函数的最值与应用

s( t )
0.5公里
追击至射击的时间(分 ). 敌我相距函数 s( t )
A
s( t ) (0.5 t )2 (4 2t )2
B

4公里
( 2) 求s s( t )的最小值点. 5t 7.5 . 令s( t ) 0, s ( t ) 2 2 (0.5 t ) (4 2t )
( 0 x0 8 )
1 2 令 S ( 3 x0 64 x0 16 16) 0, 4 16 解得 x0 , x0 16 (舍去). 3
16 s( ) 8 0. 3
16 4096 s( ) 为极大值. 3 27
16 4096 故 s( ) 为所有三角形中面积的 最大者. 3 27
第五节
函数的最大（小）值 及其应用
一、函数在闭区间上的最值
二、实际问题中的最值 三、小结 思考题
一、函数在闭区间上的最值
若函数 f ( x ) 在 [a , b] 上连续，除个别点外处处可导， 并且至多有有限个导数为零的点，则 f ( x ) 在 [a , b] 上的最大值与最小值存在 .
y y y
3 2
比较得 最大值 f (4) 142， 最小值 f (1) 7.
二、实际问题中的最值
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击，
速度为2千米/分钟．
问我军摩托车何
时射击最好（相
距最近射击最好）？
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解 (1)建立敌我相距函数关系 设 t 为我军从B处发起
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解
如图,
y
T
B
设所求切点为P ( x0 , y0 ),
则切线PT为
P
o
A
y y0 2 x0 ( x x0 ),
2
C
x
2 2 y0 x 0 , A( 1 x0 , 0), C (8, 0), B(8, 16 x0 x0 )
SABC
1 1 2 (8 x0 )(16 x0 x0 ) 2 2
y f ( x) x
x [0,1]
在 x 0 有最小值，但 f (0) 1 0
练习题
一、填空题： 1、最值可_____________处取得. 2、函数 y 2 x 3 3 x 2 ( 1 x 4 )的最大值为____ _____；最小值为__________. 3 、 函数 y 100 x 2 在[0,8]上的最大值为______ ______；最小值为___________. f 4 、 设有重量为 5kg 的物体，置于水平面上，受力 f 与 =0.25，问力 的作用而开始移动，摩擦系数 f 的大小为 为_____时，才可使力 水平线的交角 最小，则此问题的目标函数为______________ ， 讨论区间为_____________.
上的最大值与最小值 .
解 f ( x ) 6( x 2)( x 1)
解方程 f ( x ) 0, 得
x1 2, x2 1.
f ( 2) 34; f (4) 142;
计算 f ( 3) 23;
f (1) 7;
y 2 x 3 x 12 x 14
o a
bx
o a
Biblioteka Baidub x
o
a
b x
步骤:
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
例1 求函数 y 2 x 3 3 x 2 12 x 14 的在[3,4]
五、由 y x 2 , y 0 , x a (a 0 )围成一曲边三角形 OAB ，在曲线弧 OB 上求一点，使得过此点所作曲 OB 围成的三角形面积最大. 线 y x 2 的切线与OA ，
练习题答案
一、1、区间端点及极值点； 2、最大值 y ( 4) 80 , 最小值y ( 1) 5 ； p , [ 0, ) ； 3、10,6； 4、arctan , f cos sin 2 8 R3 2 4 6 4 , ( 0, 2 ) . 5、 , V 2 3 24 二、 x 3 时函数有最小值 27. 三、14. v v 3 3 , h2 ; d : h 1 : 1. 四、 r 2 2 2 4 2 五、( a , a ) . 3 9
得唯一驻点 t 1.5. 故得我军从B处发起追击后1.5 分钟射击最好 .
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数;
(2)求最值;
若目标函数只有唯一驻 点，则该点的函数 值即为所求的最（或最 小）值．
2 例3 由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x 围
成一个曲边三角形，在 曲边 y x 2 上求一点， 使曲线在该点 处的切线与直 线 y0及 x8 所围成的三角 形面积最大．
三、小结
注意最值与极值的区别.
最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.
思考题
若 f ( a ) 是 f ( x ) 在[a , b ] 上的最大值或最 小值，且 f ( a ) 存在，是否一定有 f ( a ) 0 ？
思考题解答
结论不成立. 例 因为最值点不一定是内点.
R 的圆缺片上挖去一个扇形做成一个 5 、从一块半径为 漏斗，问留下的扇形的中心角为_________ 时，做 成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为 ________________考察区间为_______________. 54 2 二、求函数 y x (x 0 )的最值 . x 10 n 三、求数列 n 的最大项 . 2 r 和高 四、要造一圆柱形油灌，体积为V ，问底半径 h 等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与 高的比是多少？