高考一轮复习专题8：不等式专题题型归纳,解不等式、均值不等式、线性规划
高考一轮复习 不等式与线性规划(含答案)
教师一对一个性化教案学生姓名年级科目数学授课教师日期时间段课时 2 授课类型新课/复习课/作业讲解课教学目标教学内容不等式与简单线性规划复习个性化学习问题解决掌握基本不等式的常用变形；会利用基本不等式求最值；求目标函数的最优解问题教学重点、难点及考点分析1.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题；2.利用图解法求得线性规划问题的最优解。
教学过程不等式与简单线性规划一、不等关系与不等式1．实数大小顺序与运算性质之间的关系：a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b．2．不等式的基本性质性质性质内容注意对称性a>b⇔b<a ⇔传递性a>b，b>c⇒a>c ⇒可加性a>b⇒a＋c>b＋c ⇒可乘性⎭⎬⎫a>bc>0⇒ac>bcc的符号⎭⎬⎫a>bc<0⇒ac<bc同向可加性⎭⎬⎫a>bc>d⇒a＋c>b＋d ⇒同向同正可乘性⎭⎬⎫a>b>0c>d>0⇒ac>bd ⇒可乘方性a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)同正可开方性a>b>0⇒n a>n b(n∈N，n≥2)（1）使用不等式性质时应注意的问题：在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中“c的符号”等也需要注意．（2）作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意函数性质在比较大小中的作用．例1已知实数a、b、c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a、b、c的大小关系是()．A．c≥b＞a B．a＞c≥b C．c＞b＞a D．a＞c＞b例2若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②ad＋bc＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．4例3若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．教学过程训练1已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4．求f(－2)的取值范围．小结：一般在求有两个未知数范围的时候,要注意不能单独求出一个未知数的范围,否则会引起所求范围扩大或缩小，而是要通过已知不等式相加减,直接算出所求不等式范围.通常可使用待定系数法.二、一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式的解集二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0与ax2＋bx＋c＜0的解集的关系，可归纳为：判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有两相异实根x＝x1或x＝x2有两相同实根x＝x1无实根一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c＞0(a＞0){x|x＜x1或x＞x2} {x|x≠x1} Rax2＋bx＋c＜0(a＞0){x|x1＜x＜x2}∅∅若a＜0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．解一元二次不等式应注意的问题：（1）在解一元二次不等式时，要先把二次项系数化为正数；（2）二次项系数中含有参数时，参数的符号会影响不等式的解集，讨论时不要忘记二次项系数为零的情况；（3）解决一元二次不等式恒成立问题要注意二次项系数的符号；（4）一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根及相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标相同．例1解下列不等式：（1）0＜x2－x－2≤4；（2）x2－4ax－5a2＞0 (a≠0)；总结：解形如20＞ax bx c++且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：（1）讨论a与0的大小；（2）讨论∆与0的大小；（3）讨论两根的大小．2．一元二次不等式恒成立问题（1）对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方． （2）一元二次不等式恒成立的条件：①ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)(x ∈R )恒成立的充要条件是：a ＞0且b 2－4ac ＜0． ②ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)(x ∈R )恒成立的充要条件是：a ＜0且b 2－4ac ＜0．例1若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )． A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－1311D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞)例2某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．（1）设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； （2）若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x 的取值范围．3．整式不等式（高次不等式）的解法 穿根法（零点分段法）求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n解法：①将不等式化为a 0(x －x 1)(x －x 2)…(x －x m )＞0(＜0)形式，并将各因式x 的系数化“＋”； ②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；③由右上方穿线（即从右向左、从上往下：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过），经过数轴上表示各根的点；④若不等式（x 的系数化“＋”后）是“＞0”，则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“＜0”，则找“线”在x 轴下方的区间．（自右向左正负相间）例题不等式223680x x x --+>的解集．+—++—xx 1x 2x 3x n-2x n-1x n+4．分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为)()(x g x f ＞0(或)()(x g x f ＜0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式； （2）转化为整式不等式（组）00000f x g x f x f x f x g x g x g x g x ⇔⇔()()≥()()＞()()＞；≥()()()≠ìïïíïïî． 例1求不等式21xx -≥1的解集．5．含绝对值不等式的解法 基本形式：①型如：|x |＜a (a ＞0)的不等式的解集为：{}|＜＜x a x a -； ②型如：|x |＞a (a ＞0)的不等式的解集为：{|＜x x a -，或}＞x a ； 变型：||(0)＜＞ax b c c +型的不等式的解集可以由{}|＜＜x c ax b c -+解得．其中－c ＜ax +b ＜c 等价于不等式组＜＞ax b cax b c+⎧⎨+-⎩，在解－c ＜ax +b ＜c 时注意a 的符号；||(0)＞＞ax b c c +型的不等式的解法可以由{|x ax b c +>，或}ax b c +<-来解．③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”分类讨论来解； ④绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题． 例题求解不等式：|2||3|10≤x x -++．三、线性规划问题1．二元一次不等式所表示的平面区域的判断 取点定域法由于直线0Ax By C ++＝的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C ++后所得的实数的符号相同．所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)x y （如原点），由00Ax By C ++的正负即可判断出0Ax By C ++>(或0)<表示直线哪一侧的平面区域． 即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点． 2．二元一次不等式组所表示的平面区域不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．3．利用线性规划求目标函数z Ax By +＝（A B ，为常数）的最值法一：角点法如果目标函数z Ax By +＝（x y 、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值．法二：画——移——定——求第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l Ax By +＝，平移直线0l （据可行域，将直线0l 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解()，x y ；第四步，将最优解()，x y 代入目标函数z Ax By +＝即可求出最大值或最小值． 第二步中最优解的确定方法： 利用z 的几何意义：A z y x B B -+＝，zB为直线的纵截距． ①若0＞B ，则使目标函数z Ax By +＝所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；②若0＜B ，则使目标函数z Ax By +＝所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值．4．常见的目标函数的类型： ①“截距”型：z Ax By +＝； ②“斜率”型：y z x ＝或y b z x a--＝； ③“距离”型：22z x y +＝或22z x y +＝，22()()z x a y b -+-＝或22()()z x a y b -+-＝．在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化．例1点(1，2)和点(－1，3)在直线2x ＋ay －1＝0的同一侧，则实数a 的取值范围是________．例2设z ＝2x ＋y ，式中变量x 、y 满足条件4335251≤≤≥x y x y x ìï--ïïï+íïïïïî，求z 的最大值和最小值．例3已知x 、y 满足204250≥≥0≤x y x y x y ìï-+ïïï+-íïïï--ïî，求：（1）z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； （2）z ＝y ＋1x ＋1的取值范围．例4若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件3230≤0≤≥x y x y x mìï+-ïïï--íïïïïî，则实数m 的最大值为 ．例5实数x y ，满足不等式组20206318≥≥≤x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪+⎩，且(0)z ax y a +>＝取最小值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值是 ．例6某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知每种产品生产1吨所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可分别获利润3万元、4万元，求该企业每天可获得最大利润．甲乙原料限额A (吨) 3 2 12B (吨) 128三、基本不等式1．重要不等式：如果R b a ∈,，那么222+≥a b ab （当且仅当a b =时取等号）．2．基本不等式：如果，a b 是正数，那么2+≥a bab （当且仅当a b =时取等号）． 基本不等式的几个重要变形：①22≤a b ab +⎛⎫ ⎪⎝⎭； ②2221()22≥≥a b a b ab ++．要点诠释：222+≥a b ab 和2+≥a bab 两者的异同： （1）成立的条件是不同的：前者只要求，a b 都是实数，而后者要求，a b 都是正数． （2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”．（3）222+≥a b ab 可以变形为：222+≤a b ab ；2+≥a bab 可以变形为：22+≤()a b ab ． （4）在数学中，我们称2ba +为，ab 的算术平均数，称ab 为，a b 的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （5）如果把2ba +看作是正数，ab 的等差中项，ab 看作是正数，a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 3．用基本不等式2+≤a bab 求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件（一正二定三取等）： ①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．例2若0＜x ,求9()4f x x x=+的最大值．变式训练已知3＞a ，求证：473≥a a +-．例5已知000＞，＞，＞a b c ，且1a b c ++=． （1）若a b c ==则111111()()()a b c---的值为 ． （2）求证：111111()()()a b c---8≥．本章整合课后作业可附页班主任收回审批签字教学主任课前审批签字（或盖章）简单线性规划练习1．(2016·贵州贵阳模拟)下列命题中正确的是( ) A．若a>b，c>d，则ac>bdB ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2<b c2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d2．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2，上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[0,2] D ．[－1,2]3．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－535．设变量x ，y 满足|x －1|＋|y －a |≤1，若2x ＋y 的最大值是5，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－17．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元D ．240元9．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－1213．若实数x ，y 满足|xy |＝1，则x 2＋4y 2的最小值为________．14．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0ax ＋y －2≤0y ≥0表示的平面区域的面积为3，则实数a 的值是________．15．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0x ≥12x ＋y －8≤0，则yx的取值范围是________．例1已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a 、b 、c 的大小关系是( )． A ．c ≥b ＞a B ．a ＞c ≥b C ．c ＞b ＞a D ．a ＞c ＞b 答案：A解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b ． 将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2．∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34＞0，∴1＋a 2＞a ．∴b ＝1＋a 2＞a ．∴c ≥b ＞a ．例2若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C解析：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，故②正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )， 故④正确，故选C ．例3若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β．则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7． ∴α＋3β的取值范围为[1，7]．训练1已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．求f (－2)的取值范围． 解：f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b ． 设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b ． 则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3. ∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10，即f (－2)的取值范围为[5，10]．例1解下列不等式： （1）0＜x 2－x －2≤4；（2）x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)；解：（1）原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.．借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1，或2＜x ≤3．（2）由x 2－4ax －5a 2＞0知(x －5a )(x ＋a )＞0．由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论． 当a ＜0时，x ＜5a 或x ＞－a ； 当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞5a ．综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜5a ，或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞5a ，或x ＜－a ．例1若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)＜0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )． A ．(1，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－1311D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞) 答案：C解析：①m ＝－1时，不等式为2x －6＜0，即x ＜3，不合题意． ②m ≠－1时，10Δ0＜＜m ìï+ïíïïî解得m ＜－1311．例2某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． （1）设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； （2）若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x 的取值范围．解：（1）由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10•100⎝⎛⎭⎫1＋850x ． 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0． 所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]． （2）由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0．解得12≤x ≤134．所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2．例题不等式223680x x x --+>的解集．解：将原不等式因式分解为：(2)(1)(4)0x x x +-->， 由方程：(2)(1)(4)0x x x +--＝解得123214x x x -＝，＝，＝， 将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图，由图可看出不等式223680＞x x x --+的解集为：{}|214＜＜，或＞x x x -． 例1求不等式21xx -≥1的解集． 解：移项通分得11x x +-≥0⇔(1)(1)010≥≠x x x +-⎧⎨-⎩，解得11≤＜x -，∴不等式的解集为[－1，1)．例题 求解不等式：|2||3|10≤x x -++ 解：零点分类讨论法：分别令20x -＝和30x +＝，-+-+-214x-2x解得：3x -＝和2x ＝，在数轴上，－3和2就把数轴分成了三部分，如右上图； ①当3≤x -时，（去绝对值符号）原不等式化为：(2)(3)103≤≤x x x ---+⎧⎨-⎩⇒1123≥≤x x ⎧-⎪⎨⎪-⎩⇒1132≤≤x --； ②当32＜≤x -时，（去绝对值符号）原不等式化为：32(2)(3)10＜≤≤x x x -⎧⎨--++⎩⇒32＜≤x x -⎧⎨∈⎩R ⇒32＜≤x -； ③当2x >时，（去绝对值符号）原不等式化为：2(2)(3)10＞≤x x x ⎧⎨-++⎩⇒292＞≤x x ⎧⎪⎨⎪⎩⇒922＜≤x ； 由①②③得原不等式的解集为：119|22≤≤x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭． 例1点(1，2)和点(－1，3)在直线2x ＋ay －1＝0的同一侧，则实数a 的取值范围是________． 答案：(－∞，－12)∪(1，＋∞)解析：(2a ＋1)(3a －3)＞0，∴a ＜－12或a ＞1．例2设z ＝2x ＋y ，式中变量x 、y 满足条件4335251≤≤≥x y x y x ìï--ïïï+íïïïïî，求z 的最大值和最小值．解：作出不等式组表示的平面区域（即可行域），如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一族平行直线．由图可看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0得A 点坐标为(5，2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0得B 点坐标为(1，1)，所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3．例3已知x 、y 满足204250≥≥0≤x y x y x y ìï-+ïïï+-íïïï--ïî，求：（1）z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； （2）z ＝y ＋1x ＋1的取值范围．解：作出可行域，如图．并求出点A 、B 的坐标分别为(1，3)、(3，1)．（1）z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0，5)的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线MN ，垂足为N ，则：z min ＝|MN |2＝(|0－5＋2|2)2＝92．（2）z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－1)连线的斜率，可知，k AQ 最大，k QB 最小．而k QA＝3＋11＋1＝2，k QB ＝1＋13＋1＝12．∴z 的取值范围为[12，2]．例4若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件3230≤0≤≥x y x y x mìï+-ïïï--íïïïïî，则实数m的最大值为 ．答案：1解析：由约束条件作出其可行域，如图．由图可知当直线x ＝m 过点P 时，m 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2， ∴P (1，2)，此时x ＝m ＝1．例5实数x y ，满足不等式组20206318≥≥≤x y x y x y -⎧⎪+-⎨⎪+⎩，且(0)z a x y a +>＝取最小值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值是 ． 答案：1解析：如图所示，要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，则令ax +y =0，并平移过点C 24()33，（可行域最左侧的点）的边界重合即可，注意到a ＞0，只能与AC 重合，所以a ＝1．例6某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知每种产品生产1吨所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可分别获利润3万元、4万元，求该企业每天可获得最大利润．甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128解：设该企业每天生产x吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为R 万元，则由题意有R ＝3x ＋4y ，同时满足32122800≤≤≥，≥x y x y x y ìï+ïïï+íïïïïî，由此可得可行区域如图中阴影部分所示．由y ＝－34x ＋14R 可得，当过点(2，3)时，利润可取得最大值，R max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．例2若0＜x ,求9()4f x x x=+的最大值．解：因为0＜x ，所以0＞x -，由基本不等式得：999442423612f x x x x x x x()＝()＝()()≥()()＝＝--+-+--?， 当且仅当94x x -=-即32x =-时取等号，故当32x =-时，9()4f x x x=+取得最大值12-． 变式训练已知3＞a ，求证：473≥a a +-．证明：444332332437333a a a a a a ＝()≥()＝＝++-+?++---，当且仅当433a a ＝--即5a ＝时，等号成立．例5已知000＞，＞，＞a b c ，且1a b c ++=． （1）若a b c ==则111111()()()a b c---的值为 ． （2）求证：111111()()()a b c---8≥． 解：（1）由题意可得13a b c ===带入计算可得1111118a b c()()()＝---． （2）证明：由题意和基本不等式可得20≥＞a b ab +，20≥＞a c ac +，20≥＞b c bc +；∵1a b c ＝++ ∴111111111a b c a b c a b ca b c a b c()()()＝()()()++++++------ 2228b c a c a b bc ac aba b c a b c＝()()()≥＝+++．∴1111118()()()≥a b c ---． 练习答案2016届高考数学二轮复习 限时训练3 不等式、线性规划 文1．(2016·贵州贵阳模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：选C.A 、B 不符合不等式乘法性质，缺少“>0”，而C 中，显然c 2>0.符合性质．2．已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2，上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[0,2]D ．[－1,2]解析：选C.作出可行域，如图所示，由题意OA →·OM →＝－x ＋y .设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1,1)时z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，∴OA →·OM →的取值范围是[0,2]，故选C.3．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53 解析：选C.作出不等式组表示的平面区域，根据题设条件分析求解．当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23.5．设变量x ，y 满足|x －1|＋|y －a |≤1，若2x ＋y 的最大值是5，则实数a 的值是( ) A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选B.作出满足条件的平面区域，如图阴影部分所示，由图可知当目标函数z ＝2x ＋y 经过点(2，a )时取得最大值5，即2×2＋a ＝5，解得a ＝1，故选B.7．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元D ．240元解析：选C.设底面矩形的一条边长是x m ，总造价是y 元，把y 与x 的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值．由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4xm ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号，故选C.9．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A ．2 B ．1 C ．－13D ．－12解析：选C.画出图形，数形结合得出答案．如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的平面区域为图中的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，得A (3，－1)．13．若实数x ，y 满足|xy |＝1，则x 2＋4y 2的最小值为________． 解析：x 2＋4y 2≥24x 2y 2＝4|xy |＝4. 答案：414．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0ax ＋y －2≤0y ≥0表示的平面区域的面积为3，则实数a 的值是________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2×2＝3，解得a ＝2.答案：215．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0x ≥12x ＋y －8≤0，则yx的取值范围是________．解析：如图，画出可行域，易得A (2,4)，B (1,6)，∴它们与原点连线的斜率分别为k 1＝2，k 2＝6，又y x ＝y －0x －0，∴k 1≤yx≤k 2，即2≤yx≤6.答案：[2,6]。
高考数学一轮复习知识点大全-不等式
特别注意：（1）用数学归纳法证明问题时首先要验证0n n =时成立，注意0n 不一定为1；（2）在第二步中，关键是要正确合理地运用归纳假设，并且一定要用到假设，尤其要弄清由k 到k+1时命题的变化；（3）两个步骤中，第一步是基础，第二步是递推.在第二步证明中，关键是利用假设，推出结论.第七部分 不等式1. 不等式的基本性质：（1）同向不等式可以相加，异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+；若,a b c d ><，则a c b d ->-；注意：异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减.（2）左右同正不等式：① 同向的不等式可以相乘，但不能相除.若0,0a b c d >>>>，则ac bd >.② 两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b >>.（4）不等式的两边同乘（或除）一个数时，一定要考虑该数的符号：若0ab >，a b >， 则11a b <. 若0ab <，a b >，则11a b>. 22a b ac bc >⇔> 是否正确？（否）注意：特值法是判断不等式是否成立的一种方法，尤其适用于不成立的命题.2. 比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果.（2）作商：常用于分数指数幂的代数式.（3）分析法.（4）利用函数的单调性.（5）寻找中间量或放缩法.（6）图象法.3. 均值不等式：若0,>b a ，则ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取等号）.基本变形：若,a b R +∈，则222a b ab +≥，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，222a b ab +≤. 运用均值不等式时，不要忘记检查条件（,0a b >），最后一定不要忘记注明等号成立的条件.4. 证明不等式的方法：（1）比较法：作差比较（作商）：B A B A ≤⇔≤-0注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小.（2）综合法：由因导果.（3）分析法：执果索因.基本步骤：要证……只需证……，只需证……（4）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的，常用放缩的方法有： ①添加或舍去一些项，如：a a >+12.n n n >+)1(②将分子或分母放大（或缩小）③利用基本不等式，如：2)1()1(++<+n n n n 利用常用结论：k kk k k 21111<++=-+. k k k k k111)1(112--=-< . 111)1(112+-=+>k k k k k .)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k . 5. 不等式的解法：（1）一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，要注意讨论0,0a a ><及0a =的情况.（2）一元二次不等式的解集（联系图象）：设0a >，12,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根，且12x x <，则20ax bx c ++>的解集为()()12,,x x -∞+∞. 20ax bx c ++<的解集为()12,x x .当0∆<和0∆=时的解集你会正确表示吗？（3）对于方程20ax bx c ++=有实数解的问题:首先要讨论最高次项系数a 是否为0，其次若0a ≠，才考虑判别式.（4）一元二次方程根的分布理论：方程2()0(0)f x ax bx c a =++=>在),(+∞k 上有两根、在(,)m n 上有两根、 在),(k -∞和),(+∞k 上各有一根的充要条件分别是什么？（考虑判别式、对称轴、端点函数值、有时也考虑韦达定理）（答案依次为：0()02f k b k a ⎧⎪∆≥⎪>⎨⎪⎪->⎩，0()0()02f m f n b m n a ∆≥⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩，()0f k <）.根的分布理论成立的前提是开区间，若在闭区间],[n m 讨论方程0)(=x f 有实数解的情况，可先利用在开区间),(n m 上实根分布的情况，得出结果，再令n x =和m x =检查端点的情况．有时候为了控制参数的取值范围，我们也可以先把端点的值代入，看是否可以减少讨论.（5）不等式解区间的端点往往就是相应方程的根或与函数的定义域相关.（6）简单的一元高次不等式的解法：数轴标根法（7）简单的分式不等式：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用数轴标根法求解.解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母.6. 不等式恒成立问题的常规处理方式：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用函数的性质，数形结合.第八部分 直线和圆1、直线方程（1）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其y (a>0) O k x 1 x 2 x。
高中数学：复习不等式知识点及主要题型_讲义含解答
不等式的基本知识一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或设相应的一元二次方程的两根为，，则()002≠=++a c bx ax 2121x x x x ≤且、ac b 42-=∆不等式的解的各种情况如下表：>∆=∆<∆ 二次函数cbx ax y ++=2（）的图象0>a cbx ax y ++=2c bx ax y++=2cbx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x xx <<∅∅2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上()A x f >D D ()min f x A >若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上()B x f <D D ()max f x B<二、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax +By +C ，所得到实y x ,y x ,数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解2a b +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥；ab ≤,当且仅当a=b 时取等号.ab 222⎪⎭⎫⎝⎛+b a 3、如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值;P 2如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值.42S 注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4、常用不等式有：12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
高三一轮复习不等式知识点汇总
3
(C) −3
(D) − 7 2
()
7) 若 2a + b = 3，求 4a + 2b 的最小值为
.
8) 已知 log2 a + log2 b ⩾ 1, 则 3a + 9b 的最小值为
.
9) 设 x, y 为正数，则 (x + y) 1 + 4 的最小值为
.
xy
10) 若实数 x, y 满足 x2 + y2 + xy = 1, 则 x + y 的最大值是
t
t
y = t + 1 在区间 [1, +∞) 单调递增，所以在其子区间 [2, +∞) 为单调递增函数，故 y ⩾ 5 . 所以所求
t
2
函数的值域为 5 , +∞ . 2
技巧 6) 整体代换: 多次连用最值定理求最值时，注意取等号的条件的一致性.
例 6: 已知 x > 0, y > 0, 且 1 + 9 = 1，求 x + y 的最大值. xy
ba
ba
ba
7. 若 x > 0，则 x + 1 ⩾ 2 当且仅当 x = 1 时取 = ; x
8. 若 x < 0，则 x + 1 ⩽ −2 当且仅当 x = −1 时取 = ; x
9. 若 x 0，则 x + 1 ⩾ 2，即 x + 1 ⩾ 2 或 x + 1 ⩽ −2 当且仅当 x = ±1 时取 = ;
() ()
(D) (−∞, −2]
3) 设正实数 x, y, z 满足 x2 − 3xy + 4y2 − z = 0. 则当 xy 取得最大值时， 2 + 1 − 2 的最大值为
线性规划常见题型及解法 均值不等式(含答案)
线性规划常见题型及解法一．基础知识：(一)二元一次不等式表示的区域二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 0≥++C By Ax 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.由于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点（x,y ）,把它的坐标（x,y ）代入C By Ax ++，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（0,0y x ），从C By Ax ++00的正负即可判断0≥++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。
通常代特殊点（0，0）。
（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。
高考数学一轮复习不等式的求解知识点
高考数学一轮复习不等式的求解知识点不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。
以下是不等式的求解知识点，请考生仔细学习。
【例】关于效果：关于x的不等式ax?2+bx+c0的解集为(-1,2)，解关于x的不等式ax?2-bx+c，给出如下一种解法：参考上述解法，假定关于x的不等式kx+a+x+bx+c0的解集为-1,-1312,1，那么关于x的不等式kxax+1+bx+1cx+10的解集为? ? 。
剖析观察发现ax?2+?bx+?c0将x换成?-x得??a(-x)?2+?b(-x)+c0，那么解集也相应变化，-x(-1,2)，那么?x?(-2,1)，不等式kx+a+x+bx+c0将x换成1x得不等式kxax+1+bx+1cx+10，故1x-1,-1312,1，剖析可得答案。
解由ax?2+bx+c0的解集为(-1,2)，得a(-x)?2+b(-x)+c0的解集为(?-2?,1)，即关于x的不等式ax?2-bx+c0的解集为(-2,1)。
假定关于x的不等式kx+a+x+bx+c0的解集为-1,?-13?12,1 那么关于x的不等式kxax+1+bx+1cx+10的可看成kx+a+x+bx+c0中的x用1x代入可得，那么有1x?-1?,-1312,1从而解得x(-3,?-1?)(1,2),故答案为(-3,-1)(1,2)。
点评此题考察了类比推理，一元二次不等式以及分式不等式的求解，经过条件发现规律，属于探求类创新题。
综上所述，不等式之所以成为高考中经年累月考试热点，而且创意不时常考常新.除了不等式的知识自身在中学数学中具有丰厚的外延和突出的位置外，与它和初等数学、理想生活有着严密的关系也是重要的缘由之一.在高考命题中，跟随不等式与其他重点知识的新颖巧妙的组合以及与初等数学的相互联络，开掘不等式在理想生活和迷信研讨中的普遍运用，把对数学思想方法和数学应意图识以及在全新的情形中对先生数学素养等的考察赋于不等式的考察之中，往往是高考对不等式考察的一个创新点。
高考数学一轮总复习不等式的性质、解法及线性规划同步-教学课件
3．已知向量 a＝(x，2)，b＝(4，y－1)，若 a⊥b， 则 9x＋3y 的最小值为( A )
A．2 3 B．4 C．12 D．6
【解析】∵a⊥b，∴4x＋2(y－1)＝0，
∴2x＋y＝1，∴9x＋3y≥2 9x·3y＝2 32x＋y＝2 3， 当且仅当22xx＝ ＋yy＝1，即xy＝＝1214时，取等号，故选 A.
• ⑤再转乘5路车，前门又开不了，我只好再次从后门挤上车。和10 路车一样，车内不是鼻子顶鼻子，就是脸靠脸的，甚至连身体和 湿雨伞挤在一起，也得忍着。“阿姨，请帮我传一下车钱吧。” 正当我心里想着又要享受一次免费的“午餐”时，突然身后一个 浑身湿透、年龄约十一二岁的小女孩碰了一下我肩膀，还没等我 反应过来，小女孩左手两指夹着一元硬币伸了过来。“好的。” 我伸手接过一元硬币，似乎感觉到这钱好烫，仿佛有一股电流一 下子通遍全身，脸也不由自主地热了起来。我赶紧将这一元钱向 前面的人递了过去。随后我也飞快的拿出了自己的钱包，找到一 元硬币给前面的人：“朋友，再帮我传一下。”这时，站在后门 的乘客，也都不约而同地像我一样，纷纷掏出自己的钱包，找出 一元钱，递给前面的人。 一切又都恢复了平静。不知咋的，冥冥之中，我好像听到有人在 与我说话。“你要再给一元钱。”那人说。“我不是已经给了吗？ 为什么还要再给啊？”我极力争辩，“别人都给一元钱，为什么 要我给两元钱呢？”“你就是要再给一元钱。”那人紧催不止。
(3)证明：(法一)当 a＝1 时，根据(1)的推导有，x∈(1，＋∞)时，
f(x)>g(x)，
即
ln
x<12x－1x
.
令 x＝22kk－＋11，k∈N*，得 ln22kk＋ －11<1222kk＋－11－22kk－ ＋11，
(完整版)均值不等式高考一轮复习(教师总结含历年高考真题)
基础篇一、单变量部分1、 求)0(1>+=x xx y 最小值及对应的x 值答案当x=1最小值2 2、 2、（添负号）求)0(1<+=x xx y 最大值-23、（添系数）求)31,0()31(∈-=x x x y 最大值1214、（添项）求)2(24>-+=x x x y 最小值65、（添根号）02>≥x 求24x x y -=最大值26、（取倒数或除分子）求)0(12>+=x x x y 最大值217、（换元法）求)1(132>-+=x xxx y 最大值-9 8、（换元法）求)2(522->++=x x x y 最大值42二、多变量部分1、（凑系数或消元法）已知041>>a ，b>0且4a+b=1求ab 最大值161 2、（乘“1”法或拆“1”法）已知x>0,y>0，x+y=1求yx 94+最小值25 3、（放缩法）已知正数a ，b 满足ab=a+b+3则求ab 范围),9[+∞ 三、均值+解不等式1. 若正数a,b 满足ab=a+2b+6则ab 的取值范围是______),18[+∞_________2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y 的最小值__________4__________ 练习1. 已知x>0，y>0，且182=+yx 则xy 的最小值_______64_______ 2.)0(1324>++=k kk y 最小值_________2_________ 3. 设0≥a ，0≥b ，1222=+b a ，则21b a +的最大值为_________423_________4. 已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值________1________ 5. 已知x>0,y>0且191=+yx 求x+y 的最小值______16__________ 6. 已知)0,0(232>>=+y x yx 则xy 的最小值是___6_____ 7. 已知a>0,b>0,a+b=2，则b a y 41+=的最小值______29________ 8. 已知+∈R y x ,且满足143=+yx 则xy 的最大值________3_______11、已知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,则2y xz=_____________D_______ A 、最小值8 B 、最大值8C 、最小值81D 、最大值81注:消y12、设R y x ∈,则)41(12222y xy x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的最小值是_______9_________ 13、若R b a ∈,,且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（D ）A 、ab b a 222>+ B 、ab b a 2≥+C 、abb a 211>+ D 、2≥+b a a b 14、若a,b,c,d,x,y 是正实数，且cd ab +=P ，ydx b cy ax Q +⋅+=则有（C ）A 、P=QB 、Q P ≥C 、Q P ≤D 、P>Q15、已知25≥x 则4254)(2-+-=x x x x f 有（D ）A 、有最大值45 B 、有最小值45 C 、最大值1 D 、最小值116、建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为1760元 17、函数y=x(3-2x))10(≤≤x 的最大值为89 18、函数1)(+=x xx f 的最大值是（C ）A 、52B 、21C 、22D 、119、已知正数x,y 满足141=+yx 则xy 有（C ）A 、最小值161B 、最大值16C 、最小值16D 、最大值16120、若-4<x<1，则当22222-+-x x x 取最大值时，x 的值为（A ）A 、-3B 、-2C 、-1D 、021、若122=+yx ，则x+y 的取值范围是（D ） A 、[0,2] B 、[-2,0] C 、),2[+∞- D 、]2,(--∞22、某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(300≤<t )的关系大致满足1610)(2++=t t t f 则该商场前t 天月饼的平均销售量最少为18 23、已知点P （x,y ）在直线x+3y-2=0上，那么代数式yx273+的最小值是6提高篇一、函数与均值 1、)2(21>-+=a a a m ,)0(2122<⎪⎭⎫ ⎝⎛=-x n x 则m,n 之间关系_____m ≥n______________2、 设x ≥0,x x P -+=22,2)cos (sin x x Q +=则（ C ） A 、Q P ≥ B 、Q P ≤ C 、P>Q D 、P<Q3、已知函数()x a x f 21+-=若()02≥+x x f 在()+∞,0上恒成立，则a 的取值范围是__),41[)0,(+∞⋃-∞_4、若对任意x>0,a x x x≤++132恒成立，则a 的取值范围是_______51≥a ____________5、函数xxxy 2log 2log +=的值域_______),3[]1,(+∞⋃--∞___________ 6、设a,b,c 都是正实数，且a,b 满足191=+ba 则使cb a ≥+恒成立的c 的取值范围是_D__A 、]8,0(B 、（0,10] C(0,12] D 、（0,16] 7、已知函数())1,0(log 1)1(≠>+=-a a ax f x 的图象恒过定点P ，又点P的坐标满足方程mx+ny=1,则mn 的最大值为_________81_____________ 8、已知函数()()),0(22+∞∈++=x xax x x f⑴当21=a 时，求f(x)的最小值答案：22+⑵若对任意),0(+∞∈x ，f(x)>6恒成立，求正实数a 的取值范围___a>4__ 9、0)1(42>-++x k x 对]3,1[∈x 恒成立，求k 的范围 10、若a+b=2则ba33+的最小值为______6___________11、设x,y,z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则yzx z lg lg lg 4lg +的最小值为A A 、89 B 、49 C 、29D 、9 12、已知a>1，b>1，且lga+lgb=6，则b a lg lg ⋅的最大值为（B ）A 、6B 、9C 、12D 、1813、R y x ∈,且x+y=5,则yx33+的最小值为（D ） A 、10 B 、36 C 、64 D 、31814、设a>0,b>0,若3是a 3与b3的等比中项，则ba 11+的最小值为（B ） A 、8 B 、4 C 、1 D 、4115、函数)1,0(1≠>=-a a ay x的图象恒过点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0（mn>0）上，则nm 11+的最小值为4 16、当x>1时，不等式a x x ≥-+11恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）A 、]2,(-∞B 、),2[+∞C 、),3[+∞D 、]3,(-∞17、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+2=0上，其中m>0,n>0,则nm 12+的最小值为（D ） A 、22 B 、4 C 、25 D 、29二、数列与均值1、已知x>0,y>0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则cdba2）（+的最小值是__4_2、已知等比数列{a n}中a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是。
高考数学一轮复习不等式的求解知识点
高考数学一轮复习不等式的求解知识点
综上所述，不等式之所以成为高考中经久不息考试热点，而且创意不断常考常新.除了不等式的知识本身在中学数学中具有丰富的内涵和突出的地位外，与它和高等数学、现实生活有着紧密的关系也是重要的原因之一.在高考命题中，追寻不等式与其他重点知识的新颖巧妙的组合以及与高等数
学的相互联系，挖掘不等式在现实生活和科学研究中的广泛应用，把对数学思想方法和数学应用意识以及在全新的情景中对学生数学素养等的考查赋于不等式的考查之中，往往是高考对不等式考查的一个创新点。
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2019年高考第一轮复习备考专题已经新鲜出炉了，专题包含高考各科第一轮复习要点、复习方法、复习计划、复习试题，大家来一起看看吧~。
高考数学(理)总复习：不等式、线性规划(解析版)
高考数学（理）总复习：不等式、线性规划题型一 不等式的解法 【题型要点】 解不等式的常见策略(1)解一元二次不等式，一是图象法：利用“三个二次”之间的关系，借助相应二次函数图象，确定一元二次不等式的解集；二是因式分解法：利用“同号得正，异号得负”这一符号法则，转化为一元一次不等式组求解．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把他们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．(3)解含“f ”的函数不等式，首先要确定f (x )的单调性，然后根据函数的单调性去掉“f ”转化为通常的不等式求解．(4)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．【例1】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <1x 3＋x ，x ≥1，则f (f (x ))<2的解集为( )A ．(1－ln 2，＋∞)B ．(－∞，1－ln 2)C ．(1－ln 2,1)D ．(1,1＋ln 2)【解析】 因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，所以f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1，解得x <1－ln 2，所以f (f (x ))<2的解集为(－∞，1－ln 2)，故选B.【答案】 B【例2】．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]【解析】 当x ≤0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤0，所以|f (x )|≥ax 化简为x 2－2x ≥ax ，即x 2≥(a ＋2)x ，因为x ≤0，所以a ＋2≥x 恒成立，所以a ≥－2；当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)＞0，所以|f (x )|≥ax 化简为ln(x ＋1)≥ax 恒成立，由函数图象可知a ≤0，综上，当－2≤a ≤0时，不等式|f (x )|≥ax 恒成立．【答案】 D题组训练一 不等式的解法1．若不等式ax 2－bx ＋c >0的解集是⎪⎭⎫⎝⎛-2,21，则以下结论中：①a >0；②b <0；③c >0；④a ＋b ＋c >0；⑤a －b ＋c >0，正确的是( )A ．①②⑤B ．①③⑤C ．②③⑤D ．③④⑤【解析】 ax 2－bx ＋c >0的解集是⎪⎭⎫⎝⎛-2,21，故a <0，且ax 2－bx ＋c ＝0的两根为－12，2.由根与系数的关系得2－12＝b a >0,2×⎪⎭⎫ ⎝⎛-21＝ca <0，故b <0，c >0.因此，②③正确，①错误．设f (x )＝ax 2－bx ＋c ，根据f (－1)<0，f (1)>0，可知a ＋b ＋c <0，a －b ＋c >0，故④错误，⑤正确．【答案】 C2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x －2)＝f (x ＋2)，当0＜x ＜2时，f (x )＝1－log 2(x ＋1)，则当0＜x ＜4时，不等式(x －2)f (x )＞0的解集是( )A ．(0,1)∪(2,3)B ．(0,1)∪(3,4)C ．(1,2)∪(3,4)D ．(1,2)∪(2,3)【解析】 当0＜x ＜2时，x －2＜0，不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＜0，f (x )＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，1－log 2(x ＋1)<0，解得1＜x ＜2，当2＜x ＜4时，x －2＞0，不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，f (x )＞0，由函数f (x )是奇函数，得f (－x )＝－f (x )，又f (x －2)＝f (x ＋2)，则f (x )＝f (x －2＋2)＝f (x －2－2)＝－f (4－x )， 因为0＜4－x ＜2，不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，－1＋log 2(5－x )＞0，解得2＜x ＜3， 则原不等式的解集为(1,2)∪(2,3)，故选D. 【答案】 D题型二 简单的线性规划问题 【题型要点】线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是知最优解情况或可行域情况确定参数的值或取值范围．解决线性规划问题应特别关注以下三点：(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．(3)对目标函数z ＝Ax ＋By 中B 的符号，一定要注意B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形分析．【例3】已知P (x ，y )为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4x －y ≤0x －a ≥0表示的平面区域M 内任意一点，若目标函数z ＝5x ＋3y 的最大值等于平面区域M 的面积，则a ＝________.【解析】 作出不等式组对应的平面区域如图：由z ＝5x ＋3y 得y ＝－53x ＋z3，平移直线y ＝－53x ＋z3，由图象知当直线y ＝－53x ＋z3，经过点A 时，直线的截距最大，此时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4x －y ＝0，解得x ＝y ＝2，即A (2,2)， 此时z ＝5×2＋3×2＝16，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4x ＝a .解得x ＝a ，y ＝4－a ，即B (a,4－a )， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0x ＝a ，解得x ＝y ＝a ，即C (a ，a )， ∴BC ＝4－a －a ＝4－2a ，△ABC 的高为2－a ， ∴S △ABC ＝12×(2－a )(4－2a )＝(2－a )2＝16，解得a ＝－2，a ＝6(舍去)， 【答案】 －2【例4】．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,10]D ．[3,11]【解析】 根据约束条件画出可行域如图阴影部分所示．∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2(y ＋1)x ＋1，令k ＝y ＋1x ＋1，即为可行域中的任意点(x ，y )与点(－1，－1)连线的斜率．由图象可知，当点(x ，y )为A (0,4)时，k 最大，此时x ＋2y ＋3x ＋1的最大值为11，当点(x ，y )在线段OB 上时，k 最小，此时x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为3.故选D.【答案】 D题组训练二 简单的线性规划问题1．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x －1x ≤3x ＋5y ≥4，则x 2y的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 作出不等式组所对应的平面区域： 由图象可知x ＞0，y ＞0，设z ＝x 2y ，则x 2＝zy ，对应的曲线为抛物线，由图象可知当直线y ＝x －1与抛物线相切时，此时z 取得最小值，将y ＝x －1代入抛物线x 2＝zy ，得x 2－zx ＋z ＝0，由Δ＝0⇒z ＝4，z ＝0(舍)所以选择D. 【答案】 D2．已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则实数k ＝________.【解析】 依题意k <0且不等式组表示的平面区域如图所示．易得，B ⎪⎭⎫⎝⎛--3,3k k .目标函数z ＝x ＋3y 可看作直线y ＝－13x ＋13z 在y 轴上的截距的3倍，显然当直线过点B 时截距最大，此时z 取得最大值．所以z max ＝－k3＋3×⎪⎭⎫⎝⎛-3k ＝－4k 3＝8，解得k ＝－6.【答案】 －6题型三 基本不等式的应用 【题型要点】利用基本不等式求函数或代数式的最值应关注的三个方面(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．(2)条件：利用基本不等式求最值需满足“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．(3)方法：使用基本不等式时，一般通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式化为ax ＋bx(ab ＞0)的形式，常用的方法是变量分离法和配凑法．【例5】已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)＞0，对于任意的实数x 都有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的取值范围是( )A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23B ．[2，＋∞)C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,25D ．[3，＋∞)【解析】 ∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＞0.又∵对于任意的实数x 都有f (x )≥0，∴a ＞0且b 2－4ac ≤0，∴b 2≤4ac ，∴c ＞0，∴f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a ＋c b ＋1≥2acb＋1≥2. 【答案】 B2．若正数a ，b 满足：1a ＋2b ＝1，则2a －1＋1b －2的最小值为( )A ．2B.322C.52 D ．1＋324【解析】 由a ，b 为正数，且1a ＋2b ＝1，得b ＝2a a －1>0，所以a －1>0，所以2a －1＋1b －2＝2a －1＋12a a －1－2＝2a －1＋a －12≥22a －1·a －12＝2，当且仅当2a －1＝a －12和1a ＋2b ＝1同时成立，即a ＝b ＝3时等号成立，所以2a －1＋1b －2的最小值为2，故选A. 【答案】 A题组训练三 基本不等式的应用1．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a ＞0，b ＞0)把圆C ：(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则当ab 取得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是( )A ．4B ．817C ．2D.81717【解析】 由题意，圆心(－4，－1)代入直线l ：ax ＋by ＋1＝0，可得4a ＋b ＝1,4a ＋b ＝1≥4ab ，∴ab ≤116，当且仅当a ＝18，b ＝12时，ab 取得最大值，坐标原点到直线l 的距离是1164＋14＝81717，故选D.【答案】 D2．设正实数x ，y 满足x >12，y >1，不等式4x 2y －1＋y 22x －1≥m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．2 2B ．4 2C ．8D ．16【解析】 依题意得，2x －1>0，y －1>0，4x 2y －1＋y 22x －1＝[(2x －1)＋1]2y －1＋[(y －1)＋1]22x －1≥4(2x －1)y －1＋4(y －1)2x －1≥4×22x －1y －1×y －12x －1＝8，即4x 2y －1＋y 22x －1≥8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝1y －1＝12x －1y －1＝y －12x －1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2时，取等号，因此4x 2y －1＋y 22x －1的最小值是8，m ≤8，m 的最大值是8，选C.【答案】 C题型四 “点”定乾坤求解与线性规划有关的问题【题型要点】线性规划求目标函数的最值时， 常用方法是数形结合判定所过的定点，也可以把边界端点的坐标代入目标函数，寻找最值，研究可行域与其他函数的关系时，可用边界端点确定出答案．【例7】 记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________．【解析】 法一：作出可行域，利用可行域的上下界，建立的不等式，由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝4，x ＝0得(0,4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得(1,1)． 区域D 的上界为(0,4)，下界为(1,1)，∴y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则有⎩⎨⎧2a ≥1a ≤4，∴12≤a ≤4. 法二：直线y ＝a (x ＋1)为经过定点P (－1,0)且斜率为a ，作出可行域后数形结合可知．不等式组所表示的平面区域D 为如图所示阴影部分(含边界)，且A (1,1)，B (0,4)，C ⎪⎭⎫ ⎝⎛34,0，直线y ＝a (x ＋1)恒过定点P (－1,0)且斜率为a ，由斜率公式可知k BP ＝4，k AP ＝12，若直线y＝a (x ＋1)知区域D 有公共点，数形结合可得12≤a ≤4.【答案】 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,21题组训练四 “点”定乾坤求解与线性规划有关的问题已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线且切点分别为A ，B ，当∠P AB 最小时，cos ∠P AB ＝( )A.32B.12 C ．－32D ．－12【解析】 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示的平面区域D ，如图所示：要使∠APB 最大，则∠OPB 最大．∵sin ∠OPB ＝|OB ||OP |＝1|OP |，∴只要OP 最小即可，即点P 到圆心O 的距离最小即可． 由图象可知当|OP |垂直于直线3x －4y －10＝0，此时|OP |＝|－10|32＋42＝2，|OA |＝1.设∠APB ＝α，则∠APO ＝α2，即sin α2＝OA OP ＝12，此时cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×221⎪⎭⎫⎝⎛＝1－12＝12，即cos ∠APB ＝12，∴∠APB ＝60°，∴△P AB 为等边三角形，此时对应的∠P AB ＝60°为最小，且cos ∠P AB ＝12.故选B.【答案】 B【专题训练】 一、选择题1．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<311x x x 或，则f (e x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞－ln 3}B ．{x |－1＜x ＜－ln 3}C ．{x |x ＞－ln 3}D ．{x |x ＜－ln 3}【解析】 f (x )＞0的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-311x x则由f (e x )＞0得－1＜e x ＜13，解得x ＜－ln 3，即f (e x )＞0的解集为{x |x ＜－ln 3}． 【答案】 D2．已知x ＞0，y ＞0，2x ＋1y ＝13，x ＋2y ＞m 2－2m 恒成立，则m 的取值范围是( )A ．[－6,4]B ．[－4,6]C ．(－4,6)D ．(－6,4)【解析】 ∵2x ＋1y≥22xy ，即13≥22xy， 解得xy ≥72，∵2x ＋1y ＝13，∴6x ＋3y ＝1，即3x ＋6y ＝xy ，∴x ＋2y ＝13xy ≥24，∴m 2－2m ＜24恒成立，解不等式m 2－2m －24＜0 得－4＜m ＜6.故选C. 【答案】 C3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥ax －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】 根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示：可知可行域为开口向上的V 字型．在顶点处z 有最小值，顶点为⎪⎭⎫⎝⎛+-21,21a a ，则a －12＋a ⎪⎭⎫⎝⎛+21a ＝7，解得a ＝3或a ＝－5.当a ＝－5时，如图2，图2虚线向上移动时z 减小，故z →－∞，没有最小值，故只有a ＝3满足题意．选B. 【答案】 B4．已知g (x )是R 上的奇函数，当x ＜0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)【解析】 设x ＞0，则－x ＜0，所以g (－x )＝－ln(1＋x )，因为g (x )是R 上的奇函数，所以g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x ＞0，易知f (x )是R 上的单调递增函数，所以原不等式等价于2－x 2＞x ，解得－2＜x ＜1.故选D.【答案】 D5．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y －5≥0，y －4≤0，若不等式a (x 2＋y 2)≥(x ＋y )2恒成立，则实数a 的最小值是________．【解析】 可行域为一个三角形ABC 及其内部(图略)，其中A (2,4)，B (1,4)，C ⎪⎭⎫⎝⎛310,35，因此y x ∈[k OA ，k OB ]＝[2,4]，因为y x ＋x y 在[2,4]上单调递增，所以y x ＋x y ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡417,25，不等式a (x 2＋y 2)≥(x ＋y )2恒成立等价于a ≥()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++max222y x y x 95⇒a min ＝95. 【答案】 956．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0x ＋y －1≤0y ＋1≥0，z ＝mx ＋y 的最大值为3，则实数m 的值是( )A ．－2B ．3C ．8D ．2【解析】 由实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0x ＋y －1≤0y ＋1≥0作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －2＝0y ＋1＝0，解得A ⎪⎭⎫⎝⎛-1,21，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0x ＋y －2＝0，解得B (1,0)，同理C (2，－1)化目标函数z ＝mx ＋y 为y ＝－mx ＋z ， 当直线z ＝mx ＋y 经过C 点时，取得最大值3； ∴3＝2m －1，解得m ＝2.故选D. 【答案】 D7．已知函数f (x )＝cosπx (0<x <2)，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则1a ＋4b 的最小值为( )A.92 B ．9 C ．18D ．36【解析】 函数f (x )＝cosπx (0<x <2)，轴为x ＝1，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，所以a ＋b ＝2所以1a ＋4b ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 41(a ＋b )×12＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a a b 45≥12(5＋4)＝92，当a ＝23，b ＝43时取等号，故1a ＋4b 的最小值为92，故选A. 【答案】 A8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤2，若目标函数z ＝－mx ＋y 的最大值为－2m ＋10，最小值为－2m －2，则实数m 的取值不可能是( )A ．3B ．2C ．0D ．－1【解析】 由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤2作出可行域如图，联立方程组求得A (－2,2)，B (2，－2)，C (2,10)，化目标函数z ＝－mx ＋y 为y ＝mx ＋z ，若m ≥0，则目标函数的最大值为2m ＋2，最小值为－2m －2，由⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＋10＝2m ＋2－2m －2＝－2m －2，可知m ＝2； 若m ＝0，则目标函数的最大值为10，最小值为－2，符合题意；若m ＝－1，则目标函数的最大值为－2m ＋10，最小值为－2m －2，符合题意． ∴实数m 的取值不可能是3. 故选A. 【答案】 A9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x －x ，x ＞0，－ln (－x )＋x ，x ＜0.则关于m 的不等式f ⎪⎭⎫ ⎝⎛m 1＜ln 12－2的解集为( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B ．(0,2)C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21∪⎪⎭⎫⎝⎛21,0 D ．(－2,0)∪(0,2)【解析】 函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，∵x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝－ln x －x ＝f (x )，同理：x <0时，f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．∵f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝－ln 2－2＝ln 12－2.∴当m ＞0时，由f ⎪⎭⎫⎝⎛m 1＜ln 12－2，得f ⎪⎭⎫⎝⎛m 1＜f (2)， ∴1m ＞2，解得0＜m ＜12.根据偶函数的性质知当m ＜0时，得－12＜m ＜0. 【答案】 C10．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤8时，z ＝x a ＋y b(a ≥b ＞0)的最大值为2，则a ＋b 的最小值为( )A ．4＋2 3B ．4－2 3C ．9D ．8【解析】由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤8作出可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝8，解得A (2,6)，化目标函数z ＝x a ＋y b 为y ＝－bax ＋bz ，由图可知，当直线y ＝－ba x ＋bz 过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为2a ＋6b ＝2，即1a ＋3b＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎪⎭⎫⎝⎛+b a 31 ＝4＋b a ＋3ab≥4＋2b a ·3ab＝4＋2 3. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋3b ＝1，b ＝3a ，即a ＝3＋1，b ＝3＋3时取等号．【答案】 A11．若函数f (x )＝x 4＋4x 3＋ax 2－4x ＋1的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(3－12，＋∞) D ．(2－12，＋∞) 【解析】 x 4＋4x 3＋ax 2－4x ＋1>0恒成立，当x ＝0时，a ∈R ，当x ≠0时，a >－x 4＋4x 3－4x ＋1x 2＝－(x 2＋4x －4x ＋1x 2)＝－(t 2＋4t ＋2)＝－(t ＋2)2＋2，其中t ＝x －1x ∈R ，因为－(t ＋2)2＋2≤2，从而a >2，因此实数a 的取值范围是(2，＋∞)，选A.【答案】 A 二、填空题12．已知点M 的坐标(x ，y )满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≥0x －y －2≤0y －3≤0，N 为直线y ＝－2x ＋2上任一点，则|MN |的最小值是( )A.55B.255C.510D. 5【解析】 点M 的坐标(x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≥0x －y －2≤0y －3≤0的可行域如图：N 为直线y ＝－2x ＋2上任一点，则|MN |的最小值，就是两条平行线y ＝－2x ＋2与2x ＋y －4＝0之间的距离：d ＝|－2＋4|12＋22＝255，故选B.【答案】 B13．设a >b >c >0，若不等式log a b 2018＋log b c 2018≥d log ac 2018对所有满足题设的a ，b ，c均成立，则实数d 的最大值为____________．【解析】 log a b 2018＋log b c 2018≥d log a c 2018⇒lg2018lg a b ＋lg2018lg b c ≥d lg2018lg ac ，因为a >b >c >0，所以lg a b >0，lg b c >0，lg a c >0，设x ＝lg a b ，y ＝lg b c ，则lg a c ＝x ＋y ，因此d ≤(1x ＋1y )(x ＋y )的最小值，而(1x ＋1y )(x ＋y )＝2＋y x ＋xy ≥2＋2y x ·xy＝4，当且仅当x ＝y 时取等号，从而d ≤4，即实数d 的最大值为4.【答案】 414．已知点O 是坐标原点，点A (－1，－2)，若点M (x ，y )是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2，上的一个动点，OA →·(OA →－MA →)＋1m≤0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】 因为OA →＝(－1，－2)，OM →＝(x ，y )， 所以OA →·(OA →－MA →)＝OA →·OM →＝－x －2y .所以不等式OA →·(OA →－MA →)＋1m ≤0恒成立等价于－x －2y ＋1m ≤0，即1m≤x ＋2y 恒成立．设z ＝x ＋2y ，作出不等式组表示的可行域如图所示，当目标函数z ＝x ＋2y 表示的直线经过点D (1,1)时取得最小值，最小值为1＋2×1＝3；当目标函数z ＝x ＋2y 表示的直线经过点B (1,2)时取得最大值，最大值1＋2×2＝5.所以x ＋2y ∈[3,5]，于是要使1m≤x ＋2y 恒成立，只需1m ≤3，解得m ≥13或m ＜0，即实数m 的取值范围是(－∞，0)∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31【答案】 (－∞，0)∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,31。
高三不等式知识点归纳图
高三不等式知识点归纳图不等式是高中数学中一个重要的概念，广泛应用于代数、几何和实际问题中。
在高三阶段，学生需要深入理解不等式的性质、求解方法以及在应用问题中的运用。
本文将通过归纳图的形式对高三不等式的知识点进行整理和归纳，帮助学生们更好地理解和掌握这一知识点。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：如果 a>b，b>c，则有 a>c；2. 不等式两边同时加（减）同一个数，不等号方向不变；3. 不等式两边同时乘（除）同一个正数，不等号方向不变；4. 不等式两边同时乘（除）同一个负数，不等号方向改变。
二、一元一次不等式1. 不等式的解集表示法：用集合的形式表示不等式的解集；2. 不等式的图像表示法：用数轴上的点表示不等式的解集；3. 一元一次不等式的解法：通过移项和化简，找到不等式的解集；4. 一元一次不等式组：通过解每个不等式，再求解交集；5. 不等式的解空间：解多个不等式组成的方程组。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的解集表示法：用集合的形式表示不等式的解集；2. 一元二次不等式的图像表示法：用数轴上的点表示不等式的解集；3. 一元二次不等式的解法：利用一元二次不等式的性质和变形求解；4. 一元二次不等式组：通过解每个不等式，再求解交集。
四、绝对值不等式1. 绝对值不等式的性质：|a|＜b 等价于 -b＜a＜b；2. 绝对值不等式的解法：通过移项和化简，根据情况分析绝对值的正负，找到不等式的解集。
五、分式不等式1. 分式不等式的解集表示法：用集合的形式表示不等式的解集；2. 分式不等式的解法：通过移项和化简，确定分式不等式的解集。
六、不等式应用1. 几何意义：利用不等式解决三角形、多边形的不等式问题；2. 实际问题：应用不等式解决数学建模、经济学、物理学等实际问题。
七、不等式的证明1. 证明不等式的基本方法：利用不等式的性质和变形进行证明；2. 数学归纳法的应用：通过数学归纳法证明不等式的正确性。
高考数学一轮复习不等式知识点讲解
高考数学一轮复习不等式知识点讲解不等式这局部知识，浸透在中学数学各个分支中，有着十分普遍的运用。
下面是不等式知识点解说，请考生掌握。
1。
解不等式的中心效果是不等式的同解变形，不等式的性质那么是不等式变形的实际依据，方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法亲密相关，要擅长把它们无机地联络起来，相互转化。
在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一。
经过换元，可将较复杂的不等式化归为较复杂的或基本不等式，经过结构函数、数形结合，那么可将不等式的解化归为直观、笼统的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类规范明晰。
2。
整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础，应用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、相对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。
方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解亲密相关，要擅长把它们无机地联络起来，相互转化和相互变用。
3。
在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，经过换元，可将较复杂的不等式化归为较复杂的或基本不等式，经过结构函数，将不等式的解化归为直观、笼统的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类规范
愈加明晰。
4。
证明不等式的方法灵敏多样，但比拟法、综合法、剖析法仍是证明不等式的最基本方法。
要依据题设、题断的结构特点、内在联络，选择适当的证明方法，要熟习各种证法中的推理思想，并掌握相应的步骤，技巧和言语特点。
比拟法的普通步骤是：作差(商)变形判别符号(值)。
不等式知识点解说的全部内容就是这些，更多精彩内容请考生继续关注查字典数学网。
高考数学一轮复习 不等式的综合运用课件
9．某单位决定投资 3200 元建一仓库（长方形 状） ， 高度恒度， 它的后墙利用旧墙不花钱， 正面用铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌 砖，每米长造价 45 元，顶部每平方米造价 20 元，试算： 仓库面积最大允许值是多少？为使仓库面 积 S 达到最大，而实际投资又不超过预算， 那么正面铁栅应设计为多长？
3. 若关于 x的方程 9x+(4+a)· 3x+4 ＝ 0 有解，则实数 a 的取值 范围是( D ) (A)(-∞，-8]∪[0，+∞) (B)(-∞，-4) (C)[-8，4) (D)(-∞ ，-8]
返回 4. 设a，b，c∈R，ab＝2且c≤a2+b2恒成立，则c的最大值 为______. 4
3.用题中有一类是寻找最优化结果的，通常是把问题转化为不等式
表示的模型，再求出极值.
课前热身
1. 果函数 y ＝ log(1/3)(x2-2ax+a+2) 的单调递增区间是 (-∞， -1＜a＜2 a]，那么实数a的取值范围是__________. 2.数y＝x2+√1-x2的值域是( (A)[12，1] (C)[1，1+234] B ) (B)[1，54] (D)[32，1 ]
5.不等式ax2-bx+c＞0的解集是 (-1/2，2)，对于a、b、 c有 以下结论：① a＞ 0；② b＞ 0；③ c＞ 0；④ a+b+c＞ 0；⑤ ③、⑤ a-b+c＞0.其中正确结论的序号是__________
例 1 某住宅小区为了使居民有一个优雅、 舒适 的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它 的主体造型的平面图是由两个相同的矩形 ABCD 2 和 EFGH 构成的面积为 200 m 的十字型地域． 现 计划在正方形 MNPQ 上建一花坛，造价为 4200 元／m2， 在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花 岗岩地坪，造价为 210 元／m2，再在四个空角上 铺草坪，造价为 80 元／m2. G H
高考数学不等式方法技巧及题型全归纳(100页)
g(x) 0
f
(x)
0
（2） f (x) 0 f x g x 0
g(x)
f (x) g(x)
0
f (x) g(x) g(x) 0
0
2.2 含有绝对值的不等式
（1） f x g x f (x) g(x) 或 f (x) g(x) ；
（2）| f (x) | g(x) g(x) f (x) g(x) ；
到的 与原式是恒等的，则称 1, 2, ⋅⋅⋅ , 是完全对称的.
如
+
+
，
b
a
c
c
b
a
a
c
b
等.
设 ( 1, 2, ⋅⋅⋅ , )是一个 元函数. 若作置换 1 → 2, 2 → 3, ⋅⋅⋅ , −1 → , → 1，得到
的 与原式是恒等的，则称 ( 1, 2, ⋅⋅⋅ , )是轮换对称的.
如3
+
3
+
3 ， a b c 等. ab bc ca
显然，完全对称的一定是轮换对称的.
2
2、重要不等式
2.1 无理式、分式
（1）
f
(x)
g(x)
g(x) 0
f
(x)
0
g(x) 0
或
f
(x)
g 2(x)
g(x) 0
f
(x)
g(x)
f
(x)
0
f (x) g 2 (x)
f (x)
g(x) 0 g(x) 0 或
2.1 无理式、分式............................................................................................................... 3 2.2 含有绝对值的不等式................................................................................................... 3 2.3 一元二次不等式........................................................................................................... 3 2.4 基本不等式................................................................................................................... 4 2.5 柯西不等式................................................................................................................... 4
高考一轮数学不等式知识点复习攻略
高考一轮数学不等式知识点复习攻略在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低;在解答题中出现，其应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，难度较高。
2.不等式证明也是高考的一个重点内容，且多以解答题的一个分支出现，常与函数、导数、数列、解析几何等知识结合，题目往往非常灵活，难度高。
线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题种主要以选择、填空形式出现，当然，也可以实际问题进行考查。
考查了优化思想在解决问题的广泛应用，体现了数学的应用价值，从而形成解决简单实际问题的能力，进一步考查了考生的数学应用意识。
3.预计在2019年高考中，对不等式的性质和解不等式特别是含参数的不等式的解法，仍会继续渗透在其他知识中进行考查。
对不等式的应用，突出渗透数学思想方法和不等式知识的综合应用，特别是求最值问题、不等式证明问题，将继续强调考查逻辑推理能力，尤其是不等式与函数、数列、三角、解析几何的综合题型将会继续出现在高考的中、高档题中。
【要点梳理】1.不等式的性质与证明：(1)不等式的基本性质;(2)均值不等式,应用时要特别注意定理成立的三个条件一正二定三相等,三者缺一不可;(3)一元二次不等式、二元一次不等式组、简单的一元高次不等式;(4)比较法证明:作差比较与作商比较法;(5)分析法与综合法证明。
2.不等式的解法:(1)简单的一元高次不等式的解法:数轴标根法(2)分式不等式解法;(3)不等式的实际应用题的解题步骤:审题、建立不等式模型、解数学问题、写出答案.对于不等式的应用题有两类:一类是建立不等式,解不等式;一类是建立函数式,求最大值或最小值.3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.不等式知识点的全部内容就是这些，查字典数学网预祝广大考生可以时时有进步。
高三一轮复习《不等式》
第五部分：不等式专题（线性规划，一元二次不等式，基本不等式）不等式是高中数学重要的知识，考试中涉及的考点也很多，从江苏目前的高中数学要求来说，除了不等式证明以外，其他形式的考察还是很多的。
就内容来说，这部分分为高一难度和高考难度；从题型上来说，包含：线性规划，基本不等式，解不等式，不等式恒（能）成立，还有一些转化为不等式问题的题型。
高一难度的不等式问题主要是线性规划，基本不等式的常规考察，解不等式（包含含参形式），涉及常规函数的不等式恒（能）成立问题。
② 已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥00120y y x x ，使得y ax +取得最大值的点有无数个，则实数a 的值是③ 已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥00120y y x x ，且y ax +在点（1,0）处取得最大值，则实数a 的范围是（4）稍微难的是需要转化为这几个类型的的时候要能够看得出。
比如：已知y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥00120y y x x ，则22)1(652-++--x y y x xy 的取值范围是 2、解不等式解不等式分为含参和不含参之分，普通解不等式倒还好，不管是解一元一次不等式，一元二次不等式，分数不等式（注意分母不为零），指数、对数不等式，还是需要用“换元”解决的一些复合不等式，都还不算难；有时候可以用函数单调性解不等式，但是需要考虑定义域，这个需要在解题的时候能够想到，一般会条件这么给“已知或者能求出单调性，知道函数的零点”。
另外需要注意的是，其实解不等式和解方程的过程是差不多的，所以不等式的解集中式“边界”和不等2+x ，解应1-或10<<a ，ax a <<例2、解不等式：()0112>+++x a ax分析：因式分解0)1)(1(>++x ax ，考虑到影响因素，到底解是在两根之间还是两根之外是由二次项系数决定的，所以a 的取值是关键，联系到二次函数)1)(1(++=x ax y ，两根为1,121-=-=x ax 1°0=a ，不等式变为01>+x ，解为1->x ， 2°0<a ，11->-a ，12x x x <<，解为ax 11-<<-，3°0>a ，a 1-和1-的大小关系不一定，这个时候就需要进行二者的讨论， 当a 1->1-时，即1>a ，a x 1->或1-<x ，当a 1-=1-时，即1=a ，1-≠x ，当a1-<1-时，1->x 或ax 1-<例3、解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：边。
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第七章 不等式第一节 解不等式题型82、一元二次不等式的解法❖ 知识点摘要：一元二次不等式)0(02≠≥++a c bx ax 解法步骤：1. 先看不等式对应的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的情况； 2. 再画出不等式对应的二次函数大致图像，确定一元二次不等式的解集。
❖ 典型例题精讲精练： 1. 解下列不等式①0322≥++x x②0322＜++x x③062≥--x x2. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--030122＜＜x x x 的解集为（ ）{}11|.＜＜x x A - {}30|.＜＜x x B {}10|.＜＜x x C {}31|.＜＜x x D -3. 已知{}⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++2310|2，＞c bx ax x ，则关于x 的不等式02＜a bx cx ++的解集为。
4. 已知关于x 的不等式02＜c bx ax ++的解集为{2|-＜x x 或}21-＞x ，求关于x不等式02＞c bx ax +-的解集。
5. 解关于x 的不等式()()R a a x a a x ∈++-，＞0322。
{}{}034|023|222＜，＜a ax x x B x x x A +-=++=B A ⊂a题型83、一元高次不等式的解法❖ 知识点摘要：简单的一元高次不等式常用穿根法（穿针引线法）求解，用穿根法解一元高次不等式需要注意一下3点： 1. 每一个一次项系数都要化成正数； 2. 奇穿偶不穿； 3. 从右上角开始穿。
穿根法的解题原理，其实就是画出了相应高次函数大致图像，根据高次函数图像求解相应一元高次不等式的解集。
❖ 典型例题精讲精练：1. 解不等式()()()()0211232＜--++x x x x ；2. 解不等式()()()0211≥--+x x x ；3. 解不等式()()()03212≤--+x x x ；4. 解不等式()()0)2(1132≥++-x x x x 。
题型84、分式不等式的解法❖ 知识点摘要：分式不等式一般先把不等号一边化成0，然后同分母，最后根据解集等价的原理，把分式不等式转换成因式不等式（一元高次不等式）用穿根法求解。
给出下面四种分式不等式转因式不等式过程： 1.0)()(0)()(＞＞x g x f x g x f ⋅⇔； 2.0)()(0)()(＜＜x g x f x g x f ⋅⇔； 3.⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f ； 4.⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤0)(0)()(0)()(x g x g x f x g x f 。
❖ 典型例题精讲精练： 1. （2007·全国2）不等式0412＞--x x 的解集是（ ） ()12.，-A ()∞+，2.B ()()∞+-，，212. C ()()∞+-∞-，，1,2. D2. （2004·重庆）不等式212＞++x x 的解集（ ） ()()∞+-，，101. A ()()101.，， -∞-B ()()1001.，， -C ()()∞+-∞-，，11. D3. （2011·上海）不等式31≤+xx 的解集为 。
4. （2008·山东）不等式()2152≥-+x x 的解集是（ ） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-213.，A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-321.，B )(]311,21.， ⎢⎣⎡C )(]311,21.， ⎢⎣⎡-D5. （2009·湖北）已知关于x 的不等式011＜+-x ax 的解集是()⎪⎭⎫⎝⎛∞+--∞-，，211 ，则a = 。
题型85、含有1个绝对值不等式的解法❖ 知识点摘要：含有1个绝对值的不等式，一般根据绝对值的性质，解法如下： 1. a x f a a x f ≥⇒≥)()0(|)(|＞或a x f -≤)(； 2. a x a a a x f ≤≤-⇒≤)0(|)(|＞。
当然也可以根据绝对值的性质，零点分段取绝对值求解集，也可以根据图像求解集。
❖ 典型例题精讲精练：1. （2005·天津）设集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=∈≥-=R x x x xB R x x x A ，，03,9|14|，则=B A （ ） (]23.--，A (]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--25023.，，B (]⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-∞-，，253.C ()⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+-∞-，，253. D2. （2005·上海）已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=∈≤-=Z x x x P R x x x M ，，，1152|1|，则P M 等于（ ）{}Z x x x A ∈≤，＜30.{}Z x x x B ∈≤≤，30.{}Z x x x C ∈≤≤-，01. {}Z x x x D ∈≤-，＜01.3. （2009·全国1）不等式111＜-+x x 的解集为（ ） {}{}110.＞＜＜x x x x A{}10.＜＜x x B{}01.＜＜x x C -{}0.＜x x D4. （2009·广东）不等式121≥++x x 的实数解为 。
5. （2004·全国3）不等式311＜＜+x 的解集为（ ）()2,0.A ()()4,202. ，-B ()0,4.-C ()()2,02,4. --D6. （2007·浙江）不等式112＜x x --的解集是 。
7. （2012·山东）若不等式24≤-kx 的解集为{}31≤≤x x ，则实数k = 。
8. （2014·湖南）若关于x 的不等式32＜-ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-3135＜＜x x ，则=a 。
9. （2013·江西）实数范围内，不等式112≤--x 的解集为 。
题型86、含有2个绝对值不等式的解法❖ 知识点摘要：含有2个绝对值的不等式，一般用零点分段法，也可以零点分段把它看成分段函数，画出分段函数的图像，然后求解不等式的解集。
理解和应用b a b a -≥+，这个公式很重要。
❖ 典型例题精讲精练：86.1、零点分段法（或图像法）1. （2004·全国1）不等式x x ≥+2的解集是 。
2. （2010·陕西）不等式323≥--+x x 的解集是 。
3. （2012·广东）不等式12≤-+x x 的解集是 。
4. （2011·山东）不等式1035≥++-x x 的解集是 。
5. （2008·广东）已知R a ∈，若关于x 的方程0412=+-++a a x x 有实根，则a 的取值范围是 。
86.2、特殊应用（b a b a -≥+）6. （2014·江西）对任意R y x ∈，，111++-++-y y x x 的最小值为（ ）7. （2011·陕西）若不等式a x x ≥-++21对任意R x ∈恒成立，则a 的取值范围是 。
8. （2014·重庆）若不等式222122++≥++-aa x x 对任意R x ∈恒成立，则a 的取值范围是 。
9. （2012·陕西）若存在R x ∈使得31≤-+-x a x 成立，则a 的取值范围是 。
10. （2013·重庆）若关于R x ∈的不等式a x x ＜35++-无解，则a 的取值范围是 。
11. （2013·陕西）设R b a ∈，，2＞b a -，则关于实数x 的不等式2＞b x a x -+-的解集为 。
12. （2018·全国2）设函数25)(--+-=x a x x f 。
（1）当1=a 时，求不等式0)(≥x f 的解集； （2）若1)(≤x f ，求a 的取值范围。
13. （2016·全国3）已知函数a a x x f +-=2)(。
（1）当2=a 时，求不等式6)(≤x f 的解集；（2）设函数12)(-=x x g 。
当R x ∈时，3)()(≥+x g x f ，求a 的取值范围。
第二节 均值不等式题型87、利用均值不等式求函数最值❖ 知识点摘要：1. 均值不等式：如果+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）。
2. 均值不等式特例：21,0≥+a a a ＞；2≥+abb a （b a ,同号）。
3. 均值不等式变形：①2)(222b a b a +≥+（沟通两和b a +与两平方和22b a +的不等关系式）；②222b a ab +≤（沟通两积ab 与两平方和22b a +的不等关系式）；③22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab （沟通两积ab 与两和b a +的不等关系式）。
4. 不等式串：2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+（+∈R b a ,），既： 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值。
5. 均值定理：已知+∈R y x ,，如果S y x =+（定值），则4222S y x xy =⎪⎭⎫⎝⎛+≤（当且仅当y x =时取“=”），即“和为定值，积有最大值”； 如果P xy =（定值），则P xy y x 22=≥+（当且仅当y x =时取“=”），即“积为定值，和有最小值”。
87.1.利用均值不等式求函数的最值，要注意条件的验证❖ 典型例题精讲精练：1. （2010·重庆）已知0＞t ，则函数tt t y 142+-=的最小值为 。
2. （2004·湖北）已知25≥x ，则函数4254)(2-+-=x x x x f 有（ ）A .最大值45B .最小值45C .最大值1D .最小值13. （2008·重庆）函数1)(+=x xx f 的最大值为 。
4. （2010·山东）对任意实数0＞x ，a x x x≤++132恒成立，求a 的范围是 。
87.2、“1”的变换5. （2007·上海）若+∈R y x ，，且14=+y x ，则xy 的最大值是 。
6. （2010·山东）已知+∈R y x ，，且满足143=+yx ，则xy 的最大值是 。
7. （2004·重庆）已知)0,0(232＞＞y x yx =+，则xy 的最小值是 。
8. （2009·天津）设00＞，＞b a ，若3是a 3与b3的等比中项，则ba 11+的最小值为 。
9. （2011·重庆）已知00＞，＞b a ，2=+b a ,则ba y 41+=的最小值是 。
10. （2017·山东）若直线)00(1＞，＞b a bya x =+过点（1,2），则b a +2的最小值为 。
11. （2012·浙江）若正数y x ,满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是 。