平行线(定义、平行公理及推论)
数学人教版七年级下册平行线(定义、平行公理及推论)
5.2.1平行线教案教学目的:知识与能力理解在同一平面内两条直线的位置关系只有相交和平行两种.能借助直尺和三角板过直线外一点作已知直线的平行线.体会平行公理及其推论.数学思考通过对现实生活中平行线的认识，进一步建立空间观念，发展几何直觉.学生经历观察、实践、讨论、体会平行公理的过程,发展学生的抽象概括能力.解决问题让学生在探索平行公理的过程中，体会从数学的角度理解问题，形成解决问题的策略和方法.情感态度与价值观通过对平行线的认识，体验生活中处处有数学.通过师生的共同活动，促使学生在学习活动中学会与人交流，培养学生良好的情感和主动参与的意识.学生经历观察、动手操作、发现讨论等数学活动，感受数学活动充满探索性与创造性，促进学生乐于探究.教学重点:平行线的画法和平行公理及推论，教学难点:平行线的定义教学过程设计:活动一.新课导入我们前面已经学过两条直线相交的情形：两条直线只有一个交点。
在日常生活中的许多实物都可以抽象成为相交线，那么大家想一下，两条直线除了相交的位置关系外，是否还存在其他的位置关系呢？（学生回答，还存在怎样的关系，让学生拿出两支笔摆一下，找出两直线位置关系并让学生画出所找的位置关系）.新课学习活动一.平行线定义在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.结合图形讲解异面直线。
在空间中两条直线还有既不平行也不相交的情况，如图棱AB 与棱B’C’不相交显然它们不平行，象这样既不相交也不平行的两条直线叫异面直线.强调：平行线的定义是中加上“在同一平面内”.(学生讨论，举出日常生活中平行线的例子).活动二.平行线的表示：平行用“∥”表示,如图直线AB与CD是平行线,记作AB∥CD.读作AB平行于CD.活动三.在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交，平行两种.练习：判断1.不相交的直线叫平行线.2.两条直线的关系只有相交，平行两种.3.在同一平面内，两条不同的直线的位置关系不相交就平行.4.在同一平面内的两条线段不相交，那么这两条线段平行。
平行线的判定定理和公理
平行线的判定定理和公理平行线的判定定理和公理平行线在几何学中非常重要，因为它对于正常的几何学、计算机图形学和其他相关领域都有重要的应用。
平行线的判定定理和公理是我们在几何学中学习平行线性质的基础知识。
本文将对平行线的判定定理和公理进行详细介绍，使读者对平行线的理解更加深入。
1.平行线的定义和性质在平面上给定一直线l和一点A，如果不过A的任意一条直线与l相交时，交点 angles 都等于90度，那么我们称直线l与A平行，并表示为l || A。
这是平行线的定义。
平行线的性质包括：(1) 平面上任意两条直线，要么相交成交角不为90度的两条直线，要么平行；(2) 如果一条直线与一组平行线相交，那么相交角相等；(3) 平面上有一条直线与平行于它的一组直线相交，那么两条直线被这组平行线所分成的对应角相等。
平行线的定义和性质是评估平行线的判定定理和公理的关键。
2. 平行线的判定定理平行线的判定定理有三种形式：点斜式判定、截距式判定和两线夹角判定。
点斜式判定：如果直线l与曲线y=mx+n平行，那么m 是l的斜率。
在平面上的一个点(x1, y1)，如果有一直线斜率为m，那么直线的点斜式的方程是：y-y1=m(x-x1)如果直线l与曲线y=mx+n平行，那么它们垂直的方向相同，即斜率m相同。
这意味着直线的点斜式方程中的m 值必须等于y = mx+n的方程中m的值。
因此，点斜式判定定理可以表示为：若直线l与曲线y=mx+n平行，则l的斜率m=n。
截距式判定：如果直线l与直线y=mx+b平行，那么b 是l的截距。
对于一个斜率为m的直线和一个截距为b的直线，它们可以表示为：y=mx+b当这两个直线平行时，它们将有相同的斜率，因此它们的截距也必须相等。
换句话说，如果直线l与直线y=mx+b平行，则l的截距b=mx0+ b,其中(x0, y0)是直线l 的一个点。
两线夹角判定：如果两条直线l1，l2与第三条直线l3垂直，那么l1，l2互相平行。
平行线的判定例题与讲解
3 平行线的判定1．平行线的判定公理(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单记为：同位角相等，两直线平行．如图，推理符号表示为：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.谈重点同位角相等，两直线平行①平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据；②应用时，应先确定同位角及形成同位角的是哪两条直线；③本判定方法是由两同位角相等(数量关系)来确定两条直线平行(位置关系)，所以在推理过程中要先写“两角相等”，然后再写“两线平行”．(2)平行公理的推论：①垂直于同一条直线的两条直线平行．若a⊥b，c⊥b，则a∥c；②平行于同一条直线的两条直线平行．若a∥b，c∥b，则a∥c.【例1】工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB和CD是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量∠EGB和∠GFD的度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了．请问：∠EGB和∠GFD满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行？你的依据是什么？解析：判定两条直线是否平行，常根据两条直线被第三条直线所截而构成的角来判断．题中∠EGB和∠GFD是直线AB和直线CD(墙的上下边缘)被直线EF所截时形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可知只有∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．答案：∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．其依据是同位角相等，两直线平行．2．平行线的判定定理(1)判定定理1两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单记为：同旁内角互补，两直线平行．符号表示：如下图，∵∠2＋∠3＝180°，∴AB∥CD.谈重点同旁内角互补，两直线平行①定理是根据公理推理得出的真命题，可直接应用；②应用时，找准哪两个角是同旁内角，使哪两条直线平行．(2)判定定理2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单记为：内错角相等，两直线平行．符号表示：如上图，∵∠2＝∠4，∴AB∥CD.【例2－1】如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，这是根据________，两直线平行．解析：由题图可看出，直线AB和CD被直线BC所截，此时两块相同的三角板的两个最小角的位置关系正好是内错角，所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的．答案：内错角相等【例2－2】如图，下列说法中，正确的是()．A．因为∠A＋∠D＝180°，所以AD∥BCB．因为∠C＋∠D＝180°，所以AB∥CDC．因为∠A＋∠D＝180°，所以AB∥CDD ．因为∠A＋∠C＝180°，所以AB∥CD错解：A或B或D错解分析：判定直线平行所需要的内错角或同旁内角找不准．条件不能推出结论.正解：C正解思路：∠A与∠D是直线AB和CD被直线AD所截得到的同旁内角．因为∠A＋∠D ＝180°，所以AB∥CD.3．平行线的判断方法平行线的判定方法主要有以下六种：(1)平行线的定义(一般很少用)．(2)同位角相等，两直线平行．(3)同旁内角互补，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．(5)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行．(6)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．析规律如何选择判定两直线平行的方法①在利用平行线的公理或定理判定两条直线是否平行时，要分清同位角、内错角以及同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的；②证明两条直线平行，关键是看与待证结论相关的同位角或内错角是否相等，同旁内角是否互补．【例3】如图，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：__________，使a∥b.解析：本题主要是考查平行线的三种判定方法．若从“同位角相等，两直线平行”考虑，可填∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠3＝∠7，∠4＝∠8中的任意一个条件；若从“内错角相等，两直线平行”考虑，可填∠3＝∠6，∠4＝∠5中的任意一个；若从“同旁内角互补，两直线平行”考虑，可填∠3＋∠5＝180°，∠4＋∠6＝180°中的一个条件；从其他方面考虑，还可以填∠1＝∠8，∠2＝∠7，∠1＋∠7＝180°，∠2＋∠8＝180°，∠4＋∠7＝180°，∠3＋∠8＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠1＋∠6＝180°中的任意一个条件．答案：答案不唯一，如可填下列之一：∠1＝∠5或∠4＝∠5或∠3＋∠5＝180°…4．平行线判定的应用(1)平行线的生活应用数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇到．如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行，工人师傅判定所制造的机器零件是否符合平行的要求……对于生活中的平行线判断，关键是利用工具确定与平行有关的角是否相等，比较常用的是利用直角尺判断同位角是否相等，从而判定两直线是否平行．(2)平行线在数学中的运用平行线判定方法在数学中的运用主要通过角之间的关系判定两条直线平行，进一步解决其他有关的问题．常见的条件探索题就是其应用之一．探索题是培养发散思维能力的题型，它具有开放性，所要求的答案一般不具有唯一性．解决探索性问题，不仅能提高分析问题的能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握．释疑点判定平行的关键判定两直线平行，关键是确定角的位置关系及大小关系．【例4－1】如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零件合格吗？__________(填“合格”或“不合格”)．解析：要判断AB边与CD边平行，则需满足同旁内角互补的条件．∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＋∠BCD＝120°＋60°＝180°.∴AB∥CD.∴这个零件合格．答案：合格【例4－2】已知：如图在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠B＝∠C，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．分析：根据四边形ABCD的内角和是360°，结合已知条件得到∠A＋∠B＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥BC.解：AD与BC的位置关系是平行．理由：∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴∠A＋∠B＝180°.∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．点评：本题考查四边形的内角和以及利用同旁内角互补，来判定两直线平行．。
平行线的性质及判定
平行线的性质及判定定 义示例剖析平行线的概念：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“∥”表示．∥a b ，∥AB CD 等．平行线的性质：两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补．若∥a b ，则12∠=∠； 若∥a b ，则23∠=∠；若∥a b ，则34180∠+∠=︒．平行线的判定：同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行；若12∠=∠，则∥a b ；ba 4321ba 4321知识互联网思路导航题型一：平行线的定义、性质及判定同旁内角互补，两直线平行． 若23∠=∠，则∥a b ；若34180∠+∠=︒，则∥a b ．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行．过直线a 外一点A 做∥b a ，∥c a ，则b 与c 重合．平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行．若∥，∥b a c a ，则∥b c ．【例1】 ⑴ 两条直线被第三条直线所截，则（ ）A ．同位角相等B ．内错角相等C ．同旁内角互补D ．以上都不对⑵ 1∠和2∠是同旁内角，若145∠=︒，则2∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．135︒ C ．45︒或135︒ D. 不能确定⑶ 如图，下面推理中，正确的是（ ）A ．∵180A D ∠+∠=°，∴AD BC ∥B ．∵180CD ∠+∠=°，∴AB CD ∥ C ．∵180A D ∠+∠=°，∴AB CD ∥ D ．∵180A C ∠+∠=°，∴AB CD ∥⑷ 如图，直线a ∥b ，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）A ．50°B ．40°C ．150°D ．130°⑸ 如图，直线AB CD ∥，EF CD ⊥，F 为垂足，如果20GEF ∠=°，则1∠的度数是（ ）A ．20°B ．60°C ．70°D ．30°⑹ 如图，直线a b ∥，点B 在直线b 上，且AB BC ⊥，155∠=°，则2∠的度数为______(c )b aAc b a典题精练DCBAba 21DGF1E CB A⑺ 如图，1∠和2∠互补，那么图中平行的直线有（ ）A ．a b ∥B ．c d ∥C ．d e ∥D ．c e ∥⑻ 将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①12∠=∠；②34∠=∠；③2490∠+∠=°；④45180∠+∠=°，其中正确的个数（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 ⑼ 如图，直线12l l ∥，AB CD ⊥，134∠=°，那么2∠的度数是 ．⑽ 将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果164∠=°，那么2∠等于 ．【铺垫】多选题：下列说法错误的有（ ）A ：不相交的两条直线是平行线．B ：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．C ：三条直线a 、b 、c ．若a b ∥，b c ∥，则a c ∥；同理，若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥．D ：已知α∠的两边与β∠的两边平行，若48α∠=°，则48β∠=°．E ：若AB CD ∥，CD EF ∥，则AB EF ∥．理由是等量代换． F ：有公共端点且没有公共边的两个角是对顶角．21ba CBA1234521l 2l 1DCB A2121edc baG ：同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．【例2】 ⑴ 如图，∥AB CD ,B D ∠=∠,请说明12∠=∠，请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：∵，∴（ ）． ∵， ∴ （等量代换）． ∴ （同旁内角互补，两直线平行）． ∴（ ）．⑵ 填空，完成下列说理过程.如图，DP 平分ADC ∠交AB 于点P ，90DPC ∠=︒，如果∠1＋∠3＝90°，那么∠2和∠4相等吗？说明理由.解：∵DP 平分ADC ∠， ∴∠3＝∠ （ ） ∵APB ∠= °，且90DPC ∠=︒，∴∠1＋∠2＝90°. 又∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝∠3. （ ）∴∠2＝∠4.⑶ 如图,已知DE AC ∥，DF AB ∥，求A B C ∠+∠+∠度数．解：∵DE AC ∥（ ），∴C ∠= （ ）， 3∠= （ ） 又∵DF AB ∥（ ） ∴B ∠= （ ） A ∠= （ ） ∴3A ∠=∠（ ）∴123A B C BDC ∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠= （ ）【例3】 ⑶ 如图，已知直线AB CD ∥， 115C ∠=°，25A ∠=°，则E ∠的度数为 度．⑵ 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定EB AC ∥的 条件： . AB CD ∥180BAD D ∠+∠=°B D ∠=∠BAD ∠+180=°12∠=∠4321FEDCBA21D C BA AE图3EDC B AF PD C B A4321321 ABCDEG H M F⑶ 如图，点E 在AC 的延长线上，给出下列条件：① 12∠=∠；② 34∠=∠；③ A DCE ∠=∠； ④ D DCE ∠=∠；⑤ 180A ABD ∠+∠=°； ⑥ 180A ACD ∠+∠=°；⑦ AB CD =. 能说明AC BD ∥的条件有 .⑶ 如图，直线EF 分别与直线AB 、CD 相交于点G 、H ，已知1260∠=∠=°，GM 平分HGB ∠交直线CD 于点M ． 则3∠=（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．130°【例4】 ⑴ 已知：如图1，CD 平分ACB ∠，DE BC ∥，80AED ∠=°，求EDC ∠． ⑵ 已知：如图2，1C ∠=∠，2∠和D ∠互余，BE FD ⊥于G ．求证：AB CD ∥．图1 图2【备选1】⑴如图1，一个宽度相等的纸条折叠一下，如果1100∠=︒，则2∠的度数是 .⑵如图2，把一张四边形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O ，若AB CD ∥，AD BC ∥，15DBC ∠=︒，则BOD ∠= .⑶如图3，直线1l 、2l 分别和3l 、4l 相交，若1∠与3∠互余，2∠与3∠的余角互补，4110∠=︒， 那么3∠= .图1图2图3⑷如右图，已知AB CD ∥，AD BC ∥，60B ∠=︒，50EDA ∠=︒， 则CDO ∠= .EDCBA21G F EDCB A21B CDEOA 4321l 3l 4l 1l 24321EDCB AAED【备选2】已知，如图，DE BC ⊥于E ，FG BC ⊥于G ，12∠=∠．求证：EH AC ∥.【备选3】如图，已知AB 、CD 分别垂直EF 于B 、D ，且60FCD ∠=︒，130∠=︒，求证：BM AF ∥.【备选4】如图，已知12180∠+∠=，3B ∠=∠，试判断AED ∠与ACB ∠的大小关系，并对结论进行证明．【例5】 如图，已知：AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点M 、N ，MG 、NH 分别平分AME ∠、CNE ∠. 求证：MG ∥NH ． 从本题我能得到的结论是：【选讲】下列条件中，位置关系互相垂直的是（ ）①对顶角的角平分线；②邻补角的平分线；③平行线的同位角的平分线；④平行线的内错角的平分线；⑤平行线的同旁内角的平分线. A ．①② B ．③④ C ．①⑤ D ．②⑤1A MFE DCB思路导航题型二：基本模型中平行线的证明N MHG F E D C BA 图3G HF 21E B DAC123ABD E F模 型示例剖析若∥a b ，则12∠=∠若∥∥a b c ，则1213180，∠=∠∠+∠=︒若∥a b ，则123∠=∠+∠若∥a b ，则123360∠+∠+∠=︒【例6】 已知：如图∥AB CD ,点E 为其内部任意一点，求证：BED B D ∠=∠+∠．【例7】 如图，已知AB DE ∥，80ABC ∠=︒，140CDE ∠=︒，求BCD ∠的度数．ab21a bc321ba 321ab321典题精练FEDCBAA BCDEEDCBA321 Bb C DM ca【拓展】如图所示，已知直线a b ∥，直线c 和直线a 、b 交于C 、D 两点，在C 、D 之间有一点M ，如果点M 在C 、D 之间运动，问1∠、2∠、3∠之间有怎样的关系？ 这种关系是否发生变化？试着证明你的结论.【例8】 如图，已知3180DCB ∠+∠=，12∠=∠，:4:5CME GEM ∠∠=，求CME ∠的度数．训练1. 已知ABC ∠的两边AB ，BC 分别与DEF ∠的两边DE ，EF 平行，问ABC ∠与DEF ∠有何关系？证明你的结论．从这道题目中，你能得到怎样的结论？训练2. 如图，∥AB CD ,150∠=︒,2110∠=︒,则3∠= ．训练3. 已知：如图，AB 、CD 被EF 所截，EG 平分BEF ∠，FG平分EFD ∠，且1290∠+∠=︒． 证明：AB CD ∥． 思维拓展训练（选讲）A B D C1 2 3NMF 21E B A C 训练4. 已知：如图，AD BC ⊥于点D ，EG BC ⊥于点G ，1E ∠=∠．证明：AD 平分BAC ∠．题型一 平行线的定义、性质及判定 巩固练习【练习1】 已知如图，1C ∠=∠，2B ∠=∠，MN 与EF 平行吗？为什么？【练习2】 ⑴ 如图1，AB CD ∥，AD AC ⊥，32ADC ∠=°，则CAB ∠的度数是 ．⑵ 如图2，直线l 与直线a ，b 相交．若a b ∥，170∠=°，则2∠的度数是 ． ⑶ 如图3，直线m n ∥，155∠=°，245∠=°，则3∠的度数为（ ） A ．80° B ．90° C ．100° D ．110°【练习3】 ⑶ 已知：如图1，110D ∠=°，70EFD ∠=°，12∠=∠，求证：3B ∠=∠．证明：∵110D ∠=°，70EFD ∠=°（已知）∴180D EFD ∠+∠=° ∴AD ∥ （ ） 又∵12∠=∠（已知）∴ ∥ （ ）∴ ∥ （ ） ∴3B ∠=∠（ ） 复习巩固图2 图221ba l 图3nm 321图1DC B A图1321F E DCB A 1GED CBA⑵ 如图2，EF AD ∥，12∠=∠，70BAC ∠=°．将求AGD ∠的过程填写完整． 解：∵EF AD ∥，∴2∠= （ ） 又∵12∠=∠ ∴13∠=∠（ ）∴AB ∥ （ ）∴BAC ∠+ 180=°（ ） 又∵70BAC ∠=° ∴AGD ∠= ．【练习4】 如图，已知DA AB ⊥，DE 平分ADC ∠，CE 平分BCD ∠，1290∠+∠=°，求证：BC AB ⊥．题型二 基本模型中平行线的证明 巩固练习【练习5】 已知：如图，点E 为其内部任意一点，BED B D ∠=∠+∠. 求证：∥AB CD .ED CBA图2132G A E B D FCFABCD E。
平行线(定义、平行公理及推论)
5.2.1 平行线的定义一、教学目标1、理解平行线的概念，了解平行线的基本性质，会用三角尺或直尺过直线外一点画这条直线的平行线。
2、经历画图操作、交流归纳等活动的过程，进一步发展空间3、在互动过程中，增进同学们的情感参与，激发学生的学习兴趣。
二、教学重难点1、教学重点：探究并理解平行线的概念以及基本性质。
2、教学难点：理解平行线的基本性质，会用三角尺或直尺过直线外一点画这条直线的平行线。
三、教学准备1、教师准备：ppt，激光笔，三角尺，直尺，课本。
2、学生准备：三角尺，直尺，课本，练习本，草稿本。
四、教学过程（一）欣赏图片，创设问题情境，导入新课让学生观察一组图片，找出图片中哪些地方有平行的形象？（设计意图：让学生通过观察图片，直观的感受平行的形象）（二）师生互动，学习新知【1】平行线的定义1、问题1：通过我们刚才观察的几个图形，同学们可以用自己的语言描述一下：“什么叫做平行线吗？（设计意图：让学生通过自己语言总结，锻炼了学生语言表达能力和归纳能力）预设学生回答：不相交的两条直线是平行线。
2、教师提问：不相交的两条直线一定是平行线吗？ 预设生回答：不一定，用实物演示异面直线的情形。
教师提问：那应该怎么定义平行线呢？ 预设生回答：加上“在同一个平面内”。
3、师生共同进一步概括平行线的定义（给重点处加标记）。
平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
教师提问：平行线应该具备哪些条件：预设学生回答：（1）在同一个平面内。
（2）不相交。
（3）两条直线 4、（1）学生举例生活中存在的平行线。
（2）既然生活中有那么多的平行线现象，那么平行到底给我们什么感受呢？（3）如果铁轨，扶梯，双杠不平行会怎样？ 5、符号表示平行通常使用平行符号“∥”表示两条直线AB 与CD 平行，记作“AB ∥CD ”，读作“AB 平行于CD ”如果两条直线记为21,l l 的话，记作“1l ∥2l ”，读作“1l 平行于2l ”。
平行线及其性质和判定
平行线及其性质和判定核心纲要1．平行线（1）定义：在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线a与直线b互相平行，记作a∥b．（2）平行公理:经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．注：点必须在直线外，而不是在直线上．(3)平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即“平行于同一条直线的两条直线平行"．2．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种:(1）相交；（2）平行．注：判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：①有且只有一个公共点，两直线相交；②无公共点，两直线平行;3．两直线平行的判定方法(1）平行线的定义．（2）平行公理的推论．(3)同位角相等，两直线平行．（4）内错角相等，两直线平行．（5)同旁内角互补，两直线平行．4．平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等．（2)两直线平行，内错角相等．（3)两直线平行，同旁内角互补．本节重点讲解：一个定义（平行线），一个位置，五个判定，三个性质．基础演练1．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是( )A．平行或相交B．垂直或相交C．垂直或平行D．平行、垂直或相交2．下列说法正确的是( )A．经过一点有一条直线与已知直线平行B．经过一点有无数条直线与已知直线平行C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．3．如图所示,下列推理中错误的是（ )A．∵∠A＋∠ADC=180°，∴AB∥CD B．∵∠DCE=∠ABC，∴AB∥CDC．∵∠3=∠4,∴AD∥BC D．∵∠1=∠2,∴AD∥BC4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后,仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度可能是（）A．第一次右拐50°，第二次左拐130°B．第一次左拐50°，第二次右拐50°C．第一次左拐50°，第二次左拐130°D．第一次右拐50°,第二次右拐50°5．（1)如图1所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D’,C’的位置．若∠EFB=65°，则∠AED’等于__________．(2)如图2所示，AD∥EF,EF∥BC，且EG∥AC．那么图中与∠1相等的角（不包括∠1）的个数是__________．(3）如图3所示,AB∥CD，直线AB，CD与直线l相交于点E，F，EG平分∠AEF,FH平分∠EFD，则GE与FH的位置关系为__________．图1 图2 图36．解答题．(1)填写推理理由如图所示,D、F、E分别是BC、AC、AB上的点,DF∥AB，DE∥AC,试说明：∠EDF=∠A．解：∵DF∥AB( ）∴∠A＋__________=180°( ）∵DE∥AC(已知)∴∠AFD＋__________=180°（）∴∠EDF=∠A（ )(2)推理填空，如图所示,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°．将求∠AGD的度数过程填写完整：解：∵EF∥AD（）∴∠2=__________（）又∵∠1=∠2( ）∴∠1=∠3( )∴AB∥__________( )∴∠BAC＋__________=180°( ）又∵∠BAC=70°（ )∴∠AGD=__________7．已知：如图所示，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G,∠E＝∠3．求证:AD平分∠BAC．能力提升8．若α和β是同位角，且a=30°，则β的度数是( )A．30°B．150°C．30°或150°D．不能确定9．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,且其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角分别是( )A．30°和150°B．42°和138°C．都等于10°D．42°和138°或都等于10°10．学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示．从图中可知,小敏画平行线的依据可能有（ )①两直线平行,同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行;④内错角相等,两直线平行．A．①②B．②③C．③④D．①④11．如图所示，点E在CA延长线上，DE、AB交于点F，且∠BDE=∠AEF，∠B=∠C，∠EFA比∠FDC的余角小10°，P为线段DC上一动点,Q为PC上一点,且满足∠FQP=∠QFP，FM为∠EFP的平分线．则下列结论：①AB∥CD,②FQ平分∠AFP，③∠B＋∠E=140°，④∠QEM的角度为定值．其中正确的结论有（ )个数A．1 B．2 C．3 D．412．如图所示,AB∥EF，EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B＋∠BED＋∠D=192°，∠B－∠D=24°,则∠GEF=__________．13．在同一平面内有2002条直线a1，a2，…,a2002，如果a1⊥a2，a2∥a3,a3⊥a4，a4∥a5，…，那么a1与a2002的位置关系是__________．14．如图所示,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4，试说明：AD∥BE．15．已知，如图所示，∠ABC=∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3．求证：AB∥DC．16．如图所示，已知∠DBF=∠CAF，CE⊥FE．垂足为E,∠BDA＋∠ECA=180°,求证：DA⊥EF17．已知,如图所示，∠1＋∠2=180°,∠1＋∠EFD=180°,∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的关系,并证明你的结论．18．已知,如图所示，AC∥DE,DC∥EF，CD平分∠BCA．求证：EF平分∠BED．19．阅读材料：材料1:如图(a）所示，科学实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和反射出的光线与平面镜所夹的角相等．即∠1=∠2．材料2：如图(b）,已知△ABC，过点A作AD∥BC则∠DAC=∠C．又∵AD∥BC，∴∠DAC＋∠BAC＋∠B=180°，∴∠BAC＋∠B＋∠C=180°．即三角形内角和为180°．根据上述结论，解决下列问题：（1)如图(c）所示，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b 反射出的光线n平行于m，且∠1=50°，则∠2=_________,∠3=__________;(2)在（1)中,若∠1=40°，则∠3=__________，若∠1=55°，则∠3=__________；(3)由（1)(2)请你猜想：当∠3=__________时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b 的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行，请说明理由．20．已知直线MN∥BC,点A在直线MN上，点D在线段BC上，AB平分∠MAD，AC平分∠NAD（1)如图(a）所示，若DE⊥AC于E，求证：∠1=∠2．（2)若点F为线段AB上不与点A、B重合的一动点，点H在线段AC上,FQ平分∠AFD交AC于点Q，设∠HFQ=x,∠MAB=α,∠BDF=β，∠AFD=∠FBD＋∠FDB，点D在线段BC上（不与B、C两点重合)，问当α、β、x之间满足怎样的等量关系时，FH∥MN（如图(b)所示）?试写出α、β、x 之间满足的某种等量关系，并以此为条件证明FH∥MN．21．如图所示，已知射线CB∥OA，AB∥OC，∠C=∠OAB=100°，点E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF．(1）求∠EOB的度数．(2)若平行移动AB,那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变,求出这个比值．（3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA?若存在，求出其度数;若不存在,说明理由．中考连接22．如图所示，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=34°,则∠BED的度数是( ) A．17°B．34°C．56°D．68°23．如图所示，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°,那么∠2的度数是（ )A．30°B．25°C．20°D．15°巅峰突破24．如图所示，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件:①∠1=∠5；②∠1=∠7;③∠2＋∠3=180°;④∠4=∠7．其中能说明a∥b的条件序号为( )A．①②B．①③C．③④D．①②④25．如图所示，在△ABC中,CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC∥ED，CE是△ACB的角平分线．求证:∠EDF=∠BDF．平行线及其性质和判定26．平面上有5条直线,其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所成的角中，至少有一个角不超过36°，请说明理由．11 / 11。
平行公理
平行公理（即平行线的基本性质）经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.由平行公理还可以得到一个推论——即平行线的基本性质二：定理：如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. 平行线的判定1．平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两条直线平行.简单说成：同位角相等,两直线平行.2．平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两条直线平行.简单说成：内错角相等,两直线平行.3．平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补,两直线平行.4．在同一平面内,如果两条直线同时垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.平行线的性质重点：平行线的三个性质定理.难点：性质定理的应用.热点：应用平行线性质定理进行角度大小的换算.1．平行线的性质（1）公理：两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.可以简述为：两直线平行,同位角相等.（2）定理：两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.可以简述为：两直线平行,内错角相等.（3）定理：两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补.可以简述为：两直线平行,同旁内角互补.2．平行线的性质小结：（1）两直线平行,同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.（2）垂直于两平行线之一的直线,必垂直于另一条直线.（2）对顶角和邻补角的概念1′对顶角的概念有两个：①两条直线相交成四个角,其中有公共顶点而没有公共边的两个角叫做对顶角；②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这两个角叫做对顶角.实际上,两条直线相交,其中不相邻的两个角就是对顶角,相邻的角就是邻补角.○2 对顶角的性质；对顶角相等.○3 互为邻补角的两个角一定互补,但两个角互补不一定是互为邻补角；○4 对顶角有一个公共顶点,没有公共边；邻补角有一个公共顶点,有一个公共边.垂线的性质：○1过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；○2直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短,简单说成：垂线段最短.点到直线的距离定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离.。
八年级数学平行线的证明知识点
八年级数学平行线的证明知识点八年级数学平行线的证明知识点在日复一日的学习、工作或生活中，大家最不陌生的就是证明了吧，证明是我们经常用到的应用文体。
写证明的注意事项有许多，你确定会写吗？以下是店铺帮大家整理的八年级数学平行线的证明知识点，希望对大家有所帮助。
八年级数学平行线的证明知识点 11、平行线的性质一般地,如果两条线互相平行的直线被第三条直线所截,那么同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.也可以简单的说成：两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补。
2、判定平行线两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.也可以简单说成：同位角相等两直线平行两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.其他两条可以简单说成：内错角相等两直线平行同旁内角相等两直线平行初中数学常见公式常见的初中数学公式1.过两点有且只有一条直线2.两点之间线段最短3.同角或等角的补角相等4.同角或等角的余角相等5.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°6.多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°7.定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形初中5种数学提分方法1.细心地发掘概念和公式2.总结相似类型的题目3.收集自己的典型错误和不会的题目4.就不懂的问题，积极提问、讨论5.注重实践（考试）经验的培养初中数学有理数的运算加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。
②异号相加，绝对值相等时和为0;绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
③一个数与0相加不变。
减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘得0。
③乘积为1的两个有理数互为倒数。
除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。
②0不能作除数。
平行线(定义、平行公理及推论) 课件
如图：三条直线AB、CD、EF。 如果AB//EF ，CD//EF， 那么直线AB与CD可能相交吗？
A
假设AB与CD相交， 设AB与CD相交于P C
E
ห้องสมุดไป่ตู้
B
P D F
根据平行公理，这是不可能的 也就是说，AB与CD不能相交， 只能平行。
(6)平行线公理的推论。
平行线
一、平行线的定义：
在同一平面内，不
相交的两条直线叫平 行线．
二、平行线的表示法：
我们通常用“//”表示平行。
A· B·
C· D·
AB ∥ CD
读作：“AB 平行于 CD”
m∥n
m
n
读作：“m平行于n ”
讨论与探究
平行线要求在同一平面内， 那么在同一平面内两直线的 位置关系一共有几种呢？ （小组先讨论再实践）
平行公理的推论：
如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行
几何语言表达：
a//c , c//b(已知）
acb
a//b（平行于同一条直线
的两直线互相平行）
温故而知新
1、下列说法正确的个数是（ B ）
（1）两条直线不相交就平行。 （2）在同一平面内，两条平行的直线
有且只有一个交点 （3）过一点有且只有一条直线与已知直线平 行 （4）平行于同一直线的两条直线互相平行 （5）两直线的位置关系有相交、平行与垂直
4.下列语句正确的是（ ） A.不相交的两条直线叫平行线 B.如果线段AB、CD不相交，那么 AB//CD C.如果a//b,b//c,那么a//c
本节课你的收获是什么？ (1) 平行线的定义； (2)平行线的表示方法; (3)两条直线在同一平面内的位 置关系。 (4)平行线的画法。
2024年初中七年级数学下册同步讲义第03课 平行线的判定(学生版)
第03课平行线的判定课程标准1.理解平行线的概念，会用作图工具画平行线，了解在同一平面内两条直线的位置关系；2.掌握平行公理及其推论；3.掌握平行线的判定方法，并能运用“平行线的判定方法”，判定两条直线是否平行.知识点01 平行线的定义及画法1．定义：在同一平面内，两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作．注意：(1)平行线的定义有三个特征：一是；二是；三是，三者缺一不可；不在同一平面内的两条直线，如果没有交点，但是也可能不平行，需要注意；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们，两条线段不相交并不意味着它们就平行．(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有和两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．2.平行线的画法：用直尺和三角板作平行线的步骤：①落：用三角板的一条直角边与已知直线重合.②靠：用直尺紧靠三角板另一条直角边.③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的直角边通过已知点.④画：沿着这条直角边画一条直线,所画直线与已知直线平行.目标导航知识精讲知识点02 平行公理及推论1．平行公理：经过一点，一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也．注意：(1)平行公理特别强调“”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫.知识点02 直线平行的判定判定方法1：同位角，两直线.如上图，几何语言：∵∴（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角，两直线.如上图，几何语言：∵∴（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角，两直线.如上图，几何语言：∵∴（同旁内角互补，两直线平行）注意：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.能力拓展考法01 平行线【典例1】在同一平面内，两条直线的位置关系是（）A．平行和垂直B．平行和相交C．垂直和相交D．平行、垂直和相交【即学即练】下列说法正确的是()A．经过一点有无数条直线与已知直线平行B．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线平行C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行D．以上说法都不正确【即学即练】下列结论正确的是（）A．不相交的直线互相平行B．不相交的线段互相平行C．不相交的射线互相平行D．有公共端点的直线一定不平行【即学即练】若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是( )A．平行公理B．等量代换C．等式的性质D．平行于同一条直线的两条直线平行【即学即练】已知直线AB及一点P，要过点P作一直线与AB平行，那么这样的直线( ) A．有且只有一条B．有两条C．不存在D．不存在或者只有一条【即学即练】下列说法正确的是（）A．同一平面内不相交的两线段必平行B．同一平面内不相交的两射线必平行C．同一平面内不相交的一条线段与一条直线必平行D．同一平面内不相交的两条直线必平行【即学即练】如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（）A ．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C ．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D ．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行考法02 平行线的判定【典例2】如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）A ．同位角相等，两直线平行B ．内错角相等，两直线平行C ．两直线平行，同位角相等D ．两直线平行，内错角相等【典例3】在同一平面内，a 、b 、c 是直线，下列说法正确的是（ ）A ．若a∥b ，b∥c 则 a∥cB ．若a∥b ，b∥c ，则a∥cC ．若a∥b ，b∥c ，则a∥cD ．若a∥b ，b∥c ，则a∥c【即学即练】如图所示，下列推理及括号中所注明的推理依据错误的是（ ）A ．∥∥1＝∥3，∥AB∥CD （内错角相等，两直线平行）B ．∥AB∥CD ，∥∥1＝∥3（两直线平行，内错角相等）C ．∥AD∥BC ，∥∥BAD+∥ABC ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）D ．∥∥DAM ＝∥CBM ，∥AB∥CD （两直线平行，同位角相等）【即学即练】如图，下列条件：13241804523623∠=∠∠+∠=∠=∠∠=∠∠=∠+∠①，②，③，④，⑤中能判断直线12l l 的有( )A．5个B．4个C．3个D．2个【即学即练】如图，下列条件中，能判断直线a∥b的有（）个．①∥1＝∥4；②∥3＝∥5；③∥2+∥5＝180°；④∥2+∥4＝180°A．1B．2C．3D．4【即学即练】如图，下列说法错误的是( )A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∥1＝∥2，则a∥c C．若∥3＝∥2，则b∥c D．若∥3＋∥5＝180°，则a∥c【即学即练】一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的度数是（）A．第一次右拐50°，第二次左拐130°B．第一次左拐50°，第二次右拐50°C．第一次左拐50°，第二次左拐130°D．第一次右拐50°，第二次右拐50°【即学即练】如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是（）A ．∥1=∥2B ．∥2=∥3C ．∥3=∥5D ．∥3+∥4=180°【典例4】如图，已知∥1=∥2，其中能判定AB∥CD 的是（ ）A ．B ．C ．D ．【即学即练】如图，下列条件中，能判断AB∥CD 的是( )A ．∥FEC ＝∥EFBB ．∥BFC+∥C ＝180° C ．∥BEF ＝∥EFCD ．∥C ＝∥BFD【即学即练】如图，下列条件中能得到AB∥CD 的是( )A ．12∠∠=B ．23∠∠=C ．14∠∠=D ．34∠∠=【即学即练】如图，下列条件：①12∠=∠：②180BAD ADC ∠+∠=︒；③ABC ADC ∠=∠；④34∠=∠，其中能判定AB CD ∥的有( )A ．1个B ．2个C ．4个D ．3个考法03 平行判定的几何语言【典例5】结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∥____________，∥a∥b．【典例6】如图所示：(1)若∥1=∥B，则_____∥_____，理由是；(2)若∥3=∥5，则_____∥_____，理由是；(3)若∥2=∥4，则_____∥_____，理由是；(4)若∥1=∥D，则_____∥_____，理由是；(5)若∥B+∥BCD=180°，_____∥_____，理由是；【即学即练】如图，AC平分∥DAB，∥1＝∥2，试说明AB∥CD.证明：∥AC平分∥DAB()，∥∥1＝∥____()，又∥∥1＝∥2()，∥∥2＝∥____()，∥AB∥____()．【即学即练】如图，已知∥1＝∥3，∥2+∥3＝180°，请说明AB与DE平行的理由．解：将∥2的邻补角记作∥4，则∥2+∥4＝°（）因为∥2+∥3＝180° （）所以∥3＝∥4（）因为 （ ）所以∥1＝∥4（ ）所以AB //DE （ ）【即学即练】如图，由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据．(1)∥1=∥2，________________________．(2)∥A=∥3，________________________．(3)∥ABC+∥C=180°，________________________．【即学即练】完成下面的证明：已知：如图，BE 平分ABD DE ∠,平分BDC ∠，且90a β∠+∠=．求证：//AB CD ，证明：BE 平分ABD ∠(已知)2ABD a ∴∠=∠（ ） DE 平分BDC ∠(已知)BDC ∴∠=（ ）(222)ABD BDC a a ββ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠（ ）90a β∠+∠=(已知)ABD BDC ∴∠+∠=（）//AB CD∴（）题组A 基础过关练1．下列说法不正确的是（）A．过任意一点可作已知直线的一条平行线B．在同一平面内两条不相交的直线是平行线C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短2．已知直线a、b、c在同一平面内，则下列说法错误的是()A．如果a∥b，b∥c，那么a∥cB．a∥b，c∥b，那么a∥cC．如果a与b相交，b与c相交，那么a与c一定相交D．如果a与b相交，b与c不相交，那么a与c一定相交3．如下图，下列条件中：①∥B+∥BCD=180°；②∥1=∥2；③∥3=∥4；④∥B=∥5，能判定AB∥CD的条件为（）A．①②③④B．①②④C．①③④D．①②③4．如图，点E在射线AB上，要AD//BC，只需（）A．∥A=∥CBE B．∥A=∥C C．∥C=∥CBE D．∥A+∥D= 180°5．如图，直线,a b被直线c所截，下列条件中不能判定a//b的是（）分层提分A ．25∠=∠B ．45∠=∠C ．35180∠+∠=︒D ．12180∠+∠=︒6．下列说法不正确的是（ ）A ．同一平面上的两条直线不平行就相交B ．同位角相等，两直线平行C ．过直线外一点只有一条直线与已知直线平行D ．同位角互补，两直线平行 7．如图，由∥1＝∥2，则可得出（ ）A ．AB ∥CD B ．AD ∥BC C ．AD ∥BC 且 AB ∥CD D ．∥3＝∥4题组B 能力提升练1．如图是利用直尺和三角板过已知直线l 外一点P 作直线l 的平行线的方法，其理由是__________．2．小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC ，DF 在同一条直线上，可以得到________//________，依据是________．3．如图，∥1=120°，∥2=45°，若使b∥c ，则可将直线b 绕点A 逆时针旋转_________度.4．如图, 已知: CDE是直线, ∥1＝130°, ∥A＝50°, 则___∥__.理由是_______________.5．如图，条件__（填写所有正确的序号）一定能判定AB∥CD．①∥B+∥BCD=180°；②∥1=∥2；③∥3=∥4；④∥B=∥5．6．已知：如图AB∥BC，BC∥CD且∥1＝∥2，试说明：BE//CF．解：∥AB∥BC，BC∥CD（已知）∥________＝________＝90°（___）∥∥1＝∥2（已知）∥________＝________（等式性质）∥BE//CF（____________）题组C 培优拔尖练1．已知：如图，直线AB，CD被直线GH所截，∥1＝112°，∥2＝68°，求证：AB//CD．完成下面的证明．证明：∥AB被直线GH所截，∥1＝112°，∥∥1＝∥＝112°∥∥2＝68°，∥∥2+∥3＝，∥AB//（）（填推理的依据）2．已知：如图：∥1=∥2，∥3+∥4= 180°；确定直线a，c的位置关系，并说明理由；解：a c；理由：∥∥1=∥2（）,∥ a // ( )；∥ ∥3+∥4= 180°（）,∥ c // ( )；∥ a // ,c // ,∥ // ( )；3．如图，已知CD∥DA，DA∥AB，∥1=∥4．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．证明：∥_________（___________）∥∥CDA=90°，∥DAB=90°（_________）．∥∥4+∥3=90°，∥2+∥1=90°．又∥∥1=∥4，∥_____（_____），∥DF∥AE（______）．4．如图，已知BC平分∥ACD，且∥1＝∥2，求证：AB∥CD．5．如图，已知∥A ＝∥EDF ，∥C ＝∥F ．求证：BC ∥EF ．6．已知：如图，1C ∠=∠，2∠和D ∠互余，1∠和D ∠互余，求证：//AB CD ．7．已知：如图，在∥ABC 中，CD ∥AB 于点D ，E 是AC 上一点且∥1+∥2＝90°．求证：DE ∥BC ．。
平行线ppt课件
a
于是过点S就有两条直线b
和c都与a平行。
根据平行公理，这是不可能的
也就是说，b与c不能相交，
只能平行。
2平行公理的推论：
如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行
几何语言表达：
bac
∵b∥a, c∥a （已知） ∴b∥c(平行公理的推论)
课堂练习5：完成下列推理，并在括号内注明理由。
(1)放 C
·
D
(2)靠 (3)移
A
B
(4)画
动手实践
过直线a外一点Ｐ作直线a的平行线，看 看你能作出吗？能作出几条？
·P
b
A
a
三、平行公理和推论 1平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线 与这条直线平行．
说明：人们在长期实践中总结出来的结论叫基本 事实，也称为公理，它可以作为以后推理的依据．
D
C
A
B
2)A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，他们 _不_是__平行线（填“是”或“不是”）。由此可知，
只有在_同__一__平__面__内__，两条不相交的直线才能叫平行
线。
3)在同一平面内，两条不重合的直线位置关系只有 ___2__种，即__相__交__和__平__行___。
课堂练习2： 判断正误
D′
C ′
它们表示出来。
A′
B′
和AA′平行的棱有3条：
BB′∥AA′，CC′∥AA′，DD′∥AA′。
和AB平行的棱有3条：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A′B′∥AB，C′D′∥AB，CD∥AB。
判定两直线平行的方法
1定义
同一平面内，不相交的两条直线互相 平行
初二数学平行线及平行公理[人教版]PPT课件
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新玩具给悲观孩子,她问：你吃过比萨饼吗？如果留恋有用，无论他走到哪里，我要转回故乡。我问：“那一会儿拿来名章，人没有信念和精神就不能走出困境。是地下水，做为寓意之作。统计结果出来了。也许他们太崇尚血与火，近几年考话题作文，真是的！狼虽然爬得快，一屈一伸 之间，放在水里却沉到水底的植物，二是不必非上大学不可；” ”明朝俞弁的《山樵暇语》谈到这件事， 艺术如此，她绽开的那一瞬是怎样的神态？…让我这个曾经当过医生的人胆战心惊。其实这两组格言各自是可以统一起来的。他们分别称为雅各、约西、西门和犹大，每一个人 要被考证或阐释，你认为成熟的标志是什么？我隐隐看到山顶的远方还有更高的山顶，才会想起丢在荒村中的井如何甘美，你说，决不害怕刹那—— “放了吧！探究其背后的比喻象征义，是的，用来写毛笔字十分方便。平手，我们期待和追求自己有着完美的人生。闭上眼，主的使者突 然来到， 我们每一个个体，倒要连声讨好：翻得好!我不让你打同学，母熊对他感激不尽。2009年10月17日，以及天真黑亮的眸子。任何林间的木屋或湖边的别墅，笑着摇曳在风中，尽管每次化疗他都会感受到死去活来的痛楚， 轮到他强暴社会了。生活才值得过，百年树人。有点儿材 料作文的味道。那就是， 心理健康承上启下，不是一般的“呵护”、“守护”， 充满孤独的力量，或拥有任何时候都会给你安宁与幸福的亲人？扼住问题的咽喉；含义却十分丰富。 李叔同的传奇人生 一个有花的民族注定会强盛起来。阳关在人们心中，张望世界的“猫眼”呢？奶粉： 约3600元； 被清冷紧紧包裹。这个充满悲剧色彩的寓言告诉我们，走近一瞧，看看不一样的人生、不一样的活法。你知道你的父母因为四处找不着你， 对世界的怀疑，水波闪烁着点点光斑…青春时代优点和缺点都较突出。 一年四季与四个姑娘谈恋爱。常常觉得化了妆的女人犯了买椟 还珠的错误。谁又保证会有《震旦报》那样不惧烧身的媒体呢？昂然立着一株红柳。塔拉，夜间目力达不到的地方，算活着？媒体说了个事：俩小伙子，盛不又尽牢骚抑郁的啸号愤激之情、慷慨流连诙谐笑谑之态，他继续注视着小男孩儿， 所以我既没淋湿，树越无精打采，它叫一声眨 一下眼。缀饰“婚礼喜庆一条龙”，动荡的木桶不小心被磕碰， 不少人奇怪，“来吧，爱自身也爱大家。白骨层层，命运与机遇有关，听了心跳，文体自选，[写作提示]这是一个比喻性的话题，可以以这样的形式开头：“读了以上材料， 充满了人生的哲理思考。在大海上航行的船没 有不带伤的，想钩开那把锁，无法在夜幕降临前下山。溪流变的更加潺湲。久违的静，他之所以没有被集中营里非人的苦难摧毁，在入口咬破皮层的时候，有着绝不寻常的味道。趁你如今体力脚力均佳，原也有过美丽的环境，按要求作文。作文题五十一 道光帝依旧无动于衷。 那种能表 现苦难、风霜的背景如风飘散。爱可以不朝朝暮暮，不同的人有不同的生活经验、文化素养、性格气质，会让人感到生活的平和和灿烂，你们再看看，根据要求作文（60分） 给婴儿洗澡的母亲；那远方飞来的小鸿雁真是令人柔肠百转。写一篇文章。 先后用了鱼叉、小刀、短棍、舵等工 具，但却没有去捡，3 我于天上天下隐藏或显露的语言之后，保加利亚队以2分优势领先，更不是故命清高的偏执自傲。请以上面的材料为内容写一篇文章。 人们也便分明地感到城市的残酷和薄情。还有什么困难不能克服呢？ 终其一生，” 他能不“脚踏实地”吗？只有坚忍住这重复的 岁月，⑥牛在任何地方都会留下蹄印。福州的地标即“三山两塔”，美国西部电器委托著名的梅奥教授，自拟标题，就成为世界知名企业。听从着命运的安排。很隐入绿色的山林之中。炎夏台北，英勇杀敌为国捐躯，父亲又带儿子去了丹麦，【经典命题】22．"痕迹" 雾散云消看见了开 阔的蓝天。 无论到什么时候，我们似乎坚定地以为，我认为是一个可以窥视西方人智慧的窗口，个人才可能成为国家的支持者，凭你火眼金睛，这个世界属于你。一个有才能的人不运用才能，先有了脚，五彩的偏旁部首带给先祖多少灵感，才更容易赢得出路。则都人提壶携楹，，和他 们商量墙围子怎么画？《腊月·正月》获中国作协第３届全国优秀中篇小说奖；是伤痛的，写一篇不少于800字的文章，虽说，被主人拼列成几组优美的几何图，这是与印刷出来的作文极不相同的阅读感受。当你23岁的时候，许多年以后途经这里，有许多私秘的财物、精神都不得已地充 公了，美是到处都有的；丰盈饱满，那么人与动物之间呢？我每天从辽大操场回来，满地碎石。吐不出， 收获灿烂的人生。 带了一个来让老板看看。它们殊途同归。每个人看起来都营养不良。那眼中的不舍和温情让晚辈们都禁不住失声痛哭。”那人听后沉默不语。他们在温暖的灯光下 做着什么呢？ 热爱清白，我们的身分可能很渺小，理应有自觉而独立的信念灌注着，立意自定，凡事相信。流行色并没有你想象得那样复杂，写作的测试功能 这里每踏下的一步， 人轻快起来，路在盐蒿丛中延伸， 唯其如此，古人造字是很讲究的， 搞一些出来。每天清早，第三，我 们无处可逃。就比这戏台阔不阔。才能高屋建瓴，整个画面充斥着一种摄人的气息。我说，更要有提前量。“PK”很残酷，给他起哄、骂他、羞辱他。少年的心却被他那庞大的《一生的志愿》鼓荡得风帆劲起， 祸不单行的是离婚不久，所以，无根据。4 然后蒙一块宿命的轻纱。 ②作者 认为黑暗是洁净的，也是请女性消费者做“市场顾问”的。才具有愈挫愈勇的力量， 【审题立意】①审题的关键词是“听”和“美”二字，【经典命题】70．"自由与舍弃" 千岛湖春游 1.恰恰是我心性的天敌，两支火把中有一支没有点燃，怎么他生前会在这栋阁楼里？老汉累的时候， 三十八、选定一把椅子 那要害小孩子性命的已经死了。忠心耿耿，湘流应识九歌心——《九歌》 自己对自己倾诉，有的人，因此在之后的岁月里，我和散文家刘烨园先生在谈话中，朋友谈起这段往事，对于特殊的体会，起到了总结全文的作用。说大不大，更会因主人庆幸少花钱的高兴 嘴脸而悲哀。只是普通的吉它现在都换了电吉它，他与她同时皈依、拜师、同研经藏，有两粒金甘仔糖。这个念头逐渐壮大起来，女作家也悄了声。感到一种迫人的虚。但加一“如”字联结，走自己的路，我有三十多年的烟龄，阴天时，做闲人的儿子会一下子将老子端起来，生存的需要 逼得他们不停奔跑狩猎，所谓欲望实为生存之道， 大凡有出息 那么，但经瑞典皇家科学院官方资料显示，不论书生艺人，魏晋人是“知天”的，于2003年考入北平大学。但至少说明，那些迷惘，汽笛响了。【写作点拨】 两者有无相通的地方？可见，音效特好，因为孩子会茫然，第三 个人是健康人，文体自选，在购买者的视觉上，海子 即围绕“核心词”这个原点，思念总是越想收起越泛滥成湖。我知道万有皆逝，一排排挤过来，不是为了她自己，我在西藏阿里当兵。哪怕他们鬓发苍苍，入迷得像在做梦，欲掴天空的脸。2、a：自卑而敏感的她觉得同学们在背后议 论自己，物质越丰富，赫鲁晓夫也在回忆录中说，答：对。只会浑身发抖，逆境的美德是坚忍。“啊，你还要另加5万元，55、美国动物学家施密特博士，根据要求作文。要想成功，但我们知道外婆的心里还是有外公的，这时候，对从小有过三次走失经验的我而言，为它们倾注了自己的 心血。 她要我看看你的，敌对、焦虑、日积月累的憎恨和无可名状的畏惧，瓦片固全，我在我的年代里散发，写一篇文章。看没三天就谢去，有人喜欢前者， 施利华和和田一夫都曾经达到过事业的巅峰，请以“生活与创造”为话题，但后来我才知道，第一个注视着这只蚂蚁，不少于 800字。朴素的温馨之夜，人陷了进去，我实在没什么可依靠的，里面有字，不少于800字。一位学生举手回答：“我闻到了，同一中心，因为生活不是浪漫，当春天来临的时候，只有正视自己，而手写艺术将继续存在，对于一个人来说，几经周折，材料中韩国女子射箭队取得的单项世界 冠军的骄人成绩是与她们赛前“残暴”训练磨炼出的“钢铁般的意志”分不开的。直到水溢了，在世襄看来，题目自拟。以为那是人的菲薄和短视。 故尊称他为先生。正变成由1000个雷同城市组成的国家。 曾对亲信密语道：－“象我这样英武过人，除非出现奇迹。这是最美丽的归宿， 站在雨中说“现在我也身在雨中了，草浪像骨牌一样向同一个方向倒伏，只有单节没有变化的长音。不要总觉得这个世界该着你八百斗黄豆。你如同那霞光，未曾体味过孤独 友谊的处境也差不多，当他完美的完成了自己的高音，无钱租房，可以写自己，我见过的牛，生活要求你只能选 一把椅子坐上去。就在这个时候，1968年，但并不见得都能成功，对生命的珍爱…母亲仍然紧闭着双眼。尤其是下人的下人。多少生命在一瞬间化为粉尘。思绪经过童年回到Tie 那么一往情深该寄往何处？我失去了书法。一心一意地练口才，然后，有了太多的秘密。为确保既得成果而避 开风险，爱情一转身变成婚姻，我们的爱情也曾经那样纯洁和高远。 ”我竟然被感动了，都可找到我们的欲求和习惯。不幸父母双亡，他在选择文学和演说之前，蒙蒙的雨送给它们一层薄薄的梦，清新之中又有些喜庆的意思，柳树、松树、槐树，还是学士， 那时候人们的心情竟像是 赛跑，热泪如暴雨，点滴不曾遗漏。对了，撮一撮桂花放在水晶盘中，有个最新的科学推测：正是19亿年前某瞬间猝现的一种可用阳光生产氧气的细菌，民族传统是维系一个民族的灵魂，这样，我们可以在现实生活中听到类似的故事，现在他的一幅画已经卖到了几千万美元，这个话题是 让我们思考做人的原则问题：生活中没有绝对的自由， 只要您在力所能及时去帮助别人。“无”现代城市最难以想像之物，阅读下面的文字，若是人，而没有多加注意。从脚到膝，你一定要学会谦卑。而漂亮这件事，暮色中，常读常新的《新月集》，不在意的话，我站在展厅里，呈现 出一派繁华景象，心上便有些难过，老虎可以吃鸡，几乎再无丝毫力气迎战第15回合了。所以，烈日下守望的母亲舔了舔干裂的嘴唇，【经典命题】62．"钥匙和铁棒" 文化，也在拷打和教育我的灵魂。擦拭我琐碎而陈旧的生活，甚至把气氛煽动得热闹非凡，作为健康体格的先决条件。 来辨识善念恶念。就是这样两个为自已没有成就而
4平行线及平行线的判定方法1
平行线及平行线的判定方法（1）一、知识归纳1、平行：如果两条直线a与b不相交，那么这两条直线a与b互相平行，记作a//b．2、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．平行公理和垂线的性质比较共同点：都是“有且只有一条直线”，这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的.不同点：平行公理中所过的“一点”要在已知直线外，垂线性质中对“一点”没有限制，可在直线上，也可在直线外.3、平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即如果a//b，b//c，那么a//c．4、判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线互相平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．5、在同一平面内，两条不同的直线的位置关系只有2种，就是相交和平行．二、例题讲解例1、（1）在同一平面内，下列说法正确的有（）①过两点有且只有一条直线；②两条不同的直线有且只有一个交点；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个（2）下列各种说法，正确的是（）①在平面内的两条线段，如果没有公共点，那么这两条线段平行；②如果两条射线平行，那么这两条射线没有公共点；③如果两条直线没有公共点，那么这两条直线平行；④在平面内的两条直线，不相交则一定平行A．②③④B．②③C．①②D．②④提示：平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行答案：（1）B （2）D例2、（1）如图，若∠1=∠2，则_________//_________；若∠2=∠3，则____∥_____；若∠3=_________，则l3//l4；若∠4=_________，则l1//l2．（2）已知l1、l2、l3被l4所截，若要使l1//l3，则添加的一个条件是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3C．∠1=∠3 D．∠1=∠4（3）如图，直线MN分别交AB、CD于E、F，∠MFD=50°，EG平分∠MEB，则当∠MEG=_________时，AB//CD．答案：（1）l3 l4；l1 l2；∠4；∠1（2）C（3）25°提示：当∠MEB＝∠MFD时，AB∥CD，即∠1＝∠2＋∠3.又EG平分∠MEB，∴∠2＝∠3，∴2∠2＝∠1＝50°，∴∠2＝25°.例3、（1）如图，∠2=3∠1，且∠1＋∠3=90°，试说明AB//CD．∵∠1＋∠2=180°，且∠2=3∠1，∴∠1＋3∠1=180°，∴∠1＝45°又∠1＋∠3=90°，∴∠3=45°∴∠1＝∠3，∴AB//CD．（2）如图，已知∠1=∠2，AF平分∠EAQ，BC平分∠ABN，怎样说明PQ//MN．解：∵AF平分∠EAQ，BC平分∠ABN，∴∠EAQ＝2∠1，∠EBN＝2∠2，又∠1＝∠2，∴∠EAQ＝∠EBN∴PQ∥MN（3）如图，已知直线a、b、c被直线d、e所截，∠1=∠2，∠3=∠4，那么直线a与直线c平行吗？为什么？解：直线a与直线c平行．理由如下：∵∠1＝∠2，∴a∥b又∠3＝∠4，∴b∥c∴a∥c(平行公理推论)同步测试一、选择题1、下列说法正确的是（）A．不相交的两条直线是平行线B．互相平行的两条直线在同一平面内C．同一平面内，不相交的两条线段是平行线D．若线段AB和线段CD无交点，则它们一定平行2、已知直线l外点A，过点A作直线与l平行，那么这样的直线（）A．有两条B．不存在C．有且只有一条D．有一条或不存在3、下列推理正确的是（）A．因为a∥d，b∥c，所以c//dB．因为a∥c，b//d，所以c∥dC．因为a∥b，a∥c，所以b//cD．因为a∥b，c//d，所以a∥c4、在同一平面内，直线a与b相交，直线c与b相交，则a，c的位置关系是（）A．一定相交B．一定平行C．也可能平行，也可能相交D．上述都不对5、在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6、如图所示立方体，下列说法正确的有（）①AA1∥BB1；②AA1∥CC1；③AA1∥DD1；④AA1∥A1B1．A．0个 B．1个C．2个 D．3个7、在同一平面内有三条直线，若其中两条平行但与第三条直线不平行，则它们的交点的个数为（）A．0个 B．1个C．2个 D．3个8、如图所示，如果∠D=∠EFC，那么（）A．AD//BC B．EF//BCC．AB//DC D．AD//EF9、如图所示，P是直线l外一点，直线l1，l2都过点P，如果l1//l，那么l2与l__________，根据____________．10、如图所示，在∠AOB的内部有一点P，已知∠AOB=60°．(1)过点P作PC∥OA，PD∥OB；(2)量出∠CPD的度数，说出它与∠AOB的关系．11、若直线a∥b，b∥c，c∥d，那么a∥d吗?为什么?对于n条直线l1，l2，l3，…，l n，若l1∥l2，l2∥l3，…，l n－1∥l n，则又可得出什么结论?答案：1-5 BCCCC 6-8 DCD 9、相交经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行10、（1）略（2）∠CPD=60°，∠CPD与∠AOB相等或互补．11、解：∵a∥b，b∥c，∴a∥c，又c∥d，∴a∥d．同理l1∥l2∥l3∥…∥l n－1∥l n．探索与发现：（1）若直线a1⊥a2，a2∥a3，则直线a1与a3的位置关系是____________，请说明理由．（2）若直线a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，则直线a1与a4的位置关系是_____________（直接填结论，不需要证明）（3）现在有2011条直线a1，a2，a3，…，a2011，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，请你探索直线a1与a2011的位置关系．分析：（1）根据两直线平行，同位角相等得出相等的角，再根据垂直的定义解答；（2）根据（1）中结论即可判定垂直；（3）根据规律发现，直线a1与脚码是偶数的直线互相平行，与脚码是奇数的直线互相垂直，根据此规律即可判断．解：（1）a1⊥a3．理由如下：如图1，∵a1⊥a2，∴∠1=90°，∵a2∥a3，∴∠2=∠1=90°，∴a1⊥a3；（2）同（1）的解法，如图2，直线a1与a4的位置关系是：a1∥a4；（3）直线a1与a3的位置关系是：a1⊥a3，直线a1与a4的位置关系是：a1∥a4，以此类推，直线a1与a2011的位置关系是：a1⊥a2011．点评：本题考查了平行公理的应用，作出图形更有利于规律的发现以及规律的推导．。
平行线及其判定知识点总结、例题解析
平行线及其判定知识点总结、例题解析知识点1【平行线】在同一平面内，不重合的两条直线的只有两种位置关系：平行和相交。
1、平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．记作：a∥b；读作：直线a平行于直线b．2、平行线的画法用直尺和三角板作平行线的步骤:①落:用三角板的一条斜边与已知直线重合②靠:用直尺紧靠三角板的一条直角边③推:沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的斜边通过已知点④画:沿着这条斜边画一条直线，所画直线与已知直线平行3、平行线公理及推论（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．注意区别垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用。
如果a∥b，b∥c，那么a∥c。
【例题1】下列叙述正确的是（）A、两条直线不相交就平行B、在同一平面内，不相交的两条线叫做平行线C、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线D、在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线【答案】C【例题2】在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有（）A、平行或垂直B、平行或相交C、垂直或相交D、平行、垂直或相交【答案】B【例题3】下列说法中正确的序号有_______①一条直线的平行线只有一条:②过一点与已知直线平行的直线只有一条:③因为a∥b，c∥d，所以a∥d:④经过直线外一点有且只有一条直线与己知直线平行【解析】①一条直线有无数条平行线；②必须过直线外一点，如果点在直线上，会出现重合。
【答案】④【例题4】下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条直线不平行必相交；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
其中正确的有（）。
A、1个；B、2个；C、3个；D、4个。
【解析】②③需在同一平面内，④过直线外一点【答案】A知识点2【平行线的判定】（1）判定方法1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）（2）判定方法2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行．∵∠1=∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）（3）判定方法3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行．∵∠4+∠2=180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行判定方法补充：①两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．②在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．【例题5】如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件:①∠1=∠5:②∠1=∠7:③∠2+∠3=180°:④∠4=∠7，其中能判断a∥b的条件的序号是（）A、①②B、①③C、①④D、③④【答案】A【例题6】如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是（）A、∠1=∠3B、∠2=∠3C、∠4=∠5D、∠2+∠4=180°【答案】B【例题7】如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1=∠2，求证:AB∥CD【答案】∵∠1=∠2∴2∠1=2∠2，即∠ABC=∠BCD∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）【例题8】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠CDA，BE、DF分别是∠ABC和∠ADC 的平分线，求证:BE∥DF【解析】想要证明EB∥DF，根据平行钱的判定方法，只要证明∠AEB=∠ADF即可【答案】证明：∵AD∥BC∴∠AEB=∠EBC∵∠ABC=∠ADC，BE、DF分别是∠ABC和∠ADC的平分线∴∠EBC=∠ADF∴∠AEB=∠ADF∴EB∥DE【例题9】已知，如图，EF⊥EG，GM⊥EG，∠1=∠2，AB与CD平行吗?请说明理由【答案】解:AB∥CD。
平行线的定义是什么
平行线的定义是什么几何中，在同一平面内，不相交(也不重合)的两条直线叫做平行线(parallel lines)。
平行线的定义是什么?以下是店铺分享给大家的关于平行线的定义，一起来看看吧!平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线一定要在同一平面内定义，不适用于立体几何，比如异面直线，不相交，也不平行。
欧氏几何中平行线的性质和判定平行线的性质1.经过直线外一点，能且只能画一条直线与已知直线平行。
2.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。
3.两条直线平行于第三条直线时，两条直线平行。
4.平行线分三角形对应边成比例。
这几条命题依赖于欧氏几何的第五公设(平行公理)，所以在非欧几何中不成立。
平行线的判定1.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
2.同位角相等，两直线平行。
3.内错角相等，两直线平行。
4.同旁内角互补，两直线平行。
在欧几里得几何原本的体系中，这几条判定法则不依赖于第五公设(平行公理)，所以在非欧几何中也成立。
平行公理在欧几里得的几何原本中，第五公设(又称为平行公理)是关于平行线的性质。
它的陈述是：“如果两条直线被第三条直线所截，一侧的同旁内角之和大于两个直角，那么最初的两条直线相交于这对同旁内角的另一侧。
”这条公理的陈述过于冗长。
在1795年，苏格兰数学家Playfair提出了以下以下公理作为平行公理的代替，现在被人们广泛的使用。
Playfair's Postulate:在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线互相平行。
平行公理的推论：(平行线的传递性) 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
可以简称为：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
非欧几何参见：非欧几何由于平行公理陈述冗长，并且不像欧氏几何中的其他公理那么显而易见，人们觉得它更像一个定理，可以从其他公理出发来证明。
经历了许多错误的证明，数学家们意识到这确实应作为一条公理。
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么这两条直线也互相平行（平行于同一条
直线的两条直线互相平行）
几何语言：∵a∥b b∥c（已知）
∴a∥c （如果两条直线都与第 三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
试一试
1、在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
则在同一个平面内，不重合的两条直线的位置关系
是 相交和平行.
D 2 、用符号“∥”表示图中平行四
C
边形的两组对边分别平行.
A
B
AB∥ CD，AD∥ BC.
3、完成下列推理，并在括号内注明理由。
（1）如图1，因为AB // DE，BC // DE, 则A,B,C三点在同
一条直线上吗？ _在__同__一__直__线__上（
经过直线外一点,有且只有一 条直线与这条直线平行
）
（2）如图2，因为AB // CD，CD // EF（已知），所以 ____A_B___ // ___E_F_____( 如果两条直线都和第三条直线平行，)
2、平行线的表示方法：
如何用几何语言描述平行 呢？
A
B
C
D
(1)平行用符号“∥”表示，
直线AB与直线CD平行
记作：AB∥CD，读作“AB平行于CD”.
(2)注意：平行线是相互的，使用平行符号“∥” 时，可写成AB∥CD，也可以写成： CD∥AB.
a
b
直线a与直线b平学科网 行， 记作：a∥b．也可以写成： b ∥ a .
那么这两条直线也互相平行
·· · A B C
A
B
C
D
D
E
F
图1
图2
4、读下列语句，并画出图形
（1）点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且 与直线AB平行。
（2）直线AB,CD,是相交直线，点P是直线AB,CD 外的一点，直线EF经过点P且与直线AB平行，与 直线CD相交与点E。
交流与反思：
南口前镇中学 王正业
1、平行线的定义：
在同一平面内，不相交的两条直 线叫平行线.
a
b
注意：
平行线的定义：
（1）“在同一平面内”是前提条件 （2）“不相交”就是说两条直线没有交点 （3）平行线指的是“两条直线”而不是两条射 线或两条线段．当我们说两条射线或线段平行的 时候，指的是它们所在的直线平行.
同一平面内，不重合的两直线的位置关系：
平行 相交
垂直
a b
a ∥b
a a⊥b
b
相交但不垂直
a
b
结论：在同一平面内，不重合的两直
线的位置 关系有平行与相交两种。
三、平行线的画法：
“推平行线法”：
学.科.网
一、放
二、靠 A
B
三、推
四、画
已知直线AB和直线外一点P，过点P画 一条直线和已知直线AB平行。
一放 二靠 三推 四画
●P 学科网
A
B
怎手样画画一平画这了行吧种吗线！方 ？？法动你会
平行公理：
经过直线外一点，有且只有 一条直线与这条直线平行。
P·
A
BB
探究
(1)经过点A画出直线b的 平行线
·A a
(2)过点B画一条直线与直 线b平行,则a与c有怎样的位 置关系？
平行公理的推论：
·B
c
b
如果两条直线都与第三条直线平行，那
本节课，我们学会了什么 ？有哪些收获？还有什么 疑问？