初高中衔接之一---不等式的解法
初高中衔接一元二次不等式的解法
§ 一元二次不等式的解法（学案）知识梳理1、一次函数y=ax+b （a ≠0） 图像是一条直线.和x 轴的交点是0x ，ab x -=0. 一次方程ax+b=0的解是abx -=0①a>o 时，图像如图1，当0x x >时，函数值0>y ；当0x x <时，函数值0<y .一次不等式ax+b ＞0，（a ＞0）的解是： ；ax+b ＜0，（a ＞0）的解是： ；②a<o 时，图像如图2，当0x x >时，函数值0<y ；当0x x <时，函数值0>y .一次不等式ax+b ＞0，（a ＜0）的解是： ；ax+b ＜0，（a ＜0）的解是： ；2、形如)0(,2≠++=a c bx ax y 的函数叫二次函数；形如)0(,02≠=++a c bx ax 的方程叫一元二次方程；形如)0(),000(02≠≤<≥>++a c bx ax 或或或的不等式，叫作一元二次不等式.3、二次函数)0(,2≠++=a c bx ax y 当a ＞0时，图像是：图 5Oy①判别式042>-=ac b δ，函数图像和x 轴相交（如图3），有两个交点，设交点是)0,(),0,(21x x ，()21x x < , 由图像可知，当自变量1x x <或2x x >时，函数值 大于零；当21x x x <<时，函数值 零；当21x x x 或=时，函数值 零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数解是： ;对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解是：)0(,02><++a c bx ax 的解是： )0(,02>≤++a c bx ax 的解是： ②判别式042=-=ac b δ，函数图像和x 轴相切（如图4），有一个切点，设切点是),0,(0x ，由图像可知，当自变量0x x R x ≠∈且时，函数值 零；当0x x =时，函数值 零;对于任意实数x ，函数值都不会 零. 对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有两个相等的实数解是： ; 对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解是：)0(,02><++a c bx ax 的解是：)0(,02>≤++a c bx ax 的解是：③判别式042<-=ac b δ，函数图像在x 轴上方（如图5），由图像可知，当自变量R x ∈时，函数值均 零；即对于任意实数x ，函数值都不可能 零.对于一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 无实数解;对于一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解是：)0(,02>≥++a c bx ax 的解是：)0(,02>≤++a c bx ax 的解是：4、解一元二次不等式的步骤：先判断二次项系数的正负；再看判别式；最后比较根的大小．解集要么为两根之外，要么为两根之内．具体地：①设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为：1x x <或2x x >（两根之外）②设不等式)0(02>>++a c bx ax ，对应方程02=++c bx ax 有两个不等实根1x 和2x ，且21x x <，则不等式的解为： 21x x x <<（两根之内） 注意：①若不等式)0(02<>++或c bx ax 中，a 0<,可在不等式两边乘1-转化为二次项系数为正的情况，然后再按上述①②进行 ②解一元二次不等式要结合二次函数的图象，突出配方法和因式分解法． 典例分析例1、解下列不等式1、3x 2+5x-2>02、9x 2-6x+1>03、x 2-4x+5>04、-x 2+x+1<05、-x 2+4x-4>0 6、3x 2+6≤19x例2、 解不等式23⎪⎭⎫⎝⎛+-352x ≥21(x 2-9)-3x.例3、已知x 2+px+q ＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，求不等式qx 2+px+1＞0的解.当堂检测：1.（1）2x 2-3x-2>0; （2）x 2-3x+5<0 ;（3）- 3x 2+6x>2; （4）-6 x 2+3x-2≤0.（5）()()021≤-+x x2.不等式()()123++≥-x x x x 的解是3.不等式0262≥-+x x 的解是4.二次方程02=++c bx ax 的两根为2-，3，0<a ，那么02>++c bx ax的解为 5.不等式022>++bx ax 的解为3121<<-x ，则=+b a ，不等式022<++bx ax 的解为 .拓展1.若关于x 的不等式()∞∞->--,02的解为a ax x ，则实数a 的取值范围是 .拓展2.在R 上定义运算(),1:y x y x -=⊗⊗若不等式()()1<+⊗-a x a x 对任意实数x 均成立，则 a 的取值范围为。
不等式的解法
不等式的解法不等式，即数学中用来表示大小关系的符号，它与等式不同的地方在于，不等式可以有无数个解，而不像等式只有一个解。
解不等式的方法有很多种，接下来将介绍几种常见的解不等式的方法。
一、一元一次不等式一元一次不等式是最基本的不等式，它的形式通常为ax+b>0或ax+b<0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次不等式的方法有两种：图解法和代数法。
1. 图解法图解法是通过在数轴上画出所给不等式的解集来解不等式。
首先，我们将不等式中的x系数作为直线的斜率，常数项作为直线的截距，画出不等式对应的直线。
然后，根据不等式符号的方向，涂色标记出不等式的解集。
例如，对于不等式3x+2>0，我们可以画出直线y=3x+2，并根据大于号的方向，将直线上大于0的部分涂色。
2. 代数法代数法是通过代数运算解不等式。
首先，根据不等式符号的方向，确定不等式的类型是大于、小于还是等于。
然后，根据不等式中的系数和常数项，进行加法、减法、乘法和除法运算，将未知数x的系数和常数项移到不等式的一侧，使得不等式变为0的形式。
最后，通过考察几个关键点的取值情况，确定不等式的解集。
二、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程的不等式形式，它的形式通常为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元二次不等式的方法有两种：图解法和代数法。
1. 图解法图解法是通过在坐标平面上画出所给不等式的解集来解不等式。
首先，我们将不等式转化为对应的一元二次方程，找到方程的判别式，判断方程的根的情况。
根据根的位置，将坐标平面分为几个区域，并确定每个区域对应的不等式的正负。
然后，将不等式对应的曲线画在坐标平面上，并根据不等式符号的方向，将曲线上符合条件的部分涂色。
2. 代数法代数法是通过代数运算解一元二次不等式。
首先，根据不等式符号的方向，确定不等式的类型是大于、小于还是等于。
然后，根据不等式中的系数和常数项，进行移项、配方、因式分解等运算，将不等式变为一元二次方程的零点形式。
必修一初高中衔接内容：不等式的解法(1)
不等式的解法(1)一、课标要求理解二次不等式与二次方程、二次函数的内在联系，并熟练掌握二次不等式的解法. 二、知识要点一元二次不等式20ax bx c ++>（或0<）与对应二次函数、二次方程之间的关系c bx ax y ++=2有相异两个零点12,x xc bx ax y ++=2有两个相等零点12x x =c bx ax y ++=2没有零点解一元二次不等式时，一般可先将二次项系数化为正，再研究对应一元二次方程的解的状态，进而根据图象写出其解集.特别地，当对应方程有两个相异实根时，不等式的解集区间的端点就是对应方程的根，这是数形结合的结果，要注意这一思想方法应用非常广泛，需仔细体会.三、典型例题例1.求下列不等式的解集（1）x x x 3)2(≤-；（2）22320x x -++>；（3）220x x -+> 【解析】（1）不等式可化为220x x +-≥，方程有两个实数根122,1x x =-=，而22y x x =+-的图象是开口向上的抛物线， 所以，原不等式的解集为{}12x x x ≥≤-或.（2）不等式可化为22320x x --<，方程有两个实数根121,22x x =-=， 而2232y x x =--的图象是开口向上的抛物线， 所以，原不等式的解集为122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（3）因为2(1)4270∆=--⨯=-<，所以方程220x x -+=无实数根， 又因为22y x x =-+的图象是开口向上的抛物线，所以，原不等式的解集为R ． 变式1.求下列不等式的解集.（1）2340x x +->；（2）2340x x -+-≥.【解析】（1）方程2340x x +-=两根为4,1-，该不等式解集“两根之外”，即原不等式的解集为{}14x x x ><-或.（2）原不等式可化为2340x x -+≤，因为2(3)4470∆=--⨯=-<，所以方程2340x x -+=无实数根，又因为22y x x =-+的图象是开口向上的抛物线，所以，原不等式的解集为Φ．例2.（1）解不等式组：x x x x 223401271502--≥--<⎧⎨⎪⎩⎪()()；（2）解不等式（）x x x ---≥22302. 【解析】(1)由解（1）得x x ≤-≥14或,解（2）得-<<325x∴-<≤-≤<原不等式组的解集为或{|}x x x 32145 （2）原不等式可化为x x x 223020-->-≥⎧⎨⎩或x x x R 22302--=-∈⎧⎨⎩解x x x 223020-->-≥⎧⎨⎩得x x <->13或；解x x x R22302--=-∈⎧⎨⎩得x x =-=13或. 综上，所求不等式的解集为{}x x x |≤-≥13或.变式2.解不等式组x x x a a R 2222300--≥-≤⎧⎨⎪⎩⎪∈+().【解析】由题意：x x a x a≥≤--<<⎧⎨⎩31或，故：当01a <≤时，不等式的解集为x ∈Φ；当13a <≤时，不等式的解集为{|1}x a x -<≤-； 当3a >时，不等式的解集为{|13}x a x x a -<≤-≤<或.例3.已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}2,1x x x ><-或，求不等式20cx bx a ++>的解集.【解】由题意可得0a >，且1,2-为方程20ax bx c ++=的两个根． 由根与系数的关系（韦达定理）可得，12(1)2b aca ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解之2b a c a =-⎧⎨=-⎩（*） 将（*）代入所求不等式20cx bx a ++<，得220ax ax a --+>， 又因为0a >，所以化简为2210x x +-<，解得112x -<<. 因此不等式20cx bx a ++<的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 变式3.已知函数2()f x ax bx c =++，当(1,2)x ∈-时()0f x >，当(,1)(2,)x ∈-∞-+∞ 时()0f x <，求不等式20cx bx a ++>的解集.【解析】据题意知0a <，121,2x x =-=是方程20ax bx c ++=的两根.由韦达定理知：122012b b a acc a a ⎧-+=-⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=->⎩⎪-⋅=⎪⎩故不等式20cx bx a ++>为：220ax ax a --+>.由0a <得：2210x x +->，解得112x x <->或.∴不等式20cx bx a ++>的解集为1{|1}2x x x <->或.四、备选例题例1.设函数，则不等式的解集是（）A. B. C. D. 【解析】∵10>，∴(1)1463f =-+=，根据分段函数的意义，不等式()(1)f x f >等价于2463x x x ≥⎧⎨-+>⎩ ①或063x x <⎧⎨+>⎩ ②.其中：①20001313430x x x x x x x x ≥≥⎧⎧⇔⇔⇔≤<>⎨⎨<>-+>⎩⎩或或， ②0303x x x <⎧⇔-<<⎨>-⎩，综上知313x x -<<>或，选A.例2.二次函数f (x )2(2)a x k =-+(0)a >定义域为]3,1[-，若f (1－2x 2)＜f (1+2x －x 2)，则x 的取值范围是（）（A ）.x ＞2 （B ）x ＜－2或0＜x ＜2 （C ）－2＜x ＜0 （D ）01<≤-x 【解析】由题意： f (x )的图象开口向上，对称轴为2=x ，所以)(x f 在[1,2]-上单调递减，注意2)1(221,2121222≤--=-+=<≤-=x x x s x t ，故：f (1－2x 2)＜f (1+2x －x 2)012121321132112222<≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+>-≤-+≤-≤-≤-⇔x x x x x x x ，故选D.五、小结与反思六、练习1．不等式28210x x -++≥的解集是（ ） A.11[,]42-B.11[,]24-C.11[,]42D.11[,]24-- 【答案】A2．在下列不等式中，解集是∅的是（）.A ．0442<+-x xB ．22320x x -+->C ．22320x x -+>D ．2210x x ++≤ 【答案】A3．若关于x 的不等式20x x c +->的解集是全体实数，那么（）.A ．14c <-B ．14c ≤-C ．14c >-D ．14c ≥-⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f )1()(f x f >),3()1,3(+∞⋃-),2()1,3(+∞⋃-),3()1,1(+∞⋃-)3,1()3,(⋃--∞【答案】A4．若二次函数f (x )= ax 2 + bx + c （a ≠0）的部分对应值如下表所示： 则不等式f (x )＜0的解集为（）． A ．（－2，3） B ．（－∞，－2）∪（3，+∞） C ．（－2，1） D ．（1，3）【解析】由函数值表易知，两根分别是x 1 =－2和x 2 = 3，而两根之间的函数值比0小，故选A ．5．1212()()()(0,)f x a x x x x a x x =--<<，若()1f m >，则m 与12,x x 的大小关系（）． A ．1m x < B ．2m x > C ．12x m x << D ．无法确定 【解析】选C. 6．不等式(1)(2)03x x x --≥-的解集为（）． A.(,1][2,3]-∞ B.[1,2][3,+)∞ C.(,1][2,3)-∞ D.[1,2](3,+)∞ 【解析】选D.7.若关于x 的不等式(1)2)0mx x -->（的解集为1{|2}x x m<<，则m 的取值范围是 . 【解析】由不等式的解集形式知12m<且0m <，故m ＜0. 8.不等式：0242<--<x x 的解集为.【解析】22220120242324x x x x x x x x x ⎧--><->⎧⎪<--<⇔⇔⎨⎨-<<--<⎪⎩⎩或，故原不等式的解集为：{}x x x -<<-<<2123或 9.给出下列命题：不等式302x x-≥-与(3)(2)0x x --≥同解；②不等式x a a a 2<-的解集为(,)；③不等式33122x x x +>+--的解集为{}|1x x >；④不等式(2)x x x ->的解集是{|2}x x >；⑤不等式22(2)x x x -≥的解集是{|2}x x ≥；⑥不等式22(2)x x x ->的解集是{|2}x x >.其中正确命题的序号是.【解析】①中两个不等式不同解，原因在于2x =符合(3)(2)0x x --≥但不符合302x x-≥-；②中当0a ≤时x ∈Φ，故不成立；对于③，在解x x x +->+-32132时要注意等价转化，考虑函数的定义域，将解不等式问题转化为解不等式组解决：x x x x >-≠⎧⎨⎩⇔>≠12012,且；④忽略了x 的符号；⑤中忽略了0x =；⑥显然正确. 10．求下列不等式的解集（1）2340x x -->；（2）4 ； （3） 【解析】（1）方程的2340(1)(4)0x x x x --=⇔+-=，两根为1,4-， 故2340x x --=的解集为{|1x x <-或4}x >.（2）42(21)0x ⇔->，故其解集为1{|}2x x R x ∈≠且. （3）原不等式为：2230x x -+<，4120∆=-<，故其解集为空集Φ.11.已知函数2()1f x ax bx =++，方程()0f x =的两根个分别为11,3-. (1)求()f x 的解析式;(2)求不等式(()4)0x f x +>的解集. 【解析】(1)由题意，210ax bx ++=的两个根分别为11,3-， 由韦达定理得：11311(1)3b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解之32a b =-⎧⎨=-⎩，∴2()321f x x x =--+.(2)由（1）知，0)53)(1(0523052304)(22<+-⇔<-+⇔>+--⇔>+x x x x x x x f ，解得513x -<<，考虑到0x >，有01x <<；()40f x +<⇔513x x <->或，结合0x <，有53x <-，综上，不等式(()4)0x f x +>的解集为5{|01}3x x x <-<<或.12．已知二次函数f （x ）的二次项系数为a ，且不等式f （x ）＞－2x 的解集为（1，3）． （1）若方程f （x ）+6a =0有两个相等的根，求f （x ）的解析式； （2）若f （x ）的最大值为正数，求a 的取值范围． 【解析】（1）因为不等式f （x ）+2x ＞0的解集为（1，3），知a ＜0，设f （x ）+2x =a （x －1）（x －3）， 则f （x ）=a （x －1）（x －3）－2x =ax 2－（2+4a ）x +3a ．① 由方程f （x ）+6a =0得ax 2－（2+4a ）x +9a =0．②因为方程②有两个相等的根，所以△=[－（2+4a ）]2－4a ×9a =0，即5a 2－4a －1=0，解得a =1或51-=a ． 由于a ＜0，取51-=a ，即51-=a . 代入①得f （x ）的解析式为535651)(2---=x x x f ．（2）由f （x ）=ax 2－2（1+2a ）x +3a0142>+-x x 0322>-+-x x 0142>+-x x=aa a a a x a 14)21(22++-+-及a ＜0， 可得f （x ）的最大值为aa a 142++-．由⎪⎩⎪⎨⎧<>++-0,0142a a a a 解得32--<a 或032<<+-a ．故当f （x ）的最大值为正数时，实数a 的取值范围是)0,32()32,(+-⋃---∞．。
初升高数学课程内容(衔接班)
【知识要点】一、一元二次不等式：1、解法步骤：（1）分解成一次因式的积，并使每一个因式中一次项的系数为正；（2）根据不等号取解集：大于号取两边，小于号取中间。
一元高次不等式的解法：穿根法（穿针引线）：将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线（奇数个根穿过，偶数个根穿不过），再根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
2、一元二次不等式恒成立情况小结：20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔00a >⎧⎨∆<⎩．20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔0a <⎧⎨∆<⎩．二、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后转化成整式不等式求解集。
1.()0()f x g x >⇔()()0f x g x ⋅>；()0()f xg x <⇔()()0f xg x ⋅<2.()0()f x g x ≥⇔()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩；()0()f x g x ≤⇔()()0()0f xg x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩三、含绝对值的不等式的解法（大于取两边，小于取中间）：|()|f x a <，（0a >）⇔()a f x a -<<|()|f x a >，（0a >）⇔()()f x a f x a<->或【知识讲练】1、解下列不等式：(1)27120x x -+>(2)2230x x --+≥（3）2(1)(3)(2)0x x x --+≥解不等式（4）307x x -≤+（5）2317x x -<+（6）25023xx x -<--（7）|2x －1|≤3（8）223->-x x （9）|1|12+>-x x 2、已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式20cx bx a ++>的解集．3、对于任意实数x ，不等式23208kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是【巩固练习】1、不等式02<+-b x ax 的解集为{}12x x <<，则a b +=2、不等式32-+x x x ）（＜0的解集为3、不等式221x x +>+的解集是（）A.{}101|><<-x x x 或 B.{}101-|<<<x x x 或C.{}1001|<<<<-x x x 或 D.{}11-|><x x x 或（－∞，－1）∪（1，+∞）4、已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为（）A、11{|}32x x -<<B、11{|}32x x x <->或C、{|32}x x -<<D、{|32}x x x <->或5、（1）若函数34)(2++=kx kx x f 的定义域是R,则k 的取值范围是（2）已知函数1)(2--=mx mx x f ，对一切实数0)(,<x f x 恒成立，则m 的范围为【知识要点】1、集合定义：某些指定的对象集在一起成为集合。
不等式的性质和解法
不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。
2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。
（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。
（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。
二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。
（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。
（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。
（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。
（5）化简：将不等式化简到最简形式。
2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。
（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。
3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。
（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。
三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。
2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。
3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。
高一衔接教材一元二次不等式解法含绝对值的不等式
初高中衔接教材1、一元二次不等式解法二次函数y ＝x 2－x －6的对应值表与图象如下：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知 一元二次方程x 2－x －6＝0的解就是:同样，结合抛物线与x 轴的相关位置，可以得到 一元二次不等式x 2－x －6＞0的解是一元二次不等式x 2－x －6＜0的解是上例表明：由抛物线与x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．那么，怎样解一元二次不等式a x 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)呢？ 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象来解一元二次不等式ax2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)． 为了方便起见，我们先来研究二次项系数a ＞0时的一元二次不等式的解．我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＞0)，设△＝b 2－4ac ，它的解的情形按照△＞0，△=0，△＜0分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0（a ＞0）与ax 2＋bx ＋c ＜0（a ＞0）的解． （1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有两个公共点(x 1，0)和(x 2，0)，xyO x 1 x 2xyO x 1= x 2yxO图2.3－2②③①方程ax2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根x1和x 2(x 1＜x 2)，由图2.3－2①可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为:不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为:（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a，由图2.3－2②可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为: 不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为： （3）如果△＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴没有公共点，方程ax2＋bx ＋c ＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为： 不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为： 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式． 例1、 解不等式：（1）x 2＋2x －3≤0； （2）x －x 2＋6＜0；（3）4x 2＋4x ＋1≥0； （4）x 2－6x ＋9≤0；（5）－4＋x －x 2＜0．例2、 已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是求不2,3x x <>或等式20bx ax c ++>的解．例3、 解关于的一x 元二次不等式210(x ax a ++>为实数). 分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲求一元二次不等式的解,要讨论根的判别式的符∆号,而这里的是∆关于未知系数的代数式, ∆的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对的符号进∆行分类讨论.例6 已知函数y＝x2－2ax＋1(a为常数)在－2≤x≤1上的最小值为n，试将n用a表示出来．分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对对称轴的位置进行分类讨论．练习1．解下列不等式：（1）3x2－x－4＞0；（2）x2－x－12≤0；（3）x2＋3x－4＞0；（4）16－8x＋x2≤0．2.解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0（a为常数）．习题2A 组1．解下列不等式：（1）3x2－2x＋1＜0；（2）3x2－4＜0；（3）2x－x2≥－1；（4）4－x2≤0．B 组 1.解关于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）．C 组1．已知关于x不等式2x2＋bx－c＞0的解为x＜－1，或x＞3．试解关于x的不等式bx2＋cx＋4≥0．2．试求关于x 的函数y ＝－x 2＋mx ＋2在0≤x ≤2上的最大值k ．答案练 习2．（1）无解 （2）232333x -<<（3）1－2≤x ≤1＋ 2 （4）x ≤－2，或x ≥2B 组1．不等式可变形为(x －1)(x －a )＜0． ∴当a ＞1时，原不等式的解为1＜x ＜a ； 当a ＝1时，原不等式的无实数解； 当a ＜1时，原不等式的解为a ＜x ＜1．C 组1．由题意，得 －1和3是方程2x 2＋bx －c ＝0的两根，∴－1＋3＝－b 2 ，－1×3＝－c2， 即b ＝－4，c ＝6．∴等式bx2＋cx ＋4≥0就为－4 x 2＋6x ＋4≥0，即2 x 2－3x －2≤0，∴－12≤x ≤2．2．∵y ＝－x 2＋mx ＋2＝－(x －m 2 )2＋2＋ m 24，∴当0≤m 2 ≤2，即0≤m ≤4时，k ＝2＋ m 24 ；当m2 ＜0，即m ＜0时，k ＝2；当m2＞2，即m ＞4时，k ＝2m －2．∴22,0,2,04,422,4.m mk m m m <⎧⎪⎪=+≤≤⎨⎪->⎪⎩2、含绝对值的不等式一【要点回顾】 1．绝对值[1]绝对值的代数意义： ．即||a = ．[2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：a b -表示 的距离．二、讲解新课：1．)0(><a a x 与型的不等)0(>>a a x 式的解法先看含绝对值的方程|x|=2几何意义：数轴上表示数x 的点离开原点的距离等于2.∴x=±2提问：2<x 与的几何意2>x 义是什么？表示在数轴上应该是怎样的？ 数轴上表示数x 的点离开原点的距离小（大）于2xO 2-2xO 2-2即 不等式 2<x 的解集是： 不等式 2>x 的解集是.：类似地，不等式)0(><a a x |与的几何意)0(>>a a x 义是什么？解集又是什么？ 即 不等式的解)0(><a a x 集是： 不等式的解)0(>>a a x 集是：小结：①解法：利用绝对值几何意义 ②数形结合思想 2．c b ax <+,与型的不等)0(>>+c c b ax 式的解法把 b ax + 看作一个整体时，可化为与型)0(><a a x )0(>>a a x 的不等式来求解即 不等式的解)0(><+c c b ax 集为 ： 不等式的解)0(>>+c c b ax 集为 ： 三、讲解范例：例1、解不等式5500≤-x . 例2、解不等式752>+x .课内练习1．解不等式组⎩⎨⎧<->111x x 2．求使有意义4123-+-x x 的取值范围（ ）3．若则化简的313<-x 41291624922++++-x x x x 结果为例3解不等式 1≤ | 2x-1 | < 5. 练习：解下列不等式:7522≤-<x例2 解不等式：|4x-3|>2x+1.例3 解不等式：|x-3|-|x+1|<1. 练习：解不等式：| x+2 | + | x | >4.例4.解关于的不x 等式①)(R a a x ∈<,②)(R a a x ∈>例5.解关于的不x 等式)(132R a a x ∈<-+.练习： 1.解下列不等式:(1)7522≤-<x (2)1122+<-x x2．已知不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|，求c a 2+的值.3、 解下列不等式：（1）21x -< （2）13x x -+-＞4．(3)327x x ++-<。
初升高数学衔接教程第6讲复习篇：不等式的解法(一)(适合优生)
不等式的解法（一）知识点：不等式组【例题】解下列不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥->≤0214x x x ⎪⎩⎪⎨⎧≥->≥-02104x x x⎪⎩⎪⎨⎧≥->≤-0214x x x()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->--≤-+≤-132********x x x x x【针对训练】解下列不等式组 ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--->+≤--2321223141223x x x x x xx x x x 215221131-≤-≤+≤-()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<--≥->-12434312543x x x x x x ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+≤+≥+x x x x x x 3212542321()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++-≥+--<--13213213238131x x x xx知识点：绝对值不等式【例题】解下列不等式362>-x521>++-x x323≤-x 1023≥++-x x521≤+++x x 621>---x x323≥---x x10123≥---+-x x x知识点:分类讨论【例题】解下列不等式123+<-x kx⎩⎨⎧<+>-12k x k x21212+<-kx x ⎪⎩⎪⎨⎧<->+13222k x k x3423-≥-x x kx ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->-≥-2132032212x k x k知识点：含参不等式组【例题】已知关于x , y 的方程组⎩⎨⎧-=++=+my x m y x 323323的解都为正数，则m 的取值范围是 。
【针对训练】已知关于x , y 的方程组⎩⎨⎧=---=+a y x a y x 10372的解x 为非正数，y 为负数，则a 的取值范围是 。
【例题】若不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧+<-+≤+a x a x x a x 22352有解，且每一个解都不在41≤≤-x 的范围内，则a 的取值范围是 。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，描述了数值之间的大小关系。
它是由不等号（例如>, <, ≥, ≤, ≠）连接的两个数或表达式组成的。
解不等式就是找出满足该不等式的所有数值。
在解不等式的过程中，需要考虑不等式中的未知数、常数以及可能存在的绝对值、平方根等特殊情况。
以下是几种常见的不等式解法方法：一、加减法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到加减法运算，则可以通过移项的方式解不等式。
具体步骤如下：1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，确保未知数的系数为正数；2. 合并同类项；3. 如果未知数系数为负数，将不等号反转；4. 如果不等式两侧都含有未知数，则根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。
举例说明：解不等式2x + 5 < 7 - x。
1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，得到2x + x < 7 - 5；2. 合并同类项，得到3x < 2；3. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；4. 进行筛选，得到x < 2/3；5. 最后化简，得到解集{x | x < 2/3}。
二、乘除法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到乘除法运算，则可以通过乘除法的逆运算解不等式。
具体步骤如下：1. 将不等式中的未知数项移动一侧，将常数项移动到另一侧；2. 如果是乘法，则将未知数系数为正数；3. 如果是除法，则需考虑被除数符号与除数符号的关系；4. 根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。
举例说明：解不等式3x - 4 > 2x + 1。
1. 将未知数项移动到一侧，将常数项移动到另一侧，得到3x - 2x > 1 + 4；2. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；3. 进行筛选，得到x > 5；4. 最后化简，得到解集{x | x > 5}。
三、绝对值不等式的解法对于含有绝对值的不等式，需要分情况进行讨论。
不等式的解法(共28张PPT)
5 10 a= , b= . 3 3
高考：(天津08)已知函数f(x)= 解集是(
A
)
x+2, x≤0 ，则不等式f(x)≥x2的 -x+2, xБайду номын сангаас0
∴ B ={x |1-a<x<1+a, a>0 }
∵ A∪B=B ∴ A B
∴ 1-a<1 且 1+a>2，故a的取值范围是：(1, +∞)
不等式的解法
五、无理不等式解法 2x 1 练习10. 解不等式： (1) | 3x 2 3 | 1; ( 2) 1. x1 分析：(1)原不等式等价于： (I) 3x 2 3 1 或 (II) 3x 2 3 1 3x-2≥0 解(I) ： 3x 2 4 即 解得 x>6 3x-2>16 2 3x-2≥0 解得 ≤x<2 解(II) ： 3x 2 2 即 3x-2<4 3 (2)原不等式化为： (I) x-1>0
2 ) 5
不等式的解法
二、含绝对值的不等式 高考. 1、(北京07)已知集合A={x||x-a|≤1}，B={x|x2-5x+4≥0}． 若A∩B=φ，则实数a的取值范围是 (2，3) . (0, 2)
2
2、(浙江07) 不等式 |2x-1|-x<1的解集是 { x | 0<x<2 } . 3、(上海08) 不等式|x-1|<1的解集是
初高衔接第四讲 不等式的解法(必上)
第四讲 不 等 式初中阶段已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法．高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识．本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识．一、一元二次不等式及其解法1．形如20(0) (0)ax bx c a ++><≠或其中的不等式称为关于x 的一元二次不等式．【例1】解不等式260x x +->．分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则 --- 正正(负负)得正、正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组．解：原不等式可以化为：(3)(2)0x x +->，于是：3020x x +<⎧⎨-<⎩或3020x x +>⎧⎨->⎩333222x x x x x x <->-⎧⎧⇒⇒<->⎨⎨<>⎩⎩或或所以，原不等式的解是32x x <->或．说明：当把一元二次不等式化为20(0)ax bx c ++><或的形式后，只要左边可以分解为两个一次因式，即可运用本题的解法．【例2】解下列不等式：(1) (2)(3)6x x +-<(2) (1)(2)(2)(21)x x x x -+≥-+分析：要先将不等式化为20(0)ax bx c ++><或的形式，通常使二次项系数为正数． 解：(1) 原不等式可化为：2120x x --<，即(3)(4)0x x +-< 于是：3030344040x x x x x +>+<⎧⎧⇒-<<⎨⎨-<->⎩⎩或所以原不等式的解是34x -<<．(2) 原不等式可化为：240x x -+≤，即240(4)0x x x x -≥⇒-≥于是：00044040x x x x x x ≤≥⎧⎧⇒≤≥⎨⎨-≤-≥⎩⎩或或所以原不等式的解是04x x ≤≥或．2．一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或与二次函数2(0)y ax bx c a =++≠及一元二次方程20ax bx c ++=的关系(简称：三个二次)．以二次函数26y x x =+-为例： (1) 作出图象；(2) 根据图象容易看到，图象与x 轴的交点是(3,0),(2,0)-，即当32x =-或时，0y =．就是说对应的一元二次方程260x x +-=的两实根是32x =-或．(3) 当32x x <->或时，0y >，对应图像位于x 轴的上方．就是说260x x +->的解是32x x <->或．当32x -<<时，0y <，对应图像位于x 轴的下方．就是说260x x +-<的解是32x -<<．一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数； (2) 观测相应的二次函数图象．①如果图象与x 轴有两个交点12(,0),(,0)x x ，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根12,x x (也可由根的判别式0∆>来判断) ．那么(图1)： 2120 (0) ax bx c a x x x x ++>>⇔<>或2120 (0) ax bx c a x x x ++<>⇔<<②如果图象与x 轴只有一个交点(,0)2ba-，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根22x bx x a==-(也可由根的判别式0∆=来判断) ． 那么(图2)： 20 (0) 2b ax bx c a x a++>>⇔≠-20 (0) ax bx c a ++<>⇔无解③如果图象与x 轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式0∆<来判断) ．那么(图3)： 20 (0) ax bx c a x ++>>⇔取一切实数20 (0) ax bx c a ++<>⇔无解如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处理： (1) 化二次项系数为正；(2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根12,x x ．那么“0>”型的解为12x x x x <>或(俗称两根之外)；“0<”型的解为12x x x <<(俗称两根之间)；(3) 否则，对二次三项式进行配方，变成2224()24b ac b ax bx c a x a a-++=++，结合完全平方式为非负数的性质求解．【例3】解下列不等式：(1) 2280x x --<(2) 2440x x -+≤(3) 220x x -+<解：(1) 不等式可化为(2)(4)0x x +-< ∴ 不等式的解是24x -<<(2) 不等式可化为2(2)0x -≤ ∴ 不等式的解是2x =(3) 不等式可化为217()024x -+<． 【例4】已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围． 解：显然0k =不合题意，于是：222000111(2)4010k k k k k k k k >>>⎧⎧⎧⇒⇒⇒>⎨⎨⎨<->--<->⎩⎩⎩或 【例5】已知关于x 的不等式22(1)30kx k x -+-<的解为13k -<<，求k 的值． 分析：对应的一元二次方程的根是1-和3，且对应的二次函数的图象开口向上．根据一元二次方程根与系数的关系可以求解．解：由题意得：2011313(1)3k k k k k ⎧>⎪⎪+⎪-+=⇒=⎨⎪⎪-⋅=-⎪⎩说明：本例也可以根据方程有两根1-和3，用代入法得：22(1)(1)(1)30k k --+--=，2233(1)30k k ⋅-+-=，且注意0k >，从而1k =．二、简单分式不等式的解法【例6】解下列不等式：(1)2301x x -<+ (2)2301x x x +≥-+分析：(1) 类似于一元二次不等式的解法，运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理；或者因为两个数(式)相除异号，那么这两个数(式)相乘也异号，可将分式不等式直接转化为整式不等式求解．(2) 注意到经过配方法，分母实际上是一个正数． 解：(1) 解法(一) 原不等式可化为：3323023031221010211x x x x x x x x x ⎧⎧-<-><>⎧⎧⎪⎪⇒⇒-<<⎨⎨⎨⎨+>+<⎩⎩⎪⎪>-<-⎩⎩或或 解法(二)原不等式可化为：3(23)(1)012x x x -+<⇒-<<．(2) ∵ 22131()024x x x -+=-+>原不等式可化为：303x x +≥⇒≥-【例7】解不等式132x ≤+解：原不等式可化为：(35)(2)013535530002202223x x x x x x x x x x ++≥⎧--+-≤⇒≤⇒≥⇒⇒<-≥-⎨+≠+++⎩或说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0． (2) 本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号：2220201532553(2)13(2)12333x x x x x x x x x x x >-<-⎧⎧+>+<⎧⎧⎪⎪≤⇒⇒⇒≥-<-⎨⎨⎨⎨+≥+≤+≥-≤-⎩⎩⎪⎪⎩⎩或或或三、含有字母系数的一元二次不等式一元一次不等式最终可以化为 (0)ax b a >≠的形式．(3) 当0a =时，不等式化为：0x b ⋅>；① 若0b >，则不等式的解是全体实数；② 若0b ≤，则不等式无解． 【例8】求关于x 的不等式222m x mx m +>+的解． 解：原不等式可化为：(2)2m m x m ->- (1) 当202m m ->>即时，1mx >，不等式的解为1x m>； (2) 当202m m -<<即时，1mx <． ① 02m <<时，不等式的解为1x m<； ② 0m <时，不等式的解为1x m>；③ 0m =时，不等式的解为全体实数．(3) 当202m m -==即时，不等式无解．综上所述：当0m <或2m >时，不等式的解为1x m>；当02m <<时，不等式的解为1x m<；当0m =时，不等式的解为全体实数；当2m =时，不等式无解． 练：解不等式（1）22210x ax a ++-≥ （2）210ax x ax +--< 【例9】已知关于x 的不等式22k kx x ->+的解为12x >-，求实数k 的值． 分析：将不等式整理成ax b >的形式，可以考虑只有当0a >时，才有形如bx a>的解，从而令12b a =-． 解：原不等式可化为：2(1)2k x k -->-+．所以依题意：2101332121212k k k k k k --><-⎧⎧⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨-+=-=-⎪⎪⎩--⎩或．A 组1．解下列不等式： (1) 220x x +<(2) 23180x x --≤(3) 231x x x -+≥+(4) (9)3(3)x x x +>-2．解下列不等式：(1)101x x +≥- (2)31221x x +<-(3) 21x>-(4)221021x x x -+>+ 3．解下列不等式：(1) 22222x x x ->+(2)21110235x x -+≥ 4．已知不等式20x ax b -+<的解是23x <<，求,a b 的值． 5．解关于x 的不等式(2)1m x m ->-．6．已知关于x 的不等式22kx k k x -≤+的解是1x ≥，求k 的值．7．已知不等式220x px q ++<的解是21x -<<，求不等式220px qx ++>的解．B 组1．已知关于x 的不等式20mx x m -+<的解是一切实数，求m 的取值范围． 2．若不等式2231x x k k+->+的解是3x >，求k 的值． 3．解关于x 的不等式2256x ax a +<．4．a 取何值时，代数式2(1)2(2)2a a ++--的值不小于0？5．已知不等式20ax bx c ++>的解是x αβ<<，其中0βα>>，求不等式20cx bx a ++<的解．第四讲 不等式答案A 组1．1(1)0 (2)3 6 (3) 1 (4)32x x x x -<<-≤≤=-≠- 2．11(1)1 1 (2) 3 (3)20 (4)22x x x x x x x ≤-><><->>-或或或3．(1) 无解 (2) 全体实数 4．5,6a b ==． 5．(1)当2m >时，12m x m ->-；(2)当2m <时，12mx m -<-；(3) 当2m =时，x 取全体实数． 6．1k =-7．1x ≠B 组1．12m <- 2．5k =3．(1) 0a >时，78a a x -<<；(2) 0a =时，无解；(3) 0a <时，87a a x <<-． 4．51a a ≤-≥或． 5．11x x αβ<>或．。
不等式的解法高中数学
不等式的解法高中数学高中数学：不等式与不等式组的解法1.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a<0时，其解集为(-∞，ba)，当a=0时，b<0时，期解集为R，当a=0，b≥0时，其解集为空集。
例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x解：原不等式化为(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a<2时，其解集为(-∞，b+2a-2)③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b<-2时，其解集为R.2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。
例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)解：△=16-16a①当a>1时，△<0，其解集为R②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)③当a<1时，△>0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)3.不等式组的解法将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.例3：解不等式组m2+4m-5>0(1)m2+4m-12<0(2)解：由①得m<-5或m>1由②得-6，故原不等式组的解集为(-6，-5)∪(1，2)4.分式不等式的解法任何一个分式不等都可化为f(x)g(x)>0(≥0)或f(x)g(x)<0(≤0)的形式，然后讨论分子分母的符号，得两个不等式组，求得这两个不等式组的解集的并集便是原不等式的解集.例4：解不等式x2-x-6-x2-1>2解：原不等式化为：3x2-x-4-x2-1>0它等价于(I)3x2-x-4>0-x2-1>0和(II)3x2-x-4<0-x2-1<0解(I)得解集空集，解(II)得解集(-1，43).故原不等式的解集为(-1，43).5.含有绝对值不等式的解法去绝对值号的主要依据是：根据绝对值的定义或性质，先将含有绝对值的不等式中的绝对值号去掉，化为不含绝对值的不等式，然后求出其解集即可。
高中数学不等式的解法
高中数学不等式的解法复习目标1．掌握一元一次不等式（组），一元二次不等式，分式不等式，含绝对值的不等式，简单的无理不等式的解法．2．会在数轴上表示不等式或不等式组的解集． 3．培养运算能力．知识回顾一、一元一次不等式的解法一元一次不等式)0(≠>a b ax 的解集情况是（1）当0>a 时，解集为}|{a b x x > （2）当0<a 时，解集为}|{abx x <二、一元二次不等式的解法一般的一元二次不等式可利用一元二次方程02=++c bx ax 与二次函数c bx ax y ++=2的有关性质求解，具体见下表：0>a ，ac b 42-=∆0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2的图象一元二次方程02=++c bx ax的根有两实根21x x x x ==或有两个相等的实根abx x x 221-===无实根一 式 元 的 二 解 次 集 不 等不等式02>++c bx ax的解集 }|{21x x x x x ><或}|{1x x x ≠ R不等式02<++c bx ax的解集}|{21x x x x <<Φ Φ注：1．解一元二次不等式的步骤：（1） 把二次项的系数a 变为正的．（如果0<a ，那么在不等式两边都乘以1-，把系数变为正）（2） 解对应的一元二次方程．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）（3） 求解一元二次不等式．（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 2．当0>a 且0>∆时，定一元二次不等式的解集的口诀：“小于号取中间，大于号取两边” ．三、含有绝对值的不等式的解法 1．绝对值的概念2．含绝对值不等式的解：（1）)0(||><a a x ⇔a x a <<- （2）)0(||>≥a a x ⇔a x a x ≥-≤或 （3）a x f a a a x f ≤≤-⇔>≤)()0(|)(| （4）a x f a x f a a x f >-<⇔>>)()()0(|)(|或注：当0≤a 时，a x <||无解，a x >||的解集为全体实数． 四、一元高次不等式的解法一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ），一般用数轴标根法求解，其步骤是： （1）将)(x f 的最高次项的系数化为正数； （2）将)(x f 分解为若干个一次因式的积；（3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； （4）根据曲线显现出)(x f 值的符号变化规律，写出不等式的解集． 如：若n a a a a <<<< 321，则不等式0)())((21>---n a x a x a x 或0)())((21<---n a x a x a x 的解法如下图（即“数轴标根法”）：五、分式不等式的解法对于解a x g x f a x g x f ≥<)(')()()('''或型不等式，应先移项、通分，将不等式整理成⎪⎩⎪⎨⎧=a ()()00)0(<=>a a a a 0a -)0(0)()()0(0)()(≤≥<>x g x f x g x f 或的形式，再转化为整式不等式求解。
衔接教程-第6讲、简单不等式的解法(教师版)
第3讲简单不等式的解法知识点1、一元一次不等式1、解法：ax b +0>0<0a >b x a >-b x a <-a <b x a <-b x a >-2、步骤：①利用不等式性质1，去分母移项整理；②利用不等式性质3，去系数（注意系数为负，不等号一定要变号）；③写结果。
3、注意：一次项系数是否为0的情况，即讨论0a =，此时解集无解或恒成立。
如：0ax b ax b+>⇒>-当0,0a b =>时：解集为任意实数；当0,0a b =<时：解集为无解。
1、解法：2(0)ax bx c a ++>24b ac∆=-0∆>0∆=0∆<图像20ax bx c ++=12,x x x x ==12x x x ==无解20ax bx c ++>2x x >或1x x <1x x ≠所有实数20ax bx c ++≥2x x ≥或1x x ≤所有实数所有实数20ax bx c ++<12x x x <<无解无解20ax bx c ++≤12x x x ≤≤12x x x ==无解2、步骤：（1）首正：整理成一般形式化二次项系数为正。
若为负，不等号一定变号；（2）求根：检验判别式，若0∆≥，计算一元二次方程的两根。
①首选因式分解法求出12,x x （其中12x x <）；②无法因式分解的用求根公式；③若0∆<，对二次三项式进行配方变形成2224()24b ac b ax bx c a x a a-++=++，再结合完全平方式为非负数的性质求解。
（3）根据不等号方向确定解集“0>”型的解为12x x x x <>或(“两根之外”)；“0<”型的解为12x x x <<(“两根之间”)；有等号，一律取等。
知识点3、分式不等式1、解分式不等式的基本思路：将分式不等式转化为整式不等式，利用符号法则进行求解。
初高中知识衔接（一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式）
初高中知识衔接（一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式）初高中知识衔接知识点一：简单不等式（一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式）1.一元一次不等式的解法：（解方程→画图形→写解集）（a>o 且0>?时，简记为：开口向上时，小于夹中间，大于走两边）设二次函数c bx ax )x (f 2++=（a>0），判别式4ac b 2-=?，则2.含有绝对值的不等式的解法：①等价转化②平方法（两边非负时）③分类讨论法a x a )0a (a x <<-?><，图示：___________ a x a x )0a (a x >->或. 图示：___________3．分式不等式的解法：移项通分，化除为乘，分母不为0 例1解出以下5个不等式（1）2230x x -++≥ （2）2410x x -+>（3）213x -< （4）2103x x+<- （5）12x x-≥例2：若不等式210ax x ++>的解集为12x x t ??-<<，则a =________,t =_______.变式2：已知关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为}212|{->-<="">x 的不等式02>+-c bx ax 的解集是_____________________________.知识点二二次函数二次方程二次不等式一、选择题1.已知函数f （x ）=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f （1）的范围是 A.f （1）≥25 B.f （1）=25 ( ) C.f （1）≤25 D.f（1）＞252.二次函数y =x 2－2（a +b ）x +c 2+2ab 的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则△ABC 为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三 D.等腰三角形3.如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对于任意实数t ，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（）A. f(2)<f(1)<f(2)<f(4)<f(2)<f(1)<="" p="">二、填空题5.函数f （x ）=2x 2－6x +1在区间［－1，1］上的最小值是______，最大值是________. 6．已知函数)32lg()(2--=x x x f ，则)(x f 的单调递增区间为三、解答题7.方程21222320,kx x k x x ---=有两根且（1）12,x x 都小于零；（2）都小于1；（3）121x x <<；（4）1220x x -<<、（5）恰有一根在（1，2）区间内。
第4讲------不等式的解法
第4讲 不等式的解法一、简单一元高次不等式解法（解一元高次不等式，一般采取数轴标根法） 其步骤如下：（1）将f(x)的最高次项的系数化为正数；（2）将f(x)分解为若干个一次因式的积；（3）将每一个根顺次表在数轴上，再从右到左依次标出区间；（4）f(x)>0时取奇数区间；f(x)<0时取偶数区间.例1、解不等式（1）2 >0； （2）（x+4） <0.解析：（1）原式=x （2 -x-15）>0⟹x （x-3）（2x+5）>0，得不等式的解集为奇数区间，即{x ∣- <x <0或x >3}.（2）学生自行解决.答案：{x ∣x <-5或-5<x <-4或x >2}.二、分式不等式的解法例2、解不等式： > . 解析：原式变为 >0，通分 （ ） （ ）>0， ⟹ （ ）（ ）>0⟹ >0⟹ 或0<x<1. 练习：1、解下列不等式（1）2 ； （2）-4 ；（3）（x-2）( ；（4）（x-3）(x+2) (x-4)>0.2、解不等式：<0. 三、无理不等式解法 （1） g(x)⇔ 或 ；-5/203（2）g(x)⇔ ；（3）f(x)>g(x)0.例3、若不等式+的解集为（4，b），求a、b的值.解析：设=u，则原不等式为u>a+，即a-u+<0，∵不等式的解集为（4，b），∴方程a-u+=0的两个根分别为2，，由韦达定理得解得.练习：解不等式（1）<x-1；（2）>x+3.解析：（1）<x-1，⟹x∈(2，3]；①等价转化法：⟹或②换元法：设t=（t0）x=3-，即t<3--1， ⟹（t-1）(t+2)<0，-2<t<1，故0t<1,0<1⟹2<x3.③求补集法：x-1⟹ 或⟹x2或x>3，故原不等式解集为(2，3].<即x∈（2，3].（2）>x+3，解析:用①②③④种方法由学生完成.答案：（-∞，-）.四、指数、对数不等式的解法例4、解关于x的不等式lg(2ax)-lg(a+x)<1.解析：⟹a>0，x>0⟹ lg(2ax)<lg(10a+10x)⟹2ax<10a+10x，即（a-5）x<5a.当0<a<5时，a-5<0，x>0当a=5时，不等式0x<25，得x>0；当a>5时，a-5>0，解得0<x<.五、含绝对值不等式的解法例5、解不等式：∣∣x+1∣+∣x-1∣∣<+1.解析：+1>0恒成立，x>-2.①当x1时，原不等式可以变形为2x<+1，，无解；②当-1x<1时，∣∣x+1∣+∣x-1∣∣=2，则原不等式可变形为无解；③当-2<x<-1时，原不等式可以变形为，无解.综合①②③可知，原不等式无解.六、含参不等式的解法例4、试求不等式>-1对一切实数x恒成立的θ取值范围.解析：∵>0，故原不等式变为（θθ）θθθθ>0，令θθ=t，则t∈[-，]，不等式变为（t+1）-(t-4)x+t+4>0对x∈R恒成立，由二次函数可知，∴t>0或t<(舍)，故0<θθ ，即2k-<θ2k+（k∈Z）.练习：1、解不等式（1）2ax>5-x(a∈R)；（2）mx>k-nx （m、n、k∈R）解析：（1）（2a+1）x>5，（2）（m+n）x>ka>-时，x>；m+n>0，x>；a<- 时，x<；m+n<0，x<；a=- 时，x∈∅. m+n=0，，∈，∈∅.2、解不等式>1.解析：原不等式变为>0⟹[(a-1)x-(a-2)]（x-2）>0，⟹（a-1）[x-](x-2)>0，当a>1时，[x-](x-2)>0⟹（-∞，）∪（2，+∞）；当a<1时，[x-](x-2)<0，∵2-=，①当0<a<1时，解是（2，）②当a=0时，解为空集，即x∈∅；③a<0时，解为（，2）.课外练习：一、选择题1、若0<a<1，则不等式（a-x）(x- )>0的解集为（）A 、{x∣a<x<}；B、{x∣<x<a}；C、{x∣x>或x<a}；D、{x∣x<或x>a}.2、不等式∣x+1∣(2x-1)0的解集为（）A、{x∣x=-1或x}；B、{x∣x-1或x}；C、{x∣x}；D、{x∣-1x}.3、若a>1且0<b<1，则不等式的解集为（）A、x>3；B、x<4；C、3<x<4；D、x>4.4、不等式2的解集是（）A、[-3，]；B、[- ,3]；C、[,1）∪（1,3]；D、[- ,1）∪（1,3].5、已知∣a-c∣<∣b∣，则（）A、a<b+c；B、a>c-b；C、∣a∣>∣b∣-∣c∣；D、∣a∣<∣b∣+∣c∣.6、设f(x)，，则不等式f(x)>2的解集为（）A、（1,2）∪（3，+∞）；B、（，+∞）；C、（1,2）∪（，+∞）；D、（1,2）.二、填空题7、不等式-∣x∣<0的解集是 .8、不等式的解集是.9、定义符号函数sgn x=，当x∈R时，则不等式x+2>的解集为.三、解答题10、解不等式（∣3x-1∣-1）（.11、已知函数f(x)=，当a>0时，解关于x的不等式f(x)<0.12、设有关于x的不等式lg（∣x+3∣+∣x-7∣）>a.（1）当a=1时，解此不等式；（2）求当a为何值时，此不等式的解集为R.。
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（3）化积——化成整式不等式．
注意：（1） A 0 A B 0 ； B
（2）
A B
0
A B
B 0
0
三、高次不等式的解法
【例 7】解不等式：
（1） x3 x2 x 1 0
(x1)2(x1)0 x1或x1
（2） x2 x 3 1 2x2 x
( x 3 ) ( 2 x 1 ) x ( x 1 ) 0 3x1或0x1 2
解：依题意可知 a 0，且方程 ax2 bx c 0 的两根分别为 2 和 3，
∴b 5, a
c 6 ，即 b 5 ,
a
a
c 6． a
由于 a 0，所以不等式 bx2 ax c 0 可变为 b x2 x c 0 ，
a
a
即 5x2 x 6 0 ,
所以，不等式 bx2 ax c 0 的解是 x 1或x 6 ． 5
归纳小结： 一元二次不等式的解法： 关键函数图象 分式不等式： 关键化积，难点分母≠0 高次不等式： 根轴法
02 初高中衔接之一---不等式的解法
三个“二次”的关系
二次函数
y ax2 bx c （ a 0 ）的图象
一元二次方程
ax2 bx c 0
a 0的根
有两相异实根
x1, x2 (x1 x2 )
ax2bxc0 xx1或xx2
ax2bxc0 x1 xx2
有两相等实根
x1
x2
b 2a
x b 2a
解高次不等式的步骤是：
（1）将最高次系数化为正数； （2）分解为若干一次因式之积； （3）将根在数轴上按顺序标出； （4）从右上方开始画起，奇重根穿过数轴，偶重根不穿过数轴； （5）由图写出结果．
解不等式
(x2 2x 3)(1 x2 ) 0 (x 1 )2(x 1 )(x 3 ) 0
x 1 或 1 x 1 或 x 3
无解
无实根
全体实数 无解
【例 1】解不等式
（1） x2 x 6 0
(x3)(x2)0
x3或 x2
（2） 4 x2 0 (x2)(x2)0
x2或 x2
步骤：
（1）将二次项系数化为正数； （2）观察相应的二次函数图象； （3）由图写出解．
【例 2】解下列不等式：
(1) (x 2)(x 3) 6 (x3 )(x4)0
四、不等式组的解法：
【例 8】解不等式组：
（1）
x 2
x2
2x 3 x 12
0 0
((xx14))((xx33))00
x 1或x 4 x 3
3
4x1
（2）
x2
5x
6
0
(x 1)(x 2) 2 0
(x1)(x6)0 x(x3) 0
1 3
x x
6 0
1x0
解不等式组的步骤： (1)逐个解不等式（2）利用数轴取公共部分
3x4
(2) (x 1)(x 2) (x 2)(2x 1) x(x4)0
0x4
【例 3】解不等式：
（1） x2 4x 4 0 （2） x2 x 2 0
(x2)2 0
x=2
=-7<0
x取全体实数
【例 4】已知对于任意实数 x ，kx2 2x k 0
恒成立，求实数 k 的取值范围．
( 1 ) 当 k 0 时 ， 不 合 题 意 ， 舍
(2)当 k0时 ， k 0 (2)24k20
k 0
k
2
1
0
即k 1 变式：已知对于任意实数 x ， kx2 2x k 恒
k 1 有意义，求实数 k 的取值范围．
【例 5】已知不等式 ax2 bx c 0(a 0) 的解 是 x 2, 或 x 3 求不等式 bx2 ax c 0 的解．
二、简单分式不等式的解法
【例 6】解下列不等式：
(1) 2x 3 0 (2x3)(x1 )0
x 1
1 x 3
(2)
1 3 x 2
2
1 3 0 3 x 5 0 3 x 5 0
x 2
x 2 x 2
步骤： (x3x25)0(x2)0 （1）移项——使得右端为零；
x2或x5 3
（2）通分——化成一个分式；