初高中衔接之一---不等式的解法

二、简单分式不等式的解法
【例 6】解下列不等式：
(1) 2x 3 0 (2x3)(x1 )0
x 1
1 x 3
(2)
1 3 x 2
2
1 3 0 3 x 5 0 3 x 5 0
x 2
x 2 x 2
步骤： (x3x25)0(x2)0 （1）移项——使得右端为零；
x2或x5 3
（2）通分——化成一个分式；
3x4
(2) (x 1)(x 2) (x 2)(2x 1) x(x4)0
0x4
【例 3】解不等式：
（1） x2 4x 4 0 （2） x2 x 2 0
(x2)2 0
x=2
=-7<0
x取全体实数
【例 4】已知对于任意实数 x ，kx2 2x k 0
恒成立，求实数 k 的取值范围．
02 初高中衔接之一---不等式的解法
三个“二次”的关系
二次函数
y ax2 bx c （ a 0 ）的图象
一元二次方程
ax2 bx c 0
a 0的根
有两相异实根
x1, x2 (x1 x2 )
ax2bxc0 xx1或xx2
ax2bxc0 x1 xx2
有两相等实根
x1
x2
b 2a
x b 2a
( 1 ) 当 k 0 时 ， 不 合 题 意 ， 舍
(2)当 k0时 ， k 0 (2)24k20
k 0
k
2
1
0
即k 1 变式：已知对于任意实数 x ， kx2 2x k 恒
k 1 有意义，求实数 k 的取值范围．
【例 5】已知不等式 ax2 bx c 0(a 0) 的解 是 x 2, 或 x 3 求不等式 bx2 ax c 0 的解．
（3）化积——化成整式不等式．
注意：（1） A 0 A B 0 ； B
（2）
A B
0
A B
B 0
0
三、高次不等式的解法
【例 7】解不等式：
（1） x3 x2 x 1 0
(x1)2(x1)0 x1或x1
（2） x2 x 3 1 2x2 x
( x 3 ) ( 2 x 1 ) x ( x 1 ) 0 3x1或0x1 2
四、不等式组的解法：
【例 8】解不等式组：
（1）
x 2
x2
2x 3 x 12
0 0
((xx14))((xx33))00
x 1或xHale Waihona Puke Baidu4 x 3
3
4x1
（2）
x2
5x
6
0
(x 1)(x 2) 2 0
(x1)(x6)0 x(x3) 0
1 3
x x
6 0
1x0
解不等式组的步骤： (1)逐个解不等式（2）利用数轴取公共部分
解高次不等式的步骤是：
（1）将最高次系数化为正数； （2）分解为若干一次因式之积； （3）将根在数轴上按顺序标出； （4）从右上方开始画起，奇重根穿过数轴，偶重根不穿过数轴； （5）由图写出结果．
解不等式
(x2 2x 3)(1 x2 ) 0 (x 1 )2(x 1 )(x 3 ) 0
x 1 或 1 x 1 或 x 3
解：依题意可知 a 0，且方程 ax2 bx c 0 的两根分别为 2 和 3，
∴b 5, a
c 6 ，即 b 5 ,
a
a
c 6． a
由于 a 0，所以不等式 bx2 ax c 0 可变为 b x2 x c 0 ，
a
a
即 5x2 x 6 0 ,
所以，不等式 bx2 ax c 0 的解是 x 1或x 6 ． 5
无解
无实根
全体实数 无解
【例 1】解不等式
（1） x2 x 6 0
(x3)(x2)0
x3或 x2
（2） 4 x2 0 (x2)(x2)0
x2或 x2
步骤：
（1）将二次项系数化为正数； （2）观察相应的二次函数图象； （3）由图写出解．
【例 2】解下列不等式：
(1) (x 2)(x 3) 6 (x3 )(x4)0
归纳小结： 一元二次不等式的解法： 关键函数图象 分式不等式： 关键化积，难点分母≠0 高次不等式： 根轴法