运筹学及其应用3.4 改进单纯形法

σENXXB
+
N
B−1 NX N − z = −C
= B−1b B B−1b
4
σENXXB
+
N
B−1b B B−1b
即 (CN − CB B−1N )X N − z = −CB B−1b
令 XN = 0
得 X B = B−1b,
z = CB B−1b,
σ N
= CN
− CB B−1N
基本可行解
X
=
B
−1b

0
目标函数
z = CBB−1b
注! 使σ N ≥ 0的B为最优基,
若能找到最优 B,则最优解直接由上式求 出.
5
v 在单纯形法的矩阵形式中我们可以发现，单纯形表中的其它 数字可利用B −1和原始系数进行运算直接得到：
σ j = c j − z j = c j − C B B −1 Pj
b' = B −1b
P
' j
=
B −1Pj
z = CB B−1b
v 这就是改进单纯形法的出发点。
v
令向量Y表示C
B
B
−1
，即
Y
= CBB−1 称其为单纯形乘子。
6
A = (B, N ), C = (CB ,C N ), X = ( X B , X N ),
min z = CB X B + C N X N BX B + NX N = b X B ≥ 0, X N ≥ 0
3
BX B + NX N = b CBXB + CN XN − z = 0 B−1BX B + B−1 NX N = B−1b 得X B = − B−1 NX N + B−1b 代入CB X B + CN X N − z = 0 (CN − CB B−1N )X N − z = −CB B−1b
3.4 改进单纯形法
v 单纯形法计算的特点是每迭代一次，就要把整个单 纯形表重新计算一遍。从计算机的角度来讲，单纯 形法并不是一种经济高效的方法。
v 首先是要占用大量的存贮空间，其次，由于每次计 算都利用上一次的单纯形表，当计算次数较多时， 容易造成误差的积累，直接影响计算精度和收敛速 度。
v 改进单纯形法的基本计算步骤和单纯形法基本相同， 但在上述两方面有所改进。
1
v 在单纯形法的迭代过程中，我们实际需要的 只有以下各项：
v 1、检验数σ j = cj − zj ,以判断是否最优或确定 换入基变量。
v 2值、b换i' ，入根变据量ab所i'i'j 决在定列换的出各基元变素量ai'j。和基变量的
2
单纯形法的矩阵形式
Min z = CX
s.t.
AX=b
X≥0