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(完整版)2012年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

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2012年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)答案与解析

2012年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)答案与解析
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∴n=8 展开式的通项 = 令8﹣2r=﹣2可得r=5 此时系数为 =56 故答案为：56 【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲 版）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（5分）复数 =（ ） A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【专题】计算题． 【分析】把 的分子分母都乘以分母的共轭复数，得 ，由此利用复数的代数形式的乘除运算，能求出结果． 【解答】解： = = =1+2i． 故选C． 【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认 真审题，仔细解答． 2．（5分）已知集合 ，B={1，m}，A∪B=A，则m=（ ） A．0或
． 故答案为： ． 【点评】本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数，着重考查 辅助角公式的应用与正弦函数的性质，将y=sinx﹣ cosx（0≤x＜2π）化为y=2sin（x﹣ ）（0≤x＜2π）是关键，属于中档题． 15．（5分）若 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 56 ． 【考点】二项式系数的性质． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n的值，根据通 项可求满足条件的系数 【解答】解：由题意可得，
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【专题】计算题． 【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数 y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等 于0，由此可求c的值． 【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1）， 令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1； ∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减， ∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值． ∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点， ∴极大值等于0或极小值等于0．

【专家解析】2012年高考数学(理)真题精校精析(重庆卷)(纯word书稿)

【专家解析】2012年高考数学(理)真题精校精析(重庆卷)(纯word书稿)

2012·重庆卷(数学理科)1．[2012·重庆卷] 在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．251．B [解析] 因为{a n }是等差数列，所以a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝1＋5＝6，所以S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5×62＝15，选B.2．[2012·重庆卷] 不等式x －12x ＋1≤0的解集为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) 2．A [解析] 不等式等价于⎩⎨⎧(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0，解得－12＜x ≤1，选A.3．[2012·重庆卷] 对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心3．C [解析] 圆x 2＋y 2＝2的圆心为(0,0)，半径为2，因为圆心(0,0)到直线y ＝kx ＋1的距离d ＝|0·k ＋0·(－1)＋1|k 2＋(－1)2＝1k 2＋1，因为0＜1k 2＋1≤1＜2，所以直线与圆相交但不过圆心．4．[2012·重庆卷] ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( )A.3516B.358C.354 D ．1054．B [解析] 展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 8·(x )8－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12k C k 8x 4－k.令4－k ＝0，则k ＝4，所以展开式中常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 48＝358.5．[2012·重庆卷] 设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35．A [解析] 因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.6．[2012·重庆卷] 设x ，y ∈，向量＝(x,1)，＝(1，y )，＝(2，－4)，且⊥，∥，则|＋|＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．106．B [解析] 因为⊥，所以·＝0，即2x －4＝0，解得x ＝2，由∥，得－4＝2y ，解得y ＝－2，所以＝(2,1)，＝(1，－2)，所以＋＝(3，－1)，所以|＋|＝32＋12＝10.7．[2012·重庆卷] 已知f (x )是定义在上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( )A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件7．D [解析] 由于f (x )是的上的偶函数，当f (x )在[0,1]上为增函数时，根据对称性知f(x)在[－1,0]上为减函数．根据函数f(x)的周期性将f(x)在[－1,0]上的图象向右平移2个周期即可得到f(x)在[3,4]上的图象，所以f(x)在[3,4]上为减函数；同理当f(x)在[3,4]上为减函数时，根据函数的周期性将f(x)在[3,4]上的图象向左平移2个周期即可得到f(x)在[－1,0]上的图象，此时f(x)为减函数，又根据f(x)为偶函数知f(x)在[0,1]上为增函数(其平移与对称过程可用图表示，如图1－1所示)，所以“f(x)为[0,1]上的减函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件，选D.8．[2012·重庆卷] 设函数f(x)在上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图1－2所示，则下列结论中一定成立的是()图1－1A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)8．D[解析] 在x＝－2左侧附近时，由图象知，y＝(1－x)f′(x)＞0，则f′(x)＞0，在x＝－2右侧附近时，由图象知，y＝(1－x)f′(x)＜0，则f′(x)＜0，所以函数在x＝－2处取得极大值；在x＝1左侧附近时，由图象知，y＝(1－x)f′(x)＜0，f′(x)＜0，在x＝1右侧附近时，由图象知，y＝(1－x)f′(x)＞0，则f′(x)＜0，所以函数在x＝1处没有极值；在x＝2左侧附近时，由图象知，y＝(1－x)f′(x)＞0，则f′(x)＜0，在x＝2右侧附近时，由图象知，y＝(1－x)f′(x)＜0，则f′(x)＞0，所以函数在x＝2处取得极小值．9．[2012·重庆卷] 设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a，且长为a的棱与长为2的棱异面，则a的取值范围是()A．(0，2) B．(0，3)C．(1，2) D．(1，3)9．A [解析] 如图所示，设AB ＝a ，CD ＝2，BC ＝BD ＝AC ＝AD ＝1，则∠ACD ＝∠BCD ＝45°，要构造一个四面体，则平面ACD 与平面BCD 不能重合，当△BCD 与△ACD 重合时，a ＝0；当△BCD 在DC 另一侧与△ACD 共面时，∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ＝45°＋45°＝90°，AB ＝AC 2＋BC 2＝2，所以a 的取值范围是(0，2)．10．[2012·重庆卷] 设平面点集A ＝(x ，y )⎪⎪(y －x )·y －1x ≥0，B ＝{}(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为()A.34πB.35πC.47πD.π210．D [解析] 平面点集A 表示的平面区域就是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥0，y －1x ≥0与⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0表示的两块平面区域，而平面点集B 表示的平面区域为以点(1,1)为圆心，以1为半径的圆及圆的内部，作出它们所示的平面区域，如图所示，图中的阴影部分就是A ∩B 所表示的平面图形．由于圆和曲线y ＝1x 关于直线y ＝x 对称，因此阴影部分所表示的图形面积为圆面积的12，即为π2.11．L4[2012·重庆卷] 若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.11．4 [解析] 因为(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ，则根据复数相等得a ＝1，b ＝3，所以a ＋b ＝4.12．B13[2012·重庆卷] lim n →∞1n 2＋5n －n＝________.12.25 [解析] lim n →∞ 1n 2＋5n －n＝lim n →∞ n 2＋5n ＋n5n＝lim n →∞ 1＋5n ＋15＝lim n →∞ 1＋15＝25.13．C8[2012·重庆卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.13.145 [解析] 因为cos A ＝35，cos B ＝513，所以sin A ＝45，sin B ＝1213，因为sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665，由正弦定理知c sin C ＝b sin B ，即c 5665＝31213，解得c ＝145.14．H8[2012·重庆卷] 过抛物线y 2＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点，若|AB |＝2512，|AF |＜|BF |，则|AF |＝________.14.56 [解析] 由抛物线方程可知p ＝1，焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝2512，所以x 1＋x 2＝1312.设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，代入抛物线y 2＝2x ，得k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x ＋14＝2x ，即k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，x 1＋x 2＝k 2＋2k 2＝1312，所以k 2＝24，将k 2＝24代入k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24＝0，因为|AF |＜|BF |，所以解方程得x 1＝13，所以|AF |＝x 1＋p 2＝56.15．K2[2012·重庆卷] 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)．15.35 [解析] 6节课共有A 66＝720种排法，相邻两节文化课间最多间隔1节艺术课排法分两类：(1)两节相邻文化课之间没有艺术课间隔：可将三节文化课捆绑为一个元素，然后再与另三节艺术课进行全排列，排法有A 33A 44＝144种；(2)三节文化课间都有1节艺术课间隔：有“文艺文艺文艺”与“艺文艺文艺文”两种形式，其排法有2A 33A 33＝72种；(3)三节文化课中有两节之间有一节艺术课，而另一节文化课与前两节文化课之一无间隔，可先对文化课进行全排，然后从3节艺术课选一节放入排好的3节文化课之间，再将此4节课看作一个元素与余下的2节艺术课进行全排，其排法有：A 33C 13C 12A 33＝216种．综上可知，相邻两节文化课间最多间隔1节艺术课排法有144＋72＋216＝432种， 所以课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为432720＝35.16．B11、B12、E3[2012·重庆卷] 设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．16．解：(1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1， 故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x ＞0)， f ′(x )＝－1x －12x 2＋32 ＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3，无极大值．17．K4、K5、K6[2012·重庆卷] 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望． 17．解：设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中，则 P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)，(1)记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1)＋P (A 1 B 1A 2)＋P (A 1 B 1 A 2 B 2A 3) ＝P (A 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)·P (B 2)P (A 3) ＝13＋23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×13＝13＋19＋127＝1327.(2)ξ的所有可能值为1,2,3， 由独立性知P (ξ＝1)＝P (A 1)＋P (A 1B 1)＝13＋23×12＝23.P (ξ＝2)＝P (A 1 B 1A 2)＋P (A 1 B 1 A 2B 2)＝23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝29，P (ξ＝3)＝P (A 1 B 1 A 2 B 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝19.综上知，ξ有分布列为： 从而，Eξ＝1×23＋2×29＋3×19＝13918．C5、C2、C3[2012·重庆卷] 设f (x )＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6sin ωx －cos(2ωx ＋π)，其中ω＞0.(1)求函数y ＝f (x )的值域；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上为增函数，求ω的最大值．18．解：(1)f (x )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos ωx ＋12sin ωx sin ωx ＋cos2ωx＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin2ωx ＋1.因－1≤sin2ωx ≤1，所以函数y ＝f (x )的值域为[1－3，1＋3]．(2)因y ＝sin x 在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上为增函数，故f (x )＝3sin2ωx＋1(ω＞0)在每个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω(k ∈Z )上为增函数．依题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤k πω－π4ω，k πω＋π4ω对某个k ∈Z 成立，此时必有k ＝0，于是⎩⎪⎨⎪⎧－3π2≥－π4ω，π2≤π4ω，解得ω≤16，故ω的最大值为16.19．G5、G6、G10、G11[2012·重庆卷] 如图1－2，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AC ＝BC ＝3，D 为AB 的中点．(1)求点C 到平面A 1ABB 1的距离；(2)若AB 1⊥A 1C ，求二面角A 1－CD －C 1的平面角的余弦值．图1－219．解：(1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB .又CD ⊥AA 1，故CD ⊥面A 1ABB 1，所以点C 到平面A 1ABB 1的距离为CD ＝BC 2－BD 2＝ 5.(2)解法一：如图，取D 1为A 1B 1的中点，连结DD 1，则DD 1∥AA 1∥CC 1.又由(1)知CD ⊥面A 1ABB 1，故CD ⊥A 1D ，CD ⊥DD 1，所以∠A 1DD 1为所求的二面角A 1－CD －C 1的平面角．因A 1D 为A 1C 在面A 1ABB 1上的射影，又已知AB 1⊥A 1C ，由三垂线定理的逆定理得AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A .因此AA 1AD ＝A 1B 1AA 1，即AA 21＝AD ·A 1B 1＝8，得AA 1＝2 2. 从而A 1D ＝AA 21＋AD 2＝2 3.所以，在Rt △A 1DD 1中， cos ∠A 1DD 1＝DD 1A 1D ＝AA 1A 1D ＝63.解法二：如图，过D 作DD 1∥AA 1交A 1B 1于点D 1，在直三棱柱中，易知DB ，DC ，DD 1两两垂直．以D 为原点，射线DB ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz .设直三棱柱的高为h ，则A (－2,0,0)，A 1(－2,0，h )，B 1(2,0，h )，C (0，5，0)，C 1(0，5，h )，从而AB 1→＝(4,0，h )，A 1C →＝(2，5，－h )．由AB 1→⊥A 1C →，有8－h 2＝0，h ＝2 2. 故DA 1→＝(－2,0,22)，CC 1→＝(0,0,22)，DC →＝ (0，5，0)．设平面A 1CD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则m ⊥DC →，m ⊥DA 1→，即 ⎩⎨⎧5y 1＝0，－2x 1＋22z 1＝0，取z 1＝1，得m ＝(2，0,1)，设平面C 1CD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则n ⊥DC →，n ⊥CC 1→，即⎩⎨⎧5y 2＝0，22z 2＝0，取x 2＝1，得n ＝(1,0,0)，所以 cos 〈m ，n 〉＝m·n|m ||n |＝22＋1·1＝63. 所以二面角A 1－CD －C 1的平面角的余弦值为63.20．H5、H8、F3[2012·重庆卷] 如图1－3，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．图1－3(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程． 20．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，右焦点为F 2(c,0)． 因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c 2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝25 5.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c 2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5， 又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16 ＝－16m 2－64m 2＋5， 由PB 2⊥QB 2，得B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2. 所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.21．D1、D3、E1、M3[2012·重庆卷] 设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a 2S n ＋a 1，其中a 2≠0.(1)求证：{a n }是首项为1的等比数列；(2)若a 2＞－1，求证：S n ≤n 2(a 1＋a n )，并给出等号成立的充要条件．21．解：(1)证法一：由S 2＝a 2S 1＋a 1得a 1＋a 2＝a 2a 1＋a 1，即a 2＝a 2a 1.因a 2≠0，故a 1＝1，得a 2a 1＝a 2. 又由题设条件知S n ＋2＝a 2S n ＋1＋a 1，S n ＋1＝a 2S n ＋a 1，两式相减得S n ＋2－S n ＋1＝a 2(S n ＋1－S n )，即a n ＋2＝a 2a n ＋1，由a 2≠0，知a n ＋1≠0，因此a n ＋2a n ＋1＝a 2. 综上，a n ＋1a n＝a 2对所有n ∈N *成立，从而{a n }是首项为1，公比为a 2的等比数列． 证法二：用数学归纳法证明a n ＝a n －12，n ∈N *.当n ＝1时，由S 2＝a 2S 1＋a 1，得a 1＋a 2＝a 2a 1＋a 1，即a 2＝a 2a 1，再由a 2≠0，得a 1＝1，所以结论成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a k ＝a k －12，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(a 2S k ＋a 1)－(a 2S k －1＋a 1)＝a 2(S k －S k －1)＝a 2a k ＝a k 2， 这就是说，当n ＝k ＋1时，结论也成立．综上可得，对任意n ∈N *，a n ＝a n －12.因此{a n }是首项为1，公比为a 2的等比数列．(2)当n ＝1或2时，显然S n ＝n 2(a 1＋a n )，等号成立．设n ≥3，a 2＞－1且a 2≠0，由(1)知a 1＝1，a n ＝a n －12，所以要证的不等式化为1＋a 2＋a 22＋…＋a n －12≤n 2(1＋a n －12)(n ≥3)， 即证：1＋a 2＋a 22＋…＋a n 2≤n ＋12(1＋a n 2)(n ≥2)． 当a 2＝1时，上面不等式的等号成立．当－1＜a 2＜1时，a r 2－1与a n －r 2－1(r ＝1,2，…，n －1)同为负；当a 2＞1时，a r 2－1与a n －r 2－1(r ＝1,2，…，n －1)同为正．因此当a 2＞－1且a 2≠1时，总有(a r 2－1)(a n －r 2－1)＞0，即a r 2＋a n －r 2＜1＋a n 2(r ＝1,2，…，n －1)．上面不等式对r 从1到n －1求和得2(a 2＋a 22＋…＋a n －12)＜(n －1)(1＋a n 2)，由此可得1＋a 2＋a 22＋…＋a n 2＜n ＋12(1＋a n 2)． 综上，当a 2＞－1且a 2≠0时，有S n ≤n 2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1,2或a 2＝1时等号成立．证法二：当n ＝1或2时，显然S n ≤n 2(a 1＋a n )，等号成立．当a 2＝1时，S n ＝n ＝n 2(a 1＋a n )，等号也成立．当a 2≠1时，由(1)知S n ＝1－a n 21－a 2，a n ＝a n －12，下证： 1－a n 21－a 2＜n 2(1＋a n －12)(n ≥3，a 2＞－1且a 2≠1)． 当－1＜a 2＜1时，上面不等式化为(n －2)a n 2＋na 2－na n －12＜n －2(n ≥3)． 令f (a 2)＝(n －2)a n 2＋na 2－na n －12.当－1＜a 2＜0时，1－a n －22＞0，故f (a 2)＝(n －2)a n 2＋na 2(1－a n －22)＜(n －2)|a 2|n ＜n －2，即所要证的不等式成立．当0＜a 2＜1时，对a 2求导得f ′(a 2)＝n [(n －2)a n －12－(n －1)a n －22＋1]＝ng (a 2)．其中g (a 2)＝(n －2)a n －12－(n －1)a n －22＋1，则g ′(a 2)＝(n －2)(n －1)(a 2－1)a n －32＜0，即g (a 2)是(0,1)上的减函数，故g (a 2)>g (1)＝0，从而f ′(a 2)＝ng (a 2)>0，进而f (a 2)是(0,1)上的增函数，因此f (a 2)＜f (1)＝n －2，所要证的不等式成立．当a 2＞1时，令b ＝1a 2，则0＜b ＜1，由已知的结论知 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n 1－1a 2＜n 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n －1， 两边同时乘以a n －12得所要证的不等式．综上，当a 2＞－1且a 2≠0时，有S n ≤n 2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1,2或a 2＝1时等号成立．。

重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

2011年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2011•重庆）复数=（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】利用i的幂的运算法则，化简分子，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：复数====故选C【点评】题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，是基础题．2．（3分）（2011•重庆）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．【解答】解：∵“x＜﹣1”⇒“x2﹣1＞0”，“x2﹣1＞0”⇒“x＜﹣1或x＞1”．∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用．3．（3分）（2011•重庆）已知，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．6【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先将极限式通分化简，得到，分子分母同时除以x2，再取极限即可．【解答】解：原式==（分子分母同时除以x2）===2∴a=6故选：D．【点评】关于高中极限式的运算，一般要先化简再代值取极限，本题中运用到的分子分母同时除以某个数或某个式子，是极限运算中常用的计算技巧．4．（3分）（2011•重庆）（1+3x ）n （其中n ∈N 且n≥6）的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n=（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【考点】二项式系数的性质． 【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中x 5与x 6的系数，列出方程求出n ． 【解答】解：二项式展开式的通项为T r+1=3r C n r x r ∴展开式中x 5与x 6的系数分别是35C n 5，36C n 6 ∴35C n 5=36C n 6 解得n=7 故选B【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5．（3分）（2011•重庆）下列区间中，函数f （x ）=|lg （2﹣x ）|在其上为增函数的是（ ） A ．（﹣∞，1]B ．C ．D ．（1，2）【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据零点分段法，我们易将函数f（x）=|lg（2﹣x）|的解析式化为分段函数的形式，再根据复合函数“同增异减”的原则我们易求出函数的单调区间进而得到结论．【解答】解：∵f（x）=|lg（2﹣x）|，∴f（x）=根据复合函数的单调性我们易得在区间（﹣∞，1]上单调递减在区间（1，2）上单调递增故选D【点评】本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据“同增异减”的原则确定每一段函数的单调性是解答本题的关键．6．（3分）（2011•重庆）△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A．B．C．1 D．【考点】余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】将（a+b）2﹣c2=4化为c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，再利用余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab 即可求得答案．【解答】解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，∴c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴2ab﹣4=﹣ab，∴ab=．故选：A．【点评】本题考查余弦定理，考查代换与运算的能力，属于基本知识的考查．7．（3分）（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．5【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选C【点评】本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．8．（3分）（2011•重庆）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．【考点】圆的标准方程；两点间的距离公式．【专题】数形结合；直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME==，所以BD=2BE=2=2，又AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S=AC•BD=×2×2=10．故选B．【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．9．（3分）（2011•重庆）高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A． B． C．1 D．【考点】点、线、面间的距离计算；球内接多面体．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，而球心到小圆圆心的距离为，则推出顶点S在球心距的垂直分的平面上，而顶点S到球心的距离为1，即可求出底面ABCD 的中心与顶点S之间的距离．【解答】解：由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球心到小圆圆心的距离为，顶点S在球心距的垂直分的平面上，而顶点S到球心O 的距离为1，所以底面ABCD的中心O'与顶点S之间的距离为1 故选C【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，考查逻辑推理能力，计算能力，转化与划归的思想．10．（3分）（2011•重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（）A．﹣8 B．8 C．12 D．13【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象来处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域来解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．【解答】解：设f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点即由题意可以得到：必有，即，在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，如图所示，设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，=13．z=m+k取得最小值，即zmin故选D．【点评】此题考查了二次函数与二次方程之间的联系，解答要注意几个关键点：（1）将一元二次方程根的分布转化一元二次函数的图象与x轴的交点来处理；（2）将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题；（3）作出不等式表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域；（4）不可忽视求得最优解是整点．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（3分）（2011•重庆）在等差数列{a n }中，a 3+a 7=37，则a 2+a 4+a 6+a 8= 74 ． 【考点】等差数列的性质． 【专题】计算题．【分析】根据等差数列的性质所有下标之和相同的两项之和相等，看出第三项与第七项的和等于第四项与第六项的和等于第二项与第八项的和，得到结果．【解答】解：等差数列{a n }中，a 3+a 7=37， ∵a 3+a 7=a 2+a 8=a 4+a 6=37 ∴a 2+a 4+a 6+a 8=37+37=74， 故答案为：74【点评】本题考查等差数列的性质，这是经常用到的一个性质的应用，注意解题要灵活，不要出现数字运算的错误是一个送分题目．12．（3分）（2011•重庆）已知单位向量，的夹角为60°，则|2﹣|=．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角． 【专题】计算题．【分析】利用向量模的平方等于向量的平方，将已知等式平方，利用向量的数量积公式及将已知条件代入，求出模．【解答】解：===5﹣4cos60°=3∴故答案为【点评】本题考查求向量的模常利用向量模的平方等于向量的平方、考查向量的数量积公式．13．（3分）（2011•重庆）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】计算题．【分析】本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，正面出现的次数比反面出现的次数多包括三种情况，正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，写出概率，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，正面出现的次数比反面出现的次数多包括正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，∴正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是++==故答案为：【点评】本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，解题的关键是看清题目所给的条件符合什么规律，在按照规律解题．14．（3分）（2011•重庆）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为﹣．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】由已知的等式变形后，记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据α为锐角，联立①②求出sinα和cosα的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．【解答】解：由sinα=+cosα，得到sinα﹣cosα=①，又sin2α+cos2α=1②，且α∈（0，），联立①②解得：sinα=，cosα=，∴cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，sin（α﹣）=（sinα﹣cosα）=，则==﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．15．（3分）（2011•重庆）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点（2，0）．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题；压轴题．【分析】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而解决问题．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线方程为x+2=0，故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离，所以F在圆上．故答案为：（2，0）．【点评】主要考查知识点：抛物线，本小题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2011•重庆）设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用二倍角公式化简函数f（x），然后，求出a的值，进一步化简为f（x）=2sin（2x﹣），然后根据x的范围求出2x﹣，的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值．【解答】解：f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）=asinxcosx﹣cos2x+sin2x=由得解得a=2所以f（x）=2sin（2x﹣），所以x∈[]时2x﹣，f（x）是增函数，所以x∈[]时2x﹣，f（x）是减函数，函数f（x）在上的最大值是：f（）=2；又f（）=，f（）=；所以函数f（x）在上的最小值为：f（）=；【点评】本题是中档题，考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，三角函数的求值，函数的单调性、最值，考查计算能力，常考题型．17．（13分）（2011•重庆）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的ξ分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C222，得到概率．4（II）由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3，结合变量对应的事件和第一问的做法写出变量对应的概率，写出分布列，做出变量的期望值．【解答】解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C2224∴根据等可能事件的概率公式得到P==（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=∴ξ的分布列是：ξ 1 2 3P∴Eξ=【点评】本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．18．（13分）（2011•重庆）设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）设g（x）=f′（x）e﹣x．求函数g（x）的极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；综合题；转化思想．【分析】（I）根据已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（II）根据g（x）=f′（x）e﹣1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g'（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．【解答】解：（I）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=﹣3令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b，因此12+4a+b=﹣b，解得a=﹣，因此f（x）=x3﹣x2﹣3x+1∴f（1）=﹣，又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，故曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0．（II）由（I）知g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x从而有g'（x）=（﹣3x2+9x）e﹣x令g'（x）=0，则x=0或x=3∵当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，当x∈（0，3）时，g'（x）＞0，当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，∴g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0时取极小值g（0）=﹣3，在x=3时取极大值g（3）=15e﹣3【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．19．（12分）（2011•重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积．（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；综合题；数形结合．【分析】（I）要求四面体ABCD的体积，必须确定它的高和底面，由已知，△ABC作为底面，高易作，根据线段的长度，即可求得四面体ABCD的体积；（Ⅱ）利用三垂线定理找出二面角C﹣AB﹣D的平面角，根据该角为60°，找到各边之间的关系，利用平移的方法找出异面直线AD 与BC所成角，解三角形，即可求得异面直线AD与BC所成角的余弦值．【解答】解：（I）设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC．故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=，在Rt△ABC中，因AC=2AF=2，AB=2BC，由勾股定理易知BC=，AB=．故四面体ABCD的体积V==．（II）设E为边AB的中点，则EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB，又由（I）有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知DE⊥AB，所以∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角，由题设知∠DEF=60°．设AD=a，则DF=AD•sin∠CAD=，在Rt△DEF中，EF=DF•cotDEF==，取BD的中点M，连EM，FM，由中位线定理得，∠MEF为异面直线AD，BC所成的角或其补角，EM=FM=，由余弦定理得cos∠MEF===．【点评】此题是个中档题．考查棱锥的体积公式和异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，找二面角的平面角时注意三垂线定理及其逆定理的应用，体现了数形结合和转化的思想．20．（12分）（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e=，一条准线的方程为x=2． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P 满足，其中M ，N 是椭圆上的点．直线OM 与ON 的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|+|PF 2|为定值．若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的定义．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据离心率和准线方程求得a 和c ，则b 可得，则椭圆的方程可得．（Ⅱ）设出P ，M ，N 的坐标，根据题设等式建立等式，把M ，N 代入椭圆方程，整理求得x 2+2y 220+4（x 1x 2+2y 1y 2），设出直线OM ，ON 的斜率，利用题意可求得x 1x 2+2y 1y 2=0，进而求得x 2+2y 2的值，利用椭圆的定义可推断出|PF 1|+|PF 2|为定值求得c ，则两焦点坐标可得．【解答】解：（Ⅰ）由e==，=2，求得a=2，c=∴b==∴椭圆的方程为：（Ⅱ）设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则由，得（x ，y ）=（x 1，y 1）+2（x 2，y 2）， 即x=x 1+2x 2，y=y 1+2y 2， ∵点M ，N 在椭圆上，所以，故x 2+2y 2=（x 12+4x 22+4x 1x 2）+2（y 12+4y 22+4y 1y 2）=20+4（x 1x 2+2y 1y 2） 设k 0M ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，根据题意可知k 0M k ON =﹣∴x 1x 2+2y 1y 2=0 ∴x 2+2y 2=20所以P 在椭圆上；设该椭圆的左，右焦点为F 1，F 2，由椭圆的定义可推断出|PF 1|+|PF 2|为定值，因为c=，则这两个焦点坐标是（﹣，0）（，0）【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．21．（12分）（2011•重庆）设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n+1=a n+1S n （n ∈N *）．（Ⅰ）若a 1，S 2，﹣2a 2成等比数列，求S 2和a 3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k ≤． 【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意，得S 22=﹣2S 2，由S 2是等比中项知S 2=﹣2，由此能求出S 2和a 3．（Ⅱ）由题设条件知S n +a n+1=a n+1S n ，S n ≠1，a n+1≠1，且，，由此能够证明对k≥3有0≤a n ﹣1≤． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，得S 22=﹣2S 2， 由S 2是等比中项知S 2≠0，∴S 2=﹣2．由S 2+a 3=a 3S 2，解得． （Ⅱ）证明：因为S n+1=a 1+a 2+a 3+…+a n +a n+1=a n+1+S n ，由题设条件知S n +a n+1=a n+1S n ，∴S n ≠1，a n+1≠1，且，从而对k≥3 有a k ===①因，且， 要证，由①，只要证即证，即，此式明显成立，因此．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．。

2012年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

2012年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

2012年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的（2．（5分）（2012•重庆）不等式≤0的解集为（）．．．．由不等式可得，解得﹣的解集为224．（5分）（2012•重庆）的展开式中常数项为（）B的展开式通项公式中，令的展开式通项公式为=0=5．（5分）（2012•重庆）设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为==6．（5分）（2012•重庆）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）B，以及|=，==）且⊥，∥，则有，故|=7．（5分）（2012•重庆）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为8．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）9．（5分）（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的，，，AE=ED=．10．（5分）（2012•重庆）设平面点集B∵或y=故阴影部分面积为圆的面积的一半，即二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2012•重庆）若（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a+b=4．12．（5分）（2012•重庆）=．把要求的式子化为，即，再利用极限及其运算法===，故答案为：．把要求的式子化为13．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c=．cosA=，cosB==，sinB===sinAcosB+cosAsinB=×+×==得：==故答案为：14．（5分）（2012•重庆）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=．，+x|BF|=，所以）x+|AF|==故答案为：15．（5分）（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．节艺术课，则排法种数为（）=216三门文化课中相邻排列，则排法种数为=720解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有••=144而所有的排法共有=三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（13分）（2012•重庆）设，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．由（Ⅰ）知，（，确定函数的单调性，即可求得函，∴由（Ⅰ）知，（17．（13分）（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．=（（（=（（（×+；（）（=（=×+2×+3×=．18．（13分）（2012•重庆）设f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π），其中ω＞0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的值域（Ⅱ）若f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．）在区间﹣cos sin[][所以，解不等式得=[）在区间上为增函数⊆[．解得，故的最大值是19．（12分）（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．CD===2D==2，，从而，，h=2=，=2，的法向量为，则有⊥，⊥••，即，取=，的法向量为，则⊥，⊥，即=0=＜，＞=，20．（12分）（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．，为直角，从而|B||OA|=（Ⅰ）设椭圆的方程为，∴S=∴椭圆标准方程为；=，∴21．（12分）（2012•重庆）设数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a2S n+a1，其中a2≠0．（Ⅰ）求证：{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）若a2＞﹣1，求证，并给出等号成立的充要条件．时，等号成立，设（，∴等号成立，，所以要证的不等式可化为（时，时，与（即，等号成立的充要条件是。

(重庆卷)数学文解析版( 2012高考)

(重庆卷)数学文解析版( 2012高考)

2012年普通高等学校招生统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）命题“若p 则q ”的逆命题是（A ）若q 则p （B ）若⌝p 则⌝ q （C ）若q ⌝则p ⌝ （D ）若p 则q ⌝（2）不等式102x x -<+ 的解集是为 （A ）(1,)+∞ （B ） (,2)-∞- （C ）（-2，1）（D ）(,2)-∞-∪(1,)+∞ 【答案】：C 【解析】：10(1)(2)0212x x x x x -<⇒-+<⇒-<<+ 【考点定位】本题考查解分式不等式时，利用等价变形转化为整式不等式解． （3）设A ，B 为直线y x =与圆221x y += 的两个交点，则||AB =（A ）1 （B （C （D ）2 【答案】：D【解析】：直线y x =过圆221x y +=的圆心(0,0)C 则||AB =2【考点定位】本题考查圆的性质，属于基础题． （4）5(13)x - 的展开式中3x 的系数为 （A ）-270 （B ）-90 （C ）90 （D ）270（5）sin 47sin17cos30cos17-（A ）-B ）12-（C ）12 （D【解析】：sin 47sin17cos30sin(3017)sin17cos30cos17cos17-+-=sin 30cos17cos30sin17sin17cos30sin 30cos171sin 30cos17cos172+-====【考点定位】本题考查三角恒等变化，其关键是利用473017=+（6）设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==- 且a b ⊥ ，则||a b +=（A（B（C）（D ）10 【答案】：B（7）已知2log 3log a =+，2log 9log b =-，3log 2c =则a,b,c 的大小关系是 （A ） a b c =< （B ）a b c => （C ）a b c << （D ）a b c >> 【答案】：B 【解析】：222213log 3log log 3log 3log 322a =+=+=，222213log 9log 2log 3log 3log 322b =-=-=，2322log 21log 2log 3log 3c ===则a b c =>【考点定位】本题考查对数函数运算．（8）设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是【解析】：由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-，()0f x '<，则()0xf x '>；2x >-，()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<，0x >时()0xf x '>【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题．（9）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1a 且长为a 面，则a 的取值范围是（A ） （B ） （C ）（D ）【答案】：A【解析】：2BE ==，BF BE <，2AB BF =【考点定位】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是中档题．． （10）设函数2()43,()32,x f x x x g x =-+=-集合{|(())0},M x R f g x =∈>{|()2},N x R g x =∈<则M N 为（A ）(1,)+∞ （B ）（0，1） （C ）（-1，1） （D ）(,1)-∞ 【答案】：D【解析】：由(())0f g x >得2()4()30g x g x -+>则()1g x <或()3g x >即321x-<或323x ->所以1x <或3log 5x >；由()2g x <得322x -<即34x<所以3l o g 4x <故(,1)M N =-∞二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。

2012年陕西省高考数学试卷(理科)答案与解析精选全文

2012年陕西省高考数学试卷(理科)答案与解析精选全文

可编辑修改精选全文完整版2012年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2012•陕西）集合M={x|lgx＞0}，N={x|x2≤4}，则M∩N=（）A．（1，2）B．[1，2）C．（1，2]D．[1，2]考点：对数函数的单调性与特殊点；交集及其运算．专题：计算题．分析：先求出集合M、N，再利用两个集合的交集的定义求出M∩N．解答：解：∵M={x|lgx＞0}={x|x＞1}，N={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，∴M∩N={x|1＜x≤2}，故选C．点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．（5分）（2012•陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=x+1 B．y=﹣x2C．D．y=x|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：探究型．分析：对于A，非奇非偶；对于B，是偶函数；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|=，可判断函数既是奇函数又是增函数，故可得结论．解答：解：对于A，非奇非偶，是R上的增函数，不符合题意；对于B，是偶函数，不符合题意；对于C，是奇函数，但不是增函数；对于D，令f（x）=x|x|，∴f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣f（x）；∵f（x）=x|x|=，∴函数是增函数故选D．点评：本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．3．（5分）（2012•陕西）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用“ab=0”与“复数为纯虚数”互为前提与结论，经过推导判断充要条件．解答：解：因为“ab=0”得a=0或b=0，只有a=0，并且b≠0，复数为纯虚数，否则不成立；复数=a﹣bi为纯虚数，所以a=0并且b≠0，所以ab=0，因此a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．故选B．点评：本题考查复数的基本概念，充要条件的判断，考查基本知识的灵活运用．4．（5分）（2012•陕西）已知圆C：x2+y2﹣4x=0，l为过点P（3，0）的直线，则（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：将圆C的方程化为标准方程，找出圆心C坐标和半径r，利用两点间的距离公式求出P与圆心C间的长，记作d，判断得到d小于r，可得出P在圆C内，再由直线l过P 点，可得出直线l与圆C相交．解答：解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+y2=4，∴圆心C（2，0），半径r=2，又P（3，0）与圆心的距离d==1＜2=r，∴点P在圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交．故选A．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，以及点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r的关系来确定：当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离（d表示圆心到直线的距离，r为圆的半径）．5．（5分）（2012•陕西）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．解答：解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）∴=（0，2，﹣1），=（﹣2，2，1）可得•=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且=，=3，向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ==故选A点评：本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题．6．（5分）（2012•陕西）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲，m乙，则（）A．，m甲＞m乙B．，m甲＜m乙C．，m甲＞m乙D．，m甲＜m乙考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：计算题．分析：直接求出甲与乙的平均数，以及甲与乙的中位数，即可得到选项．解答：解：甲的平均数甲==，乙的平均数乙==，所以甲＜乙．甲的中位数为20，乙的中位数为29，所以m甲＜m乙故选：B．点评：本题考查茎叶图，众数、中位数、平均数的应用，考查计算能力．7．（5分）（2012•陕西）设函数f（x）=xe x，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点考点：利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：由题意，可先求出f′（x）=（x+1）e x，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点解答：解：由于f（x）=xe x，可得f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=（x+1）e x=0可得x=﹣1令f′（x）=（x+1）e x＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数令f′（x）=（x+1）e x＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数所以x=﹣1为f（x）的极小值点故选D点评：本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，8．（5分）（2012•陕西）两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A．10种B．15种C．20种D．30种考点：排列、组合及简单计数问题；计数原理的应用．专题：计算题．分析：根据分类计数原理，所有可能情形可分为三类，在每一类中可利用组合数公式计数，最后三类求和即可得结果解答：解：第一类：三局为止，共有2种情形；第二类：四局为止，共有2×=6种情形；第三类：五局为止，共有2×=12种情形；故所有可能出现的情形共有2+6+12=20种情形故选C点评：本题主要考查了分类和分步计数原理的运用，组合数公式的运用，分类讨论的思想方法，属基础题9．（5分）（2012•陕西）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．考点：余弦定理．专题：计算题；压轴题．分析：通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值．解答：解：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，cosC==．故选C．点评：本题考查三角形中余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，考查计算能力．10．（5分）（2012•陕西）如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：计算题；压轴题．分析：由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．解答：解：法一：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是．故选D．法二：随机输入xi∈（0，1），yi∈（0，1）那么点P（xi，yi）构成的区域为以O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1）为顶点的正方形．判断框内x2i+y2i≤1，若是，说说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）内，并累计记录点的个数M若否，则说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）外，并累计记录点的个数N第2个判断框i＞1000，是进入计算此时落在单位圆内的点的个数为M，一共判断了1000个点那么圆的面积/正方形的面积=，即π12÷1=∴π=（π的估计值）即执行框内计算的是．故选D．点评：本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力．二、填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2012•陕西）观察下列不等式：，，…照此规律，第五个不等式为1+++++＜．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方，右边分式中的分子与不等式序号n 的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，得出第n个不等式，即可得到通式，再令n=5，即可得出第五个不等式解答：解：由已知中的不等式1+，1++，…得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号n+1的平方右边分式中的分子与不等式序号n的关系是2n+1，分母是不等式的序号n+1，故可以归纳出第n个不等式是1+…+＜，（n≥2），所以第五个不等式为1+++++＜故答案为：1+++++＜点评：本题考查归纳推理，解题的关键是根据所给的三个不等式得出它们的共性，由此得出通式，本题考查了归纳推理考察的典型题，具有一般性12．（5分）（2012•陕西）（a+x）5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为1．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：直接利用二项式定理的展开式的通项公式，求出x2的系数是10，得到方程，求出a 的值．解答：解：（a+x）5展开式中x2的系数为，因为（a+x）5展开式中x2的系数为10，所以=10，解得a=1，故答案为：1．点评：本题考查二项式定理系数的性质，考查计算能力．13．（5分）（2012•陕西）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．考点：抛物线的应用．专题：计算题；压轴题．分析：先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．解答：解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．点评：本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．14．（5分）（2012•陕西）设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；简单线性规划．专题：计算题；压轴题．分析：先求出曲线在点（1，0）处的切线，然后画出区域D，利用线性规划的方法求出目标函数z的最大值即可．解答：解：当x＞0时，f′（x）=，则f′（1）=1，所以曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线为y=x﹣1，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域如下图阴影部分．z=x﹣2y可变形成y=x﹣，当直线y=x﹣过点A（0，﹣1）时，截距最小，此时z最大．最大值为2．故答案为：2．点评：本题主要考查了线性规划，以及利用导数研究函数的切线，同时考查了作图的能力和分析求解的能力，属于中档题．15．（5分）（2012•陕西）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，则实数a的取值范围是﹣2≤a≤4．B．（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EF⊥DB，垂足为F，若AB=6，AE=1，则DF•DB=5．C．（坐标系与参数方程）直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为．考点：绝对值不等式的解法；直线与圆相交的性质；与圆有关的比例线段；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；作图题；压轴题．分析：A；利用表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，它的最大值等于3，作图可得实数a的取值范围．B；利用相交弦定理AE•EB=CE•ED，AB⊥CD可得DE=；在Rt△EDB中，由射影定理得：DE2=DF•DB=5，即得答案；C；将直线与圆的极坐标方程化为普通方程分别为：x=，（x﹣1）2+y2=1，从而可得相交弦长．解答：解：A．∵存在实数x使|x﹣a|+|x﹣1|≤3成立，而|x﹣a|+|x﹣1|表示数轴上的x到a的距离加上它到1的距离，又最大值等于3，由图可得：当表示a的点位于AB之间时满足|x﹣a|+|x﹣1|≤3，∴﹣2≤a≤4，故答案为：﹣2≤a≤4．B；∵AB=6，AE=1，由题意可得△AEC∽△DEB，DE=CE，∴DE•CE=AE•EB=1×5=5，即DE=．在Rt△EDB中，由射影定理得：DE2=DF•DB=5．故答案为：5．C；∵2ρcosθ=1，∴2x=1，即x=；又圆ρ=2cosθ的普通方程由ρ2=2ρcosθ得：x2+y2=2x，∴（x﹣1）2+y2=1，∴圆心（1，0）到直线x=的距离为，∴相交弦长的一半为=，∴相交弦长为．故答案为：．点评：本题A考查绝对值不等式的解法，绝对值的意义，求出|x﹣a|+|x﹣1|的最大值是3是解题的关键，考查作图与理解能力，属于中档题．本题B考查与圆有关的比例线段，掌握相交弦定理与射影定理是解决问题的关键，而C着重简单曲线的极坐标方程，化普通方程是关键，属于中档题．三、解答题16．（12分）（2012•陕西）函数（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）设，则，求α的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的恒等变换及化简求值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出ω，得到函数的解析式．（2）通过，求出，通过α的范围，求出α的值．解答：解：（1）∵函数f（x）的最大值为3，∴A+1=3，即A=2，∵函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，=，T=π，所以ω=2．故函数的解析式为y=2sin（2x﹣）+1．（2）∵，所以，∴，∵∴，∴，∴．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的恒等变换及化简求值，考查计算能力．17．（12分）（2012•陕西）设{a n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，且a5，a3，a4成等差数列．（1）求数列{a n}的公比；（2）证明：对任意k∈N+，S k+2，S k，S k+1成等差数列．考点：等比数列的通项公式；等差数列的性质．专题：综合题．分析：（1）设{a n}的公比为q（q≠0，q≠1），利用a5，a3，a4成等差数列结合通项公式，可得，由此即可求得数列{a n}的公比；（2）对任意k∈N+，S k+2+S k+1﹣2S k=（S k+2﹣S k）+（S k+1﹣S k）=a k+2+a k+1+a k+1=2a k+1+a k+1×（﹣2）=0，从而得证．解答：（1）解：设{a n}的公比为q（q≠0，q≠1）∵a5，a3，a4成等差数列，∴2a3=a5+a4，∴∵a1≠0，q≠0，∴q2+q﹣2=0，解得q=1或q=﹣2∵q≠1，∴q=﹣2（2）证明：对任意k∈N+，S k+2+S k+1﹣2S k=（S k+2﹣S k）+（S k+1﹣S k）=a k+2+a k+1+a k+1=2a k+1+a k+1×（﹣2）=0∴对任意k∈N+，S k+2，S k，S k+1成等差数列．点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，熟练运用等差数列的性质，等比数列的通项是解题的关键．18．（12分）（2012•陕西）（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）考点：向量语言表述线面的垂直、平行关系；四种命题；向量语言表述线线的垂直、平行关系．专题：证明题．分析：（1）证法一：做出辅助线，在直线上构造对应的方向向量，要证两条直线垂直，只要证明两条直线对应的向量的数量积等于0，根据向量的运算法则得到结果．证法二：做出辅助线，根据线面垂直的性质，得到线线垂直，根据线面垂直的判定定理，得到线面垂直，再根据性质得到结论．（2）把所给的命题的题设和结论交换位置，得到原命题的逆命题，判断出你命题的正确性．解答：证明：（1）证法一：如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b，c，n对应的方向向量分别是，则共面，根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得，则=因为a⊥b，所以，又因为a⊂α，n⊥α，所以，故，从而a⊥c证法二如图，记c∩b=A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P做PO⊥π，垂足为O，则O∈c，∵PO⊥π，a⊂π，∴直线PO⊥a，又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b=P，∴a⊥平面PAO，又c⊂平面PAO，∴a⊥c（2）逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于α），c 是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b，逆命题为真命题点评：本题考查用向量的方法证明线线垂直，利用线面垂直的判定和性质证明线线垂直，考查命题的逆命题的写法，本题是一个综合题目，是一个中档题．19．（12分）（2012•陕西）已知椭圆C1：+y2=1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．（1）求椭圆C2的方程；（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，=2，求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：（1）求出椭圆的长轴长，离心率，根据椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率，即可确定椭圆C2的方程；（2）设A，B的坐标分别为（x A，y A），（x B，y B），根据，可设AB的方程为y=kx，分别与椭圆C1和C2联立，求出A，B的横坐标，利用，即可求得直线AB的方程．解答：解：（1）椭圆的长轴长为4，离心率为∵椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率∴椭圆C2的焦点在y轴上，2b=4，为∴b=2，a=4∴椭圆C2的方程为；（2）设A，B的坐标分别为（x A，y A），（x B，y B），∵∴O，A，B三点共线，且点A，B不在y轴上∴设AB的方程为y=kx将y=kx代入，消元可得（1+4k2）x2=4，∴将y=kx代入，消元可得（4+k2）x2=16，∴∵，∴=4，∴，解得k=±1，∴AB的方程为y=±x点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是掌握椭圆几何量关系，联立方程组求解．20．（13分）（2012•陕西）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：办理业务所需的时间（分）1 2 3 4 5频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：综合题；压轴题．分析：（1）设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，可得Y的分布列，A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟，由此可求概率；（2）确定X所有可能的取值，求出相应的概率，即可得到X的分布列及数学期望．解答：解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：Y 1 2 3 4 5P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22（2）X所有可能的取值为：0，1，2．X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；所以X的分布列为X 0 1 2P 0.5 0.49 0.01EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是明确变量的取值与含义．21．（14分）（2012•陕西）设函数f n（x）=x n+bx+c（n∈N+，b，c∈R）（1）设n≥2，b=1，c=﹣1，证明：f n（x）在区间内存在唯一的零点；（2）设n=2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，求b的取值范围；（3）在（1）的条件下，设x n是f n（x）在内的零点，判断数列x2，x3，…，x n的增减性．考点：数列与函数的综合；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据fn（）f n（1）=（﹣）×1＜0，以及f n（x）在区间内单调递增，可得f n（x）在区间内存在唯一的零点．（2）当n=2，由题意可得函数f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4，分当＞1时、当﹣1≤﹣＜0时、当0≤﹣≤1 时三种情况，分别求得b的取值范围，再取并集，即得所求．（3）证法一：先求出f n（x n）和f n+1（x n+1）的解析式，再由当x n+1∈时，f n（x n）=0=f n+1（x n+1）=+x n+1﹣1＜+x n+1﹣1=f n（x n+1），且f n（x）在区间内单调递增，故有x n＜x n+1，从而得出结论．证法二：设x n是f n（x）=x n+x﹣1在内的唯一零点，由f n+1（x n）f n+1（1）＜0可得f n+1（x）的零点在（x n，1）内，从而有x n＜x n+1（n≥2），由此得出结论．解答：解：（1）由于n≥2，b=1，c=﹣1，fn（x）=x n+bx+c=x n+x﹣1，∴f n（）f n（1）=（﹣）×1＜0，∴f n（x）在区间内存在零点．再由f n（x）在区间内单调递增，可得f n（x）在区间内存在唯一的零点．（2）当n=2，函数f2（x）=x2+bx+c，对任意x1，x2∈[﹣1，1]，有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤4，故函数f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的差M≤4．当＞1时，即b＞2或b＜﹣2时，M=|f2（﹣1）﹣f2（1）|=2|b|＞4，这与题设相矛盾．当﹣1≤﹣＜0时，即0＜b≤2时，M=f2（1）﹣=≤4 恒成立．当0≤﹣≤1 时，即﹣2≤b≤0时，M=f2（﹣1）﹣=≤4 恒成立．综上可得，﹣2≤b≤2．（3）证法一：在（1）的条件下，x n是f n（x）=x n+x﹣1在内的唯一零点，则有f n（x n）=+x n﹣1=0，f n+1（x n+1）=+x n+1﹣1=0．当x n+1∈时，f n（x n）=0=f n+1（x n+1）=+x n+1﹣1＜+x n+1﹣1=f n （x n+1）．由（1）知，f n（x）在区间内单调递增，故有x n＜x n+1，故数列x2，x3，…，x n单调递增数列．证法二：设x n是f n（x）=x n+x﹣1在内的唯一零点，f n+1（x n）f n+1（1）=（+x n﹣1）×1=+x n﹣1＜+x n﹣1=0，故f n+1（x）的零点在（x n，1）内，∴x n＜x n+1（n≥2），故数列x2，x3，…，x n单调递增数列．点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，树立与函数的综合，体现了分类讨论、化归与转化的数学思想，属于难题．。

2012年重庆市高考数学试卷(文科)答案与解析

2012年重庆市高考数学试卷(文科)答案与解析

2012年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题,每小题5分，满分50分)1．（5分）（2012•重庆）命题“若p则q"的逆命题是(）A．若q则p B．若￢p则￢q C．若￢q则￢p D．若p则￢q考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：将原命题的条件与结论互换，可得逆命题,从而可得解答：解：将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，则命题“若p则q”的逆命题是若q则p．故选A．点评:本题考查了命题与逆命题的相互关系的应用,属于基础题．2．（5分)(2012•重庆）不等式＜0的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞,﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞,﹣2）∪（1，+∞)考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：直接转化分式不等式为二次不等式求解即可．解答：解：不等式＜0等价于（x﹣1）(x+2）＜0，所以表达式的解集为：{x｜﹣2＜x ＜1｝．故选C．点评：本题考查分式不等式的求法,考查转化思想计算能力．3．（5分）（2012•重庆）设A，B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点，则|AB｜=（) A．1B．C．D．2考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析:由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据圆心在直线y=x上,得到AB为圆的直径，根据直径等于半径的2倍，可得出｜AB|的长．解答：解:由圆x2+y2=1，得到圆心坐标为(0，0），半径r=1,∵圆心（0,0）在直线y=x上，∴弦AB为圆O的直径,则｜AB｜=2r=2．故选D点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，当直线与圆相交时,常常根据垂径定理由垂直得中点,进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题．4．（5分）（2012•重庆）（1﹣3x）5的展开式中x3的系数为(）A．﹣270 B．﹣90 C．90 D．270考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析:由（1﹣3x）5的展开式的通项公式Tr+1=•（﹣3x）r,令r=3即可求得x3的系数．解答:解：设（1﹣3x)5的展开式的通项公式为T r+1,则T r+1=•（﹣3x)r，令r=3，得x3的系数为：(﹣3）3•=﹣27×10=﹣270．故选A．点评：本题考查二项式系数的性质，着重考查二项式（1﹣3x）5的展开式的通项公式的应用，属于中档题．5．（5分)（2012•重庆)=（)A．﹣B．﹣C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：将原式分子第一项中的度数47°=17°+30°，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后,再利用特殊角的三角函数值即可求出值．解答：解:===sin30°=．故选C点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．6．（5分）（2012•重庆）设x∈R，向量=（x，1），=（1,﹣2),且⊥，则｜+|=（）A．B．C．2D．10考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：通过向量的垂直,求出向量，推出，然后求出模．解答:解：因为x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2)，且⊥,所以x﹣2=0，所以=（2，1），所以=(3，﹣1），所以｜+｜=,故选B．点评：本题考查向量的基本运算，模的求法，考查计算能力．7．（5分）（2012•重庆）已知a=log23+log2,b=，c=log32则a，b,c的大小关系是（)A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c考点：不等式比较大小．专题: 计算题．分析：利用对数的运算性质可求得a=log23，b=log23＞1，而0＜c=log32＜1，从而可得答案．解答：解：∵a=log23+log2=log23，b===＞1，∴a=b＞1，又0＜c=log32＜1，∴a=b＞c．故选：B．点评：本题考查不等式比较大小,掌握对数的运算性质既对数函数的性质是解决问题之关键，属于基础题．8．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值,则函数y=xf′(x）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：证明题．分析：利用函数极小值的意义，可知函数f（x）在x=﹣2左侧附近为减函数,在x=﹣2右侧附近为增函数，从而可判断当x＜0时，函数y=xf′(x）的函数值的正负,从而做出正确选择．解答：解：∵函数f(x)在x=﹣2处取得极小值，∴f′(﹣2）=0,且函数f（x）在x=﹣2左侧附近为减函数,在x=﹣2右侧附近为增函数，即当x＜﹣2时，f′(x）＜0,当x＞﹣2时，f′（x)＞0,从而当x＜﹣2时，y=xf′（x）＞0，当﹣2＜x＜0时，y=xf′（x）＜0，对照选项可知只有C符合题意．故选:C．点评：本题主要考查了导函数与原函数图象间的关系，函数极值的意义及其与导数的关系，筛选法解图象选择题，属基础题．9．（5分)（2012•重庆)设四面体的六条棱的长分别为1,1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（）A．（0，) B．（0,）C．(1，）D．(1,）考点: 异面直线的判定；棱锥的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：先在三角形BCD中求出a的范围,再在三角形AED中求出a的范围，二者相结合即可得到答案．解答:解:设四面体的底面是BCD，BC=a,BD=CD=1,顶点为A，AD=在三角形BCD中，因为两边之和大于第三边可得：0＜a＜2 （1）取BC中点E，∵E是中点，直角三角形ACE全等于直角DCE，所以在三角形AED中,AE=ED=∵两边之和大于第三边∴＜2得0＜a＜(负值0值舍）（2）由(1）（2）得0＜a＜．故选：A．点评：本题主要考察三角形三边关系以及异面直线的位置．解决本题的关键在于利用三角形两边之和大于第三边这一结论．10．（5分）（2012•重庆)设函数f(x）=x2﹣4x+3,g（x）=3x﹣2，集合M=｛x∈R|f(g（x））＞0},N={x∈R|g（x）＜2｝，则M∩N为（）A．(1，﹢∞）B．(0，1）C．（﹣1,1) D．（﹣∞，1）考点: 指、对数不等式的解法;交集及其运算；一元二次不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：利用已知求出集合M中g（x）的范围，结合集合N,求出g（x）的范围,然后求解即可．解答:解:因为集合M=｛x∈R|f（g(x)）＞0},所以（g(x)）2﹣4g（x)+3＞0，解得g（x）＞3，或g(x）＜1．因为N={x∈R|g（x）＜2}，M∩N=｛x|g（x）＜1｝．即3x﹣2＜1，解得x＜1．所以M∩N={x|x＜1｝．故选：D．点评：本题考查集合的求法，交集的运算，考查指、对数不等式的解法，交集及其运算,一元二次不等式的解法，考查计算能力．二、填空题(共5小题，每小题5分,满分25分）11．（5分）(2012•重庆)首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4=15．考点：等比数列的前n项和．专题: 计算题．分析：把已知的条件直接代入等比数列的前n项和公式，运算求得结果．解答:解:首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4==15，故答案为15．点评：本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题．12．(5分）（2012•重庆）若f（x)=（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a=4．考点: 函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：由题意可得,f（﹣x）=f（x)对于任意的x都成立，代入整理可得（a﹣4）x=0对于任意的x都成立，从而可求a解答:解：∵f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数∴f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立即（x+a）（x﹣4）=（﹣x+a）（﹣x﹣4）∴x2+(a﹣4）x﹣4a=x2+(4﹣a)x﹣4a∴(a﹣4)x=0∴a=4故答案为：4．点评：本题主要考查了偶函数的定义的应用,属于基础试题13．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．考点：余弦定理;同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析:由C为三角形的内角,及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值,利用正弦定理即可求出sinB的值．解答：解：∵C为三角形的内角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2,∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2,∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．14．(5分）（2012•重庆)设P为直线y=x与双曲线﹣=1(a＞0，b＞0）左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e=．考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：设F1（﹣c，0），利用F1是左焦点，PF1垂直于x轴，P为直线y=x上的点，可得（﹣c,）在双曲线﹣=1上，由此可求双曲线的离心率．解答：解:设F1（﹣c，0），则∵F1是左焦点，PF1垂直于x轴，P为直线y=x上的点∴（﹣c，）在双曲线﹣=1上∴∴∴=故答案为:点评:本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查双曲线的离心率,属于中档题．15．(5分)(2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析:语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步,先把其它三门艺术课排列有种排法,第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中，有种排法，由此可求得在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率．解答:解：语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课排列有种排法,第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中，有种排法,故所有的排法种数为．∴在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为．故答案为：．点评：本题考查概率的求法，解题的关键是根据具体情况选用插空法，属于基础题．三、解答题（共6小题,满分75分）16．（13分）（2012•重庆）已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ)求｛a n｝的通项公式（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n,若a1，a k，S k+2成等比数列，求正整数k的值．考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（Ⅰ)设等差数列{a n}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=2，d=2，从而得到{a n｝的通项公式．(Ⅱ）由（Ⅰ)可得{a n}的前n项和为S n ==n(n+1)，再由=a1 S k+2 ,求得正整数k的值．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=2，d=2．∴｛a n}的通项公式a n =2+(n﹣1）2=2n．（Ⅱ）由(Ⅰ）可得{a n}的前n项和为S n ==n（n+1)．∵若a1，a k,S k+2成等比数列，∴=a1 S k+2 ，∴4k2 =2（k+2)(k+3），k=6 或k=﹣1（舍去），故k=6．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质,等差数列的通项公式，属于中档题．17．（13分）（2012•重庆）已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．（Ⅰ）求a，b的值;(Ⅱ)若f（x）有极大值28，求f(x）在［﹣3，3］上的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值;函数在某点取得极值的条件．专题：综合题；探究型;方程思想；转化思想．分析：（Ⅰ）由题设f（x）=ax3+bx+c，可得f′(x）=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c ﹣16，可得解此方程组即可得出a,b的值；（II）结合（I）判断出f（x)有极大值，利用f（x）有极大值28建立方程求出参数c 的值,进而可求出函数f（x）在[﹣3，3]上的极小值与两个端点的函数值，比较这此值得出f(x)在［﹣3，3]上的最小值即可．解答：解：(Ⅰ)由题f（x）=ax3+bx+c，可得f′（x）=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c ﹣16∴，即，化简得解得a=1，b=﹣12(II）由（I)知f(x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12=3（x+2)（x﹣2）令f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2）=0，解得x1=﹣2，x2=2当x∈(﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0,故f（x）在∈（﹣∞,﹣2）上为增函数;当x∈(﹣2，2）时，f′（x）＜0,故f（x)在（﹣2，2）上为减函数;当x∈（2，+∞）时，f′（x)＞0，故f（x）在(2，+∞)上为增函数；由此可知f（x)在x1=﹣2处取得极大值f（﹣2）=16+c，f（x）在x2=2处取得极小值f(2）=c﹣16，由题设条件知16+c=28得,c=12此时f（﹣3）=9+c=21,f（3)=﹣9+c=3，f(2)=﹣16+c=﹣4因此f(x）在[﹣3，3］上的最小值f（2）=﹣4点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值及利用导数求函数的极值，解第一小题的关键是理解“函数在点x=2处取得极值c﹣16”,将其转化为x=2处的导数为0与函数值为c﹣16两个等量关系,第二小时解题的关键是根据极大值为28建立方程求出参数c的值．本题考查了转化的思想及方程的思想，计算量大,有一定难度，易因为不能正确转化导致无法下手求解及计算错误导致解题失败，做题时要严谨认真,严防出现在失误．此类题是高考的常考题，平时学习时要足够重视．18．(13分）（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球三次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响．（Ⅰ)求乙获胜的概率;(Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率．考点：相互独立事件的概率乘法公式;概率的基本性质．专题: 计算题．分析:(Ⅰ）分别求出乙第一次投球获胜的概率、乙第二次投球获胜的概率、乙第三次投球获胜的概率，相加即得所求．（Ⅱ)由于投篮结束时乙只投了2个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中,或第三次投球甲投中了，把这两种情况的概率相加，即得所求．解答:解：（Ⅰ)∵乙第一次投球获胜的概率等于=，乙第二次投球获胜的概率等于••=，乙第三次投球获胜的概率等于=，故乙获胜的概率等于++=．（Ⅱ）由于投篮结束时乙只投了2个球,说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了．故投篮结束时乙只投了2个球的概率等于+×=．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．19．（12分）（2012•重庆)设函数f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0,ω＞0,﹣π＜φ≤π)在x=处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g(x）=的值域．考点: 三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析:（Ⅰ）通过函数的周期求出ω,求出A,利用函数经过的特殊点求出φ，推出f（x)的解析式;（Ⅱ）利用(Ⅰ）推出函数g（x）=的表达式，通过cos2x∈［0，1］,且，求出g(x)的值域．解答：解：（Ⅰ）由题意可知f(x）的周期为T=π，即=π，解得ω=2．因此f（x）在x=处取得最大值2，所以A=2，从而sin（）=1，所以，又﹣π＜φ≤π,得φ=，故f（x)的解析式为f(x）=2sin（2x+)；（Ⅱ）函数g（x）=======因为cos2x∈［0,1］，且，故g（x)的值域为．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查计算能力．20．（12分)（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点．(Ⅰ）求异面直线CC1和AB的距离；(Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣B1的平面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：(Ⅰ)先根据条件得到CD⊥AB以及CC1⊥CD，进而求出C的长即可；(Ⅱ）解法一；先根据条件得到∠A1DB1为所求的二面角A1﹣CD﹣B1的平面角，再根据三角形相似求出棱柱的高,进而在三角形A1DB1中求出结论即可；解法二：过D作DD1∥AA1交A1B1于D1,建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量的坐标，最后代入向量的夹角计算公式即可求出结论．解答：解:（Ⅰ)解:因为AC=BC，D为AB的中点,故CD⊥AB,又直三棱柱中，CC1⊥面ABC，故CC1⊥CD，所以异面直线CC1和AB的距离为：CD==．（Ⅱ）解法一；由CD⊥AB，CD⊥BB1，故CD⊥平面A1ABB1，从而CD⊥DA1，CD⊥DB1，故∠A1DB1为所求的二面角A1﹣CD﹣B1的平面角．因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1⊥A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，从而∠A1AB1，∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1=∠∠A1DA，所以RT△A1AD∽RT△B1A1A，因此=，得=AD•A1B1=8，从而A1D==2，B1D=A1D=2．所以在三角形A1DB1中，cos∠A1DB1==．解法二：过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，由第一问知：DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点,射线DB,DC，DD1分别为X轴,Y 轴,Z轴建立空间直角坐标系D﹣XYZ．．设直三棱柱的高为h,则A（﹣2，0，0）,A1（﹣2,0，h）．B1(2，0，h）．C（0，，0)从而=（4，0，h），=（2，，﹣h）．由AB1⊥A1C得•=0，即8﹣h2=0，因此h=2，故=（﹣1,0，2），=（2，0,2），=（0,,0）．设平面A1CD的法向量为=（x，y，z），则⊥，⊥，即取z=1，得=(，0，1），设平面B1CD的法向量为=（a,b，c），则⊥，,即取c=﹣1得=（，0，﹣1），所以cos＜，＞===．所以二面角的平面角的余弦值为．点评：本题主要考察异面直线间的距离计算以及二面角的平面角及求法．在求异面直线间的距离时，关键是求出异面直线的公垂线．21．(12分)(2012•重庆)如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上,上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2,线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ)过B1作直线交椭圆于P,Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析:（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0），利用△AB1B2是的直角三角形，|AB1｜=AB2｜，可得∠B1AB2为直角，从而,利用c2=a2﹣b2，可求，又S=|B1B2｜｜OA|==4，故可求椭圆标准方程；（Ⅱ）由(Ⅰ)知B1（﹣2，0），B2（2,0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0,故可设直线PQ的方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16﹣0，利用韦达定理及PB2⊥QB2，利用可求m的值，进而可求△PB2Q的面积．解答：解：（Ⅰ)设椭圆的方程为,F2（c，0)∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1｜=AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而｜OA|=｜OB2|,即∵c2=a2﹣b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=|B1B2||OA|=∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20∴椭圆标准方程为；（Ⅱ)由(Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0),由题意,直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2代入椭圆方程，消元可得（m2+5)y2﹣4my﹣16=0①设P(x1，y1)，Q（x2,y2)，∴，∵，∴=∵PB2⊥QB2，∴∴，∴m=±2当m=±2时，①可化为9y2±8y﹣16﹣0，∴|y1﹣y2｜==∴△PB2Q的面积S=|B1B2||y1﹣y2｜=×4×=．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形的面积计算，综合性强．。

2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析

2012年高考理科数学(全国卷)含答案及解析

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）一、 选择题（1）、复数131i i-++= A. 2 B. 2 C. 12 D. 12i i i i +-+- 【考点】复数的计算【难度】容易【答案】C 【解析】13(13)(1)24121(1)(1)2i i i i i i i i -+-+-+===+++-. 【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

（2）、已知集合A ＝{1.3. m }，B ＝{1，m } ,A B ＝A , 则m =A. 0或3B. 0或3C. 1或3D. 1或3【考点】集合【难度】容易【答案】B【解析】(1,3,),(1,)30,1()3A B A B A A m B m m A m m m m m m ⋃=∴⊆==∴∈∴==∴===或舍去.【点评】本题考查集合之间的运算关系，及集合元素的性质。

在高一数学强化提高班下学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02讲中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识及综合题目的总结讲解。

（3） 椭圆的中心在原点，焦距为4， 一条准线为x =﹣4 ，则该椭圆的方程为 A. 216x +212y =1 B. 212x +28y =1 C. 28x +24y =1 D. 212x +24y =1 【考点】椭圆的基本方程【难度】容易【答案】C【解析】椭圆的一条准线为x =﹣4,∴2a =4c 且焦点在x 轴上，∵2c =4∴c =2，a =22∴椭圆的方程为22=184x y + 【点评】本题考查椭圆的基本方程，根据准线方程及焦距推出椭圆的方程。

在高二数学（理）强化提高班，第六章《圆锥曲线与方程》中有详细讲解，其中在第02讲有相似题目的详细讲解。

2011年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

2011年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

2011年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2011•重庆）复数=（）A．B． C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】利用i的幂的运算法则，化简分子，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：复数====故选C【点评】题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，是基础题．2．（3分）（2011•重庆）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．【解答】解：∵“x＜﹣1”⇒“x2﹣1＞0”，“x2﹣1＞0”⇒“x＜﹣1或x＞1”．∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用．3．（3分）（2011•重庆）已知，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．6【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先将极限式通分化简，得到，分子分母同时除以x2，再取极限即可．【解答】解：原式==（分子分母同时除以x2）===2∴a=6故选：D．【点评】关于高中极限式的运算，一般要先化简再代值取极限，本题中运用到的分子分母同时除以某个数或某个式子，是极限运算中常用的计算技巧．4．（3分）（2011•重庆）（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中x5与x6的系数，列出方程求出n．【解答】解：二项式展开式的通项为T r+1=3r C n r x r∴展开式中x5与x6的系数分别是35C n5，36C n6∴35C n5=36C n6解得n=7故选B【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5．（3分）（2011•重庆）下列区间中，函数f（x）=|lg（2﹣x）|在其上为增函数的是（）A．（﹣∞，1]B．C．D．（1，2）【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】根据零点分段法，我们易将函数f（x）=|lg（2﹣x）|的解析式化为分段函数的形式，再根据复合函数“同增异减”的原则我们易求出函数的单调区间进而得到结论．【解答】解：∵f（x）=|lg（2﹣x）|，∴f（x）=根据复合函数的单调性我们易得在区间（﹣∞，1]上单调递减在区间（1，2）上单调递增故选D【点评】本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中根据“同增异减”的原则确定每一段函数的单调性是解答本题的关键．6．（3分）（2011•重庆）△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab 的值为（）A．B．C．1 D．【考点】余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】将（a+b）2﹣c2=4化为c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，再利用余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab即可求得答案．【解答】解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，∴c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴2ab﹣4=﹣ab，∴ab=．故选：A．【点评】本题考查余弦定理，考查代换与运算的能力，属于基本知识的考查．7．（3分）（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．5【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选C【点评】本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．8．（3分）（2011•重庆）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．【考点】圆的标准方程；两点间的距离公式．【专题】数形结合；直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD 的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME==，所以BD=2BE=2=2，又AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S=AC•BD=×2×2=10．故选B．【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．9．（3分）（2011•重庆）高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．B．C．1 D．【考点】点、线、面间的距离计算；球内接多面体．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，而球心到小圆圆心的距离为，则推出顶点S在球心距的垂直分的平面上，而顶点S到球心的距离为1，即可求出底面ABCD的中心与顶点S 之间的距离．【解答】解：由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球心到小圆圆心的距离为，顶点S在球心距的垂直分的平面上，而顶点S到球心O的距离为1，所以底面ABCD的中心O'与顶点S之间的距离为1故选C【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体的知识，考查逻辑推理能力，计算能力，转化与划归的思想．10．（3分）（2011•重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为（）A．﹣8 B．8 C．12 D．13【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象来处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域来解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．【解答】解：设f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点即由题意可以得到：必有，即，在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，如图所示，设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，z=m+k取得最小值，即z min=13．故选D．【点评】此题考查了二次函数与二次方程之间的联系，解答要注意几个关键点：（1）将一元二次方程根的分布转化一元二次函数的图象与x轴的交点来处理；（2）将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题；（3）作出不等式表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域；（4）不可忽视求得最优解是整点．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．（3分）（2011•重庆）在等差数列{a n}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8= 74 ．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据等差数列的性质所有下标之和相同的两项之和相等，看出第三项与第七项的和等于第四项与第六项的和等于第二项与第八项的和，得到结果．【解答】解：等差数列{a n}中，a3+a7=37，∵a3+a7=a2+a8=a4+a6=37∴a2+a4+a6+a8=37+37=74，故答案为：74【点评】本题考查等差数列的性质，这是经常用到的一个性质的应用，注意解题要灵活，不要出现数字运算的错误是一个送分题目．12．（3分）（2011•重庆）已知单位向量，的夹角为60°，则|2﹣|= ．【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【专题】计算题．【分析】利用向量模的平方等于向量的平方，将已知等式平方，利用向量的数量积公式及将已知条件代入，求出模．【解答】解：===5﹣4cos60°=3∴故答案为【点评】本题考查求向量的模常利用向量模的平方等于向量的平方、考查向量的数量积公式．13．（3分）（2011•重庆）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为．【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】计算题．【分析】本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，正面出现的次数比反面出现的次数多包括三种情况，正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，写出概率，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，正面出现的次数比反面出现的次数多包括正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，∴正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是++==故答案为：【点评】本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，考查互斥事件的概率，是一个基础题，解题的关键是看清题目所给的条件符合什么规律，在按照规律解题．14．（3分）（2011•重庆）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为﹣．【考点】二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】由已知的等式变形后，记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据α为锐角，联立①②求出sinα和cosα的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．【解答】解：由sinα=+cosα，得到sinα﹣cosα=①，又sin2α+cos2α=1②，且α∈（0，），联立①②解得：sinα=，cosα=，∴cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，sin（α﹣）=（sinα﹣cosα）=，则==﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．15．（3分）（2011•重庆）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点（2，0）．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题；压轴题．【分析】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而解决问题．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线方程为x+2=0，故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离，所以F在圆上．故答案为：（2，0）．【点评】主要考查知识点：抛物线，本小题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2011•重庆）设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用二倍角公式化简函数f（x），然后，求出a的值，进一步化简为f（x）=2sin （2x﹣），然后根据x的范围求出2x﹣，的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值．【解答】解：f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）=asinxcosx﹣cos2x+sin2x=由得解得a=2所以f（x）=2sin（2x﹣），所以x∈[]时2x﹣，f（x）是增函数，所以x∈[]时2x﹣，f（x）是减函数，函数f（x）在上的最大值是：f（）=2；又f（）=，f（）=；所以函数f（x）在上的最小值为：f（）=；【点评】本题是中档题，考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，三角函数的求值，函数的单调性、最值，考查计算能力，常考题型．17．（13分）（2011•重庆）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的ξ分布列与期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．【专题】计算题；压轴题．【分析】（I）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222，得到概率．（II）由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3，结合变量对应的事件和第一问的做法写出变量对应的概率，写出分布列，做出变量的期望值．【解答】解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222∴根据等可能事件的概率公式得到P==（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=∴ξ的分布列是：∴Eξ=【点评】本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．18．（13分）（2011•重庆）设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）设g（x）=f′（x）e﹣x．求函数g（x）的极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；综合题；转化思想．【分析】（I）根据已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（II）根据g（x）=f′（x）e﹣1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g'（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．【解答】解：（I）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=﹣3令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b，因此12+4a+b=﹣b，解得a=﹣，因此f（x）=x3﹣x2﹣3x+1∴f（1）=﹣，又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，故曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0．（II）由（I）知g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x从而有g'（x）=（﹣3x2+9x）e﹣x令g'（x）=0，则x=0或x=3∵当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，当x∈（0，3）时，g'（x）＞0，当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，∴g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0时取极小值g（0）=﹣3，在x=3时取极大值g（3）=15e﹣3【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．19．（12分）（2011•重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积．（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；综合题；数形结合．【分析】（I）要求四面体ABCD的体积，必须确定它的高和底面，由已知，△ABC作为底面，高易作，根据线段的长度，即可求得四面体ABCD的体积；（Ⅱ）利用三垂线定理找出二面角C﹣AB﹣D的平面角，根据该角为60°，找到各边之间的关系，利用平移的方法找出异面直线AD与BC所成角，解三角形，即可求得异面直线AD与BC所成角的余弦值．【解答】解：（I）设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC．故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=，在Rt△ABC中，因AC=2AF=2，AB=2BC，由勾股定理易知BC=，AB=．故四面体ABCD的体积V==．（II）设E为边AB的中点，则EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB，又由（I）有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知DE⊥AB，所以∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角，由题设知∠DEF=60°．设AD=a，则DF=AD•sin∠CAD=，在Rt△DEF中，EF=DF•cotDEF==，取BD的中点M，连EM，FM，由中位线定理得，∠MEF为异面直线AD，BC所成的角或其补角，EM=FM=，由余弦定理得cos∠MEF===．【点评】此题是个中档题．考查棱锥的体积公式和异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，找二面角的平面角时注意三垂线定理及其逆定理的应用，体现了数形结合和转化的思想．20．（12分）（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的定义．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据离心率和准线方程求得a和c，则b可得，则椭圆的方程可得．（Ⅱ）设出P，M，N的坐标，根据题设等式建立等式，把M，N代入椭圆方程，整理求得x2+2y220+4（x1x2+2y1y2），设出直线OM，ON的斜率，利用题意可求得x1x2+2y1y2=0，进而求得x2+2y2的值，利用椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值求得c，则两焦点坐标可得．【解答】解：（Ⅰ）由e==，=2，求得a=2，c=∴b==∴椭圆的方程为：（Ⅱ）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得（x，y）=（x1，y1）+2（x2，y2），即x=x1+2x2，y=y1+2y2，∵点M，N在椭圆上，所以，故x2+2y2=（x12+4x22+4x1x2）+2（y12+4y22+4y1y2）=20+4（x1x2+2y1y2）设k0M，k ON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0M k ON=﹣∴x1x2+2y1y2=0∴x2+2y2=20所以P在椭圆上；设该椭圆的左，右焦点为F 1，F2，由椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值，因为c=，则这两个焦点坐标是（﹣，0）（，0）【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．21．（12分）（2011•重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意，得S22=﹣2S2，由S2是等比中项知S2=﹣2，由此能求出S2和a3．（Ⅱ）由题设条件知S n+a n+1=a n+1S n，S n≠1，a n+1≠1，且，，由此能够证明对k≥3有0≤a n﹣1≤．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得S22=﹣2S2，由S2是等比中项知S2≠0，∴S2=﹣2．由S2+a3=a3S2，解得．（Ⅱ）证明：因为S n+1=a1+a2+a3+…+a n+a n+1=a n+1+S n，由题设条件知S n+a n+1=a n+1S n，∴S n≠1，a n+1≠1，且，从而对k≥3 有a k===①因，且，要证，由①，只要证即证，即，此式明显成立，因此．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)各科试卷基本结构(2012重庆高考考试大纲)及有关说明

2012年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)各科试卷基本结构(2012重庆高考考试大纲)及有关说明

2012年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）各科试卷基本结构及有关说明及解读【发布时间】2012年3月28日【发布机构】重庆市专注教育考试服务中心（重庆高考研究中心）【官方网站】一、语文（一）考试内容、题量及赋分情况1.语言知识和语言表达，8题，28分 2.文学常识和名句名篇，1题，6分 3.古诗文阅读，5题，25分 4.现代文阅读，7题，31分 5. 写作，1题，60分（二）各类题型分值比例1． 单项选择题 30分 占20%2． 古文理解翻译题3． 填空题4． 简答题5． 写作题（三）古诗文背诵篇目1． 古文（9篇）劝学（节选：从“学不可以已”到“用心躁也”） 《荀子》过秦论（节选：从“及至始皇”到“仁义不施而攻守之势异也”） 贾 谊兰亭集序 王羲之归去来兮辞 陶渊明滕王阁序(节选：从“时维九月”到“声断衡阳之浦”) 王 勃师说 韩 愈阿房宫赋 杜 牧六国论 苏 洵前赤壁赋 苏 轼2． 诗词曲（28首）氓 《诗经》离骚（节选：从“帝高阳之苗裔兮”到“来吾道夫先路也”） 屈 原孔雀东南飞（并序）（节选：从“鸡鸣外欲曙”到“二情同依依”，从“府吏闻此变”到“千万不复全”）汉乐府120分 占80%迢迢牵牛星《古诗十九首》短歌行曹操归园田居（少无适俗韵）陶渊明山居秋暝王维蜀道难李白梦游天姥吟留别李白将进酒李白蜀相杜甫登高杜甫登岳阳楼杜甫石头城刘禹锡琵琶行（节选：从“寻声暗问弹者谁”到“唯见江心秋月白”）白居易李凭箜篌引李贺过华清宫（长安回望绣成堆）杜牧锦瑟李商隐虞美人（春花秋月何时了）李煜雨霖铃（寒蝉凄切）柳永桂枝香（登临送目）王安石念奴娇（大江东去）苏轼鹊桥仙（纤云弄巧）秦观声声慢（寻寻觅觅）李清照书愤（早岁那知世事艰）陆游永遇乐（千古江山）辛弃疾扬州慢（淮左名都）姜夔长亭送别（节选：【正宫】【端正好】）王实甫解读:重庆专注教育考试服务中心重庆高考语文教研组基础及古文部分：2012年重庆高考语文学科考试范围、题量等与去年保持不变。

2012年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

2012年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析

2012年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析2012年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析一、选择题1. A2. C3. A4. B5. D6. D7. C8. B9. C 10. A 11. D 12. B 13. A 14.D 15. C二、填空题16. 10 17. 2 18. 9 19. 1 20. 5 21. 0.8 22. 45 23. √2/2 24. π/3 25. 7三、解答题26. 解：由题意可知，四个数字的和是50，假设这四个数字分别为a、b、c、d，则有a + b + c + d = 50。

不失一般性，假设a ≤ b ≤ c ≤ d。

由于a、b、c、d都是正整数且连续，所以a + b + c + d最小值为1 + 2 + 3 + 4 = 10，最大值为11 + 12 + 13 + 14 = 50。

显然10 ≤ a + b + c + d ≤ 50。

因此，10 ≤ 50，所以四个数字的和至少为10。

而11 + 12 + 13 + 14 = 50，所以四个数字的和至多为50。

综上所述，四个数字的和的取值范围为10 ≤ a + b + c + d ≤ 50。

27. 解：设梯形的面积为S，边长分别为a、b、c、d。

根据题意，有a + b = c + d。

由此可以得到a + d = c + b。

根据梯形面积的公式，可得到S = (a + b) × h / 2 = (c + d) × h / 2。

结合上述两个等式，可以得到S = (a + d) × h / 2。

因此，当梯形的上底和下底的和固定时，其面积与高成正比。

28. 解：由题意可知，小明将自己的奖学金分配给了四个人，第一个人得到了全额奖学金；第二个人得到了全额奖学金的1/2；第三个人得到了全额奖学金的1/3；第四个人得到了全额奖学金的1/4。

设小明的奖学金为x元，则根据题意可以得到以下等式：x = 1 + 1/2x + 1/3x + 1/4x求解以上方程，可以得到x = 24。

重庆市历年高考理科数学真题及答案详解(2004-2012)

重庆市历年高考理科数学真题及答案详解(2004-2012)

重庆市历年高考理科数学真题及答案详解(2004-2012)2004年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分 考试时间120分钟. 第Ⅰ部分（选择题 共60分）参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那幺 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那幺 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k knnP P Ck P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数y =的定义域是：（ ）A ．[1,)+∞B ．23(,)+∞C ．23[,1] D ．23(,1] 2．设复数z z i z 2,212-+=则, 则22Z Z -= （ ）A ．–3B ．3C ．－3iD ．3i3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为 （ ）A ．2B ．2C ．1 D4．不等式221x x +>+的解集是（ ） A ．(1,0)(1,)-+∞U B ．(,1)(0,1)-∞-UC ．(1,0)(0,1)-UD ．(,1)(1,)-∞-+∞U5．sin163sin 223sin 253sin313+=oooo（ ） A ．12- B．12C ．D 6．若向量r r a 与b的夹角为60o，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r,则向量ar的模为 （ ）A ．2B ． 4C ．6D ．127．一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是： （ ） A ．0a < B ．0a > C ．1a <- D ．1a >8．设P 是60o的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为 （ ） A ．B ． C ．D ． 9． {}na 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0nS >成立的最大自然数n 是： （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．400810．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为： （ ）A ．43B ．53C ．2D ．7311．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为： （ ）A ．110B ．120C ．140D ．1120 12．若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是 （ ）（A ）（B ）（C ）（D ）第Ⅱ部分（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13.若在5(1)ax +的展开式中3x 的系数为80-，则_______a =.14．曲线23112224y x y x=-=-与在交点处切线的夹角是______，（用幅度数作答）15．如图P 1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、…..，P n ，…,记纸板P n 的面积为nS ，则lim ______nx S →∞=.16．对数K ，直线：y kx b =+椭圆：)20(sin 41cos 23πθθθ<≤⎩⎨⎧+=+=y x 恒有公共点，则b 取值范围是______________三、解答题：本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数44=+-的最小正周期和最小y x x x xsin cos cos值；并写出该函数在[0,]π上的单调递增区间。

2012年重庆市高考数学试卷(文科)含答案

2012年重庆市高考数学试卷(文科)含答案

2012年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2012•重庆）命题“若p则q”的逆命题是（）A．若q则p B．若￢p则￢q C．若￢q则￢p D．若p则￢q2．（5分）（2012•重庆）不等式＜0的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）3．（5分）（2012•重庆）设A，B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点，则|AB|=（）A．1B．C．D．24．（5分）（2012•重庆）（1﹣3x）5的展开式中x3的系数为（）A．﹣270 B．﹣90 C．90 D．2705．（5分）（2012•重庆）=（）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）（2012•重庆）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B．C．2D．107．（5分）（2012•重庆）已知a=log23+log2，b=，c=log32则a，b，c的大小关系是（）A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c8．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．9．（5分）（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（1，）D．（1，）10．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g（x）＜2}，则M∩N为（）A．（1，﹢∞）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，1）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2012•重庆）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4=．12．（5分）（2012•重庆）若f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a=．13．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．14．（5分）（2012•重庆）设P为直线y=x与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e=．15．（5分）（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2012•重庆）已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求{a n}的通项公式（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，若a1，a k，S k+2成等比数列，求正整数k的值．17．（13分）（2012•重庆）已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．18．（13分）（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球三次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率．19．（12分）（2012•重庆）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π）在x=处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=的值域．20．（12分）（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点．（Ⅰ）求异面直线CC1和AB的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣B1的平面角的余弦值．21．（12分）（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．2012年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2012•重庆）命题“若p则q”的逆命题是（）A．若q则p B．若￢p则￢q C．若￢q则￢p D．若p则￢q考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，从而可得解答：解：将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，则命题“若p则q”的逆命题是若q则p．故选A．点评：本题考查了命题与逆命题的相互关系的应用，属于基础题．2．（5分）（2012•重庆）不等式＜0的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：直接转化分式不等式为二次不等式求解即可．解答：解：不等式＜0等价于（x﹣1）（x+2）＜0，所以表达式的解集为：{x|﹣2＜x＜1}．故选C．点评：本题考查分式不等式的求法，考查转化思想计算能力．3．（5分）（2012•重庆）设A，B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点，则|AB|=（）A．1B．C．D．2考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据圆心在直线y=x上，得到AB为圆的直径，根据直径等于半径的2倍，可得出|AB|的长．解答：解：由圆x2+y2=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，∵圆心（0，0）在直线y=x上，∴弦AB为圆O的直径，则|AB|=2r=2．故选D点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及圆的标准方程，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．4．（5分）（2012•重庆）（1﹣3x）5的展开式中x3的系数为（）A．﹣270 B．﹣90 C．90 D．270考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：由（1﹣3x）5的展开式的通项公式Tr+1=•（﹣3x）r，令r=3即可求得x3的系数．解答：解：设（1﹣3x）5的展开式的通项公式为T r+1，则T r+1=•（﹣3x）r，令r=3，得x3的系数为：（﹣3）3•=﹣27×10=﹣270．故选A．点评：本题考查二项式系数的性质，着重考查二项式（1﹣3x）5的展开式的通项公式的应用，属于中档题．5．（5分）（2012•重庆）=（）A．﹣B．﹣C．D．考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：将原式分子第一项中的度数47°=17°+30°，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．解答：解：===sin30°=．故选C点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．6．（5分）（2012•重庆）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B．C．2D．10考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：通过向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模．解答：解：因为x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，所以x﹣2=0，所以=（2，1），所以=（3，﹣1），所以|+|=，故选B．点评：本题考查向量的基本运算，模的求法，考查计算能力．7．（5分）（2012•重庆）已知a=log23+log2，b=，c=log32则a，b，c的大小关系是（）A．a=b＜c B．a=b＞c C．a＜b＜c D．a＞b＞c考点：不等式比较大小．专题：计算题．分析：利用对数的运算性质可求得a=log23，b=log23＞1，而0＜c=log32＜1，从而可得答案．解答：解：∵a=log23+log2=log23，b===＞1，∴a=b＞1，又0＜c=log32＜1，∴a=b＞c．故选：B．点评：本题考查不等式比较大小，掌握对数的运算性质既对数函数的性质是解决问题之关键，属于基础题．8．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，则函数y=xf′（x）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：证明题．分析：利用函数极小值的意义，可知函数f（x）在x=﹣2左侧附近为减函数，在x=﹣2右侧附近为增函数，从而可判断当x＜0时，函数y=xf′（x）的函数值的正负，从而做出正确选择．解答：解：∵函数f（x）在x=﹣2处取得极小值，∴f′（﹣2）=0，且函数f（x）在x=﹣2左侧附近为减函数，在x=﹣2右侧附近为增函数，即当x＜﹣2时，f′（x）＜0，当x＞﹣2时，f′（x）＞0，从而当x＜﹣2时，y=xf′（x）＞0，当﹣2＜x＜0时，y=xf′（x）＜0，对照选项可知只有C符合题意．故选：C．点评：本题主要考查了导函数与原函数图象间的关系，函数极值的意义及其与导数的关系，筛选法解图象选择题，属基础题．9．（5分）（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（1，）D．（1，）考点：异面直线的判定；棱锥的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：先在三角形BCD中求出a的范围，再在三角形AED中求出a的范围，二者相结合即可得到答案．解答：解：设四面体的底面是BCD，BC=a，BD=CD=1，顶点为A，AD=在三角形BCD中，因为两边之和大于第三边可得：0＜a＜2 （1）取BC中点E，∵E是中点，直角三角形ACE全等于直角DCE，所以在三角形AED中，AE=ED=∵两边之和大于第三边∴＜2得0＜a＜（负值0值舍）（2）由（1）（2）得0＜a＜．故选：A．点评：本题主要考察三角形三边关系以及异面直线的位置．解决本题的关键在于利用三角形两边之和大于第三边这一结论．10．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g（x）＜2}，则M∩N为（）A．（1，﹢∞）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，1）考点：指、对数不等式的解法；交集及其运算；一元二次不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：利用已知求出集合M中g（x）的范围，结合集合N，求出g（x）的范围，然后求解即可．解答：解：因为集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，所以（g（x））2﹣4g（x）+3＞0，解得g（x）＞3，或g（x）＜1．因为N={x∈R|g（x）＜2}，M∩N={x|g（x）＜1}．即3x﹣2＜1，解得x＜1．所以M∩N={x|x＜1}．故选：D．点评：本题考查集合的求法，交集的运算，考查指、对数不等式的解法，交集及其运算，一元二次不等式的解法，考查计算能力．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2012•重庆）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4=15．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：把已知的条件直接代入等比数列的前n项和公式，运算求得结果．解答：解：首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4==15，故答案为15．点评：本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题．12．（5分）（2012•重庆）若f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a=4．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题．分析：由题意可得，f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立，代入整理可得（a﹣4）x=0对于任意的x都成立，从而可求a解答：解：∵f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数∴f（﹣x）=f（x）对于任意的x都成立即（x+a）（x﹣4）=（﹣x+a）（﹣x﹣4）∴x2+（a﹣4）x﹣4a=x2+（4﹣a）x﹣4a∴（a﹣4）x=0∴a=4故答案为：4．点评：本题主要考查了偶函数的定义的应用，属于基础试题13．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，再由a与b的值，利用余弦定理列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．解答：解：∵C为三角形的内角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键．14．（5分）（2012•重庆）设P为直线y=x与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e=．考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：设F1（﹣c，0），利用F1是左焦点，PF1垂直于x轴，P为直线y=x上的点，可得（﹣c，）在双曲线﹣=1上，由此可求双曲线的离心率．解答：解：设F1（﹣c，0），则∵F1是左焦点，PF1垂直于x轴，P为直线y=x上的点∴（﹣c，）在双曲线﹣=1上∴∴∴=故答案为：点评：本题考查双曲线的标准方程与几何性质，考查双曲线的离心率，属于中档题．15．（5分）（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课排列有种排法，第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中，有种排法，由此可求得在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率．解答：解：语文、数学、外语三门文化课两两不相邻的排法可分为两步，先把其它三门艺术课排列有种排法，第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空中，有种排法，故所有的排法种数为．∴在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为．故答案为：．点评：本题考查概率的求法，解题的关键是根据具体情况选用插空法，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2012•重庆）已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求{a n}的通项公式（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，若a1，a k，S k+2成等比数列，求正整数k的值．考点：等比数列的性质；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=2，d=2，从而得到{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{a n}的前n项和为S n ==n（n+1），再由=a1 S k+2 ，求得正整数k的值．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差等于d，则由题意可得，解得a1=2，d=2．∴{a n}的通项公式a n =2+（n﹣1）2=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{a n}的前n项和为S n ==n（n+1）．∵若a1，a k，S k+2成等比数列，∴=a1 S k+2 ，∴4k2 =2（k+2）（k+3），k=6 或k=﹣1（舍去），故k=6．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于中档题．17．（13分）（2012•重庆）已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题；探究型；方程思想；转化思想．分析：（Ⅰ）由题设f（x）=ax3+bx+c，可得f′（x）=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c ﹣16，可得解此方程组即可得出a，b的值；（II）结合（I）判断出f（x）有极大值，利用f（x）有极大值28建立方程求出参数c的值，进而可求出函数f（x）在[﹣3，3]上的极小值与两个端点的函数值，比较这此值得出f（x）在[﹣3，3]上的最小值即可．解答：解：（Ⅰ）由题f（x）=ax3+bx+c，可得f′（x）=3ax2+b，又函数在点x=2处取得极值c﹣16∴，即，化简得解得a=1，b=﹣12（II）由（I）知f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2）令f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2）=0，解得x1=﹣2，x2=2当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，故f（x）在∈（﹣∞，﹣2）上为增函数；当x∈（﹣2，2）时，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣2，2）上为减函数；当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上为增函数；由此可知f（x）在x1=﹣2处取得极大值f（﹣2）=16+c，f（x）在x2=2处取得极小值f（2）=c﹣16，由题设条件知16+c=28得，c=12此时f（﹣3）=9+c=21，f（3）=﹣9+c=3，f（2）=﹣16+c=﹣4因此f（x）在[﹣3，3]上的最小值f（2）=﹣4点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值及利用导数求函数的极值，解第一小题的关键是理解“函数在点x=2处取得极值c﹣16”，将其转化为x=2处的导数为0与函数值为c﹣16两个等量关系，第二小时解题的关键是根据极大值为28建立方程求出参数c 的值．本题考查了转化的思想及方程的思想，计算量大，有一定难度，易因为不能正确转化导致无法下手求解及计算错误导致解题失败，做题时要严谨认真，严防出现在失误．此类题是高考的常考题，平时学习时要足够重视．18．（13分）（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球三次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率．考点：相互独立事件的概率乘法公式；概率的基本性质．专题：计算题．分析：（Ⅰ）分别求出乙第一次投球获胜的概率、乙第二次投球获胜的概率、乙第三次投球获胜的概率，相加即得所求．（Ⅱ）由于投篮结束时乙只投了2个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了，把这两种情况的概率相加，即得所求．解答：解：（Ⅰ）∵乙第一次投球获胜的概率等于=，乙第二次投球获胜的概率等于••=，乙第三次投球获胜的概率等于=，故乙获胜的概率等于++=．（Ⅱ）由于投篮结束时乙只投了2个球，说明第一次投球甲乙都没有投中，第二次投球甲没有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了．故投篮结束时乙只投了2个球的概率等于+×=．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．19．（12分）（2012•重庆）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π）在x=处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=的值域．考点：三角函数中的恒等变换应用；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）通过函数的周期求出ω，求出A，利用函数经过的特殊点求出φ，推出f（x）的解析式；（Ⅱ）利用（Ⅰ）推出函数g（x）=的表达式，通过cos2x∈[0，1]，且，求出g（x）的值域．解答：解：（Ⅰ）由题意可知f（x）的周期为T=π，即=π，解得ω=2．因此f（x）在x=处取得最大值2，所以A=2，从而sin（）=1，所以，又﹣π＜φ≤π，得φ=，故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）；（Ⅱ）函数g（x）=======因为cos2x∈[0，1]，且，故g（x）的值域为．点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查计算能力．20．（12分）（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点．（Ⅰ）求异面直线CC1和AB的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣B1的平面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（Ⅰ）先根据条件得到CD⊥AB以及CC1⊥CD，进而求出C的长即可；（Ⅱ）解法一；先根据条件得到∠A1DB1为所求的二面角A1﹣CD﹣B1的平面角，再根据三角形相似求出棱柱的高，进而在三角形A1DB1中求出结论即可；解法二：过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量的坐标，最后代入向量的夹角计算公式即可求出结论．解答：解：（Ⅰ）解：因为AC=BC，D为AB的中点，故CD⊥AB，又直三棱柱中，CC1⊥面ABC，故CC1⊥CD，所以异面直线CC1和AB的距离为：CD==．（Ⅱ）解法一；由CD⊥AB，CD⊥BB1，故CD⊥平面A1ABB1，从而CD⊥DA1，CD⊥DB1，故∠A1DB1为所求的二面角A1﹣CD﹣B1的平面角．因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1⊥A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，从而∠A1AB1，∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1=∠∠A1DA，所以RT△A1AD∽RT△B1A1A，因此=，得=AD•A1B1=8，从而A1D==2，B1D=A1D=2．所以在三角形A1DB1中，cos∠A1DB1==．解法二：过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，由第一问知：DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X 轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系D﹣XYZ．．设直三棱柱的高为h，则A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，h）．B1（2，0，h）．C（0，，0）从而=（4，0，h），=（2，，﹣h）．由AB1⊥A1C得•=0，即8﹣h2=0，因此h=2，故=（﹣1，0，2），=（2，0，2），=（0，，0）．设平面A1CD的法向量为=（x，y，z），则⊥，⊥，即取z=1，得=（，0，1），设平面B1CD的法向量为=（a，b，c），则⊥，，即取c=﹣1得=（，0，﹣1），所以cos＜，＞===．所以二面角的平面角的余弦值为．点评：本题主要考察异面直线间的距离计算以及二面角的平面角及求法．在求异面直线间的距离时，关键是求出异面直线的公垂线．21．（12分）（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0），利用△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，可得∠B1AB2为直角，从而，利用c2=a2﹣b2，可求，又S=|B1B2||OA|==4，故可求椭圆标准方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16﹣0，利用韦达定理及PB2⊥QB2，利用可求m的值，进而可求△PB2Q的面积．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0）∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即∵c2=a2﹣b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=|B1B2||OA|=∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20∴椭圆标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0①设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴，∵，∴=∵PB2⊥QB2，∴∴，∴m=±2当m=±2时，①可化为9y2±8y﹣16﹣0，∴|y1﹣y2|==∴△PB2Q的面积S=|B1B2||y1﹣y2|=×4×=．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形的面积计算，综合性强．。

2012年重庆市高考数学试卷(文科)答案与解析

2012年重庆市高考数学试卷(文科)答案与解析

2012年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2．（5分）（2012•重庆）不等式＜0的解集为（）＜2253•5．（5分）（2012•重庆）=（）﹣=6．（5分）（2012•重庆）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）B通过向量的垂直，求出向量，推出==，且⊥，所以|+7．（5分）（2012•重庆）已知a=log 23+log2，b=，c=log32则a，b，c32，=＞8．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在．．．D．9．（5分）（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的，，，AE=ED=．10．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2012•重庆）首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4=15．12．（5分）（2012•重庆）若f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a=4．13．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．cosC==，=得：=．故答案为：14．（5分）（2012•重庆）设P为直线y=x与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e=．，）在双曲线﹣=1y=，）在双曲线=1=故答案为：15．（5分）（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）种排法，第二步把语文、数学、外语三门文化课插入由那三个隔开的四个空种排法，由此可求得在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔课排列有个空中，有种排法，故所有的排法种数为节艺术课的概率为故答案为：．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2012•重庆）已知{a n}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求{a n}的通项公式（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，若a1，a k，S k+2成等比数列，求正整数k的值．，再由=a，则由题意可得，解得=n成等比数列，∴=a17．（13分）（2012•重庆）已知函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（x）有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．，可得，即，化简得18．（13分）（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球三次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率．•=，乙第三次投球获胜的概率等于=++=×=．19．（12分）（2012•重庆）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π）在x=处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）=的值域．=，且，即处取得最大值，2x+，且）的值域为20．（12分）（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点．（Ⅰ）求异面直线CC1和AB的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣B1的平面角的余弦值．=．=，得D=，D=2=．==，﹣=0h=2，）=，的法向量为，则⊥，⊥，即，得=的法向量为，则⊥，，即得（＜＞==．．21．（12分）（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．，为直角，从而|B||OA|=可求（Ⅰ）设椭圆的方程为，∴S=∴椭圆标准方程为；=，∴=S=××。

2011年重庆市高考数学试卷(理科)及答案

2011年重庆市高考数学试卷(理科)及答案

2011年重庆市高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）复数=（）A．B．C． D．2．（3分）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）已知，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．64．（3分）（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）A．6 B．7 C．8 D．95．（3分）下列区间中，函数f（x）=|lg（2﹣x）|在其上为增函数的是（）A．（﹣∞，1]B．C． D．（1，2）6．（3分）△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A．B． C．1 D．7．（3分）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．58．（3分）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．9．（3分）高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．B．C．1 D．10．（3分）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（）A．﹣8 B．8 C．12 D．13二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．（3分）在等差数列{a n}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=．12．（3分）已知单位向量，的夹角为60°，则|2﹣|=．13．（3分）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为．14．（3分）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为．15．（3分）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．17．（13分）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的ξ分布列与期望．18．（13分）设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）设g（x）=f′（x）e﹣x．求函数g（x）的极值．19．（12分）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积．（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．20．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤．2011年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）（2011•重庆）复数=（）A．B．C． D．【分析】利用i的幂的运算法则，化简分子，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【解答】解：复数====故选C2．（3分）（2011•重庆）“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．【解答】解：∵“x＜﹣1”⇒“x2﹣1＞0”，“x2﹣1＞0”⇒“x＜﹣1或x＞1”．∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．3．（3分）（2011•重庆）已知，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．6【分析】先将极限式通分化简，得到，分子分母同时除以x2，再取极限即可．【解答】解：原式==（分子分母同时除以x2）===2∴a=6故选：D．4．（3分）（2011•重庆）（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中x5与x6的系数，列出方程求出n．=3r C n r x r【解答】解：二项式展开式的通项为T r+1∴展开式中x5与x6的系数分别是35C n5，36C n6∴35C n5=36C n6解得n=7故选B5．（3分）（2011•重庆）下列区间中，函数f（x）=|lg（2﹣x）|在其上为增函数的是（）A．（﹣∞，1]B．C． D．（1，2）【分析】根据零点分段法，我们易将函数f（x）=|lg（2﹣x）|的解析式化为分段函数的形式，再根据复合函数“同增异减”的原则我们易求出函数的单调区间进而得到结论．【解答】解：∵f（x）=|lg（2﹣x）|，∴f（x）=根据复合函数的单调性我们易得在区间（﹣∞，1]上单调递减在区间（1，2）上单调递增故选D6．（3分）（2011•重庆）△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A．B． C．1 D．【分析】将（a+b）2﹣c2=4化为c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，再利用余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab即可求得答案．【解答】解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，∴c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴2ab﹣4=﹣ab，∴ab=．故选：A．7．（3分）（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．5【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选C8．（3分）（2011•重庆）在圆x2+y2﹣2x﹣6y=0内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A．B．C．D．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，然后利用AC与BD的乘积的一半即可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10，则圆心坐标为（1，3），半径为，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=2，MB=，ME==，所以BD=2BE=2=2，又AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积S=AC•BD=×2×2=10．故选B．9．（3分）（2011•重庆）高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S 之间的距离为（）A．B．C．1 D．【分析】由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，而球心到小圆圆心的距离为，则推出顶点S在球心距的垂直分的平面上，而顶点S到球心的距离为1，即可求出底面ABCD的中心与顶点S之间的距离．【解答】解：由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为，四棱锥的高为，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，球心到小圆圆心的距离为，顶点S在球心距的垂直分的平面上，而顶点S到球心O的距离为1，所以底面ABCD的中心O'与顶点S之间的距离为1故选C10．（3分）（2011•重庆）设m，k为整数，方程mx2﹣kx+2=0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为（）A．﹣8 B．8 C．12 D．13【分析】将一元二次方程的根的分布转化为确定相应的二次函数的图象来处理，根据图象可得到关于m和k的不等式组，此时不妨考虑利用不等式所表示的平面区域来解决，但须注意这不是线性规划问题，同时注意取整点．【解答】解：设f（x）=mx2﹣kx+2，由f（0）=2，易知f（x）的图象恒过定点（0，2），因此要使已知方程在区间（0，1）内两个不同的根，即f（x）的图象在区间（0，1）内与x轴有两个不同的交点即由题意可以得到：必有，即，在直角坐标系mok中作出满足不等式平面区域，如图所示，设z=m+k，则直线m+k﹣z=0经过图中的阴影中的整点（6，7）时，z=m+k取得最小值，即z min=13．故选D．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）11．（3分）（2011•重庆）在等差数列{a n}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8=74．【分析】根据等差数列的性质所有下标之和相同的两项之和相等，看出第三项与第七项的和等于第四项与第六项的和等于第二项与第八项的和，得到结果．【解答】解：等差数列{a n}中，a3+a7=37，∵a3+a7=a2+a8=a4+a6=37∴a2+a4+a6+a8=37+37=74，故答案为：7412．（3分）（2011•重庆）已知单位向量，的夹角为60°，则|2﹣|=．【分析】利用向量模的平方等于向量的平方，将已知等式平方，利用向量的数量积公式及将已知条件代入，求出模．【解答】解：===5﹣4cos60°=3∴故答案为13．（3分）（2011•重庆）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为．【分析】本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，正面出现的次数比反面出现的次数多包括三种情况，正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，写出概率，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，正面出现的次数比反面出现的次数多包括正面出现4次，反面出现2次；正面出现5次，反面出现1次；正面出现6次，共有三种情况，这三种情况是互斥的，∴正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是++==故答案为：14．（3分）（2011•重庆）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为﹣．【分析】由已知的等式变形后，记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据α为锐角，联立①②求出sinα和cosα的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．【解答】解：由sinα=+cosα，得到sinα﹣cosα=①，又sin2α+cos2α=1②，且α∈（0，），联立①②解得：sinα=，cosα=，∴cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，sin（α﹣）=（sinα﹣cosα）=，则==﹣．故答案为：﹣15．（3分）（2011•重庆）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点（2，0）．【分析】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦点必在动圆上，从而解决问题．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），准线方程为x+2=0，故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离，所以F在圆上．故答案为：（2，0）．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（13分）（2011•重庆）设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．【分析】利用二倍角公式化简函数f（x），然后，求出a的值，进一步化简为f（x）=2sin（2x﹣），然后根据x的范围求出2x﹣，的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值．【解答】解：f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）=asinxcosx﹣cos2x+sin2x=由得解得a=2所以f（x）=2sin（2x﹣），所以x∈[]时2x﹣，f（x）是增函数，所以x∈[]时2x﹣，f（x）是减函数，函数f（x）在上的最大值是：f（）=2；又f（）=，f（）=；所以函数f（x）在上的最小值为：f（）=；17．（13分）（2011•重庆）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的ξ分布列与期望．【分析】（I）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222，得到概率．（II）由题意知变量ξ的可能取值是1，2，3，结合变量对应的事件和第一问的做法写出变量对应的概率，写出分布列，做出变量的期望值．【解答】解：（I）由题意知本题是一个等可能事件的概率试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，满足条件的事件是恰有2人申请A片区房源，共有C4222∴根据等可能事件的概率公式得到P==（II）由题意知ξ的可能取值是1，2，3P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=∴ξ的分布列是：ξ123P∴Eξ=18．（13分）（2011•重庆）设f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=﹣b，其中常数a，b∈R．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）设g（x）=f′（x）e﹣x．求函数g（x）的极值．【分析】（I）根据已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（II）根据g（x）=f′（x）e﹣1求出函数g（x）的解析式，然后求出g（x）的导数g'（x）的解析式，求出导函数零点后，利用零点分段法，分类讨论后，即可得到函数g（x）的极值．【解答】解：（I）∵f（x）=x3+ax2+bx+1∴f'（x）=3x2+2ax+b．令x=1，得f'（1）=3+2a+b=2a，解得b=﹣3令x=2，得f'（2）=12+4a+b=﹣b，因此12+4a+b=﹣b，解得a=﹣，因此f（x）=x3﹣x2﹣3x+1∴f（1）=﹣，又∵f'（1）=2×（﹣）=﹣3，故曲线在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0．（II）由（I）知g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x从而有g'（x）=（﹣3x2+9x）e﹣x令g'（x）=0，则x=0或x=3∵当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，当x∈（0，3）时，g'（x）＞0，当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，∴g（x）=（3x2﹣3x﹣3）e﹣x在x=0时取极小值g（0）=﹣3，在x=3时取极大值g（3）=15e﹣319．（12分）（2011•重庆）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥ACD，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°（Ⅰ）若AD=2，AB=2BC，求四面体ABCD的体积．（Ⅱ）若二面角C﹣AB﹣D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．【分析】（I）要求四面体ABCD的体积，必须确定它的高和底面，由已知，△ABC 作为底面，高易作，根据线段的长度，即可求得四面体ABCD的体积；（Ⅱ）利用三垂线定理找出二面角C﹣AB﹣D的平面角，根据该角为60°，找到各边之间的关系，利用平移的方法找出异面直线AD与BC所成角，解三角形，即可求得异面直线AD与BC所成角的余弦值．【解答】解：（I）设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC．故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=，在Rt△ABC中，因AC=2AF=2，AB=2BC，由勾股定理易知BC=，AB=．故四面体ABCD的体积V==．（II）设E为边AB的中点，则EF∥BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB，又由（I）有DF⊥平面ABC，故由三垂线定理知DE⊥AB，所以∠DEF为二面角C﹣AB﹣D的平面角，由题设知∠DEF=60°．设AD=a，则DF=AD•sin∠CAD=，在Rt△DEF中，EF=DF•cotDEF==，取BD的中点M，连EM，FM，由中位线定理得，∠MEF为异面直线AD，BC所成的角或其补角，EM=FM=，由余弦定理得cos∠MEF===．20．（12分）（2011•重庆）如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|+|PF2|为定值．若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）根据离心率和准线方程求得a和c，则b可得，则椭圆的方程可得．（Ⅱ）设出P，M，N的坐标，根据题设等式建立等式，把M，N代入椭圆方程，整理求得x2+2y220+4（x1x2+2y1y2），设出直线OM，ON的斜率，利用题意可求得x1x2+2y1y2=0，进而求得x2+2y2的值，利用椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值求得c，则两焦点坐标可得．【解答】解：（Ⅰ）由e==，=2，求得a=2，c=∴b==∴椭圆的方程为：（Ⅱ）设P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则由，得（x，y）=（x1，y1）+2（x2，y2），即x=x1+2x2，y=y1+2y2，∵点M，N在椭圆上，所以，故x2+2y2=（x12+4x22+4x1x2）+2（y12+4y22+4y1y2）=20+4（x1x2+2y1y2）设k0M，k ON分别为直线OM，ON的斜率，根据题意可知k0M k ON=﹣∴x1x2+2y1y2=0∴x2+2y2=20所以P在椭圆上；设该椭圆的左，右焦点为F1，F2，由椭圆的定义可推断出|PF1|+|PF2|为定值，因为c=，则这两个焦点坐标是（﹣，0）（，0）21．（12分）（2011•重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤．【分析】（Ⅰ）由题意，得S22=﹣2S2，由S2是等比中项知S2=﹣2，由此能求出S2和a3．（Ⅱ）由题设条件知S n+a n+1=a n+1S n，S n≠1，a n+1≠1，且，，由此能够证明对k≥3有0≤a n≤．﹣1【解答】解：（Ⅰ）由题意，得S22=﹣2S2，由S2是等比中项知S2≠0，∴S2=﹣2．由S2+a3=a3S2，解得．（Ⅱ）证明：因为S n=a1+a2+a3+…+a n+a n+1=a n+1+S n，+1由题设条件知S n+a n+1=a n+1S n，∴S n≠1，a n+1≠1，且，从而对k≥3 有a k===①因，且，要证，由①，只要证即证，即，此式明显成立，因此．。

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2012年重庆市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一个是符合题目要求的1．（5分）（2012•重庆）在等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，则{a n}的前5项和S5=（）A．7B．15 C．20 D．25考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的性质，可得a2+a4=a1+a5=6，再利用等差数列的求和公式，即可得到结论．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2=1，a4=5，∴a2+a4=a1+a5=6，∴S5=（a1+a5）=故选B．点评：本题考查等差数列的性质，考查等差数列的求和公式，熟练运用性质是关键．2．（5分）（2012•重庆）不等式≤0的解集为（）A．B．C．D．考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：由不等式可得，由此解得不等式的解集．解答：解：由不等式可得，解得﹣＜x≤1，故不等式的解集为，故选A．点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．3．（5分）（2012•重庆）对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是（）A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心考点：直线与圆的位置关系．专题：探究型．分析：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在，（0，1）在圆x2+y2=2内，故可得结论．解答：解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在∵（0，1）在圆x2+y2=2内∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选C．点评：本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是确定直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在．4．（5分）（2012•重庆）的展开式中常数项为（）A．B．C．D．105考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：在的展开式通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可求得展开式中常数项．解答：解：的展开式通项公式为T r+1==，令=0，r=4．故展开式中常数项为=，故选B．点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．5．（5分）（2012•重庆）设tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，则tan（α+β）的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1D．3考点：两角和与差的正切函数；根与系数的关系．专题：计算题．分析：由tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．解答：解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2，则tan（α+β）===﹣3．故选A点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．6．（5分）（2012•重庆）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A．B．C．D．10考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：由两个向量垂直的性质可得2x﹣4=0，由两个向量共线的性质可得﹣4﹣2y=0，由此求出x=2，y=﹣2，以及的坐标，从而求得||的值．解答：解：∵向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则有2x﹣4=0，﹣4﹣2y=0，解得x=2，y=﹣2，故=（3，﹣1 ）．故有||==，故选B．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．7．（5分）（2012•重庆）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（）A．既不充分也不必要的条件B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件D．充要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：由题意，可由函数的性质得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数的周期性即可得出f（x）为[3，4]上的减函数，由此证明充分性，再由f（x）为[3，4]上的减函数结合周期性即可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数即可得出f（x）为[0，1]上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴若f（x）为[0，1]上的增函数，则f（x）为[﹣1，0]上是减函数，又∵f（x）是定义在R上的以2为周期的函数，且[3，4]与[﹣1，0]相差两个周期，∴两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为[3，4]上的减函数，故充分性成立．若f（x）为[3，4]上的减函数，同样由函数周期性可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x）为[0，1]上的增函数，故必要性成立．综上，“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的充要条件．故选D．点评：本题考查充分性与必要性的判断，解题的关键是理解充分性与必要性证明的方向，即由那个条件到那个条件的证明是充分性，那个方向是必要性，初学者易搞不清证明的方向导致表述上出现逻辑错误．8．（5分）（2012•重庆）设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1）B．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1）C．函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2）D．函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）考点：函数在某点取得极值的条件；函数的图象．专题：计算题．分析：利用函数的图象，判断导函数值为0时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值．解答：解：由函数的图象可知，f′（﹣2）=0，f′（2）=0，并且当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜1，f′（x）＜0，函数f（x）有极大值f（﹣2）．又当1＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，故函数f（x）有极小值f（2）．故选D．点评：本题考查函数与导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，函数的图象的应用．9．（5分）（2012•重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（1，）D．（1，）考点：异面直线的判定；棱锥的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：先在三角形BCD中求出a的范围，再在三角形AED中求出a的范围，二者相结合即可得到答案．解答：解：设四面体的底面是BCD，BC=a，BD=CD=1，顶点为A，AD=在三角形BCD中，因为两边之和大于第三边可得：0＜a＜2 （1）取BC中点E，∵E是中点，直角三角形ACE全等于直角DCE，所以在三角形AED中，AE=ED=∵两边之和大于第三边∴＜2得0＜a＜（负值0值舍）（2）由（1）（2）得0＜a＜．故选：A．点评：本题主要考察三角形三边关系以及异面直线的位置．解决本题的关键在于利用三角形两边之和大于第三边这一结论．10．（5分）（2012•重庆）设平面点集，则A∩B所表示的平面图形的面积为（）A．B．C．D．考点：二元一次不等式（组）与平面区域；交集及其运算．专题：计算题；压轴题．分析：先分别画出集合A与集合B表示的平面区域，再画出它们的公共部分，最后利用圆的面积公式及图形的对称性，计算所求面积即可解答：解：∵⇔或其表示的平面区域如图，（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1表示以（1，1）为圆心，1为半径的圆及其内部区域，其面积为π∴A∩B所表示的平面图形为上述两区域的公共部分，如图阴影区域，由于圆和y=均关于y=x对称，故阴影部分面积为圆的面积的一半，即故选：D．点评：本题主要考查了二元不等式表示平面区域的知识和延伸，准确的画出两集合表示的平面区域是解决本题的关键，属基础题二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2012•重庆）若（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a+b=4．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：由条件可得a+bi=1+3i，根据两个复数相等的充要条件求出a和b的值，即可求得a+b 的值．解答：解：∵（1+i）（2+i）=a+bi，其中a，b∈R，i为虚数单位，∴a+bi=1+3i，∴a=1，b=3，∴a+b=1+3=4，故答案为4．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，属于基础题．12．（5分）（2012•重庆）=．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：把要求的式子化为，即，再利用极限及其运算法则求得所求式子的值．解答：解：由于====，故答案为：．点评：本题主要考查极限及其运算法则的应用，把要求的式子化为，是解题的关键，属于基础题．13．（5分）（2012•重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则c=．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题．分析：由A和B都为三角形的内角，且根据cosA及cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinA和sinB的值，将sinC中的角C利用三角形的内角和定理变形后，将各自的值代入求出sinC的值，由sinC，b及sinB的值，利用正弦定理即可求出c 的值．解答：解：∵A和B都为三角形的内角，且cosA=，cosB=，∴sinA==，sinB==，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，又b=3，∴由正弦定理=得：c===．故答案为：点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦定理，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．14．（5分）（2012•重庆）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若，则|AF|=．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：设出点的坐标与直线的方程，利用抛物线的定义表示出|AF|、|BF|再联立直线与抛物线的方程利用根与系数的关系解决问题，即可得到答案．解答：解：由题意可得：F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．因为过抛物线y2=2x的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，所以|AF|=+x1，|BF|=+x2．因为，所以x1+x2=设直线l的方程为y=k（x﹣），联立直线与抛物线的方程可得：k2x2﹣（k2+2）x+=0，所以x1+x2=．∴∴k2=24∴24x2﹣26x+6=0，∴，∴|AF|=+x1=故答案为：点评：解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义，以及掌握直线与抛物线位置关系，并且结合准确的运算也是解决此类问题的一个重要方面15．（5分）（2012•重庆）某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为•（•）•=216，三门文化课中相邻排列，则排法种数为=144，而所有的排法共有=720种，由此求得所求事件的概率．解答：解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为=72，②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为•（•）•=216，③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为为一个整体，然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为=144，而所有的排法共有=720种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为=，故答案为．点评：本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（13分）（2012•重庆）设，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的极值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：综合题．分析：（Ⅰ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，可得f′（1）=0，从而可求a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（x＞0），=，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的极值．解答：解：（Ⅰ）求导函数可得∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴．∴f′（1）=0，∴，∴a=﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，（x＞0）=令f′（x）=0，可得x=1或x=（舍去）∵0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数递减；x＞1时，f′（x）＞0，函数递增∴x=1时，函数f（x）取得极小值为3．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，函数的单调性与极值，正确求导是关键．17．（13分）（2012•重庆）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（Ⅰ）求甲获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A k）=，P（B k）=（k=1，2，3）（Ⅰ）记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A1）+P（）+P（），利用互斥事件的概率公式即可求解；（Ⅱ）投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1，2，3，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列与期望．解答：解：设A k，B k分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P（A k）=，P（B k）=（k=1，2，3）（Ⅰ）记“甲获胜”为事件C，则P（C）=P（A1）+P（）+P（）=×+=；（Ⅱ）投篮结束时甲的投篮次数ξ的可能值为1，2，3P（ξ=1）=P（A1）+P（）=P（ξ=2）=P（）+P（）== P（（ξ=3）=P（）==ξ的分布列为ξ 1 2 3P期望Eξ=1×+2×+3×=．点评：本题考查互斥事件概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是确定变量的取值，理解变量取值的含义，属于中档题．18．（13分）（2012•重庆）设f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π），其中ω＞0．（Ⅰ）求函数y=f（x）的值域（Ⅱ）若f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．专题：计算题；转化思想．分析：（I）由题意，可由三角函数的恒等变换公式对函数的解析式进行化简得到f（x）=sin2ωx+1，由此易求得函数的值域；（II）f（x）在区间上为增函数，此区间必为函数某一个单调区间的子集，由此可根据复合三角函数的单调性求出用参数表示的三角函数的单调递增区间，由集合的包含关系比较两个区间的端点即可得到参数ω所满足的不等式，由此不等式解出它的取值范围，即可得到它的最大值．解答：解：f（x）=4cos（ωx﹣）sinωx﹣cos（2ωx+π）=4（cosωx+sinωx）sinωx+cos2ωx=2cosωxsinωx+2sin2ωx+cos2ωx﹣sin2ωx=sin2ωx+1，∵﹣1≤sin2ωx≤1，所以函数y=f（x）的值域是[]（II）因y=sinx在每个区间[]，k∈z上为增函数，令，又ω＞0，所以，解不等式得≤x≤，即f（x）=sin2ωx+1，（ω＞0）在每个闭区间[，]，k∈z上是增函数又有题设f（x）在区间上为增函数所以⊆[，]，对某个k∈z成立，于是有．解得ω≤，故ω的最大值是．点评：本题考查三角恒等变换的运用及三角函数值域的求法，解题的关键是对所给的函数式进行化简，熟练掌握复合三角函数单调性的求法，本题考查了转化的思想，计算能力，属于中等难度的题19．（12分）（2012•重庆）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．专题：综合题；转化思想．分析：（I）由题意，由于可证得CD⊥平面A1ABB1．故点C到平面的距离即为CD的长度，易求；（II）解法一：由题意结合图象，可通过作辅助线先作出二面角的平面角∠A1DD1，然后在直角三角形A1D1D中求出二面角的余弦；解法二：根据几何体的形状，可过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，可得DB，DC，DD1两两垂直，则以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴、Y 轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．给出各点的坐标，分别求出两平面的法向量，求出两向量的夹角即为两平面的夹角．解答：解：（I）由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB．又CD⊥AA1．故CD⊥平面A1ABB1．所以点C到平面A1ABB1的距离为CD==（II）解法一：如图1，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1．又由（I）知CD⊥平面A1ABB1．故CD⊥A1D，CD⊥D1D，所以∠A1DD1为所求的二面角A1﹣CD﹣C1的平面角．因A1D为A1C在面A1ABB1中的射影，又已知AB1⊥A1C由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D．从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB 互余．因此∠A1AB1=∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A．因此AA1：AD=A1B1：AA1，即AA12=AD•A1B1=8，得AA1=2，从而A1D==2．所以Rt△A1D1D中，cos∠A1DD1===解法二：如图2，过D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，有DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为X轴、Y轴、Z轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．设直三棱柱的高为h，则A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，h），B1（2，0，h），C（0，，0），C1（0，，h），从而=（4，0，h），=（2，，﹣h）由AB1⊥A1C，可得8﹣h2=0，h=2，故=（﹣2，0，2），=（0，0，2），=（0，，0）设平面A1CD的法向量为=（x1，y1，z1），则有⊥，⊥∴•=0且•=0，即，取z1=1，则=（，0，1）设平面C1CD的法向量为=（x2，y2，z2），则⊥，⊥，即且=0，取x 2=1，得=（1，0，0），所以cos＜，＞===，所以二面角A1﹣CD﹣C1的平面角的余弦值点评：本题考查二面角的求法及点到面距离的求法，点到面的求法一般是作垂线，垂线段的长度即所求，二面角的余弦值的求法有两种，一种是几何法，找到二面角平面角所在的三角形，解三角形求出角的余弦值，第二种方法是现在比较常用的方法向量法，其特征是思维量小，计算量大，作题时对这两种方法要根据题设灵活选用20．（12分）（2012•重庆）如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过B1做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0），利用△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，可得∠B1AB2为直角，从而，利用c2=a2﹣b2，可求，又S=|B1B2||OA|==4，故可求椭圆标准方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2，代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16﹣0，利用韦达定理及PB2⊥QB2，利用可求m的值，进而可求直线l的方程．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，F2（c，0）∵△AB1B2是的直角三角形，|AB1|=AB2|，∴∠B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|，即∵c2=a2﹣b2，∴a2=5b2，c2=4b2，∴在△AB1B2中，OA⊥B1B2，∴S=|B1B2||OA|=∵S=4，∴b2=4，∴a2=5b2=20∴椭圆标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知B1（﹣2，0），B2（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my﹣2代入椭圆方程，消元可得（m2+5）y2﹣4my﹣16=0①设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴，∵，∴=∵PB2⊥QB2，∴∴，∴m=±2所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x+2y+2=0和x﹣2y+2=0．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形的面积计算，综合性强．21．（12分）（2012•重庆）设数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a2S n+a1，其中a2≠0．（Ⅰ）求证：{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）若a2＞﹣1，求证，并给出等号成立的充要条件．考点：数列与不等式的综合；等比数列的前n项和；等比关系的确定；数列与函数的综合．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）根据S n+1=a2S n+a1，再写一式，两式相减，即可证得{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）当n=1或2时，等号成立，设n≥3，a2＞﹣1，且a2≠0，由（I）知a1=1，，所以要证的不等式可化为（n≥3），即证（n≥2），a2=1时，等号成立；再证明a2＞﹣1且a2≠1时，（）（）＞0，即可证得结论．解答：证明：（Ⅰ）∵S n+1=a2S n+a1，①∴S n+2=a2S n+1+a1，②②﹣①可得：a n+2=a2a n+1∵a2≠0，∴∵S n+1=a2S n+a1，∴S2=a2S1+a1，∴a2=a2a1∵a2≠0，∴a1=1∴{a n}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）当n=1或2时，等号成立设n≥3，a2＞﹣1，且a2≠0，由（Ⅰ）知a1=1，，所以要证的不等式可化为（n≥3）即证（n≥2）a2=1时，等号成立当﹣1＜a2＜1时，与同为负；当a2＞1时，与同为正；∴a2＞﹣1且a2≠1时，（）（）＞0，即上面不等式n分别取1，2，…，n累加可得∴综上，，等号成立的充要条件是n=1或2或a2=1．点评：本题考查等比数列的证明，考查不等式的证明，考查叠加法的运用，需要一定的基本功，属于中档题．。

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