(完整版)高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳(可编辑修改word版)

s - s

一、等差数列与等比数列

数列知识点总结

2、涉及前ｎ项和 S 求通项公式，利用 a 与 S 的基本关系式来求。即a

= ⎧s 1 = a 1 (n = 1)

n

n

n

n ⎨ ⎩ n n -1 (n ≥ 2)

例 1、在数列｛ a n

｝中， S n 表示其前ｎ项和，且S = n ,求通项a . 2

例 2、在数列｛ a n ｝中， S n 表示其前ｎ项和，且S n = 2 - 3a n ,求通项a n 3、已知递推公式，求通项公式。

（1） 叠加法：递推关系式形如a n +1 - a n = f

(n )型

n

n

n 例 3、已知数列｛ a n ｝中， a 1 = 1， a n +1 - a n = n ，求通项a n

练习 1、在数列｛ a n ｝中， a 1 = 3 ，

a

n +1 = a n + 2n ，求通项a （2） 叠乘法：递推关系式形如

a n +1

= f (n ) 型

a n n

例 4、在数列｛ a n ｝中， a 1 = 1，a n +1 = n +1 a n ，求通项a n

练习 2、在数列｛ a n ｝中， a 1 = 3 ， a

n +1 = a n • 2n ，求通项a （3） 构造等比数列：递推关系式形如a n +1 = Aa n + B (A,B 均为常数，A ≠1,B ≠0)

例 5、已知数列｛ a n ｝满足a 1 = 4 ， a n = 3a n -1 - 2 ，求通项a n 练习 3、已知数列｛ a n ｝满足a 1 = 3 ， a n +1 = 2a n + 3 ，求通项a n

（4） 倒数法

例 6、在数列{a n }中，已知a 1 = 1,a n +1 =

2a n

a n + 2

,求数列的通项a n 四、求数列的前 n 项和的方法

1、利用常用求和公式求和：

等差数列求和公式： S = n (a 1 + a n ) = na + n (n -1) d

n 2 ⎧ na 1 1 2

(q = 1) 等比数列求和公式： S

= ⎪

a (1 - q n ) a - a q n ⎨ 1 = 1 n (q ≠ 1) ⎩⎪ 1 - q

1 - q 2、错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前 n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列

.[例 1] 求数列 2 , 4 2 22

, 6 ,⋅ ⋅ ⋅, 23

2n ,⋅ ⋅ ⋅前 n 项的和.

2n [例 2] 求和： S = 1 + 3x + 5x 2 + 7x 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + (2n - 1)x n -1

3、倒序相加法：数列｛ a n ｝的第 m 项与倒数第 m 项的和相等。即： a 1 + a n = a 2 + a n -1 = = a m + a n -m +1 [例 3] 求sin 2 1 + sin 2 2 + sin 2 3 + ⋅⋅⋅ + sin 2 88 + sin 2 89 的值 [例 4] 函数f (x )对任x ∈ R 都有f (x )+ f (1- x ) = 1

，求：

2

f (0)+ f ⎛ 1 ⎫ + f ⎛ 2 ⎫ + + f ⎛ n -1⎫

+ f (1)

n ⎪ n ⎪ n ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭

4、分组求和法：主要用于求数列{a n + b n }的前 n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列

1 1 1 1

[例 5] 求数列：1+ 2 ,2 + 4 ,3 + 8 , , n + 2

n , 的前 n 项和

n n

[例 6] 求和： (a -1)+(a 2- 2)+(a3- 3)+ +(a n- n)

n +1 n

1 1 ⎩ ⎩ 5、裂项相消法：通项分解

1

1 1

1

1 1 1

（1） a n = n (n + 1) = n -

n + 1

（2） a n = n(n + k) = ( -

k n n + k )

（3） a n =

= - （4） a n =

= 1 ( k

- n )

[例 7] 在数列{a n }中， a n = n +1 + 2 n +1 + +

n

n +1 ，又b n = 2 a n • a n +1

，求数列{b n }的前 n 项的和. [例 8] 已知正项数列{a n }满足a = 1且a 2n +1 - a 2n = 1(n ∈ N * )

（Ⅰ）求数列{a n }的前 n 项的和

1

（Ⅱ）令b n =

n + a n +1

，求数列{b n }的前 n 项的和T n

五、在等差数列｛ a n ｝中,有关 S n 的最值问题

⎧a m ≥ 0

：(1)当 a 1 >0,d<0 时，满足⎨a m +1 ≤ 0 的项数 m 使得 s m 取最大值.

⎧a m ≤ 0

(2)当 a 1 <0,d>0 时，满足⎨a m +1

≥ 0 的项数 m 使得 s m 取最小值。

1

n +1 + n

1

n + k + n n + k a