小学奥数等差数列

等差数列

知识点

1、数列定义：若干个数排成一列，像这样一串数，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首项（我们将用 来表示），第二个数叫做第二项以此类推，最1a 后一个数叫做这个数列的末项（我们将用 来表示），数列中数的个数称为项数，我们n a 将用 n 来表示。如：2，4，6，8，，100

2、等差数列：从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列。我们将这个差称为公差（我们用 d 来表示），即： 1122312----=-==-=-=n n n n a a a a a a a a d 例如：等差数列：

3、6、9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。（省略号表示什么？）练习1：试举出一个等差数列，并指出首项、末项、项数和公差。 3、 计算等差数列的相关公式：（1）通项公式：第几项＝首项＋（项数－1）×公差 即：d n a a n ⨯-+=)1(1（2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 即：1)(1+÷-=d a a n n （3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 即：

()21321÷⨯+=+++n a a a a a a n n 在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用

等差数列求和公式求和。例1：求等差数列3，5，7，的第 10 项，第 100 项，并求出前 100 项的和。 【解析】我们观察这个等差数列，可以知道首项 =3，公差d=2，直接代入通项公式，即1a

可求得，. 21293)110(110=⨯+=⨯-+=d a a 2012993)1100(1100=⨯+=⨯-+=d a a 同样的，我们知道了首项3，末项201以及项数100，利用等差数列求和公式即可求和：3+5+7+201=（3+201）1002=10200.

⨯÷解：由已知首项 =3，公差d=2，1a 所以由通项公式，得到d n a a n ⨯-+=)1(121293)110(110=⨯+=⨯-+=d a a 。

2012993)1100(1100=⨯+=⨯-+=d a a 同理，由已知，=3，=201，项数n=100

1a 100a 代入求和公式得3+5+7+201=（3+201）1002=10200.

⨯÷练习2：1、求出你已经写出的等差数列的各项和。2、有一个数列，4、10、16、22……52，这个数列有多少项？

3、一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10。它的末项是多少？

4、求等差数列1、4、7、10……，这个等差数列的第30项是多少？

2、有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？

例4：4个连续整数的和是94，求这4个数。解：由于4个数是连续的整数，那么这4个数就是公差d=1的等差数列，不妨设第一个数为

，那么第二个数就是+1，

1a 1a 同理：第3个数，第4个数分别是+2，+3

1a 1a 那么由已知，这四个整数的和是94，所以

+（+1）+（+2）+（+3）=94

1a 1a 1a 1a 因此=22，所以这4个连续分别是22、23、24、25.1a 练习：1、 3连续整数的和是20，求这3个数。2、 5个连续整数的和是180，求这5个数。3、 6个连续偶数中，第一个数和最后一个数的和是78，求这6个连续偶数各是多少？例5：丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会

了16个。丽丽在这些天中共学会了多少个单词？

解：因为丽丽从第二天开始，每天都比前一天多学会1个单词，

a

因此丽丽每天学会的单词个数是一个等差数列，并且这个等差数列的首项=6, 公差d

1

a

=1，末项=16，若想求和，必须先算出项数n，

n

根据公式项数＝（末项－首项）÷公差＋1 ，

n=（16-6）÷1+1=11

那么丽丽在这些天中共学会的单词个数为：

6+7+8+……+16 = （6+16）11÷2=121

练习：有一家电影院，共有30排座位，后一排都比前一排多两个位置，已知第一排有28个座位，那么这家电影院共可以容纳多少名观众？

2、一个家具厂生产书桌，从第二个月起，每个月增加10件，一年共生产了1920件，那么这一年的12月份共生产了多少书桌？

巩固练习：

1、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75＝（）

2、2＋6＋10＋14＋……＋122＋126＝（）

3、已知数列2、5、8、11、14……，47应该是其中的第几项？

4、有一个数列：6、10、14、18、22……，这个数列前100项的和是多少？

5、在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项？第50项是多少？

6、1＋2＋3＋4＋……＋2007＋2008＝（）

7、（2＋4＋6＋……＋2000）－（1＋3＋5＋……＋1999）＝

8、1＋2－3＋4＋5－6＋7＋8－9＋……＋58＋59－60＝

9、有从小到大排列的一列数，共有100项，末项为2003，公差为3，求这个数列的和。

10、求1——99个连续自然数的所有数字的和。