热力学统计物理试题

.填空题1.设一多元复相系有个「相，每相有个k组元，组元之间不起化学反应。

此系统平衡时必同时满足条件：________ 、________ 、__________ 。

2.热力学第三定律的两种表述分别叫做：________ 和______ 。

3.假定一系统仅由两个全同玻色粒子组成，粒子可能的量子态有4种。

则系统可能的微观态数为：_______ 。

5.均匀系的平衡条件是_______ ;平衡稳定性条件是_______ 。

7.玻色分布表为___ ；费米分布表为______ ;玻耳兹曼分布表为______ 。

当满足条件________ .时，玻色分布和费米分布均过渡到玻耳兹曼分布。

8.热力学系统的四个状态量S、V、P、T所满足的麦克斯韦关系为________ ,_________ ,__________ ,_________ 。

9•玻耳兹曼系统粒子配分函数用乙表示，内能统计表达式为____________ ，广义力统计表达式为________ ，熵的统计表达式为________ ，自由能的统计表达式为________ 。

11.单元开系的内能、自由能、焓和吉布斯函数所满足的全微分^是：_____ ， ___ ，_____ ，_____。

12•均匀开系的克劳修斯方程组包含如下四个微分方程：________ ，________ ，________，_______ 。

13.等温等压条件下系统中发生的自发过程，总是朝着_________ 方向进行，当_______时，系统达到平衡态；处在等温等压条件下的系统中发生的自发过程，总是朝着____ ， ____ 方向进行，当________ 时，系统达到平衡态。

14.对于含N个分子的双原子分子理想气体，在一般温度下，原子内部电子的运动对热容量_______ ;温度大大于振动特征温度时，热容量为__________ ;温度小小于转动特征温度时，热容量为__________ 。

温度大大于转动特征温度而小小于振动特征温度时，热容量为__________ 。

15.玻耳兹曼系统的特点是：系统由______ 粒子组成；粒子运动状态用_______ 来描写;确定______ 即可确定系统的微观态；粒子所处的状态_________ 的约束。

16准静态过程是指 _________ 的过程；无摩擦准静态过程的特点是 _____________ . 简述题1.玻尔兹曼关系与熵的统计解释。

2.写出系统处在平衡态的自由能判据。

3.写出系统处在平衡态的熵判据。

4.熵的统计解释。

5.为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略？6.等概率原理。

7.能量均分定理。

8.为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献？9．系统的基本热力学函数有哪些？什么叫特性函数？什么叫自然参量。

10. 熵的统计解释。

11 试说明，在应用经典理论的能量均分定理求理想气体的热容量时，出现哪些与实验不符的结论或无法解释的问题（至少例举三项）？12.最大功原理13. 写出能斯特定理的内容14．什么是近独立粒子系统15．单元复相系达到平衡时所满足的相变平衡条件是什么？如果该平衡条件未能满足，变化将朝着怎样的方向进行？16．写出吉布斯相律的表达式，并说明各物理量的含义。

17. 写玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统的微观态数统计表达式，并说明它们之间的联系。

18. 为什么说，对于一个处在平衡态的孤立系统，可以将粒子的最概然分布视为粒子的平衡态分布？19．试说明，在应用经典理论的能量均分定理求固体热容量时，出现哪些与实验不符的结论或无法解释的问题？三.选择题1•系统自某一状态A开始，分别经两个不同的过程到达终态B。

下面说法正确的是（A）在两个过程中吸收的热量相同时，内能的改变就一定相同（B）只有在两个过程中吸热相同且做功也相同时，内能的改变才会相同（C）经历的过程不同，内能的改变不可能相同（D）上面三种说法都是错误的2.下列各式中不正确的是（A）」'（B）2生］（C）」曲（D）」型V £n JT, P/T,V V c n JSV V c n .「p 3.吉布斯函数作为特性函数应选取的独立态参量是（A）温度和体积（B）温度和压强（C）熵和体积（D）熵和压强（D）孤立的系统4.费米统计的巨配分函数用表示，则熵的统计表达式是/ A、（_自n 三R c ln 三）（_ c l n 三R c l n三）（A）S = N l ln 三一□ ----- -P—（B）S=N In 三七----------------- -P—IV cot cP ；I ca cP ；In - 一：In c 1 ln -「In 二（C）S = k l ln （ D）S = k l Inv cot cP ；V 西越丿5.自由能作为特性函数应选取的独立态参量是（A）温度和体积B）温度和压强（C）熵和体积（D）熵和压强6.由热力学基本方程dG二-SdT Vdp可得麦克斯韦关系（A）= i f （B） = I -------------------------I內“ V^V A <cp /S\_c S ,!p佝）〔S V、（鋁］（C） = —— I （ D） ------- I =——疋V $ W S£W T 丿p 疋p”7•将平衡辐射场视为处在平衡态的光子气体系统，下面说法不正确的是（A）这是一个玻色系统（B）这是一个能量和粒子数守恒的系统（C）系统中光子的分布遵从玻色分布（D）这是一个非定域系统8.封闭系统指（A ） 与外界无物质和能量交换的系统 （B ） 能量守衡的系统（C ） 与外界无物质交换但可能有能量交换的系统 9. 下列系统中适合用玻尔兹曼分布规律处理的系统有（A ） 经典系统（B ） 满足非简并条件的玻色系统和费米系统 （C ） 满足弱简并性条件的玻色系统和费米系统 （D ）非定域体系统10. 内和齐分别是双原子分子的振动特征温度和转动特征温度，下面说法正确的是 （A ） T • f 时，振动自由度完全“解冻”，但转动自由度仍被“冻结”。

（B ） T …耳时，转动自由度完全“解冻”，但振动自由度仍被“冻结” （C ） T …乙时，振动自由度和转动自由度均完全“解冻” 。

（D ） T • V 时，振动自由度和转动自由度均完全“解冻” 。

11. 气体的非简并条件是（A ） 分子平均动能远远大于 kT （B ） 分子平均距离极大于它的尺度 （C ） 分子数密度远远小于 1（D ） 分子平均距离远大于分子德布罗意波的平均热波长 12.不考虑粒子自旋，在边长L 的正方形区域内运动的二维自由粒子, 小处在p~ p dp 范围的粒子可能的量子态数为五.推导与证明其中动量的大(A)竿 pdph(B )哗 pdph(C )呼dph(D )笫2dph.. . ... ... -宀八，亠 _______ 「dV ，假定 由此导出理想气体的绝热过程方程 TV J = C （常量）。

& 了鈿） fc S } 解：••• dS dTU rV&V 人1•试用麦克斯韦关系，导出方程 TdS 二C V dT T 竺 C 可视为常量,dV ，• -TdS 订—dT T — dV 二 GdT T — dV 0丄 U V .T (刃人由麦氏关系 ；S ;p ；:p亍 j¥v ，TdS "dT T ¥v dV号T "T 养。

nR绝热过程dS = 0，理想气体p T ，VC v dl nRdV T V二 0 积分得 C V lnT nRlnV 二 C' （常量）-C p / C V 二,nR 二 C p _C V 二 C V ( _1) 故: l nTV 1=C'，即：TV ~=C （常量）证明：选T, V 为独立变量，则dG - -SdT Vdp 订n2G cn Tp= ~JL(<G \ 1 ：p T,n「_：：n R T,n T , p而—i=V ，qp Tnrn T,p3.证明焓态方程:证：选T 、 HW P 打p 作为状态参量时，有dHdT打V £Pdp ( 1)TdT +打:S:p dpT而,dH -TdS Vdp (3)（2）代入（3）得:dH =T#p dT V T吊右」】dp(4)比较（1）、（4）得:(5)cS 即人(6)将麦氏关系- 代入（6），即得 汀P4.导出含有N 个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式:心N「eFe E /Te E /T -12 解：按爱因斯坦假设，将 N 个原子的运动视为 3N 个线性谐振子的振动，且所有谐 振子的振动频率相同。

谐振子的能级为: .；：=(n 1/2)一 ‘ (n =0,1,2 ) 则，振子的配分函数为: Z r 八 e- (n 1/2) =e- /2、(e- ) n =0 n=0 ••Tn 乙=一1 In(1 —e_ )2InZ 1 3“ 一3N ' 3“ 一 3N '-…U _ -3N - N N ■ 护2 1-e * 2 严-12蚯Cv ，.:U.汀厂kT 2=3Nk 讦引入爱因斯坦特征温度 飞：-=Q E ，即得: C v =3Nk 韦T'2e E /T八”1)25.导出爱因斯坦固体的熵表达式： S=3Nk —:— -ln i — e」 解：设固体系统含有 N 个原子，按爱因斯坦假设，将 N 个原子的运动视为 3N 个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。

谐振子的能级为: 呂=屉(n +1), 则，振子的配分函数为: n =0, 1, 2, ) 厶八en =0旳-Pfe n ^) ln 厶=「 _ln (i_e_ ■:),-Tn厶S =3Nk( ln 1 -' ln 1-In ( 1-e)]e "-16.证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，能量在£~ £小£的范围内，可能的量子cP )=3Nk[-态数为 Dijd ； = L (2m)1/2 ； "d :。

证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于一维自由粒子，在相空间体积2LdpL 1/2 J/2D I < id (2 m)；h①证明:②证明:由 d—TdS _PdV，令 dU" 得:君P 0, T 08.导出普朗克黑体辐射公式。

解：在体积V 内，动量在P~ P+dp 范围的光子的量子态数为23P dp h因为，光子气体是玻色系统遵从玻色分布，由于系统的光子数不守恒，每个量子态上 平均光子数为-/kTe -1 Z 屜 p =—= 一 c c所以，在体积 V 内，圆频率在■ ~ +d ■范围内的光子的量子态数为元dxdp x 内的可能的量子态数为 dXdp x 因此，在长度L 内，动量大小在hp ~ p dp 范围内粒子的可能的量子态数为 2m p，故，在长度 L 内，能量在 £~ £ d £范围内，可能的量子态数为7.证明：①I S ,S PdH =TdS VdP ， 由全微分条件得:;S P12dp 二vD(，)d •=畔一d-2d ■在此范围内的光子数为N d /： - f D （ ）d ■-故，在此范围内的辐射能量为:积分得：p = 02，即：v-b - RTv-b v11.已知气体系统通常满足经典极限条件且粒子动量和能量准连续变化,V 2 3■: c U (T, ，)：住 N . d ■2 3/kT 二 c e9.对于给定系统，若已知|v =v-b'■ ■3 .d ■ -1T 2a v-b v-b Rv 3，求此系统的物态方程。