∵()0g e >，∴当0x >时，函数()h x 的零点个数为3个， 故选：C.【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合是解决本题的关键．注意函数定义域的作用． 16.【分析】化简()11f x x =-≥-，再令()f x t =，从而化方程()()20f x f x k -+=为2k t t =-，从而作函数2k t t =-的图象，结合图象分类讨论解得，①②③④均正确. 【解答】解：∵()11f x x =-≥-， ∴当1a =-时，()f x a =有且只有一个解， 当1a >-时，()f x a =有两个不同的解， ∵令()f x t =，则方程()()20f x f x k -+= 可化为2k t t =-，作函数2k t t =-的图象如右， 结合图象可知，当14k =时， 2k t t =-有两个不同的解， 且12t =±故方程()()20f x f x k -+= 有四个不同的解，则②正确； 当104k <<时，2k t t =-有4个不同的解，且11t -<<， 故方程()()20f x f x k -+=有8个不同的解，则④正确；当0k =时，2k t t =-有三个不同的解，分别为1-，0，1； 故方程()()20f x f x k -+=有5个不同的解，则③正确； 当0k <时，2k t t =-有两个不同的解，且1t <-或1t >， 故方程()()20f x f x k -+=有2个不同的解，则①正确； 故选：D.【点评】本题考查了分类讨论与数形结合的思想应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.17.【分析】原式提取2，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化简，即可得到结果. 【解答】解：()sin15cos15sin15154522⎫+=+=+⎪︒︒︒︒︒⎪⎭︒60=︒=.【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键.18.【分析】根据绝对值的定义，利用对数函数的图象与性质，列出不等式求解集即可. 【解答】解：()12log 11x +≥，∴()12log 11x +≥-或()12log 11x +≤-，解得1012x <+≤或12x +≥， 即112x -<≤-或1x ≥； ∴实数x 的取值范围是[)11,1,2⎛⎤--+∞ ⎥⎝⎦.故答案为：[)11,1,2⎛⎤--+∞ ⎥⎝⎦.【点评】本题考查了绝对值的定义与对数函数的性质应用问题，是基础题. 19.【分析】连结BD ，利用180A C +=︒和余弦定理，即可求得BD 的长. 【解答】解：连结BD ，由于180A C +=︒，则cos cos A C =-， 由题设及余弦定理得，在BCD △中，2222cos 1312cos BD BC CD BC CD C C ⋅=+-=-，…① 在ABD △中，2222cos 54cos BD AB DA AB DA A C =+-⋅=+，…②由①②解得BD =【点评】本题考查了圆内接四边形内角和定理与余弦定理的应用问题，是基础题．20.【分析】利用二次方程有实根的充要条件列出方程，利用向量的数量积公式及已知条件求出夹角． 【解答】解：设两向量的夹角为θ20x a x a b ++⋅=有实根240a a b ∆=-⋅≥即24cos 0a a b θ-⋅≥ ∵20a b =≠∴1cos 2θ≤ ∴,3πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为：,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点评】本题考查二次方程有实根的充要条件：0∆≥；向量的数量积公式.21.【分析】先在直角三角形OBM 中求出3OM =23OM OC OM ⋅==.【解答】解：如图：在直角三角形OMB 中，22241OMOB BM=-=-=2cos 3OM OM OC OM OC MOC OM OC OM OC⋅=⨯∠=⨯⨯==，故答案为：3.【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题.22.【分析】由已知可得4AC =，BC =30ACB ∠=︒，结合G 是ABC △的重心及向量数量积的性质及定义可求【解答】解：Rt ABC △中，2AB =60BAC ∠=︒，90B ∠=︒，∴4AC =，BC =30ACB ∠=︒， ∵G 是ABC △的重心.()()()2111339GB GC BC BA CB CA BC CB CA BA BC AB AC ⎡⎤⋅=-+⋅-+=--⋅-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦111240242092⎛⎫=---+⨯⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭故答案为：20-【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单应用，属于基础试题三、解答题：本大题共5个小题，每小题8分，共40分. 23.【分析】（Ⅰ）证明1AE BB ⊥，AE BC ⊥，1BC BB B =，推出AE ⊥平面11B BCC ，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF ⊥平面11B BCC ；（Ⅱ）取AB 的中点G ，说明直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45︒，就是1CA G ∠，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积.【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴1BB ⊥底面ABC ，AE ⊂底面ABC ，∴1AE BB ⊥， ∵直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，E 分别是BC 的中点， ∴AE BC ⊥，1BCBB B =，∴AE ⊥平面11B BCC ，∵AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面11B BCC ；（Ⅱ）解：取AB 的中点G ，连结1A G ，CG ，由（Ⅰ）可知CG ⊥平面11A ABB ，直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45︒，就是1CA G ∠，则1AG CG ==∴1AA ==2CF =.三棱锥F AEC -的体积：111113232CE AE CF ⨯⨯⋅⋅=⨯⨯=.【点评】本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．24.【分析】（1）利用已知条件求出数列的公比与首项，然后求数列{}n a 的通项公式. （2）利用对数运算法则化简31323log log log n n b a a a =+++，然后化简数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，利用裂项相消法求和即可.【解答】解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =.得22349a a =.所以219q =.由条件可知0q >，故13q =. 由12231a a +=，得11231a a q +=，所以113a =. 故数列{}n a 的通项式为13n n a =. （6分） （2）()()()123313233123log log log log log 3n n n n b a a a a a a -++++=+++===()()11232n n n +++++=--. 故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭， 数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和：121111111122122311n n n T b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为：21n nT n =-+（12分） 【点评】本题考查数列求和以及通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力. 25.【分析】（1）利用圆的切线的性质，结合勾股定理，可求r 的值；（2）设出直线方程，利用OM OA OB =+，表示出OM ，求出模长，利用基本不等式即可求得结论. 【解答】解：（1）圆()222:0C x y rr +=>的圆心为()0,0O ，则∵过点(Q -作圆()222:0C x y r r +=>的切线，切点为D ，且4QD =∴3r OD ====；（2）设直线l 的方程为()10,0x ya b a b+=>>，即0bx ayab +-=，则(),0A a ，()0,Bb ， ∵OM OA OB =+，(),OM a b =，∴2OM a =∵直线l 与圆C 3=222a b ab +=≤∴2236a b +≥∴6OM ≥当且仅当a b ==OM 的最小值为6.【点评】本题考查圆的切线的性质，考查向量知识的运用，考查基本不等式，属于中档题.26.【分析】（1）根据题意作高AE ，BG ，CF .根据等边三角形及直角三角形的性质，设AD x =，则3AC x =，求出DG ，BG 根据三角形相似根据其相似比可求出DF ，DE 的长，再根据勾股定理即可解答. （2）过点B 作2MN l ⊥，交1l 于M ，交3l 于N ，设AM a =，CN b =，由AMB BNC △△∽，得2b a=，则ABBC ==，12ABCS AB BC ⨯⨯==△ 由此利用均值不等式能求出ABC △面积的最小值. 【解答】解：（1）作高AE ，BG ，CF （如图）， 设AD x =，则3AC x =， 于是322xDG x x =-=，3BG x == ∵BDG CDF ∠=∠，90BGD CFD ∠=∠=︒，∴Rt BDG Rt CDF △△∽，∴BG DGCF DF =，即222xDF =，∴DF =，∴DE =∵22212812727AD AE DE =+=+=，∴AD =∴333AC x ===. ∴ABC △的边长为3. （2）过点B 作2MN l ⊥，交1l 于M ，交3l 于N ，设AM a =，CN b =， 则AMB BNC △△∽，∴MB AM NC BN =，即12ab =，∴2b a =，AB =BC ==∵ABC △是以B 为直角顶点的直角三角形， ∴12ABC B BC S A ⨯⨯=△=2=≥. 当且仅当212a =，即1a =，2b =时，ABC △面积取最小值2.【点评】本题考查三角形边长的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查平行线、直线方程、均值定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 27.【分析】（Ⅰ）函数()()33x a h x f g x +-⎡⎤=⎣⎦=的图象关于直线2x =对称，则()()44h x h x x a x a -==⇒+-+恒成立2a ⇒=-；（Ⅱ）函数()33x y g f x a ==+-⎡⎤⎣⎦的零点个数，就是函数()3x G x a =+与3y =的交点，分①当03a ≤<时；②当3a ≥时；③30a -≤<时；④当3a <-时，画出图象判断个数. 【解答】解：（Ⅰ）函数()()33x a h x f g x +-⎡⎤=⎣⎦=的图象关于直线2x =对称，则()()44h x h x x a x a -==⇒+-+恒成立2a ⇒=-；（Ⅱ）函数()33x y g f x a ==+-⎡⎤⎣⎦的零点个数，就是函数()3x G x a =+与3y =的交点， ①当03a ≤<时，()33x x G x a a =+=+与3y =的交点只有一个，即函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为1个（如图1）；②当3a ≥时，()33x x G x a a =+=+与3y =没有交点，即函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为0个（如图1）；③30a -≤<时，()3x G x a =+与3y =的交点只有1个（如图2）；④当3a <-时，()3x G x a =+与3y =的交点有2个（如图2）；【点评】本题考查了函数的零点，把零点个数转化为两函数交点个数是常用方法，属于中档题．。
湖南省长郡中学2018-2019学年高二下学期期末考试理数答案
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2018-2019学年高二(上)期末数学试卷(理科)(含答案)
高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：某班所有的男生都爱踢足球，则命题¬p为（）A. 某班至多有一个男生爱踢足球B. 某班至少有一个男生不爱踢足球C. 某班所有的男生都不爱踢足球D. 某班所有的女生都爱踢足球2.若向量＝(1,0,z)与向量＝(2,1,2)的夹角的余弦值为，则z等于()A. 0B. 1C. －1D. 23.以双曲线=-1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）A. B. C. D.4.是直线和直线平行且不重合的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件5.平面内一点M到两定点F1（0，-5），F2（0，5）的距离之和为10，则M的轨迹是（）A. 椭圆B. 圆C. 直线D. 线段6.如图：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A.B.C.D.7.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A. 6B. 8C. 9D. 108.已知菱形ABCD边长为1，∠DAB=60°，将这个菱形沿AC折成600的二面角，则B，D两点的距离为（）A. B. C. D.9.试在抛物线y2=-4x上求一点P，使其到焦点F的距离与到A（-2，1）的距离之和最小，则该点坐标为（）A. B. C. D.10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，如果AB=BC=1，AA1=2，那么A到直线A1C的距离为（）A. B. C. D.11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A. AC⊥BEB. EF∥平面ABCDC. 三棱锥A-BEF的体积为定值D. 异面直线AE，BF所成的角为定值12.若直线与双曲线的右支交于不同的两点, 则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知=（1，1，0），=（-1，0，2），且k+与2-垂直，则k的值为______．14.已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是______．15.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是正方体ADD1A1和ABCD的中心，G是C1C的中点，设GF、C1F与AB所成的角分别为α、β，则α+β等于______．16.双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直l1的直线分别交l1，l2于A，B两点，已知成等差数列，且与同向，则双曲线的离心率______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：∀x∈R，x2+x-m≥0，命题q：实数m满足：方程表示双曲线．（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若命题“p或q”为假命题，求实数m的取值范围．18.如图所示，F1，F2分别为椭圆C：+=1，（a＞b＞0）的左、右两个焦点，A，B为两个顶点，已知椭圆C上的点（1，）到焦点F1，F2两点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P，Q两点，求△F1PQ的面积．19.如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．20.已知直线y=x-m与抛物线y2=2x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点．（1）当m=2时，证明：OA⊥OB（2）若y1y2=-2m，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．21.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E-AF-C的余弦值．22.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（2，），Q（2，-）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．当A，B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，考察四个命题，（3）“某班至少有一个男生不爱踢足球”是所研究命题的否定．故选：B．命题“某班所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题，书写其否定时不光要否定结论还要改变量词，由此规律易得其否定．本题考查命题的否定，要注意研究命题的类型，根据其形式是全称命题得出其否定是一个特称命题是解题的关键．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查实数值的求法，考查空间向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用空间向量夹角余弦公式直接求解．【解答】解：∵向量=（1，0，z）与向量=（2，1，2）的夹角的余弦值为，∴cos===，解得z=0．故选：A．3.【答案】D【解析】【分析】先求出双曲线的顶点和焦点，从而得到椭圆的焦点和顶点，进而得到椭圆方程．本题考查双曲线和椭圆的性质和应用，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质．【解答】解：双曲线的顶点为（0，-2）和（0，2），焦点为（0，-4）和（0，4）．∴椭圆的焦点坐标是为（0，-2）和（0，2），顶点为（0，-4）和（0，4）．∴椭圆方程为．故选：D．4.【答案】C【解析】解：当a=3时，两直线分别为：3x+2y+9=0，3x+2y+4=0，∴两直线斜率相等，则平行且不重合．若两直线平行且不重合，则∴a=3综上所述，a=3是两直线平行且不重合的充要条件．故选：C．两个方面分析本题，分别当a=3时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求a的范围．本题以直线为载体，考查四种条件．判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式．5.【答案】D【解析】解：根据题意，两定点F1（0，-5），F2（0，5）则|F1F2|=10，而动点M到两定点F1（0，-5）和F2（0，5）的距离之和为10，则M的轨迹为线段F1F2，故选：D．根据题意，由定点F1和F2的坐标可得|F1F2|的长，结合椭圆的定义分析可得M的轨迹为线段F1F2，即可得答案．本题考查曲线的轨迹方程，注意结合椭圆的定义进行分析．6.【答案】A【解析】解：∵====故选：A．利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出．本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决．7.【答案】B【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=-1，∵抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故选：B．抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．8.【答案】B【解析】解：菱形ABCD边长为1，∠DAB=60°，将这个菱形沿AC折成600的二面角，取AC中点O，连结DO，BO，BD，则AO=BO==，DO⊥AC，BO⊥AC，∴∠DOB是将这个菱形沿AC折成600的二面角的平面角，∴∠DOB=60°，∴B，D两点的距离为BD=．故选：B．取AC中点O，连结DO，BO，BD，则AO=BO==，DO⊥AC，BO⊥AC，∠DOB是将这个菱形沿AC折成600的二面角的平面角，由此能求出B，D两点的距离．本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的定义，充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性，运用了转化思想和数形结合思想．先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：点P到焦点的距离等于点P 到准线的距离，设点P在准线上的投影为Q，则当P，A和Q三点共线且点P在中间的时候距离之和最小，进而确定点P的纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．【解答】解：∵y2=-4x,∴焦点坐标为F（-1，0），准线方程为,依题意可知当A、P及P到准线的垂足Q三点共线时，距离之和最小如图，故P的纵坐标为1，设代入得，则该点坐标为P（-，1）．故选A．10.【答案】C【解析】解：由题意可得：连接A1C，AC，过A作AE⊥A1C，如图所示：根据长方体得性质可得：A1A⊥平面ABCD．因为AB=BC=1，AA1=2，所以AC=，A1C=，。
2018-2019学年河南省高二(上)期末数学试卷(理科) 解析版
2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题1．设命题p：∀x＞0，|x|＝x，则￢p为（）A．∀x＞0，|x|≠x B．∃x0≤0，|x0|＝x0C．∀x≤0，|x|＝x D．∃x0＞0，|x0|≠x02．已知抛物线的准线方程x＝，则抛物线的标准方程为（）A．x2＝2y B．x2＝﹣2y C．y2＝x D．y2＝﹣2x3．若等比数列{a n}的前n项和为S n，2a3+a6＝0，则＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．24．函数f（x）＝x3﹣e x的图象在x＝1处的切线斜率为（）A．3 B．3﹣e C．3+e D．e5．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝5，b＝3，，则＝（）A．B．C．D．6．若函数f（x）＝ax﹣lnx在[1，2]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞）C．D．（﹣∞，7．若，则函数f（x）＝ax+e x﹣1的图象在x＝1处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0 B．2x+y＝0 C．x﹣2y＝0 D．x+2y＝0 8．“a，b，c，d成等差数列”是“a+d＝b+c”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．函数f（x）＝的最小值为（）A．B．C．2 D．10．若x＞1，则的最大值为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），对任意x∈R，f'（x）＞f（x）恒成立，且f（1）＝1，则不等式ef（x）＞e x的解集为（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]12．设双曲线M：＝1（a＞0，b＞0）的上顶点为A，直线y＝与M交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点D若D到点（0，2）的距离不超过8﹣7a，则M的离心率的取值范围是（）A．[+1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（1，+1] D．（1，﹣1] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上13．若函数f（x）＝x2﹣，则f′（1）＝．14．若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最小值为．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为．16．若函数y＝sin2x+cos3x+a﹣1在区间[﹣]上的最小值为0，则a＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知椭圆W：＝1（m＞0，n＞0）的离心率为e，长轴为AB，短轴为CD．（1）若W的一个焦点为（3，0），|CD|＝6，求W的方程；（2）若|AB|＝10，e＝，求W的方程．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos2A﹣cos2B＝1，b+2a cos C ＝0．（1）求C；（2）若，求△ABC的周长．19．设函数f（x）＝（x+1）2+axe x．（1）若a＝1，求f（x）的极值；（2）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5＝5S2，a6＝6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•3}的前n项和T n．21．已知函数f（x）＝（a﹣b）x2﹣x﹣xlnx．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，且f（1）＝a，求a，b 的值；（2）若a＝1，f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围．22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝BB1＝BA，，AB⊥B1C．（1）证明：AC＝AB1；（2）若AC⊥AB1，求二面角B1﹣AB﹣C的正弦值．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设命题p：∀x＞0，|x|＝x，则￢p为（）A．∀x＞0，|x|≠x B．∃x0≤0，|x0|＝x0C．∀x≤0，|x|＝x D．∃x0＞0，|x0|≠x0解：因为全称命题的否定是推出明天吧，所以命题p：∀x＞0，|x|＝x，则￢p为：∃x0＞0，|x0|≠x0．故选：D．2．已知抛物线的准线方程x＝，则抛物线的标准方程为（）A．x2＝2y B．x2＝﹣2y C．y2＝x D．y2＝﹣2x解：∵抛物线的准线方程x＝，可知抛物线为焦点在x轴上，且开口向左的抛物线，且，则p＝1．∴抛物线方程为y2＝﹣2x．故选：D．3．若等比数列{a n}的前n项和为S n，2a3+a6＝0，则＝（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2解：∵2a3+a6＝0，∴q3＝﹣2，∴＝＝1+q3＝﹣1，故选：A．4．函数f（x）＝x3﹣e x的图象在x＝1处的切线斜率为（）A．3 B．3﹣e C．3+e D．e解：根据题意，函数f（x）＝x3﹣e x，其导数f′（x）＝3x2﹣e x，则f′（1）＝3﹣e，即函数f（x）＝x3﹣e x的图象在x＝1处的切线斜率k＝3﹣e；故选：B．5．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝5，b＝3，，则＝（）A．B．C．D．解：∵c＝5，b＝3，，∴由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，得a＝7，∴由正弦定理：．故选：A．6．若函数f（x）＝ax﹣lnx在[1，2]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．[1，+∞）C．D．（﹣∞，解：，因为f（x）在[1，2]内单调递增，所以f′（x）≥0对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，所以；故选：B．7．若，则函数f（x）＝ax+e x﹣1的图象在x＝1处的切线方程为（）A．2x﹣y＝0 B．2x+y＝0 C．x﹣2y＝0 D．x+2y＝0解：∵，∴f（x）＝ax+e x﹣1＝x+e x﹣1，则f′（x）＝1+e x﹣1，∴f′（1）＝2，又f（1）＝2，∴函数f（x）＝ax+e x﹣1的图象在x＝1处的切线方程为y﹣2＝2（x﹣1），即2x﹣y＝0．故选：A．8．“a，b，c，d成等差数列”是“a+d＝b+c”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：由a，b，c，d成等差数列，可得：a+d＝b+c，反之不成立：例如a＝0，d＝5，b＝∴“a，b，c，d成等差数列”是“a+d＝b+c”的充分不必要条件．故选：A．9．函数f（x）＝的最小值为（）A．B．C．2 D．解：函数f（x）＝，可得f′（x）＝x+1﹣＝，可知f（x）则（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，所以：f（x）min＝f（1）＝．故选：D．10．若x＞1，则的最大值为（）A．B．C．D．解：令t＝x﹣1，则x＝t+1，t＞0，原式＝＝＝≤＝，当且仅当t＝1即x＝2时等号成立，故选：C．11．已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），对任意x∈R，f'（x）＞f（x）恒成立，且f（1）＝1，则不等式ef（x）＞e x的解集为（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0] 解：∵f'（x）＞f（x），∴＞0，∴＞0，令g（x）＝，则g′（x）＝＞0，∴g（x）在R上是增函数．∵ef（x）＞e x，∴，即g（x）＞g（1）＝．故选：A．12．设双曲线M：＝1（a＞0，b＞0）的上顶点为A，直线y＝与M交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点D若D到点（0，2）的距离不超过8﹣7a，则M的离心率的取值范围是（）A．[+1，+∞）B．[﹣1，+∞）C．（1，+1] D．（1，﹣1] 解：记c＝，由题意可得B（，c），C（﹣，c），由双曲线的对称性可知D点在y轴上，设D（0，t），则×＝﹣1，则t＝c﹣＝c﹣，∴2c﹣[c﹣]≤8﹣7a＝8c﹣7a，∴≤7（c﹣a），∴c2+2ac+a2≤7a2，即e2+2e﹣6≤0，解得﹣1﹣≤e≤﹣1+，∵e＞1，∴e∈（1，﹣1]，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上13．若函数f（x）＝x2﹣，则f′（1）＝ 3 ．解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣，则f′（x）＝2x+，则f（1）＝2+1＝3；故答案为：3．14．若x，y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最小值为﹣1 ．解：由约束条件得到可行域如图：z＝2x﹣3y变形为y＝x﹣，当此直线经过图中A （1，1）时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为2×1﹣3×1＝﹣1；故答案为：﹣1．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为AD，C1D1的中点，O为侧面BCC1B1的中心，则异面直线MN与OD1所成角的余弦值为．解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，令AB＝2，则D1（0，2，2），O（2，1，1），M（0，1，0），N（1，2，2），∴＝（1，1，2），＝（﹣2，1，1），设异面直线MN与OD1所成角为θ，则cosθ＝＝．∴异面直线MN与OD1所成角的余弦值为．故答案为：．16．若函数y＝sin2x+cos3x+a﹣1在区间[﹣]上的最小值为0，则a＝．解：函数y＝sin2x+cos3x+a﹣1＝﹣cos2x+cos3x+a，因为x∈[﹣]．所以cos x ∈[0，1]，令t＝cos x，则g（t）＝t3﹣t2+a，g′（t）＝3t2﹣2t＝t（3t﹣2），t∈[0，1]，当t∈[0，]时，g′（t）≤0，当t∈（，1]时，g′（t）＞0，从而g（t）max＝g（）＝a﹣＝0，解得a＝．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知椭圆W：＝1（m＞0，n＞0）的离心率为e，长轴为AB，短轴为CD．（1）若W的一个焦点为（3，0），|CD|＝6，求W的方程；（2）若|AB|＝10，e＝，求W的方程．解：（1）由已知可得，c＝3，2b＝6，b＝3．∴a2＝b2+c2＝18．由题意可知，椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为；（2）由已知可得，2a＝10，则a＝5，又e＝＝，∴c＝3，则b2＝a2﹣c2＝16．若椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为．若椭圆焦点在y轴上，则椭圆方程为．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cos2A﹣cos2B＝1，b+2a cos C ＝0．（1）求C；（2）若，求△ABC的周长．解：（1）∵2cos2A﹣cos2B＝1，∴2（1﹣2sin2A）﹣（1﹣2sin2B）＝1，∴2sin2A＝sin2B，由正弦定理可得，b2＝2a2，∵b+2a cos C＝0．∴＝0，∴cos C＝﹣，∵C∈（0，π），∴C＝，（2）∵，C＝，由余弦定理可得，10＝，＝＝5a2，∴，b＝2，∴△ABC的周长2．19．设函数f（x）＝（x+1）2+axe x．（1）若a＝1，求f（x）的极值；（2）若a＝﹣1，求f（x）的单调区间．解：（1）a＝1时，f（x）＝（x+1）2+xe x，f′（x）＝（x+1）（e x+2），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣1，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣1，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，故f（x）极小值＝f（﹣1）＝﹣，无极大值；（2）证明：a＝﹣1时，f（x）＝（x+1）2﹣xe x，f′（x）＝（x+1）（2﹣e x），令f′（x）＝0，解得：x＝﹣1或x＝ln2＞0，故x∈（﹣∞，﹣1），（ln2，+∞）时，f′（x）＜0，x∈（﹣1，ln2）时，f′（x）＞0，故f（x）在（﹣1，ln2）递增，在（﹣∞，﹣1），（ln2，+∞）递减．20．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S5＝5S2，a6＝6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•3}的前n项和T n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由，得a1＝1，d＝1，故a n＝n；（2）由，，两式作差，得：﹣2＝，故．21．已知函数f（x）＝（a﹣b）x2﹣x﹣xlnx．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，且f（1）＝a，求a，b 的值；（2）若a＝1，f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求b的取值范围．解：（1）函数f（x）＝（a﹣b）x2﹣x﹣xlnx的导数为f′（x）＝2（a﹣b）x﹣1﹣（1+lnx）＝2（a﹣b）x﹣2﹣lnx，在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，且f（1）＝a，可得2（a﹣b）﹣2＝0，且a﹣b﹣1＝a，解得a＝0，b＝﹣1；（2）a＝1，f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，即为（1﹣b）x2﹣x﹣xlnx≥0对x＞0恒成立，可得b≤（1﹣﹣）min，设g（x）＝1﹣﹣，g′（x）＝﹣＝，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减；x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增．即有g（x）在x＝1处取得最小值，且为0，可得b≤0，即b的取值范围是（﹣∞，0]．22．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝BB1＝BA，，AB⊥B1C．（1）证明：AC＝AB1；（2）若AC⊥AB1，求二面角B1﹣AB﹣C的正弦值．【解答】（1）证明：连接BC1，交B1C于点O，连接AO，由题知，侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，又AB⊥B1C，AB∩BC1＝B，所以B1C⊥平面ABO，又AO⊂平面ABO，所以B1C⊥AO．因为B1O＝CO，所以AC＝AB1．（2）解：因为AC⊥AB1，所以AO＝CO，又AB＝BC，所以△BOA≌△BOC．所以OA⊥OB，可知OA，OB，OB1两两垂直，以O为原点，建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，设，则A（0，0，1），，C（0，﹣1，0），B1（0，1，0），所以，，，设平面ABC的法向量为，由，令y＝3，得，设平面B1AB的法向量为，由，令x＝1，得，所以，故二面角B1﹣AB﹣C的正弦值为．。
2018-2019学年高二(上)期末数学试卷(理科)(含答案) (2)
高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：∃x0∈R，x0-2＞lg x0，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A. 命题p∨q是假命题B. 命题p∧q是真命题C. 命题p∧（￢q）是真命题D. 命题p∨（￢q）是假命题2.在△ABC中，A=60°，B=75°，a=10，则边c等于（）A. 5B. 10C. 5D.3.已知命题p：“1＜x＜2”，q：“2x＞1”，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若实数x，y满足，则z=2x-3y的最小值为（）A. 2B. 1C. 0D. -15.双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（）A. 2B.C. 4D.6.在四面体O-ABC中，设=，=，=．D为BC的中点，E为AD的中点，则=（）A. ++B. +-C. ++D. -+7.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏8.已知实数a，b＞0，a，b的等差中项为，设，则m+n的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 69.已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，且PA⊥底面ABCD，PA=AD，则异面直线PB与AC所成的角为（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°10.若不等式ax2-x+a＞0对一切实数x都成立，则实数a的取值范围为（）A. a或aB. a或a＜0C. aD. -11.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=（）A. -3B. 1C. 3D. 412.如图，已知顶角A为60°的三角形ABC满足AB+AC=4，点D，E分别在线段AB和AC上，且满足EC=2AD，当△ABC的面积取得最大值时，DE的最小值为（）A. 1B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知不等式ax2-3x+2＜0的解集为{x|1＜x＜b}，则a+b=______．14.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=______．15.一艘轮船从港口A处出发，以15海里小时的速度沿着北偏西10°的方向直线航行，在港口A处测得灯塔M在北偏东50°方向，航行40分钟后，轮船与灯塔的距离是5海里，则灯塔M与港口A的距离为______海里．16.如图，双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足=0，∠ABF=，则双曲线的离心率e的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知命题p：实数x满足mx+1＞0（m＞0），命题q：实数x满足（3x-1）（x+2）＜0．（Ⅰ）当m=1且p∧q为真命题时，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积为，求a，b的值；（Ⅱ）若sin A=2sin B，求△ABC的面积．19.设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a n b n=，求证：数列{b n}的前n项和T n＜1．20.某商家计划投入10万元经销甲，乙两种商品，根据市场调查统计，当投资额为x（0≤x≤10）万元，经销甲，乙两种商品所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元，其中f（x）=x+2，g（x）=，当该商家把10万元全部投入经销乙商品时，所获收益为5万元．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若该商家把10万元投入经销甲，乙两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大总收益，并求出最大总收益．21.如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AF∥DE、EF⊥BF，AB=AF=2DE=2，AD=．（Ⅰ）求证：EF⊥平面ABF；（Ⅱ）求二面角A-BF-D的正弦值．22.已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点重合，且椭圆的离心率为e=．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）过点P（0，2）的动直线l与椭圆C1相交于A，B两点，O为原点，求△OAB 面积的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：当x0=10时，x0-2＞lg x0成立，故命题p为真命题；当x=0时，x2=0，故命题q为假命题，故命题p∨q是真命题，故A错误；命题p∧q是假命题，故B错误；命题p∧（￢q）是真命题，故C正确；命题p∨（￢q）是真命题，故D错误；故选：C．举出正例x0=10可知命题p为真命题；举出反例x=0可知命题q为假命题，进而根据复合命题真假判断的真值表得到结论．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题，特称命题，难度基础．2.【答案】D【解析】解：∵A=60°，B=75°，a=10，∴C=180°-60°-75°=45°，则，即=得c=，故选：D．根据三角形的内角和，求出C的大小，结合正弦定理进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理是解决本题的关键．比较基础．3.【答案】A【解析】解：由2x＞1得x＞0，则p是q的充分不必要条件，故选：A．根据不等式关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．4.【答案】D【解析】解：画出实数x，y满足表示的平面区域，如图所示；平移目标函数z=2x-3y知，当目标函数过点A时，z取得最小值，由，解得A（1，1），∴z的最小值为2×1-1×3=-1．故选：D．画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查双曲线的性质，双曲线的离心率，点到直线的距离公式，是基础题．根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离，建立方程组即可得到结论．【解答】解：∵双曲线的离心率为2，∴e=，则c=2a，∴b=，双曲线的渐近线方程为y=，不妨取y=，即bx-ay=0，焦点F（c，0）到渐近线bx-ay=0的距离为，∴d=，∴a=1，∴c=2，焦距2c=4，故选C．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查空间向量的加减法，考查学生计算能力，属于基础题．直接表示，然后用，表示，化简即可．【解答】解：×（）=×（）=++=++．故选：A．7.【答案】B【解析】解：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故选：B．设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：∵a＞0，b＞0，a，b的等差中项是，∴a+b=1又∵m+n=a+b+=1++=当且仅当a=b时，等号成立，∴m+n取得最小值5故选：C．先由等差中项求得a+b=1，又m+n=a+b+=，再构造基本不等式求解．本题主要通过数列知识来考查基本不等式求最值，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：建立以点A为空间直角坐标系原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（1，0，0），则=（1，1，0），=（1，0，-1），设，，夹角为θ，则cosθ==，所以θ=60°，即异面直线PB与AC所成的角为60°，故选：B．由异面直线所成角及空间向量的坐标运算得：建立以点A为空间直角坐标系原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（1，0，0），则=（1，1，0），=（1，0，-1），设，，夹角为θ，则cosθ==，即θ=60°，即异面直线PB与AC所成的角为60°，得解．本题考查了异面直线所成角及空间向量的坐标运算，属中档题．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了利用判别式求不等式恒成立问题，是基础题．根据题意得出a=0时不满足题意，当a≠0时，有，由此列出不等式组求出a的取值范围．【解答】解：不等式ax2-x+a＞0对一切实数x都成立，①当a=0时，-x>0不恒成立；②当a≠0时，。
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