指、对数函数与反函数

3x
( D)
A. y轴对称
C. 原点对称
B. x轴对称
D. 直线y＝x对称
例2.求函数 y 1 1 x 2 (1 x 0) 的反函数
课堂小结
1.反函数的概念及记号；y=f(x)的反函数记 为 y=f –1(x) 2.求反函数的步骤： (1)反解:把y=f(x)看作是x的方程，解出 x=f –1(y); (2)互换：将x,y互换得y=f –1(x),并注明其 定义域（即原函数的值域 )。
例2 函数f(x)＝loga (x－1)(a＞0且a≠1)
的反函数的图象经过点(1, 4)，求a的值.
解:依题意,得
1 log a (4 1)
即 : log a 3 1, a 3.
小 结：若函数y＝f(x)的图象经过点(a, b)，
则其反函数的图象经过点(b, a).
练习 函数y＝3x的图象与函数y＝log3x的 图象关于
1
函数 f ( x) x 1 ( x 1) 的反函数是 f-1(x)=x2-1 (x≥0)
反函数与原函数的关系：
原函数
表达式： 定义域： 值域： y=f(x) A
反函数
y=f –1(x) C
C
A
通过以下例子进行探究
思考:当a>1时，指、对数函数的图象和性质如下表： 你能发现这两个函数有什么内在联系吗？
求反函数的步骤：
y f ( x) x f ( y ) y f ( x)
(1)反解: 把y=f(x)看作是x的方程，解出x=f –1(y); (2)互换：
将x,y互换得y=f –1(x),并注明其定义域 （即原函数的值域 )。 注：必须由原函数的值域来确定反函数的定义域
1
1
是否任何一个函数都有反函数？
x
£ x A ££ » × ¨ ©¬ Ç ÷
x £ y µ ¸ Ï £ Ó y Ñ x ±Ê ³ £ µ µ x j ( y ) ¡ È ¸ ¶ ¬ Ä × µ ¬Ã ° í ½ ö ¬Ã ¼ £ç û Ô
x f 1 ( y ) 对换x,y 改写成 y=f-1(x) 按照习惯，
Hale Waihona Puke 如：1 f ( x) x( x R). 函数f(x)=2x(x∈R)的反函数是_______________ 2
3.若y=f(x)的反函数是y=f –1(x),则函数y=f –1(x) 的反函数就是y=f(x)，它们是互为反函数。 4.并非所有的函数都有反函数[如填空(3)]。 5.反函数原函数的关系：
作业：
求下列函数的反函数：
1 (1) y x 3 , x (6, ) 2 2 (2) y x 3, x [ 5,1] 10 (3) f ( x ) x 1 10
x A, y B
CB
，原象的集合A叫做函数y=f（x）的定义 域， ）叫做函数y=f（x）的值域。
象的集合C（
2、设 f : A B 是集合A到集合B的映射，如果在 这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有 不 同 的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映 射叫做A到B上的一一映射。
(1)y 3x 1(x R); (2)y x 3 1(x R); 2x 3 (3)y x 1(x 0);(4)y (x R,且 1) x x 1
y 1 解:(1)由 y=3x-1 ，解得 x 3 而函数 y 3x 1( x R) 的值域是R， 所以，函数 y 3x 1( x R) 的反函数是
完成下列填空：
R R （1）函数y=2x的定义域是______,值域是_______。如果由 1 y y=2x解出x=_______, 这样对于y在R上任一个值，通过式子 2 1 y 唯一确定 ，x在R上有________的值和它对应，故x是____的函数。 x y 2
原函数: y=2x
1 2 : x R 2 4 : y R
x 1 y 3
( x R)
例1.求下列函数的反函数：
(1)y 3x 1(x R); (2)y x 1(x R);
3
2x 3 (3)y x 1(x 0);(4)y (x R,且, 1) x 1 3 解: (2)由 y x 1 ，解得 x 3 y 1
解:(3)由 y x 1 ，解得
x ( y 1)
2
而函数 y x 1( x 0) 的值域是 { y y 1} 所以，函数 y x 1( x 0) 的反函
数是
y ( x 1) 2 ( x 1)
例1.求下列函数的反函数： (1)y 3x 1(x R); (2)y x 3 1(x R); 2x 3 (3)y x 1(x 0);(4)y (x R,且, 1) x 1 2x 3 y3 ，解得 x 解:(4)由 y x 1 y2 2x 3 而函数 y 的值域是 { y R y 2} x 1 2x 3 所以，函数 y ( x R, 且 x 1) x 1 x3 的反函数是 y ( x R, 且 x 2) x2
2 2
y 的值和它对应，故x是____的函数。 原函数： 表达式：
新函数：
y x 1
x y 1
2
定义域： [-1,+) 值域： [0,+)
[0,+) [-1,+)
1 在(1)中，我们称新函数 x y (y∈R) 2 为原函数y=2x(x∈R) 的 反函数.
同样，在(2)中，也把新函数 x
….. Ó y Ô C Ö µ È ¹ º · Ö £ Í ¸ x j ( y) £ x Ô A Ö ¶ Ó Î Ò Ú Ú Ð Ä Î Î Ò ö µ ¬ ¨ý ¬ Ú Ð » Ð ¨º …………………………………. Ä µ Í ü Ô ¦ ¬ Ç ´ ¬ µ Ö ¹ Ë ¶ Ó £ Ä Ã £ x j ( y ) ½ ±Ê y Ê ×±Á £ x Ê ×±Á Í í ½ Ç Ô ä ¾ ¬ Ç Ô ä ¾ …………………………………. y µ ¹ Ê ¡ Õ Ñ µ ¹ Ê x j ( y ) £ y C £ ¼ ×¹ Ê y f (x) Ä ¯ ý £ â ù Ä ¯ ý ¨ © Ð ö ¯ ý ……
y 1 (y≥0）
2
称为原函数 y x 1 (x≥-1) 的反函数.
反函数的概念
¯ ý ¹ Ê y f (x ) £ x A £ Ö £ É Ë µ Ö ò Î C ¡ Î Ã · ½ Õ · ¹ ¨ © Ð ¬ è ü Ä µ Ó ª £ Ò Ç ù Ý â ö ¯ ý Ð Ä Ê Ö µ
y=ax
(a>1)
1 0 x R
y=logax(a>1)
y 0
图象 定义域 值域 性质
y
1
x
(0, )
R
(0, )
当x>0时y>1； 当x<0时0<y<1； 当x=0时y=1； 在R上是增函数.
当x>1时y>0； 当0<x<1时y<0； 当x=1时y=0； 在R上是减函数.
例1.求下列函数的反函数：
R [0,+) （3）函数y=x2的定义域是_____，值域是_________。如果由 y=x2解出x=_________,对于y在[0,+)上任一个值，通过式子 y
x y,
两个 不是 x在R上有_____值和它对应，故x____y的函数。 这表明函数y=x2没有反函数！
并非所有的函数都有反函数！
而函数 y x3 1( x R) 的值域是 R，
所以，函数
数是
y x 1( x R) 的反函
3
y x 1
3
( x R)
例1.求下列函数的反函数：
(1)y 3x 1(x R); (2)y x 1(x R);
3
2x 3 (3)y x 1(x 0);(4)y (x R,且, 1) x 1
1 新函数： x y 2
2 4 : y R 除以2 1 2 : x R
乘以2
x y 这个新函数的自变量是______，对应的函数值是_______。
[0,+) [-1,+) y x 1 的定义域是________，值域是________。 y 1 如果由 y x 1 解出x=_________,则对于y在 [0，+)上 唯一确定 y 1 的任一个值，通过式子x=_________,x在[-1,+)上有__________ （2）函数
新课引入
设a＞0，且a≠1为常数， s.若以 a t为自变量可得指数函数y＝ax，若以s 为自变量可得对数函数y＝logax. 这两 个函数之间的关系如何进一步进行数学 解释？
t
让我们在今天的内容里探究反函数的概念。
前课复习
1。函数的概念（近代定义）：
如果A、B都是非空的数集，那么A到B的映射 f : A B 就叫做A到B的函数，记作 其中 y=f（x）