10数论问题的常用方法(教师版)

数论问题的常用方法

数论是研究数的性质的一门科学，它与中学数学教育有密切的联系。数论问题解法灵活，题型丰富，它是中学数学竞赛试题的源泉之一。下面介绍数论试题的常用方法.

1.基本原理

为了使用方便，我们将数论中的一些概念和结论摘录如下：

我们用),...,,(21n a a a 表示n 个整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数。用[1a ,2a ,…,n a ]表示

1a ,2a ,…,n a 的最小公倍数。对于实数x ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，用{x }=x -[x ]

表示x 的小数部分。对于整数b a ,,若)(|b a m -，,1≥m 则称b a ,关于模m 同余，记为

)(mod m b a ≡。对于正整数m ，用)(m ϕ表示{1，2，…，m }中与m 互质的整数的个数，

并称)(m ϕ为欧拉函数。对于正整数m ，若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余，则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ϕ中每一个数都与m 互质，且其中任何两个数关于模m 不同余，则称{)(21,...,,m r r r ϕ}为模m 的简化剩余系。

定理1 设b a ,的最大公约数为d ，则存在整数y x ,，使得

yb xa d +=.

定理2 （1）若)(mod m b a i i ≡，1=i ，2，…，n ，)(mod 21m x x =，则

1

1n

i i i a x =∑≡2

1

n

i i

i b x

=∑；

（2）若)(mod m b a ≡，),(b a d =，m d |，则

)(mod d

m d b d a ≡； （3）若)(mod m b a ≡，),(b a d =，且1),(=m d ，则)(mod m d

b

d a ≡；

（4）若b a ≡（i m mod ），n i ,...,2,1=，M=[n m m m ,...,,21]，则b a ≡（M mod ）. 定理3 （1）1][][1+<≤<-x x x x ； （2）][][][y x y x +≥+；

（3）设p 为素数，则在!n 质因数分解中，p 的指数为

∑

≥1

k k

p n

.

定理4 （1）若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系，1),(=m a ，则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模m 的完全剩余系；

（2）若{)(21,...,,m r r r ϕ}是模m 的简化剩余系，1),(=m a ，则{)(21...,,m ar ar ar ϕ}是模m 的简化剩余系.

定理5（1）若1),(=n m ，则)()()(n m mn ϕϕϕ=.

(2) 若n 的标准分解式为k k p p p n α

αα (2)

121=，其中k ααα,...,21为正整数，k p p p , (21)

互不相同的素数，则

)1

1)...(11)(11()(21k

p p p n n ---

=ϕ. 对于以上结论的证明，有兴趣的读者可查阅初等数论教材.

2 方法解读

对于数论试题，除直接运用数论的基本原理外，常用的基本方法还有因式（因数）分解法，配对法，分组法，估值法，同余方法，构造法，调整法，数学归纳法与反证法.下面分别予以说明

2.1基本原理的应用

例1 设正整数a ，b ，c 的最大公约数为1，并且

c b

a ab

=-（1） 证明：)(b a -是一个完全平方数.

证 设d b a =),(,d a a 1=,d b b 1=,其中1),(11=b a .由于1),,(=c b a ，故有1),(=c d .由（1）得

c b c a

d b a 1111-=（2）

由（2）知，c b a 11|，又1),(11=b a ，∴ c a |1.同理可证c b |1，从而有c b a |11，设

k b a c 11=，k 为正整数，代入（2）得

)(11b a k d -= （3）

由（3）知d k |，又c k |，∴1),(|=c d k ，∴1=k . ∴11b a d -=.

∴2

11)(d b a d b a =-=-. 故)(b a -是一个完全平方数.

例2 设n 为大于1的奇数，1k ，2k ，…，n k 为给定的n 个整数.对于{n ,...,2,1}的任一排列12(,,...,)n P a a a =，记1

()n

i i i s P k a ==∑，试证存在{n ,...,2,1}的两个不同的排列

B 、

C ，使得)()(!|C s B s n -.

证 假设对于任意两个不同的排列B 、C ，均有!n 不整除)()(C S B s -.令X 为{n ,...,2,1}的所有排列构成的集合，则{()|s P P X ∈}为模!n 的一个完全剩余系，从而有

!

1

(1!)!

()(mod !)2

n P X

i n n s P i n ∈=+≡=

∑∑ （1） 又 1()()n

i i P X P X i s P k a ∈∈==∑∑∑=∑=+n

i i k n n 1

2)1(! （2） 而n 为大于1的奇数，所以由（1），（2）得

)!(m o d 02)1(!2!)!1(1

n k n n n n n i i ≡+≡+∑=. 又1)!,!1(=+n n ，所以

)!(mod 02

!

n n ≡，矛盾. 这个矛盾表明必存在B 、C X ∈，B ≠C ，使得)()(!|C s B s n -.

2.2 因式（数）分解

数论中许多问题直接与因式（数）分解相关联，如合数问题，整除问题等常常是要证明某种分解式的存在.数的标准分解式本身就是一种特定形式的因数分解.在不定方程的求解与一些代数式的求值中，因式（数）分解能帮助我们确定某些变量的取值范围，寻找到解题的方法.

例2 求三个素数，使得它们的积为和的5倍.

解 采用分析中的记号，易知a ，b ，c 中必有一个为5，不妨设5c =，则有 5++=b a ab ， 从而有6)1)(1(=--b a .

因为1-a 与1-b 均为正整数，不妨设b a <，则有

⎩⎨

⎧=-=-611

1b a 或 ⎩

⎨

⎧=-=-312

1b a ， 从而知2=a ，7=b .故所求的三个素数为2，5，7.