乘法公式与因式分解专项训练题

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12章乘法公式和因式分解练习题

12乘法公式和因式分解练习题一、选择题1.已知2264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( )A 、8B 、±8C 、±16D 、±322.如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ( )A 、 2xyB 、－2xyC 、4xyD 、－4xy3.下列可以用平方差公式计算的是( )A 、(x －y) (x + y)B 、(x －y) (y －x)C 、(x －y)(－y + x)D 、(x －y)(－x + y)4.下列各式中，运算结果是22169b a -的是( )A 、)43)(43(b a b a --+-B 、)34)(34(a b a b --+-C 、)34)(34(a b a b -+D 、)83)(23(b a b a -+5、下列各式中,能运用平方差分式分解因式的是（）A 、21x +-B 、22y x +C 、42--xD 、()22b a ---6、若m x x +-82是完全平方式, 则m 的值为（）A 、4B 、8C 、16D 、327.计算（x +2）2的结果为x 2+□x +4,则“□”中的数为（）A ．－2B ．2C ．－4D ．4 8、把多项式1222+--y x xy 分解因式的结果是（）A ．)1)(1(+-+-x y y x B.)1)(1(---+x y y xC.)1)(1+--+y x y xD..)1)(1(--+-y x y x8.已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于（）A ．64B ．48C ．32D ．169.若949)7(22+-=-bx x a x ，则b a +之值为何？A ．18B ．24C ．39D ． 4510.已知8)(2=-n m ，2)(2=+n m ，则=+22n m （）A ．10B ．6C ．5D ．311.把多项式a 2－4a 分解因式，结果正确的是( )A ．a (a －4)B ．(a +2)(a －2)C ．a (a +2) (a －2)D ．(a －2)2－4A ．32-xB ．92+xC ．38-xD ．318-x13.下列计算正确的是Ａ．()222x y x y +=+B ．()2222x y x xy y -=-- C ．()()22222x y x y x y +-=-D ．()2222x y x xy y -+=-+ 14.下列各因式分解正确的是（）A.)2)(2()2(22+-=-+-x x xB.22)1(12-=-+x x xC.22)12(144-=+-x x xD.)2)(2(42-+=-x x x x x15.下列分解因式正确的是（） A ．）（23a 1-a a a -+=+B ．2a-4b+2=2（a-2b ）C ．()222-a 4-a =D ．()221-a 1a 2-a =+ 16.下列各式能用完全平方式进行分解因式的是（）A ．x 2 +1B .x 2+2x －1C .x 2+x +1D .x 2+4x +417.下面的多项式中，能因式分解的是（）A ．m 2+nB ．m 2﹣m+1C ．m 2﹣nD ．m 2﹣2m+118. a 4b －6a 3b ＋9a 2b 分解因式的正确结果是A ．a 2b (a 2－6a ＋9)B ．a 2b (a ＋3) (a －3)C ．b (a 2－3)2D ．a 2b (a －3)26. 4. 19.分解因式(x －1)2 －2(x －1)+1的结果是 ( )A ．(x －1)(x －2)B ． x 2C ．(x +1)2D ． (x －2)220.已知a -b =1，则代数式2a -2b -3的值是A ．-1B ．1C ．-5D ．5 21.将代数式262++x x 化成q p x ++2)(的形式为（）A. 11)3(2+-xB. 7)3(2-+xC. 11)3(2-+xD. 4)2(2++x22.计算222(a+b)(a b)+a a b -等于（）A ．4aB ．6aC ．22a bD ．22a b - 23.如图，边长为(m +3)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（）A ．m +3B ．m +6C ．2m +3D ．2m +624.图（1）是一个长为2m ，宽为2n （m>n)的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A.2mnB.(m+n)2C.(m-n)2 D .m 2 -n 2二、填空题1.若2a －b =5，则多项式6a 一3b 的值是．2.整式A 与m 2﹣2mn+n 2的和是（m+n ）2，则A= ．3．(x ＋1)(x －1)(1＋x )＝4.已知x + y =—5 ，xy =6 ，则x 2 + y 2=_______.5.二次三项式29x kx -+是一个完全平方式，则k 的值是 .6.将4个数a 、b 、c 、d 排成两行、两列，两边各加一条竖线记成a b c d，定义a c b d =a d －bc ，上述等式就叫做二阶行列式．若 1 181 1x x x x +-=-+，则x = ． 7.写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：．8.分解因式：25x x - =________ ．9.分解因式：=-822x ___________________10.分解因式：ab 3－4ab = ．11.分解因式：a －6ab ＋9ab 2＝ .12.分解因式：=+-22363n mn m _______ .13.分解因式:22331212x y xy y ++=14.若2m n -=，5m n +=，则22m n -的值为．15.若622=-n m ，且2m n -=，则=+n m ．16.有足够多的长方形和正方形的卡片，如下图. 3a b 2b a 1如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、4张、4张，可拼成一个正方形（不重叠无缝隙）那么这个正方形的边长是三、解答题1.化简：)2()12+-+x x x （ 2.化简：1)1()1(2-++-a a a3.先化简，再求值：(x+3)(x-3)-x (x-2)，其中x=4.4. 先化简，再求值：22b ＋(a ＋b )(a －b )－(a －)2b ，其中a ＝－3，b ＝12.5.先化简，再求值：()()()x x x -+++2232，其中2-=x6.已知y x A +=2，y x B -=2，计算22B A -7.先化简，再求值：()222a b b --，其中2,3a b =-=8、已知x + y = a , xy = b ,求(x－y) 2 ， x 2 + y 2 ， x 2－xy + y 2的值x=-时，求代数式(2x+5)(x+1)-(x-3)(x+1)的值．9．当710.观察下列算式：① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1 ② 2 × 4 - 32 = 8 - 9 = -1③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1 ④……（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．。

乘法公式与因式分解试题精选全文完整版

可编辑修改精选全文完整版乘法公式与因式分解测试题填空题1、已知：x 2－6x +k 可分解为只关于x －3的因式，则k 的值为（）2、若x 2－6x y+9y 2=0，则13--y x 的值为（） 3、已知：x 2+4x y=3，2x y+9y 2=1。

则x +3y 的值为4、x m －x m －4分解因式的结果是（）5、若y 2－8y+m －1是完全平方式，则m= （） 6.（a 2+b 2）2－4a 2b 2分解因式结果是（）7、若－b ax x -+221分解成)7)(4(21+--x x ，则a 、b 的值为（）8.若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是（） 9．已知7)(2=+b a ,3)(2=-b a ,则22b a +与ab 的值分别是（），（）10．若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2a b -= ]11．多项式9x ²+1加上一个单项式后，成为一个整式的完全平方，请你写出一个．．符合条件的单项式 12.已知多项式n mx --与2x -的乘积中不含x 项，则m 、n 满足的条件是__________. 13. 1纳米＝0．000000001米，则3．5纳米＝___________米．(用科学计数法表示)14．若4)2)((2-=++x x b ax ，则ba ＝_________________．选择题1. 若2422549))(________57(y x y x -=--，括号内应填代数式( )A 、y x 572+B 、y x 572--C 、y x 572+-D 、y x 572- 2. ．若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m的值为（）A ．5-B ．5C ．2-D ．23.已知2264b Nab a +-是一个完全平方式，则N 等于 ( ) A 、8 B 、±8 C 、±16 D 、±324. 如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（）A 、 –3B 、3C 、0D 、15. .若10=4,10=7x y ，则210x y -的值为（）. (A) 449 (B) 494 (C) 167 (D) 7166.下列各式中，运算结果是22169b a -的是( ) A 、)43)(43(b a b a --+- B 、)34)(34(a b a b --+-C 、)34)(34(a b a b -+D 、)83)(23(b a b a -+7. 计算：1.992－1.98×1.99+0.992得（）A 、0B 、1C 、8.8804D 、3.9601 8.22)213()213(-+a a 等于( )A 、4192-a B 、161814-aC 、161298124+-a aD 、161298124++a a9、对于任何整数m ，多项式9)54(2-+m 都能（） A 、被8整除 B 、被m 整除 C 、被m －1整除 D 、被（2m -1）整除10、若a 为正整数，且x 2a ＝5，则（2x 3a ）2÷4x 4a 的值为（）（A ）5 （B ）25（C ）25 （D ）11、把216a +-分解因式，结果是（）A.)8)(8(+-a aB.)4)(4(-+a aC.)2)(2(+-a a D 2)4.(-a 12、下列多项式中，能用公式进行因式分解的是（） A ．22b a -- B.422++x x C. 22)(b a --- D.412+-x x 13、用分组分解法将x y xy x 332-+-分解因式，下列的分组方式中不恰当的是（）A ．)3()3(2xy y x x -+- B.)33()(2x y xy x -+- C.)33()(2x y xy x -+- D.y x xy x 3)3(2+-- 14、把多项式1222+--y x xy 分解因式的结果是（） A ．)1)(1(+-+-x y y x B.)1)(1(---+x y y x C.)1)(1+--+y x y x D..)1)(1(--+-y x y x 15、把多项式822222--++-y x y xy x 分解因式的结果是（）A.)2)(4(+---y x y xB.)8)(1(----y x y xC.)2)(4(--+-y x y xD.)8)(1(--+-y x y x 16、多项式3222315520m n m n m n +-的公因式是( ) A 、5mn B 、225m n C 、25m n D 、25mn 17、xy y x 2122--+解因式的结果是（） A.)2)(4(+---y x y x B.（x-y+1）(x-y-1) C.)2)(4(--+-y x y x D.)8)(1(--+-y x y x 18、20062+3×20062–5×20072的值不能．．被下列哪个数整除（）A 、3 B 、5 C 、20062 D 、2005219、一个正方形的边长增加了cm 2，面积相应增加了232cm ，则这个正方形的边长为( ) A ．6cm B ．5cm C ．8cm D ．7cm 20、下列各式中,能运用平方差分式分解因式的是（）A 、21x +- B 、22y x + C 、42--x D 、()22b a --- 21、若m x x +-82是完全平方式, 则m 的值为（） A 、4 B 、8 C 、16 D 、32 22.计算题⑴ x (9x －5)－(3x + 1) (3x －1)⑵ (a + b －c) (a －b + c)⑶)49)(23)(23(22b a b a b a ++-⑷ (2x －1) (2x + 1)－2(x －2) (x + 2)5） 22)()(y x y x +- （6）22)35()35(y x y x ++-（7）))((c b a c b a +--+ （8） 2222)2()4()2(++-t t t23.分解因式（9）2244x xy y -+- （10）224520bxy bx a -（11）(1)(3)1x x --+ （12） 22)(16)(9n m n m --+13）x 4－12x +32 （14）5x 2－125y 415）4x 2－12x y+9y 2 （16）.（m+n ）2－4（m+n －1）17）.22(1)(1)x a y a -+- （18）－81x 2+y 2（19）221222x xy y ++ （20）221424a ab b ++24、已知x + y = a , xy = b ,求(x －y) 2 ， x 2 + y 2， x 2－xy + y 2的值25、已知22==+ab b a ，，求32232121ab b a b a ++的值26、先分解因式，再求值：655222++-+-b a b ab a ，其中92,96==b a27. 对于任意自然数n ，()()2257--+n n 是否能被24整除，为什么？28、利用分解因式进行简便运算 1、已知2a －b=3,求－8a 2+8ab －2b 2 的值。

整式乘法与因式分解500题

D． a6÷a2=a3
5．下面是一名学生所做的 4 道练习题：①（-3）0=1；②a3+a3=a6；③4m-4= ；④（xy2）3=x3y6，他做对的个数是（）
A． 0
B． 1
C．2
D． 3
6．下列计算中，结果正确的是（）
A． a2•a3=a6
B．（2a）•（3a）=6a
C．（a2）3=a6 D．a6÷a2=a3
17．下列运算丌正确的是（）
A．（a5）2=a10
B． 2a2•（-3a3）=-6a5
C． b•b3=b4
D． b5•b5=b25
18．下列计算正确的是（）
A． x2+2x2=3x4
B． a3•（-2a2）=-2a5
C．（-2x2）3=-6x6
D． 3a•（-b）2=-3ab2
19．下列计算正确的是（） A．（2x3）•（3x）2=6x6
2×（22）3 中，结果等于 66 的是（）
A． ①②③
B． ②③④
C．②③
D． ③④
3．下列运算正确的是（）
A． 6a-5a=1
B．（a2）3=a5
C．3a2+2a3=5a5 D．2a2•3a3=6a5
4．下列运算中，正确的是（） A．（a2）3=a5 B．2a•3a=6a2
C． 2a-a=2
14．下列计算中正确的是（）
A． a5-a2=a3
B． |a+b|=|a|+|b|
C．（-3a2）•2a3=-6a6
D．a2m=（-am）2（其中 m 为正整数）
15．下列计算正确的是（）
A． a2•a3=a6
B．（-2a）3=8a3 C．a+a4=a5

人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》测试卷(含答案)

人教版八年级数学上册《整式的乘法与因式分解》测试卷（含答案）一、选择题(每小题3分，共30分)1.下列计算正确的是( )A.x+x²=x³B.x²・x³=x6C.(x³)²=x6D.x9÷x³=x³2.若12x m y2与13x3y n是同类项,则m,n的值为( )A.m=3,n=2B.m=2,n =3C.m=-3.n=2D.m=-2,n=33.下列因式分解不完全的是( )A.a²-2ab+b²=(a-b)²B.a³-a =a (a²-1)C.a²b-ab²=ab(a-b)D.a²-b²=(a+b)(a-b)4.已知(a +b)²=(a-b)²+M,则M为( )A.abB.2abC.-2abD.4ab5.下列多项式乘法中,能运用平方差公式的是()A.(a-b)(a-b)B.(a-b)(-a+b)C.(a+b)(-a+b)D.(a-b)(b-a)6.如果(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项,则m的值为( )A.-3B.3C.0D.17.如图的图形面积由以下哪个公式表示( )A.a²-b²=a(a-b)+b(a-b)B.(a-b)²=a²-2ab+b²C.(a+b)²=a²+2ab+b²D.a²-b²=(a+b)(a-b)8.若△ABC的三边a,b,c满足a²+b²+c²-ab-bc-ca=0,则△ABC是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形9.下列计算:①3a+2b=5ab;②3x³×(-2x²)=-6x5;③4a³b÷(-2a²b)=-2a;④(-a²)³=a6;⑤(-a)³÷(-a)=-a².其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4 个10.已知x+y=6,xy=8,下列结论:①(x+y)²=36;②x²+y²=20;③x-y=2;④x²y²=12.其中正确的是( )A.①②③④B.①②④C.①②D.①③④二、填空题(每小题3分,共18分)11.x平方x²+y²+2x-6y+10=0,则x・y=_________12.当x______时,(x-3)0=1.13.若x²+2(m-3)x+16是一个完全平方式,那么m应为_________.14.若x-1x =1,则x²+1x2的值是__________.15.观察下列关于自然数的等式:①3²-4X1²=5;②5²-4X2²=9;③7²-4X3²=13.根据上述规律解决下列问题:(1)完成第四个等式:____________________;(2)写出你猜想的第n个等式_____________________(用含n的式子表示).16.已知a,b满足等式x=a²+b²+5,y=2(2b-a),则x,y的大小关系为______________.三、解答题(72分)17.(10分)计算下列各题.(1)-2a²bx(−12ab2)x(-abc);(2)(5x-3)(-5x-3)-(5x+3)²+(5x-3)².18.(12分)分解因式。

部编数学八年级上册专题05乘法公式与因式分解七大重难考点(期末真题精选)(解析版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题05 乘法公式与因式分解七大重难考点一．平方差公式的灵活运用1．下列运算中，不能用平方差公式运算的是（）A ．（﹣b ﹣c ）（﹣b +c ）B ．﹣（x +y ）（﹣x ﹣y ）C ．（x +y ）（x ﹣y ）D ．（x +y ）（2x ﹣2y ）试题分析：能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．答案详解：解：A 、（﹣b ﹣c ）（﹣b +c ）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；B 、﹣（x +y ）（﹣x ﹣y ）＝（x +y ）（x +y ），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意；C 、（x +y ）（x ﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；实战训练D 、（x +y ）（2x ﹣2y ）＝2（x +y ）（x ﹣y ）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意．所以选：B ．2．计算：20192﹣2017×2021＝　4　．试题分析：根据平方差公式即可求出答案．答案详解：解：20192﹣2017×2021＝20192﹣（2019﹣2）（2019+2）＝20192﹣20192+22＝4．所以答案是：4．3．利用乘法公式简便计算．（1）2020×2022﹣20212．（2）3.6722+6.3282+6.328×7.344．试题分析：（1）运用平方差公式计算即可；（2）运用完全平方公式计算即可．答案详解：解：（1）原式＝（2021﹣1）×（2021+1）﹣20212．＝20212﹣1﹣20212＝﹣1；（2）原式＝3.6722+6.3282+2×3.672×6.328＝（2.672+6.328）2＝102＝100．4．某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．请借鉴该同学的经验，计算：(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)+1215．试题分析：原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．答案详解：解：原式＝2（1−12）（1+12）（1+122）（1+124）（1+128）+1215＝2（1−1216）+1215＝2．5．阅读下面的材料并填空：①（1−12）（1+12）＝1−122，反过来，得1−122=（1−12）（1+12）=12×32②（1−13）（1+13）＝1−132，反过来，得1−132=（1−13）（1+13）＝　23　×　43　③（1−14）（1+14）＝1−142，反过来，得1−142=　（1−14）（1+14）　=34×54利用上面的材料中的方法和结论计算下题：（1−122）（1−132）（1−142）……（1−120162）（1−120172）（1−120182）试题分析：直接利用平方差公式计算进而结合已知规律得出答案．答案详解：解：①（1−12）（1+12）＝1−122，反过来，得1−122=（1−12）（1+12）=12×32，②（1−13）（1+13）＝1−132，反过来，得1−132=（1−13）（1+13）=23×43，③（1−14）（1+14）＝1−142，反过来，得1−142=（1−14）（1+14）=34×54利用上面的材料中的方法和结论计算下题：（1−122）（1−132）（1−142）……（1−120162）（1−120172）（1−120182）=12×32×23×43×34×⋯×20172018×20192018 =20194036．所以答案是：23，43，（1−14）（1+14）．二．完全平方公式的灵活运用6．在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨．请你阅读例题的解题思路：例：已知a +b ＝4，ab ＝3，求a 2+b 2的值．解：∵a +b ＝4，ab ＝3，∴a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝42﹣2×3＝10．请结合例题解答问题．若a +b ＝7，ab ＝10，求a 2+b 2的值．试题分析：根据完全平方公式即可解答．答案详解：解：∵a +b ＝7，∴（a +b ）2＝72，∴a 2+2ab +b 2＝49，∵ab ＝10，∴a 2+b 2＝49﹣2ab ＝49﹣20＝29，即a 2+b 2的值是29．7．阅读下列解答过程：已知：x ≠0，且满足x 2﹣3x ＝1．求：x 2+1x 2的值．解：∵x 2﹣3x ＝1，∴x 2﹣3x ﹣1＝0∴x −3−1x =0，即x −1x =3．∴x 2+1x 2=(x−1x)2+2=32+2＝11．请通过阅读以上内容，解答下列问题：已知a ≠0，且满足（2a +1）（1﹣2a ）﹣（3﹣2a ）2+9a 2＝14a ﹣7，求：（1）a 2+1a 2的值；（2）a 25a 4a 25的值．试题分析：（1）根据题意可得a −1a=2，再利用完全平方公式计算即可；（2）根据倒数的定义和完全平方公式计算即可．答案详解：解：（1）（2a +1）（1﹣2a ）﹣（3﹣2a ）2+9a 2＝14a ﹣71﹣4a 2﹣（9﹣12a +4a 2）+9a 2﹣14a +7＝0，整理得：a 2﹣2a ﹣1＝0∴a −1a=2，∴a 2+1a 2=(a−1a)2+2=4+2=6；（2）解：a 25a 4a 25的倒数为5a 4a 25a 2，∵5a 4a 25a 2=5a 2+5a 2+1=5(a 2+1a 2)+1=5×6+1=31，∴a 25a 4a 25=131．8．若m +n ＝7，mn ＝12，求m 2﹣mn +n 2的值．试题分析：首先把m 2﹣mn +n 2加上2mn ﹣2mn ，把m 2+2mn +n 2利用完全平方公式因式分解，进一步整体代入计算即可．答案详解：解：m2﹣mn+n2+2mn﹣2mn＝m2+2mn+n2﹣3mn＝（m+n）2﹣3mn；把m+n＝7，mn＝12代入得：原式＝72﹣3×12＝13．9．已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝1，求x2+y2与xy的值．试题分析：已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求式子的值．答案详解：解：∵（x+y）2＝x2+2xy+y2＝25①，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1②，∴①+②得：2（x2+y2）＝26，即x2+y2＝13；①﹣②得：4xy＝24，即xy＝6．10．回答下列问题（1）填空：x2+1x2=（x+1x）2﹣　2　＝（x−1x）2+　2　（2）若a+1a=5，则a2+1a2=　23　；（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+1a2的值．试题分析：（1）根据完全平方公式进行解答即可；（2）根据完全平方公式进行解答；（3）先根据a2﹣3a+1＝0求出a+1a=3，然后根据完全平方公式求解即可．答案详解：解：（1）2、2．（2）23．（3）∵a＝0时方程不成立，∴a≠0，∵a2﹣3a+1＝0两边同除a得：a﹣3+1a=0，移项得：a+1a=3，∴a2+1a2=（a+1a）2﹣2＝7．三．数形结合----多项式与图形的面积的美妙融合11．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca　；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝6，ab+bc+ac＝8，求a2+b2+c2的值．试题分析：（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；（2）将a+b+c＝6，ab+bc+ac＝8，代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可．答案详解：解：（1）∵正方形的面积＝各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．（2）由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca），∵a+b+c＝6，ab+bc+ac＝8，∴a2+b2+c2＝62﹣2×8＝36﹣16＝20．12．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47，求a2+b2+c2的值；（3）小明同学打算用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张相邻两边长为分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（5a+8b）（7a+4b）长方形，那么他总共需要多少张纸片？试题分析：（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；（2）将a+b+c＝12，ab+bc+ac＝47代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；（3）长方形的面积xa2+yb2+zab＝（5a+8b）（7a+4b），然后运算多项式乘多项式法则求得（5a+8b）（7a+4b）的结果，从而得到x、y、z的值，代入即可求解．答案详解：解：（1）∵正方形的面积＝各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．（2）由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝122﹣47×2＝50．（3）∵长方形的面积＝xa2+yb2+zab＝（5a+8b）（7a+4b）＝35a2+76ab+32b2，∴x＝35，y＝32，z＝76，∴x+y+z＝143．答：那么他总共需要143张纸片．13．如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中的阴影部分的面积为　（b﹣a）2　；（2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab　；（3）根据（2）中的结论，若x+y＝5，x•y=94，则x﹣y＝　±4　；（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式．如图3，你有什么发现？　（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2　．试题分析：（1）阴影部分为边长为（b﹣a）的正方形，然后根据正方形的面积公式求解；（2）在图2中，大正方形有小正方形和4个矩形组成，则（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）由（2）的结论得到（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，再把x+y＝5，x•y=94得到（x﹣y）2＝16，然后利用平方根的定义求解；（4）观察图形得到边长为（a+b）与（3a+b）的矩形由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b 的矩形和一个边长为b的正方形组成，则有（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．答案详解：解：（1）阴影部分为边长为（b﹣a）的正方形，所以阴影部分的面积（b﹣a）2；（2）图2中，用边长为a+b的正方形的面积减去边长为b﹣a的正方形等于4个长宽分别a、b 的矩形面积，所以（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）∵（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy，而x+y＝5，x•y=9 4，∴52﹣（x﹣y）2＝4×9 4，∴（x﹣y）2＝16，∴x﹣y＝±4；（4）边长为（a+b）与（3a+b）的矩形面积为（a+b）（3a+b），它由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成，∴（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．所以答案是（b﹣a）2；（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；±4；（a+b）•（3a+b）＝3a2+4ab+b2．四．因式分解--一提净，二公式，三十字，四分组14．请先观察下列算式，再填空：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2．①72﹣52＝8×　3　；②92﹣（　7　）2＝8×4；③（　11　）2﹣92＝8×5；④132﹣（　11　）2＝8×　6　；…（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来．（2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？试题分析：（1）从上式中可以发现等式左边：两数的平方差，前一个数比后一个数大2；等式右边：前一个因数是8，后一个是等式左边两数的和除4，所以可写成：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（2）运用平方差公式计算此式，证明它成立．答案详解：解：①3；②7；③11；④11，6．（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（2）原式可变为（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝8n．15．因式分解：（1）16x4﹣1．（2）（m﹣n）（x+3y）﹣（n﹣m）（x﹣y）．试题分析：（1）用平方差公式因式分解，注意分解要彻底；（2）用提取公因式法因式分解，注意公因式要提取彻底．答案详解：解：（1）16x4﹣1＝（4x2+1）（4x2﹣1）＝（4x+1）（2x+1）（2x﹣1）；（2）（m﹣n）（x+3y）﹣（n﹣m）（x﹣y）＝（m﹣n）（x+3y）+（m﹣n）（x﹣y）＝（m﹣n）（x+3y+x﹣y）＝（m﹣n）（2x+2y）＝2（m﹣n）（x+y）．16．（1）若3a＝6，9b＝2，求32a+4b的值；（2）已知xy＝8，x﹣y＝2，求代数式12x3y﹣x2y2+12xy3的值．试题分析：（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则化简求出答案；（2）首先提取公因式12xy再利用完全平方公式分解因式，进而将已知代入求出答案．答案详解：解：（1）∵3a＝6，9b＝2，∴32a+4b＝32a×34b＝（3a）2×（32b）2＝36×4＝144；（2）∵xy＝8，x﹣y＝2，∴原式=12xy（x2﹣2xy+y2）=12xy（x﹣y）2=12×8×22＝16．五．阅读类---化归思想17．阅读下列材料：材料1、将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）（1）x2+4x+3＝（x+1）（x+3）（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）材料2、因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2再将“A”还原，得：原式＝（x+y+1）2上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式．（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：①分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3；②分解因式：m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3．试题分析：（1）利用十字相乘法变形即可得；（2）①根据材料2的整体思想可以对（x﹣y）2+4（x﹣y）+3分解因式；②根据材料1和材料2可以对m（m+2）（m2+2m﹣2）﹣3分解因式．答案详解：解：（1）x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4）；（2）①令A＝x﹣y，则原式＝A2+4A+3＝（A+1）（A+3），所以（x﹣y）2+4（x﹣y）+3＝（x﹣y+1）（x﹣y+3）；②令B＝m2+2m，则原式＝B（B﹣2）﹣3＝B2﹣2B﹣3＝（B+1）（B﹣3），所以原式＝（m2+2m+1）（m2+2m﹣3）＝（m+1）2（m﹣1）（m+3）．18．阅读以下材料材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：（1）因式分解：1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　（1﹣x+y）2　；（2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4；（3）求证：无论n为何值，式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．试题分析：（1）将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A，则原式＝12﹣2A+A2＝（1﹣A）2，再将“A”还原，得原式＝（1﹣x+y）2；（2）将“a2﹣4a”看成整体，令a2﹣4a＝A，则原式＝（A+2）（A+6）+4＝A2+8A+12+4＝（A+4）2，再将“A”还原，得：原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4；（3）先由（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17，运用整体思想，再即可得到式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．答案详解：解：（1）将“x﹣y”看成整体，令x﹣y＝A，则原式＝12﹣2A+A2＝（1﹣A）2，再将“A”还原，得：原式＝（1﹣x+y）2；所以答案是：（1﹣x+y）2；（2）将“a2﹣4a”看成整体，令a2﹣4a＝A，原式＝（A+2）（A+6）+4＝A2+8A+12+4＝（A+4）2，将“A”还原，得：原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4；（3）令n2﹣2n＝A，则原式＝（A﹣3）（A+5）+17＝A2+2A﹣15+17＝A2+2A+2＝（A+1）2+1，将A＝n2﹣2n还原，原式＝（n2﹣2n+1）2+1＝（n﹣1）4+1，因为无论n为何值（n﹣1）4≥0，所以（n﹣1）4+1≥1，即式子（n2﹣2n﹣3）（n2﹣2n+5）+17的值一定是一个不小于1的数．19．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝　（m+1）（m﹣5）　．（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值，并求出这个最小值．试题分析：（1）根据阅读材料，先将m2﹣4m﹣5变形为m2﹣4m+4﹣9，再根据完全平方公式写成（m﹣2）2﹣9，然后利用平方差公式分解即可；（2）利用配方法将多项式a2+b2﹣4a+6b+18转化为（a﹣2）2+（b+3）2+5，然后利用非负数的性质进行解答；（3）利用配方法将多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27转化为（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+17，然后利用非负数的性质进行解答．答案详解：解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣9＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）＝（m+1）（m﹣5）．所以答案是（m+1）（m﹣5）；（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，∴当a＝2，b＝﹣3时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5；（3）∵a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27＝a2﹣2a（b+1）+（b+1）2+（b﹣3）2+17＝（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+17，∴当a＝4，b＝3时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+27有最小值17．20．【阅读学习】做整式的乘法运算时借助图形，可以由图形直观的获取结论．例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac．例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．借助几何图形，利用几何直观的方法在解决整式运算问题时经常采用．【问题解决】（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形．从中你发现的结论用等式表示为　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；　；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝48．求a2+b2+c2的值．【拓展应用】（3）利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝20，请求出阴影部分的面积．试题分析：（1）先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形的面积，由两个结果相等即可得出结论．（2）利用数形结合思想用等面试法探究因式分解，用因式分解结论反求几何面积答案详解：解：（1）∵正方形面积为（a +b +c ）2，小块四边形面积总和为a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，∴由面积相等可得：（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，故可得结论是：（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ；所以答案是：（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ；（2）由（1）可知a 2+b 2+c 2＝（a +b +c ）2﹣（2ab +abc +2ac ），∵a +b +c ＝12，ab +bc +ac ＝48，∴a 2+b 2+c 2＝（a +b +c ）2﹣2（ab +bc +ac ）＝144﹣2×48＝48，故a 2+b 2+c 2的值为48；（3）∵a +b ＝10，ab ＝20，∴（a +b ）2＝100∴a 2+b 2+2ab ＝100，∴a 2+b 2＝60，∴S 阴影＝S 两正方形﹣S △ABD ﹣S △BFG ，＝a 2+b 2−12a 2−12b （a +b ）=12（a 2+b 2﹣ab ）=12×（60﹣20）＝20．故阴影部分的面积是20．六．规律类----类比思想21．有足够多的长方形和正方形卡片，分别记为1号，2号，3号卡片，如图1所示．（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请你用2种不同的方法表示阴影部分的面积．①方法1：　（m﹣n）2　方法2：　（m+n）2﹣4mn　②请写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，4mn这三个代数式之间的等量关系：　（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn　．（2）解决问题：若|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，求（a﹣b）2的值．（3）如果选取1张1号，2张2号，3张3号卡片，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个拼出的长方形，根据图形的面积关系得到的等式是：　m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n）　．试题分析：（1）①从“整体”和“部分”两个方面分别表示阴影部分的面积即可；②由①中两种方法所表示的面积相等可得答案；（2）根据非负数的定义可得a+b＝6，ab＝4，再根据（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab进行计算即可；（3）求出所拼成的长方形的长、宽以及总面积即可．答案详解：解：（1）①方法1：图2中阴影部分是边长为（m﹣n），因此面积为（m﹣n）2，方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为（m+n）的正方形减去4个长为m．宽为n的长方形面积，因此有（m+n）2﹣4mn，所以答案是：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn；②由①得（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn，所以答案是：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；（2）∵|a+b﹣6|+|ab﹣4|＝0，|a+b﹣6|≥0，|ab﹣4|≥0，∵a+b﹣6＝0，ab﹣4＝0，即a+b＝6，ab＝4，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝36﹣16＝20，答：（a﹣b）2的值为20；（3）1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为m2+2n2+3mn，而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为（m+2n），宽为（m+n）的长方形，所以有m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n），所以答案是：m2+2n2+3mn＝（m+2n）（m+n）．22．王老师在黑板上写下了四个算式：①32﹣12＝（3+1）（3﹣1）＝8＝8×1；②52﹣32＝（5+3）（5﹣3）＝16＝8×2；③72﹣52＝（7+5）（7﹣5）＝24＝8×3；④92﹣72＝（9+7）（9﹣7）＝32＝8×4；…认真观察这些算式，并结合你发现的规律，解答下列问题：（1）112﹣92＝　40　；132﹣112＝　48　．（2）小华发现上述算式的规律可以用文字语言概括为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”，如果设两个连续奇数分别为2n+1和2n﹣1（n为正整数），请你用含有n的算式验证小华发现的规律．试题分析：（1）根据已知算式写出符合题意的答案；（2）利用平方差公式计算得出答案．答案详解：解：（1）112﹣92＝（11+9）（11﹣9）＝8×5＝40；132﹣112＝（13+11）（13﹣11）＝8×6＝48．所以答案是：40；48；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）＝2×4n＝8n，∵n为正整数，∴两个连续奇数的平方差是8的倍数．23．阅读下面材料，并回答相应的问题：通过学习，我们了解了因式分解的两种基本方法：提公因式法，公式法．下面我们将探索因式分解的其它方法．（1）请运用多项式乘以多项式的法则填空：（x+2）（x+3）＝　x2+5x+6　，（x+2）（x﹣3）＝　x2﹣x+6　，（x﹣2）（x+3）＝　x2+x+6　，（x﹣2）（x﹣3）＝　x2﹣5x+6　．从特殊到一般，探索规律进行推导，过程如下：（x+p）（x+q）＝　x2+px+qx+pq　＝x2+　（p+q）　x+　pq　（2）因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用（1）中的规律，我们可以得到一种因式分解的新方法：　（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq　（用字母等式表示）．利用这种方法，请将下列各式因式分解：x2+4x+3＝　（x+1）（x+3）　，x2+4x﹣5＝　（x+1）（x﹣5）　，2x2﹣5x+2＝　（2x﹣1）（x﹣2）　，3x2﹣x﹣2＝　（3x+2）（x﹣1）　．试题分析：（1）利用多项式乘多项式的法则进行运算即可；（2）结合（1）进行分析即可求解．答案详解：解：（1）（x+2）（x+3）＝x2+3x+2x+6＝x2+5x+6，（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3x+2x﹣6＝x2﹣x+6，（x﹣2）（x+3）＝x2+3x﹣2x﹣6＝x2+x+6，（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣3x﹣2x+6＝x2﹣5x+6，（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq，所以答案是：x2+5x+6；x2﹣x+6；x2+x+6；x2﹣5x+6；x2+px+qx+pq；（p+q）；pq；（2）（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，x2+4x+3＝（x+1）（x+3），x2+4x﹣5＝（x+1）（x﹣5），2x2﹣5x+2＝（2x﹣1）（x﹣2），3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），所以答案是：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq；（x+1）（x+3）；（x+1）（x﹣5）；（2x﹣1）（x﹣2）；（3x+2）（x﹣1）．24．老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题：请观察以下算式：①32﹣12＝8×1；②52﹣32＝8×2；③72﹣52＝8×3；………试写出符合上述规律的第五个算式；验证：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），并说明它们的平方差是8的倍数；试题分析：仿照已知等式确定出第五个算式即可；列出两个连续奇数的平方差，分解后即可作出判断．答案详解：解：第五个算式为：112﹣92＝8×5；验证：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）＝2×4n＝8n．故两个连续奇数的平方差是8 的倍数．七．乘法公式的综合应用25．你能化简（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．（1）先填空：（a﹣1）（a+1）＝　a2﹣1　；（a﹣1）（a2+a+1）＝　a3﹣1　；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝　a4﹣1　；…由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝　a100﹣1　（2）利用这个结论，请你解决下面的问题：①求2199+2198+2197+…+22+2+1 的值；②若a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1＝0，则a等于多少？试题分析：（1）原式利用多项式乘多项式法则计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）各项变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．答案详解：解：（1）：（a﹣1）（a+1）＝a2﹣1；（a﹣1）（a2+a+1）＝a3﹣1；（a﹣1）（a3+a2+a+1）＝a4﹣1；…由此猜想：（a﹣1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）＝a100﹣1；所以答案是：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；a100﹣1；（2）①∵（2﹣1）（2199+2198+2197+…+22+2+1）＝2200﹣1，∴2199+2198+2197+…+22+2+1＝2200﹣1；②∵a8﹣1＝（a﹣1）（a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1）＝0，即a8＝1，∴a＝±1，当a＝1时，a7+a6+a5+a4+a3+a2+a+1＝0不成立，∴a＝﹣1．26．分解因式x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．试题分析：（1）应用分组分解法，把a2﹣4a﹣b2+4分解因式即可．（2）首先应用分组分解法，把a2﹣ab﹣ac+bc＝0分解因式，然后根据三角形的分类方法，判断出△ABC的形状即可．答案详解：解：（1）a2﹣4a﹣b2+4＝a2﹣4a+4﹣b2＝（a﹣2）2﹣b2＝（a+b﹣2）（a﹣b﹣2）（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a﹣b＝0或a﹣c＝0，∴a＝b或a＝c，∴△ABC是等腰三角形．27．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值；（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．试题分析：（1）根据x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，应用因式分解的方法，判断出（x﹣y）2+（y+3）2＝0，求出x、y的值各是多少，再把它们相乘，求出xy的值是多少即可；（2）首先根据a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，求出a、b的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出△ABC的最大边c的值是多少即可；（3）首先根据a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，应用因式分解的方法，判断出（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，求出a、c、b的值各是多少；然后把a、b、c的值求和，求出a+b+c的值是多少即可．答案详解：解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0，∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0，∴x﹣y＝0，y+3＝0，∴x＝﹣3，y＝﹣3，∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9，即xy的值是9．（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣6＝0，∴a＝5，b＝6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．（3）∵a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2＝0，∴（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0，∴a﹣4＝0，c﹣8＝0，∴a＝4，c＝8，b＝a﹣8＝4﹣8＝﹣4，∴a+b+c＝4﹣4+8＝8，即a+b+c的值是8．。

2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练28 利用乘法公式和因式分解简便计算

专题28 利用乘法公式和因式分解简便计算【例题讲解】用简便方法进行计算．（1）21.4×2.3+2.14×27+214×0.5．（2）22100007525-．（3）（2112-）×2211(1)(1)34-⨯-⨯…×（21110-）．（4）1952+195×10+52． 1191010⨯⨯⨯195×5+521．用简便方法计算2008﹣4016×2007+2007的结果是_____．2．利用因式分解计算：22111021198⨯-⨯的结果是______．3．利用因式分解简便运算：2252.847.2-＝_____．4．利用因式分解计算2221000252248=-__________． 5．计算：2222020200119=200119--⨯__． 6．利用因式分解计算：3.4614.70.5414.729.4⨯+⨯-=______.7．利用因式分解计算：2022+202×196+982=______．8．利用乘法公式简便计算．(1)4.3212＋8.642×0.679＋0.6792；(2)2020×2022－20212．9．利用因式分解计算(1)2900894906-⨯(2)2.6815.731.415.7 1.32⨯-+⨯10．利用因式分解计算：（1）21 3.1462 3.1417 3.14⨯+⨯+⨯；（2）22758258-．11．利用因式分解进行简便运算：（1）2920.217220.2120.21⨯+⨯- （2）2210119810199+⨯+12．利用因式分解进行简便计算：（1）3×852﹣3×152；（2）20212﹣4042×2019+20192．13．利用因式分解计算：225652443524⨯-⨯．14．计算：（要求：应用因式分解巧算，写明计算过程）（1）7749.124.12525⨯-⨯；（2）1.1 2.5 2.29 2.50.61 2.5⨯+⨯+⨯；（3）20.9990.9990.001+⨯；（4）已知2004+=a b ，1003=ab ，求22222-+a b a b ab 的值．15．简便计算：（1）227.29 2.71-；（2）2.887.680.48⨯+⨯-⨯；（3）2200820081664-⨯+．16．用简便方法计算：（1）8502﹣1700×848+8482（2）2221111()1()1()232021⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯-⨯⋯⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦17．简便计算（1）221.2229 1.3334⨯-⨯ （2）2220220219698⨯++18．利用因式分解计算：（1）222222221009998974321-+-+⋯+-+-（2）()()()()2483212451515151++++⋅⋯⋅+（3）()()4222222n n n ++-19．用简便方法计算：（1）22429171-（2）2220220219698⨯++20．利用因式分解计算：22015201520152016+-⨯21．利用因式分解计算：（1）342+34×32+162（2）38.92-2×38.9×48.9+48.9222．计算：①2032﹣203×206+1032②20192﹣2018×2020．23．用简便方法计算．（1）227.29 2.71-（2）44134 23.7 1.35555 -⨯+⨯-⨯24．利用因式分解计算：3232 2018320182015 201820182019-⨯-+-25．利用因式分解简便计算：11 1009922⨯26．利用因式分解计算：（1）9788597879788⨯+⨯+⨯；（2）23.86 3.86 3.85-⨯. 27．利用乘法公式计算：（1）2201920182020-⨯. （2）299.8.专题28 利用乘法公式和因式分解简便计算【例题讲解】用简便方法进行计算．（1）21.4×2.3+2.14×27+214×0.5．（2）22100007525-．（3）（2112-）×2211(1)(1)34-⨯-⨯…×（21110-）． 221191010⨯⨯⨯195×5+52，1．用简便方法计算2008【答案】1．【分析】共三项，其中4016是2×2008，用完全平方公式分解因式即可解答.【解答】20082﹣4016×2007+20072，＝20082﹣2×2008×2007+20072，＝（2008﹣2007）2，＝1．【点评】此题考查公式法在有理数计算中的应用，正确分析出所应用的公式是解题的关键. 2．利用因式分解计算：22111021198⨯-⨯的结果是______．【答案】8800【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可．【解答】原式=2211(10298)⨯-=11(10298)(10298)⨯+⨯-=112004⨯⨯=8800．故答案为：8800．【点评】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键．即22()()a b a b a b -=+-．3．利用因式分解简便运算：2252.847.2-＝_____．【答案】560【分析】利用平方差法进行因式分解，再进行计算；【解答】原式＝()()52.847.252.847.2+⨯-＝100 5.6⨯＝560．故答案为：560．【点评】本题考查利用公式法因式分解进行简便运算．熟练掌握公式法因式分解是解题的关键．4．利用因式分解计算2221000=__________．5．计算：2020200119=--__．6．利用因式分解计算：______.【答案】29.4【分析】根据提取公因式法，提取公因数14.7，进行简便计算，即可. 【解答】原式=(3.46+0.542)14.7-⨯=214.7⨯=29.4故答案为：29.4.【点评】本题主要考查提取公因式法分解因式，提取公因数14.7，进行简便计算，是解题的关键.7．利用因式分解计算：2022+202×196+982=______．【答案】90000．【分析】将式子改写为完全平方公式的形式进行计算.【解答】原式2220222029898=+⨯⨯+2(20298)=+2300=90000=．故答案为90000．【点评】本题考查利用完全平方公式计算，熟练掌握公式的形式是关键.8．利用乘法公式简便计算．(1)4.3212＋8.642×0.679＋0.6792；(2)2020×2022－20212．【答案】(1)25(2)-1【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；（2）根据平方差公式计算即可【解答】（1）4.3212＋8.642×0.679＋0.6792224.3212 4.3210.6790.679=+⨯⨯+()24.3210.679=+ 25=25=（2）2020×2022－20212()()220211202112021=-+-222=202112021--1=-【点评】本题考查了利用乘法公式简便计算，掌握乘法公式是解题的关键．9．利用因式分解计算(1)2900894906-⨯ (2)2.6815.731.415.7 1.32⨯-+⨯【答案】(1)36(2)31.4【分析】（1）先将894906⨯变形为()()a b a b +-的形式，再利用平方差公式求解；（2）先提取公因式15.7，再进行计算即可．【解答】（1）解：2900894906-⨯222222290090(9006)(9006)(9006)9609000630--⨯+=--=-+==（2）解：2.6815.731.415.7 1.32⨯-+⨯15.7(2.682 1.32)15.7231.4=⨯-+=⨯= 【点评】本题考查通过因式分解进行简化计算，解题关键是提取公因式或根据数字特点将所求式子进行变形后利用公式求解．10．利用因式分解计算：（1）21 3.1462 3.1417 3.14⨯+⨯+⨯；（2）22758258-．【答案】（1）314；（2）508000【分析】（1）利用提取公因式法计算；（2）应用平方差公式计算．【解答】解：（1）原式 3.14(216217)314=⨯++=；（2）原式(758258)(758258)1016500508000=+-=⨯=．【点评】本题考查因式分解的应用，属于基础题型．11．利用因式分解进行简便运算：（1）2920.217220.2120.21⨯+⨯- （2）2210119810199+⨯+【答案】（1）2021；（2）40000【分析】（1）观察式子，利用提公因式法进行求解；（2）根据式子的特点，利用完全平方公式进行求解．【解答】（1）解：原式()20.2129721=⨯+-20.21100=⨯2021=．（2）解：原式2210129910199=+⨯⨯+()210199=+ 2200=40000=【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是根据每个式子中的特点选择适当的因式分解的方法（如提公因式法、公式法等），从而简化计算．12．利用因式分解进行简便计算：（1）3×852﹣3×152；（2）20212﹣4042×2019+20192．【答案】（1）21000；（2）4【分析】（1）提取公因式，利用平方差公式进行因式分解计算即可；（2）对原式进行变形，利用完全平方公式直接分解因式计算即可．【解答】解：（1）3×852﹣3×152=3×（852-152）=3×（85+15）×（85-15）=3×100×70=21000；（2）20212﹣4042×2019+20192=20212-2×2021×2019+20192=（2021-2019）2=22=4．【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 13．利用因式分解计算：225652443524⨯-⨯．【答案】3120000【分析】先提取24，再利用平方差公式即可求解．【解答】225652443524⨯-⨯=()2224565435⨯-=()()24565435565435⨯+⨯-=241000130⨯⨯=3120000．【点评】此题主要考查因式分解的运用，解题的关键是熟知平方差公式的运用．14．计算：（要求：应用因式分解巧算，写明计算过程）（1）7749.124.12525⨯-⨯；（2）1.1 2.5 2.29 2.50.61 2.5⨯+⨯+⨯；（3）20.9990.9990.001+⨯； 2222）a (a -原式()1003200420062006=⨯-=-．【点评】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是解题的关键．15．简便计算：（1）227.29 2.71-；（2）2.887.680.48⨯+⨯-⨯；（3）2200820081664-⨯+．【答案】（1）45.8；（2）80；（3）4000000【分析】（1）利用平方差公式即可求解；（2）提取8，故可求解；（3）利用完全平方公式即可求解．【解答】（1）227.29 2.71-=()()7.29 2.717.29 2.71+⨯-=10×4.58=45.8；（2）2.887.680.48⨯+⨯-⨯=()8 2.87.60.4⨯+-=8×10=80（3）2200820081664-⨯+=2220082200888-⨯⨯+=()220088-=20002=4000000．【点评】此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟知提公因式法、公式法分解因式．16．用简便方法计算：（1）8502﹣1700×848+8482（2）2221111()1()1()⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⨯-⨯⋯⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 112021⎛⨯⨯+ ⎝20222021⨯⨯⨯20202021⨯⨯⨯【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解本题的关键．（1）221.2229 1.3334⨯-⨯ （2）2220220219698⨯++【答案】（1）6.332；（2）90000【分析】（1）先利用同底数幂的乘法变形，再利用平方差公式计算；（2）利用完全平方公式变形计算．【解答】解：（1）221.2229 1.3334⨯-⨯=22221.2223 1.3332⨯-⨯=()()221.2223 1.3332⨯-⨯=223.666 2.666-=()()3.666 2.666 3.666 2.666+-=6.332；（2）2220220219698+⨯++=2220222029898+⨯⨯+=()220298+=90000【点评】本题考查了同底数幂的乘法，平方差公式，完全平方公式，计算时注意乘法公式的应用．18．利用因式分解计算：（1）222222221009998974321-+-+⋯+-+-（2）()()()()2483212451515151++++⋅⋯⋅+（3）()()4222222n n n ++-（1）22429171-（2）2220220219698⨯++【答案】（1）154800；（2）90000.【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可得到答案；（2）把原式化为：2220222029898+⨯⨯+，再利用完全平方公式进行计算即可得到答案．【解答】解：（1）22429171-()()429171429171=+-600258154800=⨯=（2）2220220219698⨯++2220222029898=+⨯⨯+()220298=+ 230090000.==【点评】本题考查的是利用平方差公式与完全平方公式进行简便计算，掌握两个公式的特点是解题的关键．20．利用因式分解计算：22015201520152016+-⨯【答案】0【分析】先提取公因数2015进行分解，然后再进行计算即可．【解答】22015201520152016+-⨯=()2015120152016⨯+-=20150⨯0=．【点评】本题考查了利用因式分解进行计算，熟练掌握提公因式法是解此题的关键．21．利用因式分解计算：（1）342+34×32+162 （2）38.92-2×38.9×48.9+48.92【答案】（1）2500；（2）100．【分析】（1）转化为完全平方公式形式，计算即可；（2）根据完全平方公式计算即可．【解答】解：（1）342+34×32+162=342+2×34×16+162=(34+16)2=502=2500；（2）38.92-2×38.9×48.9+48.92=(38.9-48.9)2=(-10)2=100．【点评】本题考查了根据完全平方公式因式分解，熟练掌握完全平方式的特点是解题关键．22．计算：①2032﹣203×206+1032 ②20192﹣2018×2020．【答案】①10000；②1．【分析】①根据完全平方公式计算即可；②根据平方差公式计算即可．【解答】解：①原式＝2032﹣2×203×103+1032＝（203﹣103）2＝1002＝10000； ②原式＝20192﹣（2019﹣1）×（2019+1）＝20192﹣（20192﹣1）＝20192﹣20192+1＝1．【点评】本题主要考查了平方差公式以及完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．平方差公式：()()22a b a b a b +-=-．完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+．23．用简便方法计算．（1）227.29 2.71-（2）4413423.7 1.3-⨯+⨯-⨯24．利用因式分解计算：322018320182015-⨯-25．利用因式分解简便计算：10099⨯（1）9788597879788⨯+⨯+⨯；（2）23.86 3.86 3.85-⨯.【答案】（1）97800；（2）0.0386【分析】（1）提取公因式978后进行计算；（2）提取公因式3.86后进行计算.【解答】(1)原式()9788578=⨯++97800=.(2)原式()3.86 3.86 3.85=⨯-0.0386=.【点评】本题考查利用因式分解对有理数进行简便运算，利用提取公因式因式分解是解答此题的关键.27．利用乘法公式计算：（1）2201920182020-⨯. （2）299.8.【答案】（1）1（2）9960.04【分析】(1)观察算式，把2018和2020分别用2019-1和2019+1表示，利用平方差公式对这一部分进行运算，然后再去括号相加减即可；(2)将99.8表示成100-0.2，然后利用完全平方公式展开运算即可.【解答】（1）原式22019(20191)(20191)=--⨯+()2222019201911=--=（2）原式2(1000.2)=-2210021000.20.2=-⨯⨯+9960.04=【点评】本题考查了乘法公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式并运用是解题的关键.。

八年级整式的乘法与因式分解练习题及答案

一、单选题1、已知x+y＝﹣5，xy＝3，则x2+y2＝（）A. 19B. ﹣19C. 25D. ﹣25参考答案: A【思路分析】本题考查的是完全平方公式。

仔细读题，获取题中已知条件，结合完全平方公式的相关知识，即可解答此题。

【解题过程】解：x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（﹣5）2﹣2×3＝25﹣6＝19。

故选A。

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2、下列方程没有实数根的是（）A. x2+4x=10B. 3x2+8x-3=0C. x2-2x+3=0D. （x-2）（x-3）=12参考答案: C【思路分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根【解题过程】解：A、方程变形为：x2+4x-10=0，△=42-4×1×（-10）=56＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；B、△=82-4×3×（-3）=100＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；C、△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，所以方程没有实数根，故C选项符合题意；D、方程变形为：x2-5x-6=0，△=52-4×1×（-6）=49＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意．故选：C。

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3、如果多项式p＝a2+2b2+2a+4b+2008，则p的最小值是（）A. 2005B. 2006C. 2007D. 2008参考答案: A【思路分析】把p重新拆分组合，凑成完全平方式的形式，然后判断其最小值．【解题过程】解：p＝a2+2b2+2a+4b+2008，＝（a2+2a+1）+（2b2+4b+2）+2005，＝（a+1）2+2（b+1）2+2005，当（a+1）2＝0，（b+1）2＝0时，p有最小值，最小值最小为2005．故选：A．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -4、如果x=3m+1，y=2+9m，那么用x的代数式表示y为（）A. y=2xB. y=x2C. y=(x−1)2+2D. y=x2+1参考答案: C【思路分析】根据移项，可得3m的形式，根据幂的运算，把3m代入，可得答案.【解题过程】解x=3m+1：，y=2+9m，3m=x−1，y=（x−1）2+2，故选：C.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5、把x³-9x+8因式分解，正确的结果是（）A. (x-1)(x+3)B. (x-1)(x2-x+8)C. (x-1)(x2+x-8)D. (x+1)(x2-x+8)参考答案: C【思路分析】本考点的主要内容是拆项法分解因式，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，使多项式能用分组分解法进行因式分解。

八年级上册数学计算题专项训练

八年级上册数学计算题专项训练一、整式乘法与因式分解类。

1. 计算：(2x + 3y)(3x 2y)解析：根据多项式乘法法则，用一个多项式的各项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

原式=2x×3x 2x×2y+3y×3x 3y×2y = 6x^2-4xy + 9xy-6y^2=6x^2+5xy 6y^2。

2. 分解因式：x^2-9解析：这是一个平方差的形式，根据平方差公式a^2-b^2=(a + b)(a b)，这里a=x，b = 3。

所以x^2-9=(x + 3)(x 3)。

3. 分解因式：2x^2-8x解析：先提取公因式2x，得到2x(x 4)。

二、分式运算类。

4. 计算：frac{x^2-1}{x^2+2x + 1}÷(x 1)/(x + 1)解析：先将分子分母进行因式分解，x^2-1=(x + 1)(x 1)，x^2+2x + 1=(x + 1)^2。

原式=((x + 1)(x 1))/((x + 1)^2)÷(x 1)/(x + 1)=((x + 1)(x 1))/((x + 1)^2)×(x + 1)/(x 1)=1。

5. 计算：(1)/(x 1)-(1)/(x + 1)解析：先通分，通分后分母为(x 1)(x + 1)=x^2-1。

原式=(x + 1-(x 1))/(x^2)-1=(x + 1 x + 1)/(x^2)-1=(2)/(x^2)-1。

6. 化简求值：frac{x^2-4x + 4}{x^2-4}，其中x = 3解析：先对分子分母进行因式分解，分子x^2-4x + 4=(x 2)^2，分母x^2-4=(x + 2)(x 2)。

原式=frac{(x 2)^2}{(x + 2)(x 2)}=(x 2)/(x + 2)，当x = 3时，(32)/(3+2)=(1)/(5)。

三、二次根式运算类。

7. 计算：√(12)+√(27)-√(48)解析：先将各项化为最简二次根式，√(12) = 2√(3)，√(27)=3√(3)，√(48)=4√(3)。

2022年必考点解析青岛版七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解专项练习试卷(精选含答案)

七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解专项练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列各式中能用平方差公式计算的是（）A ．（x ＋y ）（y ﹣x ）B ．（x ＋y ）（y ＋x ）C ．（x ＋y ）（﹣y ﹣x ）D ．（x ﹣y ）（y ﹣x ）2、已知3m n -=，则226m n n --的值是（）A ．7B ．8C ．9D ．103、下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）A ．2(2)(2)4x x x +-=-B ．()2231535a b ab ab a b -=-C ．322()x x x x x x ++=+D ．()()2523a a a a +-=-+4、如图所示，将如图一所示的大小相同的四个小正方形按图二所示的方式放置在一个边长为a 的大正方形中，中间恰好空出两条互相垂直的宽都为b 的长方形，根据图二中阴影部分的面积计算方法可以验证的公式为（）A ．（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2B ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2C ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2D ．（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab5、下列运算，正确的是（）A ．2x +3y ＝5xyB ．(x ﹣3)2＝x 2﹣9C ．(xy 2)2＝x 2y 4D ．x 6÷x 3＝x 26、已知3a b +=，2ab =，求代数式32232a b a b ab ++的值为（） A ．18 B ．28 C ．50 D ．607、下列运算正确的是（）A ．2a +3b ＝5abB ．2（2a ﹣b ）＝4a ﹣bC ．（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2D ．（a -b ）2＝a 2-b 28、()()()()()24816231313131311⨯++++++的计算结果是（）A ．3231+B ．3231-C ．313D ．3239、已知31,2ab a b =-+=，则22a b +的值等于（）A ．254 B ．12 C ．172 D ．17410、若42x y +=，则代数式2244x xy y -+的值为（）A ．6B ．8C ．12D ．16第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若x 2﹣3kx +9是一个完全平方式，则常数k ＝_____．2、计算：9992＝_____．3、因式分解：mx 2﹣mx +m ＝____________．4、因式分解：1-2a +a 2=________．5、分解因式：222a -=___．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、先化简，再求值：()()25121x x x +-+-（），其中15x =-． 2、规律探究：15×15＝1×2×100+25＝225；25×25＝2×3×100+25＝625；35×35＝3×4×100+25＝1225；(1)第4行为；(2)用含n 的式子表示规律并证明．3、在学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数—“三顺数”．定义1：对于四位自然数n ，若千位数字为6，各个数位数字均不为0，能被6整除，且数n 的各个数位数字之和也恰好能被6整除，则称这个自然数n 为“三顺数”．例如：6336是“三顺数”，因为6336÷6＝1056，且（6+3+3+6）÷6＝3；6216不是“三顺数”，因为6216÷6＝1036，但6+2+1+6＝15不能被6整除．定义2：将任意一个“三顺数”n 的前两位数字与后两位数字交换，交换后得到一个新的四位数n ′，规定：T （n ）＝99n n '-．(1)判断6426，6726是否为“三顺数”，并说明理由；(2)若n 是一个“三顺数”，它的百位数字比十位数字的2倍小2，求T （n ）的最大值．4、因式分解：ab 2﹣4a ．5、教科书中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．例如：分解因式()()()()()()2222321414121231x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-；例如求代数式246x x +-的最小值()222464410210x x x x x +-=++-=+-．可知当2x =-时，246x x +-有最小值，最小值是10-，根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)分解因式：245m m --=(2)已知6a b +=，4ab =，求：①22a b +；②44a b +．(3)当a ，b 为何值时，多项式224618a b a b +-++有最小值，并求出这个最小值．-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．解：A 、（x ＋y ）（y ﹣x ）=22y x -不符合平方差公式的特点，故本选项符合题意；B 、（x ＋y ）（y ＋x ），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项不合题意；C 、（x ＋y ）（﹣y ﹣x ）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D 、（x ﹣y ）（y ﹣x ）不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键．2、C【解析】【分析】把22m n -化为()()m n m n +-，代入3m n -=，整理后即可求解.【详解】解：∵3m n -=，∴226m n n --=()()6m n m n n +--=3()6m n n +-=3()m n -=339⨯=，故答选：C【点睛】此题考查了代数式求值，掌握平方差公式是解答此题的关键.3、B【解析】【分析】因式分解的结果是几个整式的积的形式．解：A.从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B.从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意；C. 322(1)x x x x x x ++=++，故本选项不符合题意；D.()()2523a a a a +-≠-+，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．4、C【解析】【分析】先间接求解阴影部分的面积为：222,a ab b 再通过平移直接求解阴影部分的面积为：()2,a b - 从而可得答案.【详解】解：由阴影部分的面积可得：22222,a ab ab b a ab b 如图，把4个小正方形平移到组成1个边长为-a b 的正方形，阴影部分的面积为：()2,a b - 所以()2222,a b a ab b -=-+故选C【点睛】本题考查的是完全平方公式的几何背景，掌握“计算图形面积的两种方法”是解本题的关键.5、C【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【详解】解：A 、23x y +，无法计算，故此选项错误，不符合题意；B 、22(3)69x x x -=-+，故此选项错误，不符合题意；C 、2224()xy x y =，正确，符合题意；D 、633x x x ÷=，故此选项错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，解题的关键是正确掌握相关运算法则．6、A【解析】【分析】先利用提公因式法和完全平方公式对所求代数式因式分解，再整体代入求值即可．【详解】解：32232a b a b ab ++=22(2)ab a ab b ++=2()ab a b +，当3a b +=，2ab =时，原式=2×32=2×9=18，故选：A ．【点睛】本题考查代数式求值、因式分解、完全平方公式，熟记公式，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．7、C【解析】【分析】A 、利用合并同类项的法则即可判定；B 、利用去括号的法则即可判定；C 、利用平方差公式即可判定；D 、利用完全平方公式判定．【详解】解：A 、2a ，3b 不是同类项，235a b ab ∴+≠，故选项错误，不符合题意；B 、2(2)42a b a b -=-，故选项错误，不符合题意；C 、22()()a b a b a b +-=-，正确，符合题意；D 、222()2a b a b ab -=+-，故选项错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了整式的运算法则，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式的公式结构．8、D【解析】【分析】原式化为()()()()()()248163131313131311-⨯++++++，根据平方差公式进行求解即可．【详解】解：()()()()()24816231313131311⨯++++++()()()()()()248163131313131311=-⨯++++++ ()()()()()22481631313131311=-+++++ 32311=-+323=故选D ．【点睛】本题考查了平方差公式的应用．解题的关键与难点在于应用平方差公式．9、D【解析】【分析】根据31,2ab a b =-+=，可得()222924a b a ab b +=++=，即可求解．【详解】解：∵31,2ab a b =-+=， ∴()222239224a b a ab b ⎛⎫+=++== ⎪⎝⎭， ∴()()22291722144a b ab a b =+-=-⨯-=+．故选：D【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式()2222a b a ab b +=++ ，()2222a b a ab b -=-+是解题的关键．10、D【解析】【分析】对已知条件变形为：24-=-x y ，然后等式两边再同时平方即可求解．【详解】解：由已知条件可知：24-=-x y ，上述等式两边平方得到：2(2)16-=x y ，整理得到：224416-+=x xy y ，故选：D ．【点睛】本题考查了等式恒等变形，完全平方公式的求值等，属于基础题，计算过程中细心即可．二、填空题1、±2【解析】【分析】根据完全平方式的结构特征解决此题．【详解】解：x 2﹣3kx +9＝x 2﹣3kx +32．∵x 2﹣3kx +9是一个完全平方式，∴﹣3kx ＝±6x ．∴﹣3k ＝±6．∴k ＝±2．故答案为：±2．【点睛】本题考查完全平方式，熟知完全平方式的结构是解答的关键．2、998001【解析】【分析】根据完全平方公式计算即可．【详解】解：()2299910001=-2=-+100020001998001=．故答案为：998001．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用，解题的关键是熟记完全平方公式．3、m（x2﹣x+1）【解析】【分析】利用提公因式法提取m进行分解因式即可．【详解】解：2﹣mx mx m+2=-+(1)m x x故答案为：m（x2﹣x+1）【点睛】本题考查用提公因式法分解因式，熟练掌握是解题的关键．4、 (1-a) 2【解析】【分析】根据完全平方公式因式分解即可．【详解】解：由题意可知：1-2a +a 2=(1-a )2，故答案为：(1-a ) 2．【点睛】本题考查了公式法进行因式分解，公式法进行因式分解的关键是熟练掌握平方差公式及完全平方公式．5、2(1)(1)a a +-【解析】【分析】根据因式分解的方法，先提公因式，再根据平方差公式求解即可．【详解】解：22222(1)2(1)(1)a a a a -=-=+-故答案为：2(1)(1)a a +-【点睛】此题考查了因式分解的方法以及平方差公式，解题的关键是掌握因式分解的方法．三、解答题1、5x 2-4，195-【解析】【分析】利用多项式乘多项式以及乘法公式对原式进行化简，再代入x 的值求原式的值．【详解】解：()()25121x x x +-+-（） =x 2+5x -x -5+4x 2-4x +1=5x 2-4，当15x =-时，原式=5×2119455⎛⎫--=- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握乘法公式的运用．2、 (1)45×45=4×5×100+25=2025(2)（10n +5）2=100n （n +1）+25，证明见解析【解析】【分析】（1）从给出的数据分析得，这些得出的结果最后两位都为25，百位以上2=1×2，6=2×3，12=3×4，…，依此类推得出规律：百位为n ×（n +1）．（2）直接利用已知数据变化规律进而得出符合题意的公式．【小题1】解：根据数据可分析出规律，个位数位5的整数的平方运算结果的最后2位一定是25，百位以上结果则为n ×（n +1），∴第4个算式应为45×45=4×5×100+25=2025．【小题2】规律：（10n +5）2=100n （n +1）+25，证明：∵左边=100n 2+100n +25，右边=100n 2+100n +25，∴左边=右边，∴（10n+5）2=100n（n+1）+25．【点睛】本题考查规律型中的数字变化问题，本题的规律为个位数位5的整数的平方运算结果的最后2位一定是25，百位以上结果则为n×（n+1），难度一般．3、 (1)6426是“三顺数”； 6726不是“三顺数”；理由见解析(2)40【解析】【分析】（1）根据“”三牛数的定义“求解．（2）先表示n，n′和T（n），再求最值．(1)∵6426÷6=1071，且（6+4+2+6）÷6=3∴6426是“三顺数”；∵6726÷6=1121，且6+7+2+6=21不能被6整除∴6726不是“三顺数”；(2)设n=6abc，即这个四位数的百位，十位，个位数字分别为a，b，c．∴n′=6bc a．∴n=6a×100+bc，n′=bc×100+6a．∴1()(61001006) 9999n nT n a bc bc a'-==⨯+-⨯-=6a-bc．当6a-bc最大时，T（n）最大，此时应该使b尽可能小．①当b =1时，a =2b -2=0，不合题意；②b =2时，a =2b -2=2，此时，622n c =．6+2+2+c =10+c 能被6整除，取c =2，n =6222．6222÷6=1037．∴T （n ）的最大值=62-22=40．【点睛】本题考查用新定义解题，根据新定义，表示n ，n ′和T （n ）是求解本题的关键．4、a （b +2）（b -2）【解析】【分析】先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．【详解】解：ab 2-4a ．=a （b 2-4）=a （b +2）（b -2）．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．5、 (1)(1)(5)m m +-(2)①28；②752(3)当2,3a b ==-时，多项式224618a b a b +-++有最小值，最小值为5【解析】【分析】（1）先利用配方法将多项式变形为2(2)9m --，再利用平方差公式进行因式分解即可得；（2）①先将22a b +改写成2222ab a b b a +-+，再利用完全平方公式即可得；②先将44a b +改写成24224222a b a b b a +-+，再结合①的结果，利用完全平方公式即可得；（3）先将224618a b a b +-++改写成22((4)54)69a b b a +++++-，再利用完全平方公式、偶次方的非负性即可求出最小值．(1)解：2245449m m m m --=-+-2(2)9m =--(23)(23)m m =-+--(1)(5)m m =+-．(2)解：①6a b +=，4ab =，222222a b a b ab ab =+∴+-+2()2a b ab =+-2624=-⨯28=；②2228a b =+，4ab =，4442242222a b a b a b a b =+-∴++2222()2()a b ab =+-222824=-⨯752=．(3)解：22224618((6449)5)a b a b a a b b -+-++=+++++22(2)(3)5a b =-+++，220,)30(2()a b -+≥≥，22(2)(3)55a b ∴-+++≥，∴当20,30a b -=+=，即2,3a b ==-时，多项式224618a b a b +-++有最小值，最小值为5．【点睛】本题考查了完全平方公式与平方差公式、因式分解等知识点，熟练掌握配方法和乘法公式是解题关键．。

八年级数学整式的乘法与因式分解常考题型例题

八年级数学整式的乘法与因式分解常考题型例题单选题1、计算：a2⋅a5=（）A．a B．7a C．a10D．a7答案：D解析：利用同底数幂的乘法法则运算．解：a2⋅a5=a2+5=a7，故选：D．小提示：本题考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加．2、已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc=b2+ac，则△ABC是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形答案：C解析：已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状．已知等式变形得：（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，即（a-b）（a+b-c）=0，∵a+b-c≠0，∴a-b=0，即a=b，则△ABC为等腰三角形．此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．3、下列式子中，正确的有( )①m3∙m5=m15；②（a3）4=a7；③（-a2）3=-（a3）2；④（3x2）2=6x6A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B解析：根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方逐一分析判断即可．解：①m3⋅m5=m8，故该项错误；②(a3)4=a12，故该项错误；③(−a2)3=−a6，−(a3)2=−a6，故该项正确；④(3x2)2=9x4，故该项不正确；综上所述，正确的只有③，故选：B．小提示：本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．4、若多项式x2+mx−8因式分解的结果为(x+4)(x−2)，则常数m的值为( )A．−2B．2C．−6D．6答案：B解析：根据多项式的乘法法则计算出(x+4)(x−2)的结果，然后与x2+mx−8比较即可．解：∵(x+4)(x−2)=x2+2x-8=x2+mx−8，∴m=2．此题考查了十字相乘法和整式的乘法，熟练掌握因式分解和整式的乘法是互为逆运算是解本题的关键．5、下列计算中错误的是（）A．4a5b3c2÷(−2a2bc)2=ab B．(−24a2b3)÷(−3a2b)⋅2a=16ab2C．4x2y⋅(−12y)÷4x2y2=−12D．(a10÷a4)÷(a8÷a5)÷12a6=2a3答案：D解析：根据整式乘除的运算法则分别计算出各选项的结果，即可得解．A选项4a5b3c2÷(−2a2bc)2=ab，正确，故不符合题意；B选项(−24a2b3)÷(−3a2b)⋅2a=16ab2，正确，故不符合题意；C选项4x2y⋅(−12y)÷4x2y2=−12，正确，故不符合题意；D选项(a10÷a4)÷(a8÷a5)÷12a6=2a-3，不正确，故符合题意．故选：D．小提示：本题主要考查了整式的乘除运算，属于基础题，需要有一定的运算求解能力，熟练掌握运算法则是解题的关键．6、若x2﹣4x+1＝0，则代数式﹣2x2+8x+1的值为（）A．0B．1C．2D．3答案：D解析：给条件的代数式求值问题，先观察代数式，把条件变成需要的形式，然后整体代入，计算即可．∵x2﹣4x+1＝0，∴x2﹣4x＝﹣1，∴﹣2x2+8x＝2，∴原式＝2+1＝3．故选择：D．小提示：本题考查代数式的值问题，关键是把条件变性后，整体代入，如果次数较高的代数式一般把条件高次的求出，然后用降次方法进行化简，在整体代入求值．7、要使多项式(x+p)(x−q)不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．乘积为−1答案：A解析：计算乘积得到多项式，因为不含x的一次项，所以一次项的系数等于0，由此得到p-q=0，所以p与q相等. 解：(x+p)(x−q)=x2+(p−q)x−pq∵乘积的多项式不含x的一次项∴p-q=0∴p=q故选择A.小提示：此题考查整式乘法的运用，注意不含的项即是该项的系数等于0.8、如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①（2a+b）（m+n）；②a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn，你认为其中正确的有（）A．①②B．②③C．①③④D．①②③④答案：C解析：根据长方形面积公式判断各式是否正确即可．①（2a+b）（m+n），正确；②a（m+n）+b（m+n），错误；③m（2a+b）+n（2a+b），正确；④2am+2an+bm+bn，正确故正确的有①③④所以答案是：C．小提示：本题考查了长方形的面积问题，掌握长方形的面积公式是解题的关键．填空题9、计算m4⋅(−m)2⋅m=______．答案：m7解析：根据同底数幂乘法法则计算即可得答案．m4⋅(−m)2⋅m=m4⋅m2⋅m=m4+2+1=m7．小提示：本题考查同底数幂乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；熟练掌握运算法则是解题关键．10、计算：(2+3x)(−2+3x)=__________．答案：9x2−4##−4+9x2解析：原式利用平方差公式化简即可．(2+3x)(−2+3x)=9x2−4．所以答案是：9x2−4．小提示：本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．11、已知a=7−3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为_________．答案：49解析：先将条件的式子转换成a+3b=7，再平方即可求出代数式的值．解：∵a=7−3b，∴a+3b=7，∴a2+6ab+9b2=(a+3b)2=72=49，所以答案是：49．小提示：本题考查完全平方公式的简单应用，关键在于通过已知条件进行转换．12、计算：(2+3x)(−2+3x)=__________．答案：9x2−4##−4+9x2解析：原式利用平方差公式化简即可．(2+3x)(−2+3x)=9x2−4．所以答案是：9x2−4．小提示：本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．13、计算(−0.125)2019×82020=_______.答案：-8解析：先把原式改写成(−0.125)2019×82019×8，然后逆用积的乘方法则计算即可.原式=(−0.125)2019×82019×8=(−0.125×8)2019×8=-8.故答案为-8.小提示：本题考查了积的乘方运算逆运算，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键.积的乘方等于各因数乘方的积，即(ab)m=a m b m（m为正整数）.解答题14、第一步：阅读材料，掌握知识．要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)．这时，由于a(m+n)+b(m+n)中又有公因式(m+n)，于是可提公因式(m+n)，从而得到(m+n)(a+b)，因此有am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)．这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．第二步：理解知识，尝试填空：（1）ab−ac+bc−b2=(ab−ac)+(bc−b2)=a(b−c)−b(b−c)=_____________第三步：应用知识，因式分解：（2）x2-(p+q)x+pq；（3）x2y−4y−2x2+8．第四步：提炼思想，拓展应用（4）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2+2b2+c2=2b（a+c），试判断这个三角形的形状，并说明理由．答案：（1）(a−b)(b−c)（2）(x−p)(x−q)（3）(y−2)(x+2)(x−2)（4）等边三角形，理由见详解．解析：（1）如果把一个多项式各项分组并提出公因式后，它们的另一个因式刚好相同，那么这个多项式即可利用分组分解法来因式分解，据此即可求解；（2）先展开（p＋q）x，再利用分组分解法来因式分解，据此即可求解；（3）直接利用分组分解法来因式分解即可求解；（4）根据所给等式，先移项，再利用完全平方公式和等边三角形的判定求证即可．解：（1）ab−ac+bc−b2=(ab−ac)+(bc−b2)=a(b−c)−b(b−c)=(a−b)(b−c)（2）x2−(p+q)x+pq=x2−px−qx+pq=x(x−p)−q(x−p)=(x−p)(x−q)（3）x2y−4y−2x2+8=y(x2−4)−2(x2−4)=(y−2)(x2−4)=(y−2)(x+2)(x−2)（4）等边三角形，理由如下：∵a2+2b2+c2=2b(a+c)∴a2+2b2+c2=2ab+2bc∴a2−2ab+b2+b2−2bc+c2=0∴(a−b)2+(b−c)2=0∴a−b=0,b−c=0即a=b=c∴这个三角形是等边三角形．小提示：本题考查因式分解—提公因式法，因式分解—分组分解法，完全平方公式，等边三角形的判定，解题的关键是读懂材料并熟知因式分解的方法．x，试求A+B．15、已知A=2x，B是多项式，计算B+A时，某同学把B+A误写成B÷A，结果得x2+12答案：A+B=2x3+x2+2x解析：x）·2x=2x3+x2，再计算A+B的值即可.根据题意可得B=（x2+12x）·2x=2x3+x2，根据题意可得：B=（x2+12∴A+B=2x+2x3+x2.小提示：本题考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。

八年级数学整式的乘法与因式分解专题练习(解析版)

八年级数学整式的乘法与因式分解专题练习（解析版）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式法因式分解，再把a、b、c代入求值即可．【详解】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2＝3．故选D．【点睛】本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．2．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（）A．1 B．4 C．11 D．12【答案】C【解析】分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可.详解：∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12∴p+q=m，pq=-12.∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12∴m=-11或11或4或-4或1或-1.∴m的最大值为11.故选C.点睛：此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用.3．如果多项式29x kx -+能用公式法分解因式，那么k 的值是( )A ．3B ．6C ．3±D ．6±【答案】D【解析】由于可以利用公式法分解因式，所以它是一个完全平方式222a ab b ±+，所以236k =±⨯=±.故选D.4．若代数式x 2＋ax ＋64是一个完全平方式，则a 的值是（）A ．－16B ．16C ．8D ．±16【答案】D【解析】试题分析：根据完全平方式的意义，首平方，尾平方，中间加减积的2倍，可知a=±2×8=16.故选：D点睛：此题主要考查了完全平方式的意义，解题关键是明确公式的特点，即：完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方。

整式的乘法与因式分解的练习题

整式的乘法与因式分解的练习题初中数学整式的乘除与因式分解一、选择题：1、下列运算中，正确的是()A.某2·某3=某6B.(ab)3=a3b3C.3a+2a=5a2D.（某³）²=某52、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）23322（A）(3某)(3某)9某（B）mn(mn)(mmnn)（C）(y1)(y3)(3y)(y1)2（D）4yz2yzz2y(2zyz)z3、下列各式是完全平方式的是（）某2某A、4B、14某2C、a2abb2D、某22某14、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）22（A）a(b)（B）5m220mn22（C）某y（D）某295、如(某+m)与(某+3)的乘积中不含某的一次项，则m的值为（）A.–3B.3C.0D.16、一个正方形的边长增加了2cm，面积相应增加了32cm2，则这个正方形的边长为（A、6cmB、5cmC、8cmD、7cm1、下列分解因式正确的是()A、2n2nmn2n(nm1)B、ab22ab3bb(ab2a3)C、某(某y)y(某y)(某y)2D、a2a2a(a1)22、下列各式中,能用平方差公式进行因式分解的是()A、某2－某y2B、－1＋y2C、2y2＋2D、某3－y33、下列各式能用完全平方公式分解因式的是()A、4某2＋1B、4某2－4某－1C、某2＋某y＋y2D、某2－4某＋44、若9某2k某y4y2是一个完全平方式，则k的值为()A、6B、±6C、12D、±125、若分解因式某2m某15(某3)(某n)则m的值为()A、－5B、5C、－2D、2二、填空题：a54a237、=_______。

在实数范围内分解因式a268、当某___________时，某4等于__________；220021.520039、3___________210、若3某=2，3y=3，则3某－y等于2211、若9某m某y16y是一个完全平方式，那么m的值是__________。

因式分解乘法公式计算专题练习

因式分解乘法公式计算专题练习一、板块一、灵活运用公式计算1、)2)(2(a b b a ---2、)3)(9)(3(22y x y x y x ++-3、2222))(()(b a b a b a -++ 4、 2222)21()41()21(++-x x x5、)3)(3()221)(221(--+-++-x x x x 6、)2)(2(2)3)(3(3x y y x y x y x -+--+7、1)12)(12()12)(12)(12(643242++++++ 8、1)16)(16)(16)(16)(16)(16)(16(5643216842++++++++9、)453)(534(y z x z x y -+-+ 10、)32)(32(---+y x y x11、1297989910022222-++-+- 12、)10011)(9911()411)(311)(211(22222-----13、20172)1(201820162017-+⨯- 14、22)14.3(1)21(2016201420152015-+---+⨯--π15、766.0468.2766.0234.122⨯++ 16、97.006.297.003.122⨯++ 17、2296.092.104.204.2+⨯+18、 20172016)125.0()8(⨯- 19、298 20、2103 21、)9)(3)(3(22a x a x a x -+-22、解方程：41)8)(12()52)(3(=-+--+x x x x板块二、公式变形之---四大金刚ab b a b a b a ,,,22+-+1、若5,7==+ab b a ，求22b a +及2)(b a -的值。

2、若,4)(2=-b a 21=ab ，则2)(b a +=_____ 3、若;__________,5)(,9)(22==-=+xy y x y x 则4、已知._________,2)(,8)(2222=+=+=-n m n m n m 则 5、已知2,3-==+ab b a ，求22b a +的值。

人教版数学八年级上册：14 整式的乘法与因式分解专题练习(附答案)

第十四章《整式的乘法与因式分解》专题练习目录专题1幂的运算性质的应用 (1)专题2 整式的运算及化简求值 (2)专题3 完全平方公式的变形 (4)专题4 乘法公式的应用 (5)专题5 因式分解 (6)第十四章整式的乘法与因式分解专题练习专题1幂的运算性质的应用类型1直接利用幂的运算性质进行计算1．计算：(1)a·a4＝；(2)(a5)2＝；(3)(－a4)3＝；(4)(2y2)3＝；(5)(ab3)2＝；(6)(－a2b3c)3＝；(7)(a2)3·a4＝；(8)(－3a)2·a3＝；(9)(a n b m＋4)3＝；(10)(－a m)5·a n＝．2．计算：(1)(－a2)3＋(－a3)2－a2·a3；(2)a·a2·a3＋(a3)2－(2a2)3；(3)－(－x2)3·(－x2)2－x·(－x3)3；(4)(－2x2)3＋(－3x3)2＋(x2)2·x2；(5)(－2x2y)3－(－2x3y)2＋6x6y3＋2x6y2.类型2逆用幂的运算性质3．已知a x＝－2，a y＝3.求：(1)a x＋y的值；(2)a3x的值；(3)a3x＋2y的值．4．计算：0.1252 019×(－82 020)．5．已知2a＝m，2b＝n，3a＝p(a，b都是正整数)，用含m，n或p的式子表示下列各式：(1)4a＋b；(2)6a.专题2整式的运算及化简求值类型1整式的化简1．计算：(1)(－2a2)·(3ab2－5ab3)＋8a3b2；(2)(3x－1)(2x＋1)；(3)(2x＋5y)(3x－2y)－2x(x－3y)；(4)(x－1)(x2＋x＋1)．2．计算：(1)21x2y4÷3x2y3；(2)(8x3y3z)÷(－2xy2)；(3)a 2n ＋2b 3c÷2a n b 2； (4)－9x 6÷13x 2÷(－x 2)．3．计算：(1)(－2a 2b 3)·(－ab)2÷4a 3b 5； (2)(－5a 2b 4c 2)2÷(－ab 2c)3.4．计算：(1)[x(x 2y 2－xy)－y(x 2－x 3y)]÷x 2y ； (2)(23a 4b 7－19a 2b 6)÷(－16ab 3)2. 5．计算：(1)(－76a 3b)·65abc ； (2)(－x)5÷(－x)－2÷(－x)3；(3)6mn 2·(2－13mn 4)＋(－12mn 3)2； (4)5x(x 2＋2x ＋1)－(2x ＋3)(x －5)．类型2 直接代入进行化简求值 6．先化简，再求值：(1)(1＋x)(1－x)＋x(x ＋2)－1，其中x ＝12；(2)(a ＋b)(a －2b)－(a ＋2b)(a －b)，其中a ＝－2，b ＝23；(3)(x ＋7)(x －6)－(x －2)(x ＋1)，其中x ＝2 0180.(4)(2a ＋3b)(3a －2b)－5a(b ＋1)－6a 2，其中a ＝－12，b ＝2.类型3 利用整体带入进行化简求值7．先化简，再求值：(2＋a)(2－a)＋a(a －5b)＋3a 5b 3÷(－a 2b)2，其中ab ＝－12.8．若x2＋4x－4＝0，求3(x－1)(x－3)－6(x＋1)(x－1)的值．专题3 完全平方公式的变形教材母题：已知a ＋b ＝5，ab ＝3，求a 2＋b 2的值．解：∵a ＋b ＝5，ab ＝3，∴(a ＋b)2＝25，即a 2＋2ab ＋b 2＝25. ∴a 2＋b 2＝25－2ab ＝25－6＝19.【变式1】若a ＋b ＝3，a 2＋b 2＝7，则ab ＝( )A ．2B ．1C ．－2D ．－1【变式2】已知实数a ，b 满足a ＋b ＝2，ab ＝34，则a －b ＝( )A ．1B ．－52C ．±1D ．±52【变式3】已知a 2＋b 2＝13，(a －b)2＝1，则(a ＋b)2＝．【变式4】阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公式(a±b)2＝a 2±2ab ＋b 2，通过配方可对a 2＋b 2进行适当的变形，如a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab 或a 2＋b 2＝(a －b)2＋2ab.(1)若|x －y －5|＋(xy －6)2＝0，则x 2＋y 2的值为； (2)已知a －b ＝2，ab ＝3，求a 4＋b 4的值．解题技巧：（1）a 2＋b 2的变形：(1)a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ；(2)a 2＋b 2＝(a －b)2＋2ab ；(3)a 2＋b 2＝12[(a ＋b)2＋(a －b)2]．（2）ab 的变形：(1)ab ＝12[(a ＋b)2－(a 2＋b 2)]；(2)ab ＝12[(a 2＋b 2)－(a －b)2]；(3)ab ＝14[(a ＋b)2－(a －b)2]．（3）(a±b)2的变形：(1)(a ＋b)2＝(a －b)2＋4ab ； (2)(a －b)2＝(a ＋b)2－4ab.练习：1．已知a ，b 都是正数，a －b ＝1，ab ＝2，则a ＋b ＝( )A ．－3B ．3C ．±3D ．92．已知x 2＋y 2＝25，x ＋y ＝7.(1)求xy 的值； (2)若y ＞x ，求x －y 的值．3．已知(m －53)(m －47)＝24，求(m －53)2＋(m －47)2的值．4．(1)请同学们观察用硬纸片拼成的图形(如图)，根据图形的面积关系，写出一个代数恒等式；(2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题： ①若m ＋n ＝8，mn ＝12，求m －n 的值；②已知(2m ＋n)2＝13，(2m －n)2＝5，请利用上述等式求mn.专题4乘法公式的应用类型1直接运用乘法公式计算求值1．计算：(1)(2x＋5y)2；(2)(3m－n)(－3m－n)；(3)(x＋2y)(x2－4y2)(x－2y)；(4)(3x－2y)2(3x＋2y)2.2．先化简，再求值：(1)(3＋x)(3－x)＋(x＋1)2，其中x＝2；(2)(2m＋1)(2m－1)－(m－1)2＋(2m)3÷(－8m)，其中m满足m2＋m－2＝0；(3)(x＋2y)2－(x－2y)2－(x＋2y)(x－2y)－4y2，其中x＝－2，y＝1 2.类型2 运用乘法公式进行简便计算 3．用简便方法计算：(1)2 0192－2 018×2 020； (2)50120×491920；(3)2012－401； (4)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＋1.专题5 因式分解类型1 运用提公因式法因式分解 1．分解因式：(1)3ab 2＋a 2b ＝； (2)2a 2－4a ＝；(3)m(5－m)＋2(m －5)＝； (4)5x(x －2y)3－20y(2y －x)3＝．类型2 运用公式法因式分解 2．分解因式：(1)4x 2－25＝； (2)a 2＋4a ＋4＝． 3．因式分解：(1)(2x＋3)2－(x－1)2；(2)(x－1)2－6(x－1)＋9.类型3先提公因式后运用公式法因式分解4．分解因式：(1)x2y－9y＝；(2)ax3－axy2＝．5．因式分解：(1)－4x3＋8x2－4x；(2)3m(2x－y)2－3mn2.类型5运用特殊方法因式分解方法1十字相乘法阅读理解：由多项式乘法：(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)，示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．问题解决：分解因式：(1)x2＋5x＋4＝；(2)x2－6x＋8＝；(3)x2＋2x－3＝；(4)x2－6x－7＝．拓展训练：分解因式：(1)2x2＋3x＋1＝；(2)3x2－5x＋2＝．方法2分组分解法【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx)＋(my＋ny)＝x(m＋n)＋y(m＋n)＝(m＋n)(x＋y)．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例)”，也可以是“三、一(或一、三)分组”．根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋)－(b3＋)＝a2( )－(a＋b)＝(a＋b)＝．【我也可以】分解因式：4x2－2x－y2－y.拓展训练：已知a，b，c为△ABC的三边，若a2＋b2＋2c2－2ac－2bc＝0，试判断△ABC 的形状．参考答案：专题1幂的运算性质的应用1．(1)a5；(2)a10；(3)－a12；(4)8y6；(5)a2b6；(6)－a6b9c3；(7)a10；(8)9a5；(9)a3n b3m＋12；(10)－a5m＋n．2．(1)(－a2)3＋(－a3)2－a2·a3；解：原式＝－a6＋a6－a5＝－a5.(2)a·a2·a3＋(a3)2－(2a2)3；解：原式＝a6＋a6－8a6＝－6a6.(3)－(－x2)3·(－x2)2－x·(－x3)3；解：原式＝x6·x4＋x10＝2x10.(4)(－2x2)3＋(－3x3)2＋(x2)2·x2；解：原式＝－8x6＋9x6＋x6＝2x6.(5)(－2x2y)3－(－2x3y)2＋6x6y3＋2x6y2.解：原式＝－8x6y3－4x6y2＋6x6y3＋2x6y2＝－2x6y3－2x6y2.3．解：(1)a x＋y＝a x·a y＝－2×3＝－6.(2)a3x＝(a x)3＝(－2)3＝－8.(3)a3x＋2y＝(a3x)·(a2y)＝(a x)3·(a y)2＝(－2)3·32＝－8×9＝－72.4．解：原式＝(18)2 019×(－82 019×8) ＝(18)2 019×(－82 019)×8 ＝－(18×8)2 019×8 ＝－1×8＝－8.5．解：(1)4a ＋b ＝4a ·4b＝(22)a ·(22)b＝(2a )2·(2b )2＝m 2n 2.(2)6a ＝(2×3)a＝2a ×3a＝mp.专题2 整式的运算及化简求值1．(1)(－2a 2)·(3ab 2－5ab 3)＋8a 3b 2；解：原式＝－6a 3b 2＋10a 3b 3＋8a 3b 2＝2a 3b 2＋10a 3b 3.(2)(3x －1)(2x ＋1)；解：原式＝6x 2＋3x －2x －1＝6x 2＋x －1.(3)(2x ＋5y)(3x －2y)－2x(x －3y)；解：原式＝6x 2＋11xy －10y 2－2x 2＋6xy＝4x 2＋17xy －10y 2.(4)(x －1)(x 2＋x ＋1)．解：原式＝x 3＋x 2＋x －x 2－x －1＝x 3－1.2．(1)21x 2y 4÷3x 2y 3；解：原式＝(21÷3)·x 2－2·y 4－3＝7y.(2)(8x 3y 3z)÷(－2xy 2)；解：原式＝[8÷(－2)]·(x 3÷x)·(y 3÷y 2)·z＝－4x 2yz.(3)a 2n ＋2b 3c÷2a n b 2；解：原式＝(1÷2)·(a 2n ＋2÷a n )·(b 3÷b 2)·c＝12a n ＋2bc. (4)－9x 6÷13x 2÷(－x 2)．解：原式＝[－9÷13÷(－1)]·(x 6÷x 2÷x 2)＝27x 2.3．(1)(－2a 2b 3)·(－ab)2÷4a 3b 5；解：原式＝(－2a 2b 3)·a 2b 2÷4a 3b 5＝(－2a 4b 5)÷4a 3b 5＝－12a.(2)(－5a 2b 4c 2)2÷(－ab 2c)3.解：原式＝25a 4b 8c 4÷(－a 3b 6c 3)＝－25ab 2c.4．(1)[x(x 2y 2－xy)－y(x 2－x 3y)]÷x 2y ；解：原式＝(x 3y 2－x 2y －x 2y ＋x 3y 2)÷x 2y＝(2x 3y 2－2x 2y)÷x 2y＝2xy －2.(2)(23a 4b 7－19a 2b 6)÷(－16ab 3)2.解：原式＝(23a 4b 7－19a 2b 6)÷136a 2b 6＝23a 4b 7÷136a 2b 6－19a 2b 6÷136a 2b 6＝24a 2b －4.5．(1)(－76a 3b)·65abc ；解：原式＝－75a 3＋1b 1＋1c＝－75a 4b 2c.(2)(－x)5÷(－x)－2÷(－x)3；解：原式＝(－x)5－(－2)－3＝(－x)4＝x 4.(3)6mn 2·(2－13mn 4)＋(－12mn 3)2；解：原式＝12mn 2－2m 2n 6＋14m 2n 6 ＝12mn 2－74m 2n 6. (4)5x(x 2＋2x ＋1)－(2x ＋3)(x －5)．解：原式＝5x 3＋10x 2＋5x －(2x 2－7x －15)＝5x 3＋10x 2＋5x －2x 2＋7x ＋15＝5x 3＋8x 2＋12x ＋15.6．(1)(1＋x)(1－x)＋x(x ＋2)－1，其中x ＝12；解：原式＝1－x ＋x －x 2＋x 2＋2x －1＝2x.当x ＝12时，原式＝2×12＝1. (2)(a ＋b)(a －2b)－(a ＋2b)(a －b)，其中a ＝－2，b ＝23；解：原式＝a 2－ab －2b 2－(a 2＋ab －2b 2)＝a 2－ab －2b 2－a 2－ab ＋2b 2＝－2ab.当a ＝－2，b ＝23时，原式＝(－2)×(－2)×23＝83. (3)(x ＋7)(x －6)－(x －2)(x ＋1)，其中x ＝2 0180.解：原式＝x 2－6x ＋7x －42－x 2－x ＋2x ＋2＝2x －40. 由题意知x ＝1.原式＝2－40＝－38.(4)(2a ＋3b)(3a －2b)－5a(b ＋1)－6a 2，其中a ＝－12，b ＝2. 解：原式＝6a 2＋5ab －6b 2－5ab －5a －6a 2＝－6b 2－5a.当a ＝－12，b ＝2时，原式＝－6×22－5×(－12) ＝－24＋52＝－2112. 7．解：原式＝4－2a ＋2a －a 2＋a 2－5ab ＋3a 5b 3÷a 4b 2＝4－2ab.当ab ＝－12时，原式＝4－2×(－12)＝5. 8．解：原式＝3x 2－12x ＋9－6x 2＋6＝－3x 2－12x ＋15＝－3(x 2＋4x)＋15.∵x 2＋4x －4＝0，∴x 2＋4x ＝4.∴原式＝－3×4＋15＝3.专题3完全平方公式的变形【变式1】B【变式2】C【变式3】25．【变式4】(1)37；(2)解：a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝4＋6＝10，a4＋b4＝(a2＋b2)2－2a2b2＝102－2×32＝82. 1．B2．解：(1)xy＝12[(x＋y)2－(x2＋y2)]＝12×(72－25)＝12.(2)(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝72－4×12＝1.∵y＞x，∴x－y<0.∴x－y＝－1.3．解：(m－53)2＋(m－47)2＝[(m－53)－(m－47)]2＋2(m－53)(m－47)＝(－6)2＋48＝84.4．解：(1)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.(2)①∵(m－n)2＝(m＋n)2－4mn＝82－4×12＝16，∴m－n＝4或－4.②∵(2m＋n)2－(2m－n)2＝4×(2m·n)＝8mn，∴8mn＝13－5＝8.∴mn＝1.专题4乘法公式的应用1．(1)(2x＋5y)2；解：原式＝4x2＋20xy＋25y2.(2)(3m－n)(－3m－n)；解：原式＝n2－9m2.(3)(x＋2y)(x2－4y2)(x－2y)；解：原式＝[(x＋2y)(x－2y)](x2－4y2)＝(x2－4y2)(x2－4y2)＝x4－8x2y2＋16y4.(4)(3x－2y)2(3x＋2y)2.解：原式＝[(3x－2y)(3x＋2y)]2＝(9x2－4y2)2＝81x4－72x2y2＋16y4.2．(1)(3＋x)(3－x)＋(x＋1)2，其中x＝2；解：原式＝9－x2＋x2＋2x＋1＝2x＋10.当x＝2时，原式＝2×2＋10＝14.(2)(2m＋1)(2m－1)－(m－1)2＋(2m)3÷(－8m)，其中m满足m2＋m－2＝0；解：原式＝4m2－1－(m2－2m＋1)＋8m3÷(－8m)＝4m2－1－m2＋2m－1－m2＝2m2＋2m－2＝2(m2＋m－1)．∵m2＋m－2＝0，∴m2＋m＝2.∴原式＝2×(2－1)＝2.(3)(x＋2y)2－(x－2y)2－(x＋2y)(x－2y)－4y2，其中x＝－2，y＝1 2.解：原式＝(x2＋4xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)－(x2－4y2)－4y2＝x2＋4xy＋4y2－x2＋4xy－4y2－x2＋4y2－4y2＝－x2＋8xy.当x ＝－2，y ＝12时，原式＝－(－2)2＋8×(－2)×12＝－12. 3．(1)2 0192－2 018×2 020；解：原式＝2 0192－(2 019－1)×(2 019＋1) ＝2 0192－(2 0192－1)＝1.(2)50120×491920；解：原式＝(50＋120)×(50－120) ＝502－(120)2 ＝2 500－1400＝2 499399400. (3)2012－401；解：原式＝(200＋1)2－401＝2002＋2×200×1＋12－401＝40 000.(4)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＋1.解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＋1 ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)＋1＝(24－1)(24＋1)＋1＝28－1＋1＝256.专题5因式分解1．(1)ab(3b＋a)；(2)2a(a－2)；(3)(m－2)(5－m)；(4)5(x－2y)3(x＋4y)．2．分解因式：(1)4x2－25＝(2x＋5)(2x－5)；(2)a2＋4a＋4＝(a＋2)2．3．(1)(2x＋3)2－(x－1)2；解：原式＝(2x＋3＋x－1)(2x＋3－x＋1)＝(3x＋2)(x＋4)．(2)(x－1)2－6(x－1)＋9.解：原式＝(x－4)2.4．(1)y(x＋3)(x－3)；(2)ax(x＋y)(x－y)．5．(1)－4x3＋8x2－4x；解：原式＝－4x(x2－2x＋1)＝－4x(x－1)2.(2)3m(2x－y)2－3mn2.解：原式＝3m(2x－y＋n)(2x－y－n)．类型5方法1十字相乘法(1)(x＋1)(x＋4)；(2)(x－2)(x－4)；(3)(x＋3)(x－1)；(4)(x－7)(x＋1)．拓展训练：(1)(2x＋1)(x＋1)；(2)(x－1)(3x－2)．方法2分组分解法【跟着学】a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋a2b)－(b3＋ab2)＝a2(a＋b)－b2(a＋b)＝(a2－b2)(a＋b)＝(a－b)(a＋b)2．【我也可以】解：原式＝(4x2－y2)－(2x＋y)＝(2x－y)(2x＋y)－(2x＋y)＝(2x＋y)(2x－y－1)．拓展训练：解：∵a2＋b2＋2c2－2ac－2bc＝0，∴a2＋c2－2ac＋b2＋c2－2bc＝0，即(a－c)2＋(b－c)2＝0.∴a－c＝0且b－c＝0，即a＝c且b＝c.∴a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形．。

2022年最新精品解析青岛版七年级数学下册第12章乘法公式与因式分解专项练习试题(名师精选)

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，两个正方形的边长分别为a 、b ，若7a b +=，3ab =，则阴影部分的面积是（）A ．40B ．492C ．20D ．232、下列多项式能用“两数和（差）的平方公式”进行因式分解的是（）A ．22x y +B ．21x x -+C ．221x x +-D ．2441x x -+3、下列计算正确的是（）A ．（﹣2x ）2•x 3＝x 6B ．a 3+a 2＝a 5C ．（x ﹣y ）2＝x 2﹣y 2D ．x 2÷x ＝x4、下面的计算正确的是（）A ．（a +b ）2＝a 2+b 2B ．（a 3）2＝a 6C ．a 2+a 3＝2a 5D ．（3a ）2＝6a 25、下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）A ．2(2)(2)4x x x +-=-B ．()2231535a b ab ab a b -=-C ．322()x x x x x x ++=+D ．()()2523a a a a +-=-+6、下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A ．()()2339a a a +-=-B ．()()25231x x x x +-=-++C ．()22a b ab ab a b +=+D ．211x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 7、若二次三项式x 2+kx +9是完全平方式，则k 的值是（）A ．6B ．﹣6C ．±6D ．±38、下列计算正确的是（）A ．(a +b )2＝a 2+b 2B ．(﹣a +b )(﹣b +a )＝a 2﹣b 2C ．(﹣a +b )2＝a 2+2ab +b 2D ．(﹣a ﹣1)2＝a 2+2a +19、下列从左到右的变形属于因式分解的是（）A ．x 2+2x +1＝x （x +2）+1B ．﹣7ab 2c 3＝﹣abc •7bc 2C ．m （m +3）＝m 2+3mD ．2x 2﹣5x ＝x （2x ﹣5）10、下列运算正确的是（）A ．()222a b a b -=-B ．()235a a =C ．532a a a ÷=D ．325a a a +=第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、因式分解：a（a﹣b）﹣b（b﹣a）＝_____________．2、若a2+b2＝19，ab＝5，则a﹣b＝___．3、已知ab＝7，a+b＝2，则多项式a2b+ab2﹣20的值为_____．4、分解因式：9a﹣3a＝______________．5、若2x+y＝0，则代数式4x3+2xy（x+y）+y3的值为___．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、阅读下列材料：一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：因式分解：am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）．(1)利用分组分解法分解因式：①3m﹣3y+am﹣ay；②a2x+a2y+b2x+b2y．(2)因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝（直接写出结果）．2、因式分解：22-+．ax ax a3、例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：(1)若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；(2)填空：若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝；(3)如图所示，已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，CF＝2，长方形EMFD的面积是12，则x的值为．4、先化简，再求值：（3x＋2y）2﹣（3x＋y）（3x﹣y），其中x＝13，y＝﹣15、如图1，有甲、乙、丙三种纸片，其中甲是边长为a的正方形，乙是长为a，宽为b的长方形，丙是边长为b的正方形（a＞b）．(1)如图2，用甲、丙纸片各1张，乙纸片2张，可以紧密拼接成一个大正方形，请根据图形的面积写出一个乘法公式；(2)若要用这三种纸片紧密拼接成一个边长为（2a+b）大正方形，则需要取甲、乙、丙纸片各多少张．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据阴影部分面积等于2个正方形面积减去2个空白部分的三角形面积，进而根据完全平方公式的变形求解即可【详解】解：阴影部分面积等于()2221122a b a a b b +--+ 22111222a b ab =+- ()21322a b ab =+- ∵7a b +=，3ab =， ∴阴影部分面积等于213732022⨯-⨯= 故答案为：C【点睛】本题考查了完全平方公式变形求图形面积，掌握完全平方公式是解题的关键．2、D【解析】【分析】根据完全平方公式的结构特征，对每一个选项所给算式进行变形后，再判断其是否能用完全平方公式进行因式分解．【详解】A 、22x y +不满足完全平方公式的结构特征，不符合题意；B 、21x x -+中间项应为-2x ，故不符合完全平方公式，不符合题意；C 、221x x +-中间项应为2x -，最后一项应为1+，故不符合完全平方公式，不符合题意；D 、()()22224412212121x x x x x -+=-⨯⨯+=-，符合完全平方公式，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查完全平方公式，因式分解，能够熟悉完全平方公式的结构特征，以及利用完全平方公式进行因式分解是解决此类题型的关键．3、D【解析】【分析】根据整式的混合运算，同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项，完全平方公式计算即可求解．【详解】根据整式的混合运算顺序和运算法则逐一判断即可．【解答】解：A ．（﹣2x ）2•x 3＝4x 5，此选项不符合题意；B ．a 3与a 2不是同类项，不能合并，此选项不符合题意；C ．（x ﹣y ）2＝x 2﹣2xy +y 2，此选项不符合题意；D ．x 2÷x ＝x ，此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了整式的混合运算，同底数幂的乘除法、幂的乘方、合并同类项，完全平方公式，掌握运算法则是解题的关键．4、B【解析】【分析】直接利用完全平方公式以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．【详解】A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；B、（a3）2＝a6，故此选项正确；C、a2+a3，无法合并，故此选项错误；D、（3a）2＝9a2，故此选项错误；故选：B．【点睛】此题主要考查了完全平方公式以及积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．5、B【解析】【分析】因式分解的结果是几个整式的积的形式．【详解】解：A.从左到右的变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B.从左到右的变形是因式分解，故本选项符合题意；C. 322(1)x x x x x x ++=++，故本选项不符合题意；D.()()2523a a a a +-≠-+，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．6、C【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A 、是整式的乘法，故A 错误，不符合题意；B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 错误，不符合题意；C 、因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，C 项符合，故C 正确；D 、不满足因式分解必须是整式的要求，故D 错误，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解．7、C【解析】【分析】根据完全平方公式的结构进行求解即可．k为首位两数乘积的2倍．【详解】∵x2+kx+9＝x2+kx+32，x2+kx+9是完全平方式，∴kx＝23±⋅⋅，x解得k＝±6．故选：C．【点睛】本题考查的是完全平方公式，两数平方和再加上或减去它们乘积的2倍，是完全平方式的主要结构特征，本题要熟记完全平方公式，注意积的2倍的符号，有正负两种情况，避免漏解．8、D【解析】【分析】根据完全平方公式判断即可，完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2．【详解】解：A．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，故本选项不合题意；B．（−a＋b）（−b＋a）＝−（a−b）（a−b）＝−a2＋2ab−b2，故本选项不合题意；C．（−a＋b）2＝a2−2ab＋b2，故本选项不合题意；D．（−a−1）2＝a2＋2a＋1，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特点是解答本题的关键．9、D【解析】【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．由定义判断即可．【详解】解：A．x2+2x+1=（x+1）2，故A不符合题意；B．-7ab2c3是单项式，不存在因式分解，故B不符合题意；C．m（m+3）=m2+3m是单项式乘多项式，故C不符合题意；D．2x2-5x=x（2x-5）是因式分解，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查因式分解的意义，熟练掌握因式分解的定义，能够根据所给形式判断是否符合因式分解的变形是解题的关键．10、C【解析】【分析】根据完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的除法及整式的加减依次判断即可得．【详解】解：A、()222a b a ab b-=-+，选项计算错误；2B、()236=，选项计算错误；a aC、532a a a÷=，选项计算正确；D、32+不能进行计算，选项计算错误；a a故选：C．【点睛】题目主要考查完全平方公式，幂的乘方，同底数幂的除法，整式的加减等，熟练掌握各个运算法则是解题关键．二、填空题1、（a ﹣b ）（a +b ）【解析】【分析】原式变形后，提取公因式即可．【详解】解：原式()()()()a a b b a b a b a b =-+-=+-．故答案为：()()a b a b +-．【点睛】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．2、±3【解析】【分析】根据完全平方公式先求得（a -b ）2的值，然后根据平方根的概念进行计算求解．【详解】解：∵（a -b ）2=a 2-2ab +b 2，且a 2+b 2=19，ab =5，∴（a -b ）2=19-2×5=19-10=9，∴a -b =±3，故答案为：±3．【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2的结构是解题关键．3、-6【解析】【分析】将多项式中含有字母的式子因式分解，然后整体代入可得结果．【详解】解：a2b+ab2﹣20＝ab（a+b）﹣20，∵ab＝7，a+b＝2，∴原式＝7×2﹣20＝14﹣20＝﹣6．故答案为：﹣6．【点睛】本题主要考查代数式的值及因式分解，熟练掌握代数式的值及因式分解是解题的关键．4、a（3+a）（3﹣a）【解析】【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【详解】解：9a﹣3a，＝a（9﹣2a），＝a（3+a）（3﹣a）．【点睛】本题考查了因式分解,熟练掌握先提后选用公式的解题思路是解题的关键．5、0【解析】【分析】先把代数式4x3+2xy（x+y）+y3的前两项利用提取公因式法因式分解，然后将2x+y＝0整体代入，再继续利用提取公因式法因式分解，最后将2x+y＝0代入求解即可．【详解】解：∵2x+y＝0，∴4x3+2xy（x+y）+y3＝2x[2x2+y（x+y）]+y3＝2x[x（2x+y）+y2]+y3＝2xy2+y3＝y2（2x+y）＝0．故答案为：0．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，灵活运用提取公因式法和整体思想成为解答本题的关键．三、解答题1、(1)①（m−y）（3＋a）；②（x＋y）（a2＋b2）(2)（a＋b＋1）（a＋b−1）【解析】【分析】（1）①直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；②直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可；（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．(1)解：①原式＝（3m −3y ）＋（am −ay ）＝3（m −y ）＋a （m −y ）＝（m −y ）（3＋a ）；②原式＝（a 2x ＋a 2y ）＋（b 2x ＋b 2y ）＝a 2（x ＋y ）＋b 2（x ＋y ）＝（x ＋y ）（a 2＋b 2）；(2)a 2＋2ab ＋b 2−1＝（a ＋b ）2−1＝（a ＋b ＋1）（a ＋b −1）．故答案为：（a ＋b ＋1）（a ＋b −1）．【点睛】此题主要考查了分组分解法以及提取公因式法、公式法分解因式，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．2、2(1)a x -【解析】【分析】先提取公因式a ，再利用完全平方公式继续分解．【详解】解：22ax ax a -+()2221(1)a x x a x =-+=-．本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．3、 (1)12(2)6(3)5【解析】【分析】（1）根据()2222x y x xy y +=++代入计算即可；（2）由于（4-x ）+x =4，将22(4)x x -+转化为()2(44)2x x x x ---+，然后代入计算即可；（3）根据面积公式可得(x -1)(x -2)=12，设x -1=a ，x -2=b ，再根据()22()4a b a b ab +=-+代入得到2(23)148x -=+，进而求出x ． (1)解：∵x +y =8，∴2()64x y +=，即22264x xy y ++=，又∵2240x y +=，∴2xy =24，∴xy =12；(2)解：()22242)4(4()x x x x x x -+=--+-=6，故答案为：6；(3)解：由题意得(x -1)(x -2)=12，设x -1=a ，x -2=b ，则ab =12，∴a -b =(x -1)-(x -2)=1，又∵()22()4a b a b ab +=-+， ∴22[(1)(2)][(1)(2)]4(1)(2)x x x x x x -+-=---+--，∴2(23)148x -=+，∴2x -3=±7，∴x =5或x =-2(舍)．故答案为：5．【点睛】本题考查完全平方公式，多项式乘以多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．4、2125xy y +，1【解析】【分析】先运用完全平方公式和平方差公式将前后两个算式化简，再括号合并同类项，再将数值代入算式中．【详解】解：原式22229124(9)x xy y x y =++--222291249x xy y x y =++-+2125xy y =+当x ＝13，y ＝﹣1时，()()221125121+514513xy y +=⨯⨯-⨯-=-+=．【点睛】本题考查整式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，能熟练运用乘法公式是解决本题的关键．5、 (1)（a +b ）2=a 2+2ab +b 2(2)需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张．【解析】【分析】（1）根据两种计算图2面积的方法可得公式（a +b ）2=a 2+2ab +b 2；（2）由计算（2a +b ）2的结果可得此题结果．(1)解：∵图2中正方形的面积可表示为：（a +b ）2和a 2+2ab +b 2，∴可得公式（a +b ）2=a 2+2ab +b 2，故答案为：（a +b ）2=a 2+2ab +b 2；(2)解：由计算（2a +b ）2=4a 2+4ab +b 2可得，需要取甲种纸片4张、乙种纸片4张、丙种纸片1张．【点睛】本题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能准确地根据图形列出算式，和根据算式得到相应的图形．。

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整式乘法与因式分解
1.下列计算中，运算正确的是（）
A. （a ﹣b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2
B. （x+2）（x ﹣2）=x 2﹣2
C. （2x+1）（2x ﹣1）=2x 2﹣1
D. （﹣3x+2）（﹣3x ﹣2）=9x 2﹣4 2、下列各式中，能用平方差公式计算的是（） A (x+y)(-x-y) B (2x+3y)(2x-3y) C (-a-b)(a-b) D (m-n)(n-m) 3、下列各式中计算正确的是（） A (a+b)2=a 2+b 2 B (2a-b)2=4a 2-2ab+b 2 C (a+2b)2=a 2+4b 2 D (a 21+3)2=4
1a 2+3a+9
4.下列从左到右的变形，属于因式分解的是（） A. B.
C.
D.
5. 把多项式3a 2﹣9ab 分解因式，正确的是（）
A. 3（a 2﹣3ab ）
B. 3a （a ﹣3b ）
C. a （3a ﹣9b ）
D. a （9b ﹣3a ） 6.已知9x 2﹣mxy+16y 2能运用完全平方公式分解因式，则m 的值为（） A. 12 B. ±12 C. 24 D. ±24 7、下列各式不能用平方差公式分解的是（） A 4
1a 2b 2-1 B 4-0.25m 2 C 1+a 2 D -a 4+1
8若多项式﹣6ab+18abc+24ab 2的一个因式是﹣6ab ，则其余的因式是（） A. 1﹣3c ﹣4b B. ﹣1﹣3c+4b C. 1+3c ﹣4b D. ﹣1﹣3c ﹣4b 9.下列因式分解中，是利用提公因式法分解的是（）
A. a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）
B. a 2﹣2ab+b 2=（a ﹣b ）2
C. ab+ac=a （b+c ）
D. a 2+2ab+b 2=（a+b ）2 10.计算（x+3）•（x ﹣3）正确的是（）
A. x 2+9
B. 2x
C. x 2﹣9
D. x 2﹣6 11.多项式5mx 3+25mx 2﹣10mxy 各项的公因式是（）
A. 5mx 2
B. 5mxy
C. mx
D. 5mx 12.若（a+b ）2=（a ﹣b ）2+A ，则A 为（）
A. 2ab
B. ﹣2ab
C. 4ab
D. ﹣4ab
二、填空题
13如果x2+kx+81是一个完全平方式，则k 的值是。

14.若x﹣y=8，xy=10，则x2+y2=________
15.已知，, 则的值是________．
16.若，分式=________．
三、解答题
1、计算：
①(-7+2m2)(-7-2m2) ②(a-3)(a+3)(a2+9)
③(-0.5m+0.1b)2 (4)4(x-1)(x+1)－(2x+3)2
(5) (m-n-1)(m-n+1)
2、因式分解：
(1) -4m2n-16mn+8m2(2 )m(a-3)-n(3-a)
（3）m2（n﹣2）﹣m（2﹣n）（4）4（a﹣b）2+1+4（a﹣b）
(5)(a+1)2-(a-1)2(6) 50x-20x(m-n)+2x(m-n)2。