【转】变力做功问题的求法集锦

变力的功求法集锦

第一.平均力法

1.基本依据：如果一个过程，若F 是位移l 的线性函数时，即F=k l +b 时，可以用F 的平均值 =F (F 1 +F 2)/2来代替F 的作用效果来计算。

2.基本方法：先判断変力F 与位移l 是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力1F 和末状态的力2F ，再求出每段平均力和每段过程位移，然后由αcos l F W =求其功。

【例1】用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm ，问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等）

解析：铁锤每次做功都是克服铁钉阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度

成正比。，可用平均阻力来代替。

如图所示，第一次击入深度为，平均阻力为， 做功为：

第二次击入深度为到，平均阻力为：位移为

做功为：两次做功相等：解后有：

练习1：例如:用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d ，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少? 解：()22kd kd k d d d d '++'⋅= ∴(21)d d '=-此题也可用图像法：因为木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，即F =kd ，其图象为图所示。铁锤两次对钉子做功相同，则三角形OAB 的面积与梯形ABCD 的面积相等，即[]')(2

1)(21d d d k kd kd d ⨯'++=⨯解得 (21)d d '=- 练习2：要把长为l 的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E 0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k 。问此钉子全部进入木板需要打击几次？

分析：在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。钉子在整个过程中受到的平均阻力为：F k l k l =+=022钉子克服阻力做的功为：W F l k l F ==12

2设全过程共打击n 次，则给予钉子的总能量：E n E k l 总==0212 所以n k l E =2

2 【例2】如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m 的木块连接，放在光滑的水平面上。弹簧劲度系数为k ，开始时处于自然长度。现用水平力缓慢拉木块，使木块前进x ，求拉力对木块做F

Kd+d ′

d +d ′

kd

d C A B D

了多少功？

解析：在缓慢拉动过程中，力F 与弹簧弹力大小相等，即F=kx 。当x 增大时，F 增大，即F 是一变力，求变力做功时，不能直接用Fscosα计算，可以用力相对位移的平均值代替它，把求

变力做功转换为求恒力做功。F 缓慢拉木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力等

于弹力，即F=kx 。因该力与位移成正比，可用平均力 kx F 21=求功，故221kx x F W =⋅=。

【例3】如图所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块

的边长为h ，其密度为水的密度ρ的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高

为2h ，现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。

解析：木块下降同时水面上升，因缓慢地把木块压到容器底上，所以压力总等于增加的浮力，压力是変力，当木块完全浸没在水中的下降过程压力是恒力。本题的解法很多，功能关系、F-S 图像法、平均值法等均可求変力做功，现用平均值法求。

木块从开始到完全浸没在水中，设木块下降1x ，水块上升2x （同体积的水块随木块的下降而上升）根据水的体积不变，则：2212x h x h = 得21x x = 所以当木块下降4

h 时，木块恰好完全浸没在水中，1122122)(x x gh x x gh F F ∝=+=∆=ρρ浮所以422118142

20424gh h h

gh h F F h F W ρρ=+=+==木块恰好完全浸没在水中经h h h h 45432=-=∆到容器底部，压力为恒力22h gh F ρ=所以4228

5452gh h h gh h F W ρρ=⋅=∆= 故压力所做的功为： 第二. 图象法

1.原理：在F-l 图象中，图线与坐标轴所围成的“面积”表示功，作出变力变化的F －l 图象，图象与位移轴所围的“面积”即为变力做的功。力学中叫作示功图。

2、方法：对于方向在一条直线上，大小随位移变化的力，作出F-l 图象，

求出图线与坐标轴所围成的“面积”，就求出了变力所做的功。

【例1】静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块,在水平拉力F 作用下,

沿x 轴方向运动,拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图所示,图线为半

圆.则小物块运动到x 0处时的动能为 ( ) 答案（C ）

A.0

B. 1/2F m x 0

C.4πF m x 0

D.4

πx 02 【例2】用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成

正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d ，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第

一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少?

4

2143gh W W W ρ=+=

分析与解：因为阻力，以F 为纵坐标，F 方向上的位移x 为横坐标，作出图象，如图所示，函数线与x 轴所夹阴影部分面积的值等于F 对铁钉做的功。

由于两次做功相等，故有：（面积）即

【例3】如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连，另一端与一质量为m 的

木块连接，放在光滑的水平面上。弹簧劲度系数为k ，开始时处于自然长度。

现用水平力缓慢拉木块，使木块前进x ，求拉力对木块做了多少功。

此题也可用图像法：F 缓慢拉木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力等于弹力，即F=kx ，作出F-x

图，求出图线与坐标轴所围成的“面积”，结果也是221

kx x F W =⋅=。

练习：放在地面上的木块与一劲度系数k N m

=200/的轻弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x m 102=

.时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x m 204=

.的位移，求上述过程中拉力所做的功。 分析：由题意作出F x -图象如图所示，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功。即

第三.用公式求解

1.基本原理：在机车的功率不变时，根据P F v =知，随着速度v 的增大，牵引力将变小，不能用W F l =求功，但已知功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功可以根据

求出来。 2.基本方法：因为功率恒定，所以设法求出做功的时间，然后即可按

求出这段时间牵引力的功。

（在已知平均功率一定时，也可采用这种方法）

【例1】质量为m 的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的k 倍，机车经过时间t 速度达到最大值v ，求机车的功率和机车所受阻力在这段时间内所做的功。 解析：机车的功率恒定，从静止开始达到最大速度的过程中，牵引力不断减小，当速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等。在这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，牵引力是变力，因此，机车做功不能直接用来求解，但可用公式来计算。 根据题意，机车所受阻力

，当机车速度达到最大值时，机车功率为： 根据，该时间内机车牵引力做功为：

根据动能定理， 得牵引力克服阻力做功为：故阻力做功为：

练习1：质量为5t 的汽车以恒定的输出功率75kW 在一条平直的公路上由静止开始行驶，在10s 内速度达到10m/s ，求摩擦阻力在这段时间内所做的功。

分析：汽车的功率不变，根据P F v =知，随着速度v 的增大，牵引力将变小，不能用W F l =求功，